Ejercicios de Álgebra - Luis Acuña

Instituto Tecnologico de Costa RicaEscuela de Matematicas

Problemas de

Algebra

M.Sc. Luis Alejandro Acuna

2015

Captulo 1

Conteo

1.1 Sumas y productos

1. Se encuesta a 200 personas y se encuentra que, entre ellas, 86 tienen gatos, 113tienen perros y 23 tienen ambas mascotas.

a. Cuantas personas tienen gato o perro?

b. Cuantas personas tienen perro pero no gato?

c. Cuantas personas no tienen perro ni gato?

2. En un estudio de 550 personas se encuentra que 340 de ellas asisten a juegos debalompie, 260 a juegos de baloncesto, y 50 no asisten a juegos de ninguno de esosdeportes.

a. Cuantas personas asisten a baloncesto pero no a balompie?

b. Cuantas personas asisten a ambos deportes?

c. Cuantas personas asisten a alguno de esos deportes?

3. Al escoger una carta de un naipe estandar, de cuantas maneras puede resultar. . .

a. . . . un corazon o una dona (J, Q o K)?

b. . . . una dona o una carta roja?

c. . . . un as o una carta negra?

4. En un pueblo, 40% de las casas tienen ratones, 55% tienen goteras y 35% tienenratones y goteras. Que porcentaje de casas tienen ratones pero no goteras?

5. Un restaurante sirve emparedados de carne con las siguientes opciones: tres tiposde pan, cinco tipos de carne, y la opcion de lechuga o col. Cuantos distintosemparedados son posibles, tomando un tem de cada categora (pan, carne, verdura)?

6. Al lanzar una moneda cuatro veces seguidas, cuantos resultados distintos son posi-bles (por ejemplo, escudo-corona-corona-escudo, corona-corona-escudo-corona, etc)?

7. Un arquitecto ofrece a su cliente varios disenos previos, a partir de los cuales elcliente puede escoger una, dos o tres plantas; fachada rustica, tradicional o moderna;patio campestre o urbano. Cuantas combinaciones de plantas, fachada y patio sonposibles?

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28. Un candado tiene una combinacion formada por cuatro dgitos (cada uno entre 0y 9). Cuantas combinaciones son posibles?

9. Cuantos codigos de tres letras pueden formarse con las cinco vocales. . .

a. . . . sin repetir letras?

b. . . . permitiendo letras repetidas?

10. En cuantas maneras distintas pueden sentarse dos personas en una fila de cincosillas?

11. Un codigo esta formado por tres letras seguidas por cuatro dgitos. Cuantos codigosdistintos son posibles si letras y dgitos no pueden repetirse (existen 27 letras)?

12. Un turista tiene planes para visitar siete lugares distintos, pero en su primer da deviaje tiene tiempo solo para cuatro de ellos. De cuantas maneras puede planear suprimer da, teniendo en cuenta la eleccion de lugares por visitar y su orden?

13. Una asamblea con diez hombres y quince mujeres debe elegir a su presidente y suvicepresidente. Cuantas elecciones son posibles si los dos cargos deben ser ocupadospor distintas personas y. . .

a. . . . no hay mas restricciones?

b. . . . el presidente debe ser un hombre?

c. . . . la presidenta debe ser una mujer?

d. . . . debe elegirse a un hombre y una mujer en cualquier orden?

14. Cuantos numeros enteros y positivos existen que sean. . .

a. . . . de tres dgitos, impares y multiplos de cinco?

b. . . . de cuatro dgitos, pares y sin dgitos repetidos?

c. . . . entre 1 y 9000 (inclusive), divisibles por seis o por nueve?

15. Suponga que todos los conjuntos mencionados son finitos, y demuestre que:

a. Si A X, |X A| = |X| |A|.b. Si A1, . . . , An son conjuntos finitos disjuntos, |A1 An| = |A1|+ + |An|.c. Si A y B son finitos, |A B| = |A|+ |B| |A B|.

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Luis Alejandro Acuna Prado 3

1.2 Permutaciones y combinaciones

16. De cuantas formas pueden permutarse. . .

a. . . . las letras de la palabra ENSENANZA?

b. . . . las letras de la palabra MATEMATICA? (La palabra MATEMATICA real-mente debe tildarse, pero la palabra MATEMATICA de este ejemplo es otra,inventada.)

17. En cuantas maneras puede escogerse un equipo de once jugadores, con posicionesasignadas, a partir de un grupo de 16 candidatos?

18. En un naipe estandar con 52 cartas, cuantas manos de cinco cartas (sin importarel orden) existen. . .

a. . . . en total?

b. . . . que incluyan exactamente un As?

c. . . . que incluyan exactamente una pareja (dos cartas del mismo valor)?

19. Hay diez equipos en un campeonato. Si cada equipo debe jugar con todos los demasuna vez, cuantos partidos deben programarse?

20. Suponga que siete maestras y cuatro maestros cumplen los requisitos para trabajaren una escuela que necesita contratar a seis docentes.

a. De cuantas maneras pueden escogerse seis docentes sin importar su sexo?

b. De cuantas maneras pueden escogerse cuatro maestras y dos maestros?

21. Si se seleccionan nueve puntos distintos en una circunferencia. . .

a. cuantos triangulos pueden formarse con esos puntos como vertices?

b. cuantos cuadrilateros pueden formarse con esos puntos como vertices? (Adver-tencia: dependiendo de la posicion de los puntos, puede ser que ABCD sea uncuadrilatero pero ACBD no lo sea.)

22. Al tomar cinco cartas de un naipe estandar, de cuantas maneras puede resultar quehaya al menos una carta de cada color?

23. En una asamblea con nueve mujeres y seis hombres se escogen aleatoriamente unpresidente, un vicepresidente y un secretario. Cuantas directivas se pueden formarque contengan hombres y mujeres entre los tres electos?

24. Si seis costarricenses y cuatro extranjeros han sido entrevistados para cinco posicio-nes identicas, de cuantas maneras pueden asignarse los cinco puestos con al menostres costarricenses?

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425. Sean A y B dos conjuntos con cardinalidades |A| = n y |B| = m.a. Cuantas funciones de A en B existen? (En otras palabras, cual es la cardina-

lidad de { f : A B }, que a veces se denota BA?)b. Si n m, cuantas funciones inyectivas de A en B existen?c. Si n = m, cuantas funciones biyectivas de A en B existen?

d. Si n = m+ 1, cuantas funciones sobreyectivas de A en B existen?

26. Sea A un conjunto con cardinalidad |A| = n.a. Cuantos subconjuntos tiene A?

b. Si k n, cuantos subconjuntos de cardinalidad k tiene A?c. Demuestre que

nk=0 (

nk ) = 2

n (note que la suma a la izquierda es la suma de lafila n-esima del Triangulo de Pascal).

27. Demuestre que, para cualesquiera x, y IR, n IN,nk=0

(nk

)xkynk = (x+ y)n.

(note que la parte c del ejercicio anterior es el caso particular de que x = y = 1).

28. Cuantos enteros existen entre 1 y 999 999 tales que la suma sus dgitos sea iguala 20?

29. Considere una cuadrcula de tamano 8 8 (por ejemplo, un tablero de ajedrez).a. Cuantos rectangulos pueden formarse tomando uno o varios cuadrados adyacen-

tes?

b. Cuantos cuadrados pueden formarse tomando uno o varios cuadrados adyacen-tes?

30. Generalice el ejercicio anterior para una cuadrcula de tamano n n.

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Captulo 2

Teora de numeros

2.1 Divisibilidad

31. Demuestre que 1 | a para todo a ZZ.32. Demuestre que b | 0 para todo b ZZ { 0 }.33. Dados a, b, c ZZ, demuestre que si a | b y b | c entonces a | c.34. Dados m,n ZZ, que se puede decir sobre m y n si m | n y n | m? Demuestrelo.35. Dados a, b, n ZZ, demuestre que si n | a y n | b entonces n | (ax+ by) x, y ZZ.36. Dados a, b ZZ, demuestre que mcd(a, b) = 1 si y solo si m,n ZZ tales que

am+ bn = 1.

37. Sean a, b, n ZZ con n 6= 0. Demuestre que si n | ab y mcd(a, n) = 1 entonces n | b.38. Dados a, b ZZ, demuestre que:

a. mcd(a, b) = mcd(a,b)b. mcd(a, b) = mcd(a, b a)c. mcd(a, b) = mcd(a, b+ a)

d. mcd(a, b) = mcd(a, b+ an) n ZZ

39. Investigue el Algoritmo de Euclides y demuestre su validez.

40. Dados a, b, n ZZ, demuestre que mcd(an, bn) = nmcd(a, b).41. Demuestre que si a | n, b | n, y mcd(a, b) = 1, entonces ab | n.42. Demuestre que, n IN:

a. 4 | n4 + 2n3 + n2b. 7 | 32n+1 + 2n+2c. 9 | 4n + 15n 1d. 11 | 102n+1 + 1

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62.2 Numeros primos

43. Demuestre que todo entero mayor que 1 tiene al menos un divisor primo.

44. Demuestre que si p1 < < pk son primos, a =ki=1 p

ii y b =

ki=1 p

ii , entonces

a | b si y solo si i i i = 1, . . . , k.45. Sean p1 < < pk primos.

a. Demuestre queki=1 p

ii ZZ si y solo si i 0 i = 1, . . . , k.

b. Demuestre queki=1 p

ii =

ki=1 p

ii si y solo si i = i i = 1, . . . , k.

46. De ejemplos que muestren que la hipotesis p1 < < pk es necesaria en el ejercicioanterior (es decir, ejemplos en los que falla esa hipotesis y falla la afirmacion pordemostrar).

47. Determine el numero de divisores positivos de:

a. 2025

b. 27 783

c. 532 400

48. Demuestre que si p es primo entonces pk tiene exactamente k+ 1 divisores positivos,k IN.

49. Demuestre que si n =ki=1 p

ii , con p1 < < pk, entonces el numero de divisores

positivos de n eski=1(i + 1) (compare con los dos ejercicios anteriores).

50. Dados a, b ZZ, demuestre que si a | b y b 6= 0, entonces |a| |b|.51. Dados a, b, n ZZ con mcd(a, n) = mcd(b, n) = 1, demuestre que mcd(ab, n) = 1.52. Demuestre que si a =

pii y b =

pii , entonces mcm(a, b) =

pMii donde Mi =

max{i, i } para cada i.53. Dados a, b IN, demuestre que mcm(a, b) = ab/mcd(a, b).54. Dados a ZZ, n,m IN, demuestre que a es divisible por n y por m si y solo si es

divisible por mcm(n,m).

55. Dado n IN, calcule:a. mcd(n, n+ 1)

b. mcm(n, n+ 1)

56. Sean r IQ y n IN tales que rn es entero. Demuestre que r es entero.57. Demuestre que si n IN y 2n 1 es primo, entonces n es primo.

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2.3 Congruencias

58. Dado m IN, demuestre que la relacion (mod m) es de equivalencia.59. Demuestre que si a x (mod m) y b y (mod m), entonces

a. a+ b x+ y (mod m)b. ab xy (mod m)

60. Sea m IN. Para cada a ZZ sea [a] la clase de equivalencia de a modulo m. DefinaZZm como el conjunto de clases de equivalencia, y en ZZm defina [a] + [b] = [a+ b], y[a][b] = [ab].

a. Demuestre que ZZm = { [0], [1], . . . [m 1] }.b. Demuestre que la suma esta bien definida en ZZm; esto es, si [a] = [x] y [b] = [y]

entonces [a] + [b] = [x] + [y].

c. Demuestre que el producto esta bien definido en ZZm; esto es, si [a] = [x] y [b] = [y]entonces [a][b] = [x][y].

d. Encuentre un ejemplo en el que [a][b] = [0] aunque [a] 6= [0] y [b] 6= [0].e. Demuestre que si [a][b] = [0] y mcd(a,m) = 1 entonces [b] = [0].

f. Demuestre que mcd(a,m) = 1 si y solo si ! [b] ZZm tal que [a][b] = [1]. Este [b]se llama el recproco de [a] y se denota [b] = [a]1.

g. Sea p primo. Demuestre que [a], [b] ZZp, [a] 6= [0], ! [x] ZZp tal que [a][x] = [b].

61. Con referencia al Ejercicio 60.f cuales elementos de ZZ20 tienen recproco y cualesno?

62. Con referencia al Ejercicio 60.f, encuentre el recproco de cada elemento en ZZ13.

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Captulo 3

Los numeros complejos

3.1 Definiciones, operaciones

Encuentre todas las soluciones complejas.

63. 2z2 + 2z + 5 = 0

64. 4x2 4x+ 2 = 065. z4 9 = 066. 4y4 + 15y2 = 4

Factorice completamente en IC.

67. 8z2 + 18

68. x2 + 10

69. 9y4 2570. 3t2 + 12

Encuentre los valores reales de a y b que cumplen cada ecuacion.

71. 5a 7i + 3bi = 8b i 1 72. 3a+ 2 6bi = 10ai bi + 1 2b

Calcule el resultado de cada operacion.

73. i(2 + i)(3 4i)74. (1 i2)2

75. i57 + i98 i75

76. 1 + i3

(1 + i)3

77. 5i(2 + 2i)

(1 i)(2 + i)(3 i)78. 3i

50 2i374i13 + 5i19

79.100k=1

ik = i + i2 + i3 + + i100

Encuentre los numeros complejos z y w que cumplan las condiciones dadas.

80.{z + wi = 1

zi + w = 1 + i

81.{

(1 + i)z wi = 3 i(2 + i)z + (2 i)w = 2i

82.{

iz + (1 + i)w = 3 + i

(1 + i)z (6 i)w = 483.

{6z + (4i 1)w = 3 7i

(i 1)z w = 7i 5

8

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Encuentre dos numeros reales x, y que cumplan cada condicion.

84. (3 4i)2 2(x yi) = x+ i85. 3 + 2xi + 3yi = 8i + x 2y86. (32i)(x+yi) = 2(x2yi)1+2i

87. (1 i)x+ 2yi = 4 + 2i

88. Que z = 3 + ix2y yw = x2 + y + 4i sean conjugados.

89. Resuelva la ecuacionz 1

1 + iz

3= 3i

3.

90. Dado z = 3 4i, encuentre un w IC tal que z w = 2i 1.91. Si z es un numero complejo, en que condiciones se tiene z = z ?

92. Que relacion deben cumplir los numeros reales x, y para que (x+ yi)(2 + 3i) sea unnumero real?

93. Encuentre los numeros reales x tales que w = (x i)(x+34i) sea imaginario puro.De tambien los valores correspondientes de w.

Demuestre cada identidad para z y w numeros complejos.

94. z + w = z + w

95. z w = z w96. z/w = z/w si w 6= 097. z = z

3.2 El Teorema Fundamental del Algebra

98. (Teorema de los ceros conjugados) Demuestre que si todos los coeficientes de P (x)son reales, y z = a+ bi es un cero de P , entonces z = a bi tambien es un cero de P .

Factorice completamente en IC.

99. 2x3 x2 + 6x 3100. t3 3t2 + 12t 10101. 2z3 9z2 + 14z 5102. y4 2y2 + 3y 2103. z4 + 14z2 + 49

104. 6w4 + 10w3 + 5w2 3w

105. 3r4 112 r3 + 13r2 + 92r 5106. 10t5 75t4 + 195t3 180t2 + 50t107. 5w4 432 w3 + 2w2 + 67w + 30,

sabiendo que w = 3 + i es un cero

108.x5 4x4 + 14x3 36x2 + 45x,sabiendo que x = 2 i es un cero


109. 2t3 + t2 + 1 = 0

110. y4 2y2 3 = 0

111. 2x3 7x2 + 10x 6 = 0, sabiendoque 1 + i es una solucion

112. z4 3z3 + 3z2 2 = 0, sabiendoque 1 + i es una solucion

113.w4 + 3w3 + 5w2 + 4w + 2 = 0,sabiendo que i 1 es unasolucion

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10

114. 2v4 10v3 + 9v2 + 14v + 10 = 0,sabiendo que 3 + i es unasolucion

115.u4 + u3 4u2 + 2u 12 = 0,

sabiendo que i

2 es una solucion

116. y4 + 4y2 + 3 = 0, sabiendo que ies una solucion

3.3 Representacion grafica

117. Determine todos los valores de a, b IR tales que a+ bi = |a+ bi|.


118. z z = |z|2119. |zw| = |z| |w|

120. |z/w| = |z|/|w|121. |z +w|2 = |z|2 + |w|2 + 2Re(z w)

Encuentre todas las soluciones de cada sistema de ecuaciones.

122. |z| = 310, Arg(z) = 2pi/3123. |y| = 1, Arg(y) = pi124. |v| = 12, Arg(v) = 0125. |u| = 3, Arg(u) = 3pi/2126.

{|

2 5i + x| = 1Arg(

2 5i + x) = pi/4

127. |t 2| = 3, Arg(t+ 1) = 3pi/4128. |i + z| = 5, Arg(z + 2) = 3pi/4129. |w+2i| = |w|, Arg(w+2) = 2pi/3

130.{

|v + 1| =

3

Arg(v + v + 2i) = 3pi/4

131. |2 u| = 5, u u = 7132. |1 x| = 5, 1

x=

x

10133. |w| =

1w, |w| = |1 w|

134. |v + 1| = 3|v 1|, |v| = 1135.

{Arg(t+ k) = pi/2

Arg(t k) = 2pi/3con k > 0

Evalue en forma rectangular.

136. (

3 cis pi6 )10

137. (3 cis 25)3/(4 cis 215)2

138. (1/2 + i/2)200

139. (

3 + i)4

140. (1/2 + i

3/2)55

141. 3i(5 2i)6142. i3(1 i)4143. (

3 + i)30

(1 i3)5144.

[sen(pi/3) + i cos(pi/3)

]3

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3.4 Races, potencias y logaritmos complejos

Calcule en forma rectangular las races. . .

145. . . . cuadradas de 1 + i

3

146. . . . cuadradas de 1/2 + i3/2147. . . . cubicas de 8 + 8i148. . . . cubicas de 2 2i3

149. . . . cuartas de 1

150. . . . cuartas de

3 + i

151. . . . cuartas de 8 + 8i3152. . . . cuartas de 1


153. z3 + 1 = i

3

154.x4 16 = 0155. y5 32 = 0156. t6 + 64 = 16t3


157. eipi/2

158. i + e2ipi

159. eix + eix para cualquier x IR

160. 3eipi

161. ei ln 2

162. e32i


163. ew+z = ewez

164. ewz = ew/ez165. ez = 1/ez

166. ewz = (ew)z

Evalue, definiendo az = ez ln a para a IR+ y z IC.167. 53+i

168. 4cis 1169. (1/2)i

170. (az)


171.Ln(1) + Ln(i)172.Ln(

3 3i)

173.Ln(3eipi)

174.Ln(e5+10i)

175. (7 7i3)4+i176. (1 i)2i

Evalue1 en forma rectangular, para x = cis(2pi/3), y = cis(pi/2) y z = cis(3pi/4).177.Ln(xy)

178.Lnx+ Ln y

179.Ln(y/z)

180.Ln y Ln z181.Ln(x2)

182. 2 Lnx

1Note que los resultados en este ejercicio muestran que las formulas ln(xy) = lnx + ln y, ln(x/y) =lnx ln y y lnxr = r lnx no se extienden a los logaritmos complejos.

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12

183. Sea c IC, constante. Demuestre que (zc) = c zc1.184. Sea c IC { 0 }, constante. Demuestre que (cz) = cz Ln c.185. Para z IC { 0, 1 } defina Logzw = Lnw/Ln z. Demuestre que zLogzw = w para

cualquier w IC { 0 }. (Pero Logz(zw) no siempre es igual a w; por ejemplo,Loge(e

2pii) = Loge(1) = 0, no 2pii.)

3.5 Funciones trigonometricas inversas


186. sen(ipi/3)

187. cos(3 + 2i)

188. tan(ipi/2), donde tan = sen / cos

189. arccos(2)

190. arccos(1)191. arccos(i)

192. arcsen(3)

193. arcsen(1 i)


194. cos(z) = cos z195. sen(z) = sen z196. cos(w + z) =

cosw cos z senw sen z197. sen(w + z) =

senw cos z + cosw sen z

198. (sen z) = cos z

199. (cos z) = sen z200. cos(arccos z) = z

201. sen(arcsen z) = z

202. Defina tan z =sen z

cos zpara cualquier z IC tal que cos z 6= 0.

a. Determine el dominio de la funcion tan.

b. Demuestre que una formula para tan z ese2iz 1

i(e2iz + 1).

c. Plantee la ecuacion w = tan z y, usando la formula en la parte b, despeje z para

demostrar que arctanw = i2 Ln(1iw1+iw

).

d. Compruebe que tan(arctanw) = w (pero arctan(tan z) no siempre es z; ya desdelos reales se tiene, por ejemplo, arctan(tanpi) = arctan(0) = 0, no pi).

e. Verifique que (tan z) = sec2 z (donde sec, por supuesto, es 1/ cos).

f. Verifique que (arctanw) =1

1 + w2.

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Captulo 4

Grupos

4.1 Grupos

203. Analice el grupo de permutaciones de { 1, 2 } con la operacion de composicion: definael conjunto y haga la tabla.

204. Para cada conjunto y operacion indicados, determine si se forma un grupo:

a. (IR {1 }, ?), con x ? y = x+ y + xyb. ([,[, ?), con x ? y = ln(ex + ey) (use e = 0)c. ({ 2n+ 1 | n ZZ },+)d. ({x IR | x > 0 }, ?), con x ? y = x2y2e. ({ a/2b | a ZZ, b IN { 0 } },+)f. (IR, ), con a b = (a+ b)/2

205. Sea G un conjunto, y una operacion binaria en G tal que (yz) = (xy)z x, y, z G e G tal que xe = x x G x G x G tal que xx = e

Demuestre que (G, ) es un grupo.206. Demuestre que si (G, ) es un grupo y x G entonces (x1)1 = x.207. Demuestre que si (G, ) es un grupo entonces (x1x2 xk)1 = x1k x12 x11 ,

x1, . . . , xk G.208. Demuestre que si (G, ) es un grupo y x G entonces (x1)n = (xn)1 (en notacion

aditiva, n(x) = (nx)).209. Sea (G, ) un grupo y sea x G. Demuestre que n,m ZZ:

a. xnxm = xn+m

b. (xn)m = xnm

210. Sea (G, ) un grupo y sean x, y, z G. Demuestre que:

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a. Si xy = xz entonces y = z, y si xz = yz entonces x = y.

b. Si x2 = x entonces x = 1.

c. Si G = { 1, a, b } (tres elementos distintos) entonces ab = 1, a2 = b y b2 = a.

211. Determine si (ZZp { 0 }, ) es un grupo, donde p es primo y es el producto usualde enteros. Compare con el ejercicio siguiente.

212. Encuentre un k IN tal que (ZZk{ 0 }, ) no sea un grupo. Compare con el ejercicioanterior.

213. Dado un grupo (G, ), para cada a G defina las funciones fa y ga de G en G porlas formulas fa(x) = ax y ga(x) = xa. Demuestre que:

a. a G, fa y ga son inyectivasb. a, b G, fa fb = fab y ga gb = gbac. a, b G, fa gb = gb fa

214. Sea M el conjunto de matrices complejas de tamano 2 2 con determinante 1:M = { ( a bc d ) | a, b, c, d IC y ad bc = 1 }

con producto(a bc d

) (w xy z ) = ( aw+by ax+bzcw+dy cx+dz ).a. Demuestre que (M, ) es un grupo.b. Calcule ( 3 24 3 )

1.

215. Demuestre que cualquier grupo de orden menor que 4 es abeliano. Compare con elEjercicio 237.

216. Sea G un grupo en el que x2 = 1 x G. Demuestre que G es abeliano.217. Sea (G, ) un grupo, sea x G y sean m,n ZZ tales que mcd(m,n) = 1. Demuestre

que si xm = 1 entonces y G tal que yn = x.

4.2 Subgrupos

218. Sea G un grupo, y sea S G. Demuestre que las siguientes condiciones son equiva-lentes:

a. S Gb. S 6= y [x, y S xy1 S]c. 1 S y [x, y S xy1 S]

219. Si G es un grupo finito y 6= S G, demuestre que S G si y solo si [x, y S xy S]. Compare con el ejercicio siguiente.

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220. De un ejemplo que muestre que en el ejercicio anterior es necesario suponer que Ges finito.

221. Demuestre que la interseccion de dos subgrupos es un subgrupo.

222. Demuestre que la union de dos subgrupos es un subgrupo si y solo si uno de ellosesta contenido en el otro. En smbolos: si G es un grupo, A G y B G, entoncesA B G si y solo si [A B o B A].

223. Encuentre un ejemplo de dos subgrupos cuya union no sea un subgrupo.

224. Demuestre que si G es un grupo y a G entonces {x G | ax = xa } G.225. Sea (G,+) un grupo abeliano, y sea n ZZ. Demuestre que {x G | nx = 0 } G.226. Demuestre que cualquier grupo cclico es conmutativo.

227. Sea G un grupo cclico y sea H G. Demuestre que H es cclico.228. De un ejemplo de:

a. Un grupo cclico con un elemento que no lo genere (es decir, un x G tal quex 6= G).

b. Un grupo conmutativo que no sea cclico.

229. Sea a G un elemento con orden n. Demuestre que n es el menor entero positivotal que an = 1.

230. Sea a G un elemento de orden n, y sea k ZZ. Demuestre que ak = 1 si y solo sin | k.

231. Sea G = (ZZ12,+).

a. Demuestre que G es cclico de orden 12.

b. Encuentre un H2 G, cclico y de orden 2.c. Encuentre un H3 G, cclico y de orden 3.d. Encuentre un H4 G, cclico y de orden 4.e. Encuentre un H6 G, cclico y de orden 6.

4.3 Clases laterales

232. Si H G y x, y G, demuestre que xH = yH si y solo si x1y H, y que Hx = Hysi y solo si xy1 H.

233. Sea H G. Demuestre que la relacion ./ dada por x ./ y xy1 H es deequivalencia.

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234. Sea G = ZZ y sea H = 5ZZ. Cuales son las clases de equivalencia de la relacion ./del ejercicio anterior?

235. Sea H G. Demuestre que el numero de clases derechas es igual al de clasesizquierdas.

236. Demuestre que cualquier grupo con orden primo es cclico.

237. Demuestre que cualquier grupo con orden primo es abeliano.

238. Sea N G. Demuestre que las condiciones siguientes son equivalentes:a. N es normal.

b. xN = Nx para todo x G.c. x, y G, [xy N yx N ].

239. Sea H G con |H| = 12 |G|. Demuestre que H G.240. El centro de G es C(G) = { g G | gx = xg x G }.

a. Encuentre C(P ) (P es el grupo de permutaciones de { 1, 2, 3 }).b. Demuestre que C(G)G en cualquier grupo G.

241. Si H G, su normalizador es N(H) = {x G | xHx1 = H }.a. Demuestre que N({ 1 }) = G en cualquier grupo G.b. En P (el grupo de permutaciones de { 1, 2, 3 }), encuentre N(a) y N(c).c. Demuestre que N(H) G en cualquier grupo G.d. Demuestre que H N(H) en cualquier grupo.

4.4 Homomorfismos

242. Sean A y B grupos, sea f : A B un homomorfismo y sea H A. Demuestre quef(H) B.

243. Sean G y H grupos, y sea f : G H un homomorfismo. Demuestre que f(xn) =f(x)n x G, n ZZ.

244. Demuestre que si f : G H es un homomorfismo entonces ker f G.245. Demuestre que si f : G H es un homomorfismo entonces ker f G.246. Sean f y g homomorfismos de G en H. Demuestre que {x G | f(x) = g(x) } G.247. Demuestre que si f : A B y g : B C son homomorfismos, entonces gf : A C

tambien es un homomorfismo.


248. Demuestre que si f : G H es un isomorfismo, entonces f1 : H G tambien esun isomorfismo.

249. Sea h : G H un isomorfismo. Demuestre que:a. Si G es abeliano entonces H es abeliano.

b. Si G es cclico entonces H es cclico.

250. Demuestre que G es abeliano si y solo si la funcion f : G G dada por f(x) = x1es un homomorfismo.

251. Sea m IN. Demuestre que h : (ZZ,+) (ZZm,+) dada por h(x) = [x] es unhomomorfismo.

252. Sea a G. Demuestre que f : G G definida por f(x) = axa1 es un isomorfismo.253. Dado n IN, demuestre que el conjunto de las races n-esimas de 1 (en IC), con el

producto, es isomorfo a (ZZn,+).

254. Demuestre que dos grupos cclicos son isomorfos si y solo si tienen el mismo orden.

255. Demuestre que, si p es primo, cualquier grupo de orden p es isomorfo a ZZp.

256. Demuestre que todos los grupos de orden k son isomorfos entre ellos, para k = 1,k = 2 y k = 3. Compare con el ejercicio siguiente.

257. Demuestre que no todos los grupos de orden 4 son isomorfos.

258. Sea c IR. Demuestre que f : (IR,+) (IR,+) dada por f(x) = cx es un homomor-fismo. Compare con el ejercicio siguiente.

259. Sea f : (IR,+) (IR,+) un homomorfismo continuo. Demuestre que ! c IR tal quef(x) = cx x. Compare con el ejercicio anterior y con el siguiente.

260. Demuestre que los unicos isomorfismos continuos f : (IR,+) (IR+, ) son las fun-ciones de la forma f(x) = cx con c > 0, c 6= 1. En smbolos, f : (IR,+) (IR+, ) esun isomorfismo continuo si y solo si ! c IR, c > 0, c 6= 1, tal que f(x) = cx x.Compare con el ejercicio anterior.

261. Demuestre que ln es un homomorfismo en IR+, pero Ln no es un homomorfismo enIC { 0 }.

262. Demuestre que el grupo (ZZ[x],+), donde

ZZ[x] = { anxn + an1xn1 + + a1x+ a0 | n IN { 0 }, ai ZZ i = 0, . . . , n }(el conjunto de polinomios en x con coeficientes enteros), es isomorfo al grupo ( IQ+, ).

263. Dado N G, demuestre que la funcion : G G/N definida por (x) = xN es unepimorfismo con nucleo N .

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264. Dado n IN, demuestre que ZZ/n es isomorfo a ZZn.265. Un automorfismo de G es un isomorfismo de G en G. Demuestre que el conjunto de

automorfismos de G, con la operacion de composicion, es un grupo.

Captulo 5

Anillos y campos

5.1 Anillos

266. Para a, b ZZ, defina a b = a+ b+ 1 y a b = a+ b+ ab. Demuestre que (ZZ,,)es un anillo conmutativo.

267. Demuestre que ZZ[

2] = { a+b2 | a, b ZZ } es un anillo con las operaciones usualesen ZZ.

268. Demuestre que si (R,+, ) es un anillo, entoncesa. x 0 = 0 x = 0 x Rb. x = (1)x x Rc. x (y) = (x) y = (x y) x, y Rd. (x) (y) = x y x R

269. Existe algun anillo en el que 0 tenga inverso multiplicativo?

270. Sea R un anillo en el que 0 = 1. Demuestre que R = { 0 }.271. Demuestre que { 0, 3 } es un subanillo de ZZ6 aunque sus neutros para el producto

sean distintos.

272. Sea (R,+, ) un anillo, y sea G = {x R | x1 R }.a. Demuestre que (G, ) es un grupo.b. Encuentre G para R = ZZ42.

273. Sea S un subanillo del anillo R, y sea R/S el conjunto de clases de equivalenciabajo la relacion x y si y solo si x y S. Demuestre que es una relacionde equivalencia y que R/S es un anillo con las operaciones [x] + [y] = [x + y] y[x][y] = [xy].

274. Demuestre que en un anillo con division, si xy = 0 entonces x = 0 o y = 0.

275. Demuestre que nZZ mZZ si y solo si m | n.276. Demuestre que z 7 z es un homomorfismo de ( IC,+, ) en s mismo.

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277. Sea f : R S un homomorfismo de anillos. Demuestre que:a. f(0) = 0.

b. f(x) = f(x) x R.c. f(R) es un subanillo de S.

d. ker(f) es un subanillo de R.

e. f es inyectivo si y solo si ker(f) = { 0 }.

278. Sea R = { f : IC IC, derivables }, y para cada a IC sean La : R IC y Da : R ICdadas por La(f) = lim

za f(z) y Da(f) = f(a).

a. Demuestre que La es un homomorfismo a IC.b. Demuestre que Da no es un homomorfismo para ningun a IC.

279. Sea R un anillo. Demuestre que existe un unico homomorfismo c : ZZ R.280. Sea A un conjunto, sea P (A) el conjunto de partes de A, y para X,Y P (A) sea

XY = (X Y ) (X Y ).

a. Demuestre que (P (A),,) es un anillo.b. Dado a A, determine si fa : P (A) ZZ2 dada por

fa(X) =

{1 si a X0 si a / X

es un homomorfismo.

c. Para el homomorfismo c : ZZ P (A) del Ejercicio 279, determine c(2) y c(3).

281. Un anillo R es booleano si x2 = x x R.a. Demuestre que ZZ2 y P (A) (definido en el ejercicio anterior) son booleanos.

b. Demuestre que cualquier anillo booleano es conmutativo.

282. Dado un anillo R, defina su campo de cocientes

Q(R) = { (a, b) | a R, b R { 0 } } /

donde (a, b) (c, d) si y solo si ad = bc. Demuestre que:a. es una relacion de equivalencia.b. [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad+ bc, bd)] define una adicion en Q(R).

c. [(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)] define una multiplicacion en Q(R).d. Q(R) con las dos operaciones anteriores es un anillo.


e. Q(R) es un campo.

Compare con el ejercicio siguiente.

283. Demuestre que Q(ZZ) (definido en el ejercicio anterior) es isomorfo a IQ bajo el iso-morfismo [(a, b)] a/b.

5.2 El anillo de polinomios

284. Sea R un anillo, y sea R[x] el conjunto de polinomios en la variable x con coeficientesen R:

R[x] = { p(x) =ni=0

aixi | n IN { 0 }; a0, . . . , an R }

En R[x] se definen la suma y el producto de polinomios de la manera usual. Parap R[x], p(x) = nk=0 akxk, se define su grado como gr(p) = max{ k IN | ak 6= 0 }.a. Cuales son los elementos neutros para la adicion y para la multiplicacion en R[x]?

b. Dado cualquier c R, demuestre que fc : R[x] R dado por fc(p) = p(c) (lafuncion evaluar en c) es un homomorfismo.

285. Demuestre el algoritmo de la division: si a, b R[x], existen unicos q, r R[x] talesque a = bq + r y gr(r) < gr(b) (aqu, q es el cociente y r es el residuo de la divisiona b).

286. Demuestre el Teorema del Residuo: dados p R[x] y c R, el residuo de p(x)(xc)es igual a p(c).

287. Demuestre el Teorema del Factor: si p R[x] y c R, entonces p(c) = 0 si y solo si(x c) es un factor de p(x) (es decir, si q R[x] tal que p(x) = (x c)q(x)).

288. Sean p ZZ[x] y a, b ZZ. Demuestre que si a+ b2 es un cero de p entonces a b2tambien lo es (compare con el Teorema de los ceros conjugados).

289. Cuantos ceros tiene el polinomio cuadratico x2 1 en ZZ8[x]?

290. De un ejemplo de dos polinomios p, q ZZ8 tales que gr(pq) 6= gr(p)+gr(q). Comparecon el Ejercicio 302.

291. Divida (2x4 x2 + 4x) (3x2 x+ 2) en ZZ5[x].

292. Factorice en ZZ5:

a. x3 + 2x+ 5

b. x4 + 4

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5.3 Dominios enteros

293. Determine si alguno de los siguientes conjuntos es un dominio entero.

a. { f : IR IR }b. M2

c. {A M2 | det(A) 6= 0 }

294. Sea R un dominio entero con caracterstica1 n. Demuestre que:

a. nr = 0 r R.b. n = 0 o n es primo.

295. Un a R es idempotente si a2 = a.

a. Demuestre que si a es idempotente, tambien 1 a es idempotente.b. Demuestre que en un dominio entero solo hay dos elementos idempotentes: 0 y 1.

c. Encuentre un elemento idempotente distinto de 0 y de 1 en M2, y uno en ZZ21.

296. Demuestre que cualquier elemento nilpotente es un divisor de cero.

297. Demuestre que un anillo conmutativo es un dominio entero si y solo si no tienedivisores de cero.

298. Demuestre que cualquier campo es un dominio entero.

299. Si R es un anillo finito, demuestre que R es un campo si y solo si es un dominioentero.

300. En ZZn, demuestre que a es un divisor de cero si y solo si mcd(a, n) > 1.

301. Sea R un anillo. Demuestre que R[x] es un dominio entero si y solo si R es undominio entero.

302. Sea R un dominio entero. Demuestre que gr(pq) = gr(p) + gr(q) p, q R[x].Compare con el Ejercicio 290.

303. Sea R un dominio entero. Demuestre que si p R[x] tiene grado n entonces p tienea lo sumo n ceros.

1La caracterstica de R es el menor n IN tal que c(n) = 0 (o 0 si c es inyectivo), donde c es elhomomorfismo descrito en el Ejercicio 279.


5.4 Ideales

304. Sea G = { a+ bi | a, b ZZ } (los llamados enteros gaussianos).

a. Demuestre que (G,+, ) es un anillo.b. Determine si ZZ es un ideal de G.

305. Demuestre que si I y J son dos ideales de R entonces I J tambien lo es.

306. Demuestre que si I es un ideal de R y 1 I, entonces I = R.

307. Si F es un campo, demuestre que sus unicos ideales son { 0 } y F .

308. Para cualquier a R, demuestre que a = aR = { ax | x R } es un ideal de R.

309. Sea R = { f : IR IR }, y sea c IR. Demuestre que I = { f R | f(c) = 0 } es unideal maximal.

310. Demuestre que los unicos ideales en ZZ son de la forma nZZ para n ZZ.

311. Si f : R S es un homomorfismo, demuestre que ker(f) es un ideal de R.

312. Si f : R S es un homomorfismo, demuestre que R/ ker(f) es isomorfo a f(R)(el cociente de anillos se definio en el Ejercicio 273).

313. Demuestre que el conjunto de elementos nilpotentes de R forma un ideal.

314. Sea I un ideal de ZZn, y sea k el menor elemento positivo de I. Demuestre que:

a. I = kb. k | n

315. Demuestre que si n ZZ no es primo entonces el ideal nZZ no es maximal.

316. Si R es un anillo e I es un ideal en R, entonces I es un ideal primo si

ab I a I b I

Demuestre que:

a. En ZZ, n es un ideal primo si y solo si n es primo o n = 0.b. El ideal { 0 } es primo si y solo si R no tiene divisores de cero.c. R/I es un dominio entero si y solo si I es primo.

d. Todo ideal maximal es primo.

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5.5 Campos

317. Demuestre que IQ[

2] = { a+ b2 | a, b IQ } es un campo de extension de IQ en elque x2 2 tiene un cero.

318. Use el Teorema de Kronecker para demostrar que IC es el menor campo de extensionde IR en el cual x2 + 1 tiene un cero.

319. De un ejemplo que muestre que R[x] puede no ser un campo aunque R s lo sea (veael ejercicio siguiente).

320. Existe algun campo F tal que F [x] sea un campo (vea el ejercicio anterior)?

321. Sea F un campo y sea p F [x].a. De un ejemplo que muestre que p puede ser reducible aunque no tenga ceros.

b. Demuestre que si p tiene grado 1 entonces tiene algun cero.

c. Demuestre que si p tiene grado 2 o 3 entonces p es reducible si y solo si tienealgun cero.

d. De ejemplos que muestren que las partes b y c pueden ser falsas si F no es uncampo.

322. Encuentre un polinomio en ZZ5[x], con grado impar, sin ceros. Compare con elEjercicio 328, Captulo 6 (note que ZZ5 es un campo).

323. Encuentre un polinomio en IQ[x] que tenga como cero a. . .

a.

3

b. 43c.

2 +

3

324. Demuestre que IC es algebraico sobre IR.

325. Demuestre que si a IR es algebraico sobre IQ entonces na tambien es algebraicosobre IQ, n IN.

Captulo 6

Polinomios

6.1 Polinomios y ecuaciones polinomiales

326. En cada caso, compruebe que q es un factor de p:

a. p(x) = x3 + 3x2 + 4x+ 2, q(x) = x+ 1

b. p(t) = tn cn, q(t) = t cc. p(u) = 2u3 2ku2 3k2u 2k3, q(u) = u 2kd. p(y) = y4 + 13y2 + 36, q(y) = y + 3i

327. Factorice 4.2x4 20.8x3 + 32x2 25 completamente en IR[x], dado que 2 i es uncero.

328. Demuestre que cualquier p IR[x] con grado impar tiene al menos un cero real.Compare con el Ejercicio 322, Captulo 5.

329. Factorice t4 + 1 en IR[t].

6.2 Ceros reales

330. Encuentre un polinomio monico p IQ[x], con el menor grado posible, que tengaentre sus ceros a:

a. 2, 0, 3 + ib. 4, 4, 1 i, ic. 1 +

5, i 2

331. Factorice 9u4 48u3 + 61u2 28u+ 4 completamente en IQ, sabiendo que 23 esun cero.

332. Encuentre los ceros de cada polinomio:

a. 4t3 + 20t2 23t+ 6, sabiendo que tiene un cero doble.b. 8u4 2u3 27u2 + 6u+ 9, sabiendo que la suma de dos de sus races es cero.c. 6x4 29x3 + 40x2 7x 12, sabiendo que el producto de dos de sus races es 2.

25

26

333. Encuentre, en terminos de los parametros a, b y c, la suma de los cuadrados de losceros de x3 ax2 + bx c.

334. Sea p(x) = a2x2 (b2 2ac)x+ c2, con a, b, c racionales positivos. Demuestre que sip(n) = 0 para algun n IN entonces n es un cuadrado perfecto.

335. Determine cotas superiores e inferiores para los ceros de cada polinomio:

a. 15x3 24x2 + 24x+ 9b. r3 + 4r2 24r 17c. 13 + 24y 14y2 6y3d. 7 19t 10t2 2t3 + 3t4

336. Sea c IR un cero de p IR[x].

a. Demuestre que si c es simple entonces p(c) = 0 pero p(c) 6= 0.b. Demuestre que si c es doble entonces p(c) = p(c) = 0 pero p(c) 6= 0.

337. Sea c IR un cero de p IR[x].

a. Demuestre que si c es simple entonces p cambia de signo alrededor de c (existe > 0 tal que el signo de p en ]c , c[ es opuesto al signo de p en ]c, c+ [).

b. Demuestre que si c es doble entonces p no cambia de signo alrededor de c (existe > 0 tal que el signo de p en ]c , c+ [ es constante).

338. Sea p IR[x] tal que p(x) 0 x IR. Demuestre que existen q1, . . . , qm IR[x]tales que p =

mi=1 q

2i .

6.3 Regla de Descartes de los signos

339. Demuestre que L(p) = L(cp) para cualquier c IR { 0 } y cualquier p IR[x] (enparticular, L(p) = L(p)).

340. Demuestre que 0 L gr(p) para cualquier p IR[x].

341. A partir de la Regla de Descartes deduzca toda la informacion posible sobre elnumero de raices positivas, el numero de races negativas y el numero de racescomplejas de cada polinomio:

a. 14t4 + 18t3 + 4t2 16t+ 2b. 3x5 10x3 18x2 9c. 2u6 9u3 + 22u2 + 16u


6.4 Ceros racionales

342. Si n ZZ y p ZZ[x], se dice que n divide a p, y se escribe n | p, si n divide a cadauno de los coeficientes de p, o equivalentemente, si 1np(x) ZZ[x].Sean p, q ZZ[x], de grado 0 o 1, y sea n un entero primo que divide a pq. Demuestreque n | p o bien n | q.

343. Sean p, q ZZ[x], con p de grado 0 o 1, y sea n un entero primo que divide a pq.Demuestre que n | p o bien n | q.

344. Sea n un entero primo tal que n | mi=1(bix + ci). Demuestre que i tal que n |(bix+ ci).

Captulo 7

Sugerencias

1 Conteo

14 (b) Cuente por separado los que terminan en cero y los demas.

15 (a) Note que X es la union disjunta de A y X A.(b) Use induccion.(c) Escriba A B como la union disjunta de A (A B), B (A B) y A B.

16 (b) 10!/2!/3!/2!

18 (c) Hay 13 formas de escoger el valor de la pareja y C4,2 formas de escoger una parejade ese valor. Las otras tres pueden escogerse en 48 44 40 maneras, pero tambien puedenpermutarse en 3! maneras.

21 No haga caso a la advertencia.

25 (a,b,c) Use el Principio de la Multiplicacion. Note que c es un caso particular de b,porque si n = m entonces una funcion es inyectiva si y solo si es biyectiva: Pn,n = n!.

(d) Si n = m + 1, f : A B es sobreyectiva si y solo un elemento de B tiene dospreimagenes y todos los demas tienen una.

26 (a) Cada subconjunto X A puede identificarse con una funcion fX : A { 0, 1 }dada por fX(a) =

{1 si a X0 si a 6 X , y cada funcion f : A { 0, 1 } puede identificarse con el

subconjunto Xf = { a A | f(a) = 1 }. Segun la parte a del ejercicio anterior, cuantasfunciones existen de A en { 0, 1 }?

(c) Cualquier subconjunto de A tiene un numero de elementos k, con 0 k n.Combine los resultados de las partes a y b.

27 Note que (x + y)n = (x + y) (x + y) (x + y) y que al desarrollar ese productoresultara una suma de productos con n factores cada uno. De esos n factores vendra unode cada parentesis (por ejemplo, (x + y)3 contiene entre otros los productos xxx, xyy,yxy, yyy). Entonces cada producto sera de la forma xkynk para algun k = 0, . . . , n, ypuede haber varios factores xkynk (en el ejemplo, x1y2 aparece como xyy, yxy y yyx:tres veces; por que tres?). Cuantas veces aparecera repetido xkynk? Para contestareso, piense en cuantas formas hay de escoger, entre los n parentesis, k factores x y n kfactores y.

28


28 Se trata de escoger seis elementos del conjunto {0,1, . . . ,9} (los dgitos), cuya sumasea 20. Considere el producto

(1 + x+ x2 + + x9)6 = (1 + x+ + x9)(1 + x+ + x9) (1 + x+ + x9)Para desarrollarlo se elige un elemento de cada parentesis, o equivalentemente seis elemen-tos del conjunto {x0, x1, . . . , x9 } y se multiplican entre ellos para luego sumar todas laselecciones posibles. Cual es el coeficiente de x20? Como se relaciona esa pregunta conla pregunta original?

29 (a) Denote las coordenadas de las esquinas de un rectangulo con (x, y) para x, y { 0, . . . , 8 }. Cada rectangulo esta determinado por dos esquinas diagonalmente opuestas.Hay 92 elecciones para la primera esquina y 82 para la segunda (porque las esquinas nopueden tener el mismo x ni el mismo y).

(b) Sume el numero de cuadrados con lado 1, el numero con lado 2, etc, hasta elnumero con lado 8.

2 Teora de numeros

37 Existen x, y ZZ tales que ax+ ny = 1, y entonces b = abx+ bny.38 (b) Demuestre que cualquier divisor comun de a y b tambien divide a ba, y concluyaque mcd(a, b) mcd(a, b a). Use ese resultado con (a, b a) en vez de (a, b).

(d) Use las partes b y c, e induccion.

40 Use el Algoritmo de Euclides.

41 Use el resultado del ejercicio anterior.

42 Use induccion.

45 (b) Use la parte a o el ejercicio anterior.

47 Este es un problema de conteo. Escriba la factorizacion prima de cada uno y use elresultado del Ejercicio 44.

49 Use el resultado del Ejercicio 44 y el Principio de la multiplicacion (Captulo 1).

55 (a) Si d | n y d | n+ 1 entonces d | 1.(b) Use el resultado del ejercicio anterior.

56 Escriba r = a/b con a, b ZZ, mcd(a, b) = 1. Como (a/b)n ZZ, bn | an. Llegue a unacontradiccion.

57 Suponga que n = ab y demuestre que debe ser a = 1 o b = 1. Para eso escriba2n 1 = (2a)b (1)b. Demuestre que esta diferencia es factorizable, pero como es unnumero primo, uno de los factores es 1.

59 (b) ab xy = (a x)b+ x(b y).

30

3 Los numeros complejos

66 Sustituya t = y2.

88 z y w son conjugados si z = w.

92 Para que sea real, su parte imaginaria debe ser cero.

93 Para que sea imaginario puro, su parte real debe ser cero.

118 (y siguientes) Escriba z = a+ bi y w = c+ di.

156 Escriba u = t3.

183 Use la regla de la cadena en zc = ecLn z.

185 Recuerde que eLnw = w.

202 (a) tan(a+ bi) esta indefinido si cos(a+ bi) = 0; encuentre las partes real e imaginariade cos(a+ bi) y muestre que ambas son cero solo si cos a = 0 y b = 0.

(e) Use la definicion, tan = sen / cos, en vez de la formula en la parte b.

4 Grupos

205 El asunto se reduce a demostrar que (a) ex = x x G, y que (b) si xx = e entoncesxx = e. Demuestre primero que si xx = x entonces x = e, despues demuestre (b) y porultimo (a).

Para lo primero, evalue xxx de dos maneras distintas. Para (b), escriba xx = x(xx)xy use el Ejercicio 210.b. Para (a), escriba ex = (xx)x.

209 (a) Considere primero n,m 0 y use induccion sobre m. Considere despues n,m 0,y por ultimo n y m con signos opuestos.

(b) Use induccion sobre n para el caso n > 0, y use inversas para el caso n < 0.

210 (a, b) Multiplique por x1 o por y1 segun convenga.(c) Use la parte a para demostrar que ab no puede ser igual a a ni a b; tiene que ser

igual a 1, y tambien para demostrar que a2 no puede ser igual a 1 ni a a; tiene que serigual a b.

211 Use el Ejercicio 60.f, Captulo 2.

212 Si k = nm con n,m 6= 1 entonces [n][m] = [0].

215 Para orden 3, use el Ejercicio 210.c.

216 Dados x, y G, investigue (yx)2.


217 Por que existen a, b ZZ tales que x = xam+bn?

219 Para , falta probar que 1 S y que x1 S x S. Demuestre que 1 = xm y quex1 = xm1 si m es el orden de x.

227 El caso H = { 1 } es trivial. Suponga que H 6= { 1 } y tome G = a. La idea esdemostrar que H es generado por alguna potencia de a. Para eso, sea N = {n IN | an H }. Pruebe que N 6= , y tome k = minA, para probar que H = ak. La inclusion esfacil de probar. Para , tome an H (por que cualquier elemento de H es de la formaan?), aplique el algoritmo de la division: n = kq + r, y demuestre que ar H por lo quer = 0 y entonces an = (ak)q.

229 Si a = 1, debe ser m = 1. Si no, k IN tal que 1, a, . . . , ak1 son distintos peroak = aj para algun j = 0, 1, . . . , k 1. Demuestre que ak = a0 y luego que k = m.

230 es facil. Para , use el algoritmo de la division.

232 Si xH = yH, entonces y = y1 yH = xH implica que y = xh para algun h H.Despeje h. Recprocamente, si x1y H, (a) escriba yh = x[(x1y)h] para concluir queyH xH, y (b) note que (x1y)1 = y1x.

235 Defina una funcion p : D I por p(Hx) = x1H. Demuestre que esta bien definida(que si Hx = Hy entonces p(Hx) = p(Hy)) y que es una biyeccion.

237 Use los Ejercicios 236 y 226.

239 Demuestre que solo hay dos clases laterales derechas y dos izquierdas, y use la parteba del Ejercicio 238.

243 Use induccion para n > 0, pero no olvide el caso n < 0.

246 Demuestre que h(x) = f(x)g(x)1 es un homomorfismo, y use el Ejercicio 244.

250 Para , calcule f((ab)1) de dos maneras distintas.

254 Para , si G = a y H = x tienen orden n, demuestre que f : G H dada porf(ak) = xk k = 0, 1, . . . , n 1 esta bien definida y es un homomorfismo (que este biendefinida significa que si aj = ak entonces f(aj) = f(ak) aunque j 6= k).

255 Use el ejercicio anterior y el 236.

256 Para k = 2 y k = 3, use los Ejercicios 236 y 254.

257 Considere V = { 1, a, b, c } con a2 = b2 = c2 = 1 y ab = c (este se llama el Grupo 4).

32

259 Primero pruebe que f(x) = f(x). Luego pruebe por induccion que f(nx) = nf(x)n IN, y concluya que f(kx) = kf(x) k ZZ.

Ahora pruebe que f( 1kx) =1kf(x) k ZZ{ 0 } y concluya que f(rx) = rf(x) r IQ.

Finalmente, concluya por continuidad que f(x) = f(x) IR.260 Adapte las sugerencias del ejercicio anterior.

261 Para lo segundo, compare los resultados de los Ejercicios 177 y siguiente.

262 Use el Teorema Fundamental de la Aritmetica.

5 Anillos y campos

277 (a) Escriba 0 = 0 + 0. (b) Escriba 0 = x+ (x).279 Defina c(n) inductivamente.

280 (a) Los neutros son para y A para .281 (b) Calcule (x+ y)2.

285 Esto es difcil. En vez de tratar de demostrarlo, busque y estudie su demostracion enalgun libro.

286 Use el algoritmo de la division (ejercicio anterior), demuestre que r es constante ycalcule r(c).

287 Use el Teorema del Residuo (ejercicio anterior).

292 Busque algun cero de cada polinomio y use el Teorema del Factor.

299 Esto es muy facil. Si usted busca una sugerencia, es porque se esta complicando masde lo necesario (o no ha estudiado bien la teora).

300 : Existen k, j ZZ, 1 k < n, tales que ak = nj. Si fuera mcd(a, n) = 1, tambienexistirian x, y ZZ tales que axk + nyk = k, pero entonces k sera multiplo de n.: Si d = mcd(a, n) > 1 entonces a = dj y n = dk (j, k ZZ), y de aqu que ak = 0

en ZZn.

301 es facil porque R R[x]. Para , al desarrollar (ni=1 aixi)(mj=1 bjxj), consi-dere el coeficiente principal, anbm.

307 Use el ejercicio anterior.

309 Suponga que J es un ideal que contiene propiamente a I. Entonces h J I:h(c) 6= 0. Defina f(x) = 1 h(x)/h(c) para x 6= c, y f(c) = 0. Demuestre que f J yescriba la funcion constante 1 como una combinacion de f y h. Concluya que 1 J y useel Ejercicio 306.


310 Si I es un ideal, tome n como el menor elemento positivo, si existe. Es facil ver quenZZ I. Recprocamente, si k I, escriba k = nq + r, demuestre que r I y concluyaque r = 0.

No olvide el caso en que I no tiene un menor elemento positivo.

312 Defina h : R/ ker(f) f(R) por h([x]) = f(x). Demuestre que h esta bien definido,que es un homomorfismo y que es biyectivo.

315 Use los Ejercicios 275 y 310.

316 (d) Recuerde que todo campo es un dominio entero, y use la parte c.

320 Si F [x] es un campo, entonces p(x) = x tiene un inverso, digamos q = p1. Que esp(0)q(0)?

321 (c) Para , si p se factoriza al menos uno de los factores debe ser lineal (por elEjercicio 302), y se aplica la parte b de este ejercicio. es por el Teorema del Factor.

323 En cada caso, empiece por elevar el numero al cuadrado y vea que operaciones adi-cionales son suficientes para que el resultado sea cero.

325 Existe un polinomio p IQ[x] tal que p(a) = 0. Considere tambien q(x) = xn.

6 Polinomios

326 Use el Teorema del factor.

328 Use el Teorema de los ceros conjugados.

332 Use las formulas de Vieta.

333 Use las formulas de Vieta y calcule el cuadrado de la suma de los ceros.

334 Use la formula cuadratica (general) y note que b2 4ac debe ser un entero cuadradoperfecto, k2. Observe que 2ac = (b2 k2)/2 y concluya que las dos soluciones son enteroscuadrados perfectos.

335 (c) El teorema de las cotas supone que an > 0. Los ceros de p son los mismos de p.

336 Use la definicion de derivada de p en c. Note que [p(x)p(c)]/(xc) es un polinomioque puede ser o no divisible por c dependiendo de si c es un cero simple o doble.

337 Use el ejercicio anterior.

34

338 Demuestre que el grado de p es par (Ejercicio 328). El coeficiente principal y elcoeficiente constante de p deben ser positivos. Use induccion sobre el grado de p: demuestrepara n = 2 (completando cuadrados); luego suponga para n = 2(k 1) y demuestre paran = 2k.

Para el paso inductivo, sea = p() el mnimo absoluto de p (por que existe, y porque es 0?). Entonces es un cero de p(x) , y por el ejercicio anterior, (x )2divide a p(x) ; el cociente debe ser un polinomio de grado 2(k 1).

342 Escriba p(x) = ax + b y q(x) = cx + d, y desarrolle el producto p(x)q(x). Note quen | ac, as que n | a o n | c. Analice los otros coeficientes de pq y concluya que n | a yn | b, o bien n | c y n | d.

343 Escriba p(x) = a1x+ a0 y q(x) =m

i=0 bixi. Si n | bi i entonces n | q. Si no, existe

un k { 0, 1, . . . ,m } tal que b | bi i k pero n - bk. Demuestre que entonces n | a0 yn | a1.

344 Use induccion y los dos ejercicios anteriores.

Captulo 8

Soluciones

1 Conteo

1 (a) 176. (b) 90. (c) 24.

2 (a) 160. (b) 100. (c) 500.

3 (a) 22. (b) 32. (c) 28.

4 5%

5 30

6 16

7 18

8 10 000

9 (a) 60. (b) 125.

10 20

11 88 452 000

12 840

13 (a) 600. (b) 240. (c) 360. (d) 300.

14 (a) 90. (b) 2296. (c) 2000.

16 (a) 45 360. (b) 151 200.

17 174 356 582 400

18 (a) 2 598 960. (b) 778 320. (c) 1 098 240.

19 45

20 (a) 462. (b) 210.

21 (a) 84. (b) 126.

22 2 467 400

23 2106

24 186

25 (a) mn. (b) Pm,n. (c) n!.(d) (n 1)n!/2

26 (a) 2n. (b) Cn,k.

28 2997

29 (a) 1296. (b) 204.

30 (a) n2(n+ 1)2/4. (b) n(n+1)(2n+1)/6.

35

36

2 Teora de numeros

34 Que |m| = |n|46 (a) Puede ser 25 23 ZZ, donde3 6 0.(b) Puede ser 23 24 = 21 26, donde 3 6= 1y 4 6= 6.47 (a) 15. (b) 20. (c) 60.

55 (a) 1. (b) n(n+ 1).

60 (d) Puede ser m = 6, a = 2, b = 3.

61 [1]1 = [1], [3]1 = [7], [7]1 = [3],[9]1 = [9], [11]1 = [11], [13]1 = [17],[17]1 = [13], [19]1 = [19].Los demas no tienen.

62 [1]1 = [1], [2]1 = [7], [3]1 = [9],[4]1 = [10], [5]1 = [8], [6]1 = [11],[7]1 = [2], [8]1 = [5], [9]1 = [3],[10]1 = [14], [11]1 = [6].

3 Los numeros complejos

63 z = 1/2 3i/264 x = 1/2 i/265 z = 3, z = i366 y = 1/2, y = 2i67 2(2z + 3i)(2z 3i)68 (x+ i

10)(x i10)

69 (y

3 + i

5)(y

3 i5)(y3 +5)(y

35)70 3(t+ 2i)(t 2i)71 a = 3, b = 2

72 a = 1, b = 273 5 + 10i

74 1 2i275 1 + 2i76 1/277 7/5 + i/578 2 + 3i

79 0

80 z = 1 i/2, w = 1/281 z = 9/13 19i/13,w = 15/13 + 29i/1382 z = 99/37 113i/37,w = 32/37 30i/3783 z = 3 i, w = 1 + 5i84 x = 7/3, y = 25/285 x = 25/7, y = 2/7

86 x = 1, y = 087 x = 4, y = 3

88 x = 1, y = 489 1/10 + 3i

3/10

90 1/5 2i/591 Im z = 0

92 y = 3x/293 x = 4 w = 17i,o x = 1 w = 8i


99 2(x i3)(x+ i3)(x 1/2)

100 (t 1)(t 1 + 3i)(t 1 3i)

101 2(z 1/2)(z 2 + i)(z 2 i)

102 (y + 2)(y 1)(y (1 + i3)/2)(y (1 i3)/2)

103 (z + i

7)2(z i7)2

104 6w(w 1/3)(w + 1 + i2/2)(w + 1 i2/2)

105 3(r + 2/3)(r 1/2)(r 1 + 2i)(r 1 2i)

106 10t(t 1/2)(t 1)(t 3 + i)(t 3 i)

107 5(w + 6/5)(w + 1/2)(w 3 + i)(w 3 i)

108 x(x+ 3i)(x 3i)(x 2 + i)(x 2 i)

109 1, 1/4 i7/4

110 3, i

111 3/2, 1 i

112 1/25/2, 1 i

113 1 i, 1/2 i3/2

114 3 i, 1/2 i/2

115 2, 3, i2

116 i, i3

117 a > 0 y b = 0

122 310/2 3i30/2

123 1

124 12

125 i3

126 2/2 + (5 +2/2)i

127 No hay solucion

128 4 2i129 23/3 i130 1 i3131 3/2 i19/2132 3 i133 1/2 i3/2134 1/2 i3/2135 k + 2ki3136 243/2 243i3/2137 1.68108 + 0.147075i

138 2100

139 8 + 8i3140 1/2 + i

3/2

141 55380 47817i

38

142 i/4

143 224 + 224i3

144 i

145 (6/2 + i2/2)

146 (1/2 + i3/2)

147 1.58740 + 1.58740i,2.16843 + 0.581029i, 0.581029 2.16843i

148 1.49167 0.542923i,0.275649 + 1.56328i, 1.21602 1.02036i

149 (0.923880 + 0.382683i),(0.382683 0.923880i)

150 (1.17903 + 0.155223i),(0.155223 1.17903i)

151 (3 + i), (1 i3)

152 2/2 i2/2

153 0.965156 + 0.809862i,1.18394 + 0.430918i, 0.218783 1.24078i

154 2, 2i

155 2, 0.618034 1.90211i,1.618034 1.17557i

156 2, 1 i3

157 i

158 1 + i

159 2 cosx

160 3

161 0.769239 + 0.638961i

162 8.35853 18.2637i

167 4.82900 + 124.909i

168 0.831900 + 1.94444i

169 0.769239 0.638961i

170 az ln a

171 ipi/2

172 (ln 12)/2 ipi/3

173 ln 3 + ipi

174 5 + (10 4pi)i

175 2305.69 109448.0i

176 0.309744 0.857658i

177 5ipi/6

178 7ipi/6

179 3ipi/4

180 5ipi/4

181 2ipi/3

182 4ipi/3

186 1.24937i

187 3.72455 0.511823i

188 0.917152i

189 pi i ln(2 +3)

190 pi, por supuesto

191 pi/2 i ln(1 +2)

192 pi/2 i ln(3 + 22)

193 0.666239 1.06128i

202 (a) IC{ z = a+ bi | cos a = 0 y b = 0 }

JuanPCResaltado


4 Grupos

203 El conjunto puede denotarseG = { 1, a }; el unico producto no trivial enla tabla es a a = 1.204 (a) S.(b) No (cumple casi todas las propiedadesexcepto la existencia de inversos).(c) No (no existe el neutro).(d) No (falla la asociatividad).(e) S.(f) No (falla la asociatividad).

211 S.

212 Puede ser k = 6: en ZZ6,[2][3] = [0] / ZZ6 { 0 }.

214 (b)(

3 24 3

)220 Puede ser IN.

228 (a) Puede ser 2 ZZ4.(b) Puede ser (IR,+).

234 Son las clases de congruenciamodulo 5.

240 C(P ) = { 1 }

241 (b) N(a) = a y N(c) = P .

5 Anillos y campos

269 S: en R = { 0 }, 1 = 0 y 01 = 0.272 (b) G ={ 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41 }280 (b) S. (c) c(2) = , c(3) = A.284 (a) Los polinomios constantes 0 y 1,respectivamente.

289 Cuatro: 1, 3, 5 y 7.

290 Puede ser p(x) = 2x, q(x) = 4x.

291 Cociente 4x2 + 3x+ 3, residuo x 1.292 (a) (x 1)(x 2)(2x+ 3) o(x 1)2(2x+ 1).(b) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)293 (a) No. (b) No. (c) No (ni siquiera esun anillo).

295 (b) Pueden ser ( 0 00 1 ) y 7.

304 (b) No (por ejemplo, 1 ZZ, i G,pero 1i / ZZ).

319 Puede ser R = IR: p(x) = x no tieneinverso en IR[x].

320 S, F = { 0 } es el unico.

321 (a) Puede ser (x2 + 1)2 en IR[x].(d) Puede ser: (b) 2x+ 1 en ZZ;(c) (2x+ 1)2 en ZZ.

322 Puede ser x3 + x+ 1.

323 Puede ser: (a) x2 3.(b) x2 8x+ 13. (c) x4 10x2 + 1.

JuanPCResaltado

40

6 Polinomios

327 215 (x+ 5/7)(x 5/3)(x2 4x+ 5)

330 (a) x4 8x3 + 22x2 20x.(b) x610x5+35x458x3+66x248x+32.(c) x4 6x3 + 9x2 + 6x 20.

331 (3x 2)2(x2 4x+ 1)

332 (a) x = 6, x = 1/2, x = 1/2.(b) u = 1/2, u = 3/4, u = 3, u = 3.(c) x = 3/2, x = 4/3, x = 1 +

2,

x = 12.

333 a2 2b

335 (a) 2 y 1. (b) 4 y 8. (c) 2 y 4.(d) 3 y 2.

341 (a) Hasta tres positivas y hasta unanegativa (no hay informacion sobre lascomplejas).(b) Hasta una positiva, hasta dos negativasy al menos dos complejas.(c) Hasta una positiva, hasta dos negativas,dos o cuatro complejas, y cero.

Ejercicios de Álgebra - Luis Acuña

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