Ejercicios de cálculo integral - Respuesta 37

Para el denominador del integrando podemos hacer:

Y dentro del paréntesis nos queda una ecuación bicuadrática que podemos resolver por cambio de variable, y = x²; de ese modo:

Y la integral nos queda:

Expresión a la que podemos aplicarle el método de Hermite, es decir:

Y derivando

Quitando denominadores e identificando coeficientes, obtenemos:

Y sustituyendo en la expresión integral:

Ejercicios de cálculo integral - Respuesta 38

Tenemos una integral irracional pero que vamos a tratar de expresar en la forma:

Que es una integral inmediata cuya solución viene dada por:

De ese modo:

Igualando coeficientes obtenemos:

Y la integral original nos dará:

Ejercicios de cálculo integral - Respuesta 39

En este caso, la teoría nos sugiere un cambio de variable dado por:

Con lo cual, elevando al cuadrado y operando:

Y a partir de ahí:

Por lo que, sustituyendo en la integral inicial y operando nos queda:

Que es una integral racional que podemos resolver descomponiendo el integrando en fracciones simples:

Las dos integrales resultantes son inmediatas y nos dan:

Por lo que deshaciendo el cambio de variable:

Ejercicios de cálculo integral - Respuesta 40

De acuerdo a lo que sabemos por teoría, hacemos un cambio de variable de la forma:

Siendo µ el m.c.m de los denominadores de los exponentes a los que están elevados los distintos términos de la expresión a integrar en una integral del tipo:

En este caso tenemos:

Y sustituyendo en la integral:

Con lo que hemos llegado a una expresión formada por integrales inmediatas:

Ejercicios de cálculo integral - Respuesta 36

Vemos que el denominador es un polinomio que tiene raíces imaginarias múltiples, por lo que podemos aplicar el método de Hermite para su resolución.

Sabemos que la fórmula de Hermite nos da:

Donde P(x) es un polinomio en x, de grado inferior a Q(x), que también es un polinomio en x, en este caso con raíces múltiples imaginarias. R(x) es un

polinomio en x de un grado inferior a S(x). S(x) es un polinomio en x, que posee todas las raíces de Q(x) pero con un grado de multiplicidad disminuido en una

unidad. W(x) es un polinomio en x obtenido al efectuar el cociente Q(x)/S(x). finalmente, V(x) es otro polinomio en x de un grado inferior a W(x).

Con todo lo anterior, tenemos:

Y a partir de ahí:

Con lo que, derivando:

Y quitando denominadores:

Por identificación de los coeficientes de los dos miembros de la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones que tiene como solución:

Y pasando estos valores a la ecuación integral:

Nos queda entonces resolver la integral del segundo sumando del miembro de la derecha, pero en este caso tenemos que el denominador es un polinomio

con raíces simples.

Al que podemos aplicarle el método de descomposición en fracciones simples.

Quitando denominadores e identificando coeficientes se obtienen los valores de A, B y C. Operando resulta:

Y, de ese modo: