EJERCICIOS DE CUANTICA

7/30/2019 EJERCICIOS DE CUANTICA

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1. La ley de desplazamiento de Wien se expresa:

max T = constante

donde max corresponde al maximo en el espectro de emision del cuerpo negro a la temperatura T.

a) Demuestre matematicamente que la distribucion de Wien, ideada para ajustar el espectro del cuerponegro a una temperatura dada:

() =4b

3exp(

ac

T), a, b constantes

tiene un maximo que satisface la ley de desplazamiento de Wien.

b) Averigue si la distribucion de Planck:

() =8hc

5exp( hc

kT)

1 exp( hckT

)

tambien satisface la ley de desplazamiento de Wien en el rango [100 nm, 1000 nm]. Puede ayudarse de

tecnicas de aproximacion, analisis numerico o grafico para responder a esta pregunta.

b) Resuelva las ecuaciones clasicas de movimiento (en cualquiera de las formulaciones) y analice el compor-tamiento de este sistema en comparacion con el rotor rgido cuantico.

a) Construya las funciones lagrangiana y hamiltoniana clasicas, explicando paso a paso los procedimientos(cual es el sistema de coordenadas apropiado?).

)a

separadas por una distancia cons-tante r

2,m12. Considere un rotor rgido clasico (sistema de dos masas puntuales m


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3. Considere el estado sup de un oscilador armonico cuantico unidimensional, construido mediante una super-posicion de los estados estacionarios basal n=0 y primer excitado n=1 del sistema (combinados en igualproporcion):

sup =

12

n=0 +

12

n=1 .

Responda a las siguientes preguntas:

a) Escriba la formula explcita para la funcion de onda dependiente del tiempo correspondiente al estadosup. Calcule y grafique la densidad de probabilidad para la posicion en el estado sup (como instantaneasa diferentes instantes de tiempo).

b) Calcule el valor esperado o promedio de la posicion en el estado superpuesto como funcion dependientedel tiempo.

c) Calcule la incertidumbre de la posicion 1 en el estado sup como funcion del tiempo. Combine estainformacion con las graficas obtenidas en el numeral 3a) y el promedio determinado en 3b) y analice elcomportamiento de la posicion

4. Para el mismo estado sup del ejercicio anterior:

a) Calcule el valor esperado o promedio de la energa del estado sup y su incertidumbre en funcion deltiempo. Analice como seran los resultados experimentales de medidas de la energa (individuales y enun conjunto estadstico) en el estado sup.

b) Calcule el valor esperado o promedio del momento y su incertidumbre en el estado superpuesto comofuncion dependiente del tiempo. Discuta el contenido fsico de los resultados.

5. La ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo para un oscilador arm onico isotropico tridimensional(potencial elastico V = k(x2 + y2 + z2)/2) se puede resolver exactamente por separacion de variables envarios sistemas de coordenadas. La forma cartesiana de dicha ecuacion es separable, como tambien lo son lastransformadas en coordenadas esfericas y cilndricas .

a) Plantee el hamiltoniano del sistema tridimensional en coordenadas cartesianas y solucione la ecuacion devalores propios (ayudese usando las soluciones encontradas previamente para el oscilador unidimensional).

b) Plantee el hamiltoniano en coordenadas polares esfericas y en coordenadas cilndricas. Haga-solamente- la separacion de variables (en forma detallada) en cada uno de esos sistemas de coordenadas.

c) Calcule el grado de degeneracion de los niveles de energa del oscilador tridimensional y analice sucomportamiento de acuerdo con la simetra del sistema.

6. Aplique el metodo lineal variacional al problema de la partcula en una ca ja unidimensional para (i) estimar laenerga de los estados estacionarios basal y excitados, (ii) verificar el teorema de Mac Donalds, (iii) evaluarcomparativamente la calidad de la aproximacion teniendo en cuenta el error absoluto en el calculo de laenerga y el grado de coincidencia entre las funciones aproximada y exacta en los diferentes estados. Haga suscalculos bajo las siguientes suposiciones:

a) Aproximacion mediante combinacion de las dos funciones base siguientes: 1 = x(L

x), 2 = x2(L

x).b) Aproximacion mediante combinacion de las dos funciones base siguientes: 1 = x(Lx), 2 = x

2(Lx)2.

c) Aproximacion mediante combinacion de las dos funciones base siguientes: 1 = x(L x), 2 = x(L x)(L/2 x).

1La incertidumbre O de un observable O, en un estado se calcula mediante la siguiente f ormula para la desviacion con respecto

al prom edio de un conjunto estadstico de medidas: O =

< O2 > < O >2

.

2

.3(L x)3= x3

,

2(Lx)2= x2= x(Lx), 1d) Aproximacion mediante combinacion de las tres funciones base siguientes:
http://-/?-


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DE FISICOQUIMICA AVANZADA

CARLOS MENDOZA

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

MEDELLIN-ANTIOQUIA

2012


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SOLUCION

1.

a)

Para demostrar matemticamente que la distribucin de Wien cumple su misma ley de

desplazamiento (maxT=constante), lo primero que hay que hacer es derivar luego igualar a cero

para hallar el o los puntos crticos y por ltimo se calcula la segunda derivada para remplazar el o

los puntos crticos y as evaluar si es un mximo (0)

1er paso: Calcular la primera derivada

Distribucin de Wien

{ = & /a,b constante c velocidad de la luz

T temperatura absoluta longitud de onda emitida

Para hacer la derivada ms fcil vamos a tomar logaritmo natural a ambos lados

HJ{ = HJ4I% /FHJ{ = HJ4I%F+HJ{/

HJ{ = HJ4I%F Ahora empezamos a derivar 1{ { = 14I%12I& + $

1{ { = 3 + $

{ = { 3 + $F{ = 4I% / 3 + $F{ = 4I& / 3+


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2do

paso: igualar a cero y hallar los puntos crticos

0 =4I&

/

3+

En un producto, alguno de los factores puede ser cero

0 = & v 0 = / v 0 = 3 + & no es cero en un valor exacto de , solo si tiende a infinito

lim4I& = 0

De igual forma

/ no es cero para un valor exacto de , solo si tiende a infinito

/ tiende a cero lim / = 0

Estas dos expresiones indican que la emisin tiende a disminuir cuando la longitud de onda

aumenta tendiendo a cero en el infinito, esto est en acuerdo con la distribucin observada para el

problema del cuerpo negro.

Sin embargo la tercera parte si tiene solucin exacta

0 = 3 +

= 3 = 3

3er paso: calcular la segunda derivada y remplazar el valor de obtenido anteriormente (


6/93

1{${$ = 14I%

12I& + $ + 13 + $1

{${$ =

4 +

$

3$

${$ = { 4 + $ 3$F${$ = 4I& / 3+ 4 + $ 3$F${$ = 4I' 3+ 4+ 3

${$ = 4I' 8 + {${$ + 12Remplacemos = /3 = /3

${/3$ = 4I{/3' /%|83 + {$

3 $ +12${/3

$ = 4I

{/3' {24+9+12

${/3$ = 4{3'I{' %{3${/3$ = 2916'I{'% ${/3$ < 0 = /3 es asi el mximo de esmision a la temperatuta T, cumplindose asi la ley de Wien (a y c

son constantes)

= 3 {constanteb)

{ = 8' /1 /


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h= 6.62606896(33) 10-34J.s (constante de Planck)

k= 1.380650410-23J/K (constante de Boltzmann)

c=3108m/s (velocidad de la luz)

Procedemos de igual forma que el ejemplo anterior, pero antes para disminuir la escrituradefinamos = 8hc =hc/k

{ = ' /1 /1

erpaso: Calcular la primera derivada

HJ{ = HJ|'

1

HJ{ = HJ 'HJ /1 /HJ{ = HJ '+HJ/ HJ1 /HJ{ = HJ ' + HJ1 /1

{{

= 1'5 +

$

11

/ / $

F

{ = {|5 + $1 + /1 /{ = ' /1 /|5 + $ 1 / + /1 /

{ =

/1 / 5+

11 /F

2do

paso: igualar a cero y hallar los puntos crticos

0 = /1 / 5+ 11 /F0 = v 0= /#/ 0=5+ ##/


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Al igual que antes la primera y segunda parte no tienen solucin y solo cuando tiende al infinito es

cuando las funciones se aproximan a cero.

= "(no existe)0{1/ = / HJ0 = (no existe)lim

= 0lim / = 0

La tercera expresin si tiene solucin pero no se puede despejar analticamente por que los trminos

de no se pueden agrupar, debido que una hace parte de un producto y otra del exponente.

0 = 5 +

11 /F

0 = 51 / + {1 / 0 1 / = 51 / +

0 = 51 / + Definimos a {

{ = 51 /

+

Para encontrar el valor de en el cual { da cero, hacemos uso del mtodo grafico. (ANEXO1)Primero graficamos la funcin de distribucin de Planck e inmediatamente queda demostrado que el

punto crtico en este intervalo tiene que ser un mximo ya que esta funcin tiene un mximo en el

rango que lo vamos analizar (100nm-1000nm) y tiende a emitir poco a longitudes de ondas

mayores (eso explicara las dos expresiones anteriores que dan cero cuando la longitud tiende a

infinito)

En Excel trabajamos con las temperaturas 900, 1000 y 1100 K para asegurar que el clculo no vara

al cambiar esta variable. El comando usado fue el siguiente, para la primera temperatura:

=(8*PI()*$C$3*$C$4/POTENCIA(F3,5))*EXP((-$C$3*$C$4/(F3*$C$5*$C$8)))*(1/(1-EXP((-

$C$3*$C$4/(F3*$C$5*$C$8)))))

Las constantes utilizadas son:

Constantes Unidades

h 6.62E-34 J.s T1 9000 K


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c 3.00E+08 m/s T2 10000 K

k 1.38E-23 J/K T3 11000 K

1.44E-02 mK

La grafica presenta la tpica distribucin para el cuerpo negro, con un mximo de emisin (para un

denominado ) que se desplaza a longitudes de onda corta a medida que se aumenta latemperatura y que deja de emitir radiacin con longitudes de onda muy larga.

Luego procedemos a graficar las funciones {vs para las tres temperaturas.Se observa que la raz

de la funcin

{es siempre la misma sin importar a que temperatura

se haga el grafico y es aproximadamente igual a 0.0285mK (promedio de las tres funciones endonde cambia de signo positivo a negativo en las celdas de la hoja de clculo)

Por lo que:

maxT 0.00285mKCon esto se demuestra que la distribucin de Planck cumple la ley emprica de Wien

0.00E+00

5.00E+06

1.00E+07

1.50E+07

2.00E+07

2.50E+07

3.00E+07

0.E+00 2.E-07 4.E-07 6.E-07 8.E-07 1.E-06 1.E-06

(,T

)

(m)

(,T1)

(,T2)

(,T3)


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-2.50E-02

-2.00E-02

-1.50E-02

-1.00E-02

-5.00E-03

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

F(T)(mK)

T(mK)

F( T1)

-3.00E-02

-2.50E-02

-2.00E-02

-1.50E-02

-1.00E-02

-5.00E-03

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

-2.26E-17 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

F(T)(mK)

T(mK)

F( T2)

-3.00E-02

-2.50E-02

-2.00E-02

-1.50E-02

-1.00E-02

-5.00E-03

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

-2.26E-17 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

F(T)(m

K)

T(mK

F( T3)


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2.

Forma Lagrangiana

L=T-V

En el problema del rotor rgido no hay energa potencial de ningn estilo (se supone que la masa delas partculas es pequea porque de lo contrario sera necesario tener en cuenta la energa de

atraccin gravitacional)

La energa cintica de un sistema constituido por dos masas mA y mB cuyas

coordenadas son xA, yA, zA y xB , yB , zB , respectivamente, es

T = mA(xA + yA + zA)+ mB (xB + yB + zB)

El conjunto de coordenadas {xA, yA, zA, xB , yB , zB } se puede transformar en un

conjunto equivalente {X , Y , Z , x, y, z} donde las tres primeras coordenadas son las del

centro de masa y las tres ltimas uson coordenadas relativas que caracterizan la posicin deuno de los cuerpos con respecto al otro

X =mAxA+ mB xB

mA + mB

Y =mAyA + mB yBmA + mB

Z =mAzA + mB zBmA + mB

Las coordenadas relativas son

x = xA xB

y = yA yB

z = zA zB

Las relaciones inversas que dan xA y xB en funcin de X y de x son:

=

+ + I

=

+ + I

y anlogamente para yA, zA, yB y zB . Substituyendo en la y agrupando los

trminos, la energacintica es:

T= 1/2( + {(I 2+ 2+ 2) +1/2 ( 2 + 2 +2)


12/93

Donde es la masa reducida, definida como:

=

En el rotor rgido el centro de masa esta fijo en el espacio de modo que I , y

Son cero. Entonces

T= 1/2 ( 2 + 2 +2)

3.

Para construir el estado superpuesto primero hay que consultar como es la funcin para el estado

basal y primer excitado del oscilador armnico (ver Hanna pagina 94)

sup = 120+121

n = nn(x)/$ n = #$!

0 = 00(x)/$ 0 = 12" 0! 1/$

0 = /$ 1

= 12# 1!

2/$

1 = 12 2/$

n H() H(x) si =x0 1 1

1 2 2x2 42-2 4x2-2


13/93

1 = 2 /$Entonces el estado superpuesto es:

sup = 12 /$ +122 /$a)

Para escribir la forma dependiente del tiempo para el estado superpuesto hay que multiplicar a 0 y1 la siguiente expresin / en donde J = J + #$ para n=0 (estado basal) y n=1(primer estado excitado)

sup = 12 "/ /$ +122 #//$sup = 12| "//$ +2 #//$

Vamos a dejar indicado0 y1 en la parte dependiente de x para simplificar el clculo

{, = sup

$ =sup

*

sup

{, = #$ 0"/ + 1#/*#$ 0"/ + 1#/{, = 12 0"/ +1#/ 12 0"/ +1#/

{, =#$ {02"/ "/ + 12#/ #/ + 01"/#/ + 1#/ 0"/){, = #$ {02"+12"+01/ +10/) sea = 1 0{, = #$ {02+12+01{/ +/))Utilicemos la ecuacin de Euler = + J para simplificar{, = #$ {02+12+01{ J + +J


14/93

{, = #$ {02+12+01{2 {, = #$ {02+12+201 Remplazamos ahora lo que es 0 y1

{, = #$ {02+12+201 {, = #$ [ 2+{2 2+2 2 ]{, = #$ [ + 2 2 +2$ ]

{, = #$

[ 1+22

+22{ ]

Definamos = 1 0 =1+ #$ 0 + #$ = 1 0 = {, = #$ [ 1+22+22{ ] sabemos que = ${, = #$ [ 1+22+22{ ]{, = #$ [ 1+22+222]Para graficar la densidad de probabilidad hacemos uso de Excel, pero antes, para no tener

problemas con las unidades adimensionaremos.

= [X] = [] = (Kgs-1/J.s)1/2m = (Kgs-1/(Kgm2/s2).s)1/2 m = (1/m2) 1/2 m = 1 (=2m/)

=

[T] = [] = s-1s = 1 {, = {, /[{, ] = [{, /] = m-1/(1/m2) 1/2 = m-1/ m-1 = 1La funcin a graficar seria entonces


15/93

{, = #$# [ 1+2{2+222]Esta funcin no requiere saber el valor de ni de la frecuencia natural y lo importante es que dael comportamiento general de la funcin

{,

En EXCEL le dimos valores desde -5 hasta 5 para X,ndistintos valores de T desde 0 hasta 1 cada

0.25.(ANEXO 2)

El comando que utilizamos fue el siguiente:

=(EXP(-(A2^2))*(1+2*A2^2+2 *(2^(1/2))*A2*COS(2*3.141592654*0)))/(2*(3.141592654)^(1/2))

X (X,0) (X,0.25) (X,0.5) (X,0.75) (X,1)

-5 1.444E-10 1.99804E-10 2.5521E-10 1.998E-10 1.444E-10

-4 6.8844E-07 1.0476E-06 1.4068E-06 1.0476E-06 6.8844E-07

-3 0.00036605 0.000661452 0.00095685 0.00066145 0.00036605

-2 0.01727319 0.046500717 0.07572825 0.04650072 0.01727319

-1 0.0178053 0.311330623 0.60485595 0.31133062 0.0178053

0 0.28209479 0.282094792 0.28209479 0.28209479 0.28209479

1 0.60485595 0.311330623 0.0178053 0.31133062 0.60485595

2 0.07572825 0.046500717 0.01727319 0.04650072 0.07572825

3 0.00095685 0.000661452 0.00036605 0.00066145 0.00095685

4 1.4068E-06 1.0476E-06 6.8844E-07 1.0476E-06 1.4068E-06

5 2.5521E-10 1.99804E-10 1.444E-10 1.998E-10 2.5521E-10

Las graficas obtenidas son:


16/93

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-6 -4 -2 0 2 4 6

(X,0)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-6 -4 -2 0 2 4 6

(X,0.25)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-6 -4 -2 0 2 4 6

(X,0.5)


17/93

Tambin se puede utilizar Wolfram Alpha para mirar en las tres dimensiones, la evolucin de la

densidad de probabilidad con respecto al tiempo

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-6 -4 -2 0 2 4 6

(X,0.75)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-6 -4 -2 0 2 4 6

(X,1)


18/93


19/93

Se pueden sacar varias conclusiones de este grafico:

1. El estado superpuesto analizado no es un estado estacionario ya que la densidad de

probabilidad cambia con el tiempo

2. La probabilidad de encontrar a la partcula en este estado superpuesto se va hacia los

extremos del oscilador

3. Cada n , donde n es un numero entero, la partcula cumple un ciclo de oscilacin4. El valor esperado de la partcula estar oscilando entre1 y -1 pasando antes por 0Nota: coloco entre comillas porque en realidad el termino oscilacin no sera preciso ya que

sopondria una posicin exacta.

b)

< >=< sup sup >=< 120"/ +121#/120" +121# >< >= 12 < 0"/ +1#/0" +1# >< >= 12 {< 0" 0" +< 1# 1# > +< 0" 1# > +

< 1

#

0

"

>

< >= 12 {" < 0 " 0 > +# < 1 # 1 > +" < 0 # 1> +# < 1 " 0 >< >= 12 {" " < 00 > +# # < 11 > +" # < 01> +# " < 10 >

< >=12 {1 <

0

0

> +1 < 1

1

> +{#"

< 0

1

> +{#"

< 1

0

>< >= 12 {< 00 > +< 11 > + < 01 > + < 10 >Sea =< 00 > b=< 11 > =< 01 > =< 10 >Entonces < >= #$ { + I + +


20/93

a = 0 0a

= {

/$

{

/$

a = { /$ { /$a = { /$$a =

a = a = 0a = 0b = 1 1b = { 2% /${2% /$b = {2% /$ {2% /$

b = { 2% /$$b = 2%%


21/93

b = 2% % b

= 2%

0

b = 0c = 0 1c = { /${2% /$c = { /${2% /$c = 2 $

c = 212%

c = 122c = 1 0d

= {

2%

/$

{

/$

d = { 2% /${ /$


22/93

d = { 2% /${ /$d = 2 $ d = 2 12%d = 122

< >= 12 { + I + + < >= 12 { 0+0+ 122 + 122 < >= 142 { +

< >= 142 { J + +J

< >= 142 {2 < >= #$$ = < >= #$$ = $< >= 122 2Para graficar adimensionalizamos

Sea < >= < > y =


23/93

Esta grafica esta en acuerdo con la de densidad de probabilidad, como se observa el valor esperado

de la partcula oscila entre 0.7071 y -0.7071 (esto sera la amplitud y no tienen unidades)

c)

= < $ > < >$

< $

>=< sup|

$|

sup

>=< #$

0

"/

+ #$

1

#/

$

#$

0

+#$

1

>

< $ >= 12 < 0"/ +1#/ $0" +1# >< $ >= 12 {< 0" $0" +< 1# $1# > +< 0" $1# > +< 1# $0" >< $ >= 12 {" < 0 " $0 > +# < 1 # $1 > +" < 0 # $1

> +# <

1

" $

0

>

< $ >= 12 {" " < 0 $0 > +# # < 1 $1 > +" # < 0 $1> +# " < 1 $0 >< $ >= 12 {1 < 0 $0 > +1 < 1 $1 > +{#" < 0 $1 > +{#"< 1 $0 >

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

T

vs T


24/93

< $ >= 12 {< 0 $0 > +< 1 $1 > + < 0 $1 > + < 1 $0 >Sea =< 0 $0 > b=< 1 $1 > =< 0 $1 > =< 1 $0 >a = 0 $0a = { /$${ /$a = { /$ ${ /$a

= {

/$$$

a = $ a = $ a = 12%a = 12b = 1 $1b = { 2% /$${2% /$

b = {2% /$ ${2% /$

b = { 2% /$$$


25/93

b = 2$% $

b = 2%

&

b = 2% ' b = 32c = 0 $1c = { /$${2% /$

c = { /$${2% /$

c = 2 %

c = 2 0c = 0d = 1 $0

d = { 2% /$${ /$

d = { 2% /$${ /$


26/93


27/93

= 12 {1+J$2+$2$2

= 12 {1+J$2

Para graficar vamos adimensionalizar

Sea = y T=

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

X

T

X vs T

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

,+X,-X

T

, + X, - X vs T

+ X

+ X


28/93

Se observa que la posicin siempre lleva un valor de incertidumbre esperado y es mnima cuando la

partcula se encuentra en los extremos debido a que como se vio en el numeral a) las densidades de

probabilidad son mximas en estos extremos.

Tambin se observa que mientras el valor esperado de la posicin se comporta de manera

cosenoidal , el de la incertidumbre se comporta de manera sinusoidal, esto indica como se dijo antes

que la incertidumbre es mxima si la partcula esta en el origen.

Sumndole la incertidumbre y restndosela al valor esperado de la posicin podemos delimitar la

regin por donde encontrara la partcula.

4.

a)

< >=< >=< supsup >< >=< 120"/ +121#/120" +121# >< >= 12 < 0"/ +1#/0" +1# >< >= 12 {< 0" 0" +< 1# 1# > +< 0" 1# > +< 1# 0" >

< >= 12 {" < 0 " 0 > +# < 1 # 1 > +" < 0 # 1> +# < 1 " 0 >< >= 12 {" " < 00 > +# # < 11 > +" # < 01> +# " < 10 >< >= 12 {1 < 00 > +1 < 11 > +{#" < 01 > +{#"

< 1

0

>

< >= 12 {< 00 > +< 11 > + < 01 > + < 10 >Como 0 y1 son funciones propias del operador hamiltoniano, con valores propios E1 y E20 = 00 0 = 00


29/93

< >= 12 {< 000 > +< 111 > + < 010 > + < 100 >< >= 1

2{0 < 00 > +1 < 11 > + 1 < 00 > + 0 < 10 >

Para funciones ortonormales (como funciones propias de un operador normalizadas, como es estecaso)

< ij >= = 1 = JJJ = 0 JJJ

Ver Hanna pgina 58

< >= 12 {0

+ 1

+

1

0 +

0

0

< >= { 0 + 1< >= 12 {12 + 321< >= Para cal cular la incertidumbre del valor promedio de la energa tenemos

= < $ > < >$ En este caso el operador es el hamiltoniano = < $ > < >$ Entonces

= < $ > < >$ < $ >=< $ >=< sup$sup >< $ >=< 120"/ +121#/$120" +121# >< $ >= 12 < 0"/ +1#/$0" +1# >


30/93

< $ >= 12 {< 0" $0" +< 1# $1# > +< 0" $1# > +< 1# $0" >

< $ >= 12 {" <

0

" $

0

> +# <

1

# $

1

> +"< 0 # $1 > +# < 1 " $0 >

< $ >= 12 {" " < 0$0 > +# # < 1$1 > +" # < 0$1> +# " < 1$0 >< $ >= 12 {1 < 0$0 > +1 < 1$1 > +{#" < 0$1 > +{#"

< 1

$

0

>

< $ >= 12 {< 0$0 > +< 1$1 > + < 0$1 > + < 1$0 >< $ >= 12 {< 0$0 > +< 1$1 > + < 0$1 > + < 1$0 >Como 0 y 1 son funciones propias del operador hamiltoniano0 = 00 0 = 00

0

= {0

0

1

= {1

1

0 = {00 1 = {11 01 salen por ser constantes$0 = 00 $1 = 11$0 = 000 $1 = 111$0 = 0$0 $1 = 1$1Entonces

< $ >= 12 {< 0

0

$0

> +< 1

1

$1

> + < 0

1

$1

> + < 1

0

$0

>

< $ >= 12 {0$ < 00 > +1$ < 11 > + 1$ < 01 > + 0$ < 10 >De igual manera que antes

< ij >=


31/93

= 1 = JJJ = 0 JJJ

< $

>=12 {

0$

1 + 1$

1 +

1$

0 +

0$

0

< $ >= 12 {0$ + 1$< $ >= 12 {{12 $ + {32$< $ >= 54

= 12

0$

+ 1$

[12 {

0

+ 1

]$

= 12 0$ + 1$ 14 0$ + 201 + 1$ = 14 {20$ + 21$0$ 201 1$

= 14 {0$

+ 1$

20

1

= 14 {0 1$ = 12 {0 1o lo que es lo mismo

= {1

0

= 12 {12 32 = 12 = 12


32/93

= 12Estos resultados son muy interesantes por que la energa de la partcula vendra dada por el

promedio de la energa para el estado basal y el primer estado excitado y la incertidumbre vendra

dado por la diferencias entre estas energas entre dos. Esto indica que cuando se hace una medicin

individual se tiene o la energa en el estado basal o se tiene la energa en el estado excitado y la

probabilidad de medir una o la otra es del cincuenta por ciento para cada una, mientras que si se

hace un conjunto estadstico y se calcula la media se obtiene el valor esperado que calculamos que

no es mas que la media entre las dos energas.

b)

< >=< sup

sup

>=< 120

"/

+121

#/

120

" +12

1

#>< >= 12 < 0"/ +1#/ 0" +1# >

< >= 12 {< 0" 0" +< 1# 1# > +< 0" 1# > +< 1# 0" >

< >= 12 {" < 0

" 0

> +# < 1

# 1

> +"< 0 # 1 > +# < 1 " 0 >< >= 12 {" " < 0 0 > +# # < 1 1 > +" #< 0 1 > +# " < 1 0 >< >= 1

2{1 < 0

0 > +1 < 1

1 > +{#" < 0

1

> +{#" < 1 0 >< >= 12 {< 0 0 > +< 1 1 > + < 0 1 > +< 1 0 >


33/93

Sea =< 0 } }0 > b=< 1 } }1 > =< 0 } }1 > =Entonces

< >=#$ { + I +

+

a = 0 0a = { /$ { /$a = { /$ { /$a = { /$ {/$ 22 a = {/$ {$ a = /$ a = % /$ a = % 0a = 0b = 1 1b = { 2% /$ {2% /$b = {2% /$ 2% {/$


34/93

b = 2% /${ /$ + /$ 22 b

= 2%

/$/${1$

b = 2% { % b = 2% {0 0b

= 2%

0

b = 0c = 0 1c = { /$ {2% /$

c = { /$ {2% /$

c = { /$2% {/$c

= 2

/$

{

/$ +

/$ 22

c = 2 { + $


35/93


36/93

< >= 12 { 0+022 + 22 < >= 2

4{

< >= 24 [ +J { J ]< >= 24 { +J +J < >= 24 {2J

< >= 22 J

< >= 22 J < >= 22 J 2 < >= 22 J2Para hacer la grafica adimensinalizamos definiendo los siguientes trminos

Sea < >=< >/ y =

-0.8000

-0.6000

-0.4000

-0.2000

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

T

vs T


37/93

Se observa que el valor esperado de momentum se comporta de manera sinusoidal, contrario al

valor esperado de la posicin que se comporta de manera cosenoidal, es decir, que si la partcula se

encuentra en un mximo o un mnimo (extremos) tendra un valor esperado de momento nulo

mientras que si se encuentra en el origen tenda un valor de momentum mximo (el mnimo lo que

representa es que la direccin del vector momentum es contraria al del mximo).

Al comparar con la densidad de probabilidad las anteriores graficas se puede entonces observar que

a mayor valor de momentum (mximo o mnimo) la probabilidad de encontrar a la partcula se ve

disminuida y esto ocurre en el origen. Se puede pensar que un valor de momentum alto el cual est

relacionado con la velocidad de la partcula explicara muy bien porque la probabilidad de encontrar

la partcula en el origen es baja y por que cuando el valor esperado del momentum es nulo la

probabilidad es alta lo cual ocurre en los extremos.

Para calcular la incertidumbre primero calculamos < $ >

< $

>=< sup

$

sup

>

< $ >=< supsup >< $ >=< sup sup >< $ >=< sup$ $$ sup >< $ >=< 120"/ +121#/$ $$ 120"/ +121#/ >< $ >= 12 {< 0" $ $$ 0" +< 1# $ $$1# > +< 0" $ $$ 1# > +< 1# 0" >< $ >= 12 {" < 0 " $ $$0 > +# < 1 # $ $$1 > +"< 0 # $ $$1 > +# < 1 " $ $$0 >

< $ >= 12 {" " < 0 $ $$0 > +# # < 1 $ $$1> +" # < 0 $ $$1 > +# " < 1 $ $$0 >


38/93

< $ >= 12 {1 < 0 $ $$0 > +1 < 1 $ $$1 > +{#" < 0 $ $$1> +{#" < 1 $ $$0 >< $ >= 12 {< 0 $ $$0 > +< 1 $ $$1 > + < 0 $ $$1> + < 1 $ $$0 >Sea a =< 0 }$ }0 > b =< 1 }$ }1 >

c =< 0 }$ }1 > d =< 1 }$ }0 >Entonces < $ >= #$ { + I + + a = 0 $ $$0a = { /$ $ $$ { /$a = { /$ $ $$ { /$a = { /$ $ {/$ 22 a = {/$ $ {/$a

= $

{

/$

{

/$

+

/$

22

a = $ { $ a = $ { 12%


39/93


40/93

b = 32$c = 0 $ $

$1

c = { /$ $ $$ {2% /$c = { /$ $2% {/$ + /$ 22 c

= $2

/$ {

/$ $/$

c = $2 /$ [/$ 22 {2/$ + $ /$ 22 ]c = $2 /$ [/$ 2/$ + $% /$]c

= $2

/$ [3/$ + $%

/$]

c = 2$% {3 +$ % c = 2$% {3 0 + $ 0c

= 2$% 0

c = 0d = 1 $ $$0


41/93

d = { 2 /$ $ $$ { /$d

= {2

/$

$

$

$ {

/$

d = {2/$ $ {/$ 22 d = $$2 { /$ {/$d

= $$2 {/${

/$

+

/$ 22

d = $$2 { % d = $$2 {0 0d

= 0

< $ >= 12 { + I + + < $ >= 12 {12$ + 32$ + 0 + 0< $ >= 12 {2$< $ >= $

= < $ > < >$

= $ {22 J2$ = $$2 J$2


42/93

= $2 {2J$2

= $

2 {1+J$2+$2J$2

= $2 {1+$2 = 2 {1+$2Para graficar adimensionalizamos

Sea

/y

=

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

P

T

P vs T


43/93

Esta ltima grafica es muy interesante porque muestra que cuando la incertidumbre en la posicin

es mxima la incertidumbre en el momento es mnima y cuando la incertidumbre en la posicin es

mnima, la incertidumbre en el momentum es mxima. El principio de Incertidumbre de Heisenberg

es lo que se estara observando en el grafico como las incertidumbres se acomodan en el tiempo

para nunca violar este principio.

-2.0000

-1.5000

-1.0000

-0.5000

0.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

,

+P,-P

T

,

+ P,

- P vs T

+ P

- P

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

X,P

T

X,P vs T

P

X


44/93

5.

a)

= + s = $2 $ + {$+$ + $2 = $2 + + F + {$+$ + $2 (x,y,z) = (x,y,z)$2 + + F(x,y,z)+ {$+$ + $2 (x,y,z) = (x,y,z)Como

(x,y,z) depende de solo tres variables vamos a suponer que la funcin

(x,y,z) se puede separar

las variables de x,y y z en las funciones X(x), Y(y) y Z(z)

(x,y,z) = X(x)Y(y) Z(z)Remplazando en la ecuacin anterior

$2 + + F{x{y{z+ {$+$ + $2 {x{y{z = {x{y{z$2

{x{y{z +

{x{y{z +

{x{y{zG +

$2 {x{y{z+ $2 {x{y{z + $2 {x{y{z = {x{y{z{y{z sale como constante para , {x{z salen como constante para y {x{y para

$2{y{z {x $2{x{z {y $2{x{y {z + $2 {x{y{z+ $2 {x{y{z + $2 {x{y{z = {x{y{zDividiendo todo entre

{x{y{zobtenemos:

$2 {x {x $2 {y {y $2 {z {z + $2 + $2 + $2 = Agrupamos los trminos que tengan que ver con x y los otros los dejamos del otro lado de la

igualdad


45/93

$2 {x {x + $2 = + $2 {y {y + $2 {z {z $2 $2 Para que el trmino izquierdo, que depende exclusivamente de x, sea igual al trmino derecho se

debe cumplir la condicin de que sea igual a una constante porque de lo contrario dara una funcin

que dependera solo de x y podra tomar valores totalmente independientes con el termino de laderecha.

Vamos a llamar la constante que liga las dos ecuaciones como Ex para referirnos a esta como la

contribucin de la energa por la funcin {x $2 {x {x + $2 = X

+ $

2

{y

{y + $

2

{z

{z $

2 $

2= X

Ahora agrupemos todos los trminos que tienen que ver con {y X + $2 {z {z $2 = $2 {y {y + $2 El termino de la derecha depende solo de y, por lo tanto al igual que antes debe ser una constante y

en este caso sera Ey.

$

2 {y {y + $

2 = y

X + $2 {z {z $2 = yDespejamos todo el termino que dependa de y de un lado de la ecuacin y las constantes de la

energa al otro, para as definir Ez

$2 {z {z + $2 = z

X

y

= z

Despejando la energa de la ultima ecuacin tenemos que

= X+ y + zLo que quiere decir que la energa es la suma de la contribucin por cada funcin X(x), Y(y) y Z(z).

El problema se resume entonces en resolver el oscilador unidimensional 3 veces para cada

dimensin.


46/93

$2 {x {x + $2 = X $

2{y

{y + $

2= y

$2 {z {z + $2 = zLas soluciones basados en lo realizado en clase seria:

{x = {//$! #/$/$ nx = nx + #$En donde = 2/Teniendo en cuenta que la constante de fuerza se relaciona con la frecuencia fundamental de la

siguiente manera = #$ #/$La primera parte es la constante de normalizacin, la segunda

son los polinomios de Hermitie que estn desglosados en la

tabla, que dependen de n y la tercera parte es una funcin

asinttica (Gaussiana) cuyo propsito es que la funcin tienda

a cero en menos infinito y mas infinito, para as asegurar que

la probabilidad de encontrar a la partcula se encuentre en una

regin especifica.

De igual forma para {y y {z{y = {//$! F#/$/$ ny = ny + #${z = {//$! #/$/$ nz = nz + #$ya que

(x,y,z)

=X(x)Y(y) Z(z)

Entonces

(x,y,z) = {/#/$2J! #/$/$ {/#/$2J!

#/$/$ {/#/$2J! #/$/$

De igual forma para la energa

n Hn() Hn(x) si =x0 1 1

1 2 2x2 42-2 4x2-2


47/93

= nx + ny + nz = nx + 12F+ny + 12F +nz + 12F

= nx + ny + nz + 32FSea n = nx + ny + nz por lo tanto la energa depende del valor de n por lo que escribimosn.n = {J + 32

b)

Para coordenadas esfricas

= J

= JJ = $= 1$ $ F + 1$J J F + 1$J$

= + s

=$2

$

+ $2

= $2 1$ $ F + 1$J J F + 1$J$ F + $2 (r, , ) = (r, , )Sea (r, , ) = (r)()()Al aplicar el operador sobre la funcin tenemos:

$2

1$

$ F +

1$J

J

F +

1$J$

$$ +

$2

(r)()()

= (r)()()

$2 1$ $ F + 1$J J F + 1$J$ $$ + $2 (r)()() = (r)()()


48/93

$2 1$ $ F (r)()() + 1$J J F(r)()() + 1$J$ $$ (r)()()+ $2 (r)()() = (r)()()()() salen como constante en la , (r)( salen como constante para la y (r)()para $2 ()() 1$ $ (r) F + (r)()$J J () F + (r)()$J$ $()$ + $2 (r)()()= (r)()()Dividimos todo entre (r)()() igual que antes$2 1(r) 1$ $ (r) F + 1() 1$J J () F + 1() 1$J$ $()$ + $2 = Despejemos el termino que solo depende de $J$ @ 1

(r)

1$ $ (r) F + 1() 1$J J () FD + 2$J$$ $2 = 1() $()$ Igual que antes, la parte de la derecha depende solo de por lo que tiene que ser igual a unaconstante para que se cumpla la igualdad. En este caso la ecuacin es identica ala de la particula en

un anillo de potencial, por eso la eleccin de$. 1() $()$ = $$J @ 1

(r)

1$ $ (r) F + 1() 1$J J () FD + 2$J$$ $2 = $La idea ahora es dejar la ecuacin restante dependiendo solo de r y otra parte que dependa solo de .

Dividimos todo entre J$

$

@1

(r)

1$

$ (r) F +

1

()

1$J

J

() FD +

2$$

$2 =

$J$

1(r) $ (r) F + 1() 1J J () F + 2$$ $2 = $J$

1(r)

$ (r) F + 2$$ $2 = $J$ + 1() 1J J () F


49/93

Los trmino de la derecha depende solo de r mientras que en el lado derecho la dependencia es solo

con

$

J$

+ 1

()

1J

J()

F = P

1(r) $ (r) F + 2$$ $2 = PCoordenadas cilndricas

El operador laplaciano est definido como:

$= 1 F + 1$ $

$ + $

$

= = J = = + s = $2 $ + $ + $2 = $2 1 F + 1$ $$ + $$ + $ + $2 (, , z) = (, , z)Sea (, , z) = ()()Z(z)Al aplicar el operador sobre la funcin tenemos:

$2 1 F + 1$ $$ + $$ + $ + $2 ()()Z(z) = ()()Z(z)$2 ()Z(z) () F + ()Z(z)$ $()$ + ()() $Z(z)$ + $ + $2 ()()Z(z)= ()()Z(z)Al dividir todo por()()Z(z)$2 1() 1 () F + 1() 1$ $()$ + 1Z(z) $Z(z)$ + $ + $2 =


50/93


51/93

n nx+ny+nz

0 (0,0,0)

1 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

2 (2,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,1,1),(0,0,2)

3 (3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,1,1),(1,1,1),(1,0,2),(0,3,0),(0,0,3),(0,2,1),(0,1,2)

Hay que decir que los estados no son los mismos pero lo que si tienen es la misma energa total

Y esto se debe por que la contribucin a la energa total puede darlo una sola dimensin o se pueden

distribuir entre las otras dimensiones.

6.

a)

i)

Las funciones bases son # = {H , $ = ${H Evaluemos las condiciones de contorno

#{0 = 0{H 0 = 0#{H = H{H H = 0

${0 = 0$

{H = 0

, $ = H${H H = 0Cumplen que en x=0 y en x=L las funciones son ceros, lo que indican que son una buena base parala partcula en una caja.

Planteamos la matriz de superposicin y hamiltoniana

= < ## > < #$ >< $# > < $$ >F

= < #

#> <

#

$>< $# > < $$ >

Nota:Las integrales y los determinantes verlos en el anexo 5

## =< ## >= [{H ]" {H = [{H ]$" = H'30#$ =< #$ >= [{H ]" ${H = %{H $" = H60


52/93

$# =< $# >= [${H ]" {H = %{H $" = H60$$ =< $$ >= [${H ]

"${H = &{H $

" = H

105

## =< ## >= [{H ]" $2 $$ {H = {H $2 2" = $ {H " = $ H%6 #$ =< #$ >= [{H ]" $2 $$ ${H = {H $

2 2{H 3" = $

{H {H3"

= $ H&12 = $ H&12$# =< $# >= [${H ]" $2 $$ {H = ${H $2 2" = $ ${H " = $ H&12 = $ H&12$$ =< $$ >= [${H ]" $2 $$ ${H

= ${H $2 2{H 3" = $ ${H {H 3" = $ H'15 = $ H'15El determinante secular seria entonces:

det{ S = 0

$

H%

6 $

H&

12$ H&12 $ H'15 H'

30 H

60 H60 H105 = 0$ H%6 H'30 $ H&12 H60$ H&12 H60 $ H'15 H105 = 0


53/93

Multiplicamos la primera fila por$ y este resultado se lo restamos a la segunda fila, esto con el fin

de simplificar.

$H%6

H'30

$H&12

H600 $ H'15 H105 $ H'24 H120 = 0

$ H%6 H'30 $ H&12 H600 $ H'40 H840 = 0Resolviendo el determinante como productos cruzados

$

H%

6 H'

30$

H'

40 H

840 = 0

Sacando varaias L como factor comun

H%6 $ H$5 H'40 $ H$21 = 0$ H$5 $ H$21 = 0

Para que sea cero o el primer factor es cero o el segundo factor es cero.

$ H$5 = 0v $ H$21 = 0 = 5 $H$ v = 21 $H$

Llamemos al primer valor (ms bajo) # y al segundo (ms alto) $ii)

La expresin de energa para la partcula en una caja viene dada por la siguiente expresin:

= J$$2 $H$Para el estado fundamental(n=1) y para el primer estado excitado(n=2)

# = 1$$2 $H$


54/93

# = $2 $H$# 4.93480 $

H$

$ = 2$$2 $H$$ = 2$ $H$$ 19.73921 $H$

El teorema de Mac Donalds se verifica por que los valores de se relacionan con el estadofundamental y el primer excitado, adems el estado valor de

que se relacciona con el primer

estado excitado esta mas alejado al verdadero que el valor de

que se relaciona con el estado

fundamental

# = 5 $H$ , # 4.93480 $H$ $ = 21 $H$ , $ 19.73921 $H$# > #$ > $Y adems

$ $ > # #iii)

1 = # # 1001 = 1.32122 = $ $ 1002 = 6.3872

b)

Las funciones bases son # = {H , $ = ${H $Evaluemos las condiciones de contorno

#{0 = 0{H 0 = 0#{H = H{H H = 0


55/93

${0 = 0${H $ = 0, $ = H${H H$ = 0Cumplen que en x=0 y en x=L las funciones son ceros, lo que indican que son una buena base para

el problema de la partcula en una caja.


= < ## > < #$ >< $# > < $$ >F = < ## > < #$ >< $# > < $$ >

## =< ## >= [{H ]"

{H = [{H ]$"

= H'

30

#$ =< #$ >= [{H ]" ${H $ = %{H %" = H140$# =< $# >= [${H $]" {H = %{H %" = H140$$ =< $$ >= [${H $]" ${H $ = &{H &" = H630

## =< ## >= [{H ]"

$

2 $

$ {H = {H $

2 2" = $ {H " = $ H%6

#$ =< #$ >= [{H ]" $2 $$ ${H $= {H $2 [2{H$ 6H +6$]" = $

{H {H$ 6H + 6$" = $

H'

30 = $

H'

30

$# =< $# >= [${H $]" $2 $$ {H = ${H $ $2 2" = $ ${H $" = $ H'30 = $ H'30


56/93

$$ =< $$ >= [${H $]" $2 $$ ${H $= ${H $ $2 [2{H$ 6H +6$]" = $ ${H ${H$ 6H + 6$" = $ H105 = $ H105El determinante secular seria entonces:

det{ S = 0$ H%6 $ H'30$ H'30 $ H105

H'30 H140 H140 H630 = 0

$ H%6 H'30 $ H'30 H140$ H'30 H140 $ H105 H630 = 0Utilizando Wolfram-Alpha (Anexo) para resolver este determinante tenemos

Sea =

H#"{252$ 56H$ +$H&529200 = 0Simplificando252$ 56H$ +$H& = 0

Esta es una ecuacin cuadrtica que la podemos resolver con la siguiente formula:

= I I$ 42 Entonces

= {56H$ {56H$$ 4{H&{252$2H& = 56H$ 46.13025H$2H&

Llamemos # al del menor valor y $ al del mayor valor


57/93


58/93

# > #$ > $Y adems

$ $ > # #iii)

1 = # # 1001 = 0.001472 = $ $ 1002 = 158.70

c)

Las funciones bases son # = {H , $ = {H {H/2 Evaluemos las condiciones de contorno

#{0 = 0{H 0 = 0#{H = H{H H = 0${0 = 0${H {H/2 0 = 0, $ = H${H H{H/2 H = 0

Cumplen que en x=0 y en x=L las funciones son ceros, lo que indican que son una buena base para

la partcula en una caja.


= < ## > < #$ >< $# > < $$ >F = < ## > < #$ >

< $

#> <

$

$>

## =< ## >= [{H ]" {H = [{H ]$" = H'30#$ =< #$ >= [{H ]" {H {H/2 = ${H ${H/2" = 0


59/93

$# =< $# >= [{H {H/2 ]" {H = ${H ${H/2" = 0$$ =< $$ >= [{H {H/2 ]

"{H {H/2

= ${H${H/2$" = H840## =< ## >= [{H ]" $2 $$ {H = {H $2 2" = $ {H " = $ H%6 #$ =< #$ >= [{H ]" $

2

$

$ {H {H/2

= {H $2 {6 3H" = $2 {H {6 3H" = 0$# =< $# >= [{H {H/2 ]" $2 $$ {H = {H {H/2 $2 2" = $ {H {H/2 " = 0$$ =< $$ >= [{H {H/2 ]" $2 $$ {H {H/2

= {H {H/2 $2 {6 3H" = $2 {H {H/2 " {6 3H = $2 H'20 = $ H'40El determinante secular seria entonces:

det{ S = 0

$

H%

6 00 $ H'40 H'

30 00 H840 = 0


60/93

$ H%6 H'30 00 $ H'40 H840 = 0

Resolviendo el determinante como productos cruzados

$ H%6 H'30$ H'40 H840 = 0Sacando varias L como factor comn

H%6 $ H$5 H'40 $ H$21 = 0

$

H$5

$

H$21 = 0

Para que sea cero o el primer factor es cero o el segundo factor es cero.

$ H$5 = 0v $ H$21 = 0 = 5 $H$ v = 21 $H$

Llamemos al primer valor (ms bajo) # y al segundo (ms alto) $ii)

La expresin de energa para la partcula en una caja viene dada por la siguiente expresin:

= J$$2 $H$Para el estado fundamental(n=1) y para el primer estado excitado(n=2)

# = 1$$2 $H$# = $2 $H$# 4.93480 $H$

$ = 2$$2 $H$


61/93

$ = 2$ $H$$ 19.73921 $

H$

El teorema de Mac Donalds se verifica por que los valores de se relacionan con el estadofundamental y el primer excitado, adems el estado valor de que se relacciona con el primerestado excitado esta mas alejado al verdadero que el valor de que se relaciona con el estadofundamental

# = 5 $H$ , # 4.93480 $H$ $ = 21 $H$ , $ 19.73921 $H$# > #$ > $Y adems

$ $ > # #iii)

1 = # # 1001 = 1.32122 = $ $

100

2 = 6.3872d)Las funciones bases son # = {H , $ = ${H $, % = ${H$Evaluemos las condiciones de contorno

#{0 = 0{H 0 = 0#{H = H{H H = 0${0 = 0${H $ = 0$ = H${H H$ = 0%{0 = 0%{H % = 0% = H%{H H% = 0


62/93

Cumplen que en x=0 y en x=L las funciones son ceros, lo que indican que son una buena base para

el problema de la partcula en una caja.


= < ## >< $# >< %# >< #$ >< $$ >< %$ >< #% >< $% >< %% >G = |< ## >< $# >< %# >

< #$ >< $$ >< %$ >< #% >< $% >< %% >

## =< ## >= [{H ]"

{H = [{H ]$"

= H'

30

#$ =< #$ >= [{H ]" ${H $ = %{H %" = H140#% =< #% >= [{H ]" %{H % = &{H &" = H630$# =< $# >= [${H $]" {H = %{H %" = H140

$$ =< $$ >= [${H $]" ${H $ = &{H &

" = H

630

$% =< $% >= [${H $]" %{H % = '{H '" = H##2772%# =< %# >= [%{H %]" {H = &{H &" = H630%$ =< %$ >= [%{H %]${H $ = '{H '" = H##2772"

%% =< %% >= [%{H %]%{H % = {H " = H#%12012"


63/93

= H'30H140H

630

H140H630H##

2772

H630H##2772H#%

12012

## =< ## >= [{H ]" $2 $$ {H = {H $2 2" = $ {H " = $ H%6

#$ =< #$ >= [{H ]" $2 $$ ${H $= {H $2 [2{H$ 6H +6$]" = $ {H {H$ 6H + 6$" = $ H'30 = $ H'30#% =< #% >= [{H ]" $2 $$ %{H %

= {H $2 [6{H

%

6H$

+10H$

5%

]

" = 3$ ${H {H% 6H$ +10H$ 5%" = 3$ H420= $ H140$# =< $# >= [${H $]" $2 $$ {H = ${H $ $2 2" = $ ${H $" = $ H'30 = $ H'30

$$ =< $$ >= [${H $]" $2 $$ ${H $= ${H $ $2 [2{H$ 6H +6$]" = $ ${H ${H$ 6H + 6$" = $ H105 = $ H105


64/93

$% =< $% >= [${H $]" $2 $$ %{H %= ${H $ $2 [6{H% 6H$ +10H$ 5%]" = 3$ %{H ${H% 6H$ +10H$ 5%" = 3$ H1260= $ H420

%# =< %# >= [%{H %]" $2 $$ {H = %{H % $2 2" = $ %{H %" = $ H140 = $ H140

%$ =< %$ >= [%{H %]"

$

2 $

$ ${H $= %{H % $2 [2{H$ 6H +6$]" = $ %{H %{H$ 6H + 6$" = $ H420 = $ H420%% =< %% >= [%{H %]" $2 $$ %{H %= %{H % $

2 [6{H% 6H$ +10H$ 5%]

"

= 3$ &{H %{H% 6H$ +10H$ 5%" = 3$ H##4620= $ H##1540

=

$ H%6$ H'30$H140

$ H'30$ H105$H420

$ H140$ H420$H##1540

El determinante secular seria entonces:

det{ S = 0


65/93

$ H%6$ H'30$

H

140

$ H'30$ H105$

H

420

$ H140$ H420$

H##

1540

H'30 H140 H

630

H140 H630 H

##

2772

H630 H##2772 H

#%

12012

= 0

$ H%6 H'30$ H'30 H140$ H140 H630

$ H'30 H140$ H105 H630$ H420 H##2772

$ H140 H630$ H420 H##2772$ H##1540 H#%12012= 0

Resolvamos este determinante con el mtodo de los cofactores, utilizando la primera fila:

{1$ $ H%6 H'30 $ H105 H630 $ H420 H##2772$ H420 H##2772 $ H##1540 H#%12012+{1% $ H'30 H140

$ H'30 H140 $ H420 H##2772$ H140 H630 $ H##1540 H#%12012+{1& $

H

140 H

630

$ H'30 H140 $ H105 H630$

H

140 H

630 $

H

420 H##

2772 = 0

Utilizando Wolfram-Alpha (Anexo) para resolver este determinante tenemos

Sea = H%6 H'30H#{1287$ 264H$ + 5$H&2497294800 H'30 H140H#{1053$ 240H$ + 5$H&227026800

+ H

140 H

630H#&

{198$

45H$

+ $

H&

17463600 = 0


66/93

H$# 16 H$301287$ 264H$ + 5$H&2497294800 H$# 130 H$1401053$ 240H$ + 5$H&227026800 + H$# 1140 H$63019845H$ + $H&17463600 = 0

Divido todo entre H$# 16 H$301287$ 264H$ + 5$H&2497294800 130 H$1401053$ 240H$ + 5$H&227026800 + 1140 H$63019845H$ + $H&17463600 = 0Multiplico todo por 100

V V V + V V V + + 1140 H$63019845H$ + $H&174636 = 0

Hacemos en Wolfran-Alpha lo que est en negrito

%14553000 + $H$2889432000 43$H&9711702000 + 19%H2097727632000+ 1140 H$63019845H$ + $H&174636 = 0%81496800 $H$353152800 $H&13984850880 %H3146591448000 = 0

# 4,9348 H$

$ 44.5868 H$$ 175.478 H$

Remplazando lo que es B


67/93

# 4,9348 $H$$ 44.5868 $

H$

$ 175.478 $H$La energa para la partcula en una caja es:

= J$$2 $H$Para el estado fundamental(n=1), para el primer estado excitado (n=2) y para el segundo estado

excitado (n=3).

# = 1$$2 $H$# = $2 $H$# 4.93480 $H$$ = 2$$2 $H$

$ = 2$ $H$$ 19.73921 $H$% = 3$$2 $H$

% 44.41322 $H$

1 = # # 1001 = 02 = $ $ 1002 = 125.879


68/93

3 = % % 1002 = 295.1030La energa del estado fundamental es prcticamente igual para la aproximacin con estas tres bases

pero la diferencia crece para el primer estado excitado y crece aun mas para el segundo excitado


69/93

ANEXOS

1. Distribucin de Planck y su derivada (m) (,T1) (,T2) (,T3) (m)T1(K) F( T1) (m)T2(K) F( T2) (m)T3(K) F( T3)

1.00E-07 5.67E+04 2.81E+05 1.04E+06 0.00090 9.89E-03 0.00100 9.39E-03 0.0011 8.89E-03

1.10E-07 1.51E+05 6.45E+05 2.12E+06 0.00099 9.44E-03 0.00110 8.89E-03 0.00121 8.34E-03

1.20E-07 3.28E+05 1.24E+06 3.69E+06 0.00108 8.99E-03 0.00120 8.39E-03 0.00132 7.79E-03

1.30E-07 6.12E+05 2.09E+06 5.73E+06 0.00117 8.54E-03 0.00130 7.89E-03 0.00143 7.24E-03

1.40E-07 1.02E+06 3.19E+06 8.11E+06 0.00126 8.09E-03 0.00140 7.39E-03 0.00154 6.69E-03

1.50E-07 1.54E+06 4.48E+06 1.07E+07 0.00135 7.64E-03 0.00150 6.89E-03 0.00165 6.14E-03

1.60E-07 2.17E+06 5.91E+06 1.34E+07 0.00144 7.19E-03 0.00160 6.39E-03 0.00176 5.59E-03

1.70E-07 2.89E+06 7.41E+06 1.60E+07 0.00153 6.74E-03 0.00170 5.89E-03 0.00187 5.05E-03

1.80E-07 3.66E+06 8.91E+06 1.84E+07 0.00162 6.29E-03 0.00180 5.39E-03 0.00198 4.50E-03

1.90E-07 4.46E+06 1.04E+07 2.06E+07 0.00171 5.84E-03 0.00190 4.90E-03 0.00209 3.95E-03

2.00E-07 5.26E+06 1.17E+07 2.25E+07 0.00180 5.39E-03 0.00200 4.40E-03 0.0022 3.41E-03

2.10E-07 6.03E+06 1.29E+07 2.41E+07 0.00189 4.95E-03 0.00210 3.90E-03 0.00231 2.86E-03

2.20E-07 6.76E+06 1.40E+07 2.54E+07 0.00198 4.50E-03 0.00220 3.41E-03 0.00242 2.32E-03

2.30E-07 7.42E+06 1.49E+07 2.63E+07 0.00207 4.05E-03 0.00230 2.91E-03 0.00253 1.78E-03

2.40E-07 8.02E+06 1.56E+07 2.70E+07 0.00216 3.61E-03 0.00240 2.42E-03 0.00264 1.25E-03

2.50E-07 8.54E+06 1.62E+07 2.74E+07 0.00225 3.16E-03 0.00250 1.93E-03 0.00275 7.15E-04

2.60E-07 8.98E+06 1.66E+07 2.76E+07 0.00234 2.72E-03 0.00260 1.44E-03 0.00286 1.85E-04

2.70E-07 9.34E+06 1.69E+07 2.76E+07 0.00243 2.27E-03 0.00270 9.57E-04 0.00297 -3.42E-04

2.80E-07 9.63E+06 1.71E+07 2.74E+07 0.00252 1.83E-03 0.00280 4.73E-04 0.00308 -8.65E-04

2.90E-07 9.85E+06 1.71E+07 2.70E+07 0.00261 1.39E-03 0.00290 -7.26E-06 0.00319 -1.38E-03

3.00E-07 1.00E+07 1.71E+07 2.66E+07 0.00270 9.57E-04 0.00300 -4.85E-04 0.0033 -1.90E-03

3.10E-07 1.01E+07 1.70E+07 2.60E+07 0.00279 5.22E-04 0.00310 -9.59E-04 0.00341 -2.41E-03

3.20E-07 1.01E+07 1.68E+07 2.54E+07 0.00288 8.86E-05 0.00320 -1.43E-03 0.00352 -2.91E-03

3.30E-07 1.01E+07 1.65E+07 2.47E+07 0.00297 -3.42E-04 0.00330 -1.90E-03 0.00363 -3.41E-03

3.40E-07 1.01E+07 1.62E+07 2.39E+07 0.00306 -7.70E-04 0.00340 -2.36E-03 0.00374 -3.91E-03

3.50E-07 9.96E+06 1.58E+07 2.32E+07 0.00315 -1.20E-03 0.00350 -2.82E-03 0.00385 -4.40E-03

3.60E-07 9.84E+06 1.54E+07 2.24E+07 0.00324 -1.62E-03 0.00360 -3.28E-03 0.00396 -4.89E-03

3.70E-07 9.69E+06 1.50E+07 2.16E+07 0.00333 -2.04E-03 0.00370 -3.73E-03 0.00407 -5.37E-03

3.80E-07 9.51E+06 1.46E+07 2.08E+07 0.00342 -2.45E-03 0.00380 -4.18E-03 0.00418 -5.84E-03

3.90E-07 9.32E+06 1.42E+07 2.00E+07 0.00351 -2.87E-03 0.00390 -4.62E-03 0.00429 -6.31E-03

4.00E-07 9.12E+06 1.37E+07 1.92E+07 0.00360 -3.28E-03 0.00400 -5.06E-03 0.0044 -6.77E-03

4.10E-07 8.90E+06 1.33E+07 1.85E+07 0.00369 -3.69E-03 0.00410 -5.50E-03 0.00451 -7.23E-034.20E-07 8.68E+06 1.28E+07 1.77E+07 0.00378 -4.09E-03 0.00420 -5.93E-03 0.00462 -7.68E-03

4.30E-07 8.44E+06 1.24E+07 1.70E+07 0.00387 -4.49E-03 0.00430 -6.35E-03 0.00473 -8.13E-03

4.40E-07 8.21E+06 1.19E+07 1.63E+07 0.00396 -4.89E-03 0.00440 -6.77E-03 0.00484 -8.57E-03

4.50E-07 7.97E+06 1.15E+07 1.56E+07 0.00405 -5.28E-03 0.00450 -7.19E-03 0.00495 -9.01E-03

4.60E-07 7.73E+06 1.11E+07 1.50E+07 0.00414 -5.67E-03 0.00460 -7.60E-03 0.00506 -9.44E-03

4.70E-07 7.50E+06 1.07E+07 1.43E+07 0.00423 -6.05E-03 0.00470 -8.01E-03 0.00517 -9.86E-03


70/93

4.80E-07 7.26E+06 1.03E+07 1.37E+07 0.00432 -6.44E-03 0.00480 -8.41E-03 0.00528 -1.03E-02

4.90E-07 7.03E+06 9.89E+06 1.31E+07 0.00441 -6.82E-03 0.00490 -8.81E-03 0.00539 -1.07E-02

5.00E-07 6.80E+06 9.52E+06 1.26E+07 0.00450 -7.19E-03 0.00500 -9.20E-03 0.0055 -1.11E-02

5.10E-07 6.58E+06 9.15E+06 1.21E+07 0.00459 -7.56E-03 0.00510 -9.59E-03 0.00561 -1.15E-02

5.20E-07 6.36E+06 8.80E+06 1.15E+07 0.00468 -7.93E-03 0.00520 -9.98E-03 0.00572 -1.19E-02

5.30E-07 6.14E+06 8.46E+06 1.10E+07 0.00477 -8.29E-03 0.00530 -1.04E-02 0.00583 -1.23E-02

5.40E-07 5.93E+06 8.13E+06 1.06E+07 0.00486 -8.65E-03 0.00540 -1.07E-02 0.00594 -1.27E-02

5.50E-07 5.73E+06 7.82E+06 1.01E+07 0.00495 -9.01E-03 0.00550 -1.11E-02 0.00605 -1.31E-02

5.60E-07 5.53E+06 7.51E+06 9.70E+06 0.00504 -9.36E-03 0.00560 -1.15E-02 0.00616 -1.34E-02

5.70E-07 5.34E+06 7.22E+06 9.29E+06 0.00513 -9.71E-03 0.00570 -1.18E-02 0.00627 -1.38E-02

5.80E-07 5.16E+06 6.94E+06 8.90E+06 0.00522 -1.01E-02 0.00580 -1.22E-02 0.00638 -1.42E-02

5.90E-07 4.98E+06 6.67E+06 8.53E+06 0.00531 -1.04E-02 0.00590 -1.25E-02 0.00649 -1.45E-02

6.00E-07 4.80E+06 6.41E+06 8.18E+06 0.00540 -1.07E-02 0.00600 -1.29E-02 0.0066 -1.49E-02

6.10E-07 4.63E+06 6.17E+06 7.84E+06 0.00549 -1.11E-02 0.00610 -1.32E-02 0.00671 -1.52E-02

6.20E-07 4.47E+06 5.93E+06 7.52E+06 0.00558 -1.14E-02 0.00620 -1.36E-02 0.00682 -1.56E-02

6.30E-07 4.31E+06 5.70E+06 7.21E+06 0.00567 -1.17E-02 0.00630 -1.39E-02 0.00693 -1.59E-026.40E-07 4.16E+06 5.49E+06 6.91E+06 0.00576 -1.20E-02 0.00640 -1.42E-02 0.00704 -1.63E-02

6.50E-07 4.02E+06 5.28E+06 6.63E+06 0.00585 -1.24E-02 0.00650 -1.46E-02 0.00715 -1.66E-02

6.60E-07 3.88E+06 5.08E+06 6.37E+06 0.00594 -1.27E-02 0.00660 -1.49E-02 0.00726 -1.69E-02

6.70E-07 3.74E+06 4.89E+06 6.11E+06 0.00603 -1.30E-02 0.00670 -1.52E-02 0.00737 -1.72E-02

6.80E-07 3.61E+06 4.70E+06 5.87E+06 0.00612 -1.33E-02 0.00680 -1.55E-02 0.00748 -1.75E-02

6.90E-07 3.49E+06 4.53E+06 5.64E+06 0.00621 -1.36E-02 0.00690 -1.58E-02 0.00759 -1.79E-02

7.00E-07 3.37E+06 4.36E+06 5.42E+06 0.00630 -1.39E-02 0.00700 -1.61E-02 0.0077 -1.82E-02

7.10E-07 3.25E+06 4.20E+06 5.21E+06 0.00639 -1.42E-02 0.00710 -1.64E-02 0.00781 -1.85E-02

7.20E-07 3.14E+06 4.04E+06 5.01E+06 0.00648 -1.45E-02 0.00720 -1.67E-02 0.00792 -1.88E-02

7.30E-07 3.03E+06 3.90E+06 4.81E+06 0.00657 -1.48E-02 0.00730 -1.70E-02 0.00803 -1.91E-027.40E-07 2.93E+06 3.75E+06 4.63E+06 0.00666 -1.51E-02 0.00740 -1.73E-02 0.00814 -1.94E-02

7.50E-07 2.83E+06 3.62E+06 4.45E+06 0.00675 -1.54E-02 0.00750 -1.76E-02 0.00825 -1.97E-02

7.60E-07 2.73E+06 3.49E+06 4.29E+06 0.00684 -1.56E-02 0.00760 -1.79E-02 0.00836 -1.99E-02

7.70E-07 2.64E+06 3.36E+06 4.13E+06 0.00693 -1.59E-02 0.00770 -1.82E-02 0.00847 -2.02E-02

7.80E-07 2.55E+06 3.24E+06 3.97E+06 0.00702 -1.62E-02 0.00780 -1.84E-02 0.00858 -2.05E-02

7.90E-07 2.47E+06 3.13E+06 3.83E+06 0.00711 -1.65E-02 0.00790 -1.87E-02 0.00869 -2.08E-02

8.00E-07 2.39E+06 3.02E+06 3.69E+06 0.00720 -1.67E-02 0.00800 -1.90E-02 0.0088 -2.10E-02

8.10E-07 2.31E+06 2.92E+06 3.55E+06 0.00729 -1.70E-02 0.00810 -1.93E-02 0.00891 -2.13E-02

8.20E-07 2.23E+06 2.81E+06 3.43E+06 0.00738 -1.73E-02 0.00820 -1.95E-02 0.00902 -2.16E-02

8.30E-07 2.16E+06 2.72E+06 3.30E+06 0.00747 -1.75E-02 0.00830 -1.98E-02 0.00913 -2.18E-02

8.40E-07 2.09E+06 2.62E+06 3.19E+06 0.00756 -1.78E-02 0.00840 -2.00E-02 0.00924 -2.21E-02

8.50E-07 2.02E+06 2.54E+06 3.07E+06 0.00765 -1.80E-02 0.00850 -2.03E-02 0.00935 -2.23E-02

8.60E-07 1.96E+06 2.45E+06 2.97E+06 0.00774 -1.83E-02 0.00860 -2.05E-02 0.00946 -2.26E-02

8.70E-07 1.90E+06 2.37E+06 2.86E+06 0.00783 -1.85E-02 0.00870 -2.08E-02 0.00957 -2.28E-02

8.80E-07 1.84E+06 2.29E+06 2.76E+06 0.00792 -1.88E-02 0.00880 -2.10E-02 0.00968 -2.31E-02

8.90E-07 1.78E+06 2.21E+06 2.67E+06 0.00801 -1.90E-02 0.00890 -2.13E-02 0.00979 -2.33E-02

9.00E-07 1.72E+06 2.14E+06 2.58E+06 0.00810 -1.93E-02 0.00900 -2.15E-02 0.0099 -2.35E-02


71/93

9.10E-07 1.67E+06 2.07E+06 2.49E+06 0.00819 -1.95E-02 0.00910 -2.18E-02 0.01001 -2.38E-02

9.20E-07 1.62E+06 2.00E+06 2.41E+06 0.00828 -1.97E-02 0.00920 -2.20E-02 0.01012 -2.40E-02

9.30E-07 1.57E+06 1.94E+06 2.33E+06 0.00837 -2.00E-02 0.00930 -2.22E-02 0.01023 -2.42E-02

9.40E-07 1.52E+06 1.88E+06 2.25E+06 0.00846 -2.02E-02 0.00940 -2.24E-02 0.01034 -2.45E-02

9.50E-07 1.47E+06 1.82E+06 2.18E+06 0.00855 -2.04E-02 0.00950 -2.27E-02 0.01045 -2.47E-02

9.60E-07 1.43E+06 1.76E+06 2.11E+06 0.00864 -2.06E-02 0.00960 -2.29E-02 0.01056 -2.49E-02

9.70E-07 1.38E+06 1.71E+06 2.04E+06 0.00873 -2.09E-02 0.00970 -2.31E-02 0.01067 -2.51E-02

9.80E-07 1.34E+06 1.65E+06 1.97E+06 0.00882 -2.11E-02 0.00980 -2.33E-02 0.01078 -2.53E-02

9.90E-07 1.30E+06 1.60E+06 1.91E+06 0.00891 -2.13E-02 0.00990 -2.35E-02 0.01089 -2.55E-02

1.00E-06 1.26E+06 1.55E+06 1.85E+06 0.00900 -2.15E-02 0.01000 -2.38E-02 0.011 -2.57E-02

2. densidad de probabilidad en diferentes instantes de tiempo

X (X,0) (X,0.25) (X,0.5) (X,0.75) (X,1)

-5 1.444E-10 1.99804E-10 2.5521E-10 1.998E-10 1.444E-10

-4 6.8844E-07 1.0476E-06 1.4068E-06 1.0476E-06 6.8844E-07

-3 0.00036605 0.000661452 0.00095685 0.00066145 0.00036605

-2 0.01727319 0.046500717 0.07572825 0.04650072 0.01727319

-1 0.0178053 0.311330623 0.60485595 0.31133062 0.0178053

0 0.28209479 0.282094792 0.28209479 0.28209479 0.28209479

1 0.60485595 0.311330623 0.0178053 0.31133062 0.60485595

2 0.07572825 0.046500717 0.01727319 0.04650072 0.07572825

3 0.00095685 0.000661452 0.00036605 0.00066145 0.00095685

4 1.4068E-06 1.0476E-06 6.8844E-07 1.0476E-06 1.4068E-06

5 2.5521E-10 1.99804E-10 1.444E-10 1.998E-10 2.5521E-10

3. Valor esperado de x ms y menos la incertidumbre de x

T X + X - X

0.0 0.7071 0.7071 1.4142 0.0000

0.3 0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000

0.4 -0.5000 0.8660 0.3660 -1.3660

0.5 -0.7071 0.7071 0.0000 -1.4142

0.6 -0.5000 0.8660 0.3660 -1.3660

0.8 0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000

0.9 0.5000 0.8660 1.3660 -0.3660

1.0 0.7071 0.7071 1.4142 0.0000

1.1 0.5000 0.8660 1.3660 -0.3660

1.3 0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000

1.4 -0.5000 0.8660 0.3660 -1.3660

1.5 -0.7071 0.7071 0.0000 -1.4142

1.6 -0.5000 0.8660 0.3660 -1.3660


72/93

1.8

1.9

2.0

4. Valor esperado de p ms y m

T

0.0

0.3

0.4

0.5

0.6

0.8

0.9

1.0

1.1

1.3

1.4

1.5

1.6

1.8

1.9

2.0

5. Integrales tiles en el punto

0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000

0.5000 0.8660 1.3660 -0.3660

0.7071 0.7071 1.4142 0.0000

nos la incertidumbre de p

P

+ P

- P

0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000

0.7071 0.7071 1.4142 0.0000

0.5000 0.8660 1.3660 -0.3660

0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000

0.5000 0.8660 0.3660 -1.3660

0.7071 0.7071 0.0000 -1.4142

0.5000 0.8660 0.3660 -1.3660

0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000

0.5000 0.8660 1.3660 -0.3660

0.7071 0.7071 1.4142 0.0000

0.5000 0.8660 1.3660 -0.3660

0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000

0.5000 0.8660 0.3660 -1.3660

0.7071 0.7071 0.0000 -1.4142

0.5000 0.8660 0.3660 -1.3660

0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000

y 4


73/93


74/93

5. Integrales y determinantes

a)

iles en el punto 6


75/93


76/93


77/93

b)


78/93


79/93

Determinante

c)


80/93


81/93


82/93

d)


83/93


84/93


85/93


86/93

Determinantes


87/93


88/93


89/93


90/93


91/93


92/93


93/93

BIBLIOGRAFIA

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EJERCICIOS DE CUANTICA

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