Ejercicios de Estructura Cristalina Resueltos

Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith

Primero de 2012

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. El radio atmico del nquel CCC es 1.243 . Calcular: a) el

parmetro de red y b) la densidad del nquel, si se sabe que la masa atmica

del nquel es de 58.71 g/mol.

Datos:

mol/tomos6.02x10 Avogadrode N.

teora) (por tomos 4 datomos/cel

g/mol 58.71 M

243.1a

23

0

Solucin:

a) Parmetro de red. En la celda CCC los tomos se contactan entre

si a travs de la diagonal de las caras del cubo, de forma que la relacin

entre la longitud del lado de cubo a0 y el radio atmico r es:

)1( 2

r4a bien o r4a2 00

Entonces, sustituyendo los datos en la relacin anterior

cm3.5157x10a

2

)cm10x243.1(4a

8-

0

8

0

b) Densidad. Para determinar la densidad del nquel, basta con

calcular el volumen de celda y sustituir su valor con los datos en la relacin:

Avogadro)de erocelda)(nm de volumen(

atmica) da)(masatomos/cel de nmero( )2(


Primero de 2012

2

Clculo del volumen de celda: Por ser una celda cbica los valores de lados

son iguales, de manera que el volumen viene dado por:

3

0acelda de Volumen

323-

38

cm4.3455x10 celda de Volumen

)10x5157.3(celda de Volumen

Ahora bien, sustituyendo en (2)

3

23323

cm/g977.8

)mol/tomos10x02.6)(cm10x3455.4(

.71g/mol)tomos)(58 4(

2. La densidad del potasio, que tiene una estructura CC y un tomo

por punto de red es 0.855 g/cm3. La masa atmica del potasio es 39.09

g/mol. Calcule:

a) el parmetro de red y

b) el radio atmico del potasio

Solucin:

Datos:

mol/tomos10 x 6.02 Avogadrode N.

teora) (por tomos 2 datomos/cel

g/mol 39.09 atmica Masa

g/cm 855.0

23

3

a) Parmetro de red. Como el potasio tiene una estructura cbica, su

3

0acelda de volumen , el cual puede obtenerse a travs de la relacin:


Primero de 2012

3

Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen

atmica) lda)(masa(tomos/ce

donde:

Avogadro)de (nmero

atmica) lda)(masa(tomos/cecelda de olumenv

Entonces, sustituyendo los valores:

322-

233

cm 10 x 1.5189 celda de volumen

)tomos/mol10 x )(6.02g/cm 855.0(

g/mol) .09tomos)(39 (2celda de olumenv

y como 3

0acelda de volumen , despejando se obtiene el parmetro de red

3355.5a

cm10 x 3355.5acm10 x 1.5189a

celda de volumena

0

8-

0

3 322-

0

30

b) Radio atmico. Como en la celda CC los tomos se contactan

entre si a travs de la diagonal del cubo, la relacin entre la longitud de la

diagonal de cubo a0 y el radio atmico r es: r4a3 0 , por lo que el radio

atmico puede calcularse despejando dicha relacin

2.3103 cm10 x 3103.2r

4

)cm10 x 3355.5(3r

4

a3r

8-

8-

0

3. Un metal con una estructura cbica tiene una densidad de 1.892

g/cm3, un peso atmico de 132.91 g/mol y un parmetro de red de 6.13 . Un


Primero de 2012

4

tomo asociado a cada punto de la red. Determinar la estructura cristalina del

metal.

Solucin:

Datos:

mol/tomos6.02x10 Avogadrode N.

13.6a


g/cm 1.892

23

0

3

Para determinar la estructura cristalina y en base a los datos obtenidos,

basta con calcular el nmero de tomos por celda.

De la formula de densidad, se tiene

(1) atmica masa

Avogadro)de erocelda)(nm de (volumendatomos/cel



Clculo de volumen de celda. Como el metal tienen una estructura

cbica, el 3

0acelda de volumen , entonces:

322-

3-8

cm10 x 2.3035 celda de volumen

)cm10 x (6.13celda de volumen

Una vez determinado el volumen de celda y con los datos obtenidos,

determinamos el tipo de estructura sustituyendo en la relacin (1)


Primero de 2012

5

tomos 2 tomos 1.974celda/tomos

)g/mol (132.91

)mol/tomos10 x (6.02)cm10 x (2.3035)g/cm (1.892datomos/cel

atmica masa


23322-3

Finalmente, en base al resultado, se puede decir que el metal tiene una

estructura CC

4. El galio tiene una estructura ortorrmbica, con a0=0.45258 nm,

b0=0.45186 nm y c0=0.76570 nm. El radio atmico es 0.1218 nm. La

densidad es de 5.904 g/cm3 y la masa atmica es de 69.72 g/mol. Determine

a) el nmero de tomos en cada celda unitaria y

b) el factor de empaquetamiento de la celda unitaria

Solucin:

Datos:

tomos/mol 10 x 6.02 Avogadrode N.


g/cm 5.904

nm 0.76570 c

nm 0.45186 b

nm 45258.0a

23

3

0

0

0

a) Nmero de tomos por celda. Se determinan despejndolos de la

relacin de densidad

(1) atmica masa





Primero de 2012

6

Clculo del volumen de celda. Para determinar el volumen se

multiplican cada uno de los parmetros de red, es decir

322-

7-7-7-

000


)cm10 x 76570.0)(cm10 x 45186.0)(cm10 x (0.45258 celda de volumen

c x bx a celda de volumen

ahora, sustituyendo los valores en (1)

tomos 8 tomos 7.98celda/tomos

g/mol 69.72

)tomos/mol 10 x (6.02)cm 10 x (1.5659)g/cm (5.904 datomos/cel

atmica masa

Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen datomos/cel

23322-3

b) Factor de empaquetamiento. Se calcula por medio de la relacin

(2) celda) de (volumen

tomo) de volumen)(celda/tomos(FE

Clculo del volumen de tomo. Considerando a los tomos

como esferas rgidas, se obtiene a travs de la expresin

324-

37-

3

cm 10 x 7.5875 tomo de volumen

)cm10 x 1219.0(3

4 tomo de volumen

r3

4tomo de volumen

Ahora bien, sustituyendo los datos en la ecuacin (2)

0.3876 FE

)cm 10 x (1.5659

)cm10 x 7.5875)(8(FE

322-

3 -24


Primero de 2012

7

5. Una de las formas del manganeso tiene un radio atmico de 1.12

, un parmetro de red de 8.931 , y un factor de empaquetamiento de

0.479. Cuntos tomos hay en la celda unitaria?

Datos:

0.479 FE

cm10 x 8.931 8.931a

cm10 x 1.12 1.12r

8-0

-8

Solucin: En base a los datos suministrados, el nmero de tomos por celda

unitaria se puede obtener mediante un simple despeje de la expresin:

(1) tomo de volumen

celda) de en(FE)(volum atomo/celd

celda de volumen

tomo) de volumen)(celda/tomos(FE

Para ello, se determinan el volumen de tomos y el volumen de celda

Clculo del volumen de tomo: Considerando a los tomos como

esferas slidas

324-

38-

3

cm10 x 5.8849 tomo de volumen

)cm10 x 1.12(3

4 tomo de volumen

r3

4tomo de volumen

Clculo del volumen de celda:

322-

38-

30


)cm10 x (8.931 celda de volumen

acelda de volumen


Primero de 2012

8

Sustituyendo en (1)

tomos 58 datomos/cel

57.98 atomo/celd

cm10 x 5.8849

)cm10 x 1236(0.479)(7. atomo/celd

324-

3-22

Determine los ndices de Miller correspondientes a las direcciones de la

celda cbica que aparece en la figura

Solucin:

Direccin A

1) Se determinan coordenadas iniciales (1,0,0) y coordenadas finales

(0,0,1)

2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales:

1 0, 1,- )0,0,1()1,0,0(

3) No hay fracciones por simplificar o enteros por reducir

4) ]1 0 1[

z

y

x

z

y

x

1/2

3/4

A

B

C


Primero de 2012

9

Direccin B

1) Se determinan coordenadas iniciales (1/2,1,0) y coordenadas

finales (1,0,1)


1 1,- 1/2,- )0,1,2/1()1,0,1(

3) Se simplifican fracciones: 2 2,- ,1)1 ,1,21(2

4) ]2 2 1[

Direccin C

1) Se determinan coordenadas iniciales (0,3/4,1) y coordenadas

finales (1,0,0)


4,-13- 1, )1,43,0()0,0,1(

3) Se simplifican fracciones: 4- 3,- 4,)1- ,43 ,1(4

4) ]4 3 4[

6. Determine los ndices para los planos de la celda unitaria cbica

que aparece en la figura

z

y

x

z

y

x

1/3

B

A


Primero de 2012

10

Solucin:

Plano A

1) Se deber mover el origen, ya que el plano pasa a travs de 0,

0,0. Se mueve tambin el origen un parmetro de red en la direccin y (ver

figura). Entonces 1z -1, y,1x

2) Se determinan los recprocos de las intersecciones:

1z

1 ;1

y

1 1;

x

1

3) No hay fracciones que simplificar

4) 1) 1 1(

Plano B

1) Se determinan las intersecciones: z 3,1 y,x

2) Se determinan los recprocos de las intersecciones:

0z

1 ; 3

y

1 0;

x

1

3) No hay fracciones que simplificar

4) 0) 3 0(

y

Z

Y

X


Primero de 2012

11

7. Un vector direccin pasa a travs de cubo unidad (o celda unitaria)

desde la posicin )4

1 0, ,4

1( a la )1 ,4

3 ,4

1( . Cules son los ndices de

direccin?

Solucin: Se sigue el mismo procedimiento que el presentado en el ejercicio

5


43 ,

43 0,

41 0, ,

411 ,

43 ,

41

2) Se simplifican fracciones: 3 3, 0, 4

3 ,4

3 ,04

3) [0 3 3]

8. Dibuje los vectores direccin en celdas unitarias para las

siguientes direcciones cbicas: a) ]1 1 1[ ; b) ]121[ y c) ]011[

Solucin:

Para ]1 1 1[ : Las coordenadas de posicin para la direccin son (1,-

1,-1). Para su representacin tendr que llevarse el origen del vector

direccin al vrtice inferior izquierdo de la parte trasera del cubo.

z

y

x

z

y

x

Nuevo origen O


Primero de 2012

12

z

y

x

z

y

x

1/2

1/2

Para la direccin ]121[ : Las coordenadas posicin para la

direccin, se obtienen dividiendo los ndices de direccin por 2 de modo que

puedan estar dentro de la celda unitaria. Son,

por tanto 2

1- 1, ,2

1

Para la direccin ]011[ : La coordenadas posicin para la direccin,

son (1,-1,0). El origen del vector direccin tiene que llevarse al vrtice inferior

izquierda de la parte trasera del cubo.

9. Determine los ndices de Miller del plano cristalino cbico que

cortan las siguientes coordenadas de posicin: (0,0,2

1 ); (1,0,0); (2

1 ,4

1 ,0)

Solucin: Primero, se localiza como A, B y C las tres coordenadas de

posicin tal como se indica en la figura

z

y

x

z

y

x

Nuevo origen O


Primero de 2012

13

A continuacin, se unen B y C y se prolonga BC hasta D, y se unen A y

B. Por ltimo, se unen A y D hasta completar el plano ABD. El origen para

este plano en el cubo puede ser elegido en E, que da las intersecciones

axiales con el plano ABD en 21z ,21 y,1x . Los recprocos de estas

intersecciones axiales son: 1, 2, 2. No hay fracciones que eliminar y

finalmente, los ndices de Miller para el plano dado: (12 2)

10. El hierro puro experimenta un cambio polimrfico de CC a CCC

calentndolo al pasar los 912 C. Calcular el cambio de volumen asociado

con el cambio de estructura de CC a CCC si a 912 C la celda unitaria CC

tiene un parmetro de red de 0.293 nm y la celda unitaria CCC 0.363 nm.

Datos:

(teora) tomos 2 datomos/cel

nm 0.293 a

CC Para

0

(teora) tomos 4 /celdatomos

nm 0.363 a

CCC Para

0

X X

Z

Y

Z

Y

A

D

C B


Primero de 2012

14

Solucin: El cambio volumtrico durante la transformacin puede calcularse a

partir de datos cristalogrficos. El volumen por tomo para la red cristalina

del hierro CC antes de transformarse es:

3CC

3

30

CC

nm 0251.0V

2

)nm 0.293(Vcc

2

aV

El volumen por tomo para la red cristalina CCC que tiene cuatro tomos por

celda unitaria es

3CC

3

30

CCC

nm 01196.0V

4

)nm 0.363(Vccc

4

aV

El cambio porcentual en volumen durante la transformacin CC a CCC,

viene dado por:

4.9% - V

V

100% x nm 0.01258

nm 0.01258 nm 0.01196

V

V

100% x cintransforma la de antes V.

cintransforma la de antes V.- cintransforma la de despus .VV

CC

3

33

CC

Esto indica que el hierro se contrae al calentarse 4.9%

11. Un cristal nico de un metal CCC est orientado de tal forma que

la direccin [001] es paralela a un esfuerzo aplicado de 5000 psi. Calcular el


Primero de 2012

15

z

y

x

z

y

x[110]

[111]

esfuerzo cortante resultante que acta sobre el plano de deslizamiento (111)

en las direcciones de deslizamiento [110] y [011].

Solucin:

Para (111)/ [110]: Se aplica un esfuerzo normal en la direccin

[001] de la celda unitaria. Esto produce un ngulo de 90 (por inspeccin)

con la direccin de deslizamiento [110] y un ngulo con la normal al plano

(111) (direccin [111] por ser celda cbica). En la grfica se muestra lo

planteado anteriormente

Clculo de : Aplicando identidades geomtricas

76.54

3

1cosAr

a3

aCos

0

0

02a

0a

03a

[111]

[110]


Primero de 2012

16

Clculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relacin cos.cos y

sustituyendo los valores obtenidos

0

)76.54)(cos90(cospsi5000

Para (111)/ [011]: Se aplica un esfuerzo normal en la direccin

[001] de la celda unitaria. Esto produce un ngulo con la direccin de

deslizamiento [011] y un ngulo con la normal al plano (111) (direccin

[111] por ser celda cbica). En la grfica se muestra lo planteado

anteriormente

Clculo de : Aplicando identidades geomtricas

45

)1cos(Ara

aCos

0

0

z

y

x

z

y

x

[011]

[111]

0a

0a

02a

[011]


Primero de 2012

17

Clculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relacin cos.cos y

sustituyendo los valores obtenidos

psi2040

)76.54)(cos45(cospsi5000

12. Determinar la distancia entre los planos adyacentes (121) en el

cobre, el cual tiene un parmetro de red de 3.615.

Solucin: Sustituyendo los valores dados en la ecuacin general

476.1d

121

615.3d

lkh

ad

)121(

222121

222

0)l,k,h(

13. El litio CC tiene un parmetro de red de 3.5089 x 10-8 cm y

contiene una vacancia por cada 200 celdas unitarias. Calcule:

a) el nmero de vacancias por centmetro cbico

b) la densidad del litio

Datos:

mol/tomos10 x 6.02 Avogadrode .

tabla) (Por g/mol 6.94 atmica Masa

200

1Vacancias

cm10 x 5089.3a

23

-80

Solucin:


Primero de 2012

18

a) Vacancias por centmetro cbico: Para determinarlas, se emplea la

siguiente relacin:

(1) celda de Volumen

vacancias de Nmero

cm

Vacancias3

Clculo del volumen de celda

323-

38-

30


cm)10 x (3.5089 celda de volumen

a celda de volumen

Sustituyendo

320

3

3 23-3

cm/Vacancias10 x 157.1cm

Vacancias

cm10 x 4.32029

2001

cm

Vacancias

b) Densidad del litio. Se obtiene aplicando la relacin de densidad.

Clculo del nmero de tomos por celda. Considerando que la

celda presenta defectos, es necesario obtener el nmero de tomos (tomos

calculados), mediante la definicin de vacancias y asumiendo que la celda en

condiciones normales presenta 2 tomos

tomos 1.995 calculados tomos

200

1 - 2 calculados tomos

Vacancias- normales scondicione en tomoscalculados tomos

calculados tomosnormales scondicione en tomosVacancias

Ahora sustituyendo en la relacin de densidad


Primero de 2012

19

3

23323-

g/cm 5323.0

)mol/tomos10 x 02.6)(cm10 x (4.32029

94g/mol)tomos)(6. (1.995



14. Una aleacin de niobio se produce al introducir tomos

sustitucionales de tungsteno en la estructura CC; finalmente se produce una

aleacin con un parmetro de red de 0.32554 nm y una densidad de 11.95

g/mol. Calcular la fraccin de tomos de tungsteno dentro de la aleacin.

Datos:

g/mol 92.91 niobio del atmica Masa

g/mol 11.95

cm10 x 0.32554 nm 0.32554 a -70

Solucin: Para determinar la fraccin de tomos de tungsteno dentro de la

aleacin, se debe obtener primeramente el nmero de tomos por celda

unitaria de la aleacin, el cual se calcula a partir de la relacin de densidad.

(1) niobio del atmica masa

Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen celda/tomos



Clculo del volumen de celda: Por ser una celda cbica los valores

de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por:

323-

37-

30



a celda de volumen

Una vez determinado el volumen de celda, se sustituye en (1)


Primero de 2012

20

tomos 2.671 datomos/cel

g/mol 92.91

)tomos/mol10 x )(6.02cm10 x (3.44995)g/mol 95.11( celda/tomos

233-23

Una vez conseguidos el nmero de tomos por celda unitaria de la aleacin,

se emplea la definicin de tomos sustitucionales para determinar as, el

nmero de tomos de tungsteno introducido en la aleacin

(2) tungsteno de tomosnormales scondicione en tomos nalessustitucio tomos

Es importante destacar, que los tomos sustitucionales representa el

nmero de tomos por celda en la aleacin y los tomos en condiciones

normales son el nmero de tomos por red cristalina en una celda CC (2

tomos). De ah que el nmero de tomos por celda de tungsteno se calcula

a travs de un simple despeje de la expresin (2)

tomos 0.671 tungsteno de tomos

tomos 2 - tomos 2.671 tungsteno de tomos

normales scondicione en tomos - nalessustitucio tomos tungsteno de tomos

Clculo de la fraccin de tomos de tungsteno: Se miden por

medio de la relacin siguiente

0.335 tomos de Fraccin

tomos 2

tomos 0.671 tomos de Fraccin

normales scondicione en tomos

tungsteno de tomos tomos de Fraccin


Primero de 2012

21

15. El platino CCC tiene una densidad de 21.45 g/cm3 y un parmetro

de red de 3.9231 . En promedio qu porcentaje de los puntos de red

contiene vacantes? (asmase un tomo por punto de red)

Datos:

(teora) 4 red de Puntos

mol/tomos10 x 6.02 Avogadrode N.

(tabla) g/mol 195.09 atmica Masa

cm10 x 3.9232 3.9232 a

g/cm 21.45

23

8-0

3

Solucin: Para saber el nmero de vacancias, es necesario determinar el

nmero de tomos por celda, el cual se determina despejndolo de la

expresin de densidad

(1) atmica masa

Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen celda/tomos



Clculo del volumen de celda: Por ser una celda cbica los valores

de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por:

323-

38-

30



acelda de volumen

Sustituyendo en (1)

tomos 3.9964529 datomos/cel

g/mol 195.09

)tomos/mol10 x )(6.02cm10 x )(6.0379g/cm 45.21( celda/tomos

233-233


Primero de 2012

22

Como puede observarse, de haber 4 tomos/celda sera un cristal

perfecto de platino; de aqu la diferencia se debe a la presencia de vacantes.

Para obtener el nmero de vacantes se aplica la definicin

0.0035471 Vacancias

3.9964529 - 4 Vacancias

calculados tomosnormales scondicione en tomosVacancias

Clculo del porcentaje de vacantes por puntos de red: Se obtienen

a travs de:

0.000886 red de Ptos

Vacantes

4

0035471.0

red de Ptos

Vacantes

16. Determinar el ngulo de un borde de grano de ngulo pequeo

en el cobre CCC cuando las dislocaciones estn separadas 1000 . El

parmetro de red del cobre es de 3.615 .

Datos:

(Teora) [110] compacta Direccin

1000 D

615.3a0

Solucin: Los granos se encuentran inclinados un vector de Burgers en cada

direccin cada 1000 . El vector de Burgers en el cobre CCC es [110], de

manera que la longitud del vector de Burgers es de d110 (distancia

interplanar)


Primero de 2012

23

b

D

b

D

Clculo de la longitud del vector de Burgers: Se determina

mediante la relacin

2.557 d

011

615.3d

lkh

ad

110

222110

222

0)l,k,h(

Clculo del ngulo : Aplicando identidades trigonomtricas

0.293

002557.02

Sen

1000

557.2

2Sen

D

b

2Sen

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