UNED. ELCHE. e-mail: imozas@elx.uned.es

TUTORA DE ESTADSTICA EMPRESARIAL (2 A.D.E.) https://www.innova.uned.es/webpages/Ilde/Web/index.htm

EJERCICIOS DE LOS TEMAS 1 Y 2 1/2

EJERCICIOS DE LOS TEMAS 1 Y 2

1) Una v. a X tiene como funcin de cuanta P !2x

kxX

, para x {0, 1} Cul es la

E(X)?

2) Sea la v. a. X con f(x) = k (3 x) para 0

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EJERCICIOS DE LOS TEMAS 1 Y 2 2/2

Sol.: k = 24 ; F(x) =

24x,1

24x2,20

4x

2x,02

10) Investigar si el coeficiente de correlacin es invariante ante cambios de origen, de escala, o

ambos.

Solucin.-

Sean X e Y dos variables aleatorias y X = aX+b, Y = cY+d, es decir, efectuamos sobre X e Y un cambio de escala (multiplicamos por una constante) y un cambio de origen

(sumamos una constante). Se tiene:

2

X 'Y ' XY2

Cov(X', Y') = acCov(X, Y)Cov(X', Y') ac

Var(X') = a Var(X) DT(X') = a DT(X) R RDT(X')DT(Y') ac

Var(Y') = c Var(Y) DT(Y') = c DT(Y)

As pues el coeficiente de correlacin lineal es invariante ante los cambios de origen, pero no

ante los de escala. Si los coeficientes a y c tienen el mismo signo, tambin sera invariante.

11).- Dada la v. a. X que tiene de media 4 y desviacin tpica 2 cul es E (Y), siendo

Y = 10 + X2 ? Solucin.-

Tenemos que 4 = Var(X) = E[X2] E[X]2 = E[X2] 16 E[X2] = 20, luego:

E(Y) = 10 + 20 = 10.

12) Dada una v.a. X con f(x) = kx para 1 x 1, calcular P (0 X 4).

Solucin.-

Obsrvese que la funcin f(x) = kx para 1 x 1, puede escribirse de la forma:

1x0,kx

0x1,kx)x(f

Calculemos pues el valor de k. Debe ser:

k2

1

2

1k

2

x

2

xkkxdxkxdxdxxk1

1

0

20

1

21

0

0

1

1

1

Por otra parte, en el intervalo [0, 4], la funcin de densidad vale f(x) =x para 0 x

1 y cero para 1 < x 4. Luego para hallar la probabilidad pedida ser suficiente integrar en el intervalo [0, 1]. Por lo tanto:

P (0 X 4) =2

1

2

xxdx

1

0

21

0

13) Dada la funcin g(x, y) = kxy , para 0 x 1 y 0 y 1, hallar el valor de k para que sea funcin de densidad.

Solucin.-

1 =

1 12 2

1 1

0 00 0

x y kk xdx ydy k

2 2 4

k = 4.