Tj=[ 0 −1 /(a+2)−1/a 0 ]

Calculo del radio espectral:

¿Tj−λI∨¿ det(−λ −1a+2

−1a

−λ )=λ2− 1a2+2a

=0

b) Con a=0.60, muestre la tercera iteración de Gauss-Seidel partiendo de x1

(0)=0 , x2(0)=0 :

x1(k+1 )=(3−x2

(k))/2.6

x2(k+1 )=(1−x1

(k+1))/0.6x1

(1)=1.154 , x2(1)=−0.26

x1(2)=1.25 , x2

(2)=−0.42x1

(3)=1.32 , x2(3)=−0.53

Realice 03 iteraciones del método de la potencia usando el método de la potencia inversa, a partir de [1 1 1] T.

M−1=( −1 0 −0.5−1.5 0.5 −0.50.5 −0.5 0.5 )

K=0

( −1 0 −0.5−1.5 0.5 −0.50.5 −0.5 0.5 )(111)=(−1.5

−1.50.5 )=1.5( −1

−10.333)

μ=1.5; X1=( −1−1

0.333)K=1

( −1 0 −0.5−1.5 0.5 −0.50.5 −0.5 0.5 )( −1

−10.333)=(0.8335

0.83350.1665)=0.8335( 1

10.1998)

μ=0.8335; X2=( 11

0.1998)K=2

( −1 0 −0.5−1.5 0.5 −0.50.5 −0.5 0.5 )( 1

10.1998)=(−1 .0999

−1 .09990.0999 )=1.0999( −1

−10.0908)

μ=1.0999; X 3=( −1−1

0.0908)

5. Teniendo en cuenta que el método de Gauss – Seidel es convergente cuando la matriz A es simétrica y definida positiva encuentre para que valores de a es convergente la siguiente matriz:

|A−φI|=0

|−1−φ 11 −1−φ|=0 , → (1+φ )2−4=0 ;φ=−3,1

Calculando el vector propio:

( A−(−3 I ))=0 ;

[2 41 2] [ab ]=[00] ; a=2 , b=−1

El vector propio es:[ 2−1]

7. Sea el sistema:

, si es el último digito de su código entonces el radio espectral de Jacobí será:

Las instrucciones en MATLAB serán:SoluciónAcu=[];for a=0:9A=[10 (a+5)/2; (a+4)/2 20];D=diag(diag(A));L=D-tril(A);U=D-triu(A);Tj=inv(D)*(L+U);Rho=max(abs(eig(Tj)));Acu=[Acu;a Rho];enddisp(Acu)a Radio Espectral de Jacobi0 0.15811 0.19362 0.22913 0.26464 0.30005 0.33546 0.37087 0.40628 0.44169 0.4770

a. Diga para que valores de a, la matriz admite el valor propio cero.

b. Para ese valor de a, determine los restantes valores propios y los correspondientes vectores propios

9. Supóngase una matriz invertible de segundo orden y con elementos diagonales no nulos

[a bc d ]

Hallar las matrices de iteración para los métodos de Jacobi y Gauss – Seidel e indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. Ambos sistemas convergen cuando ¿bcad

∨≥1

b. La convergencia del método de Gauss – Seidel es más rápida que Jacobi

10. Considerar el sistema lineal

¿Puede aplicarse Jacobi o Gauss-Seidel para resolver este sistema?. Encontrar un sistema equivalente al que si se le puede aplicar.

11. Dada la matriz :

i. Probar que los métodos de Jacobi y de Gauss-Seidel convergen o divergen exactamente para los mismos valores de b y c. ii. En caso de converger. ¿Cuál lo hace más rápidamente?