PROBLEMAS DE LINEAS DE ESPERA O DE TEORIA DE COLAS

1. Sam el veterinario maneja una clnica de vacunacin antirrbica para

perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres

minutos. Se estima que los perros llegarn en forma independiente y

aleatoriamente en el transcurso del da, en un rango de un perro cada

seis minutos, de acuerdo con la distribucin de Poisson. Tambin

suponga que los tiempos de vacunacin de Sam estn distribuidos

exponencialmente. Determine

a. La probabilidad de que Sam este de ocioso

b. La proporcin de tiempo en que Sam est ocupado.

c. El nmero total de perros que estn siendo vacunados y que esperan

a ser vacunados

d. El nmero promedio de perros que esperan a ser vacunados

2. Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por

minuto, l tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20

segundos. Actualmente parecen ser relevantes en esta situacin.

Determine

a. La probabilidad de que el operador este ocupado

b. El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser

tomada por l operador

c. solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y

exponencial El nmero de llamadas que esperan ser contestadas

3. Al principio de la temporada de futbol, la oficina de boletos se ocupa mucho el da anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transaccin es de dos minutos. Determine

a. El nmero promedio de gente en lnea b. El tiempo promedio que una persona pasara en la oficina de boletos

c. La proporcin de tiempo que el servidor est ocupado

4. Electronics Corporation retiene una brigada de servicio para reparar descomposturas de mquinas que ocurren con promedio de tres por da (aproximadamente de naturaleza de Poisson). La brigada puede servir a un promedio de ocho mquinas por da, con una distribucin de tiempo de reparacin que se asemeja la distribucin de exponencial.

a. La tasa de utilizacin de este sistema

b. El tiempo promedio de descompostura para cada mquina que est

descompuesta

c. Las mquinas que estn esperando a ser reparadas el cualquier

momento dado

d. La probabilidad de que haya una mquina en el sistema, dos, tres o

ms mquinas en el sistema.

5. Una empleada administra un gran complejo de cines llamados Cinemark 1, 2, 3 y 4. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una pelcula diferente, el programa se estableci de tal forma que las horas de las funciones se encuentren escalonadas para evitar las multitudes que ocurriran si los cuatro cines comenzarn a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa de promedio de servicio de 280 clientes por hora. Se supone que los tiempos de servicio siguen una distribucin exponencial. La llegada en un da son distribucin de Poisson y promedian 210 por hora. a. Encuentre el nmero promedio de cinfilos esperando en la lnea para

adquirir un boleto b. Qu porcentaje del tiempo est ocupado el cajero. c. Cul es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema. d. Cul es el tiempo promedio que pasa esperando en la lnea para llegar a la taquilla. e. Cul es la probabilidad de que haya ms de dos personas en la cola.

6. Kamals Deparment Store mantiene satisfactoriamente un departamento de ventas por catlogo en el cual el empleado toma las rdenes por telfono: Si el empleado est ocupado en la lnea, las llamadas telefnicas entran automticamente al departamento de catlogos y son contestadas por una grabadora y solicita esperar. Tan pronto el operador este libre y se comunica con el cliente que ha esperado mas. Las llamadas llegan a una tasa de 12 por hora. El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienen que seguir una distribucin de Poisson y los tiempos de servicio tienden a ser exponenciales. Al empleado se le pagan a 5 pesos la hora, pero debido a la buena voluntad, perdida y las ventas, la empresa pierde aproximadamente 25 dlares por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado le tome la orden. a. Cul es el tiempo promedio que los clientes de catlogo deben de

esperar, antes de que sus llamadas sean transferidas al empleado que recibe las ordenes

b. Cul es el nmero promedio de llamadores que esperan para colocar la orden. c. La empresa est considerando aadir un segundo empleado para tomar las llamadas. La tienda pude pagar a esa persona 5 dlares la hora. Debe de contratar otro empleado?

7. Willow Brook National Bank opera una ventanilla de cajero para

automovilistas que permite a los clientes efectuar transacciones

bancarias completas sin tener que salir de su auto. En las maanas, las

llegadas a la ventanilla del cajero automotriz ocurren de manera

aleatoria, con una tasa media de llegadas de 24 clientes por hora, es

decir 0,4 clientes por minuto.

a. Cul es el nmero medio o esperado de clientes que llegarn en un

periodo de 5 minutos?

b. Suponga que se puede utilizar una distribucin de probabilidad

Poisson para describir el proceso de llegadas. Utilice la tasa media

de llegadas del inciso (a) y calcule las probabilidades de que

exactamente 0, 1, 2 y 3 clientes lleguen durante un periodo de 5

minutos.

c. Se espera que haya atrasos, si llegan ms de 3 clientes durante

cualquier periodo de 5 minutos. Cul es la probabilidad de que

ocurran estos atrasos.

8. En el sistema de lneas de espera de Willow Brook National Bank,

suponga que los tiempos de servicio para el cajero destinado a

automovilistas siguen una distribucin de probabilidad exponencial, con

una tasa media de servicio de 36 clientes por hora, es decir 0,6 clientes

por minuto. Utilice una distribucin de probabilidad exponencial para

responder las preguntas que siguen:

a. Cul es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de 1 minuto

o menos?

b. Cul es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de 2 minuto

o menos?

c. Cul es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea ms de 2

minutos?

9. Utilice la operacin del cajero automotriz de un solo canal de los

problemas (1) y (2) para determinar las siguientes caractersticas de

operacin del sistema.

a. La probabilidad de que no haya ningn cliente en el sistema

b. El nmero promedio de clientes esperando

c. El nmero promedio de clientes en el sistema

d. El tiempo promedio que ocupa un cliente esperando

e. El tiempo promedio que ocupa un cliente en el sistema

f. La probabilidad de que clientes que llegan, tengan que esperar

servicio

g. Encuentre las probabilidades de 0, 1, 2 y 3 clientes en el sistema

h. Cul es la probabilidad de que haya ms de 3 clientes

simultneamente en el sistema de cajero automotriz?

10. La mesa de consultas de una biblioteca universitaria recibe solicitudes

de ayuda. Suponga que se puede utilizar una distribucin de

probabilidad de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por hora

para describir el patrn de llegadas y que los tiempos de servicio siguen

una distribucin de probabilidad exponencial, con una tasa media de

servicio de 12 solicitudes por hora

a. Cul es la probabilidad de que no haya ninguna solicitud de ayuda

en el sistema?

b. Cul es el nmero promedio de solicitudes que estn esperando

servicio?

c. Cul es el tiempo de espera promedio en minutos, antes de que se

inicie el servicio?

d. Cul es el tiempo promedio en la mesa de consultas en minutos

(tiempo de espera ms tiempo de servicio)?

e. Cul es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que

esperar servicio?

11. Los camiones que utilizan un andn de carga de un solo canal llegan

segn una distribucin de probabilidad de Poisson. El tiempo requerido

para cargar y descargar sigue una distribucin de probabilidad

exponencial. La tasa media de llegadas es de 12 camiones diarios y la

tasa media de servicio es de 18 camiones diarios.

a. Cul es la probabilidad de que no haya camiones en el sistema?

b. Cul es el nmero promedio de camiones esperando servicio?

c. Cul es el tiempo promedio que espera un camin a que se inicie el

servicio de carga y descarga?

d. Cul es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que

esperar?

12. Un vivero de pedidos por correo se especializa en hayas europeas. Los

nuevos pedidos, que procesa un solo oficinista de embarques, tienen

una tasa media de llegadas y servicio de 6 y 8 diarios, respectivamente.

Suponga que las llegadas siguen un distribucin de probabilidad Poisson

y que los tiempos de servicio siguen una distribucin de probabilidad

exponencial.

a. Cul es el nmero promedio de pedidos en el sistema?

b. Cul es el tiempo promedio que tarda una orden esperando, antes

de que el oficinista est disponible para iniciar el servicio?

c. Cul es el tiempo promedio que un pedido ocupa en el sistema?

13. El Banco Nacional de Occidente piensa abrir una ventanilla de servicio

en automvil para servicio a los clientes. La gerencia estima que los clientes llegarn a una tasa de 15 por hora. El cajero que estar en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de uno cada tres minutos. Suponiendo que las llegadas son de Poisson y que el servicio es exponencial, encuentre: a. La utilizacin del cajero. b. El nmero promedio en cola. c. Nmero promedio en el sistema. d. Tiempo promedio de espera en cola. e. Tiempo promedio de espera en el sistema (incluyendo el servicio).

Por la disponibilidad limitada de espacio y el deseo de proporcionar un nivel de servicio aceptable, el gerente del banco quisiera asegurar, con un 95% de certeza que los clientes no tengan que esperar y sean atendidos inmediatamente. Para ello tiene dos opciones: conseguir que el empleado de la ventanilla trabaje ms rpido, o poner ms empleados conservando la misma tasa de servicio. Evaluar las dos posibilidades

14. En el departamento de servicio del concesionario de automviles Glenn-Mark, los mecnicos que necesitan recambios para la reparacin o el servicio de un automvil presentan sus formularios de solicitud en el mostrador del departamento de recambios. El empleado del departamento llena una solicitud y va a buscar el repuesto que le ha pedido el mecnico. Los mecnicos llegan en forma aleatoria (Poisson) a una tasa de 40 por hora mientras que el empleado puede completar 20 solicitudes por hora (exponencial). Si el coste de un empleado del departamento de recambios es de 6 $/hora y el de un mecnico es de 12 $/hora, determinar el nmero ptimo de empleados para el mostrador. (Por la alta tasa de llegadas, se puede suponer una poblacin infinita)

15. Una empresa de ingeniera contrata a un especialista tcnico para que auxilie a cinco ingenieros de diseo que trabajan en un proyecto. El tiempo de ayuda del especialista vara considerablemente; algunas de las respuestas las tiene en la cabeza; otras requieren clculos; y otras ms requieren mucho tiempo de investigacin. En promedio, el especialista tarda una hora con cada solicitud. Los ingenieros requieren el apoyo del especialista una vez al da, en promedio. Puesto que cada ayuda tarda aproximadamente una hora, cada ingeniero puede trabajar siete horas, en promedio, sin ayuda. a. Cuntos ingenieros, en promedio, esperan ayuda del especialista tcnico? b. Cul es el tiempo promedio que tiene que esperar un ingeniero al especialista? c. Cul es la probabilidad de que un ingeniero tenga que esperar en

cola al especialista?

16. L. Winston Martn es un alerglogo de Tucson con un excelente sistema para atender a sus clientes habituales que slo van por inyecciones antialrgicas. Los pacientes llegan por una inyeccin y llenan una papeleta, la cual se coloca en una rendija que comunica con otra sala, donde estn una o dos enfermeras. Se preparan las inyecciones especficas para un paciente y se le llama por el sistema de megafona para que pase a la sala para la inyeccin. A ciertas horas del da, baja la carga de trabajo y solo se requiere una enfermera para aplicar las inyecciones. Centrmonos en el ms sencillo de los dos casos, es decir, cuando slo hay una enfermera. Suponga tambin que los pacientes llegan de forma aleatoria y que la tasa de servicio de una enfermera est distribuida exponencialmente. Durante el periodo ms lento, los pacientes llegan aproximadamente cada tres minutos. La enfermera necesita dos minutos para preparar el suelo del paciente y aplicar la inyeccin.

1. Cul es promedio de personas que estaran en el consultorio del Dr. Martn? 2. Cunto tiempo tardara una persona en llegar, recibir la inyeccin y salir? 3. Cul es la probabilidad de que estn tres o ms pacientes en el consultorio? 4. Cul es la utilizacin de la enfermera?

17. Una empresa de reproduccin grfica tiene cuatro unidades de equipo automticas, pero que en ocasiones estn fuera de servicio porque requieren suministros, mantenimiento o reparacin. Cada unidad requiere mantenimiento aproximadamente 2 veces por hora o, para ser ms precisos, cada unidad de equipo funciona durante un promedio de 30 minutos antes de requerir servicio. Los tiempos de servicio varan, desde un mantenimiento sencillo (como oprimir un botn de reinicio o colocar el papel) hasta una complicada operacin de desmontaje del equipo. Sin embargo, el tiempo promedio de servicio es de cinco minutos. El tiempo de inactividad del equipo ocasiona una prdida de 20 dlares por hora. El nico empleado de mantenimiento recibe 6 $/hora. Utilice el anlisis de colas con poblacin finita para calcular: 1. El nmero promedio de unidades en cola. 2. El nmero promedio de unidades en operacin. 3. El nmero promedio de unidades en el sistema de mantenimiento. 4. La empresa piensa contratar a otro empleado de mantenimiento a 6

$/hora. Debe hacerlo?

18. Durante la feria, el puesto de coches de choque tiene el problema de que los coches se averan y requieren reparaciones con demasiada frecuencia. Se puede contratar personal para las reparaciones a 15 $/hora, pero slo trabajan en equipo, es decir, si se contrata a una persona, trabaja sola; si son dos, tres o cuatro personas, slo pueden trabajar juntas en la misma reparacin. Una nica persona puede reparar vehculos en un tiempo promedio de 30 minutos; dos personas tardan 20; tres tardan 15 minutos y cuatro, 12 minutos. Si un vehculo est inactivo, las prdidas ascienden a 20 $/hora. El promedio de averas en vehculos es de dos por hora (suponer poblacin infinita y todas las distribuciones exponenciales). A cuntas personas hay que contratar para las reparaciones?

19. Una tienda de bebidas ha determinado que es econmicamente factible aadir una ventanilla para dar servicio a los automviles, con espacio para dos vehculos: uno en la ventanilla y otro esperando. El dueo quiere saber si le conviene alquilar ms espacio de espera. Se espera que los automviles lleguen (segn una distribucin de Poisson) a una tasa de ocho por hora. En la ventanilla se puede atender a una tasa de 10 automviles por hora (exponencial). Cada transaccin deja un beneficio de 1 $, y el dueo piensa abrir 12 horas al da, 6 das por semana y 52 semanas al ao. Los espacios adicionales cuestan 2000 $/ao cada uno. Cuntos vale la pena alquilar?.

20. Se trata de elegir entre dos tipos de equipo de manejo de materiales, A y

B, para transportar cierto tipo de bienes entre distintos centros de produccin dentro de un taller. La necesidad de una unidad de este equipo para mover una carga es en esencia aleatoria (es decir, sigue un proceso de entradas Poisson) con una tasa media de 4 por hora. El tiempo total requerido para mover una carga sigue una distribucin exponencial, con media 12 minutos con el equipo A y 9 minutos con el B. El coste total uniforme equivalente por hora (coste de recuperacin de capital ms el coste de operacin) sera 50 $ para A y 150 $ para B. Se estima que el coste de los bienes intiles (en espera de ser transportados o en trnsito) causados por el aumento de inventario de materiales en proceso es 20 $/hora y carga. Adems, la programacin de trabajo en los centros de produccin proporciona slo una hora entre la terminacin del proceso de una carga en un centro y la llegada de esa carga al siguiente centro. As, debe asociarse un coste de 100 $/carga y hora de retraso (incluyendo el trnsito) despus de la primera hora, por prdida de produccin debida al personal y equipo desocupados, costes extras para acelerar la produccin y supervisarla, etc. Suponiendo que slo se comprar un equipo de manejo de materiales, cul de los dos deber seleccionarse?