153

Ejercicios del Tema 2

1) Determine el dominio de la función f y trace una gráfica donde muestre como una

región de R2 el conjunto de puntos que están en el dominio:

a) f(x, y) = 229

4

yx −−.

b) f(x, y) = 22 44 yx −− .

c) f(x, y) = 2216

1

yx −−.

d) f(x, y) = sen (x + y). 1−

e) f(x, y) = ln (4 – x.y).

f) f(x, y) = xyx 2522 −+

.

g) f(x, y) = xyyx 1++ .

h) f(x, y) = 22

33

yx

yx

−

+ .

2) Determine el dominio de la función f y describa la región en R3 correspondiente al

conjunto de puntos en el dominio:

a) f(x, y, z) = zyxzyx

−−+− .

b) f(x, y, z) = 222 39 zyx −−− .

c) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 – 4) – z .

d) f(x, y, z) = exp ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++ 2221

zyx.

3) Trace algunas curvas de nivel de f:

a) f(x, y) = x2 – y2.

b) f(x, y) = y – x.

154

c) f(x, y) = x2 + y2 – 4x + 6y + 13.

d) f(x, y) = 2225 yx −− .

e) f(x, y) = x2 + 4y2.

4) Sea f(x, y) = x y. Encuentre una ecuación para la curva de nivel de f que pasa por

(–1, –1).

5) Sea f(x, y, z) = 4x2 + y2 – z2. Encuentre una ecuación para la superficie de nivel de f

que pasa por el punto (–1, 2, 3).

6) Describa las superficies de nivel de f.

a) f(x, y, z) = z + x2 + 4y2.

b) f(x, y, z) = x2 + 9y2.

c) f(x, y, z) = y.

d) f(x, y, z) = 4x2 + y2 + z2.

7) Determine h(x, y) si h = f og y obtenga además el dominio de h.

a) f(t) = ln t ; g(x, y) = x – y.

b) f(t) = t1 ; g(x, y) = 221 yx −− .

c) f(t) = sen t ; g(x, y) = 1− 224 yx −− .

8) Usando la definición de límite, demostrar que:

a) (5x – 4y) = 3. )2,1(),(

lim−−→yx

b) (2x + 3y) = –7. )3,1(),(

lim−→yx

c) (x)1,1(),(

lim→yx

2 + y2) = 2.

d) (x)1,3(),(

lim−→yx

2 + y2 – 4x + 2y) = – 4.

155

e) 0)2(

)2(3lim 22

2

)0,2(),(=

−+−

→ xyxy

yx.

f) 0)1(

)1(5lim22

2

)1,0(),(=

−+

−→ yx

yxyx

.

9) Utilice el teorema 3.1, para calcular los siguientes limites:

a) tan)3,3(),(

lim→yx

-1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛xy

.

b) yxyx 23

3lim)2,4(),( −−→

.

c) )3,1(),(

lim→yx ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2

212 yx .

d) ln(2 – xy). )1,1(),(

lim→yx

10) Evalúe el límite dado, mediante el uso de los teoremas de límites

a) )0,0(),(

lim→yx 22

44

yx

yx

−

− .

b) 22)0,0(),(

limyx

senxxyx +

−→

.

c) 22

44

)0,0(),( 2lim

yxyx

yx +

+→

.

d) yxyx

yx −−

→

33

)1,1(),(lim .

e) xxy

yx

1)cos(lim)0,0(),(

−→

.

f) xxysen

yx

)(lim)0,0(),( →

.

g) yx

yx

yx eeee

22

2

)0,0(),(

)(lim++

→.

156

h) xyxysene xy

yx

)(lim2

)0,0(),( →.

11) Determine si los siguientes límites existen. En los casos que existan, calcule su

valor.

a) 24

2

)0,0(),(

2limyxyx

yx +→.

b) 342

44

)0,0(),( )(lim

yxyx

yx +→.

c) 542

22lim 22)2,1(),( +−−++−−

→ yxyxyxxy

yx.

d) 22

2

)0,3(),( )3()3(3limyxyx

yx +−−

→.

e) 44

4

)0,0(),( 523lim

yxx

yx +→.

f) 22

2

)1,0(),( )1()1(2lim

−+−

→ yxyx

yx.

g) 44)0,0(),( 253limyx

xyyx +

−→

.

h) 22

22

)0,0(),( 3432limyxyxyx

yx ++−

→.

12) Si y 6)y,x(flim)b,a()y,x(

=→

2)y,x(glim)b,a()y,x(

=→

, hallar:

a) [ ])y,x(g)y,x(flim)b,a()y,x(

−→

b) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→ )y,x(g

)y,x(f4lim)b,a()y,x(

157

13) En cada caso, determine si la función dada es continua en el punto P indicado.

En caso contrario, señale el tipo de discontinuidad que se presenta.

a) f(x, y) =

d) f(x, y) = ; P(0, 0)

c) f(x, y) =

; P(0, 0) 342

44

)( yxyx

+ )0,0()y,x(si ≠

0 )0,0()y,x(si =

b) f(x, y) = (x + y) sen (yx ) ; P(0,0)

22

22

yxxy

+− )0,0()y,x(si ≠

g) H(x, y) =

h) G(x, y) =

f) f(x, y) =

; P(0, 0) 1 )0,0()y,x(si =

; P(0, 0)

; P(0, 0)

; P(3, 0)

22

4224 22yx

yyxx+

+++ )0,0()y,x(si ≠

2 )0,0(),( =yxsi

e) f(x, y) =22

2 32yxxyy

+

− ; )0,0(P

22

23yxyx

+ )0,0()y,x(si ≠

0 )0,0(),( =yxsi

yx

xy+

)0,0()y,x(si ≠

0 )0,0(),( =yxsi

( )( ) 22

2

333yxyx

+−− )0,3()y,x(si ≠

1 )0,3(),( =yxsi

158

i) f(x, y) = ; P(0, 0)

22

33

yxyx+

)0,0()y,x(si ≠

0 )0,0()y,x(si =

g) h(x, y) =

j) G(x, y) = yxyx+−2

2

22 ; )0,0(P

14) Analice la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = ln(x + y –1).

b) f(x, y) = ln(x2 + y2 –25).

c) g(x, y) = sec (xy). 1−

d) h(x, y) = yxyyx

−+

325 22

.

e) f(x, y) = 2225 yx −− .

f) g(x, y) = 21 yex − .

22 yxxy+

)0,0()y,x(si ≠

0 )0,0()y,x(si =

15) Obtenga las primeras derivadas parciales de f.

a) f(x, y) = xy

yx 22 42

+ .

b) f(r, s) = 22

22

srsr

+− .

c) f(x, y) = xe yx

.

d) f(x, y) = ey sen(xy).

e) f(t, v) = lnvtvt

−+ .

f) f(x, y) = 4y3+ 22 yx + .

159

g) f(x, y) = x cos(yx ).

h) f(x, y) = xyx sec4 22 − .

i) f(x, y) = e xy

ln(yx 2

).

j) f(x, y) = x2 cosh(yx ).

k) f(u, v, w) = uev + vew + weu.

l) g(r, s, t) = r2e2scost.

m) h(x, y, z) = sen (x + 2y + 3z).

n) f(r, s, v) = (2r + 3s)cosv.

o) f(x, y, z) = x2eylnz.

p) f(q, v, w) = sen-1 qv + sen(vw).

16) Verifique que wxy = wyx, para:

a) w = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y.

b) w = x2 2ye−

c) w = ln (x + y).

d) w = x2cosh )(yz .

e) w = yx

x+

2

.

f) w = sen (x y) + tan–1(x y).

g) w = 222 zyx ++ .

17) Muestre que la función dada es armónica.

a) f(x, y) = tan-1(xy ).

b) f(x, y) = cosx senh y + senx cosh y.

c) f(x, y) = e– xcos y + e– y cos x.

d) f(x, y) = ln (3x2 + 3y2).

160

18) Sea w = cos (x – y) + ln (x + y). Demuestre que 0yw

xw

2

2

2

2

=∂∂

−∂∂ .

19) Demuestre que v satisface la ecuación de onda

2

22

2

2

xva

tv

∂∂

=∂∂ , donde a es un parámetro.

a) v = sen (x + at).

b) v = cosh (3[x – at]).

c) v = (x – at )4 + cos (x + at).

20) Demuestre que las funciones u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy – Riemann

ux = vy y uy = - vx.

a) u(x, y) = 2222 ),(v,yxxyx

yxy

+=

+ .

b) u(x, y) = ex cos y , v(x, y) = ex sen y.

c) u(x, y) = cos x cosh y + sen x senh y, v(x, y) = cos x cosh y – sen x senh y.

21) Verifique que cada función satisface la ecuación del calor 2

22

xzc

tz

∂∂

=∂∂ , donde c

es un parámetro.

a) z = e-tcos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛cx .

b) z = e-4 t2c sen(2x)

22) Demuestre que la función w = (sen ax )(cos by ) zba 22

e +− satisface la ecuación de

Laplace en tres dimensiones:

0zw

yw

xw

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂ .

23) Sea w = f(x, y, z, r, t). Defina wr como un límite.

24) Sea w = y ln(x2 + z4). Obtenga wzzy.

25) Sea w = tan uv + 2 ln(u + v ). Verifique que wuvv = wvuv = wvvu.

161

26) Obtener expresiones para 21 y∈∈ que satisfagan la conclusión del teorema 3.8,

para cada una de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 4y2 – 3xy + 2x.

b) f(x, y) = (2x – y)2.

c) f(x, y) = x3 + y3.

d) f(x, y) = 2x2 – xy2 + 3y.

27) Determine dw, para cada una de las siguientes expresiones:

a) w = x3 – x2y + 3y2.

b) w = x2 sen y + 2y3/2.

c) w = ye-2x – 3x4.

d) w = zyx

xyz++

.

e) w = x2eyz + y lnz.

f) w = x2 ln(y2 + z2).

g) w = x tan– 1z – zy 2

.

28) Use diferenciales para calcular aproximadamente la variación en

f(x, y) = x2 – 3x3y2 + 4x – 2y3 + 6 cuando (x, y) varía de (–2, 3) a (–2.02, 3.01).

29) Use diferenciales para calcular aproximadamente la variación en f(x, y) = x seny

cuando (x, y) varía de (1, 2) a (1.05, 2.1).

30) Use diferenciales para calcular aproximadamente el cambio en

f(x, y, z) = x2z3 – 3yz2 + x-3 + 2y1/2z cuando el valor de (x, y, z) varía de (1, 4, 2) a

(1.02, 3.97, 1.96).

31) Los lados de un paralelepípedo rectangular miden 3, 4 y 5 pies, con un error

posible de 1/192 pies. Use diferenciales para estimar el error máximo en el valor

calculado de:

162

a) El área de la superficie del paralelepípedo.

b) El volumen de este cuerpo.

32) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm, con un error posible de 0.1

cm en cada medición. Use diferenciales para estimar el error máximo en el valor

calculado de:

a) La hipotenusa.

b) El área del triángulo.

33) El radio y la altura de un cilindro circular recto miden 3 y 8 pulgadas,

respectivamente, con un error posible en la medición de 0.05 pulgadas. Use

diferenciales para estimar el error que se comete al calcular el volumen del cilindro.

34) Si para calcular sen(x + y) se usa la fórmula sen(x + y) = senx cosy + seny cosx.

¿Cuál sería un valor aproximado del error que resultaría si se tiene un error de 0.1º

en la medida de x y de y. Suponga además que senx = 53 y seny =

135 .

35) Se miden el radio r y la altura h de un cilindro circular recto con un posible

aumento en el radio del 4% y una disminución factible en la altura del 2%. Dé una

aproximación del porcentaje de error máximo posible al medir el volumen.

36) El área de un triángulo viene dada por la fórmula A = 21 bc senα. Si b = 10 cm,

c = 20 cm y α = 60º.

a) Hallar el área.

b) Hallar la rapidez de variación del área con respecto al ángulo α si c y

b permanecen constantes.

37) La resistencia eléctrica R de un alambre es directamente proporcional a su

longitud e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro. El error posible en

163

la medida de la longitud es de 1% y en la medida del diámetro es de 3%. ¿Cuál es el

máximo error porcentual en el valor calculado de R?

38) Demuestre que f es diferenciable en todos los puntos de su dominio:

a) f(x, y) = 2x4 – 4x2y2 + x-2y-2.

b) f(x, y) = 22

22

yxyx

+− .

c) f(x, y, z) = 222 zyxzyx

++++ .

f(x, y) = 39) Dada 342

44

)( yxyx

+ )0,0(),( ≠yxsi

0 )0,0(),( =yxsi

Demuestre que:

a) fx y fy existen en (0, 0).

b) f no es diferenciable en (0, 0).

f(x, y, z) =

f(x, y) =

40) Sea 333 zyxxyz

++ )0,0,0(),,( ≠zyxsi

0 )0,0,0(),,( =zyxsi

Demuestre que fx , fy y fz existen en (0, 0, 0), pero que f no es diferenciable en (0, 0, 0).

41) Sea 22

2

yxxy+

)0,0(),( ≠yxsi

0 )0,0(),( =yxsi

a) Pruebe que existen xf∂∂ (0, 0) y

yf∂∂ (0, 0).

164

b) ¿Existe )0,0(x

f2

2

∂∂ ?

c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?

42) Demuestre que f(x, y) = x ex y es diferenciable en (1,0).

43) Use la regla de la cadena para encontrar dtdw

a) w = x2 + y2, x = et, y = e–t

b) w = x3 – y3, x = 1

1+t

, y = 1+tt

c) w = sen (x.y.z), x = t, y = t2, z = t3

d) w = 222 zyx ++ , x = tan t , y = cos t, z = sen t ; 0 < t < 2π

44) Utilice la regla de la cadena para hallar rw∂∂

y sw∂∂

a) w = u2 + 2uv , u = r ln s, v = 2r + s

b) w = cosh xy , x = 3r2 s, y = 6ser

45) Encuentre y’ suponiendo que y = f(x) satisface la ecuación dada:

a) 2x3 + x2y + y3 = 1

b) x4 + 2x2y2 – 3xy3 + 2x = 0

c) x2/3 + y2/3 = 4

46) Encuentre xz∂∂ y

yz∂∂ suponiendo que z = f(x, y) satisface la ecuación dada:

a) 2xz3 – 3yz2 + x2y2 + 4z = 0.

b) x exy + y exz + z exy = 3.

c) yexyz cos (3xz) = 5.

d) tan (x + y) + tan (y + z) = 1.

165

47) Pruebe que si r = 222 zyx ++ entonces 23

222 )zyx(

xr1

x++

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

48) Dada la función u = x + zyyx

−− , pruebe que 1

zu

yu

xu

=∂∂

+∂∂

+∂∂

49) Pruebe que la función z = y2f(x2y) satisface la ecuación yz4

xz

yx

yz2 =

∂∂

−∂∂

50) Compruebe que la función definida por z = x f (y2 – x2) satisface la ecuación

2xz

yz

y1

xz

x1

=∂∂

+∂∂

51) Pruebe que la función z = x2 f (y3 – x3) satisface la ecuación z2yz

yx

xz.x 2

3

=∂∂

+∂∂

52) Pruebe que la función z = ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛2y2

2x

y yege satisface la ecuación

z.y.xyz.xy

xz)yx( 22 =

∂∂

+∂∂

−

53) Pruebe que la función z = f (x + g(y)) satisface la ecuación 2

22

xz.

yz

yxz

xz

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂∂

54) Pruebe que si z = xy + xe xy

, entonces zxyyz.y

xz.x +=

∂∂

+∂∂

55) Sea v = , donde f y g tienen segundas derivadas parciales.

Demuestre que v satisface la ecuación de onda

)atx(g)atx(f ++−

2

22

2

2

xva

tv

∂∂

=∂∂

56) Sean w = f(x, y) , x = r cosθ, y = r senθ. Demuestre que

2

2

222 1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

θw

rrw

yw

xw

57) Sean w = f(x, y), x = r cosθ, y = r senθ. Pruebe que

rw

r1w

r1

rw

yw

xw

2

2

22

2

2

2

2

2

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

θ

166

58) Sea w = f(x2 + y2). Demuestre que y =∂∂

−∂∂

ywx

xw 0.

59) Sea f(x, y) = F(x2 – y2, 2xy). Encuentre 2

2

xf

∂∂ .

60) Si w = f(x, y) con x = e cosθ, y = e sen (2θ). Halle r2− r3−

θ∂∂∂r

w2

61) Sea w = f(x, y) con x = r cosθ, y = r senθ. Halle 2 2

θ∂∂∂r

w.r1 2

62) Sean u = f(x, y) y v = g(x, y) funciones que satisfacen las ecuaciones de Cauchy –

Riemann ux = vy y uy = – vx. Demuestre que si x = rcosθ e y = rsenθ, entonces

θ∂∂

=∂∂ v

r1

ru y

θ∂∂

−=∂∂ u

r1

rv .

63) Si w = f(x, y) con x = e cosθ, y = e senθ. Halle r− r−2

2wθ∂

∂ .

64) Si F(x, y) = , encuentre ∫2y2x

0

3t dte 2

2

xF

∂∂ .

65) Si F(x, y) = , Use la regla de la cadena en forma adecuada para hallar ∫2y2x

0

t3 dte

2

2

xF

∂∂ (1, 2).

66) Sea (u, v) F(u, v) una función de Ra 2 en R y f : R2 R la función definida por

f(x, y) = F(x

→

2 – y2, 2xy). Pruebe que si (x, y) ≠(0, 0) se tiene que 2

2

uF

∂∂ + 2

2

vF

∂∂ = 0 implica

que 2

2

xf

∂∂ + 2

2

yf

∂∂ = 0.

67) Determine el gradiente de f en el punto indicado.

a) f(x, y) = x2 – 3xy + y2; P(4, 2).

b) f(x, y) = e ; P(0, 0). 22 yx −−

c) f(x, y) = e ; P(1, yx tan3−

4π ).

167

d) f(x, y) = x ln (x – y); P(5, 4).

e) f(x, y, z) = 222 zyx ++ ; P = (–1, 4, 2).

f) f(x, y, z) = x y2 eyz ; P(2, – 1, –2).

g) f(x, y, z) = e3z (sen 2x – cos 3y); P(4π ,–

6π , 1).

68) Encuentre la derivada direccional de la función dada en el punto P, en la dirección

indicada.

a) f(x, y) = x3 – 3x2y – y3; P(1, –2), a = 21 (– i + j3 ).

b) f(x, y) = yxyx

+− ; P(2, –1), a = 3i + 4j.

c) f(x, y) = 22 yx + ; P(3, 4), a = 3i – 4j.

d) f(x, y) = ex sen y; P(1, 2π ), a = – i.

e) f(x, y) = tan-1(xy ); P(4, – 4), a = 2i – 3j.

f) f(x, y) = sen x cos y; P(3π ,

32π− ), a = 4i – 3j.

g) f(x, y, z) = ; P(1, 2, –1), 222 zyx ++ a = i – 2j + 3k.

h) f(x, y, z) = xy + yz + xz; P(1, 1, 1), a = 2i + j – k.

i) f(x, y, z) = x tan-1(yz); P(4, 1, 1), a = i + 2j – k.

j) g(x, y, z) = xy senz ; P(4, 9, 4π ), a = 2i + 3j – 2k.

69) Sean u = f(x, y), v = g(x, y), donde f y g son diferenciales. Demuestre

a) (cu) = c∇u, para cualquier constante c. ∇

b) (uv) = u v + v∇u. ∇ ∇

c) (∇vu ) = 2v

vuuv ∇−∇ ; v ≠ 0.

d) u∇ n = nun-1∇u, para todo número real n.

168

e) Si w = h(u), entonces ∇w = dudw ∇u.

Para los ejercicios del 70 – 74:

a) Calcule la derivada direccional de f en P en la dirección de P a Q.

b) Encuentre un vector unitario en la dirección de máximo crecimiento de f en

P y calcule la tasa de crecimiento de f en esa dirección.

c) Encuentre un vector unitario en la dirección en la que f disminuye más

rápidamente en P y calcule la razón de cambio de f en esa dirección.

70) f(x, y) = ex tan-1y; P(0, 1), Q(3, 5).

71) f(x, y) = sen (2x – y); P(3π− ,

6π ), Q(0, 0)

72) f(x, y, z) = x – 2y + z2; P(3, 1, -2), Q(10, 7, 4)

73) f(x, y, z) = 222 zyx ++ ; P = (-2, 3, 1), Q(0, –5, 4)

74) f(x, y, z) = zy

yx− ; P(0, –1, 2), Q(3, 1, – 4)

75) La superficie de un lago está representada por una región D en el plano xy de

manera que la profundidad (en metros) bajo el punto correspondiente a (x, y) es

f(x, y) = 300 – 2x2 – 3y2. Una niña está en el agua en el punto (4, 9).

a) ¿En qué dirección debe nadar para que la profundidad del agua bajo ella

disminuya más rápidamente?.

b) ¿En qué dirección permanecerá constante la profundidad?

76) La función h(x, y) = 4000 – 0.001x2 – 0.004y2 describe la superficie de una

montaña. Suponga que un alpinista está en el punto (500, 300, 3390). ¿En qué

dirección debe moverse para ascender lo más rápido posible?

77) La temperatura T en un punto (x, y, z) de un sistema de coordenadas

rectangulares en el espacio está dada por la fórmula T(x, y, z) = 222 zyx100

++.

169

a) Calcular la razón de cambio de T en el punto P(1, 3, –2) en la dirección del

vector a = i – j + k.

b) ¿En que dirección a partir de P aumenta más rápidamente T? ¿Cuál es la

tasa máxima de variación de T en P ?

78) Suponga que en cierta región del espacio, la expresión V(x, y, z) = 5x2 – 3xy + xyz

proporciona el potencial eléctrico V.

a) Determine la razón de cambio del potencial en P(3, 4, 5) en dirección del

vector v= i + j – k.

b) ¿En qué dirección cambia con mayor velocidad V en P?

c) ¿Cuál es la razón máxima de cambio en P?

79) Sean u un vector unitario y θ el ángulo que forma con la parte positiva del eje x,

medido en sentido contrario al de las agujas del reloj.

a) Demuestre que

Du f(x, y) = fx(x, y) cosθ + fy(x, y) senθ.

b) Sean f(x, y) = 3 – 2y

3x− y θ =

34π . Calcule Du f(3, 2).

c) Sean f(x, y) = x2 + y2 – 2 y θ =4π . Calcule Du f(–2, 1).

d) Sean f(x, y) = 3x2 – y2 + 4x y θ =6π . Calcule Du f(1, 0).

80) Obtenga ecuaciones para el plano tangente y la recta normal a la gráfica de la

ecuación dada en el punto P indicado.

a) z = 4x2 – y2 ; P(5, –8, 36).

b) xyz = 10 ; P(1, 2, 5).

c) y = ex cos z; P(1, e, 0).

d) z = tan-1(xy ); P(1, 1,

4π ).

170

81) Demuestre que el plano tangente a la superficie cuadrática dada en el punto

P0 (x0, y0, z0) tiene la ecuación indicada.

a) 1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2=+− ; 1

czz

byy

axx

20

20

20 =+− .

b) czby

ax

2

2

2

2=− ; )zz(c

byy2

axx2

020

20 +=− .

82) Hallar los puntos de la superficie x2 –2y2 + 4z2 = 16 en los que el plano tangente es

paralelo al plano 4x + 4y + 8 z27 = 10.

83) Encuentre los puntos de la superficie 4x2 + 2y2 + z2 = 1, en los que la recta normal

es paralela a la recta que pasa por los puntos P(–2, 4, –6) y Q(5, –1, 2).

84) Demuestre que cualquier recta normal a una esfera pasa por el centro de ésta.

85) Demuestre que las superficies x2 + 4y + z2 = 0 y x2 + y2 + z2 – 6z + 7 = 0 son

tangentes entre sí en (0, –1, 2), es decir; demuestre que tienen el mismo plano tangente

en ese punto.

86) Las superficies x2 + y2 – z2 = 1 y x + y + z = 5 se cortan en una curva C. Determine

la recta tangente a la curva C en el punto (1, 2, 2).

87) Determine una ecuación del plano tangente al paraboloide z = 2x2 + 3y2 , si dicho

plano es paralelo al plano 4x – 3y – z = 10.

88) Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de

intersección de las superficies f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – 6 y g(x, y, z) = x – y – z en el

punto (2, 1, 1).

89) Demuestre que la suma de los cuadrados de las coordenadas x, y, z de las

intersecciones con los ejes x, y, z de cualquier plano tangente a la gráfica de la

ecuación 32

32

32

32

azyx =++ es igual a la constante a2.

90) Encuentre el punto de la superficie z = 3 – x2 – y2 + 6y donde el plano tangente es

horizontal.

171

91) Se dice que dos superficies son ortogonales en uno de sus puntos de intersección

P(x, y, z) si sus rectas normales en P son perpendiculares. Demuestre que

x2 – 2yz + y3 = 4 es ortogonal a x2 + 2y2 – z2 + 1= 0 en el punto (1, –1, 2).

92) Pruebe que la función f(x, y) = xye⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−

8

2x2y4

tiene un punto silla, dos mínimos

locales y dos máximos locales.

93) Determine los extremos relativos de f, si existen

a) f(x, y) = x2 – 3xy – y2 + 2y – 6x.

b) f(x, y) = x2 + 6xy + 10y2 – 4y + 4.

c) f(x, y) = x3 + y2 – 6x2 + y – 1.

d) f(x, y) = 5 + 4x – 2x2 + 3y – y2.

e) f(x, y) = x sen y.

f) f(x, y) = sen (x + y) + sen x + sen y; 0 ≤ x ≤ 2π; 0 ≤ y ≤ 2π

g) f(x, y) = yx

x+

h) f(x, y) = x1 –

y64 + xy

94) Utilice el paquete matemático Maple6 para graficar

f(x, y) = (x2 + 3y2) 2y2xe −−

¿Cuántos puntos críticos visualiza?

Demuestre que hay cinco puntos críticos y determine los extremos relativos de f.

95) Halle los extremos absolutos de la función en la región R indicada.

a) f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2; R = { (x, y) : –2 ≤ x ≤ 4, –1 ≤ y ≤ 3 }

b) f(x, y) = x2 + xy ; R = { (x, y) : x ≤ 2, y ≤ 1 }

c) f(x, y) = x2 + y2 –2x; R es la región triangular con vértices (0, 0), (2, 0)

y (0, 2).

d) f(x, y) = 1 + xy – x – y ; R es la región que está acotada por las gráficas de

y = x2 y la recta y = 4 .

e) f(x, y) = 2xy ; R es la región acotada por x2 + y2 = 1.

172

f) f(x, y) = x2 + 4y2 – x + 2y ; R es la región acotada por la elipse x2 + 4y2 = 1.

96) Establezca la distancia más corta del punto (1, 2, 3) al plano 2x + 3y – z = 12

97) Calcule la distancia más corta entre los planos 2x + 3y – z = 2 y 2x + 3y – z = 4

98) Encuentre la distancia mínima entre el origen y la superficie z2 = x2y + 4

99) Encuentre tres números reales positivos cuya suma sea 30 y su producto sea

máximo.

100) Si una caja abierta con forma de paralelepípedo rectangular debe tener

superficie con área A ¿qué dimensiones harán que el volumen sea máximo?

101) Determine el volumen máximo del paralelepípedo rectangular con caras paralelas a los planos coordenados que puede inscribirse en el elipsoide 9x2 + 36y2 + 4z2 = 36. 102) Se desea construir un recipiente con tapa en forma de un cilindro circular recto. ¿ Cuáles son las dimensiones relativas para las cuales el volumen es máximo, si el área de la superficie tiene un valor fijo S ?. 103) Use el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos locales de la función f, sujeta a las restricciones dadas:

a) f(x, y) = xy ; x + y = 10 b) f(x, y) = 2x2 + xy – y2 + y ; 2x + 3y = 1 c) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 ; 3x – 2y + z = 4 d) f(x, y, z) = xyz ; x + y + z = 6 e) f(x, y, z) = x + 2y –3z ; z = 4x2 + y2 f) f(x, y, z) = xy + yz ; x + 2y = 6 ; x – 3z = 0 g) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 ; x + 2y + 3z = 6 ; x – y – z = – 1 h) f(x, y, z) = xyz ; x + y + z = 4 ; x – y – z = 3

104) Use multiplicadores de Lagrange, para encontrar el volumen máximo del paralelepípedo rectangular tal que sus tres aristas están en las partes positivas de los ejes x, y, z, respectivamente, y uno de sus vértices está en el plano 2x +3y +4z = 12. 105) Use multiplicadores de Lagrange, para demostrar que el producto de tres números positivos cuya suma es S, es máximo si los tres números son iguales.

173

106) Sea C la recta de intersección de los planos 3x +2y + z = 6, x – 4y + 2z = 8. Encuentre el punto de C más cercano al origen, utilizando multiplicadores de Lagrange. 107) Se desea construir una caja sin tapa con la forma de un paralelepípedo rectangular que tenga un volumen de 12 pie3. El costo por pie cuadrado del material que se usará para el fondo es de $4, el que se usará para dos de los lados opuestos es $3 y el que se usará para los otros dos lados opuestos es de $2. Use el método de multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo. 108) Con los multiplicadores de Lagrange, demuestre que el rectángulo con área máxima que tiene un perímetro dado p es un cuadrado. 109) Determine los puntos sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 4 que estén más cercanos y más alejados del punto (3, 1, –1). Use multiplicadores de Lagrange. 110) Use multiplicadores de Lagrange, para determinar el volumen máximo de una

caja rectangular inscrita en el elipsoide 1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2=++ , con sus caras paralelas a los

ejes coordenados. 111) Sea f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 5z2. Encontrar el punto del plano 2x + 3y + 4z = 12 en el que f(x, y, z) alcanza su valor mínimo. Utilice el método de multiplicadores de Lagrange. 112) Halle el máximo y mínimo de la función f(x, y), con la restricción g(x, y) ≤ c.

a) f(x, y) = 4 x y sujeta a x2 + y2 ≤ 8. b) f(x, y) = 4 x y sujeta a 4x2 + y2 ≤ 8. c) f(x, y) = 4 x2 y sujeta a x2 + y2 ≤ 3. d) f(x, y) = 2 x3 y sujeta a x2 + y2 ≤ 4.

113) Para un negocio que fabrica tres productos, suponga que al fabricar x, y, z miles de unidades de los productos, la utilidad de la compañía (en miles de dólares) se puede modelar mediante P(x, y, z) = 4x + 8y + 6z. Las restricciones de manufactura exigen x2 + 4y2 +2z2 ≤ 800. Halle la utilidad máxima de la compañía. 114) Suponga que en el ejercicio anterior el negocio tiene como función utilidad P(x, y, z) = 3x + 6y + 6z con restricción de manufactura de 2x2 + y2 + 4z2 8,800. Maximice las utilidades.

≤

115) Suponga que en el ejercicio 113 el negocio tiene como función utilidad P(x, y, z) = 3xz + 6y con restricción de manufactura de x2 + 2y2 + z2 ≤ 6. Maximice las utilidades.