Capitulo I

Matemática I

Objetivo 2. Efectuar problemas relacionados con los números reales que

involucren operaciones definidas o cálculos directos utilizando calculadora en

ese conjunto.

Ejercicio 1

Para el logro del objetivo debes responder correctamente dos partes.

En el cuadro que se te da al final de los siguientes enunciados están las

posibles respuestas que corresponden a los espacios en blanco que hacen que

dichos enunciados sean verdaderos. Complétalos.

a. Si construimos un cuadrado de lados 2, entonces la longitud de su

______________ no corresponde a un número _____________.

b. El conjunto de los números irracionales se define como el conjunto de las

expresiones decimales con ___________ cifras __________________.

c. Un número real es cualquier número que se puede escribir mediante una

_____________ decimal ___________ o _____________

Cuadro de posibles respuestas:

Perímetro periódicas

Cateto no periódicas

Diagonal decimales

Racional reales

Irracional función

Finitas expresión

Infinitas indefinida

Solución

Justificación: En este caso, para completar los enunciados debemos

razonar cual o cuales de las palabras hacen que los enunciados sean

verdaderos, así:

a) Observemos que un cuadrado de lado 2, sería de la forma:

Y de este cuadrado podemos obtener:

La longitud d ala diagonal del cuadrado que podemos calcularlo, así:

En el triángulo rectángulo ABC, podemos calcular la longitud de la

diagonal AB por medio del teorema de Pitágoras:

2 2 2

2 2 22 2 8

8

AB AC BC

AB

AB

= += + =

=

pero 8 se puede descomponer en factores primos así:

Entonces: 3 22 2 2 2 2AB = = =

Explicaremos un poco este último paso:

-Sabemos que al descomponer el 8 en factores primos, tenemos: 38 2=

-Luego para simplificar dentro de la raíz, aplicamos la propiedad de

potenciación que nos dice lo siguiente: n m n ma a a

+= , de forma que: 3 2 12 2 2= ,

pero en Matemática se puede escribir: 12 2= , y por esto se efectuó:

3 22 2 2= .

- Pero luego observamos que quedo 2 2 , veamos ¿por qué?. Cuando

trabajamos con radicales aplicamos varias de sus propiedades, en este

caso aplicaremos las siguientes propiedades:

a) ab a b= b) n

m n ma a=

Observe: 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2= = =

En fin, tenemos que la diagonal del cuadrado de lado 2 es 2 2 que es

un número irracional.

Con este análisis, y tomando en cuenta las palabras que aparecen en el

cuadro la respuesta para la opción a, es:

Respuesta a:

a) a. Si construimos un cuadrado de lados 2, entonces la longitud de su

diagonal no corresponde a un número racional.

b) Para justificar esta completación nos apoyamos en la definición de

número irracional, a saber: Un número irracional es aquel que no se puede

expresar como el cociente de 2 números enteros, es decir, poseen un decimal

infinito no periódico, así:

Respuesta b:

b) b. El conjunto de los números irracionales se define como el conjunto

de las expresiones decimales con infinitas cifras no periódicas.

c) Para justificar esta completación se hace uso de la siguiente

afirmación:

= ∪ Ιℝ ℚ

es decir, los reales son la unión de los números racionales e irracionales, y

sabiendo que los números racionales son aquellos que se pueden expresar

como el cociente de 2 números enteros, por ende poseen decimal finito o

infinito periódico, y conociendo la definición de números irracionales dada en el

apartado inmediato anterior “b” podemos completar esta opción así:

Respuesta c:

c) c. Un número real es cualquier número que se puede escribir

mediante una expresión decimal periódica o no-periódica

Ejercicio 2

Indica usando una calculadora el valor aproximado por defecto, con seis cifras

decimales del número

e + 2π , tomando e = 2,7182818 y π = 3,1415926. Justifica tu respuesta

a. 5,224911. b. 5,22492. c. 5,224900. d. 5,224910.

Solución

Justificación:

Bueno, dependiendo de la calculadora que utilices, podrás efectuar esta

operación de distintas maneras:

Si tu calculadora es así:

puedes hacer lo siguiente: 2,7182818 (sabiendo que en la calculadora la coma

se expresa con el punto).

Luego presiona la tecla +

Luego la tecla con el símbolo

Luego abre paréntesis presionando la tecla (

Luego escribe 2

Luego la tecla X

Luego introduce el número

Primero introduce el valor 3,1415926 (recordando que en la calculadora

la coma se expresa con el punto)

luego cierra el paréntesis presionando la tecla )

Y finalmente presiona la tecla =

De esta forma obtendrás:

≈ 5,2249101

Al redondear por defecto y con 6 cifras decimales significativas,

obtenemos:

5,224910

Por lo tanto:

Respuesta: La opción correcta es la opción d.

Nota: Como existen varios tipos de calculadora, si deseas saber como realizar

esta operación con tu calculadora, envía a mi correo el modelo de tu

calculadora, mi correo es: jorgegranadillomat@gmail.com o un mensaje a mi

celular 0416-8431120, para hacerte llegar la forma de ejecutar dicha operación.

Ejercicio 3

Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos opciones.

Dadas las siguientes afirmaciones, indica en el espacio subrayado, con una V

si es verdadera o con una F si es falsa.

Justifica tus respuestas .

Solución

Justificación:

a. Todo número real siempre es irracional _____.(Esto es falso, porque no

TODO numero real es irracional, ya que el conjunto de los números reales es la

unión de los números racionales con los irracionales, por ende, existen

números reales racionales)

b. Los números racionales son expresiones decimales infinitas no periódicas

_____.(esto es falso, porque si recordamos la definición de numero racional, la

cual indica que son aquellos que se pueden expresar como el cociente de 2

números enteros, y por ende son números con decimales finitos o infinitos

periódicos, contradiciendo la afirmación dada)

c. El conjunto de los números reales se obtiene de la unión entre los conjuntos

de los números racionales y de los irracionales_____.(esto es verdadero y se

justifica con lo expresado en el apartado a)

Respuesta:

a. F

b. F

c. V

Ejercicio 4

Al calcular el área de un triángulo cuya base es de 0,02m y altura igual a 3 m,

su área aproximada, tomando 3 1,73205= es:

Justifica tu respuesta

a. 0,173205 2m b. 1,73205 2

m c. 0,0173205 2m d. 17,3205 2

m

Sugerencia: El área de un triángulo de base b y altura h está dada por:

1

2A bh=

Solución

Justificación: Como observamos en el enunciado, tenemos 0,02b m= y

3 1,73205h = = , sustituyendo en la fórmula del área que nos dan en la

sugerencia, se tiene:

( ) ( ) 21 10,02 1,73205

2 2A bh m= =

Haciendo uso de la calculadora, se tiene:

0,0173205 2m

Respuesta: Por lo tanto la opción correcta es la c.

Ejercicio 5

Rellene el siguiente recuadro marcando con una X donde considere si el

número

de la columna de la izquierda es RACIONAL o IRRACIONAL .

Justifica tu respuesta

RACIONAL IRRACIONAL

7

4

7−

9

2

3

5−

Solución

Justificación:

Para los números 7 , 3 y 5− , se puede aplicar la siguiente

afirmación: La raíz de índice par de un número primo es un número irracional.

Y en este caso el índice es par porque todas son raíces cuadradas y los

números, 7, 3 y 5 son números primos, por ende son números irracionales.

Por otra parte para los números 4

7− y

9

2 son números expresados como

el cociente de 2 enteros, coincidiendo perfectamente con la definición de

número racional, por lo tanto:

Respuesta:

RACIONAL IRRACIONAL

7 X

4

7− X

9

2 X

3 X

5− X

Ejercicio 6

Si una lamina cuadrada tiene un área de 750 2cm . Indica la aproximación por

exceso , con dos cifras decimales , del valor de la longitud un lado de la

lámina.

Justifica tu respuesta

a. 27,38 cm. b. 27,37 cm. c. 27,50 cm. d. 27,39 cm.

Solución

Justificación:

Como la lámina es cuadrada y me dan como dato el área, utilizaremos la

fórmula del área de un cuadrado, a saber: 2

A l=

donde A es el área y l la longitud de su lado.

Despajando l de la fórmula dada, se obtiene:

l A=

Sustituyendo el valor del área dado 2750A cm= y utilizando la

calculadora, se obtiene:

2750 27,38612787525830567284848914004l cm= ≈

Como se nos pide la aproximación por dos cifras decimales observamos

que al lado derecho del número 8 resaltado en amarillo

(27,38612787525830567284848914004) hay un número mayor que 5 resaltado

en verde (27,38612787525830567284848914004), por ende se le suma 1 al

número 8 resaltado en amarillo, quedando:

27,39 cm.

Respuesta: La alternativa correcta es la opción d.

Ejercicio 7

El ancho de la pantalla de un DVD portátil tiene 6 centímetros más que la

longitud de su altura y su diagonal es 12 centímetros más que la altura.

Determina su: base (ancho), altura y diagonal.

Solución

Justificación: Veamos el siguiente dibujo (figura 1) que nos ilustra la situación

planteada, según el cual la pantalla queda dividida en dos triángulos

rectángulos al dibujar la diagonal, que es la hipotenusa en el triángulo

resaltado. De acuerdo al teorema de Pitágoras tenemos: ( ) ( )2 2212 6h h h+ = + +

(1) de donde 2 2 224 144 12 36h h h h h+ + = + + + ; agrupando términos se tiene

212 108 0h h− − = (2) La ecuación (2) tiene como raíces o soluciones a −6 y 18;

la raíz negativa se descarta porque las longitudes no pueden ser de naturaleza

negativa. Por lo tanto…

figura 1

Altura: 18h cm= , Base: 6 18 6 24h cm+ = + = y Diagonal:

12 18 12 30h cm+ = + = , así:

Respuesta: Las dimensiones de la pantalla son Altura = 18 cm; Base =

24 cm; Diagonal = 30 cm

Ejercicio 8

Cuando se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial

de 4 [m/seg] y desde 1 [m] sobre el piso, su altura después de t segundos se

obtiene a partir de: 25 4 1h t t= − + + (1). Determina el tiempo en que la pelota

toca el piso. Analiza con cuidado tu respuesta.

Solución

Justificación: La “pelota toca el piso” significa h = 0, si se sustituye en (1), se

tiene: 25 4 1 0t t− + + = (2), al multiplicar esta ecuación (2) por menos uno en

ambos miembros de la misma para que el coeficiente de 2t sea positivo

obtenemos: 25 4 1 0t t− − = (3) Al resolver esta ecuación de 2do. Grado se

obtienen dos soluciones reales para t, (aplicando el o la “resolvente”) ellas son

10, 2t = − [seg] y

21t = [seg]. La primera solución se descarta ya que un instante

negativo representaría un evento que ocurre “antes” de efectuar el lanzamiento

de la pelota, por lo tanto la solución válida para este problema es 2

1t = [seg]

Respuesta: La pelota tarda un segundo en llegar al piso después de ser

lanzada.

Ejercicio 9

Un trozo de alambre de 30 cm de largo se dobla de manera que se forma un

rectángulo. Si uno de los lados del rectángulo mide 21 cm, calcule el área del

rectángulo.

Nota: No utilice valores aproximados.

Solución

Justificación: Para calcular el área de un rectángulo, debemos conocer la base

y altura del mismo, es decir:

A b h= ×

En este caso conocemos un lado, que podemos tomar como la base o el

ancho, ya que el problema menciona que uno de los lados del rectángulo vale

21 cm, por lo tanto puedes seleccionar o bien la base o altura, seleccionare la

base, por lo tanto tenemos:

Observa que para calcular el área solo falta calcular la altura, para

conocer la altura debemos hacer uso de que el rectángulo dado se formó de

doblar un alambre de 30cm de largo, es decir, teníamos un alambre recto como

el siguiente:

Los lados coloreados, es donde se dobla el alambre para formar el

rectángulo. Ya sabemos que los lados azules miden h y los lados de color

marrón miden 21 cm.

Observando el alambre reto, podemos observar que hay DOS lados

azules y DOS lados de color marrón, entonces podemos escribir:

21 21 30h h+ + + =

Ecuación que podemos resolver de forma muy sencilla de la siguiente

manera:

2 21 2 30h+ = (Se sumaron términos semejantes)

2 30 2 21h = − (Se cambió el signo de 2 21 porque se paso a lado drecho)

30 2 21

2h

−= (Finalmente se despejó h )

Ahora podemos calcular el área, sustituyendo la base y altura del

rectángulo ya calculados:

A hb= ×

30 2 2121

2A

− =

× (Se sustituyo la base y altura)

21 230 2 21

2

1A

−

= (se aplicó la propiedad distributiva)

( )30 21 2 21

2A

−=

(Por que ( )2

211 22 21 1= = )

30 21 42

2A

−=

(Porque ( )2 21 42= (OJO PUEDES DEJAR LA SOLUCIÓN

HASTA AQUÍ)

Pero si quieres seguir simplificando, puedes hacer lo siguiente:

( ) ( )15 21 21

2

2 2A

−=

(Porque ( )30 2 15=

15 21 21

22A −=

(Saco 2 factor común)

2A = 15 21 21

2

−

(Se simplifica el 2)

15 21 21A = −

Respuesta: El área del rectángulo es: ( ) 215 21 21A cm= −

NOTA: La unidad de medida lineal es cm, pero la unidad de medida de área o

superficie es cm2.

Ejercicio 10

Utilice la teoría de ecuaciones para resolver el siguiente problema:

Se tiene un terreno rectangular de lados 30 m y 70 m. Queremos cercar ese

terreno y además tirar una cerca en una diagonal. ¿Cuál es la longitud total de

la cerca ?.

Nota: No utilice valores aproximados.

Solución

Justificación: Para calcular la longitud total de cerca, debemos sumar todos los

lados del rectángulo, más la diagonal que se va a cercar, en este caso

tenemos:

Observa que para conocer la longitud total a cercar debemos sumar

todos los lados de la figura inmediata anterior: 2 azules, 2 de color marrón y el

segmento de color verde, así:

( ) ( )2 72 30 0L BC= + +

60 140 BCL = + + (Se multiplicó: ( ) ( )60 y 2 702 0 43 1 0= = )

200L BC= + (Se sumó: 60 140 200+ = )

Observa que necesitamos el valor de BC para conocer la longitud total a

cercar pedida.

Si miras de nuevo la figura, la longitud BC , es la diagonal del rectángulo,

y si somos detallistas al observar, caemos en la cuenta que la diagonal BC es

la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es decir:

Recordando el Teorema de Pitágoras, a saber:

2 2 2c a b= +

En nuestro caso, tenemos:

Sustituyendo en el Teorema de Pitágoras, se tiene: 2

2 230 70BC = +

2

900 4900BC = + (Porque 2 230 900 y 70 4900= = )

2

5800BC = (Porque 900 4900 5800+ = )

5800BC = (Por qué el cuadrado se transforma en una raíz cuadrada)

Entonces conocemos la longitud del segmento 5800BC = m.

Finalmente sustituimos en la ecuación que veníamos calculando de la

longitud total, obteniendo:

200L BC= +

200 5800L = +

Respuesta: La longitud total de la cerca es: ( )200 5800L m= +

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Verifique si:

( )7

3 32

6

5 15 3 2 3 1 3 5 3 2 3 2.

27 27 3

− − − = − − +

Ejercicio 2

Verifique que:

( ) ( )2 2

2 2 2 2 8 2+ − − =

Ejercicio 3

Utilice propiedades de las operaciones con números reales para determinar si

se cumple la siguiente igualdad:

( )( ) ( )4 44 44 8 4 8 2 1 2− + = −

Ejercicio 4

Si z es un número real que verifica: 14 4 24z z−− = , halle el valor de ( )2z

z .

Ejercicio 5

Utilice operaciones con números reales y las propiedades de éstas para

resolver el siguiente problema:

Para que el valor del número real 2

3 se duplique sumamos al numerador y al

denominador de ésta expresión un mismo número. ¿Cuál es este último

número?

Ejercicio 6

Verifique si se cumple la siguiente igualdad:

( )( )3 3 3 3 3 36 5 36 6 5 25 11+ − + =

Ejercicio 7

Si una caja tiene forma de cubo y su volumen es 350 cm3. Calcular la longitud

de la arista x de la caja.

Ejercicio 8

Verifica que:

( ) ( )1 1

1 1

2 5 1 2 5 1 2− −− − + + + − + =

Ejercicio 9

Se tiene un terreno rectangular de lados 35 m y 40 m al cual queremos cercar

con un alambre a los lados y en diagonal. Calcula la longitud total del alambre

que se debe usar para tirar la cerca.

Ejercicio 10

Una cabilla, de 6 metros de largo, se parte en tres pedazos; si los dos primeros

son iguales y miden 8

5 metros cada uno. Determine cuánto medirá el tercer

trozo.