Unidad I Obj 4

Archivo: Clase3 Autor : Jorge E. Hernández Fecha : 18/03/2002

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Clase # 3. Fecha: 18/03/2002 Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales. Objetivo # 5 y 6: - Conjunto Solución de una inecuación. Método

Analítico para la resolución de inecuaciones. Contenido. Definición: Conjunto solución de una inecuación. El conjunto de valores reales de la variable involucrada en una inecuación, que satisfacen o que cumplen con la desigualdad planteada se denomina Conjunto Solución de la Inecuación. Ejemplo: 1. Resolver la desigualdad . 3x58x3 +≤−

Respuesta:

Si agrupamos de una lado de la desigualdad los términos que contienen ,x y del otro lado el resto de términos, tenemos: 3x58x3 +≤− ⇔ 83x5x3 +≤− Sumando en cada lado de la desigualdad, encontramos que: 11x2 ≤−


2

Pasamos dividiendo el número ,2− teniendo en cuenta que si lo hacemos debemos cambiar el sentido de la desigualdad, debido a la propiedad 5 de los números reales (página 6):

211x −≥

Entonces el conjunto solución es: { } [ ) ∞−=−≥∈ ,2/112/11x:Rx

Método Analítico para la resolución de Inecuaciones. Entre los métodos de resolución de inecuaciones están: el método analítico, el cual tiene su fundamento en el estudio de la expresión algebraica involucrada en la desigualdad, es decir, el análisis matemático de la expresión según los axiomas de los números reales, y a partir de este análisis proceder al despeje de la variable deseada y encontrar el conjunto solución. Esto ya lo hemos hecho en algunos ejemplos anteriores, pero es a partir de algunos modelos resueltos que encontramos adiestramiento. Ejemplo: 1. Resolver la desigualdad . 0)5x)(3x( >+− Respuesta:

Observando la inecuación, encontramos que es el producto de dos factores: y )3x( + ),5x( + además este producto es positivo. Ya que, Ahora, de la ley de los signos recordamos que la multiplicación de dos números es positiva si los dos números son positivos o si los dos números son negativos. En esta desigualdad podemos pensar que

. 0) >5x +)(3x( −

a) 0)5x(0)3x( >+>− y

b) 0)5x(0)3x( <+<− y Ahora resolvamos parcialmente estos dos casos:


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a) Si , y 0)5x(0)3x( >+>− entonces, despejando la variable de interés ,x en ambas desigualdades, tenemos

5x3x −>> y Pero el conjunto solución correspondiente a es el intervalo

3x >( ) , ∞,3

x y el conjunto solución

correspondiente a 5−> es el intervalo ( ) . ∞− ,5

x

Así que, el conjunto solución es la intersección de estos dos conjuntos, pues serían los valores de tales que son mayores que 3 y mayores que ,5− al mismo tiempo. Observemos gráficamente, sobre la recta real esta intersección:

Donde se intersectan las líneas encontramos el intervalo intersección: . ),3( ∞ Este es nuestro primer resultado parcial.

b) Si , y 0)5x(0)3x( <+<− entonces, resolviendo

ambas desigualdades, tenemos 5x3x −<< y

Para cada una de estas inecuaciones obtenemos que el conjunto solución es la intersección de los conjuntos o intervalos . y )5,()3,( −−∞−∞ Graficamente

Quedando entonces el intervalo )5,( −−∞ como la intersección deseada.


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2. Resolver la siguiente desigualdad .02x41x2≥

+−

Respuesta:

Observando la desigualdad pensamos en la división de dos números cuyo resultado tiene dos posibilidades, una que es igual a cero y otra que es estrictamente mayor que cero. En el primero de los casos nos concentramos en la igualdad

.02x41x2=

+−

Nos hacemos la siguiente pregunta, ¿Cuándo el cociente de dos números es cero?. La respuesta es obvia, cuando el numerador es cero. Entonces, cuando , 01x2 =− tenemos que se cumple la igualdad anteriormente planteada. Así que si despejamos x tenemos: 2/1x01x2 =⇔=− Por lo tanto esta valor es elemento del conjunto solución de la desigualdad planteada en el ejemplo. Ahora nos concentramos en resolver la desigualdad

.02x41x2>

+− Respondamos la pregunta siguiente, ¿Cuándo la

división de dos números es mayor que cero, es decir, es positiva?. La respuesta es: cuando los dos son positivos o cuando los dos son negativos. Entonces la desigualdad se cumple cuando:

a) , y 02x401x2 >+>− ó b) 02x401x2 <+<− y

Procedemos a resolver por casos cada par de inecuaciones: a) y y 2x41x202x401x2 −>>⇔>+>− 2/1x2/1x −>>⇔ y El conjunto solución correspondiente a este caso, será la intersección de los intervalos:


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),2/1(),2/1( ∞−∞ y Si los representamos gráficamente encontramos que esta respuesta parcial es . ),2/1( ∞

b) y y 2x41x202x401x2 −<<⇔<+<− 2/1x2/1x −<<⇔ y El conjunto solución correspondiente a este caso, será la intersección de los intervalos: )2/1,()2/1,( −−∞−∞ y Si los representamos gráficamente encontramos que esta respuesta parcial es . )2/1,( −−∞

Para finalizar y obtener la respuesta general de la inecuación, unimos los resultados parciales: { } ( 2/1),2/1)2/1,( ∪∞∪−−∞

A continuación se propone al lector seguir el esquema desarrollado en los ejemplos anteriores, para resolver las siguientes inecuaciones. Ejercicios propuestos:

1. ( 2. 0)3x5)(2x3 ≥+− 0)x43

5)(1x57( >

−−


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3. 0)x29()2x7(>

−+ 4. 0

2x81).1x5( >−

−

Otros Ejemplos Resueltos. 1. Ejercicio 13 página 18 (Jorge Saenz. Ciencias e Ingeniería)

Resolver la siguiente desigualdad .133

5x2>−

−

Solución: Generalmente se sugiere llevar esta desigualdad a una forma ya conocida, por ejemplo: . cbax >+ Veamos:

0133

5x2133

5x2>−−

−⇔>−

−

043

5x2>−

−⇔ 0

3125x2

>−−

⇔

2

17x17x2017x203

17x2>⇔>⇔>−⇔>

−⇔

Hemos logrado una desigualdad equivalente, es decir:

2

17x133

5x2>⇔>−

−

lo cual nos indica que la solución de la primera es la solución de la segunda; entonces podemos concluir que el conjunto solución es:

. ),2

17( ∞

2. Ejercicio 29 página 18 (igual texto)

Resolver la siguiente desigualdad . x

2x3x1x +<

+−


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Solución: Llevamos la desigualdad dada a una que podamos resolver más fácilmente:

x

2x3x1x +<

+− 0

x2x

3x1x

<+

−+−

⇔

0)3x(x

)2x)(3x()1x(x<

+++−−

⇔

0)3x(x

)6x5x(xx 22

<+

++−−⇔

0)3x(x

6x5xxx 22

<+

−−−−⇔

0)3x(x)1x(60

)3x(x6x6

<+−−

⇔<+−−

⇔

0)3x(x

)1x(>

+−

⇔

En este punto estamos en capacidad de resolver la desigualdad pensando en que tenemos un cociente de dos números cuyo resultado es positivo. Esto es posible solo cuando ocurre uno de estos casos:

a) 0)3x(x01x >+>− y b) 0)3x(x01x <+<− y

Resolvamos el primero de estos: a) Si 0)3 nos encontramos con la desigualdad x(x01x >+>− y 0)3x(x >+ la cual se cumple solo si: a.1 03x0x >+> y


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a.2 03x0x <+< y entonces la solución de este caso será la solución combinada: a.1 , y y 03x0x01x >+>>− a.2 . y y 03x0x01x <+<>− Ahora, a.1 tiene como resultado: 3x0x1x −>>−> y y es decir la intersección de los intervalos: ),3(),0(),1( ∞−∞∞− y y el cual tiene como resultado el intervalo . ),0( ∞ Similarmente el caso a.2 es , y y 03x0x01x <+<>− cuya solución es el conjunto vacío, ;φ así que, la solución del caso es la unión de los casos y es decir:

)a. ),0(),0()1.a , )2.a ∞=∞ φ∪

Resolviendo el caso :)b Si 0)3x(x01x <+<− y nos encontramos con la desigualdad 0)3x(x <+ la cual se cumple solo si: b.1 03x0x <+> y b.2 03x0x >+< y entonces la solución de este caso será la solución combinada: b.1 , y y 03x0x01x <+><− b.2 . y y 03x0x01x >+<<− Ahora, b.1 tiene como resultado:


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3x0x1x −<>−< y y es decir la intersección de los intervalos: )3,(),0()1,( −−∞∞−−∞ y y el cual tiene como resultado el intervalo el conjunto vacío, .φ Similarmente el caso b.2 es , y y 03x0x01x >+<<− cuya solución es la intersección de los intervalos ),3()0,()1,( ∞−−∞−−∞ y y es decir, el intervalo . )1,3( −−Así que, la solución del caso es la unión de los casos y es decir:

)b. )

)1.b , )2.b1,3()1,3( −−=−− φ∪

Con estas soluciones parciales, encontramos que la solución general es la unión de las soluciones del caso :)b)a y )1,3(),0( −−∪∞

Archivo: Clase4 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 20/03/2002

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Clase # 4. Fecha: 20/03/2002 Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales. Objetivo # 7: - Solución de inecuaciones. Ejercicios. - Método de Sturm. - Valor Absoluto. Contenido. Ejercicio #1. Resolver . x92x9 2<− Respuesta: Buscaremos una desigualdad equivalente a alguna de las ya resueltas y de la cual conocemos como solucionar. Usaremos, para este efecto, la factorización; veamos:

Pasando, término a término, el miembro de la izquierda de la desigualdad dada, tenemos: 2x9x90x92x9 22 +−<⇔<− Ahora, observamos que el miembro de la derecha de esta desigualdad es un polinomio de segundo grado, el cual podemos factorizar usando la ecuación ya conocida:

a2

ac4bbx2

2,1−±−

=

Entonces, procedamos teniendo que: .2c9b9a =−== , , Es decir,


2

18

9918

7281992

2.9.49)9(x2

2,1±

=−±

=⋅

−±−−=

De esta forma, encontramos:

31

186

1839x

32

1812

1839x 21 ==

−===

+= y

Estas raíces nos ayudan a factorizar así: )3/1x)(3/2x(92x9x9 2 −−=+− Con este resultado la desigualdad encontrada queda como:

)3/1x)(3/2x(902x9x90x92x9 22 −−<⇔+−<⇔<− Esta nueva desigualdad corresponde a uno de los primeros modelos que ya hemos resuelto; buscamos resolver: 0)3/1x)(3/2x(9 >−− De la lectura e interpretación de esta, encontramos que se trata de la multiplicación de, fundamentalmente, los términos y

la cual es positiva. De esto deducimos los casos: )3/2/x(

, )3/1x( − a) 03/1x03/2x >−>− y b) 03/1x03/2x <−<− y Ahora, busquemos la primera solución parcial. En a) despejamos x en ambas desigualdades y encontramos: 03/1x03/2x >−>− y 3/1x3/2x >>⇔ y


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Representando estas últimas en una recta vemos que:

deducimos entonces que el intervalo solución es ).,3/2( ∞ Buscando la segunda solución parcial, tenemos que considerar lo planteado en b) y proceder de manera similar: 03/1x03/2x <−<− y 3/1x3/2x <<⇔ y Llevando esto a la recta real nos queda:

Deducimos que la segunda solución es: . )3/1,( −∞ Hemos así encontrado dos soluciones parciales, y al considerar la unión de las mismas obtenemos la solución general: . ),3/2()3/1,(x ∞∪−∞∈

Método de Sturm. Hay otro método para solucionar desigualdades cuando estas contienen más de tres factores que intervienen en una multiplicación o en una división. Evidentemente, si intentáramos usar el método analítico el número de casos a estudiar serían mas de cuatro, lo cual haría más dificultoso encontrar la solución de la desigualdad. El método de Sturm es ideal en estos modelos. Para aplicar este método:


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Primero: Una vez que hayamos logrado dejar uno de los miembros de la desigualdad en cero, y factorizado el miembro restante, entonces, a cada factor le hacemos corresponder una recta donde se muestre cuando los valores de la variable hacen al factor positivo y cuando lo hacen negativo (usando los símbolos “+” y “-“) . Segundo: colocamos dichas rectas unas debajo de otra. Tercero: creamos una nueva recta donde marcamos el signo de la multiplicación de cada factor. Cuarto: escogemos el signo que convenga de acuerdo al planteamiento del ejercicio. Ejemplo: Resolver 0)1x()3x(x <−⋅+⋅

Observamos que la multiplicación de estos tres factores es negativa, nuestra escogencia final será aquella que nos conduzca hacia valores negativos. 1. El primer factor 3x + es positivo a la derecha de -3 y es negativo a

la izquierda del mismo; similarmente, para el factor x construimos la recta correspondiente lo mismo que para el factor .1x −

2. Por último, construimos la recta producto aplicando la ley de signos. En la figura podemos observar los resultados.

3. En la recta producto, escogemos el o los sectores que nos muestren

signo negativo, ya que la desigualdad planteada nos lo exige; de esta forma, el resultado final es: )1,0()3,(x ∪−−∞∈


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Otro Modelo de desigualdades: El propósito de esta parte es mostrar el método para resolver desigualdades como las del siguiente ejemplo:

Resolver: x211x75x4 +≤+≤− Primero dividimos esta doble inecuación en dos: x211x71x75x4 +≤++≤− y En segundo lugar, buscamos la solución de cada una, por separado, y a diferencia de aquellos ejercicios donde se presentaban casos, aquí consideramos como solución general la intersección de los resultados parciales. Veamos: a) Resolvemos: .1x75x4 +≤− Agrupamos de un lado de la

desigualdad los términos que contienen la variable y del otro, los restantes:

x4x751 −≤−−

sumamos y despejamos la variable: x2x36 ≤⇔≤− - Hemos encontrado como primera solución: [ ).,2x ∞−∈

b) Resolvemos ahora: .x211x7 +≤+ Procediendo en forma similar al anterior, tenemos:

0x511x2x7x211x7 ≤⇔−≤−⇔+≤+ es decir, Así, encontramos nuestra segunda solución parcial: .0x ≤ ( ].0,x ∞−∈

Ahora, nuestra solución final es: ( ] [ ) [ ].0,2,20,x −=∞−∩∞−∈


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Valor Absoluto: Definición. Propiedades. En esta clase vamos a presentar un nuevo concepto que tiene su origen en la geometría clásica, cuando medimos una distancia. 1. Definición: Dado un número real ,x definimos un nuevo número, que se

denomina valor absoluto de x y que se denota , x por medio de:

⎩⎨⎧

<−≥

=0x,x0xx

x si si ,

Interpretemos esta definición. Supongamos que el número dado ,x es positivo o cero, entonces el valor absoluto de x es el mismo, si por el contrario, x es un número negativo, su valor absoluto es el mismo multiplicado por .1− De acuerdo a esta definición, tratemos de resolver el siguiente ejemplo: ¿Cuál es el número ? 3x − Respuesta: Según la definición es lo que está, exactamente, dentro de las barras, si es mayor o igual a cero, ó lo que está dentro de las barras multiplicado por si es menor que cero:

,1−

⎩⎨⎧

<−−−≥−−

=−03x),3x(03x3x

3x si si ,

podemos reescribir lo anterior de esta manera:

⎩⎨⎧

<+−≥−

=−3x,3x3x3x

3x si si ,

2. Propiedades del Valor Absoluto:

El valor absoluto tiene las siguientes propiedades: a) 0x ≥

b) yxyx +≤+ para cualesquiera números .Ry,x ∈

c) yxy.x ⋅= para cualesquiera números .Ry,x ∈

d)

yx

yx

= para cualesquiera números .0y,Ry,x ≠∈


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3. Teorema Fundamental:

a) axaax ≤≤−⇔≤

b) axaxax −≤≥⇔≥ ó

c) axaax <<−⇔<

d) axaxax −<>⇔> ó Este teorema nos dice entonces como resolver inecuaciones que contienen valores absolutos, pues nos muestra una desigualdad equivalente.


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Clase # 5. Fecha: 22/03/2002 Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales, Plano Numérico y Ecuaciones de la Recta. Objetivo # 8: - Valor Absoluto. Ejercicios. Contenido. Ejemplo 1: Resolver .25x ≤− Solución: Leyendo la expresión dada encontramos una forma que contiene el símbolo ≤ entonces usamos la parte del teorema: )a 25x225x ≤−≤−⇔≤− Esto nos dice que resolver el lado derecho de esta equivalencia es lo mismo que resolver la que contiene valor absoluto. Entonces resolvamos: 25x2 ≤−≤− La solución de esta inecuación la encontramos resolviendo las desigualdades: 5x2 −≤− y 25x ≤− Veamos: ⇔−≤− 5x2 x25 ≤− y ⇔≤− 25x 52x +≤ x3 ≤⇔ 7x ≤⇔


2

De esta forma encontramos que: ,7xx3 ≤≤ y es decir, la intersección de los intervalos la cual es: Entonces, esta es la solución buscada. [ ] . 7,3 Ejemplo 2. Resolver . 12x3 ≥− Solución: Leyendo esta expresión encontramos involucrado un valor absoluto y el símbolo ,≥ entonces usaremos la parte del teorema para convertir esta desigualdad en una que ya sabemos resolver.

)b

12x312x312x3 −≤−≥−⇔≥− ó Podemos resolver las desigualdades de la derecha de la equivalencia anterior: 12x312x3 −≤−≥− ó 21x321x3 +−≤+≥ ó 3/1x3/3x ≤≥ ó Hemos encontrado que ,3/1x1x ≤≥ ó

] lo cual indica que la solución es la

unión de los intervalos ( [ ) . y ∞∞− ,13/1, Es decir: ( ] [ )∞∪∞− ,13/1, Ejemplo 3: Resolver . 2x2x 2 <− Solución: Debemos eliminar las barras de valor absoluto para llegar al conjunto solución de la expresión dada. Entonces usamos la parte del teorema: )c 2x2x22x2x 22 <−<−⇔<− Ahora procedemos a resolver la desigualdad combinada a la derecha de la equivalencia: 2x2x2 2 <−<−


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la cual es equivalente a: 2x2xx2x2 22 <−−<− y La intersección de las soluciones de estos dos casos nos dará la respuesta deseada. Resolvamos esta expresión es equivalente a . ; x2x2 2 −<− 2x2x0 2 +−<Si buscamos las raíces de este polinomio de grado dos, tenemos:

, 2

8422

2.1.442x1−+

=−+

= pero, esto no puede ser puesto

que tendríamos una raíz cuadrada negativa. Entonces este polinomio no tiene raíces, es decir, no puede ser factorizado. Debe suceder que éste es ó siempre positivo ó siempre negativo. Para saberlo le damos un valor a ,x arbitrario, digamos ,0x = y obtenemos: como esto es cierto y es un número positivo, esta desigualdad es siempre cierta, por tanto el conjunto solución es todo el conjunto de los reales

,220.200 2 =+−<

.R

2

Ahora resolviendo tenemos que esta expresión es equivalente a: , 2x2x 2 <− 02x2x 2 <−− Buscando las raíces encontramos:

312

3222

1222

)2.(1.442x1 +=

+=

+=

−−+=

312

3222

1222

)2.(1.442x2 −=

−=

−=

−−−=

Entonces, podemos factorizar: ))31(x))(31(x(2x2x 2 −−+−=−− y entonces resolver: 0))31(x))(31(x( <−−+−


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Nos encontramos con un producto o multiplicación cuyo resultado es negativo, entonces, procedemos a resolver dos casos:

a) 0)31(x0)31(x <−−>+− y b) 0)31(x0)31(x >−−<+− y

En el caso tenemos como solución la intersección de los intervalos: )a )31,(),31( −−∞∞+ y la cual es vacía; entonces la solución de este caso es .φ En el caso tenemos como solución la intersección de los intervalos: )b ),31()31,( ∞−+−∞ y que tiene como resultado . )31,31( +− La unión de los resultados correspondientes al caso es la solución buscada, a saber

)b)a y . )31,31( +−

Por último, la solución de es la intersección de los resultados encontrados para y , es decir:

2x2x2 2 <−<− 2x2 +− x2x 2 −−x0 2< 02 <

. )31,31()31,31(R +−=+−∩ Ejercicios: Resolver los siguientes ejercicios:

1) 21x33x2≤

+− 2) 3

)2x(1

2 >−

3) 11x1x

2 ≥−− 4) 1x5x2 +≤−

5) 6x2

13x

1+

≥−


5

1) Solución: Se nos pide resolver , 21x33x2≤

+− entonces convertimos esta

desigualdad con valor absoluto en una equivalente usando el teorema visto en la clase pasada:

21x33x222

1x33x2

≤+−

≤−⇔≤+−

21x33x2

1x33x22 ≤

+−

+−

≤−⇔ y

Debemos resolver entonces dos desigualdades, y la intersección de las soluciones de cada uno será la solución del ejercicio planteado.

a) 1x3

)3x2()1x3(201x33x220

1x33x22

+−++

≤⇔+−

+≤⇔+−

≤−

1x31x80

1x33x22x60

+−

≤⇔+

−++≤⇔

Tenemos entonces que resolver la última desigualdad encontrada. Esta nos dice que la división de entre 1x8 − 1x3 + es positiva ó cero. Si es positiva tenemos que debe suceder: a.1 01x301x8 >+>− y a.2 01x301x8 <+<− y Resolvemos estos dos casos y encontramos la intersección de los intervalos: ),3/1(),8/1( ∞−∞ y Si los representamos gráficamente vemos fácilmente que es: . ),8/1( ∞Ahora, si la división de 1x8 − entre 1x3 + es cero, debe suceder que: , 01x8 =− es decir, 8/1x = Entonces el resultado parcial de es: )a [ ) . ∞,8/1


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b) 01x3

)1x3(23x2021x33x22

1x33x2

≤+

+−−⇔≤−

+−

⇔≤+−

01x35x40

1x32x63x2

≤+−−

⇔≤+

−−−⇔

1x35x400

1x35x4

++

≤⇔≤++

−⇔

Esta última desigualdad la podemos resolver en forma similar a la anterior. Consideremos los casos en que el cociente es positivo: b.1 01x305x4 >+>+ y b.2 01x305x4 <+<+ y Resolviendo encontramos la intersección de los intervalos ,1.b ),4/5( ∞− y

la cual nos da como resultado el intervalo , ),3/1( ∞− . ),3/1( ∞− Resolviendo encontramos la intersección de los intervalos y

la cual nos da como resultado el intervalo ,2.b

,)4/5,( −−∞

. )3/1,( −−∞ )4/5,( −−∞ De esta forma el conjunto solución de la desigualdad estricta es la unión: ∪−−∞ )4/5,( . ),3/1( ∞−

Pero aún nos falta por resolver el caso en que , 1x35x40

++

= pero esto ocurre si y solo

si lo cual, a su vez, es cierto si y solo si ,05x4 =+ .4/5x −= Así que el conjunto solución general es ( ] ∪−∞− 4/5, . ),3/1( ∞−

2. Solución: Queremos resolver . 3)2x(

12 >

− Primero debemos notar que lo

que está dentro de las barras de valor absoluto es un cociente totalmente positivo, puesto que el número 1 es positivo y el denominador 2)2x( − es positivo si

.2x ≠ Entonces, sin temor a equivocarnos podemos escribir:


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222 )2x(310)2x(313

)2x(1

−+−>⇔−>⇔>−

11x12x30)4x4x(310 22 +−>⇔+−+−>⇔ Resolver esta última desigualdad no es problema. Se sugiere al lector la continuación del mismo. Los ejercicios restantes quedan propuestos para el lector.

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