Unidad I Obj 123

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07/10/08 15:25Hecho por: M.Sc. Jorge Hernndez

Unidad I.Introduccin a losnmeros Reales.

Plano Numrico.Ecuaciones de laRecta.

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Unidad I.Unidad I.Introduccin a los nmeros Reales. PlanoIntroduccin a los nmeros Reales. PlanoNumrico. Ecuaciones de la Recta.Numrico. Ecuaciones de la Recta.

Contenido de la presentacin:

Conjunto de Nmeros Reales Propiedades de los nmeros reales

Representacin grfica. Subconjuntos Fin de la Presentacin.

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1. Conjunto de los nmeros1. Conjunto de los nmeros

Reales.Reales.Introduccin:

En forma natural elhombre se vi

obligado arepresentarsimblicamente lanocin de cantidad,creando diversasformas grficas. De

esta manera nacenlos primerossmbolos que hoydenominamosnmeros.

Smbolos antiguos que representannmeros

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Reales.Reales.

NmerosNaturales:

Como su nombre lo indica,nacen en forma natural conla intencin de contar.Forman un conjuntodenotado con la letra N .

{ },.....3,2,1,0=N

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Reales.Reales.Cada vez queescogemos dos nmerosnaturales y lossumamos, sabemos quesu resultado es un

nmero natural, pero nosucede lo mismo con laresta. Al nmero 5podemos restarle 3,pero inversamente no lopodemos hacer. En otras

palabras, no es posibledefinir la resta sobre losnmeros naturales.

N= 235

N= 253

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Reales.Reales.

Nmeros Enteros:

Los alemanesextendieron esteconjunto agregandootros smbolos y lodenotaron con la letraZ.Estos representan todoslos posibles resultados

de las diferencias orestas entre dos nmerosnaturales.

{ },....3,2,1,0,1,2,3....., =Z

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Reales.Reales.Pero, adems delproblema de la resta,en los naturales,tambin estaba

presente el problemade la divisin, esdecir, no todas lasdivisiones dabancomo resultadonmeros naturales oenteros.

Z= 224

Z= 75,043

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Reales.Reales.

NmerosRacionales:

Para solventareste problema, sinperder lo ganado,se crea el conjuntode los nmerosracionales,denotado con laletra Q, y definidode la siguientemanera

= 0,,: nZnZmn

mQ

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Reales.Reales.

= 0,,: nZnZmn

mQ

m/n, querepresenta elresultado de ladivisin de losnmeros

enteros, m y n.

mZ, nZ,representa lapertenencia delos valores dem y n a losnmerosenteros

n0, es lacondicin de no

divisibilidadentre cero.

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Reales.Reales.Entonces, el conjunto de los nmeros racionales es elconjunto de todos los resultados de todas las posiblesdivisiones entre enteros

Ejemplos:

30,0,3333....3

1

;75,04

3

;22

4

====

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Reales.Reales.Nmeros Irracionales:Pero existen nmeros que tienen una partedecimal con infinitosdgitos, y que no tienen periodicidad, como por

ejemplo:

=3.14159265... e=2.718281628

Estos nmeros son denominados irracionales, y la agrupacinde

ellos se denomina conjunto de los irracionales, denotado conla letra I.

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Reales.Reales.Nmeros Reales:El conjunto que resulta de unir el conjunto de losnmeros racionales con el conjunto de los nmerosirracionales es el conjunto de los nmeros reales,

denotado con la letra R.

IQR =

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2. Propiedades de los nmeros2. Propiedades de los nmeros

Reales.Reales.

A continuacin veremos un grupo de afirmaciones,que lgicamente tienen un valor de verdad, es decirno necesitan de ser demostradas.

Son exactamente llamadas Axiomas de los nmerosreales; usualmente los consideramos comopropiedades, y son la base para resolver problemascon un carcter cientfico.Los clasificamos en

* Axiomas de la suma * Axiomas de la multiplicacin * Axioma Distributivo * Axiomas de Orden.

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Reales.Reales.Axiomas de laAxiomas de laSuma:Suma:

1.1. Axioma de cerradura:Axioma de cerradura:Dados dos nmeros cualesquiera a,b en R, entonces

la suma (a+b) es un nmero real.

RbaRba + )(:,

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2. Axioma de commutatividad:2. Axioma de commutatividad:Dados dos nmeros cualesquiera a,b en R, entoncesla suma (a+b) no se altera cuando se cambia el ordende los sumandos.

)()(:, abbaRba +=+

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3. Axioma de existencia del elemento3. Axioma de existencia del elementoneutro:neutro:

Existe un nico nmero real cero, el cual tiene lapropiedad de no alterar el valor de todo nmero real acuando se le suma.

RaaaR =+ ,)0(:0!

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4. Axioma de existencia del elemento4. Axioma de existencia del elementosimtrico:simtrico:

A cada nmero real a le corresponde un nico nmeroreal (-a), con la propiedad de que la suma de amboses cero.

0)(:)(, =+ aaRaRa

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Reales.Reales.Axiomas de laAxiomas de laMultiplicacin:Multiplicacin:

1. Axioma de cerradura:1. Axioma de cerradura:Dados cualesquiera nmeros reales a,b, el resultadode la multiplicacin de ambos (a.b) es un nmero real.

RbaRba ).(:,

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2. Axioma de commutatividad:2. Axioma de commutatividad:

Dados cualesquiera nmeros reales a,b, el resultadode la multiplicacin de ambos (a.b) no se altera alcambiar el orden de los factores.

).().(:, abbaRba =

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3. Axioma de existencia de la identidad:3. Axioma de existencia de la identidad:

Existe un nico nmero real 1, que tiene la propiedadde no alterar el valor de cualquier nmero a, al sermultiplicado por l.

RaaaR = ,1.:1!

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4. Axioma de existencia del inverso:4. Axioma de existencia del inverso:

A cada nmero real a, distinto de cero, le correspondeun nico nmero real (1/a), tal que la multiplicacin deambos siempre es 1.

1)/1.(:)/1(!,0, = aaRaaRa

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Reales.Reales.Axioma Distributivo:Axioma Distributivo:

Axioma Distributivo:Axioma Distributivo:

El producto de cualquier nmero real a con la suma decualesquiera nmeros reales b y c, es igual a la sumade las multiplicaciones de a con cada uno de losnmeros b y c.

).().(:,, acbacbaRcba +=+

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Reales.Reales.Propiedades que derivan de losPropiedades que derivan de losaxiomas:axiomas:

Respecto a las

operaciones con

nmeros racionales.

cb

ad

dc

ba

bd

ac

d

c

b

a

bdbcad

dc

ba

=

=

+=+

/

/.3

.2

.1

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Respecto a la

potenciacin.

( ) nmmnmnmn

mn

m

n

n

n

aaaaa

aa

aa

Znaaaaa

==

==

=

+

+

4...2

.31.1

,.......

0

veces

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Respecto a la

potenciacin de

racionales.

nm

nmmn

mn

mnmn

n

nn

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

ba

ba

=

=

=

+

+

.3

2.

;.1

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Radicales

expresados

como nmeros

elevados a una

potenciafraccionaria.

m nmn aa =/

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Reales.Reales.Axiomas de Orden:Axiomas de Orden:

Todos los axiomas que siguen tienen como

fundamento el significado que a continuacinenunciamos:

positivoesquesignifica0.1 aa >

negativoesquesignifica0.2 aa >

bababa

baba

baba

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Reales.Reales.Axiomas deAxiomas deOrden:Orden:

La suma de cualquier nmero real c a cualquier par denmeros a y b que mantengan una relacin de orden, noaltera la relacin establecida.

cbcaRcba

cbcaRcba

+>+>

+

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Reales.Reales.Axiomas de Orden:Axiomas de Orden:

La multiplicacin de cualquier nmero real c positivo acualquier par de nmeros a y b que mantengan unarelacin de orden, no altera la relacin establecida.

cbcacba

cbcacba

..entonces0ySi.9

..entonces0ySi.8

>>>

0 ), y a la izquierda estn los nmeros negativos (x 0

..-2 -1 0 12..

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3. Representacin grfica de R.3. Representacin grfica de R.Subconjuntos de R.Subconjuntos de R.

Debemos entender que entre cualesquiera dos enteros ny m existen una infinidad de nmeros que por razones

obvias no aparecen en el grfico. El siguiente muestraalgunos nmeros entre cero y 1.

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Los subconjuntos ms notables de la recta real son losdenominados intervalos. No son ms que conjuntos de

nmeros que tienen un lmite inferior y un lmite superior(acotados), y en algunos casos, solo uno de ellos. Quedanrepresentados grficamente como segmentos de la recta.

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3. Representacin grfica3. Representacin grfica

de R.de R.

Subconjuntos de R.Subconjuntos de R.

Clasificacin de los intervalos:

Intervalos

Acotados

No acotados

abiertos

cerrados

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Intervalos Acotados:

( )a b

/////////////////////////////////////////////////

Intervalo abierto (a,b)

{ }bxaxba

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[ ]a b

/////////////////////////////////////////////////

Intervalo cerrado [a,b]

[ ] { }bxaxba = :,

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( ]a b

//////////////////////////////////////////////

/

Intervalo semiabierto (a,b]

( ] { }bxaxba

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[ )a b

//////////////////////////////////////////////

/

Intervalo semiabierto [a,b)

[ ) { }bxaxba

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Intervalos No Acotados:

( ) { }axxa >= :,

(a

////////////////////////////////////////////////////////////

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[ ) { }axxa = :,

[a

////////////////////////////////////////////////////////////

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( ] { }axxa = :,

a

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( ) { }axxa

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4. Fin de la Presentacin.4. Fin de la Presentacin.

Hasta aqu la exposicin del contenidoterico de los tres primeros objetivos de laUnidad I.

Se aconseja la revisin de estos conceptosen cualquier bibliografa de Matemticasdadas en el programa de la asignatura,publicadas en la pgina www.

Jehh1956.es.tl

Gracias por la atencin

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