TIPS DE FUNCIONES

Recuerde que una función es una regla que asigna a todo elemento X de un conjunto A de partida exactamente un elemento f(x) de otro conjunto B de llegada

Ojo: prueba de la recta vertical: si te dan una gráfica ¿cómo saber si esa gráfica corresponde a una función? Si puedo trazar cualquier recta vertical (paralela al eje Y), y me corta la gráfica en dos puntos o más, entonces no es función.

Si se tiene una función explícita (y=f(x)), recuerda que “x” es la variable independiente y “y” es la variable dependiente

Recuerda que el Dominio son todos los valores que puede tomar la “x” y que el Rango son todos los valores que puede tomar la “y”

Para hallar el Dominio debo tener en cuenta algunas limitantes cuando se tiene la función de forma explícita:

1. (x) ; g(x) 0; “n” par

2. (x) ; g(x) ≠ 0

3. (x)= log b g(x) ; g(x) 0

4. (x) = función trigonométrica (donde hay asíntotas verticales la función no existe)

TALLER DE FUNCIONES

Ejemplo 1: Decir cuáles son funciones ó relaciones, y encontrar el dominio y el rango.Tener en cuenta para este ejercicio la siguiente condición:x X /R y /R y = (x)

Conjunto de partida dado gráficamente.

a) Y b) 3/2

1 1 X 1 X

“y” es una función de “x” D = { x: x <= 0 y x >= 1} R = { y: y >= 1}

y D = { x: x diferente 1} R = { y: y diferente 3/2}c)

“ y” no es función de “ x “D = { x: x = 0 }

X R = { y € R } Y e)

Y x

d) 2 1 3 X

“ Y “ es una función de “ X ” D = { X € R } D = { X € R }

R = { Y : Y 2 } R = { Y € R }

A.H

A.V

Y Y

f) g)

X ( 3, -1 ) X ( -3, 0)

“ Y “ no es función de “ X “ Función D = { X : X -3 } D = { X € R } R = { Y : Y € R } R = { Y : Y -1}

h)

“ Y ” no es una función de “ X ” D = { X € R } D = { X : -3 X 3}

R = { Y € R } R = { Y : -3 Y 3} j) D = { XR: x -1}

R=y(-,-2)U-1,-1U

1, 3 U (4, )

Ejemplo 2. Sea f(x) = x2 + 3, g(x) = x + 1. Calcular f + g, f – g, f.g, f/g, g o f.

(2,3)

(5,-1)

X

Y

(3,0) Xi) (-3,0)

(0,3)

(0,-3)

(2, 4)(2, 3)

(2, -1)

(-1,3)

(-3, 1)

(-3, -2)

.f + g = (x2 + 3) + (x + 1) = x2 + x + 4 .f - g = (x2 + 3) - (x + 1) = x2 - x + 2 f.g = (x2 + 3)(x + 1) = x3 + x2 +3x + 3 f/g = (x2 + 3) /(x + 1) g o f = (x2 + 3) + 1 = x2 + 4

Ejemplo 3. Dada la función (x) = x2 - 4x + 7, evaluar: a) (3a), b) (b-1),

c)

Solución:a. (3a) = (3a)2 – 4(3a) + 7 = 9a2 – 12a + 7b. (b – 1) =(b – 1)2 – 4(b–1)+7 = b2 –2b + 1 – 4b + 4 + 7 = b2 – 6b + 12

c. =

=

= = 2x+ x-4

Ejemplo 4. Graficar. Hallar dominio y rango:a. (x) = Solución: Recordemos: Dominio son los valores que pueden tomar al “x”.

x – 1 0 x 1

Rango son los valores que puede tomar la “y”.

b.

Solución: x – 1 0 x 1

x 1 5 10 1 0 -2y 0 2 3 0 1 3

R = y : y 0

D = x : x /R

10

(1,0) X

Y (5,2) (10,3)

R = y : y 0

X 1 5 10

Y 0 2 3

- 1 ////////////////////////////////

/////////////////) - 1

c. (x) =

Solución: 25 – x2 0 (5 – x) (5 + x) 0 (a)

Supongamos: x=0 en (a) (+) (+) 0 + 0 :si

d. (x) = x - 2

Solución:

x -5 -4 -3 0 3 4 5y 0 3 4 5 4 3 0

X 2 4 6 2 0Y 0 2 4 0 2

no si no

] -∞ -5 5 ∞ x=5 x= - 5

R = y : 0 y 5

D = x : - 5 x 5

1x 1-x

Y (5,2) (10,3)

(1,0) x

(-5,0) (5,0) x

Y(0,5)

- //////////////// 2- //////////////)

R = y : y 0

20

x-2 2-x

D = x : x R /R

2 x

y

2

e. (x) =

Solución: x2 – 4 0 (x – 2) (x + 2) 0 (a)

Supongamos: x = 0 en (a) (-) (+) 0 (-) 0, no

Ejemplo 5. Hallar dominio, grafica y rango.

Solución:

D = { x : x Є R } ;

X -2 -3 -4 2 3 4Y 0 2.2 3.5 0 2.2 3.5

x=2x=-2

Si no si ///////] [/////// -∞ -2 2 ∞

R = y : y 0

-2 2 x

y

-1

-4

2 x

Y

3

-2

R = { y : y = -1, -4, 3}

Ejemplo 6. Hallar dominio, grafica y rango:

Solución: D = {x : x €/R}

X -4 -1 0 2 3 -2 Y 12 -3 -4 0 5 0

R = {y/y ≥ -4}

Ejemplo 7. Hallar dominio, rango; y graficar

Solución:

X -1 0 1 2 3Y 2 1 2 5 10 D = {x : x ≠ -3}; R = { y : y ≥ 1}

-3 5

-310

(-3,5)(-3,-2) (0, -4) x

(-3,10)

(0, 1) x

Ejemplo 8. Hallar dominio, graficar y rango

Solución:

X -7 -5 -4 -3 0 3 4 5 7Y -2 0 3 4 5 4 3 0 2

R = {y : y €/R}

Ejemplo 9: en la figura se

muestra la relación entre el

precio “p” de un artículo

(en dólares) y la cantidad

“q” de artículos (en miles)

que los consumidores

(8,1)

p

p=-3

q=6

2

(precio)

q (cantidad)

(2,4)

-5 0

50

x+5 x-5

- - 5 ///////////////////)- - 5 5 //////////////// - 5 (//////////////////

(-5, 0) (5, 0)

Y(0, 5)

comprarán a ese precio.

La pendiente es: , lo cual significa que por una disminución de $1

en cada artículo, los consumidores comprarán 2000 artículos más.

Ejemplo 10: suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer

los productos A y B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad,

respectivamente. Si “x” y “y” denotan el número de unidades producidas de A y B,

respectivamente; entonces,

todos los niveles de

producción están dados

por las combinaciones de

“x” y “y” que satisfacen

la ecuación 4x + 2y = 100,

donde x, y 0

La pendiente: refleja la tasa de cambio del nivel de producción B con

respecto al de A. Si se produce una unidad adicional de A, se producirá 2

unidades menos de B.

Ejemplo 11: (Costo de una línea telefónica)

Una línea telefónica debe tenderse

entre dos torres situadas en orillas

opuestas de un rió en puntos A y B.

El ancho del rió es 1 Km. Y B esta

situado 2km rió debajo de A. Tiene

un costo de $C por kilómetro tender

y

y = - 5 0

x = 2 5

5

( u n i d a d e s d e B )

x ( u n i d a d e s d e A )

1 0 1 5 2 0 2 5

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0 ( 0 , 5 0 )

la línea por tierra y $2C por kilómetro bajo el agua. La línea telefónica deberá

seguir la orilla del rió empezando en A una distancia x (en kilómetros) y luego

cruzar el rió diagonalmente en línea recta hacia B. Determinar el costo total de la

línea como función de x.

Solucion:

Ejemplo 12: (función costo de electricidad)

La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de 10 centavos por unidad

para las primeras 50 unidades y a 3 centavos por unidad para cantidades que

excedan los 50 unidades. Determine la función C(x) que da el costo de usar x

unidades de electricidad. (Grafique)

Solución:

Porque para las primeras 50 unidades se cobra a 10 centavos por unidad

10x, si x ≤ 50 sería el primer tramo.

Para el segundo tramo: si x > 50 se cobra las primeras 50 unidades a 10 centavos,

o sea 10 X 50=500 pero las unidades después de 50 se cobran a 3 centavos, o

sea (x-50) X 3; entonces el costo en el segundo tramo seria: 500 + (x-50) X 3= 500

+ 3x-150 = 350 + 3x, si x > 50

2

22

22

222

4545

1441)2(

:

xxEBxxEBxxEB

xEBPitagoras

)()

2 )452)(2

cos

xfy

xxccxyEBccxytotaltoy