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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

EJERCICIOS PROGRAMACIÓN ENTERA

PROBLEMA 12

Una compañía planea abrir unas bodegas en cuatro ciudades; Nueva York, Los Ángeles, Chicago y Atlanta. Desde cada bodega se pueden embarcar 100 unidades por semana. El costo fijo por semana por mantener en operación cada bodega es de 400 dólares para Nueva York, 500 dólares para Los Ángeles, 300 dólares para Chicago y 150 dólares para Atlanta. La región 1 del país requiere 80 unidades por semana, la región 2 demanda 70 unidades por semana y la región 3 necesita 40 unidades por semana. Los costos (sin olvidar los costos de producción y embarque) por enviar una unidad desde una planta a una región se señalan en la Tabla 11. Se desea cumplir con las demandas semanales a un costo mínimo, sujeto a la información precedente y a las restricciones siguientes:

1. Si se abre la bodega de Nueva York, entonces se debe abrir la bodega de Los Ángeles.2. Es posible abrir a lo más dos bodegas.3. Se tiene que abrir la bodega de Atlanta o la de los Ángeles.

Forme un PE que se pueda usar para minimizar los costos semanales de cumplir con las demandas.

TABLA 11Hasta(dólares)

Desde Región 1 Región 2

Región 3

Nueva York 20 40 50Los Ángeles 48 15 26Chicago 26 35 18Atlanta 24 50 35

VARIABLES DECISIÓN

Si Yij es la cantidad de unidades trasladadas de la bodega i (i=1, 2, 3, 4) hasta la región j (j=1, 2, 3)

FUNCIÓN OBJETIVO

Minimizar Z=400X1+500X2+300X3+150X4+20Y11+40Y12+50Y13+48Y21+15Y22+26Y23+35Y33+18Y33+24Y41+50Y42+ 35Y43

SA:

Y11+Y21+ Y31+ Y41= Y1

Y12+Y22+ Y32+ Y42= Y2

Y13+Y23+ Y33+ Y43= Y3

Y11+Y12+ Y13 ≤ 100Y21+Y22+ Y23 ≤ 100Y31+Y32+ Y33 ≤ 100Y41+Y42+ Y43 ≤ 100

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X1 ≤ MY11 X2 ≤ MY21 X3 ≤ MY31 X4 ≤ MY41

X1 ≤ MY12 X2 ≤ MY22 X3 ≤ MY32 X4 ≤ MY42

X1 ≤ MY13 X2 ≤ MY23 X3 ≤ MY33 X4 ≤ MY43

Yij ≥ 0

PROBLEMA 16

El Lotus Point Condo Project tendrá casas y departamentos. En el lugar se pueden construir hasta 10,000 viviendas. El proyecto debe considerar una zona de esparcimiento: un complejo para natación y tenis o una marina para veleros, pero no ambos. Si se construye una marina, entonces la cantidad de casas en el proyecto tiene que ser por lo menos el triple de la de departamentos. Una marina cuesta 1.2 millones de dólares y un complejo para natación y tenis cuesta 2.8 millones. Los urbanizadores opinan que cada departamento generará ingresos con un VNA de 48,000 dólares y cada casa proporcionará ingresos con un VNA de 46,000. El costo de construir cada casa o departamento es de 40,000 dólares. Plantee un PE para ayudar a Lotus Point a maximizar las utilidades.

VARIABLES DECISIÓN

C= Número de casas en el proyectoA= Número de apartamentos en el proyecto

Y i={1Si el proyecto contiene0o .w . }FUNCIÓN OBJETIVO

Maximizar Z=48000 C+46000 A -40(C+A)-2800000 Y1+1200000Y2

SA:

Y11+Y21+ Y31+ Y41= Y1

Y12+Y22+ Y32+ Y42= Y2

Y13+Y23+ Y33+ Y43= Y3

C+A ≤ 100Y1+Y2 = 13A+C ≤ M(1-Y2)A, C ≥ 0 Enteros

Y 1 ,Y 2={01}

PROBLEMA 23

En una planta de máquinas herramienta se deben terminar 5 trabajos cada día. El tiempo que toma efectuar cada trabajo depende de la máquina usada para ejecutar dicho trabajo. Si se usa en modo alguno una máquina, entonces hay un tiempo de preparación o de puesta a punto necesario. Los tiempos relacionados se proporcionan en la tabla 20. El objetivo de la compañía es minimizar la suma de los tiempos de preparación y de operación necesaria para completar todos los trabajos. Formule y resuelva un PE (con LINDO, LINGO o el solver para Excel) cuya solución lo haga posible.

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PROBLEMA 26

El gobernador Blue del estado Berry pretende conseguir la legislatura del estado para dividir injusta y arbitrariamente los distritos electorales de Berry. El estado consiste en diez ciudades, y el número de republicanos y demócratas (en miles) en cada ciudad es el que se presenta en la tabla 23. Berry tiene 5 representantes electorales. Para formar los distritos electorales, las ciudades se tienen que agrupar según las restricciones siguientes:

1. Todos los electores en una ciudad deben estar en el mismo distrito.2. Cada distrito debe tener entre 150,000 y 250,000 electores (no hay electores independientes).

El gobernador Blue es demócrata. Suponga que cada votante siempre vota por todos los candidatos de un partido. Formule un PE para ayudar al gobernador Blue a maximizar el número de demócratas que ganarán curules en el Congreso.

TABLA 23Ciudad Republicanos Demócratas

1 80 342 60 443 40 444 20 245 40 1146 40 647 70 148 50 449 70 54

10 70 64

VARIABLES DECISIÓN

Y i={1Si ganandemocratas distrito i0o .w . }Yij es la cantidad de votantes tipo j (1=Demócrata, 0=Republicano)

Y i={1Si pobladores de la ciudad j pertenecen ala ciudad i0o .w . }

FUNCIÓN OBJETIVO

Maximizar Z=X1+X2+X3+X4+X5

SA:

Y11+Y12 ≥ 150000Y21+Y22 ≥ 150000Y31+Y32 ≥ 150000Y41+Y42 ≥ 150000Y51+Y52 ≥ 150000Y11+Y12 ≥ 250000Y21+Y22 ≥ 250000Y31+Y32 ≥ 250000

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Y41+Y42 ≥ 250000Y51+Y52 ≥ 250000

Y12 = 80W11 + 60W12 +40W13 + 20W14 +40W15 +40W16 +70W17 +50W18 +70W19 +70W1 10 Y22 = 80W21 + 60W22 +40W23 + 20W24 +40W25 +40W26 +70W27 +50W28 +70W29 +70W2 10 Y32 = 80W31 + 60W32 +40W33 + 20W34 +40W35 +40W36 +70W37 +50W38 +70W39 +70W3 10 Y42 = 80W41 + 60W42 +40W43 + 20W44 +40W45 +40W46 +70W47 +50W48 +70W49 +70W4 10 Y52 = 80W51 + 60W52 +40W53 + 20W54 +40W55 +40W56 +70W57 +50W58 +70W59 +70W5 10

Y12 = 34W11 + 44W12 +44W13 + 24W14 +114W15 +64W16 +14W17 +44W18 +54W19 +64W1 10 Y22 = 34W21 + 44W22 +44W23 + 24W24 +114W25 +64W26 +14W27 +44W28 +54W29 +64W2 10 Y32 = 34W31 + 44W32 +44W33 + 24W34 +114W35 +64W36 +14W37 +44W38 +54W39 +64W3 10 Y42 = 34W41 + 44W42 +44W43 + 24W44 +114W45 +64W46 +14W47 +44W48 +54W49 +64W4 10 Y52 = 34W51 + 44W52 +44W53 + 24W54 +114W55 +64W56 +14W57 +44W58 +54W59 +64W5 10

W11+W21+W31+W41+W51=1W12+W22+W32+W42+W52=1W13+W23+W33+W43+W53=1W14+W24+W34+W44+W54=1W15+W25+W35+W45+W55=1W16+W26+W36+W46+W56=1W17+W27+W37+W47+W57=1W18+W28+W38+W48+W58=1W19+W29+W39+W49+W59=1W1 10+W2 10+W3 10+W4 10+W5 10=1

Y11 - Y12 = a11 - a12

Y21 – Y22 = a21 - a22

Y31 – Y32 = a31 - a32

Y41 – Y42 = a41 - a42

Y51 – Y52 = a51 - a52

a11 ≥ X1

a21 ≥ X2

a31 ≥ X3

a41 ≥ X4

a51 ≥ X5

PROBLEMA 28

Tailandia admite reclutas navales en tres centros de reclutamiento. Luego, los reclutas tienen que ser enviados a una de tres bases navales para capacitarlos. El costo del transporte de un recluta desde un centro de reclutamiento a una base se presenta en la tabla 26. Todos los años se admiten 1,000 hombres en el centro 1; 600 en el centro 2 y 700 en el centro 3. La base 1 puede entrenar 1,000 hombres al año; la base 2, 800 hombres y la base 3, 700 hombres. Después que los reclutas son capacitados se envían a la base naval principal de Tailandia (B). Se les puede transportar en un barco pequeño o en uno grande. Cuesta 5,000 más 2 dólares por milla usar un barco pequeño. Un barco pequeño es capaz de llevar hasta 200 hombres a la base principal y podría visitar hasta 2 bases en su camino a la base principal. Están a disposición 7 barcos pequeños y 5 grandes. Cuesta 10,000 más 3 dólares por milla utilizar un barco grande. Un barco grande podría visitar

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hasta tres bases en su camino a la base principal y podría transportar hasta 500 hombres. Los “tours” posibles para cada tipo de embarcación se proporcionan en la tabla 27.

Suponga que la asignación de reclutas a las bases de entrenamiento se efectúa aplicando el método de transporte. Luego formule un PE con la que se minimice el costo total en que se incurre por enviar a los hombres desde las bases de entrenamiento hasta la base principal. (Sugerencia: sea Y ij=hombres enviados al tour i desde la base j a la base principal (B) en un barco pequeño, sea X ij=hombres enviados al tour i desde la base j a B en un barco grande, Si=veces que el tour i es usado por un barco pequeño y Li=ocasiones que el tour i es usado por un barco grande).

TABLA 20Hasta(dólares)

De Base 1 Base 2 Base 3Centro 1 200 200 300Centro 2 300 400 220Centro 3 300 400 250

TRANSPORTE DE LOS CONSCRIPTOS ENTRE LOS CENTROS Y LAS BASES:

VARIABLES DECISIÓN

Sea Zij el número de hombres que van desde el centro i a la base j.

FUNCIÓN OBJETIVO

Minimizar 200Z11 +200Z12 +300Z13 +300Z21 + 400Z22 +220Z23 +300Z31 +400Z32 +250Z33

SA:

El número de hombres que salen de cada centro: Z11+ Z12+ Z13 = 1000 Z21+ Z22+ Z23 = 600 Z31+ Z32+ Z33 = 700

El número de hombres pueden llegar a cada base: Z11+ Z21+ Z31 1000 Z12+ Z22+ Z32 800 Z13+ Z23+ Z33 700

Zij 0, para i, j=1, 2, 3.

ZijEnteros, para i, j=1, 2, 3.

TABLA 21Ruta Número

Lugares Visitados Millas Viajadas

1 B-1-B 3702 B-1-2-B 5153 B-2-3-B 6654 B-2-B 4605 B-3-B 6006 B-1-3-B 6407 B-1-2-3-B 720

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TRANSPORTE DE LOS CONSCRIPTOS ENTRE LAS BASES Y LA BASE PRINCIPAL (B)):

VARIABLES DECISIÓN

Xjk = número de hombres enviados desde la base j hacia la base principal (B) en un barco pequeño usando la ruta k con la limitación de arcos (j,k) dada por:

(j, k) = (1,1), (1,2), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,5), (3,6).

Yjk = número de hombres enviados desde la base j hacia la base principal (B) en un barco grande usando la ruta k con la limitación de arcos (j, k) dada por:

(j, k) = (1,1), (1,2), (1,6), (1,7), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,5), (3,6).

Sk = número de barcos pequeños que utilizan la ruta k, con i=1,....,6.

Lk = número de barcos grandes que utilizan la ruta k, con i=1,....,7.

Parámetros:

Mk = millas viajadas en la ruta k.

FUNCIÓN OBJETIVO

Minimizar

Z=∑k=1

6

Sk (5000+2M k )+∑k=1

7

Lk (10000+3M k )

SA:

Número de barcos pequeños: ∑k=1

6

Sk≤7

Número de barcos grandes:∑k=1

7

Lk≤5

Número de hombres salen de cada base:

X11 + X12 + X16 + Y11 + Y12 + Y16 + Y17 = 1000 (base 1) X22 + X23 + X24 + Y22 + Y23 + Y24 + Y27 = 600 (base 2) X33 + X35 + X36 + Y33 + Y35 + Y36 + Y37= 700 (base 3)

Número de hombres que van en barco pequeño:X11 200 S1 ; X12 + X22 200 S2 ; Y23 + Y33 200 S3

Y24 200 S4 ; Y35 200 S5 ; Y16 + Y36 200 S6

Número de hombres que van en barco grande: X11 500 L1 ; X12 + X22 500 L2 ; X23 + X33 500 L3

X24 500 L4 ; X35 500 L5 ; X16 + X36 500 L6

X17 + X27 + X37 500 L7.

Xjk, Yjk, Sk, Lk 0 para j=1, 2, 3, k=1,…., 7.

Xjk, Yjk, Sk, Lk Z para j=1, 2, 3, k=1,…., 7.

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PROBLEMA 33

La firma financiera Boris Milkem posee seis bienes. El precio de venta esperado (en millones de dólares) por cada bien se presenta en la tabla 32. Si el bien 1 se vende en el año 2, la firma recibe 20 millones de dólares. Para conservar un flujo de efectivo regular, Milkem debe vender por lo menos 20 millones en el año 1, por lo menos 35 millones de dólares en el año 2 y por lo menos 30 millones en el año 3. Prepare un PE que Milkem pueda usar para determinar cómo maximizar el rendimiento total de los bienes vendidos durante los tres años siguientes. Al poner en marcha este modelo, ¿cómo se podría aplicar el concepto de horizonte de planeación rodante?

TABLA 32Vendido

Año 1 Año 2 Año 31 15 20 242 16 18 213 22 30 364 10 20 305 17 19 226 19 25 29

VARIABLES DECISIÓN

Xij es la estrategia de ventas j en el año i

X ij={1Si vende enunañodado0o .w . }FUNCIÓN OBJETIVO

Maximizar Z=15X11+16X21+22X31+10X41+17Y51+19X61+20X12+18X22+30X32+20X42+19X52+25X62+24X13+21X23+ 36X33+30X43 +22X53+29X63

SA:

15X11+16X21+22X31+10X41+17Y51+19X61 ≥ 2020X12+18X22+30X32+20X42+19X52+25X62 ≥ 3024X13+24X23+36X33+ 30X43 +22X53+29X63 ≥ 35

PROBLEMA 34

El servicio de bomberos de Smalltown tiene en la actualidad siete equipos con escaleras ordinarias y siete cajas de alarma. Los dos equipos más cercanos con escalera a cada caja de alarma se dan en la tabla 33. Los padres de la ciudad desean maximizar el número de equipos con escalera ordinaria que se puedan reemplazar con equipos con escaleras extensibles. Las consideraciones políticas establecen infortunamente que es posible reemplazar un equipo ordinario solo sí, después de reemplazarlo, por lo menos uno de los equipos más cercanos a cada caja de alarma todavía es un equipo ordinario.

Formule un PE que se pueda maximizar la cantidad de equipos convencionales que es posible respirar por otros equipos con escaleras extensibles

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TABLA 33Caja de Alarma Dos equipos más cercanos con

escalera ordinaria1 2, 32 3, 43 2, 54 2, 65 3, 66 4, 77 5, 7

VARIABLES DECISIÓN

Xij = escalera j que está en caja i que va hacer cambiada

X ij={1Si cambiael equipo ordinario por extensible0 sino cambia }FUNCIÓN OBJETIVO

Maximizar Z=X12+X13+X23+X24+X31+X35+X42+X46+X53+X56+X64+X67+X75+X77

SA:

Y11+Y21+ Y31+ Y41= Y1

Y12+Y22+ Y32+ Y42= Y2

Y13+Y23+ Y33+ Y43= Y3

X12+X13 ≥ 1X23+X24 ≥ 1X31+X35 ≥ 1X42+X46 ≥ 1X53+X56 ≥ 1X64+X67 ≥ 1X75+X77 ≥ 1

X12 =X42 X13 = X23 =X53 X24=X64 X35=X75

X46=X56

X67 = X77

PROBLEMA 40

Con el fin de satisfacer las demandas de las telecomunicaciones en los veinte años siguientes, Telstar Corporation estima que la cantidad de circuitos requeridos entre Estados Unidos y Alemania, Francia, Suiza y Reino Unido será como se indica en la tabla 45. Se pueden crear dos tipos de circuitos: cable y satélite. Se dispone de dos tipos de circuitos de cable (TA7 y TA8).

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El costo fijo de construir cada tipo de cable y la capacidad de circuitos de cada tipo se dan en la tabla 46. Los cables TA7 y TA8 van desde Estados Unidos hasta el Canal de la Mancha. Por lo tanto, hay un costo adicional por prolongar estos circuitos hasta otros países europeos. El costo variable anual por circuito se da en la tabla 47. Para crear y usar un circuito por satélite, Telstar debe lanzar un satélite y cada país que lo utiliza debe tener una estación (o estaciones) terrena(s) para recibir la señal. Cuesta 3,000 millones el lanzamiento de un satélite. Cada satélite lanzado es capaz de manejar hasta 140 mil circuitos. Todas las estaciones terrenas tienen una capacidad máxima de 190 circuitos y cuesta 6,000 dólares anuales operarlas. Formule un modelo de programación entera para ayudar a suministrar los circuitos necesarios y minimizar el costo total en que se incurra durante los veinte años siguientes. Luego, mediante LINDO (ó LINGO) encuentre una solución cercana a la óptima. Después de 300 pivoteos, ¡LINDO opina que no hay una solución óptima! A propósito no se requiere que la cantidad de circuitos o de cables en un país sea entera, porque sino, ¡el modelo nunca encontrará solución! Sin embargo, por lo que se refiere a algunas variables. ¡el requisito de ser enteras es vital!

TABLA 45 País Circuitos necesariosFrancia 20,000Alemania 60,000Suiza 16,000Reino Unido 60,000

TABLA 46 Tipo de cable Costos fijos de operación (miles millones de dólares) CapacidadTA 7 2 8,500TA 8 2.3 37,800

TABLA 47 País Costos variables por circuito (dólares)Francia 0Alemania 310Suiza 290Reino Unido 0