EJERCICIOS RESUELTOS

ANALISIS REAL

Carmen María Gonzales

EJERCICIOS CAPITULO 1

Sección 1.1

Ejercicio Nº 1

Sea S= 𝟏 −(−𝟏)𝒏

𝒏/𝒏 𝜺 𝑵 . Determinar sup S e Inf S.

Desarrollo.

Para determinar el Sup S e Inf S Probaremos cuando n es par y cuando n

es impar, para esto se hará una tabla de valores.

1.- n es par 2.- n es impar

1 −(−1)𝑛

𝑛 1 −

(−1)𝑛

𝑛

n par Sn n impar Sn

2 1 3 4/3

4 3/4 5 6/5

6 5/6 7 8/7

8 7/8 9 10/9

10 9/10 11 12/11

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

+∞ +∞

Viendo la relación de la tabla anterior se puede determinar que el Sup S= 2 y el Inf S=1/2

Ejercicio Nº 2

Demostrar que el conjunto S = 𝒙 ∈ 𝑹 / 𝒙 ≥ 𝟎 tiene cotas inferiores pero no

superiores.

El conjunto S= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≥ 0 tiene cotas inferiores y el conjunto de las cotas inferiores

es C= 𝑘 ∈ 𝑅/ 𝑘 ≤ 0

-∞ 0 +∞

No está acotada superiormente por tanto no existe un 𝜇 ∈ 𝑅/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜇 ∀𝑥 ∈ 𝑆

Ejercicio Nº 3

Sea𝑺 ⊆ 𝑹 𝒚 𝑺*= Sup de S suponiendo que 𝑺∗es y que 𝝁 ∉ S demostrar que el supremo

del conjunto S ∪ 𝝁 es el mayor de los dos números 𝑺 ∗y 𝝁.

Si 𝑆 ∗∈ 𝑆 ………………………………. Por hipótesis

Y 𝑆 ∗ = Sup S ………………………….. Por hipótesis

Sea 𝜇 ∉ 𝑆 → 𝜇 > 𝑆 ^ 𝑆∗ ∈ 𝑆 → 𝜇 > 𝑆∗

Entonces 0⊆ 𝑆∗ < 𝜇

De esta forma demostramos que S ∪ 𝜇 tiene un Sup el cual sería Sup S ∪ 𝜇 =𝜇 ya que

𝜇 > 𝑆∗

Ejercicio Nº 4

Sea 𝑺 ⊆ 𝑹 𝒚 𝝁 ∈ 𝑺 es cota superior de S.

Demostrar que 𝜇 = 𝑆𝑢𝑝𝑆

0 𝑆∗𝜇

Supongamos que 𝜇 ∈ 𝑆, como hipótesis 𝜇 es la cota superior de S, implica que

𝜇 > 𝑘 ∀𝑘 ∈ 𝑆, lo cual contradice la hipótesis ya que 𝜇 es la cota superiorde S.

Por tanto: Si 𝜇 ∈ 𝑆 → 𝜇 = 𝑆𝑢𝑝 𝑆

Ejercicio Nº 5

Sea 𝑺 ⊆ 𝑹, 𝑺 ≠ ∅ Demostrar que 𝝁 ∈ 𝑺 es la cota superior de

S ↔ 𝒕 ∈ 𝑹, 𝒕 > 𝜇 → 𝑡 ∉ 𝑆

i) Si 𝜇 es cota superior de S……………………………….por hipótesis

Si 𝜇 es cota superior de S→ 𝑡 ∈ 𝑅, 𝑡 > 𝜇 ^ 𝑡 ∉ 𝑆 ….por definición

Supongamos que 𝑡 ∈ 𝑆………………………………….por hipótesis𝜇 es

cota superior.

Implica que 𝑡 ⊆ 𝜇 y esto contradice la hipótesis que 𝑡 > 𝜇

ii) 𝑡 ∈ 𝑅, 𝑡 > 𝜇 → 𝑡 ∉ 𝑆 → 𝜇 es la cota superior de S

0 𝜇𝑡

Ejercicio Nº 9

Sea 𝑺 ⊆ 𝑹 acotado, S0 ≤ 𝑺 , S0≠ ∅. Demostrar que: inf S ≤ inf S0≤ Sup S0≤ Sup S

S0

0

S

El conjunto S tiene cotas inferiores y superiores tales que:

C= 𝐾 ∈ 𝑅/ 𝐾 ≤ 0 𝑦 𝑇 = 𝑚 ∈ 𝑅/𝑚 ≥ 0 El conjunto S0∈ 𝑆 por lo tanto el conjunto de las cotas inferiores seria

N= 𝑦 ∈ 𝑅 /𝑦 ≤ 0 ^ 𝑦 ≥ inf 𝑆

El conjunto de las cotas superiores seria

L= 𝑎 ∈ 𝑅 / 𝑎 ≥ 0 ^ 𝑎 ≤ 0 𝑆𝑢𝑝 𝑆 Si 𝑦 = inf 𝑆0 ^ 𝑎 = 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 → 𝑦 ≥ inf ^ 𝑎 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆

→ inf 𝑆0 ≥ inf 𝑆 ^ 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆

→ inf 𝑆 ≤ inf 𝑆0 ^𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 ≤ 𝑆𝑢𝑝𝑆

→ inf 𝑆 ≤ inf 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆

Ejercicio Nº 10

Sea 𝑺 ⊆ 𝑹, 𝑺 ≠ ∅, S es acotado. Para un dado 𝝁 ∈ 𝑹 considérese el conjunto 𝝁𝑺 = 𝝁𝑺 / 𝑺 ∈ 𝑺

a) Demostrar que si 𝑎 > 0 → inf 𝑎𝑆 = 𝑎 inf 𝑆, 𝑆𝑢𝑝 𝑎𝑆 = 𝑎 𝑆𝑢𝑝 𝑆

=/ 𝑎 > 0 → inf 𝑎𝑠 = 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑆

Por el teorema 2, el infimo del conjunto a S existe probando que es 𝑎 inf 𝑆

Llamamos 𝜇 = inf 𝑆

𝜇 ≤ 𝑆, ∀ 𝑆 ∈ 𝑆………………………………………definición, teorema 2

𝑎𝜇 ≤ 𝑎𝑆……………………………………………….por 𝑎, 𝑎 > 0

𝑎𝜇 es cota inferior del conjunto 𝑎𝑆

Por tanto: 𝑎𝜇 ≤ inf 𝑎 𝑆

Probemos ahora que 𝑎𝜇 es la mayor de las cotas de 𝑎𝑆, si V es cualquier cota inferior del

conjunto 𝑎 𝑆 → 𝑉 ≤ 𝑎𝑆𝑉

𝑎= 𝑆,

𝑉

𝑎≤ inf 𝑆 … … …… … . . … .. …………………………….sustitución

Puesto que inf S es la mayor de las cotas inferiores de S 𝑉

𝑎≤ inf 𝑆

𝑉

𝑎≤ 𝜇 𝑉 ≤ 𝑎𝜇 despejando 𝑎 > 0, 𝑎𝜇 es la cota mayor de las cotas inferiores del

conjunto 𝑎𝑆 𝑖𝑛𝑓 = 𝑎𝑆 = 𝑎𝜇 = 𝑎 inf 𝑆.

Sección 1.2

Ejercicio Nº 2

Si 𝒚 > 0 probar que existen 𝒏 ∈ 𝑵 tal que 𝟏

𝟐𝒏 ≥ 𝒚

Por reducción a lo absurdo 1

2𝑛≥ 𝑦

2−𝑛 ≥ 𝑦𝑥 = 𝑏𝑦

𝑙𝑜𝑔22𝑛 ≥ 𝑦𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏𝑦 = 𝑥

−𝑛 ≥ 𝑙𝑜𝑔2 𝑦𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥

(−1)(𝑛) ≥ 𝑙𝑜𝑔2 𝑦(−1)

𝑛 ≤ −𝑙𝑜𝑔2 𝑦

Si y > 0→ −𝑙𝑜𝑔2 𝑦 ∈ 𝑅 pero 𝑛 ∈ 𝑁 lo cual es una contradicción ya que un número

natural es mayor que cualquier número real negativo.

Ejercicio Nº3

Si x es un numero racional diferente de cero y y es un numero irracional.

Demostrar entonces que x+t, x-y, xy, x/y, y/x son todos irracionales

Sea 𝑥 =𝑎

𝑏 ^ 𝑦 = 2 donde 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅

→ 𝑥 + 𝑦 =𝑎

𝑏+ 2 =

𝑎 + 𝑏 2

𝑏

→ 𝑥 − 𝑦 =𝑎

𝑏− 2 =

𝑎 − 𝑏 2

𝑏

→ 𝑥𝑦 =𝑎

𝑏 2

→𝑥

𝑦=

𝑎/𝑏

2=

𝑎

𝑏 2=

𝑎

𝑏 (

1

2)

→𝑥

𝑦=

2𝑎

𝑏

=𝑏 2

𝑎= 2

𝑏

𝑎

Ejercicio Nº4

¿Cuál es la suma o el producto de dos números irracionales, un numero irracional?

Sea 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁

𝑦 = 𝑐 + 𝑑 2 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑁

𝑥 ∙ 𝑦 = (𝑎 + 𝑏 2)(𝑐 + 𝑑 2)

= (𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 2 + 𝑏𝑐 2 + 2𝑏𝑑)

= (𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 2

𝑎´ + b´ 2

𝑥 + 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 + 𝑑 2

= 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑) 2

𝑎´ + b´ 2

∴ la suma y el producto de dos números irracionales da un numero irracional.

Ejercicio Nº5

Un entero n se llama par si n=2m para cierto entero m y se llama impar si n=2m+1

para cierto entero m

Demostrar que:

a) Un entero impar no puede ser a la vez par e impar

Por contradicción

Supongamos que un entero puede ser par e impar, implica n=2m para algún

𝑚 ∈ 𝑍, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛 = 2𝑚 + 1, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 También es impar por lo que se tiene 2𝑚 = 2𝑚 + 1 lo

que implica que 0=1 ∴es una contradicción.

c) La suma y el producto de dos enteros pares es par ¿Qué se puede decir acerca de

la suma o del producto de dos enteros impares?

Demostración: la suma de dos enteros pares es par.

i) Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares…………………………………..hipótesis

x es par → 𝑥 = 2𝑎……………………………………………. 𝑎 ∈ 𝑍

z es par → 𝑧 = 2𝑏……………………………………………. 𝑏 ∈ 𝑍.

𝑥 = 2𝑎 ^ 𝑧 = 2𝑏𝑎 → 𝑥 + 𝑦 = 2𝑎 + 2𝑏 = 2(𝑎 + 𝑏)

∴ 𝑥 + 𝑧 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃(𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑧

ii) Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares…………………………………..hipótesis

Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares

x es par → 𝑧 = 20…………………………………………….b ∈ 𝑧

𝑥 = 2𝑎 ^ 𝑧 = 2𝑏 → 𝑥 ∙ 𝑧 = 2𝑎 ∙ 2𝑏

= 2(2𝑎𝑏)

→ 𝑥 ∙ 𝑦 es par ya que∃(2𝑎𝑏) ∈ 𝑍

Demostrar la suma de dos enteros impares es impar

Sea x y z dos enteros impares

x es impar → 𝑥 = 2𝑎 + 1 … … … … … … . 𝑎 ∈ 𝑧

z es impar → 𝑧 = 2𝑏 + 1 … …… … … … . . 𝑏 ∈ 𝑧

𝑥 = 2𝑎 + 1 ^ 𝑧 = 2𝑏 + 1 → 𝑥 + 𝑧 = 2𝑎 + 1 + (2𝑏 + 1) =2(a+b)+2

=2(y)+2 y=(a+b) ∈ 𝑧

∴ 𝑥 + 𝑧 no es un número impar ya que lo forma de un número impar es h=2m+1

Demostrar: el producto de dos enteros impares es impar

Sea a ^ b dos enteros impares

a es impar → 𝑎 = 2𝑚 + 1 … …… . . 𝑚 ∈ 𝑧

𝑏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 → 𝑏 = 2𝑛 + 1 … … . … 𝑛 ∈ 𝑧

𝑎 = 2𝑚 + 1 ^ 𝑏 = 2𝑛 + 1 → 𝑎 ∗ 𝑏 = (2𝑚 + 1)(2𝑛 + 1)

= 4𝑚𝑛 + 2𝑚 + 2𝑛 + 1

= 2 2𝑚𝑛 + 𝑚 + 𝑛 + 1

→ 𝑎 ∗ 𝑏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃(2𝑚𝑛 + 𝑛 + 𝑚) ∈ 𝑍

d) si 𝑛2es par, también lo es n

sea n un entero par

𝑛2 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 → 𝑛2 = 2𝑚 … …… … . 𝑚 ∈ 𝑧

→ 𝑛2 = 2𝑚 2 … . . … 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑛2 = 4𝑚2…………algebra

𝑛2 = 2 𝑚2 … … … … . 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜

Sea 𝑛2un entero par

𝑛2es par → 𝑛2 = (2𝑚)2 … … … … … …𝑚 ∈ 𝑧 suponer n=2m+1

→ 𝑛22= (2𝑚)2 n→ 2𝑚 + 1 → 𝑛2 = (2𝑚 + 1)

2

n =2m ………………….simp. 𝑛2 = 4𝑚2 + 4𝑚 + 1

∴ 𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃ 𝑚 ∈ 𝑍𝑛2 = 2 2𝑚2 + 2𝑚 + 1

𝑛2 = 2𝑘 + 1 lo cual contradice la hipótesis

e) Si𝑎2 = 2𝑏2, donde a y b son enteros, entonces a y b son ambos pares

Demostración:

𝑎2 = 2𝑏2 → 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟

→ 𝑎 = 2𝑚 …… … … … … 𝑚 ∈ 𝑍

𝑎 = 2𝑚 ^ 𝑎2 = 2𝑏2 → 𝑎2 = 2𝑏2

→ (2𝑚)2 = 2𝑏2

→ 4𝑚2 = 2𝑏2

→4𝑚2

2= 𝑏2

→ 2𝑚2 = 𝑏2

→ 𝑏2 = 2𝑚2

→ 𝑏 = 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ∴ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠

f) Todo número racional puede expresarse de la forma 𝑎

𝑏 donde a y b son elementos uno

de los cuales por lo menos es impar.

Supongamos que a y b son pares

a=2n y b=2m ∀ 𝑛, 𝑚 ∈ 𝑍

→𝑎

𝑏→

𝑎

𝑏=

2𝑛

2𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑜 ∃𝑚, 𝑚 = 0, 0 ∈ 𝑧 0 = 2(0)

2𝑛

2(0)=

2𝑛

0→ 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 0 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

𝑎

𝑏= 𝑏 ≠ 0

∴ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟.

EJERCICIO Nº 6

Modificar el razonamiento empleado en la demostración del teorema 7 para

demostrar los siguientes enunciados

a) Existe un número real positivo y tal que 𝑦2 = 3

Si tres números reales cualesquiera 𝑦2, 𝑥, 3/𝑥 > 0 satisface que

3≤ 𝑦2 ≤ 3 +𝑥

𝑛 ∀𝑛 ∈ 𝑛 ∈ 𝑛𝑘

Demostración:

a) z<x

b) x≤ 𝑧 +𝑦

𝑛

a) z≤ 𝑥

b) 𝑥 ≤ 𝑧 +𝑦

𝑛

Debemos demostrar que 3=𝑦2 por:

a) Ya sabemos que 3 ≤ 𝑦2 según la ley de tricotomía para los números 3 < 𝑦2 ó 3=𝑦2

si 3=𝑦2 hemos llegado a la condición que deseamos.

Debemos demostrar que la opinión 3<𝑦2 no es factible.

Supongamos que 3<𝑦2

3 < 𝑦2 → 𝑦2 − 3 > 0 … … … . . … . . 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑎

∃𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁∗ / 𝑛(𝑦2 − 3) > 𝑦, 𝑦 > 0, 𝑦 ∈ 𝑅

→ 𝑦2 − 3 >𝑦

𝑛

→ 𝑦2 > 3 +𝑦

𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑏

EJERCICIO Nº7

Demostrar la densidad del conjunto Q en el caso en que x≤ 𝟎

Si x<0, como x<y x*y<0

→ 0 > 𝑥 − 𝑦

→ 𝑦 > 𝑥

→ 𝑦 − 𝑥 > 0 Propiedad arquimidiana

∃𝑛 ∈ 𝑁∗ / 1

𝑛< 𝑦 − 𝑥 →

1

𝑦 − 𝑥< 𝑛

1 < 𝑛𝑦 − 𝑛𝑥 → 𝑛𝑥 + 1 < 𝑛𝑦 Colonario al teorema 6, inciso(c) para nx, nx>0

∃𝑚 ∈ 𝑁∗ / 𝑚 − 1 ≤ 𝑛𝑥 < 𝑚

m≤ 𝑛𝑥 + 1

m≤ 𝑛𝑥 + 1 < 𝑛𝑦

∃𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁∗ /

𝑛𝑥 < 𝑚 < 𝑛𝑦

→ 𝑥 <𝑚

𝑛< 𝑦

∃𝑟 =𝑚

𝑛/ 𝑥 < 𝑟 < 𝑦 , para x,y ∈ 𝑅

Sección 1.3

EJERCCIO Nº1 Escribir por comprensión los conjuntos dados y representarlos geométricamente en la

recta real.

a) V0.5(5)

= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 − 5 < 0.5 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.5 < 𝑥 − 5 < 0.5 = 𝑥 ∈ 𝑅 / 5 − 0.5 < 𝑥 < 5 + 0.5

= 𝑥 ∈ 𝑅 / 4.5 < 𝑥 < 5.5 = 4.5, 5.5

b) V0.25(-2)

= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 + 2 < 0.25 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.25 < 𝑥 + 2 < 0.25 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.25 − 2 < 0.25 − 2

= 𝑥 ∈ 𝑅 / −2.25 < −1.75 = −2.25, −1.75

c) V2∈ (a)

= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 − 𝑎 < 2 ∈ = 𝑥 ∈ 𝑅 / −2 ∈< 𝑥 − 𝑎 < 2 ∈ = 𝑥 ∈ 𝑅 / −2 ∈ +𝑎 < 𝑥 < 2 ∈ +𝑎

= −2 ∈ +𝑎, 𝑎 + 2 ∈

-2∈ +𝑎 x a +2∈

EJERCICIO Nº5

Sean 𝑨 ⊂ 𝑹 𝒚 𝑩 ⊂ 𝑹 demostrar:

a) 𝐴 ⊂ 𝐵 → º𝐴 ∘⊂ º𝐵

𝑃 ∈∘ 𝐴 → ∃𝐼𝑝Ip abierto/ Ip CA……… def punto inferior

→ 𝐼𝑝 𝐶𝐵 … … … … …… … … … … … …… … … . 𝑝𝑜𝑟 𝑕𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝐴 ⊂ 𝐵

→ ∃𝐼𝑝 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 / 𝐼𝑝 𝐶𝐵. . . .....................def .punto interior

→ 𝑃 ∈ º𝐵 …… … … … … … … …… … … … … … def. 𝑑𝑒 º𝐵

𝑃 ∈ º𝐴 → 𝑃 ∈ º𝐵

ºA⊂ºB…………………………………………….def de inclusión.

b) ºA=ºA

i) ººA⊂ºA

ii) ºA⊂ººA

Demostración:

i) ººA⊂ºA

𝑃 ∈ººA → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 , 𝐼𝑝 ⊂ºA………………..Punto interior.

→ 𝑃 ∈ºA ya que Ip ⊂ºA

→ººA⊂ºA………………………………………………….def de inclusión

ii) ºA⊂ººA

𝑃 ∈ºA → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 , 𝐼𝑝 ⊂ºA………………..Punto interior.

→ 𝑃 ∈ººA ya que Ip ⊂ººA

→ºA⊂ººA……………………………………………….def de inclusión

∴ Por paso i, ii, ººA=ºA

c) 𝐴 ∩ 𝐵 =ºA∩ºB

i) 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ºA∩ºB

𝑃 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ ºA∩ºB ……….. Punto inferior

→ 𝑃 ∈ºA ^ P ∈ºB ya que Ip ⊂ºA ∩ºB

→ 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ºA∩ºB…………………………………….def de inclusión

ii) ºA∩ºB ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵

P∈ ºA∩ºB → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 ……….. Punto inferior

→ 𝑝 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ya que Ip ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵

→ ºA∩ºB ⊂ º𝐴 ∩ º𝐵 ……………………….por def i,ii 𝐴 ∩ 𝐵 =ºA∩ºB

d) ºA∪ºB ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵

𝑃 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ ºA∪ºB ……….. Punto inferior

→ 𝐼𝑝 ⊂ºA∪ºB…………………………………………….Hipótesis.

→ ∃ 𝐼𝑝, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ºA∪ºB ………………………..def punto int.

→ 𝑃 ∈ ºA ∪ ºB…………………………………………..def. unión

→ºA∪ºB …………...……………………………………..def. unión

𝐴 ∪ 𝐵 ⊂ºA∪ºB…………………………………………def. Inclusión

e) 𝐴 − 𝐴 ⊂ 𝐴´

𝐷𝑒𝑓. de 𝐴´ acumulación

𝑃 ∈ 𝑅, 𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (∀ 𝐼𝑝, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 − 𝑃 ∩ 𝐴 ≠ ∅)

A-B= 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ^ 𝑥 ∉ 𝐵

Demostración:

Sea P ∈ 𝐴 − 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐴 ∩ 𝑃 ∉ 𝐴………………def. conjuntos

→ ∀ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ∈ 𝐴 ≠ 0 ∩ 𝑃 ∉ 𝐴 … … … . . def. 𝑑𝑒 𝐴 )

→ ∀ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 → 𝐼𝑝 − 𝑃 ∩ 𝐴 ≠ 0

Ya que P ∉A

→ 𝑃 ∈ 𝐴´………………………………………………….def. de 𝐴´

P ∈ 𝐴 − 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐴´………………………………..S.H.

𝐴 − 𝐴 ⊂ 𝐴´……………………………………………Def. de inclusión

i) A⊂B→ 𝐴 ⊂ 𝐵…………..……………………P∈ 𝐴 → ∃𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ∩ 𝐴 ≠ ∅

P ∈ 𝐼𝑝 ^ 𝑃 ∈ 𝐴………….……………………def. Intersección.

P∈ 𝐼𝑝^ 𝑥 ∈ 𝐵…………………….................Hipótesis

P∈ 𝐼𝑝 ∩ B ……………………………………Intersección

𝑃 ∈ 𝐵 ………………………………………….def. Puntos adherentes

𝐴 ⊂ 𝐵…………………………………………..def. Inclusión.

j) 𝐴 = 𝐴

𝐴 ⊂ 𝐴

i) 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃ 𝐺𝑥, 𝐺𝑥 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

Gx ∩ 𝐴 ≠ 0

→ 𝑥 ∈ 𝐴 ya que 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅

→ 𝐴 = 𝐴 ……………………………..def. de inclusión

ii) 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃ 𝐺𝑥, 𝐺𝑥 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

→ 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅

→ 𝑥 ∈ 𝐴 ya que 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅

→ 𝐴 ⊂ 𝐴 ……………………………..def. de inclusión

∴ 𝑝𝑜𝑟 𝑖, 𝑒 𝑖𝑖 𝐴 = 𝐴

EJERCICIO Nº7

Si A= 1

𝑛/𝑛 휀 𝑁∗ Entonces Determinar Fr A y Ext A.

Desarrollo

1.- A= 1

𝑛 .............................................................................................Por

Hipótesis

2.- A= 1,1/2, 1/3, … .........................................................................

Sustitución de valores en n

3.- Fr A= A...........................................................................................

Definición de Punto Frontera y paso 2

4.- Ext A= ] − ∞, 0 𝑈 ··· 𝑈 1/3,1/2 𝑈 1 +

∞[....................................Definicion de Punto exterior y paso 2 y 3

SECCIÓN 1.4

EJERCICIO 1

Desarrollo

a) Compruebe que (𝑮𝒏 )n𝝐𝑵∗ es una cubierta de A=]0,1[, donde 𝑮𝒏 = 𝟏

𝒏+𝟐,𝟏

𝒏 .

1.- Sea (𝐺𝑛 )n𝜖𝑁∗..........................................................................................Hipótesis

2.- 𝐺𝑛 = 1

𝑛+2,

1

𝑛 ..................................................................Dato

3.- 𝐺𝑛 = 1

3, 1 ,

1

4,

1

2 ,

1

5,

1

3 , … ,

1

𝑛+2,

1

𝑛 …......................... Sustitución de Valores

4.- ∴ 𝐴 = 0,1 = 𝑈𝑛∞ = 𝐺𝑛............................................. Definición de Cubierta paso 1 y 3

b)Use a) para comprobar que A no es compacto

1.- Sea 𝐺∗ = 𝑎1, 𝑏1 , 𝑎2, 𝑏2 , … , 𝑎𝑚 , 𝑏𝑚 ..............................Por parte a, dato

2.- si ∈= 𝑚𝑖𝑛(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚 )......................................................Por pasó 1

3.- ∈> 0...................................................................................... Por paso 2

4.- 𝑎1, 𝑏1 , 𝑎2, 𝑏2 𝑈 … 𝑈 𝑎𝑚 , 𝑏𝑚 ⊂] ∈ ,1[................................Unión de paso 1 y 2

5.- 0, ∈ 𝑦 ∈ ,1 Son disjuntos...................................................Definición de Unión

(conjuntos disjuntos)

6.- 𝐺∗ no es un recubrimiento de A.............................................Definición de recubrimiento

paso 4 y 5

7.- ∴ 𝐴 no es compacto.............................................................. .Definición de compacto y

paso 6

c) ¿De qué otra manera se justifica que A no es compacto?

c) Del hecho de que A no es cerrado y por el Teorema de Heine Borel.

EJERCICIO 2

Si 𝐴1, … , 𝐴𝑛 Son compactos de R, demostrar que

𝐴𝑖

𝑛

𝑖=1

es un compacto de R.

Dar un ejemplo que ilustre que la unión infinita no siempre es un compacto.

Desarrollo

1.- Sea 𝐴𝑖 = 𝐴1, 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 compactos de R…… … … … … … …… … … … … … … ….Dato

2.- 𝐴𝑖 es Cerrado y Acotado ∀𝑖= 1,2, … , 𝑛...........................................................Por

definición de Compacto y paso 1

3.- ∃ ∈𝑖/ 𝐴𝑖 ⊂ 𝑉∈𝑖(0)............................................................................................Definicion

de Compacto

4.- Sea ∈= 𝑚𝑎𝑥 ∈𝑖/𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ........................................................................Por paso 3

5.- 𝐴𝑖 ⊂ 𝑉∈(0)𝑛𝑖=1 ...............................................................................................Definición

de conjunto acotado

6.- 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 es acotado........................................................................................... Por ser

Acotado y paso 5

7.- 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 es compacto.........................................................................................Teorema de

Heine Borel

Ejemplo

Sea 𝐴𝑛= 𝑛, 𝑛 + 1 , 𝑛 ∈ 𝑁∗ entonces 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 = 1, +∞

1, +∞ No es acotado y por lo tanto no es compacto (Según el teorema de Heine

Borel).

EJERCICIO 3

Justificar si el conjunto A es o no compacto, si

A= [0,1]U{2}.

Desarrollo

1.- A= [0,1]U{2} ........................................................................................Hipótesis

2.- R-A= ] −∞,0 [ U ]1,2[U]2,+∞[.............................Definición de punto exterior y paso 1

3.- R-A es abierto...........................................................................Por definición y paso 2

4.- A es Cerrado.............................................................................. por paso 1

5.- A esta acotado por 𝑉휀(0)........................................................... Definición de Vecindario

6.- A es Compacto......................................................................... Teorema de Heine Borel

EJERCICIO 4

La familia de intervalos 𝐺𝑛 = 1

𝑛,

2

𝑛 es una cubierta de 0,1 . Demostrar sin hacer uso del

teorema de Heine-Borel que ninguna subfamilia finita de 𝐺𝑛 recubre el intervalo 0,1 .

Desarrollo

1.- Sea (𝐺𝑛 )n𝜖𝑁∗. .....................................................................................................Dato

2.- 𝐺𝑛 = 1

𝑛,

2

𝑛 ........................................................................................................Hipótesis

3.- 𝐺= 1,2 , 1

2, 1 ,

1

3,

2

3 , … ,

1

𝑛,

2

𝑛 , … .............................................................Sustitucion

de valores en paso 2

4.- si 𝐺∗ = 1

𝑛,

2

𝑛 ,

1

𝑛2,

2

𝑛2 , … ,

1

𝑛𝑘,

1

𝑛𝑘 .............................................................Definicion de

𝐺∗ y paso 3

5.- 𝐺∗es una subcoleccion finita de G.................................................................Por paso 4

6.- ∃/p=max 𝑛1, 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 .............................................................................. Definición de

Existencia

7.- 1

𝑝∉

1

𝑛𝑖,

2

𝑛𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘..................................................................... por paso 3,4 y

6

8.- 1

𝑝∈ 0,1 ....................................................................................................... Definición

Cubierta de un conjunto

9.- ∴ ∃ subcoleccion finita de G que no recubre a 0,1 ...................................L.Q.Q.D

De modo que tampoco es compacto.

EJERCICIO Nº6

Dado el conjunto de intervalos abiertos G={]-(2-𝟏

𝒏),(2-

𝟏

𝒏)[\n€N

*}

Dado que G={]-(2-1

𝑛),(2-

1

𝑛) entoces

G1=]-(2-1

1 ), (2-

1

1 ) [ = ]-1,1 [

G2 =]-(2-1

2 ), (2-

1

2 ) [ = ]-

3

2 ,

3

2 [

G3 =]-(2-1

3 ), (2-

1

3 ) [ = ]-

5

3 ,

5

3 [

K = ]-2,2 [

EJERCICIO Nº9

Demostrar que una familia arbitraria de conjuntos compactos en R es compacta

sea AC R se dice que A es compacta si es cerrado y acotado

[0,2] es compacta

(2,4] no es compacta

Sea Ui compacto^ Vj compacto cerrados y acotados → Ui Ώ Vj es compacto en R

EJERCICIOS CAPITULO II

Sucesiones de números reales

EJERCICIO Nº 1

Encontrar los diez primeros términos de la sucesión dada por el criterio indicado.

a) (𝑺𝒎) = 𝟐𝒎

𝟓𝒎−𝟑

𝑠1 = 2 1

5 1 − 3 =

2

2= 1

𝑠2 = 2 2

5 2 − 3 =

4

7

𝑠3 = 2 3

5 3 − 3 =

6

12=

1

2

𝑠4 = 2 4

5 4 − 3 =

8

17

𝑠5 = 2 5

5 5 − 3 =

10

22=

1

11

𝑠6 = 2 6

5 6 − 3 =

12

27=

4

9

𝑠7 = 2 7

5 7 − 3 =

14

32=

7

16

𝑠8 = 2 8

5 8 − 3 =

16

37

𝑠9 = 2 9

5 9 − 3 =

18

43=

3

7

𝑠10 = 2 10

5 10 − 3 =

20

47

b) 𝑺𝒎 = 𝟏 + −𝟏 𝒎

𝑠1 = 1 + −1 1 = 1 − 1 = 0𝑠6 = 1 −1 6 = 1 + 1 = 2

𝑠2 = 1 + −1 2 = 1 + 1 = 2𝑠7 = 1 −1 7 = 1 − 1 = 0

𝑠3 = 1 + −1 3 = 1 − 1 = 0𝑠8 = 1 −1 8 = 1 + 1 = 2

𝑠4 = 1 + −1 4 = 1 + 1 = 2𝑠9 = 1 −1 9 = 1 − 1 = 0

𝑠5 = 1 + −1 5 = 1 − 1 = 0𝑠10 = 1 −1 10 = 1 + 1 = 2

c) 𝑺𝒎 = 𝒎 𝐬𝐢𝐧𝝅 𝒎

𝑠1 = 1 sin 𝜋(1) = 0.055𝑠6 = 6 + sin 𝜋(6) = 1.9385

𝑠2 = 2 sin 𝜋(2) = 0.219𝑠7 = 7 + sin 𝜋(7) = 2.16212

𝑠3 = 3 sin 𝜋(3) = 0.493𝑠8 = 8 + sin 𝜋(8) = 3.3997

𝑠4 = 4 sin 𝜋(4) = 0.219𝑠9 = 9 + sin 𝜋(9) = 4.2632

𝑠5 = 5 sin 𝜋(5) = 1.3537𝑠10 = 10 + sin 𝜋(10) = 5.2125

d) 𝑺𝒎 = 𝟐𝒎+𝟏

𝒆𝒎

𝑆1 = 21 + 1

𝑒1 =

3

𝑒𝑆6 =

26 + 1

𝑒6 =

65

𝑒6

𝑆2 = 22 + 1

𝑒2 =

5

𝑒2𝑆7 =

27 + 1

𝑒7 =

129

𝑒7

𝑆3 = 23 + 1

𝑒3 =

9

𝑒3𝑆8 =

28 + 1

𝑒8 =

257

𝑒8

𝑆4 = 24 + 1

𝑒4 =

17

𝑒4𝑆9 =

29 + 1

𝑒9 =

513

𝑒9

𝑆4 = 24 + 1

𝑒4 =

17

𝑒4𝑆9 =

29 + 1

𝑒9 =

513

𝑒9

𝑆5 = 25 + 1

𝑒5 =

33

𝑒5𝑆10 =

210 + 1

𝑒10 =

1025

𝑒10

e) 𝑺𝟏 = 𝟏; 𝑺𝟐 = 𝟐; 𝑺𝒎 + 𝟐 =𝑺𝒎+𝟏+𝑺𝒎

𝑺𝒎+𝟏−𝒔𝒎

𝑚 = 1, 𝑆1 + 2 = 𝑆3 =𝑆1 + 1 + 𝑆1

𝑆1 + 1 − 𝑠1=

2 + 1

2 − 1=

3

1= 3

𝑚 = 2, 𝑆2 + 2 = 𝑆4 =𝑆2 + 1 + 𝑆2

𝑆2 + 1 − 𝑠2=

3 + 2

3 − 2=

5

1= 5

𝑚 = 3, 𝑆3 + 2 = 𝑆4 =𝑆3 + 1 + 𝑆3

𝑆3 + 1 − 𝑠3=

5 + 3

5 − 3=

8

2= 4

𝑚 = 4, 𝑆4 + 2 = 𝑆6 =𝑆4 + 1 + 𝑆4

𝑆4 + 1 − 𝑠4=

4 + 5

4 − 5=

9

−1= −9

𝑚 = 5, 𝑆5 + 2 = 𝑆7 =𝑆5 + 1 + 𝑆5

𝑆5 + 1 − 𝑠5=

−9 + 4

−9 − 4=

−5

−13=

5

13

𝑚 = 6, 𝑆6 + 2 = 𝑆8 =𝑆6 + 1 + 𝑆6

𝑆6 + 1 − 𝑠6=

5

13+ (−4)

5

132(−9)

=−56

61

𝑚 = 7, 𝑆7 + 2 = 𝑆9 =𝑆7 + 1 + 𝑆7

𝑆7 + 1 − 𝑠7=

−56

61+ (

5

13)

−56

61−

5

13

=423

1033

𝑚 = 8, 𝑆8 + 2 = 𝑆8 =𝑆8 + 1 + 𝑆8

𝑆8 + 1 − 𝑠8=

423

1033+ (−

56

61)

423

1033− (−

56

61)

= −0.38

f) (𝑺𝒎) = ((𝟏 + 𝟏

𝒎)𝒎

m=1→((1 +1

1)1 = 2

m=2→((1 +1

2)2 = (

3

2)²= 9

4

m=3→((1 +1

3)3 = (

4

3)³=

64

27

m=4→((1 +1

4)4 =(

5

4)4 = 625

256

m=5→((1 +1

5)5 =(

6

5)4 = 7776

3125

g) (𝑺𝒎) =(1 - 𝟐

𝒎𝟐)

m =1→(1 - 2

12) = -1

m =2→(1 - 2

22 )= 1-

1

2 =

1

2

m =3→(1 - 2

32 )= 1-

2

9 =

7

9

m =4→(1 - 2

42 )= 1-

2

16 =

14

16 =

7

8

m =5→(1 - 2

52 )= 1-

2

25 =

23

25

h) ((𝑺𝒎) = 𝒏−𝟏

𝒏+𝟏 ------------- No tiene solución

i)𝑺𝟏 =1 ; 𝑺𝒎+𝟏 = 3𝑺𝒎 + 1

m = 1→ 𝑆2 = 3𝑆1 + 1

= 3(1) + 1

= 4

m = 2→ 𝑆3 = 3𝑆2 + 1

= 3(4) + 1

= 13

m =3 → 𝑆4= 3𝑆3 + 1

= 3(13) + 1

= 40

m =4 → 𝑆5= 3𝑆4 + 1

= 3(40) + 1

= 121

m =5 → 𝑆6= 3𝑆5 + 1

= 3(121) + 1

= 364

j) 𝑺𝟏 =1 ; 𝑺𝟏 = 𝟐; 𝑺𝒎+𝟐 = 𝑺𝒎+𝟏+𝑺𝒎

𝑺𝒎+𝟏− 𝑺𝒎

m= 1 → 𝑆3=1+1+1

1+1−1 = 3

m= 2 → 𝑆4=2+1+2

2+1−2 = 5

m= 3 → 𝑆5=3+1+3

3+1−3 = 7

m = 4 → 𝑆6=5+1+5

5+1−5 = 11

m = 5 → 𝑆7=7+1+7

7+1−7 = 15

k)𝑺𝟏 =3 ; 𝑺𝟐 = 𝟓; 𝑺𝒎+𝟐 = 𝑺𝒎+𝑺𝒎+𝟏

m =1 → 𝑆3= 7

m =2 → 𝑆4= 5 + 6 =13

m =3 → 𝑆9= 7 + 8 =15

m =4 → 𝑆13= 23

m =5 → 𝑆7= 40

EJERCICIO Nº3

De las sucesiones del punto anterior señale cuales de ellas corresponden a

sucesiones de números racionales.

R= a), f) y g)

EJERCICIO Nº3

Determine cuáles de las siguientes sucesiones son nulas.

a) 𝟏

𝒏𝟐 =lim𝑥→∞1

𝑛2= 𝐥im𝑥→∞

1

𝑛2

𝑛2

𝑛2

=lim𝑥→∞0

1= 𝑁𝑢𝑙𝑜

b) 𝑛2

𝑛3+2 = lim𝑥→∞

𝑛2

𝑛3+2= lim𝒙→∞

𝒏𝟐

𝒏𝟑

𝒏𝟑

𝒏𝟑 +𝟐𝒏𝟑

= lim𝑥→∞

𝟎

𝟏+𝟎= 0 → 𝑁𝑢𝑙𝑜

c) 1+𝑛

𝑛2 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟏+𝒏

𝒏𝟐= 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟏

𝒏𝟐+𝒏

𝒏𝟐

𝒏𝟐

𝒏𝟐

=lim𝑥→∞0

1= 𝑁𝑢𝑙𝑜

d) 1

𝑛2+1

lim𝑛→∞(1

𝑛2+1) = lim𝑛→∞(

𝑛

𝑛2

𝑛2

𝑛2 +1

𝑛2

)

= lim 𝑛→∞

1

𝑛

lim𝑛→∞

1− lim𝑛→∞

1

𝑛2

= 0

1−0

Es nula

EJERCICIO N 4

Comparar que 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞𝒏+𝟏

𝟐𝒏=

𝟏

𝟐

𝑆𝑛 − 𝑆 < 휀 → 𝑛+1

2𝑛−

1

2 < 휀 Sea 휀 = 0.01

→ 𝑛 + 1 − 𝑛

2𝑛 < 휀

1

2 0.01 < 𝑛

→ 1

2𝑛 < 𝑛 50<n

→1

2휀< 𝑛

Los términos se encuentran en el entorno del centro 𝑦2 y radio 휀, excepto los primeros

cincuenta.

EJERCICIO 5

Demostrar que las siguientes sucesiones de números racionales son convergentes.

a) 2𝑛+1

3𝑛 =lim𝑥→∞

2𝑛+1

3𝑛= lim𝑥→∞

𝟐𝒏

𝒏+𝟏

𝟑

𝒏

= lim𝑥→∞2+0

3=

2

3= 0.6

3𝑛 + 1

3𝑛 =

1

3< 휀 →

2𝑛 + 1 − 2𝑛

3𝑛 < 휀 →

1

3𝑛< 휀 →

1

3휀> 𝑛

Sea 휀 = 0.01 1

3 0.01 < 𝑛

=33<n

b) 2𝑛2−1

2𝑛2+1 =lim𝑥→∞

2𝑛2−1

2𝑛2+1= lim𝑥→∞

𝟐𝒏𝟐

𝒏𝟐 −𝟏

𝒏𝟐

𝟐𝒏𝟐

𝒏𝟐+𝟏

𝒏𝟐

= lim𝑥→∞2−0

2+0= 1

2𝑛2 − 1

2𝑛2 + 1− 1 < 휀 →

2𝑛2 − 1 − 2𝑛2 − 1

2𝑛2 + 1 < 휀

−2

2𝑛+1 < 휀 =

2

3휀2+1< 𝑛

EJERCICIO 8

Demostrar que (𝑺𝒏) no es convergente sí:

a) (𝑆𝑚 ) = 2𝑚 Supongamos que 2𝑚 → 𝐿 𝑦 휀 = 0.01 tenemos que

2𝑚 − 𝐿 < 휀

−0.01 < 2𝑚 − 𝐿 < 0.01

−0.01 + 𝐿 < 2𝑚 < 0.01 + 𝐿; Para m=LL>0 obtenemos

2𝐿 < 0.01 + 𝐿

𝐿 log2) < log(0.01 + 𝐿

𝐿 log2) − log(0.01 + 𝐿) < 0, ; No existe número natural que contenga la

desigualdad

b) (𝑆𝑚 ) = −1 𝑚𝑚2

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑚 = −𝑚2

𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 −𝑚2 → 𝐿 𝑦 휀 = 0.01 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 −𝑚2 − 𝐿 < 휀

−0.01 < −𝑚2 − 𝐿 < 0.01

−0.01+L<−𝑚2 < 0.01 + 𝐿

0.01 − 𝐿 − 𝑚2 > −0.01 − 𝐿 para m=L L> 0.06 tenemos

0 > 𝐿2 +L 0.01……………………...…..no existe numero natural que verifique la

Desigualdad

0.2 para m por (𝑆𝑚 ) = m2 Supongamos que (𝑚2) − 𝐿

𝑚2 − 𝐿 < 휀 → 0.01 < 𝑚2 − 𝐿 < 0.01−→ −0.01 + 𝐿 < 𝑚2

𝐿0.01 + 𝐿 Para m=L L>0

𝐿2 < 0.01 + 𝐿

𝐿2 − 𝐿 − 0.01 < 0; no existen números reales que verifican la desigualdad

∴ 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑏. 1 𝑆𝑚 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

EJERCICIO 9

Si 𝑠𝑚 = 𝑚 + 1 – 𝑚∀ 𝑚𝜖 𝑁∗ Demostrar que entonces convergen las

sucesiones:

b) ( 𝑚𝑠𝑚 )

Solución:

lim𝑚→ 𝑆𝑚 = 0

lim→∞ 𝑚𝑠𝑚 = lim𝑚→∞ 𝑚( 𝑚 + 1 – 𝑚)

= lim𝑚→∞ 𝑚 𝑚 + 1 lim𝑚→∞ 𝑚

= lim𝑚→∞ 𝑚

𝑚

𝑚

𝑚+

1

𝑚− lim𝑚→∞

𝑚

𝑚

= lim𝑚→∞ 1 − lim𝑚→∞ 𝑚

𝑚+

1

𝑚 - lim𝑚→∞ 1

= 1 – 0-1

lim→∞ 𝑚𝑠𝑚 = 0

EJERCICIO 12

Demostrar que la sucesión dada converge al límite indicado

𝟏 +𝟐

𝒎

𝟐

→ 𝟏

lim𝑚→∞

1 +2

𝑚

2

= lim𝑚→∞

𝑚 + 2

𝑚

2

lim𝑚→∞

𝑚

𝑚+

2

𝑚𝑚

𝑚

2

= lim𝑚→∞

1 +

2

𝑚

1

2

lim𝑚→∞

1 + ∞

1

2

= lim𝑚→∞

1 = 1

EJERCICIO 27

Estudiar si 𝜶 = 𝟏

𝒏𝟐+𝟏 𝒚 𝜷 =

𝟐𝒏

𝒏+𝟐− 𝟐 dan lugar a números iguales

∝= 𝟏

𝒏𝟐 + 𝟏 ; 𝜷 =

𝟐𝒏

𝒏 + 𝟐− 𝟐

𝑆𝑚 𝑅 𝐸𝑛 = 0

1

𝑛2 + 1 −

2𝑛

𝑛 + 2− 2 = 0

1

𝑛2 + 1 −

2𝑛 − 2𝑛 − 4

𝑛 + 2 =

1

𝑛2 + 1 −

−4

𝑛 + 2 = 0

= 1

𝑛2 + 1+

4

𝑛 + 2 = 0 −→

𝑛 + 2 + 4𝑛2 + 4

𝑛2 + 1 𝑛 + 2

−→4𝑛2 + 𝑛 + 6

𝑛2 + 1 𝑛 + 2 → lim

𝑛→∞

4𝑛2 + 𝑛 + 6

𝑛3 + 2𝑛2 + 𝑛 + 2

→ lim𝑛→∞

4𝑛2

𝑛3 +𝑛

𝑛3+6

𝑛3

𝑛3

𝑛3+2𝑛2

𝑛3 +𝑛

𝑛3+2

𝑛3

=0

1= 0

∴ ∝= 𝛽 𝑑𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.

EJERCICIO 22

Demostrar que la sucesión 𝒏+𝟏

𝒏 𝐞𝐬 𝐮𝐧𝐚 𝐬𝐮𝐜𝐞𝐢ón de cauchy

𝑆 ∈ 𝑃, 𝑞 ≥ 𝑚0 𝑆𝑝, 𝑆𝑞 < 휀

𝑝 + 1

𝑝−

𝑞 + 1

𝑞 < 휀

𝑝𝑞 + 𝑞 − 𝑝𝑞 − 𝑝

𝑝 ∗ 𝑞 < 휀

𝑞 − 𝑝

𝑝 ∗ 𝑞 < 휀

1

𝑝−

1

𝑞 < 휀 por hipótesis

𝑝 > 𝑚0, 𝑞 > 𝑚0 1

𝑝<

1

𝑚0;

1

𝑞<

1

𝑚0

1

𝑝−

1

𝑞 <

1

𝑚0+

1

𝑚0

1

𝑝−

1

𝑞 <

2

𝑚0< 휀

∴ 𝑚0 = 2

휀

EJERCICIOS CAPITULO 3

EJERCICI Nº 1

Sean V= 𝑿𝟏, 𝑿𝟐 , V= 𝒀𝟏, 𝒀𝟐 ∈ 𝑹𝟐

a) Verificar si la sig. Expresión es un producto interno en 𝑹𝟐

𝑈, 𝑉 = 𝑋, 𝑌, −2𝑋1𝑌2 − 2𝑋2𝑌1 + 5𝑋2𝑌2

𝑈, 𝑉 = 𝑋1, 𝑌1 − 2𝑌2 + 𝑋2, −2𝑦1 + 5𝑌2

𝑋1 + 𝑋2, 𝑌1 − 2𝑌2 + −2𝑌1 + 5𝑌2

𝑋1 + 𝑋2, 𝑌2 − 2𝑌1 + −2𝑌2 + 5𝑌2

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑈, 𝑉 = 4 = 𝑋1, 𝑋2 , 𝑉 = 𝑌1, 𝑌2

b) ¿Para qué valores de K es el siguiente un producto interno 𝑹𝟐

𝑈, 𝑉 = 𝑋1𝑌1 − 3𝑌1𝑌2 − 3𝑋2𝑌1 + 𝐾𝑋2𝑌2

𝑋1, 𝑌1−𝑌2 + 𝑋2, −3𝑌1 + 𝐾𝑌2

𝑋1 + 𝑋2, 𝑌1 − 3𝑌2 + −3𝑌1 + 𝐾𝑌2

𝑋1 + 𝑋2, 𝑌13𝑌1 + −3𝑌2 + 𝐾𝑌2

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑌2 = −3𝑌2 + 𝐾𝑌2

𝑌2 + 3𝑌2 = 𝐾𝑌2

4𝑌2 = 𝐾𝑌2

4 = 𝐾

Por tanto por K=4 es un producto interno en 𝑹𝟐

EJERCICIO 2

Sean X,Y ∈ 𝑹𝒏 Demostrar que

b) 𝑿 + 𝒀 𝟐+) 𝑿 − 𝒀 𝟐 = 𝟐 𝑿 𝟐 + 𝟐 𝒀 𝟐 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒓𝒆𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝑹𝟐 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐.

𝒙 + 𝒚, 𝒙 + 𝒚 + 𝒙 − 𝒚, 𝒙 − 𝒚

𝑥, 𝑦 + 2 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑦 + 𝑥, 𝑥 − 2 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑦

𝑥 2 + 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 2 − 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 2

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2

2 𝑥 + 2 𝑦 2

c) ||x + y||2 - ||x + y||2 = 4 <x, y>

( 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 2 )2 − ( (𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦))2

= 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 - 𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦 = 𝑥, 𝑥 + 𝑦 > + < 𝑦, 𝑥 + 𝑦 - [ 𝑥, 𝑥 − 𝑦 > + < −𝑦, 𝑥 − 𝑦 ] = 𝑥, 𝑥 + 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑦 - [ 𝑥, 𝑥 - 𝑥, 𝑦 - 𝑦, 𝑥 ]

= x 2 + 2 𝑧, 𝑦 + y

2 - x

2+ 2 𝑥, 𝑦 - y

2

=4 𝑥, 𝑦

||x + y||2 - ||x + y||2 = 4 𝑥, 𝑦

EJERCICIOS 3.3-3.4

EJERCICIO Nº1

Sean A, B ⊂ 𝑹𝒏 demostrar que

a) A⊂B→ 𝑨° ⊂ 𝑩°

i) AC𝑅𝑛 , Sea X un punto inferior de A si ∃휀, 휀 > 0

Tal que 𝐴휀 𝐴 ⊂ 𝐴

Entonces 𝐴° ⊂ 𝐴

𝑖𝑖 )𝐵𝐶𝑅𝑛 Sea un punto inferior de B si ∃휀, 휀 > 0

Tal que 𝐵휀 𝐵 ⊂ 𝐴

Entonces 𝐵° ⊂ 𝐴

Si A ⊂ B → X que es punto inferior de A también lo es de

→ 𝐴휀 𝐴 ⊂ 𝐵휀 𝐵

→ 𝐴°𝐶𝐵°

Por lo tanto A ⊂ B→ 𝐴° ⊂ 𝐵°

i) A ⊂ B → 𝑨 𝑪 𝑩

A ⊂ 𝑅𝑛 , X e 𝑅𝑛 Se llama punto adherente de A si VG, G,

Abierto tal que X ∈ G → G ∩ A ≠ 0 → X ∈ 𝐴

Si A ⊂ B → X también punto adherente de B y

∀𝐺 ; G abierto tal que X ∈ G

→ G ∩ B ≠ 0

→ 𝑋 ∈ 𝐵

Como 𝑋 ∈ 𝐴 𝑦 𝑋 ∈ 𝐵

Entonces 𝐴 ⊂ 𝐵 por lo tanto A⊂ B → 𝐴 ⊂ 𝐵

EJERCICIOS 3.5-3.15

EJERCICIO Nº 1

Demuestre haciendo uso de la definición del limite

a) 𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 =→(𝟎,𝟎)𝒙𝟒+𝒚𝟒

𝒙𝟐+𝒚𝟐 = 𝟎

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝜇, 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2

𝑥 − 0 2 + 𝑦 + 0 2 < 𝛿 → 𝑓 𝑥, 𝑦 − 0 < 휀

Debemos probar que ∃𝛿 > 0 tal que

𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿 → 𝑥 < 𝛿 𝑦 𝑦 < 𝛿

𝑥4 + 𝑦4

𝑥2 + 𝑦2 =

𝑥4 + 𝑦4

𝑥2 + 𝑦2≤

𝑥4 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4

𝑥2 + 𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 2

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 < 𝛿2 + 𝛿2 = 2𝛿2 = 휀

Entonces 𝛿2=휀

2→ 𝛿 =

휀

2

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎) 𝒙𝒔𝒆𝒏𝟏

𝒚+ 𝒚𝒔𝒆𝒏

𝟏

𝒙 = 𝟎

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < 𝛿

(𝑥)2 + (𝑦)2 < 𝛿 → 𝑥𝑠𝑒𝑛1

𝑦+ 𝑦𝑠𝑒𝑛

1

𝑥 < 휀

𝑥 < 𝛿, 𝑦 < 𝛿 𝑥 + 𝑦 < 휀

Entonces 𝛿 = 휀

c) 𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎)𝒙−𝟐

𝒙𝒚−𝟐𝒚= 𝟏

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2< 𝛿 𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 <휀 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2<𝛿 𝑥 − 2 < 𝛿 𝑦 − 1 < 𝛿

𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 = (𝑥 − 2)

𝑦(𝑥 − 2)− 1 =

1

𝑦− 1 =

1 − 𝑦

𝑦 <

𝛿

𝑦

𝛿 ≤ 1

2→ 𝑦 − 1 < 𝛿 <

1

2 𝑦 − 1 < 1

2

1- 𝑦 ≤ 𝑦 − 1 < 12

1 − 12 < 𝑦

1

2 < 𝑦

2 >1

𝑦

- 𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 <𝛿

𝑦 < 𝑧𝛿

z↑ 𝛿 = 휀 → 𝛿 = 휀

𝑧

d)𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎) (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟎

*∀ 휀 > 0 , ∃𝛿 > 0 tal que (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 < 𝛿

= 𝑥 − 1 < 𝛿 𝑦 𝑥 + 2 < 𝛿 = [(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2] < 휀 -(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 2 2 < 𝛿2 + 𝛿2 = 2𝛿2 = 휀 = 𝛿2 = 𝜖

2

= 𝛿 = 휀2

EJERCICIO N2

Determinar si existen:

a) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)𝒙𝒚−𝒙+𝒚

𝒙+𝒚

La función está definida en 𝑀 = 𝑅2 − { 0,0 }

Haciendo 𝑀1 = { 𝑥, 0 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0, 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑗𝑒 x}

𝑀2 = { 0, 𝑦 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑦 ≠ 0, 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑗𝑒 y}

𝑀, 𝐶 𝑀 ^ 𝑀2 𝐶 𝑀 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑀, 𝑦

𝐹 𝑥, 0 =𝑥(0) − 𝑥 + (0)

𝑥 + 0=

−𝑥

𝑥= −1

Como 𝑭 𝒙, 𝟎 ≠ 𝑭(𝒚, 𝟎) No existe el límite

b) lim(𝑥 ,𝑦)→(0,0)𝑥𝑦2

𝑥2+𝑦4

F está definida en 𝑀 = 𝑅2 − { 0,0 }

Si 𝑀1 = {(𝑥, 0) 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0}

𝑀2 = {(0, 𝑦) 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑦 ≠ 0}

Como 𝑀1𝑀2 𝐶 𝑀, 𝐹 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑀, 𝑦 𝑀2

𝐹 𝑥, 0 =𝑥(0)2

𝑥2 + (0)4=

0

𝑥2= 0

𝐹 0, 𝑦 =(0)(𝑦)2

(0)2 + (𝑦)4=

0

𝑦2= 0

Como 𝐹 𝑥, 0 = 𝐹(0, 𝑦) el límite existe y es igual a 0

c) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)𝒙𝟐+𝒚

𝒙𝟐+𝒚𝟐

Si 𝑀1 = {(𝑥, 0) 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠ 0}

𝑀1 = {(0, 𝑦) 𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≠ 0 }

Como 𝑀1y 𝑀2 ⊂ 𝑀, F está definida en 𝑀1 y 𝑀2

f 𝑥, 0 = 𝑥2+(0)

𝑥2+(0)2 =𝑥2

𝑥2 = 1

f 0, 𝑦 =(𝑜)2+𝑦

(0)2+𝑦2 =𝑦

𝑦2 =1

𝑦= ∞

Como f 𝑥, 𝑜 ≠ f 𝑜, 𝑦 límite no existe

d) lim(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝑥4+𝑦4

𝑥2+𝑦2 =0

𝑆𝑛= 1

𝑛, 0 𝑉𝑛 = 0,

1

𝑛

f 𝑆𝑛 =1

𝑛4

1𝑛2

= 𝑛2

𝑛4 =1

𝑛2 → 0

f 𝑉𝑛 = 1

𝑛4

1𝑛2

= 𝑛2 𝑛4 = 1 𝑛2 → 0

Como f (𝑆𝑛), y f (𝑉𝑛) Convergen al mismo limite entonces el límite existe y es igual a 0 EJERCICIO Nº 3

Identificar las superficies siguientes.

a) 𝑋2 + 4𝑌2 − 16𝑍2 = 0

𝑋2 + 4𝑌2 = 16𝑍2

𝑋2

16+

4𝑌2

16= 𝑍2

𝑋2

16+

𝑦4

4= 𝑍2

Cono Cuadrático

b) 𝑥2 + 4𝑦2 + 16𝑧2 = 12

𝑥2

12+

4𝑦2

12+

16𝑧2

12= 1

𝑥2

12+

𝑦2

3+

4𝑧2

3= 1

𝑥2

12+

𝑦2

3+

𝑧2

34

= 1 ELIPSOIDE

e) 5𝑋2 + 2𝑌2 − 6𝑍210 = 0

5𝑋2 + 2𝑌2 − 6𝑍2 = 10

5𝑥2

10+

2𝑦2

10−

6𝑧2

10= 1

𝑥2

2+

𝑦2

5−

𝑧2

53

= 1 Hiperboloide de

una hoja

g)𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2 − 4 = 0

𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2 = 4

𝑋2

4+

𝑌2

4+

𝑍2

4= 1 Hiperboloide de una hoja

h)5𝑋2 + 2𝑌2 − 6𝑍2 + 10 = 0Hiperboloide de 2 hojas

5𝑋2 + 2𝑌2 − 6𝑍2 = −10

5𝑋2

10+

2𝑌2

10−

6𝑍2

10= −1

𝑋2

2+

𝑌2

5−

𝑍2

53

= −1

i)𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑧 = 0Paraboloide hiperbólico

𝑥2 + 2𝑦2 = 4𝑧

𝑥2 +𝑦2

12

= 4𝑧

j)2𝑥2 − 3𝑦2 − 6 = 1Cilindro hiperbólico

2𝑥2 − 3𝑦2 = 7

2𝑥2

7−

3𝑦2

7= 1

𝑥2

72

−𝑦2

73

= 1