1. Expresa el vector= (1, 2, 3) comocombinacin linealde los vectores:= (1, 0, 1),= (1, 1, 0) y= (0, 1, 1).

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuacin obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

2. Siendo= (1, 0, 1),= (1, 1, 0) y= (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector= (1, 2, 3) como combinacin lineal de dichos vectores.

El sistema admite nicamente la solucin trivial:

Por tanto, los tres vectores sonlinealmente independientes.

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuacin obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

3. Dados los vectores= (1, 2, 3),= (2, 1, 0) y= (1, 1, 0), demostrar que dichos vectores forman unabasey calcula lascoordenadas del vector(1, 1, 0) respecto de dichabase.

Elsistema homogneoslo admite lasolucin trivial:

Por tanto, los tres vectores sonlinealmente independientesy forman unabase.

Lascoordenadas del vector(1, 1, 0) respecto a labaseson:.

El sistema admite nicamente la solucin trivial:

Por tanto, los tres vectores sonlinealmente independientes.

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuacin obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

4. Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).Soluciones:1Demostrar que forman unabase.Lostres vectoresforman unabasesi sonlinealmente independientes.

En elsistema homogneoel rango coincide con el nmero de incgnitas, por tanto tan slo admite la solucin trivial:

Losvectoressonlinealmente independientesy, por tanto, forma unabase.2Hallar las coordenadas de los vectores de labase cannicarespecto de esta base.Lascoordenadas de los vectoresde labase cannicarespecto de la base son:

5. Determinar el valor del parmetro k para que los vectores= k 2+ 3,= + k+sean:Soluciones:1OrtogonalesPara que losvectoresseanortogonalessuproducto escalartiene que ser igual acero.

2ParalelosPara qu dosvectoresseanparalelos, sus componentes tienen que serproporcionales.

El sistema no admite solucin.6. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:Soluciones:1Hallar para qu valores del parmetroaestn alineados.Si A, B y C estn alineados los vectoresytienen lamisma direccin, por lo que sonlinealmente dependientesy tienen suscomponentes proporcionales.

2Hallar si existen valores deapara los cuales A, B y C son tres vrtices de un paralelogramo de rea 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.El mdulo delproducto vectorialde los vectoresyes igual alrea del paralelogramoconstruido sobrey.

7. Hallar dos vectores demdulo la unidad y ortogonalesa (2, 2, 3) y (3, 3, 2).

8. Hallar unvector perpendicular ay, y que seaunitario.

9. Dados los vectores,yhallar:Soluciones:1,,,

2,,,

3,

4,,

5,

10. Dados los vectoresy, hallar:Soluciones:1Losmdulosdey

2Elproducto vectorialdey

3Unvector unitario ortogonalay

4Elrea del paralelogramoque tiene por lados los vectoresy

11. Hallar elnguloque forman losvectoresy.

12. Hallar loscosenos directoresdel vector.

13. Dados los vectoresy, hallar el productoy comprobar que este vector es ortogonal ay a. Hallar el vectory compararlo con.

14. Calcular elproducto mixto:.

15. Dados los vectores,y, hallar elproducto mixto. Cunto vale elvolumen del paraleleppedoque tiene por aristas los vectores dados?

16. eanA(3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(1, 2, 1) los tres vrtices de un tringulo. Se pide:1Calcular el coseno de cada uno de los tres ngulos del tringulo.

2Calcular el rea del tringulo.

17. Considerar la siguiente figura:

Se pide:1Coordenadas de D para qu ABCD sea unparalelogramo.Por ser la figura un paralelogramo, los vectoresysonequipolentes.

2reade esteparalelogramo.

18. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:1Hallar para qu valores del parmetroaestn alineados.Si A, B y C estn alineados los vectoresytienen lamisma direccin, por lo que sonlinealmente dependientesy tienen suscomponentes proporcionales.

2Hallar si existen valores deapara los cuales A, B y C son tres vrtices de un paralelogramo de rea 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.El mdulo delproducto vectorialde los vectoresyes igual alrea del paralelogramoconstruido sobrey.