Ejerciciosresueltos

5/17/2018 Ejerciciosresueltos - slidepdf.com

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1

ANÁLISIS DE DECISIONES

1. A un inversor, que dispone de tres millones de dólares, se le presentan tres posibles opciones: 1) Invertir en títulos de renta variable,pudiendo conseguir unos beneficios de cuatro millones o pérdidas de dos millones, dependiendo de la situación del mercado bursátilque puede ser a la alza o de baja, habiéndose estimado las probabilidades de dichas situaciones en 0.6 y 0.4 respectivamente. 2) Irse a jugar al casino apostando todo su dinero a rojo, con igual probabilidad de ganar o de perder. 3) Invertir en títulos de renta fija con la

seguridad de obtener unos beneficios de medio millón de dólares.

a. Defina formalmente todas las opciones de inversión descritas anteriormente.

b. Si el inversor ha definido su función de utilidad de la forma: x x xu 4)( 2 += (x en millones de dólares).

i. ¿Cuál es la elección óptima teniendo en cuenta dicha función?ii. ¿Cuál es la actitud del decidor frente al riesgo?

iii. ¿Le sería indiferente la opción de ir al casino a una nueva opción consistente en que si gana juega todo su dinerootra vez a rojo?

Solución

a. Sean A1 , A2 y A3 las opciones de inversión. Si tenemos en cuenta la inversión inicial dichas opciones vendrán definidasmediante las loterías:

5.306

5.05.0

17

4.06.0321 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = A A A

Si no tenemos en cuenta la inversión inicial:

5.033

5.05.0

24

4.06.0321 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= A A A

b. Determinamos para que valores de x la función x x xu 4)( 2 += es de utilidad. Como la función de derivable, pues lo

hacemos a través del signo de la primera derivada.

2042)(' −≥⇒≥+= x x xu

Podemos mencionar que para valores de 2−≥ x la función )( xu es monótona creciente, por lo tanto es función de

utilidad.

1. Las utilidades son:

( ) ( )( ) ( )

25.265.3·4)5.3()5.3()(

0.300·405.06·465.0)0(5.0)6(5.0)(

2.481·414.07·476.0)1(4.0)7(6.0)(

2

3

22

2

22

1

=+==

=+++=+=

=+++=+=

u Au

uu Au

uu Au

Como )()()( 321 Au Au Au >> , se tiene que 321 A A A ff .

Por lo tanto se recomienda realizar la inversión en títulos de renta variable.

2. Se puede estudiar la actitud del decidor frente al riesgo mediante la convexidad de la función de utilidad. Como la

función de utilidad es sucesivamente variable derivable, vemos su convexidad mediante el signo de la segunda

derivada.

02)('' >= xu

Entonces u es convexa, es decir, el decisor tiene preferencia por el riesgo.



2

3. La nueva opción vendría definida mediante la lotería compuesta:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =0

012

5.05.05.05.0

L

Por tanto,

[ ]48192·25.0)0(·5.0)12(·5.05.0)0(5.0012

5.05.0·5.0)( ==+=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = uuuu Lu

Entonces como 30)(48)( 2 =>= Au Lu es 2 A L f , por tanto el decisor prefiere la opción de que si gana

juega todo su dinero otra vez al rojo.

2. Eliana y Carlos están tratando de decidir donde van a ir a cenar esta noche con unos amigos, y no acaban de ponerse de acuerdo, así que a ver si tú les ayudas. Tienen las siguientes opciones:

• El restaurante La Música Loca, donde pagando $60 pueden comer lo que quieran, tienen barra libre y música para bailar hasta altas

horas de la madrugada. Si estuviesen hasta muy tarde, volverían en taxi, lo que costaría $5 y en otro caso volverían andando.• El restaurante El Baratito les ofrece sólo la posibilidad de comer, a un precio bastante económico, $30, pero allí no pueden bailar

ni tomar copas. Además, ese restaurante está muy lejos de marcha de la ciudad. Eso les obligaría, si les apeteciese, a coger untaxi hacia la zona de copas, lo que les costaría $6, y a gastarse allí $10 en la entrada de una discoteca y otros $30 en copas, másel taxi de vuelta que supondría $10. Si no les apeteciese, se irían a casa dando un paseo.

• La última posibilidad consiste en cenar en un restaurante al lado de su casa, donde la cena cuesta $40. Si quisiesen tomar unascopas y bailar se gastarían $25 más.

¿Qué recomiendas tú que hagan, si su objetivo es minimizar los costos?

Solución

Decisor: Eliana y Carlos

Alternativas: Las opciones para salir a cenar

{ };,, 321 aaa A = :1a Ir a La Música Loca

:2a Ir a Baratito

:3a Ir al restaurante al lado de su casa

Estados de la Naturaleza: { };, 21 ee E = :1e Les apetece bailar y tomar copas (llegarán tarde a casa).

:2e No les apetece bailar y tomar copas (no llegarán tarde a casa).

Como no se conoce nada acerca de la posible presentación de esas concreciones, por lo que se trata de un problema en

ambiente de incertidumbre.

Criterio de Evaluación: Costos de la pareja (resultados desfavorables)

Los resultados son:

• :1a ir a La Música Loca

o Si :1e Les apetece bailar y tomar copas

Costo de la cena = [ ] [ ] [ ] [ ]uscenascenaus

cenaus $1202·6060 $$ =a

Costo del taxi recorrido= [ ]us$5

∴ [ ] [ ]usear $1255120, 11 =+=



3

o Si :2e No les apetece bailar y tomar copas →no se gastará en el taxi, solo se paga la cena

∴ [ ] [ ]usear $120, 21 =

• :2a Ir a Baratito



cenaus $602·3030 $$ =a

Costo del taxi recorrido de ir a la zona de copas = [ ]us$6

Costo de la entrada (unidad) = [ ] [ ] [ ] [ ]usentradasentradaus

entradaus $202·1010 $$ =→

Costo de la copa = [ ] [ ]uscopascopaus

copaus $602·3030 $$ =→

Costo del taxi (retorno a casa) = [ ]us$10

∴ [ ] [ ]usear $156106020660, 12 =++++=

o Si :2e No les apetece bailar y tomar copas → solo se paga la cena

∴ [ ] [ ]usear $60, 22 =

• :3a Ir al restaurante al lado de su casa



cenaus $802·4040 $$ =a

Costo de la copa = [ ] [ ] [ ] [ ]uscopascopaus

copaus $502·2525 $$ =→

∴ [ ] [ ]usear $1305080, 13 =+=

o Si :2e No les apetece bailar y tomar copas → solo se paga la cena

∴ [ ] [ ]usear $80, 23 =

La matriz de resultados vendrá dada por:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

80130

60156

120125

3

2

1

21

a

a

a

ee

Criterio de Decisión: Como el enunciado del problema no menciona cuál es el comportamiento de Eliana y Carlos, aplicamos el criterio de decisión de Hurwicz y Savage.

• Criterio de Decisión de Hurwicz

[ ]i

ii

jii

i jii

iiiii

cmín A

ear mín M ear máxm M mc A

→

==−+=→

∗

,,)1(· α α

1e 2e im i M iii M mc )1(· α α −+=

a1 a2

a3

125156

130

12060

80

125156

130

12060

80

C 1=125α+120(1- α )C 2=156 α+60(1- α )

C 3=130α+80(1- α )



4

Como no se conoce el valor de α , representaremos de manera gráfica C i como función de α.

'α ''α

0=α 1=α

La región pintada representa los resultados óptimos: mín. ci

Calculando ahora los coeficientes de pesimismo (valores de 'α y ''α ).

Para 'α : el punto de intersección está entre las rectas 2c y 3c

⇒ 434.0'

)'1(80'130)'1(60'156

=

−+=−+

α

α α α α

Para ''α : el punto de intersección está entre las rectas 1c y 3c

⇒ 888.0''

)'1(80'130)''1(120''125

=

−+=−+

α

α α α α

De esta forma, según el mínimo valor de ic

o Si [ )434.0;0∈α , la alternativa óptima es 2a ⇒ Ir a Baratito

o Si ( )888.0;434.0∈α , la alternativa óptima es 3a ⇒ Ir al restaurante al lado de su casa

o Si ( ]1;888.0∈α , la alternativa óptima es 1a ⇒ Ir a La Música Loca

• Criterio de Decisión de Savage

Evaluaremos las consecuencias erróneas o costos de oportunidad.

)(,0' iji

j jijij r mejor r donder r r =≥−= ∗∗

1e 2e Costos de oportunidad ,

ir

a1 a2

a3

125156

130

12060

80

031

5

600

20

6031

20∗

jr 125 60

Luego la alternativa óptima es 3a , dado que en ella se alcanza { } 2020,31,60, == mínr mín ii

⇒ Se recomienda ir al restaurante al lado de su casa, le resulta más económico.

3. El jefe de marketing de una importante empresa productora de computadoras tiene que decidir si lanzar una nueva campaña antes odespués del mes de noviembre. Si la lanza antes tendrá aseguradas unas ventas de $100 millones. Si la lanza después corre el riesgo



5

de que la empresa competidora se adelante, lo que ocurrirá con una probabilidad de 0,4. Además las ventas también dependen de lasprevisiones de la coyuntura económica que se presente, que puede ser al alza, con probabilidad 0,5., estabilidad, con probabilidad 0,3y recesión. Si la economía está en alza y la competidora no ha lanzado su campaña, las ventas se dispararían hasta los $150 millones ysi la competidora ha lanzado su campaña las ventas serían de $120 millones. Si la economía está estable, las ventas serán de $90millones, si la competidora ha lanzado la campaña, las ventas serán de $70 millones y si no la ha lanzado, las ventas serán de $80millones. A la vista de los datos, ¿Qué decidirá el jefe de marketing?, ¿Cuánto dinero estaría dispuesto a pagar por conocer con

certeza todas las variables inciertas del problema? ¿y por saber cuáles serán las previsiones de coyuntura económica?Si al jefe de marketing se le ofrece la posibilidad de contratar a un espía industrial por $10000 que le dirá con exactitud si la empresade la competencia va a lanzar la campaña, ¿Qué hará?

Solución

• Decisor: el jefe fe marketing

• Alternativas: { };, 21 aa A = 1a : lanzar la campaña después de mayo

2a : lanzar la campaña antes de mayo

• Estado de la naturaleza: Se tiene dos variables de estado, que son: { }21 ,ee E =

1e : La competencia actúa →campaña sulanzanoacompetencilac

campaña sulanzaacompetencilac

:

:_

Se conoce que 4.0)( =c p , y por tanto 6.0)(_

=c p

2e : Predicción de la coyuntura económica→

recesióneneconomíar

estableeconomíae

alzaeneconomíaa

:

:

:

Se conoce que 5.0)( =a p , 3.0)( =e p y, por tanto 2.0)( =r p

Se trata de un problema en ambiente de riesgo.

• Criterio de evaluación: ventas (resultados favorables)

• Criterio de decisión: valor esperado.

[ ] ∑ →==→ ∗

j

ii

jijiii VE máxa pr a E VE a

Para una comprensión mejor, plantearemos el problema mediante un árbol de decisión.

1205.0)( =a p

3.0)( =e p 90

2.0)( =r p

4.0)( =c p 70

1a 150

6.0)(_

=c p 5.0)( =a p

3.0)( =e p 110

2.0)( =r p

2a 80

100



6

Si planteamos el problema en forma normal, tendremos:

0.2 0.12 0.08 0.3 0.18 0.12ac ∧ ec ∧ r c ∧

ac ∧_

ec ∧_

r c ∧_

iVE

1a

2a

120

100

90

100

70

100

150

100

110

100

80

100

114.8

100

1001·100

8.11412.0·8018.0·1103.0·15008.0·7012.0·902.0·120

2

1

==

=+++++=

VE

VE

En cuanto a saber el monto que estaría dispuesta a pagar el Jefe de Marketing, elegiríamos aquella alternativa que, para cada

concreción del estado de la naturaleza nos ofrezca un resultado óptimo:

iji

j r máxr ∗

0.2 0.12 0.08 0.3 0.18 0.12ac ∧ ec ∧ r c ∧

ac ∧_

ec ∧_

r c ∧_

iVE

1a

2a 120

100

90

100

70

100

150

100

110

100

80

100

114.8

100

∗ jr 120 100 100 150 110 100

⇒ Resultado Esperado de la Información de Muestra (VEIM) y el Valor Esperado de Riesgo (VER) es:

8.114

8.12012.0·10018.0·1103.0·15008.0·10012.0·1002.0·120

=

=+++++== ∑ ∗

VER

pr VEIM j

j j

⇒ Valor de la Información Perfecta (VIP) será:

68.1148.120 =−=−= VERVEIM VIP

Si ahora, la información cierta es sólo referente a la coyuntura económica, tendremos:

• Si se produce a , la cantidad que obtiene será:

0.4 0.6 c c iVE

1a

2a 120

100

150

100

138

100

Luego en esta situación la alternativa óptima es 138138 11 =→= ∗r a

• Si se produce e , la cantidad que obtiene será:

∴ La alternativa óptima es la alternativa 1a → Lanzar la campaña después de mayo, con un rédito de 114.8

∴ La cantidad máxima que el Jefe de Marketing está dispuesto a pagar por la información

cierta sobre todas las variables inciertas del problema es de 6 MM$us.



7

0.4 0.6 c c iVE

1a

2a 90

100

110

100

102

100


• Si se produce r , la cantidad que obtiene será:

0.4 0.6 c c iVE

1a

2a 70

100

80

100

76

100



8.114

6.1192.0·1003.0·1025.0·138

=

=++== ∑ ∗

VER

pr VEIM j

j j


8.48.1146.119 =−=−= VERVEIM VIP

Finalmente para saber si es conveniente contratar al espía industrial, se requiere saber cuanto valora el decisor la información que

le va a proporcionar el espía, exclusivamente sobre la reacción de la competencia.

• Si se produce c , la cantidad que obtiene será:

0.5 0.3 0.2a e r

iVE

1a

2a 120

100

90

100

70

100

101

100


• Si se produce c , la cantidad que obtiene será:

0.5 0.3 0.2a e r

iVE

1a

2a 150

100

110

100

80

100

124

100


Así pues se tiene:

∴ La cantidad máxima que el Jefe de Marketing está dispuesto a pagar por la información

adicional de carácter cierto es de 4.8 MM$us.



8


8.114

8.1146.0·1244.0·101

=

=+== ∑ ∗

VER

pr VEIM j

j j


08.1148.114 =−=−= VERVEIM VIP

Como el Costo de la Información Perfecta (CIP) que pretende el espía industrial es 10000$us, se tiene:

001.0 >

> VIP CIP

LÍNEAS DE ESPERA

4. Un equipo de fútbol tiene 3 jugadores que son considerados como claves para el buen rendimiento del equipo. Se ha comprobado quea lo largo de su vida deportiva un jugador de estas características se lesiona de media una vez cada 18 meses. La lesión producida leobliga a permanecer de baja una media de 2 meses, después de lo cual vuelve a estar disponible para el entrenador. Los tiempos sesuponen distribuidos exponencialmente.

a. Formalizar el comportamiento de este sistema mediante un modelo de colas.

λ 3 λ 2 λ

μ μ 2 μ 3

Se trata de un modelo M/M/3/-/3. Es decir, población finita, N=3 jugadores, y s=3 servidores, ya que los tres jugadores

se recuperan simultáneamente.

b. Dentro de un mes el equipo debe jugar un partido decisivo. ¿Cuál es la probabilidad de que el entrenador no pueda disponerde ninguno de los 3 jugadores claves para ese partido por estar lesionados?

0 1 2 3

∴ El Jefe de Marketing no hará el contrato con el espía industrial, como VIP es 0, la información del espía

tiene un valor nulo para el Jefe.



9

n

n

n

n

nn N

N C

C C C C C

P P C P ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

+++===

∑∞

=

μ

λ

!)!(

!;

11;·

3210

0

0033

729

1

9

1

!3!·0

!3;

27

1

9

1

!2!·1

!3;

3

1

9

1

!1!·2

!3 3

3

2

2

1

1 =⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ==⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ==⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ = C C C

∴

729.01000

729

1

11

7291

271

31

3210

0 ==+++

=+++

=C C C C

P

⇒

001.01000

729·

729

1· 033 === P C P

∴ La probabilidad que los tres jugadores estrella estén lesionados al mismo tiempo es de 0.1%,

prácticamente casi nula.

c. ¿Cuál es el número medio de lesiones de jugadores clave que se producen por temporada (12 meses)?

λ λ )·(_

L N −=

∑∞

=

=0

·n

n P n L

Hallando la probabilidad de que 1, 2, ó 3 jugadores estén lesionados

001.0

027.01000

729·

27

1·

243.01000

729·

3

1·

3

022

011

=

===

===

P

P C P

P C P

Reemplazando en la ecuación del número promedio de lesionados en atención (sistema).

[ ]lesionados P P P P n Ln

n 3.0001.0·3027.0·2243.0·1·3·2·1· 32

3

1

1 =++=++== ∑=

Con este dato hallamos el número medio de lesionados por temporada

[ ]meslesiones L N 15.0)·3.03()·(

181

_

=−=−= λ λ

Como la temporada es de 1 año calendario ≅ 12 meses

⇒ [ ]temporadalesiones

temporada 8.112·15.0__

==λ



10

∴ El número de jugadores lesionados estrella por temporada es aproximadamente de 2 jugadores.

d. Por cada jugador clave que está de baja el club pierde 100 millones de $us. al mes. ¿A cuanto ascienden las pérdidas porlesiones por temporada (12 meses)?

Como el costo por el tiempo en atención (sistema) es

[ ] LC WC E W ·=

Entonces el costo por lesión será

[ ] [ ]mesus MM

W MM LC WC E $303.0100· =×==

⇒ El costo por toda la temporada asciende a:

[ ] [ ] [ ]us MM mesesTemporadaCosto mesus MM $3601230 $ =×=

e. ¿Cuál es el número medio de jugadores clave que están disponibles en cada partido?

( ) [ ] jugadores L N 7.23.03 =−=−

∴ Los jugadores clave disponibles por partido, son aproximadamente 3

f. Suponiendo los 3 jugadores clave lesionados en un momento dado, ¿cuánto tendrá que esperar por término medio elentrenador hasta poder disponer de alguno de estos jugadores?

Estamos en el estado 3, por tanto la tasa de servicio, o de ‘recuperación de jugadores’ es 3µ.

[ ]mesest 667.03

2

·3

1

3

1

21

_

====μ

∴ El tiempo medio que tendrá que esperar el entrenador es de 0.667 meses que aproximadamente es de 3 semanas.

g. Uno de estos 3 jugadores es el ídolo de la afición y buena parte de los seguidores del club van al campo con el únicopropósito de verlo jugar. ¿Cuál es la probabilidad de que un aficionado que va a ver un partido al campo no puedacontemplar el juego de su ídolo?

Si hay 1 jugador lesionado, existe una probabilidad de 1/3 de que sea el ídolo. Si hay 2 jugadores lesionados, existe una

probabilidad de 2/3 de que un de ellos sea el ídolo. Si están todos lesionados, seguro que el ídolo lo está.

1.0001.0027.0·243.0···32

31

3232

131 =++=++= P P P P

∴ La probabilidad de que el aficionado no pueda contemplar a su ídolo en el partido es de 10%

5. Supongamos que un sistema de colas tiene dos sirvientes, distribución de tiempo entre llegadas exponenciales, de media 2 horas, ydistribución de tiempos de servicio exponencial de media 2 horas. Sabemos que un cliente ha llegado a las 12:00 de mediodía. ¿Cuáles la probabilidad de que el número de llegadas entre 1:00 p. m. y 2:00 p. m. sea cero?, ¿Uno?, ¿Dos o más?

Solución

Consideremos como unidad de tiempo un intervalo de amplitud 1 hora.

La variable aleatoria T “tiempo entre dos llegadas consecutivas” es exponencial de media (1/ λ ) = 2 horas. ⇒ λ = ½.



11

Equivalentemente, la variable aleatoria n(T) “número de llegadas por unidad de tiempo” es Poisson de media λ = ½

llegadas/hora.

Sabemos que para una variable de Poisson { }

!

)(

x

e xT n P

xλ λ −

==

Por tanto, { }( )

{ }( )

2!11)(;

!00)(

21

21

21

21 1

210

21 −−

−−

======ee

T n P ee

T n P

{ } { } { } { }2

11)(0)(12)(12)(2

1

21

−− −−==−=−=<−=≥

eeT n P T n P T n P T n P

6. Consideremos los siguientes diagramas de tasas, correspondientes a diferentes modelos de colas para procesos de nacimiento ymuerte.

i.

λ λ λ λ λ

…

μ c μ 2c μ 3c μ nc μ 1+nc

Donde c es una constante, 0 < c < 1

ii.

λ λ λ λ λ λ λ

… …

μ μ 2 μ 3 μ 3 μ 3 μ 3 μ 3

iii.

λ 2λ 3

λ nλ 1+n

λ

… …

μ μ μ μ μ

a. Para los modelos anteriores (i, ii y iii) describa brevemente el sistema, a que tipo de situaciones corresponden.Solución

0 1 2 3 n-1 n n+1

n-1 n n+0 1 2 3 54

0 1 2 3 n-1 n n+1



12

i. Población infinita. Cola infinita. Tiempo entre llegadas exponencial de parámetro λ. Un único servidor cuya

tasa de servicio depende del estado (número de individuos en el sistema). La tasa de servicio del servidor disminuye cuanta más gente hay (0<c<1).

ii. Población infinita. Cola finita. Tiempo entre llegadas exponencial de parámetro λ.. Hay tres servidores. El

segundo servidor se incorpora cuando hay 2 individuos en el sistema, pero el 3er. Servidor no se incorpora hasta

que haya 4 individuos en el sistema. Todos los servidores tienen la misma tasa de servicio μ .

iii. Población infinita. Cola infinita. La tasa de llegadas depende del número de individuos en el sistema: decrece

inversamente con el número de individuos en el sistema. Un único servidor con tasa de servicio μ .

7. A un determinado sistema de manufactura, están llegando piezas para ser procesadas de acuerdo a un Proceso de Poisson

{ }0),( ≥t t N , a tasa [ ]hora piezasλ .

a. Suponga que en [ ] β α , , con β α <<0 han llegado n piezas al sistema. Determine una expresión simplificada para la

probabilidad que en el intervalo [ ]α ,0 hayan llegado j de ellas.

b. Determine una expresión simplificada para la distribución de probabilidades del número de piezas que llegan al sistema en el

intervalo [ ] β α , , .n≤

Solución

a. Asumiremos que con, “han llegado j de ellas” o sea que lleguen j piezas del mismo tipo dado que han llegado n. Con estos

datos se tiene que:

{ } { } ←=−===−= n N N x N P n N x N P )()( / )()( / )( α β α α β α Por incrementos estacionarios

{ } { } ←===−= x N P n N x N P )()( / )( α α β α Por incrementos independientes

{ } ←==−=−

!)()( / )(

xe x

n N x N P λα λα α β α Por distribución de procesos de Poisson

b. La distribución de probabilidades del número de piezas que llegan al sistema en el intervalo [ ] β α , quedaría:

{ } { } ←=−==− x N P x N N P )()()( α β α β Incrementos estacionarios.

( )K,3,2,1,0

!

)(·)( =∀

−= −−

x x

e x

α β λ α β λ

8. Los comerciantes de una calle de Barcelona han instalado recientemente el alumbrado navideño. Este consiste en 5 adornosluminosos idénticos que representan árboles de navidad, que están distribuidos de forma homogénea a lo largo de la calle. Cadaadorno luminoso se estropea en media una vez a la semana, estando distribuido exponencialmente el tiempo que transcurre entre 2averías consecutivas de un mismo adorno. Se ha contratado un técnico para reparar los adornos estropeados. El precio establecido esde 8.000 $us. diarias fijas mas otras 5.000 $us. por cada adorno reparado. El técnico tarda en media dos días en reparar un adornoluminoso, siguiendo una distribución de Poisson el número de adornos reparados al día. La asociación de comerciantes ha decididono poner en marcha la iluminación los días en que no estén operativos por lo menos 2 adornos luminosos. Para intentar que estoocurra el menor número de ocasiones posible, cuando hay 3 ó más adornos estropeados el técnico es ayudado por un aprendiz lo cualreduce el tiempo de arreglo a un día y medio, pero aumenta su tarifa en esas ocasiones a 7.500 $us. por adorno para cubrir los gastosdel ayudante (manteniendo el precio fijo).

Los comerciantes han observado que cuando la iluminación no está en marcha se reducen notablemente los clientes potenciales de lazona lo cuál supone una pérdida estimada de 500.000 $us. /día en ventas. Por este motivo se plantean contratar adicionalmente otrotécnico igual de eficiente del actual que trabajaría con las mismas condiciones y tarifas (ahora ya no sería necesario ningún ayudante).



13

a. Construya un modelo de colas adecuado para representar la situación actual y describa sus parámetros: tasas de llegadas, tasas deservicio, tamaño del sistema, tamaño de la población

b. ¿Qué porcentaje de días no se pone en marcha la decoración navideña?c. ¿Cuál es el costo medio diario total asociado a la decoración navideña?d. ¿Merece la pena contratar el nuevo técnico?

Solución

a. 5 λ 4 λ 3 λ 2 λ

µ µ µ1 µ1

[ ] [ ] [ ]ayudantecontécnico por día serviciostécnico por día serviciosadorno por díallegadas 3212171 ;; === μ μ λ

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) 081.0450.0·1080

2·3·4··5

189.0050.1·3603·4··5

294.0633.1·804··5

257.0429.17

10·5

4

4

7

1

232221

71

71

71

71

4

3

3

71

322

21

71

71

71

3

2

2

71

2

21

71

71

2

1

21

71

1

=⇒===

=⇒===

=⇒===

=⇒===

P C

P C

P C

P C

180.01

1

4321

0 =++++

=C C C C

P

b. 081.04 = P

c.

( ) ( )[ ][ ] [ ]díausCosto

P P P P P Costo$

431214

50.51227270.0·5000551.0·2500800040500750050008000500000

=+++=+++++= μ μ

d. 5 λ 4 λ 3 λ 2 λ

µ 2 µ 2 µ 2 µ

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4



14

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) 027.009995.0·2402

2·3·4··5

095.0350.0·1202

3·4··5

221.0816.0·402·

4··5

387.0429.17

10·5

4

4

71

2

21

21

71

71

71

71

4

3

3

71

2

21

21

71

71

71

3

2

2

71

21

21

71

71

2

1

21

71

1

=⇒===

=⇒===

=⇒===

=⇒===

P C

P C

P C

P C

271.01

1

4321

0 =++++

=C C C C

P

El nuevo costo es:

( )[ ][ ][ ] [ ]día

usnuevo

nuevo

Costo

P P P P P Costo

$

43214

29.3225707.27301600022.13527

2500016000500000

=++=

+++++= μ μ

El costo nuevo es menor que el costo actual ∴ es conveniente contratar al nuevo técnico.

9. Un centro de atención primaria tiene que administrar la vacuna de poliomielitis a los niños de un barrio. El centro está organizado deforma que los padres van llegando con los niños, forman una cola, y se atienden 40 por hora, con una distribución exponencial, porcualquiera de las enfermeras que están de servicio. Este servicio de vacunación se ofrece una vez a la semana, y en este día lasllegadas se realizan con una tasa igual a 40 niños por hora. El director del centro sabe que la mayoría de los padres vienen durante sushoras de trabajo y por ello quiere limitar el tiempo total de administración de la vacuna a 15 minutos (incluyendo la espera) ¿Cuántasenfermeras tendrá que usar el gerente?

Solución

El proceso de vacunación se puede modelar con una M/M/s, donde s es el número de enfermeras. Los parámetros del sistema son

40=λ y40=μ

; por tanto, el factor de utilización es s s1

4040 ==

.

Para que el sistema tenga estado estacionario y éste sea independiente del estado inicial es necesario que 1< ρ ; por tanto, 2≥ s

(No puede haber una única enfermera).

Cuanto mayor sea el número de enfermeras, menor será el tiempo medio en el sistema; por tanto, calcularemos los tiempos medios

de administración de la vacuna para valores crecientes de s (desde s = 2) hasta que éste quede debajo de 15’.

Para s = 2, [ ]horasw 301= es decir 2=w minutos. Por tanto, 2 enfermeras serán suficientes para conseguir los propósitos del

director del centro.

10. En un Banco hay una sola caja. El cajero tarda un tiempo medio de quince minutos con cada cliente. Por razones de seguridad sólo seadmiten dos clientes en el Banco: uno en caja y otro esperando. Los clientes que llegan cuando ya hay dos clientes en el Banco, sevan. Los clientes llegan a un promedio de tres por hora.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue se tenga que ir?b. Habiendo encontrado el Banco lleno un día, lo intenta el día siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que de nuevo no pueda entrar?

Solución



15

El sistema se puede modelar como una cola M/M/1/2. Es decir, la capacidad del sistema es:

[ ] [ ] 43,4,3,2 ===== μ

λ μ λ horaclientes

horaclientesconk

a. La probabilidad de que haya 2 clientes en el sistema.

( ) ( )%32.342432.0

37

9

14

3

1

1

4

3

1

)1(

1

)1(3

43

41

2

3

43

43

2

3

2

12 ≈≅=−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

−

−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

−

−=

−

−=

+ ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ k

k

p

b. Se tiene los siguientes sucesos:

=1a No hay sitio el primer día

=2a No hay sitio el segundo día

Para calcular ( )21 aa P ∩ se debe tomar en cuenta que lo que suceda un día es independiente de que lo que suceda el siguiente día,

lo cual permite calcular la probabilidad de la intersección de sucesos como el producto de sus probabilidades.

( ) ( )( ) 2432.0)(

379

22)(

)()·(

1

21

1

21

1

2 ≅===== ∩ pa P P

a P

a P a P

a P

aa P

aa

11. Usando el número medio de clientes en el sistema como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:

Solución

Alternativa 1 (se puede notar que hay 2 colas):

Alternativa 2:

μ /2 /2

μ /2 /2

λ

μ /2

μ /2

Alternativa 1: Alternativa 2:

μ

λ ρ

ρ ρ =

−=

−= donde,

1

2

12

1

11 L

ρ μ

λ

μ

λ ρ ===

22

2

( ) ( )

112

0

22

02!

21!2

2

−−

=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +

−= ∑

n

n

n p ρ

ρ ρ



16

Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de cumplirse que L1>L2:

Como 0> siempre se cumple, → se tiene que la alternativa 2 siempre es mejor, Es decir, no conviene poner dos colas, sino tener

una única cola global

( )( ) ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ

ρ

+>⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>−

⇒−+

>− 1

110

1

2

11

2

1

2

011 >⇒>+⇒ ρ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

+−=

+−−+=+

+−=

112

112222

112 333

2 L

( ) ( )

122

12

0212

4422421

12

4−−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

−=

ρ

ρ ρ ρ ρ ρ

ρ

ρ p

( ) ρ

ρ

ρ

ρ

+

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+=

−

1

1

12

221

02 p

ρ λ μ

λ λ λ λ

μ 2

2122

2

222 +=+=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +== qqq W W W W L

( )( )

( ) ( )ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ 2

11

122

12

42

2

3

2

02

3

22 ++−

−=+

−=+=

p L L q

Ejerciciosresueltos

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