FACULTAD DE INGENIERA UNA ALGEBRA LINEALTEMAS PRCTICOS PRIMER TALLER AO 2015

1. Determinar, verificando que se cumplen todos los axiomas que

corresponden, si el conjunto de polinomios realesp:X R, con X = [0,1], las operaciones de suma de funciones y producto por escalares definidas

como: (p + q)(x) = p(x) + q(x) y (p)(x) = p(x), xXR, constituye un espacio vectorial sobre R.

2. Si = = , , , , con las operaciones: + = 11, 22 ; , ; = 2, 1 ;

Donde = 1, 2 , = 1, 2 . Verificar si es o no un espacio vectorial.

3. Sea = = , ; , , con las operaciones suma y producto por escalares; definidas como:

+ = 1 + 1, 2 + 2 ; , ; = + 1 1, + 2 1 ;

donde = 1, 2 , = 1, 2 . Verificar cuales de los axiomas de los espacios vectoriales se verifican y cuales no.

4. Si V = {w / w = (x, y)} R2 y para u = (a, b) V; v = (c, d) V; kR; se definen:

a) u + v = (a + c, b + d + 2ac); b) ku = (ka, k2b)

Determinar la condicin que deben cumplir las componentes x e y de w para que V, con las operaciones definidas en i) y ii), constituya un espacio vectorial sobre R.

5. Sea U el subconjunto de vectores v Rn tales que v = (1, 2, , ), donde 0. Verificar si U es un subespacio de R

n.

6. Sea U el subconjunto de vectores v Rn tales que v = (1, 2, , ), donde

=0 0. Verificar si U es un subespacio de R

n.

7. Determinar si el conjunto de funciones realescontinuas f:X R, X = [-1,1], que verifican = es un subespacio de las funciones reales continuas.

8. Determinar si el conjunto de funciones realescontinuas f:X R, X = [-1,1], que verifican = 1 es un subespacio de las funciones reales continuas.

9. Hallar una ecuacin paramtrica del subespacio de 4 dada por la ecuacin implcita, = , , , + = 0; + = 0; + = 0 .

10. Determinar una base del subespacio de 4, cuya ecuacin paramtrica es: = + 2 ; = + + ; = 2 2; = +

11. Hallar una ecuacin paramtrica y una ecuacin implcita del subespacio de 4, siendo = 2, 1, 1, 1 , 1, 2, 1, 1 , 1, 2, 1, 1 .

FACULTAD DE INGENIERA UNA ALGEBRA LINEALTEMAS PRCTICOS PRIMER TALLER AO 2015

12. Hallar una ecuacin paramtrica y una ecuacin implcita del subespacio de 4, siendo = 1, 0, 1, 2 , 1, 2, 0, 1 , 2, 2, 4, 10 .

13. Para la matriz

34021

32732

41823

43021

A determinar una base de su espacio

fila y una base de su espacio columna.

14. Determine dos bases del espacio fila de la matriz A, que no tengan vectores en comn

1433

2654

1221

0000

0212

A

15. Determinar una transformacin lineal de coordenadas que exprese las variables , , , en funcin de las variables , , , tal que la forma cuadrtica sea diagonal:

, , = 2 + 2 4 6 + 2 10 2 + 62 + 18 + 112

16. Verificar si la matriz es unitaria, siendo:

= 1 1 + 1 1 +

1 + 1 + 0

17. Si , , , = 1, , 2 ; = 1, , 2 ; = 1, , 2 , determinar la relacin entre , para que , , constituya una base en R3.

18. Si = 2 + 1, , 1 es una base en 2, conjunto de polinomios de grado

menor o igual a dos, y = 1 2 30 1 40 0 1

la matriz de transicin de la base a

otra base .Determinar: a) Las coordenadas de = 32 2 + 1respecto a la base . b) La base.

19. Sean U = {(x, y, z, t) / y 2z + t = 0) y W = {(x, y, z, t) / x = t, y = 2z}.

Hallar una base y la dimensin de: a) U; b) W; c) UW.

20. Demostrar que S = ( 1 + x , 1 + 2x x3 , x x2 + 3x3 , x2 2x3 ) es una base de P3. Siendo P3 el conjunto de polinomios con coeficientes reales, de variable real y grado menor o igual a tres.

21. En el espacio vectorial P3:RR, de los polinomios de grado menor o igual a tres, se consideran los subespacios: U = lin{1+x3, 1+x+x2, 2xx2, 2+3x2

}, V = lin{1+3x2x3, 1+4x+x2x3, 2xx2 }. Se pide: a) Demostrar que V

U; y, b) Hallar un subespacio W de P3 tal que V W = U.

FACULTAD DE INGENIERA UNA ALGEBRA LINEALTEMAS PRCTICOS PRIMER TALLER AO 2015

22. Encontrar un conjunto generador del subespacio de R3definido por

cabacbazyx ,,32,,

23. En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a dos, se tienen las bases S = { 2x2 + x, x2 + 3, x} y T = { x2 +1, x 2, x + 3}. Determinar la matriz de transicin de la base S hasta la base T.

24. Determinar un sistema homogneo cuyo conjunto solucin W est generado por { ( 1, 0, 1, 2 ), ( 3, 5, 2, 5 ), ( 1, 4, 0, 9 ) }.