EJERCICIOS PARA DEBER

Ing. Com. Bolivar Cabrera Julio - Diciembre 2013

TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD

Problemas propuestos

REGLAS FUNDAMENTALES DE PROBABILIDAD 1. Determinar la probabilidad p o un estimador de ella, para cada uno de los siguientes sucesos:

a. Extracción de una baraja de 52 cartas de un rey, as, sota de tréboles o reina de diamantes en una solaextracción.

b. La aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 8 puntos.

c. Un cerrojo no defectuoso a extraer de una población, si de 600 ya examinados, 12 fueron defectuosos.

d. La aparición en una sola tirada de dos dados de la suma 7 u 11.

e. La aparición de al menos una cara en tres lanzamientos de una moneda.

Resp.\ (a) 5/26, (b) 5/36, (c) 0,98, (d) 2/9, (e)7/8

2. Se extraen dos cartas. de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de que ambas sean ases si la carta (c) se remplaza,

(b) no se remplaza.

3. Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 naranjas. Hallar la probabilidad de que

sea (a) naranja o roja, (b) no roja o azul, (c) no azul, (d) blanca, (e) roja, blanca o azul.

Resp. (a) 1/3, (b) 3/5, (c) 11/15, (d) 2/5,.(e) 4/5.

4. Se extraen dos bolas sucesivamente de la caja del problema anterior, remplazando la bola extraída después de cada extracción.

Hallar la probabilidad de que (a) ambas sean blancas, (b) la primera sea roja y la segunda blanca, (c) ninguna sea naranja, (d) las

dos sean rojas o blancas o de ambos colores (roja y blanca), (e) la segunda no sea azul, (f) la primera sea naranja, (g) al menos

una sea azul, (h) no más de una sea roja, (i) la primera sea blanca pero la segunda no, (j) solamente una sea roja.

Resp. (a) 4/25, (b) 4/75, (c) 16/25, (d) 64/225, (e) 11/15, (f) 1/5, (g) 104/225, (h) 221/225, (i) 6/25, (j) 52/225.

5. Lo mismo del problema precedente, pero sin remplaza miento.

Resp. (a) 29/185, (b) 2/37, (c) 118/185, (d) 52/185, (e) 11/15, (f) 1/5, (g) 86/185, (h) 182/185, (i) 9/37, (j) 26/111.

6. Hallar la probabilidad de conseguir un total de 7 puntos (a) una vez, (b) al menos una vez, (c) dos veces en dos lanzamientos de un

par de dados.Resp. (a) 5/18, (b) 11/36, (c) 1/36.

7. Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de que (a) la primera carta no sea un diez de

tréboles o un as, (b) la primera carta sea un as pero la segunda no, (c) al menos una carta sea de diamantes, (d) las cartas no

sean del mismo palo, (e) no más de una carta sea figura (sota, reina, rey), (f) la segunda carta no sea figura, (g) la segunda carta

no sea figura dado que la primera lo fue, (h) las cartas sean figuras o de un palo o ambas cosas.

Resp. (a) 47/52, (b) 16/221, (c) 15/34, (d) 13/17, (e) 210/221, (/) 10/13, (g) 40/51, (h) 77/442.

8. Una caja contiene 9 papeletas numeradas del 1 al 9 inclusive. Si se extraen sucesivamente 3 papeletas, hallar laprobabilidad de que

sean alternativamente impar, par, impar o par, impar, par.Resp. 5/18.

9. La caja A contiene 3 bolas rojas y 2 azules en tanto que la caja B contiene 2 bolas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda

honrada. Si se obtiene cara se saca una bola de la caja A; si se obtiene sello se saca una bola de la caja B. Hallar la

probabilidad de sacar una bola roja. Resp. 2/5

10. Un monedero contiene 2 monedas de plata y 4 monedas de cobre, y un segundo monedero contiene 4 monedas de plata y 3

de cobre. Si se elige al azar una moneda de uno de los dos monederos, ¿cuál es la probabilidad de que sea una moneda de

plata?Resp. 19/42.

11. La probabilidad de que un hombre viva dentro de 25 años es 3/5, y la probabilidad de que su esposa viva dentro de 25

años es 2/3. Hallar la probabilidad de que (a) ambos vivan, (b) viva solamente el hombre, (c) viva solamente la mujer, (d)

viva uno al menos. Resp. (a) 2/5, (b) 1/5, (c) 4/15, (d) 13/15.

12. De un total de 800 familias con 4 hijos cada una, ¿qué porcentaje cabe esperar que tenga (a) 2 niños y 2 niñas, (b) al

menos 1 niño, (c) ninguna niña, (d) a lo sumo 2 niñas? Supónganse iguales las probabilidades para niños y niñas. Resp.

(a) 37,5 %, (b) 93,75 %, (c) 6,25 %, (d) 68,75 %.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 13. Si X es la variable aleatoria que representa el número de niños en familias con 4 hijos (véase Problema anterior), (a)

construir una tabla que muestre la distribución de probabilidad de X, (b) representar gráficamente la distribución de(a).Resp.

(a) TABLA

14. Se extraen tres bolas sin remplaza miento de una urna que contiene 4 rojas y 6 blancas. Si X es una variable aleatoria que

denota el número total de bolas rojas extraídas, (a) construir una tabla que muestre la distribución de probabilidad de X, (b)

representar gráficamente la distribución. Resp. (a) TABLA

EJERCICIOS PARA DEBER

Ing. Com. Bolivar Cabrera Julio - Diciembre 2013

ESPERANZA MATEMÁTICA 15. ¿Cuál es el precio justo a pagar para entrar en un juego en el que uno puede ganar $25 con probabilidad 0,2 y $10

con probabilidad 0,4? Resp. $9.

16. Si llueve, un vendedor de paraguas puede ganar $30 por día. Si no llueve, puede perder $6 por día. ¿Cuál es su

esperanza matemática si la probabilidad de lluvia es 0,3? Resp. $4,80 por día.

17. A y B juegan un juego consistente en lanzar una moneda 3 veces. El que obtenga la primera cara gana el juego. Si A lanza

primeramente la moneda y si el valor total de las apuestas es $20, ¿con cuánto deberá contribuir cada uno para que el juego

se considere justo? Resp. A, $12,50; B, $7,50.

18. Hallar (a) E(X), (b) E(X2), (c) E[(X - X}

1} y (d) E(X

3) para la siguiente distribución de probabilidad.

X -10 -20 30

P(X) 1/5 3/10 1/2

Resp. (a) 7, (b) 590, (c) 541, (d) 10.900.

19. Hallar (a) la media, (b) la varianza y (c) la desviación típica de la distribución de X del Problema 12 e interpretar los

resultados. Resp. (a) 1,2, (b) 0,56, (c)0,56 = 0,75.

PERMUTACIONES 20. Hallar el valor de (a) 4P 2, (b) 7P5 (c) 10P3Resp. (a) 12, (b) 2520, (c) 720.

21. ¿De cuántas formas pueden 5 personas sentarse en un sofá si tiene solamente tres asientos?Resp. 60.

22. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 7 libros en un estante si (a) es posible cualquier ordenación, (b) 3 libros determinados

deben estar juntos, (c) 2 libros determinados deben ocupar los extremos?Resp. (a) 5040, (b) 720, (c) 240.

23. ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, . . ., 9, si (a) los números debenser impares, (b)

las primeras dos cifras de cada número son pares?Resp. (a) 8400, (b) 2520.

24. Resolver el problema anterior si las cifras de los números pueden estar repetidas. Resp. (a) 32.805, (b) 11.664.

25. ¿Cuántos números diferentes de 3 cifras pueden formarse con 3 cuatros, 4 doses y 2 treses? Resp. 20.

26. ¿De cuántas formas pueden 3 hombres y 3 mujeres sentarse alrededor de una mesa si (a) no se impone ninguna

restricción, (b) dos mujeres determinadas no deben sentarse juntas, (c) cada mujer debe estar entre dos hombres?

Resp. (a) 120, (b) 12, (c) 12.

COMBINACIONES J

27. Hallar el valor de (a) 5C3, (b) 8C4, (c) 10C8. Resp. (a) 10, (b) 70, (c) 45.

28. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse 6 preguntas de un total de 10? Resp. 210.

29. ¿Cuántos comités diferentes de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse con 8 hombres y 6 mujeres?Resp840.

30. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse 2 hombres, 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas con 6 hombres, 8 mujeres, 4

niños y 5 niñas si (a) no se impone ninguna restricción, (b) deben seleccionarse un hombre y una mujer determinados

Resp. (a) 42.000, (b) 7.000.

31. ¿De cuántas formas puede un grupo de 10 personas dividirse en (a) dos grupos de 7 y 3 personas, (b}tres

grupos de 4, 3 y 2 personas? Resp. (a) 120, (b) 12.600.

32. Con 5 estadísticos y 6 economistas quiere formarse un comité de 3 estadísticos y 2 economistas. ¿Cuántos

comités diferentes pueden formarse si (a) no se impone ninguna restricción, (b) dos estadísticos determinados deben

estar en el comité, (c) un economista determinado no debe estar en el comité?Resp. (a) 150, (6)45, (c) 100.

33. Hallar el número de (a) combinaciones y (b) permutaciones de cuatro letras cada una que pueden formarse CON

las letras de la palabra TennesseeResp. (a) 17, (b) 163.

PROBLEMAS DIVERSOS 34. Se extraen 3 cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de que (a) 2 sean sotas y 1 sea rey, (b) todas sean de un mismo

palo, (c) todas sean de palos distintos, (d) se extraigan al menos dos ases. 'Resp. (a) 6/5525, (b) 22/425, (c) 169/425, (d)

73/5525.

35. Hallar la probabilidad de al menos 2 sietes en cuatro lanzamientos de un par de dados. Resp. 171/1296.

36. Si un 10 % de los remaches producidos por una máquina son defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que de 5 remaches

elegidos al azar (a) ninguno sea defectuoso, (b) uno sea defectuoso, (c) al menos dos sean defectuosos? Resp. (a) 0,59049, (b)

0,32805, (c) 0,08146.

EJERCICIOS PARA DEBER

Ing. Com. Bolivar Cabrera Julio - Diciembre 2013

Problemas propuestos LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

37. Hallar el valor de (a) 7!, (b) 10!/(6!4!), (e) 9C5, (d) 11C8, (e) 6C1.

Resp. (a) 5040, (b) 210, (c) 126, (d) 165, (e) 6.

38. Desarrollar (a) (q + p)7, (b) (q + p)

10.

Resp. (a) q7 + 7q

6p + 21q

5p

2 + 35q

4p

3 + 35q

3p

4 + 21q

2p

5+7qp

6 + p

7

(b) q10

+ 10q9p + 45q

8p

2 + 120g

7p

3 + 210q

6p

4 + 252q

5p

5 + 210q

4p

6 + 120q

3p

7 + 45q

2p

8 + 10 qp

9 + p

10

39. Hallar la probabilidad de que lanzando una moneda 6 veces aparezcan (a) O, (b) 1, (c) 2, (d) 3, (e) 4, (f) 5, (g) 6 caras.

Resp. (a) 1/64, (b)3/32,(c)15/64, (d)5/16, (e)15/64, (f)3/32, (g)1/64

40. Hallar la probabilidad de (a) 2 o más caras, (b) menos de 4 caras en un lanzamiento de 6 monedas

Resp. (a)57/64 (b)21/32.

41. De un total de 800 familias con 5 hijos cada una, cuántas cabe esperar que tengan (a) 3 niños, (b) 5 niñas, (c) 2 o 3niños.

Suponer iguales la probabilidad de niño y niña. Resp. (a) 250, (b) 25, (c) 500.

42. Hallar la probabilidad de obtener un total de 11 (a) una vez, (b) dos veces en dos lanzamientos de un par de dado

Resp. (a) 17/162, (b) 1/324.

43. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 9 una vez en tres lanzamientos de un par de dados? Resp. 64/243

44. Hallar la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10 preguntas de un examen falso-verdadero. Resp.

193/512.

45. Un vendedor de seguros vende pólizas a 5 hombres, todos de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas

actuariales, la probabilidad de que un hombre de esta edad viva 30 años más es 2/3. Hallar la probabilidad de que a los 30

años vivan (a) los 5 hombres, (b) al menos 3, (c) solamente 2, (d) al menos 1. Resp. (a) 32/243, (b) 192/243, (c) 40/243,

(d) 242/243.

46. Calcular (a) la media, (b) desviación típica, (c) coeficiente de sesgo, (d) coeficiente de curtosis de una distribución

binomial en la que p = 0,7 y N = 60. Interpretar los resultados. Resp. (a) 42, (b) 3,550, (c) -0,1127, (d) 2,927.

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 47. En un examen de estadística la media fue 78 y la desviación típica 10. (a) Determinar las referencias tipificada de dos

estudiantes cuyas puntuaciones fueron 93 y 62, respectivamente, (b) Determinar las puntuaciones de dos estudiantes cuyas

referencias tipificadas fueron -0,6 y 1,2, respectivamente. Resp. (a) 1,5, -1,6; (b) 72, 90

48. Hallar (a) la media y (b) la desviación típica de un examen en el que las puntuaciones de 70 y 88 tienen unas referencias

tipificadas de -0,6 y 1,4, respectivamente. Resp. (a) 75,4, (b) 9.

49. Hallar el área bajo la curva normal entre (a) z = -1,20 y z = 2,40, (b) z = 1,23 y z = 1,87, (c) z = -2.35 y z = -0,50.

Resp, (a) 0,8767, (b) 0,0786, (c) 0,2991.

50. Hallar el área bajo la curva normal (a) a la izquierda de z = - 1,78, (b) a la izquierda de z = 0,56, (c) a la derecha de z =

-1,45, (d) a la izquierda z = -2,52 y a la derecha de z = 1,83.

Resp. (a) 0,0375, (b) 0,7123, (c) 0,9265, (d) 0,0154, (e) 0,7251, (/) 0,0395.

51. Hallar el valor de z tal que (a) el área a la derecha de z sea 0,2266, (b) el área a la izquierda de z sea 0,0314, (c) el área

entre-0,23 y z sea 0,5722, (d) el área entre 1,15 y z sea 0,0730, (e) el área entre -z y z sea 0,9000.

Resp. (a) 0,75, (b) -1,86, (c) 2,08, (d) 1,625 ó 0,849, (e) ±1,645.

52. Si las alturas de 300 estudiantes se distribuyen normalmente con media 68,0 pulgadas y desviación típica 3,0 pulgadas, cuántos

estudiantes tienen alturas (a) mayor de 72 pulgadas, (b) menor o igual a 64 pulgadas, (c) entre 65 y 71 pulgadas inclusive, (d)

igual a 68 pulgadas. Supónganse las medidas, registradas con aproximación de pulgada. Resp. (a) 20, (b) 36, (c) 227, (d)

40.

53. Si los diámetros de cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media 0,6140 pulgadas y desviación típica 0,0025

pulgadas, determinar el porcentaje de cojinetes de bolas con diámetros (a) entre 0,610 y 0,618 pulgadas inclusive, (b) mayor de

0,617 pulgadas, (c) menor de 0,608 pulgadas, (d) igual a 0,615 pulgadas. Resp. (a) 93%, (6) 8,1 %, (c) 0,47%, (d) 15%.

54. La puntuación media en un examen final fue 72 y la desviación típica 9. El 10 % superior de los alumnos reciben la calificación A.

¿Cuál es la puntuación mínima que un estudiante debe tener para recibir un A Resp. 84.

APROXIMACIÓN NORMAL DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 55. Hallar la probabilidad de que en 200 lanzamientos de una moneda resulte (a) un número de caras entre 80 y 120 inclusive, (b)

menos de 90 caras, (c) menos de 85 o más de 115 caras, (d) exactamente 100 caras. Resp. (a) 0,9962, (b) 0,0681, (c)

0,0286, (d) 0,0558.

EJERCICIOS PARA DEBER

Ing. Com. Bolivar Cabrera Julio - Diciembre 2013

56. Hallar la probabilidad de que un estudiante en un examen falso-verdadero conteste correctamente (a) 12 o más de un total de 20,

(b) 24 o más de un total de 40 preguntas. Resp. (a) 0,2511, (b) 0,1342.

57. Una máquina produce cerrojos de los que un 10 % son defectuosos. Hallar la probabilidad de que en una muestra al azar de 400

cerrojos producidos por esta máquina sean defectuosos (a) como mucho 30, (b) entre 30 y 50, (c) entre 35 y 45, (d) 55 o más.

Resp. (a) 0,0567, (b) 0,9198, (c) 0,6404, (d) 0,0079.

58. Hallar la probabilidad de obtener más de 25 «sietes» en 100 lanzamientos de un par de dados. Resp. 0,0089.

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

59. Si el 3 % de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de que en una muestra de 100

bombillas (a) O, (b) 1, (c) 2, (d) 3, (e) 4, (/) 5 sean defectuosas. Resp. (a) 0,04979, (b) 0,1494, (c) 0,2241, (d) 0,2241, (e)

0,1680, (/) 0,1008.

60. En el problema anterior, hallar la probabilidad de que (a) más de 5, (b) entre 1 y 3, (c) 2 bombillas o menos sean defectuosas.

Resp. (a) 0,0838, (b) 0,5976, (c) 0,4232.

61. Una bolsa contiene una bola roja y siete blancas. Se extrae una bola y se observa su color. Entonces la bola se vuelve a

la bolsa y se mezclan. Utilizando (a) la distribución binomial y (b) la aproximación de Poisson a la distribución

binomial, hallar la probabilidad de que en 8 de tales extracciones salga la bola roja 3 veces.

Resp. (a) 0,05610, (b) 0,06131.

62. Según la National Office of Vital Statistics of the U.S. Department of Health, Education and Welfare, el

promedio de ahogados en accidente por año en Estados Unidos es 3,0 de cada 100.000 personas. Hallar la probabilidad

de que en una ciudad cuya población es de 200.000 haya (a) O, (b) 2, (c) 6, (d) 8, (e) entre 4 y 8, (/) menos de 3 ahogados

por año.

Resp. (a) 0,00248, (b) 0,04462, (c) 0,1607, (d) 0,1033, (e) 0,6964, (f) 0,0620.

63. Entre las 2 y las 4 de la tarde el promedio de llamadas telefónicas que recibe la centralita de una compañía por

minuto es 2,5. Hallar la probabilidad de que en un determinado minuto haya (a) O, (b) 1, (c) 2, (d) 3, (e) 4 o

menos, (f) más de 6 llamadas. Resp. (a) 0,08208, (b) 0,2052, (c) 0,2565, (d) 0,2138, (e) 0,8911, (/) 0,0142.

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL 64. Se lanza 6 veces un dado. Hallar la probabilidad de que: (a) salga 1 «uno», 2 «doses» y 3 «treses», (b) cada cara salga una

vez. Resp. (a) 5/3888, (b) 5/324.

65. Una caja contiene un gran número de bolas rojas, blancas, azules y amarillas en la proporción 4:3:2:1, respectivamente.

Hallar la probabilidad de que en 10 extracciones se extraigan (a) 4 rojas, 3 blancas, 2 azules y 1 amarilla; (b) 8 rojas y 2

amarillas. Resp. (a) 0,000348, (b) 0,000295.

66. Hallar la probabilidad de no obtener un 1, 2 ó 3 en 4 lanzamientos de un dado. Resp. 3/8.

AJUSTE DE DATOS A DISTRIBUCIONES TEÓRICAS 67. Ajustar una distribución binomial a los siguientes datos

.Resp.p(X) = 4CX(0,32) X

(0,68)4 - X

. Las frecuencias esperadas son 32, 60, 43, 13 y 2, respectivamente.

68. En 10 unidades del ejército prusiano y en un periodo de 20 años desde 1875-1894, el número de muertos por unidad y año

debidoa coz de caballo se dan en la siguiente tabla. Ajustar una distribución de Poisson a los datos.

(0,61) X

e -0.61

Resp. p(X) = . Las frecuencias esperadas son 108,7, 66,3, 20,2, 4,1 y 0,7, respectivamente.

X!

X 0 1 2 3 4

F 30 62 46 10 2

X 0 1 2 3 4

F 109 65 22 3 1