El agua según la ciencia

1. EL AGUA SEGUN LA CIENCIA 2. EL AGUA SEGUN LA CIENCIA 3. ENZOLEVI EL AGUA SEGUN LA CIENCIA Avances en Hidrulica 8 AMHIMTA Mxico, 2001 4. 627 Enzo Levi L48 El agua segn la ciencia/ Enzo Levi, Mxico: IMTA, 2001. 680 pp. 22.5 x 15.5 cm Incluye bibliografa ISBN 968-7417-93-5 l. Hidrulica 2. Historia Coordinacin editorial: Subcoordinacin de Editorial y Grfica, IMTA Primera edicin Conacyt-Ediciones Castell Mexicana: 1989. Primera edicin AMH-IMTA: 2001. Instituto Mexicano de Tecnologa del Agua Paseo Cuauhnuac 8532, 62550 Progreso, Morelos DR Silvana, Fiorella y"Clara Levi Levi. ISBN 968-7417-93-5 Hecho en Mxico - Printed in Mexico 5. INDICE PRESENTACION 13 III. RIOS Y CANALES INTRODUCCION 15 l. HIDROSTATICA El ro que se busc un nuevo cauce 119 Criterios de fontaneros 123 El matemtico 19 Cmo medir las aguas corrientes 126 La corona adulterada 22 La ley de Castelli 128 Nace la hidrosttica 23 El nivel del lago Trasimeno 130 El barco de Arqumedes 25 La rectificacin del Bisenzio 133 La paradoja de las lminas flotantes 28 Interviene Galileo 135 La hidrosttica de Galileo 32 El ro que corri al revs 139 Paradojas hidrostticas 36 Castelli se equivoca 144 Una mquina para multiplicar fuerzas 39 Nacen las academias 147 Un sifn malogrado 40 El perfil de velocidades 150 La fuerza del vaco 43 Nace la hidrulica fluvial 157 La condena de Galileo 47 Ruido, pndulos y molinetes 167 El ltimo amigo 49 Bajo los puentes del Sena 173 El experimento de Torricelli 51 Una hidrulica estancada 177 La derrota de Aristteles 53 Algo de luz por fin 180 Un problema de ultramar 184 Esos diablos de americanos 186 II. CHORROS El canal de Dijn 189 La cada de los graves La frmula que no le gust a su autor 192 57 Persiguiendo la ola 194 El problema del artillero 61 El salto de Bidone 197 Proyectiles y chorros 65 Ciencia y salchichas 68 Demostraciones del teorema de Torricelli 70 IV. TUBERIAS La catarata 74 La contraccin del chorro 79 Un cao portentoso 203 El laboratorio de marqus 80 Las.fuentes de Chantilly 206 El enigma de la columna doble 86 Tuberas cor.tra orificios 209 Daniel en San Petersburgo 90 La paradoja de la tubera 212 El enigma se explica 93 Perplejidades de un catedrtico 216 Padre e hijo 95 Daniel arregla las cosas 219 La comunicacin lateral 101 Regreso a Newton 224 Misin en Pars 104 Ensayos de un mdico 228 Diplomacia y sabidura 109 Un dilema 233 La deformacin del chorro 113 Un profesor singular 236 7 6. 8 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA El experimento de Reynolds 239 Un obstculo al desagiie 386 Esquinas 246 El valor de la experimentacin 389 Cmo aumentar el gasto 248 La separacin 391 La obra de un santo 394 V. HIDRODINAMICA Un premio se esfuma 396 La teora de D'Alembert 400 Matemticas y naturaleza 253 La tenacidad del fluido 403 Cantidad de movimiento 256 La gran paradoja 406 Pndulos y relojes 258 Interviene el ingeniero 410 La gran polmica 262 Una gran idea 414 Dares y tomares 266 La fuerza del remo 418 Un juicio sensato 270 La teora de la estela 421 Cartesianismo e hidrulica 272 Sorpresas de la visualizacin 424 El mtodo de Bernoulli 275 Filas de vrtices 428 Tubos de flujo 278 Discos, esferas y gotas 434 Cuando el agua entra 281 Crisis o evolucin? 437 Clculo de la contraccin 285 Un encuentro afortunado 442 Un agua hecha de esferas 286 El efecto de la capa lmite 445 Otra crisis 288 Tambin un obstculo fluido 449 Carteo entre matemticos 292 La obra de un genio 295 VIII. FENOMENOSD'Alembert y Lagrange 304 El potencial de la velocidad 311 PERIODICOSCuando el potencial no existe 312 El potencial complejo 317 Cmo Galileo vea el agua oscilar 455 El secreto de la almeja nadadora 321 El porqu de las mareas 456 Una ecuacin con toda una historia 325 El pndulo lquido 461 Ondas y sonido 466 VI. VORTICES Un error de Lagrange 469 Modelos de olas 472 Remolinos de ro 333 Lucubraciones de un pescador 476 Los kolks 336 Viento y oleaje 481 El parecer de Venturi 338 Consecuencias de la fogosidad Un ensayo de Mariotte 341 de un caballo 485 El vrtice planetario 343 Rayado en la mar 489 Una cosmologa original 345 Ms estras 492 Newton propone su teora 349 Sonidos del viento 498 Ensayos, clculos y falacias 356 Una ley universal 502 Un hoyo en el agua 359 El remolino del desage 361 Cmo nace el vrtire 364 IX. TURBULENCIACmo el vrtice se sustenta 369 Movimiento de vrtices 373 Fantasas atmicas 377 Cmo el flujo se desestabiliza 509 El proceso de transicin 512 VII. OBSTACULOS Esa incmoda turbulencia 515 Vicisitudes de un coeficiente 519 Y ESTELAS A bordodel''Scotia'' 522 La ayuda de la estadstica 526 Velocidad y resistencia 381 Una crisis resuelta por la computadora S2~J Cmo vuela la bola del cafln 383 El efecto de la pared 531 7. Ultramicroscopia y coloracin 535 Explorando la capa lmite 539 Columbus contra Stanford 541 El "Bursting" 544 El panorama se aclara 549 Aparece una periodicidad 553 El canal de aceite 557 Estructuras coherentes 562 Nuevos hallazgos 565 X. LA HIDRAULICA DE LEONARDO DA VINCI Leonardo y el agua Los cdices vincianos El tratado del agua Un plan de investigaciones La furia del agua Agua en los montes y la luna Cuestiones fluviales 569 573 577 580 583 585 586 INDICE 9 lmpetu, arrastre y erosin Los canales de Lombarda Grandes proyectos Experiencia y experimentacin Sifones La presin y sus efectos Cadao; Gasto, velocidades y turbulencia Remolinos Olas Ondas de choque Obstculos El vrtice beneficiosos NOTAS BIBLIOGRAFIA INDICE ONOMASTICO INDICE TEMATICO 589 593 .596 600 604 606 610 613 616 620 623 626 631 637 649 657 669 8. . .. .... ' .' ' ' -4. ' ' :. :,-,....... ~~--:...: ~.=. "' . ;~--~-...e ' ' ':. - ,,..... .. . ~.. ' ~. :--- . ,..~.. .,_ ~- ;,. ., . .. ). . ~ :. .. .. .... ' _.,.._ ~---~ '-;.:-._ ;. - .; ...: '-- ::..:.;. .-_, .... , .. .. .-: ..- .! .. ... ". .'GALILEO GALILEI... - 9. Qu es lo que admir Bloom, amante del agua, chupador de agua, aguatero, vol- viendo al fogn? Su universalidad; su democrtica igualdad y su naturaleza fiel a s misma que la lleva a buscar su propio nivel; su vastedad ocenica sobre la proyeccin de Merca- lar; su insondable profundidad en la josa de Sundam, en el Pacfico, que excede de las 8 000 brazas; el incansable movimiento de sus olas y partculas de su superficie, que visitan por turno todos los puntos de sus orillas; la independencia de sus unida- des componentes, la variabilidad de los estados del mar; su hidros/tica calma en tiempo de bonanza; su dilatacin hidrocintica en las aguas muertas y en las grandes mareas; su subsistencia siguiendo a sus furias; su esterilidad en los congelados cas- quetes circumpolares: rtico y antrtico; su importancia climtica y comercial; su preponderancia de 3 a 1 sobre la tierra del globo; su indiscutible hegemona que se extiende por leguas cuadradas sobre toda la regin por debajo del trpico sube- cuatorial de Capricornio; la milenaria estabilidad de su josa primitiva; su lecho fan- gosoleonado; su capacidad para disolver y mantener en suspensin todas las sustan- cias solubles incluyendo millones de toneladas de los ms preciosos metales; sus len- tas erosiones de pennsulas y promontorios tendientes al descenso; sus depsitos de aluvin; su peso, su volumen y densidad; su imperturbabilidad en las lagunas y lagos de altitud; sus gradaciones de color en las zonas trridas, templadas y fras; su vehi- cular sistema de ramificaciones continentales; cursos de agua que atraviesan lagos, y ros cuyos cauces crecen por los afluentes en su camino hacia el ocano, y corrientes transocenicas; el Gu/fstream, corrientes al norte y al sur del ecuador, su violencia en los meremotos, tifones, pozos artesianos, erupciones, torrentes, turbiones, cre- cientes, trombas, corrientes subterrneas, lneas de divisin de las aguas, bajantes de las aguas, giseres, cataratas, vorgines, maelstroms, inundaciones, diluvios, lluvias torrenciales; su vasta curva circunterrestre a horizontal; el misterio de sus saltos, su humedad latente revelada por instrumentos rabdorantes e higromtricos, eviden- ciada por la cavidad en el muro de la puerta de Ashton, la saturacin del aire, la des- tilacin del roco, la simplicidad de su composicin: dos partes constitutivas de hidrgeno por una parte constitutiva de oxgeno; sus virtudes curativas, la flotabili- dad en las aguas del Mar Muerto; su perseverante infiltracin en arroyuelos, canales, presas deficientes, vas de aguas en los navos; sus propiedades para limpiar, apagar la sed y el fuego, nutrir la vegetacin; su infabilidad de paradigma y paran- gn; sus metamorfosis en vapor, bruma, nube, lluvia, cellisca, nieve, granizo; su fuerza en los rgidos diques; su variedad de forma en los lagos y las bahas y los gol- jos y las caletas y los estrechos y las lagunas y los atolones y los archipilagos y las profundidades y los fiordos y los estuarios y los brazos del mar; su dureza en los gla- ciares, icebergs y tmpanos flotantes; su docilidad para el trabajo en las mquinas hidrulicas, las ruedas de molino, las turbinas, las dnamos, las usinas de energa elctrica, los lavaderos, las curtiduras, los establecimientos textiles; su utilidad en los canales, ros navegables, diques secos y flotantes, su potencialidad comprobable considerando las mareas o los cursos de agua cayendo de nivel en nivel; su fauna y flora submarinas (anacstica y fotfoba), verdaderos habitantes del globo si no por la importancia por el nmero; su ubicuidad ya que ella constituye el90o/o del cuerpo humano; lo nocivo de sus flujos lacustres, los pantanos pestilentes, el agua descom- puesta de los floreros, los charcos estancados en la luna menguante. James Joyce, Ulises 11 10. Presentacin Este es un libro maravilloso, es decir: admirable. extraordinario. Para mayor virtud, no es libro esplndido: no es abundante, magnificente u ostentoso. Es un libro lleno de valor literario, cientifico, histrico, moral. Es tambin un libro humanista. Es la historia de la hidrulica como motivo para contar, guardando justa proporcin entre lo conceptual y lo anecdtico, una historia del intelecto y sus logros. Es una historia relatada, adems, con elocuencia, esa capacidad de comunicacin que as se muestra no slo compatible, como lo es, con la ciencia y la ingeniera, sino eficaz intrumento de ellas. Una historia con el toque de gozo y maravilla que es tan infre- cuente en las obras acadmicas. Es, pues, una hermosa obra, escrita para el placer y el provecho, por un maestro (mexicano por decisin de la ciencia y la ingeniera. En ella se relatan vvidamente casi 2 300 aos de pensamiento cientfico sobre el comportamiento fsico del agua, desde Arqumedes hasta estos das. Matizada por la historia de grandes avances y pequeos, gratuitos retrocesos, sta es tambin una leccin sobre lo efmero de muchas teoras y lo duradero de otras. Todo el relato est guiado por un hilo conductor: el mrito de la racionalidad y la experimentacin, dos valores renacentistas... en cierto sentido. En efecto, apenas durante el Renacimiento la racionalidad y la experimentacin se desarrollaron y re- conocieron socialmente como medios de conocimiento superiores a la escolstica y el pensamiento mgico; sin embargo, racionalidady experimentacin siempre han sido actitudes y valores intrnsecos de los seres humanos. Por otro lado qu duda cabe de la pervivencia de la escolstica y la magia como actitudes tambin muy humanas, sea en nuestros dias o en los dias de Saint- Venant, en los que ..por cierto sucede que donde no est la razn su lugar lo toma el gritero "!Pero esto no importa tanto. Despus de todo, racionalidad y experimentacin han dado coherencia a la historia de la humanidad, como la dan a los relatos de este libro. Ah est, para mostrarlo, la aventura de Galileo, primer cientfico en el sentido actual; primer ingeniero. Mrese lo nuevo del mtodo de Galileo y cmo ste lo sostiene a pesar de las objeciones de Descartes, menos moderno. Ntese la modernidad del Galileo viejo frente a los prejuicios del Descartes joven. Ah est, como otra prueba, la derrota de las ideas puras (Aristteles) por el experimento (Torricelli). 13 11. 14 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA Y est tambin la falibilidad humana, y el retroceso: la nocin del cambio de energa potencial a energa cintica, nocin que fue menos certera en el joven genio (Newton) que en el maduro experimentador (otra vez Torricel/i). Pero no todo se inclina en favor de las vivencias inmediatas y de los pies sobre la tierra, aunque s, siempre, en pro de la racionalidad. Ah est la historia de la reco- mendacin de Tadini, hidrulico viejo y ~islado, a los habitantes de un valle del otro lado del Atlntico: para evitar las inundaciones del Mxico virreina/, no desages, sino bordos de proteccin y conservacin del agua dentro del valle (juicio basado en una elegante estimacin de ciertos rdenes de magnitud; es decir, el viejo arte del ingeniero). El.agua segn la ciencia es una obra de arte sobre la ciencia; placentera y til desde la potica cita inicial de Joyce hasta la reflexin final sobre Leonardo. Una obra para ser leda por cualquiera que se considere educado y sensible. He aqu, pues, una obra de amor por la ciencia, por quienes la hacen y por quienes la usan. "Porque en verdad el gran amor nace del conocimiento profundo del objeto que se ama; y si t no lo conoces, poco o nada podrs quererlo." DANIEL RESENDIZ NUEZ 12. INTRODUCCION No existe tal vez rama de la ingeniera que posea una historia tan rica como la hidrulica. Precisin de disponer de agua para satisfacer necesidades bsicas corpo- rales y domsticas; utilizacin de vas martimas ofluviales para el transporte, y cruce de ellas; irrigacin de cultivos; defensa contra las inundaciones; aprovechamiento de la energa de corrientes; todo esto ha forzado al hombre, desde los tiempos ms antiguos, a vrselas con el agua. No ha sido un trato fcil. El habitante urbano que la observa a diario, dcil a sus necesidades, bajar mansa de la llave, no tiene idea de su idiosincrasia. No imagina con cunta paciencia y astucia hay que manejar a esta nuestra gran amiga-enemiga; cun a fondo hay que entender su indo/e altiva para poder someterla y doblegarla; cmo hay que "dorarle la pdora" para reducirla a nuestra voluntad, respetando -sin embargo- la suya. Por eso, el hidrulico ha de ser, ante todo, algo as como un psiclogo del agua, conocedor profundo de su naturaleza. En efecto, no es con violencia como se pueden hurtar sus secretos, sino con amor; con esa comprensin que se deriva de una larga convivencia con ella, tan larga que ni la vida de un individuo, ni la de muchas generaciones, es suficiente. Hay que atesorar todo lo que la humanidad ha venido aprendiendo, a veces a costa suya, de- jndose sorprender; otras, al intentar precaverse, realizando observaciones, ensayos, clculos. Esto es lo que tratan de hacer los libros de texto, en lo que se refiere a esos aspectos de la hidrulica que se considera puedan requerirse en su prctica actual. Sin embargo, dichos libros, con todos sus mritos, adolecen por lo general de un defecto: crear la ilusin de una ciencia demasiado madura y segura de s misma; que, algo alejada -a veces- de los fenmenos que pretende dominar, olvida las limitaciones de sus principios y adquisiciones, y hace que parezcan duraderos muchos de los que algn da, tal vez muy cercano, podran ser puestos en duda o refutados. De aqu el inters de someter la hidrulica a un examen retrospectivo, para des cubrir cmo su evolucin paulatina pas a travs de perplejidades y tropiezos, errores y aciertos, disputas; propuesta, aceptacin y rechazo de hiptes1s; transitoriedad Y permanencia de teoras; para verla crecer, desarrollarse hasta adquirir casi las caractersticas de ciencia exacta, y llegar a ser lo que es hoy en dfa; sin perder la nocin de la distancia que media entre lo que son realmente los fenmenos que preten- demos dominar y la interpretacin que los modelos de que disponemos -ya sean matemticos o fsicos- permiten darles. Una resea de este tipo revela, en las teoras existentes actualmente, el resultado de un largo y cansado proceso de desarrollo, con repetidos intentos de explicar ra- cionalmente lo que la naturaleza sugiere, corregidos y perfeccionados a travs de ob- 15 13. 16 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA servaciones y mediciones ms o menos precisas. Descubre los retrasos que puede ocasionar un sesgo mental, como la preminencia que los griegos atribuan al pensamiento sobre la experimentacin; o bien un mal entendimiento metodolgico, como aqul que surgi entre cartesianos y /eibnizianos acerca de la esencia de fuerza y energa. Manifiesta el hecho de que fenmenos que, a pesar de ser relativamente se- cundarios, han alcanzado popularidad -como el desage por un orificio- pueden acaparar, durante siglos, dedicacin y esfuerzo de los mejores investigadores; mientras que otros muchos ms importantes -por ejemplo, el efecto de fa rugosi- dad del conducto sobre el escurrimiento- se dejan a un lado, pues se carece de una tcnica de ataque adecuada. Delata casos donde se aceptan con toda buenafe principios que contradicen al semido comn ms elemental-por ejemplo, la distribucin parablica invertida de las velocidades en un canal-, tan slo por una interpretacin discutible de lo expuesto en un tratado famoso; y cmo conceptos errneos as originados pueden trasmitirse de un autor a otro, durante largo tiempo. Por encima de todo, entender la hidrulica a travs de su evolucin ayuda a apreciar debidamen- te lo que hoy tenemos, y vislumbrar cunto falta por hacer todava. El mayor enemigo del hombre actualparece ser no la bomba atmica, sino la ignorancia. No me refiero a la de los analfabetos, quienes ms bien, por no saber leer, quedan inmunes a cierto tipo de propaganda y, por consiguiente, mejor capacitados para pensar y sentir en forma autnoma; aludo a fa ignorancia de quienes hemos estudiado y creemos saber. Se trata de una ignorancia curiosa, fruto quizs de un exceso de informacin. Nunca hemos tenido a nuestro alcance tantos conocimientos como hoy en da; pero son conocimientos prefabricados, que se ofrecen reunidos y sinteti- zados en enciclopedias, audiovisuales, programas de cmputo; que se tragan como pldoras, sin valuar cunto de cierto o dudoso, efmero o permanente, hay en ellos. Mirar al presente olvidando el pasado nos vuelve demasiado seguros de nosotros mismos y, por tanto, inermes frente a un posible fracaso. Un vistazo hacia atrs es refrescante y provechoso. Resulta cautivador seguir la actividad de la mente de un investigador genial cuando se enfrenta con los desafos del mundo que lo rodea. Descubrimientos e invenciones se manifiestan ms vivos e inteligibles en boca de su creador que en cien libros de texto. A los grandes, hay que escucharlos: "Llegada la noche -confesaba Maquiavelo a Francesco Vettori- regreso a casa y entro en mi estudio; y en la puerta me despojo de ese traje cotidiano, lleno de cieno y lodo, y me pongo pafos reales y curiales; y, vestido conveniente- mente, ingreso en las antiguas cortes de los hombres antiguos, donde, recibido amo- rosamente por ellos, pazco ese alimento que slo es mo, y yo nac para l; donde no me avergenzo de hablar con ellos y preguntarles la razn de sus acciones; y aqullos, por su humanidad, me contestan; y, en cuatro horas de tiempo, no siento aburrimiento, olvido lodo afn, no me asusta la muerte: todo me transfiero en ellos.,. Por eso me he propuesto seguir la evolucin de la hidrulica en sus vicisiludes, interrogando a quienes, fascinados por ella, se hicieron sus esclavos: filsofos y matemticos, mdicos e ingenieros; algunos alrados por mero inters cientifico, otros 14. INTRODUCCION l7 para servir a sus semejantes. Sus hallazgos estuvieron ligados con la herencia recibida y las condiciones de su tiempo, medio ambiente y preparacin, que he intentado -en lo posible- reconstruir. No pretendo haber agotado el tema, ni he sido del todo imparcial: los tpicos escogidos son aqullos que la experiencia y la aficin me han sugerido; los autores, aqullos a los cuales he tenido acceso. El lector descubrir fcilmente mi predileccin por ciertos personajes, en primer lugar Galileo, de cuyo pensamiento y escuela naci lo que puede considerarse una hidrulica racional, dig- na del nombre de ciencia; y me perdonar cuando, al encontrarme con uno de mis hroes, me detengo, callo, e invito a que se le escuche. Quisiera que quien lee vuelva a vivir conmigo esa empresa ciclpea que ha sido llevar la hidrulica al estado en que hoy se encuentra, aprecie sus logros y -al mismo tiempo- reconozca el camino que falta por andar. Me agradara que el estudiante note lo que jvenes de poco ms de veinte aos -Newton, Bernoul/i, Lagrange- fueron capaces de realizar, a veces en condiciones ms adversas que las que lo rodean; que el ingeniero valore mayormente la ciencia de que dispone; que el investigador penetre el pensamiento de los colegas que lo precedieron, sus dudas y certezas, xitos, y -sobre todo- esos fracasos que hoy se prefiere callar, pero de los cuales tanto se aprende; que e/ lector que no es ni estudiante, ni ingeniero, ni investigador, sino que tiene alguna aficin por lo que el agua representa para la humanidad y los problemas que le plantea, se d cuenta de lo que la hidrulica es y nos ha costado. En general, he evitado expresar mi juicio acerca de las posibles causas de resultados dudosos o falsos, ya sean tericos o experimentales, obtenidos por ciertos investigadores; pero he presentado toda la informacin que he podido hallar acerca de las hiptesis en que se han apoyado los primeros, y de las condiciones en que los segundos fueron realizados. Invito a los jvenes a que intenten explicar ellos mismos las razones de las dificultades encontradas y dirimir las controversias, repitiendo -si es necesario- los experimentos descritos. En la bibliografa, al final de/libro, no aparece citada una obra, la cual, an no correspondindole referencias explcitas, merece una mencin muy especial: la His- tory of hydraulics, de Hunter Rouse y Simon Ince, obra sumamente valiosa, cuya ayuda ha facilitado mucho mi trabajo. Agradezco al Instituto de Ingeniera de la UNAM el patrocinio; al Instituto de Hidrulica del Politcnico de Miln -en particular, a su director, Duilio Citrini- /as facilidades que se me otorgaron para la consulta y reproduccin de valiosas per- tenencias de su biblioteca; a Patricia Pea la obtencin de copias de otros documen- tos antiguos y, finalmente, a Alfonso Gutirrez, Pedro Sauceda y Ren 0/vera su ayuda en la preparacin de las figuras, a Margarita Lpez Herranz la revisin de estilo, y a Rosario Enciso y Yolanda Rivera la transcripcin mecanogrfica -labores realizadas por todos ellos con inters, dedicacin y cario. Mxico, D.F., diciembre 1985. Enzo Levi 15. l. HIDROSTATICA EL MATEMATICO Siracusa, perla de Sicilia. Si, cruzada la esplndida baha toda luz y azul y desembar- cados en el puerto, penetramos por las calles angostas y tortuosas a la ciudad vieja, nos encontramos con el templo de Atenea, que todava asoma sus poderosas columnas dricas entre las paredes externas de la catedral; y si subimos un poco ms llegamos a la plaza principal, irregular y toda en pendiente, encerrada por antiguas casas altas, con una fuente en medio. Es el corazn del centro histrico, all donde los ancianos se renen a comentar los sucesos del dia; su nombre, Plaza Arqumedes, recuerda al hijo ms ilustre de la ciudad. Porque Arqumedes naci en Siracusa, en el ao 287 a.C. Esta era entonces una ciudad libre, a cuatro siglos y medio de haber sido fundada por conquistadores llegados de Corinto, en la angosta isla de Ortigia que cierra al norte la baha, bahia que los aborgenes poco apreciaban, mientras que para los corintios, navegantes exper- tos, resultaba de inestimable valor como abrigo de sus barcos y base para su comer- cio. Es interesante notar que el tiempo que haba transcurrido entonces desde la conquista corintia equivale al que meda entre nosotros y el desembarco de Hernn Corts; y como a nosotros nos separa algo as como siglo y medio de la independencia, un lapso de tiempo equiparable era el que haba pasado desde la sonada derrota que Siracusa haba infligido a Atenas, acabando con sus pretensiones coloniales. Como a Mxico de Espaa, a Siracusa le quedaban de Grecia religin e idioma; pero afirmar, como muchos hacen, que Arqumedes era griego sera igual que pretender que un mexicano sea espaol. Lo mismo que a Leonardo da Vinci, vtro inventor extraordinario, a Arqu- medes se le recuerda como hombre anciano: Leonardo, por el clebre autorretrato que as lo representa; Arqumedes, por haber dirigido a los 75 aos de edad la defensa de su ciudad en contra de los romanos. Ninguna noticia nos ha llegado acerca de 9 16. 20 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA su juventud. Sin embargo, considerando la costumbre griega de expresar en el nombre del recin nacido lo que se desea de o para l, intentaremos sacar alguna informacin del nombre que este personaje recibi: Arqumedes (o mejor Arqume- des, con el acento sobre la e, como se pronuncia en griego) parece provenjr del verbo pico "mdomai", que significa meditar, combinado con el prefijo "arqui" (archi en castellano), que denota preminencia o superioridad; por tanto, expresara el anhelo de ver en el hijo a un gran hombre de ciencia, lo cual resulta plausible si se considera que Fidias, su padre, era astrnomo. Es, pues, factible creer que Fidias debi concentrar todos sus esfuerzos en la educacin de un hijo con un nombre as, hacindole presenciar sus observaciones del cielo, ensendole las matemticas que conoca y llevndolo a debates con colegas y discpulos. Me agrada imaginar a Arqumedes joven, cerca de la fuente de Aretusa que, entonces como hoy, brotaba entre papiros con incesante murmullo, dando la espalda al templo de Atenea, a la sazn abierto a la vista de los marineros que se acercaban a la ciudad, y contemplando pensativo el movimiento incesante del mar. Lo concibo observando los barcos all atracados que, con sus velas recogidas, se mecan por el suave oleaje, y preguntndose acerca del maravilloso fenmeno de la flotacin. Deba de haber navos cartagineses, haciendo escala en su periplo comercial alrede- dor del Mediterrneo, y leos multicolores llegados del puerto de Alejandra, frente al cual, en la isla de Faro, se haba concluido recientemente la construccin de la c- lebre torre, gua de la navegacin, tan elevada y resplandeciente que en las noches su luz se alcanzaba a ver desde veintiocho millas de distancia. Cunto deba desear el joven Arqumedes subir a uno de esos barcos para ir a dicha gran ciudad, a reunirse con los discpulos de Euclides! En efecto, en ese entonces Alejandra era el ms grande centro cientfico del mundo; posea una Biblioteca, con ms de trescientos mil volmenes, y un "Museo" -centro llamado as por estac dedicado a las Musas- donde sabios de todas partes, contratados por el gobierno egipcio, se dedicaban a la investigacin y a la ensean- za. All estaba justamente Euclides, el maestro de maestros, cuyos clebres Elemen- tos reunan en orden lgico todo el saber de los griegos acerca de las figuras y demostraciones que se efectan con regla y comps. Arqumedes consigui realizar su sueo. A su llegada, el viejo Euclides haba fallecido; pero su escuela continuaba activa con Cnon de Samos, que muri prema- turamente y a quien Arqumedes estim sobremanera, y luego con Dositeo y Erats- tenes. Con estos dos compaeros suyos trab una estrecha amistad y, ya de regreso en Siracusa, mantuvo correspondencia, comunicndoles los resultados de sus investigaciones matemticas. A Dositeo dedic los libros en que determinaba el rea del segmento parablico y los volmenes de la esfera, el elipsoide y el segmento de paraboloide de revolucin; tambin, aqul en que analizaba las propiedades de esa espi- ral que lleva su nombre. A Eratstenes ofreci el pequeo tratado Del mtodo, en el cual revela un artificio mecnico que utilizaba para un primer acercamiento a la re- solucin de problemas de reas y volmenes de nuevas figuras geomtricas y para 17. l. HIDROSTATICA 21 determinar sus centros de gravedad. El artificio consista en equilibrar en una bscu- la imaginaria la figura de caractersticas desconocidas con una conocida, pero dividiendo la primera en tajadas infin;tesimales y sobreponindolas todas, a modo de no tener dudas acerca de la posicin del centro de gravedad correspondiente. Esto, que podra parecernos perfectamente vlido hoy en da, Arqumedes lo consideraba un ardid: "Algunas cosas" -reconoca-, "primero se me aclararon gracias a un mtodo mecnico, aunque luego tuve que comprobarlas geomtricamente, en cuanto su investigacin por dicho mtodo no provey ninguna demostracin efectiva." 1 Durante ms de mil a.os, se sospech la existencia de estos procedimientos heursticos, sin poderlo comprobar, porque aun sabiendo que el Mtodo haba sido escrito, se crea, como otras obras, irremediablemente perdido. En 1906 Heiberg, fi- llogo dans, fue a Estambul para estudiar un pergamino del cual haba ledo una breve descripcin en una relacin sobre libros provenientes de la biblioteca del mo- nasterio del Santo Sepulcro de Jerusaln, descripcin que lo induca a suponer que ese pergamino contendra obras de Arqumedes. De hecho se trataba de un palimp- sesto, o sea, un manuscrito antiguo que haba sido borrado, sobre el cual se haba escrito luego u devocionario. Felizmente, slo se haba conseguido una oblitera- cin perfecta en una decena de hojas. Con cierto esfuerzo y con el auxilio de una buena lupa, se descubri all el Mtodo, as como el original griego de buena parte de la obra De tos cuerpos flotantes, de la que nicamente se conoca una traduccin latina; escritos que a los buenos monjes no les interesaban, pero que son fundamen- tales para nosotros. A veces, Arqumedes comunicaba sus teoremas a sus amigos omitiendo la demostracin, para proporcionarles el placer de descubrirla, porque la demostracin correcta y rigurosa era, y es todava, el orgullo del matemtico. Al respecto, Arqumedes no consideraba a nadie mc reprobable que a aquel que "pretende haber descubierto todo, pero no ofrece demostraciones".2 Intransigente en esto hasta el punto de gastar la broma de comunicar proposiciones falsas para ver quin caa en la trampa de aceptarlas como vlidas, Arqumedes era por otro lado sencillo y modesto, siempre dispuesto a ensear a los dems, descubrindoles sus tcnicas y mtodos; sus escritos, en el dialecto drico de los conquistadores, eran llanos y sin pretensiones. Sin embargo, sus investigaciones matemticas constituyeron por lo general una novedad absoluta: Arqumedes cerraba la poca de la regla y el comps, que Pitgo- ras haba sealado como pautas de la geometra, y abra, l solo, la era de la compu- tacin digital, el lgebra y el clculo integral. Determin, con excelente aproxima cin, que rr est entre 3117 y 31017! y, con objeto de demostrar que el nmero de granos de arena no es infinito, calcul cuntos podran caber en todo el universo, considerado como la esfera en la cual Aristarco supone que estn engastadas las estrellas; hall que, para llenarlo, bastaran menos de IO" granos. Sin precursores, las obras matemticas de Arqumedes tampoco tuvieron suce- sores, hasta Torricelli y Fermat. Su estilo es insuperable. "La revelacin gradual del plano de ataque -escribi Heath-, 3 1a ordenacin magistral de las proposiciones, la 18. 22 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA eliminacin sistemtica de todo lo que no es de utilidad inmediata para el objetivo, el acabado de todo el conjunto, son tan impresionantes en sil perfeccin que crean una sensacin como de reverencia en la mente del lector." LA CORONA ADULTERADA Vitruvio, arquitecto romano de la poca de Augusto, dej escrito el relato de la corona de Hiern ll, rey de Siracusa. Habindose este prncipe propuesto, para agra- decer a los dioses, ofrecerles una corona, la encarg a cierto artesano, proveyndole del oro necesario. Este, en la fecha convenida, entreg la corona perfectamente eje- cutada. Llegaron, sin embargo, al rey unos chismes de que el artfice se haba quedado con parte del oro, reemplazndolo, en el interior de la pieza, por un peso igual de plata. Como no saba la manera de comprobar el fraude sin daar la obra, el rey lla- m al archi-meditador y le pidi que resolviera el problema; ste se fue pensativo y durante varios das estuvo dando vueltas al asunto en su cabeza. La gente del pueblo, fascinada por la personalidad de los matemticos, cuyo ra- ciocinio no puede entender, suele trasmitir de generacin en generacin ancdotas acerca de sus distracciones. As, de Newton se cuenta que al querer cocer un huevo controlando el tiempo, ech al agua hirviente su reloj y esper con el huevo en la mano. En otra ocasin, se dice, haba invitado a un amigo a comer, pero se olvid del asunto; el amig~. que hall la mesa preparada, luego de una larga espera comi su porcin y se fue; al llegar Newton ms tarde, viendo el almuerzo parcialmente consumido, coment: "qu raro, no recordaba haber ya almorzado", y regres a su trabajo.4 En nuestro caso, la tradicin sostiene que Arqumedes, estando en un bao pblico, encontr la solucin al problema del rey y que luego, igualmente distrado, se lanz desnudo a la calle y corri hacia su casa, gritando "ureka, ureka", o sea "lo he hallado, lo he hallado". Vitruvio afirma que la inspiracin le vino al considerar cmo, a medida que l se sumerga en la pila, un volumen igual de agua se desbordaba; de lo cual infiere que Arqumedes habra utilizado el agua desalojada para medir volmenes, y que, medidos as los de la corona y de dos masas de oro y de plata respectivamente, del mismo peso que la primera, habra determinado por proporciones volumtricas cunto oro y plata contena la joya.5 Pero eso de medir el agua desbordada no es ni fcil ni elegante; por ello, es muy probable que una mente tan aguda haya llegado mucho ms all. Su descubrimiento de entonces podra ser el mismsimo principio que todos conocen bajo su nombre, o sea, que el peso de un cuerpo metido dentro de un fluido disminuye en una cantidad igual al peso del fluido desplazado. En efecto, existe un poema titulado De ponderibus et mensuribus (De los pesos y las medidas), escrito por all del ao 500 de nuestra era, que sugiere la solucin siguiente. 6 Sea P el peso de la corona, Po el de su parte en oro, PP el de su parte en pla- 19. l. HIDROSTATICA 23 ta, si la hay. Entonces (1) Tmese ahora una masa de oro y otra de plata, cuyos pesos sean iguales a P, y psense mantenindolas sumergidas en agua. Se obtendrn los pesos reducidos P-F0 , P-FP respectivamente; de donde se desprende que el peso de agua desplazado por la porcin de oro de la corona ser (P /P) F , el desplazedo por la de plata ser (Pp/P) o o T . FP siendo la suma de ellos el peso F del agua desplazada por toda la corona. emen- do en cuenta la ecuacin l, resulta que y diviendo todo entre Pp y despejando, ~ = F-Fp (2) Pp F0 -F Por lo tanto bastara con haber pesado las masas de oro y plata y la corona dentro del agua y determinar por diferencia con P las respectivas variaciones de peso F, F0, FP' para poder deducir por medio de la ecuacin 2 qu proporcin de oro hay en la corona. NACE LA HIDROSTATICA Por qu ciertos cuerpos flotan y otros se hunden? Para contestar a esta pregunta, Arqumedes cre la hidrosttica. Se trata de un invento exclusivamente suyo, que sali de su cerebro hecho y derecho, como Palas Atenea de la cabeza de Zeus, y que es- t expuesta en el pequeo tratado nqi xov;{vwv (De los cuerpos flotantes), conjunto de dos libros er. los que la materia se presenta con lgica impecable, como si fuese geometra. 7 Dndose cuenta de que la caracterstica fisica fundamental de los fluidos, por lo que a su esttica se refiere, es la presin, empieza el primer libro postulando, o sea admitiendo sin demostrar, dos propiedades de ella: siempre que el fluido sea continuo y uniforme, a) si hay diferencia de presiones entre dos partes contiguas, la de mayor presin empuja hacia adelante a la de menor, y b) cada una de sus partes est sujeta a la presin del fluido que est encima (en direccin vertical). Luego establece como base de toda su teora una proposicin genial: que la superficie libre de todo fluido en reposo es una esfera cuyo centro es el centro de la Tierra. Para demostrarlo, despus de haber comprobado que la superficie que todo plano que pasa por un punto dado corta en una circunferencia con centro en dicho pun- to es necesariamente una esfera, acepta, por reduccin al absurdo, que haya un plano que pasa por el centro O de la Tierra que corta la superficie libre del fluido se- 20. 24 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA gn una curva ABCD que no sea una circunferencia, es decir que tenga puntos que disten ms que otros del punto O (figura 1). Por tanto, una circunferencia EBCF cuyo radio OB sea de una longitud inter- media dejar parte del fluido adentro y parte afuera. Trcese el radio 00 de modo tal que el ngulo BG sea igual al tii:A E P O FD EB, y sea H su interseccin con la super- F' 1ficie fluida. Descrito un arco PQR con gura centro en O, que quede todo dentro del fluido, siendo que sobre PQ hay ms altura de fluido que sobre QR (con lo cual por la parte b) del postulado, PQ recibe ms presin que QR), segn la parte a), PQ debe poner en movimiento a QR. Luego no puede haber reposo, contrariamente a lo supuesto. Esta demostracin, vlida para todo plano que, pasando por O, corte la superficie libre, comprueba que todas las intersecciones resultantes han de ser circunferencias; por tanto, dicha superficie es esfrica y tiene el mismo centro que la Tierra. Arqumedes pasa luego a demostrar que un slido cuya densidad sea la misma que la de cierto fluido en reposo, si se coloca dentro de ste, queda inmvil. Primero comprueba que el slido no va a sobresalir de la superficie del fluido. Con referencia a la figura 2, supngase en efecto, por reduccin al absurdo, que el cuerpo EFHG se eleve hasta sobresalir con su parte EFCB por encima de la superficie libre esfrica ABCD. Sea LOM un cono que en- cierra al slido, y MON otro contiguo igual. Delimitaremos dentro de este ltimo el volumen STVU, igual e igualmente ubicado que la parte sumergida BCHG del slido, siendo las mismas por hiptesis tambin sus densidades. Trazada ms abajo una superficie esfrica PQR con F Figura 2 D centro en O, PQ recibir una presin mayor que la que recibe QR, y tendr por tanto que poner en movimiento a QR, contrariamente a la hiptesis de que el fluido est en reposo. Con esto se comprueba que el slido no va a emerger. De hecho tampoco podr hundirse ms porque, al no cambiar su presencia la distribucin esttica de presiones, no puede crearse movimiento en el fluido. Considerando despus un slido ms ligero que elfluido, Arqumedes demuestra que no puede sumergirse completamente, pues debe sobresalir de tal forma que el peso delfluido que resulte desplazado sea igual alpeso de todo el slido. La emersin resulta del hecho de que (figura 3) si S es el slido sumergido y K un volumen igual y si- mtricamente colocado de fluido, la presin sobre PQ sera menor que la que se ejerce sobre QR, con la consiguiente inestabilidad. Considerando luego nuevamente 21. la figura 2, si STVU es un volumen de fluido igual y simtrico a la parte sumergida BCHO del slido, debiendo ser iguales las presiones sobre PQ y QR, el peso de STVU tiene que ser igual al de EFHO, o sea al que corresponde a todo el slido. El siguiente paso consiste en comprobar que si un slido ms ligero que el fluido se sujeta mantenindolo sumergido, resulta un empuje hacia arriba igual a la diferencia entre el peso del fluido desplazado y el del slido mismo. En efec- to, sean (figura 4) A el slido, BC la superficie del fluido y D otro cuerpo que, sobrepuesto a A, lo mantiene sumergido. Sean O y H, respectivamente, los pesos de A y D. Por la proposicin anterior, el peso del fluido desplazado por A debe ser O + H, mientras que el empuje hacia arriba experimentado por A es igual al peso H de D, o sea a (O+ H) -0, es decir, al peso del fluido desplazado menos el de A. B l. H!DROSTATICA 25 e Finalmente, un slido ms pesado Figura 4 que el fluido se sumerge en l hasta alcanzar elfondo, mientras el fluido que se halla por debajo est sujeto a una presin mayor que el resto; por tanto, tiene que ir desplazando las partes laterales y abrir as paso al slido hasta que descanse en el fondo. Por otro lado, si dicho slido se pesa mantenindolo sumergido, su peso resultar reducido en una cantidad igual al peso del fluido desplazado. Esta ltima proposicin, que es justamente lo que llamamos principio de Arqumedes, se demuestra con base en la idea siguiente. Sean A y B dos cuerpos, el primero ms pesado y el segundo menos pesado que el fluido, tales que el peso total de A sea igual al del fluido desplazado por B, y viceversa. Si los unimos y as unidos los sumergimos, el cuerpo resultante quedar estacionario, lo que implica que la fuerza que tiende a sumergir A ser igual a la que tiende a elevar B. Ahora sea O el peso de A, as como del fluido desplazado por B, y H el peso de B y tambin del fluido desplazado por A. La fuerza que tiende a levantar B ser; por la proposicin anterior, 0-H; por tanto, tambin la fuerza que tiende a sumergir A ser 0-H, o sea el peso del cuerpo A menos el del fluido desplazado por l. EL BARCO DE ARQU/MEDES Plutarco haba comentado, hablando de los escritos de Arqumedes, que no es posible hallar en geometra cuestiones ms difciles y enredadas, ni explicaciones ms 22. 26 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA sencillas y claras. Lo que acabamos de sintetizar ofrece una muestra de ello, sobre todo si lo comparamos con la presentacin de los mismos temas, conceptualmente bastante ms complicada, que suelen ofrecer nuestros textos de fsica. Pero Arqumedes no slo era el ms grande matemtico de la antigedad; era tambin un ingeniero extraordinario, aunque, con mentalidad tpicamente griega, no crea decoroso escribir acerca de inventos mecnicos. Estos, sin embargo, fueron los que ms fama le dieron en su tiempo y, gracias a las narraciones de los historiadores, tambin ante la posteridad. En ocasin del sitio que los romanos establecieron alre- dedor de Siracusa, Arqumedes, ya anciano, ideara tantos y tan espantosos artefactos que, segn recuerda Plutarco al relatar la vida de Marcelo (el general enemigo), los soldados romanos haban llegado a tal grado de nerviosismo que "si tan slo vean un pedazo de cuerda o de madera salir por encima de la muralla (de la ciudad), comenzaban a gritar: helo de nuevo aqu!, y creyendo que Arqumedes estaba poniendo en movimiento algn nuevo mecanismo blico, daban media vuelta y huan; as que Marcelo desisti de todo asalto o combate, confiando toda su esperanza en un sitio prolongado". Mucho antes de estos acontecimientos, se le ocurri al rey Hiern construirse un barco de recreo que deba poseer todos los ltimos adelantos de la ciencia nuti- ca. Tena medio estadio (o sea 122 metros) de eslora, pesaba mil toneladas y poda cargar cerca de cuatro mil. Iba tripulado por seiscientos remeros, divididos en veinte grupos, y poda llevar otras trescientas personas ms. Posea gimnasio, alberca, jardn y sesenta camarotes, todo decorado con mrmol, mosaicos, marfil y maderas preciosas. Adems, el navo tena que protegerse de ataques enemigos, por lo que deba contar con artefactos capaces de arrojar grandes piedras;' para esto, el rey acudi como siempre a Arqumedes, quien no slo afront la dificultad de dise- arlos, sino tambin de asegurarse que, siendo muy pesados y debiendo colocarse sobre cubierta, no fueran a desequilibrar el barco. Ya al final del primer libro De los cuerpos flotantes, Arqumedes se preocupa por un problema de equilibrio naval. Una esfera flotante est en equilibrio cualquiera que sea su posicin; pero no ser lo mismo para un segmento esfrico (es decir, una esfera de la cual se haya cortado B una rebanada). Sea pues (figura 5) ABD el segmento de esfera flotante. Teniendo en cuenta qu' su centro de gravedad C -siendo el cuerpo homogneo- ha de estar sobre el eje de simetra DE, Arqu- medes demuestra que, para alcanzar el equilibrio, el segmento de esfera tiene que girar hasta que DE se disponga segn la direccin vertical OF. Comprueba que es- o te resultado vale ya sea que la base AB del segmento est afuera o adentro del fluido. ;gura s 23. l. HIDROSTAT!CA 0 27 En el segundo libro, Arqumedes escoge una figura geomtrica cuya forma se parezca ms a la del barco: un segmento recto de paraboloide de revolucin (figura 6). Si una parbola tiene por ecuacin x2 = py, p se llama parmetro de la parbola misma y mide el cudruple de la distancia del vrtice al foco. Arqumedes halla que la relacin entre la longitud h del eje ED del segmento de paraboloide y el parmetro p es esencial para establecer la condicin de equilibrio. Con una serie de diez proposiciones cuyas demostraciones, sumamente elegantes, no son dificiles de seguir para quien tenga fa- 0--~~---------+--Q' miliaridad con las propiedades elementales de la parbola, sus subtangentes y subnor- males y de sus dimetros, Arqumedes ana- liza catorce casos distintos. El primero, representado en la figura 6, supone la base AB fuera del agua y h/p ,; 3/4; lo cual, siendo que el centro de gravedad del segmento de paraboloide est ubicado sobre el D Figura 6 eje DE en el punto C tal que DC = 2h/3, implica que DC,; p/2. A partir de all y realizando varias construcciones geomtricas, Arqumedes deduce finalmente que es condicin para el equilibrio que el eje se ponga vertical. Lo mismo resulta para el caso donde el mencionado paraboloide tenga la base sumergida. La mayora de los otros casos, correspondientes a otras limitaciones para h/p, se complica porque hay que tener en cuenta tambin la razn entre las densidades del slido y del fluido. Aqui aparecen tambin otras condiciones de equilibrio, como que el eje tenga cierta inclinacin, o condiciones de desequilibrio, por ejemplo: que la base tenga contacto en un punto con la superficie libre del fluido. Discusin minuciosa y exhaustiva, verdadera obra de arte de anlisis geomtrico. La intencin de Hiern al construir el barco haba sido dedicarlo a realizar un servicio regular entre Siracusa y Alejandra. Pero, como result demasiado grande para los muelles siracusanos y su costo de manutencin era exagerado, finalmente lo llen de trigo y pescado, y lo envi como regalo a Ptolomeo Filadelfo, rey de Egipto, en un momento en que dicho pas, afligido por una de sus peridicas sequas, tenia escasez de alimentos. Cerca de 1850 aos median entre Arqumedes y la poca de Galileo. En el transcurso de stos, las matemticas slo tuvieron alguna evolucin con el lgebra y, si exceptuamos las observaciones y experimentos de otro genio solitario, Leonardo da Vinci, se puede decir que la hidrulica no avanz nada. Curiosamente el primer progreso en esta ciencia lo realiz Evangelista Torricelli, considerado en su tiempo como matemtico sobresaliente por haber conseguido continuar y perfeccionar la obra geomtrica de Arqumedes; pero cuya fama tambin sobrevive esencialmente gracias a su interpretacin genial del movimiento de los chorros lquidos, misma que en la edicin completa de sus obras publicadas en Faenza -su ciudad natal- en 1919 ocupa apenas 13 pginas, 10 contra las 821 que llenan sus trabajos de geometra. 24. 28 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA LA PARADOJA DE LAS LAMINAS FLOTANTES En 1609 mora Ferdinando de Mdici, gran duque de Toscana, y le suceda a los 19 aos de edad su apuesto hijo Csimo 11. Era esa una poca de intensa actividad cientfica y Csimo, acostumbrado a reunirse con filsofos y matemticos y partici- par en sus discusiones, decidi que su primer logro sera conseguir que Galileo, a la sazn profesor en la Universidad de Padua, donde Csimo haba sido su alumno, regresase a su patria. Con cunto orgullo haba dicho all a sus compaeros provenientes de toda Europa: El Maestro es tambis toscano, como yo! Galileo podra hacer de Florencia, que haba sido reino de las artes, la soberana de las ciencias. El 5 de junio Belisario Vinta, secretario particular del gran duque, escriba a Galileo, comunicndole que Csimo haba resuelto designarlo "Matem- tico primario del Estudio de Pisa y Filsofo del Serensimo Gran Duque, sin obliga- cin de dar clases ni de residir en el Estudio o la ciudad de Pisa, y con el sueldo de mil escudos, moneda florentina, por ao". u Para entender estas clusulas conviene saber que, as como en Venecia no haba Universidad, tampoco Florencia -tambin ciudad de comerciantes- la tena; en la repblica vneta la universidad era el ''Estu- dio" de Padua; en Toscana, el de Pisa. En esta ltima institucin Galileo, pisano por nacimiento, haba estudiado medicina, cumpliendo con el deseo de su padre, pero con poco entusiasmo. Durante unas vacaciones un amigo de la familia, Ostilio Ricci, que haba sido discpulo de Tartaglia, famoso algebrista y traductor de Arqumedes, comenz a ensearle estas doctrinas; y Galileo se apasion tanto que se entreg defini- tivamente a tales estudios, renunciando al ttulo de mdico. Luego, durante tres aos ense matemticas en Pisa; fue adorado por los alumnos pero se cre muchos enemigos entre los maestros peripatticos (o sea a:dstotlicos), de cuyo engreimiento se burlaba a menudo; finalmente tuvo que mudarse a PadJa. As que regresar a Pisa no era deseo de Galileo, ni inters del gran duque, que lo quera a su lado. Los salarios de los maestros universitarios no eran uniformes: un profesor de matemticas como Galileo perciba slo una pequea fraccin de lo que ganaba uno de medicina. A pesar de un sustancial aumento de sueldo conseguido en ocasin de su descubrimiento de las manchas solares, Galileo, que adems de su familia tena que mantener tambin a muchos hermanos menores, siempre enfrentaba dificultades econmicas. Esta fue la razn principal que le hizo aceptar el generoso ofreci- miento de Csimo II; as que en septiembre de 1610, a los 46 aos de edad, se mud a Florencia. A principios de 1611 realiz un triunfal viaje a Roma, donde fue recibido por varios cardenales y luego por el mismo papa Paulo V, quien con suma bene- volencia no le permiti quedar arrodillado durante la visita, como exiga el ceremo- nial. All el prncipe Federico Cesi, uno de los personajes ms influyentes del mundo cientfico romano, fundador en 1603 de la Academia de los Linceos, quiso inscri- birlo enseguida como miembro distinguido de la misma; y los padres jesuitas, que haban repetido con xito sus observaciones sobre los satlites de Jpiter (que l llamaba "Medceos" para gloria de la familia de los Mdicis), lo acogieron muy cordialmente. 25. l. HIDROSTATICA 29 De regreso a Florencia, en septiembre del mismo ao, Galileo particip en una reunin de filsofos y cientficos en el suntuoso palacio del gran duque, quien siempre deseaba ser informado de los avances de la ciencia y propona a veces nuevos temas de discusin. En la pltica se discuti sobre la flotacin: Galileo defen- di la teora de Arqumedes y otros la de Aristteles; teoras que, como enseguida explicaremos, difieren notablemente. Dos cardenales, Maffeo Barberini y Ferdinan- do Gonzaga, de viaje hacia Roma, se hallaban de paso por Florencia en esos das. El gran duque, que crea poder honrar mayormente a los huspedes ilustres de su ciudad hacindoles presenciar reuniones de sus sabios, los invit a una comida cuya mxima atraccin fue la asistencia de Galileo, quien expuso la controversia men- cionada. Los prelados discrepaban entre s: Barberini se declar en favor de Galileo, Gonzaga apoy a los contrarios. Fue entonces cuando Csimo orden a su Matem- tico redactar una relacin al respecto, misma que apareci en 1612 bajo el ttulo Dis- corso intorno al/e cose che stanno in su l'acqua o che in quella si muovono (Discurso acerca de los cuerpos que se sostienen sobre el agua o se mueven dentro de ella). 12 Esta obra nos ofrece una informacin detallada sobre el origen de la controversia. Todo haba empezado con una discusin acerca de la condensacin y rarefac- cin, comentndose que la primera resulta del fro y la segunda del calor. No falt quien sacara como ejemplo el hielo, a lo cual contest Galileo explicando que el hielo, a pesar de su baja temperatura, tiene que ser ms bien agua enrarecida que agua condensada, ya que el hielo flota sobre el agua y, por tanto, debe tener un peso especfico menor. Se le replic que esa flotacin no se debe a liviandad, sino a la configuracin ancha y llana del hielo; afirmacin explicable, tratndose de gente que slo conoca al hielo en las costras que en invierno se forman sobre charcos y riachuelos, costras que luego se despedazan y van flotando. 13 La objecin provena del grupo de los seguidores de Aristteles, que recorda- ban cmo ste, refirindose en su tratado Del cielo al hecho de que "un pedazo de hierro o plomo que sea plano flota sobre el agua, mientras que objetos ms pequeos, pero redondos y alargados, como por ejemplo una aguja, se hunden", 14 haba intentado justificar el fenmeno sosteniendo que un cuerpo para sumirse tiene que hender la superficie del agua y que una superficie grande es ms dificil de abrir que una pequeila. "Hay dos factores -escriba l-:" la fuerza responsable del movimiento hacia abajo del cuerpo pesado y la fuerza que se opone al hundimiento de la superficie continua, y por tanto debe de haber una relacin entre las dos. Porque cuanto ms la fuerza que ejerce el objeto pesado para hender y dividir excede a la que reside en el medio continuo, tanto ms el primero lograr.hundirse; si por el contrario la fuerza del objeto pesado es menor, ste flotar sobre la superficie." Teora que contrasta claramente, como no dej de observar Galileo, con lo que un siglo ms tarde sostendra Arqumedes. Galileo no soportaba a los peripatticos, sus "adversarios" tradicionales, no tanto por las doctrinas de Aristteles, una de las inteligencias ms universales que haya producido la humanidad, autor de obras enciclopdicas que contienen plantea- mientos profundos y originales, sino por la fe ciega que ellos le tenan. Aristteles 26. 30 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA DISCORSO AL SERENISSIMO DO N C O S1M O 11. GRAN DVCA DI TOSCANA Intorno aUc: cofe, che: Stanno in sul'acqua, oche in quc:lla li muouono ~ DI G.ALILEO G.ALILEI rilofofo~ t M.Atematico del/a Medejima .ALTEZz.A seRENlSSIMA SiCONDA EDITIONE. IN FIRENZE. Aprc:tT'o CoGmo Giunci.MDCXIL (on lict~A dc'Sujeriori. 27. l. HIDROSTATICA 31 haba sido el orculo de filsofos y telogos escolsticos durante la Edad Media: "ipse dixit" -l lo dijo- sentenciaban ellos, y con esto se cerraba la puerta a toda discusin. Muchos maestros del Estudio de Pisa eran todava as: Galileo menciona por ejemplo a cierto Buonamico, autor de un voluminoso tratado sobre el movimiento, que sostena precisamente que la teora de la flotacin de Arqumedes debera abandonarse por no concordar con la de Aristteles, y como prueba aduca el hecho de ser -segn l- la doctrina arquimediana incapaz de explicar por qu un vaso o un barco que flotan vacos se hunden al llenarse de agua.16 En su disputa con Galileo, los adversarios fueron a traer una tablita de bano y una pelota de la misma madera. La tablita, apoyada suavemente sobre la superficie del agua, quedaba flotando, mientras que la pelota bajaba inmediatamente hasta el fondo; de lo que se infera, de acuerdo con Aristteles, que la diferente forma que un slido posee, independientemente de su peso especfico, hace que ste flote o bien se suma. 17 Galileo, quien seala, de acuerdo con Arqumedes, que la figura no deter- mina que el cuerpo flote o se hunda sino slo la velocidad con que se hunde, siempre que el material con que est hecho sea por su peso especfico apto "para vencer la resistencia de la viscosidad del agua'', 18 se vea obligado a hallar una razn para justificar la flotacin de las lminas y no slo de bano, sino hasta de oro, que supera al agua "en gravedad casi 20 veces... y sin embargo una delgada hojita de oro flota sin hundirse'' .19 Este es su razonamiento: ''As como causa del hundirse de la tablita de bano y de la hojita de oro, cuando se sumen, es su gravedad, mayor que la del agua, as es necesario que causa de su flotacin, cuando ellas se sostienen, sea su liviandad; la que en tal caso, por algn accidente tal vez no observado hasta ahora, se asocie con la tablita misma, hacindola ya no como era antes mientras se suma, es decir ms pesada que el agua, sino menos pesada. Pero esa nueva liviandad no puede provenir de la figura, sea porque la configuracin no aade ni quita peso, sea porque la tablita, cuando se hunde, conserva la misma figura que cuando flota." 2o Luego vuelve a considerar una lmina flotante ABCD; observndola descubre que, H M Fgura 7 si bien es cierto que se mantiene sobre el agua, de hecho ella se sume, quedando a un nivel ms bajo que la superficie libre, rodeada por un pequeo borde HACL, MB- DN (figura 7). Es cierto pues, concluye Galileo, que de acuerdo con Aristteles la lmina no se hunde por ser de forma impropia para hender la masa de agua; pero tampoco queda al nivel de la superficie libre. Y con su estilo caracterstico prosigue: "Si se conside- rara cuidadosamente cul y cunto sea el cuerpo que en esta experiencia entra al agua y contrasta con la gravedad de ella, se notar que es todo lo que se encuentra 28. 32 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA por debajo (del nivel) de la superficie del agua; lo que consiste en el conjunto de una tablita de bano y un volumen casi igual de aire, o bien de una lmina de plomo y diez o doce veces ms de aire. Pero, seores adversarios, en nuestro asunto se trata de conservar la materia y alterar tan solo la figura; por tanto removed ese aire que, agregado a la tablita, la vuelve un cuerpo menos pesado que el agua, y colocad en el agua el simple bano: as sin duda veris la tablita bajar hasta el fondo, y si esto no sucede, habris ganado el pleito. " 21 Pero, cmo quitar el aire? Muy simple, dice Galileo: basta con mojar ligeramente la superficie superior de la tablita e inmediatamente el agua que se detiene en el borde escurrir, cubrir todo el bano y ste se hundir. El Discurso, que contiene muchas cosas ms y al cual tendremos que referirnos luego por otras razones, apareci a fines de mayo de 1612, y tuvo tanto xito y tanto fue el alboroto que levant , que antes de que terminara el ao sali una segunda edicin, en la cual el autor agreg aclaraciones y complementos. Muchos fueron los que impugnaron por escrito las ideas galileianas. En Pisa, Arturo d'Elci y Giorgio Coresio salieron a defender las opiniones peripatticas; en favor de Galileo apareci Tolomeo Nozzolini, quien, con referencia al pequeo borde de agua, hizo refle- xiones que parecen abrir camino a la consideracin de la tensin superficial. Luego, Ludovico delle Colombe y Vincenzio di Grazia publicaron nuevos opsculos atacan- do violentamente a Galileo. Este, buen peleador por naturaleza, se dispuso a contestar; pero sus amigos le convencieron de que no les diera tanta importancia y dejara que uno de sus discpulos se ocupase del asunto. Fue as como Galileo encarg la res- puesta al predilecto, Benedetto Castelli, fraile benedictino de unos 35 aos de edad. Castelli replic, pero para hacerlo debi acercarse ms y ms a la hidrulica; tanto que luego, como veremos, se volvi el experto nmero uno en la materia. LA HIDROSTATICA DE GALILEO Uno de los aspectos ms interesantes del Discurso mencionado anteriormente es el tratamiento novedoso que Galileo le da a la teora de la flotacin. Su idea bsica es considerar que el cuerpo, sea ms ligero o ms pesado que el agua, se encuentra en movimiento real o virtual, hacia arriba o bien hacia abajo. O sea, analizar el estado de reposo a travs del de movimiento. Para ello, Galileo empieza por definir la cantidad de movimiento, para la cual utiliza el trmino "momento". Es muy curioso el hecho de que este trmino persiste en el idioma ingls como momentum, mientras que la expresin "cantidad de movimiento" que utilizan las lenguas neolatinas naci justamente en ingls, en la quantity oj motion usada por Andrew Motte en su traduccin inglesa (1729) de los Philosophiae naturalis principia mathematica (Princi- pios matemticos de la filosofa natural) de Newton. La definicin que Galileo da es la siguiente: "Para los mecnicos 'momento' significa esa virtud, esa fuerza, esa eficacia con la cual el motor se mueve y el mvil resiste; la cual virtud depende no slo de la simple gravedad, sino tambin de la velocidad del movimiento."22 He querido reproducir tal cual esta definicin para que se 29. l. HIDROSTATICA 33 note cun dificil era expresarse cuando no se dispona todava de una terminologa mecnica aceptada universalmente, como la tenemos hoy en da. La definicin se aclara un poco ms abajo, donde leemos: ''pesos desiguales se equilibran y sus momentos se igualan cada vez que sus gravedades responden con proporcin contraria a las velocidades de su movimientos";23 de donde se deduce que, siendo u gravedad" el peso del cuerpo o algo proporcional a l, el "momento" resulta proporcional al producto de la masa por la velocidad. El problema de saber cules slidos se hunden y cules flotan conduce as a buscar un equilibrio entre la cantidad de movimiento del cuerpo, empujado a la fuerza debajo del agua, y la del agua levantada por el cuerpo mismo, "a cuyo levantamien- to tambin ella, como cuerpo pesado, resiste por su naturaleza". "Hay que compa- rar -dice Galileo- los momentos de la resistencia del agua a ser levantada con los de la gravedad que hunde al slido; en cuanto los momentos de la resistencia del agua lleguen a igualar los momentos del slido antes de su inmersin total, se har equilibrio y el slido no se sumir mayormente; pero si el momento del slido supe- rara siempre los momentos con los cuales el agua desalojada resiste, ese no slo se sumir del todo, sino que se hundir hasta el fondo; y si finalmente en el punto de inmersin total se igualaran los momentos del slido impelente y del agua resistente, entonces se har el reposo, y el solido podr descansar indiferentemente en cualquier punto del agua." 24 Galiieo supone algo as como un principio de conservacin de la cantidad de movimiento, principio que, aceptado por Descartes y sus seguidores, influir -como veremos ms adelante- en los primeros intentos de analizar tericamente el movimiento de los fluidos. A continuacin examina los posibles movimientos de s- lidos colocados en agua quieta. Primero comprueba que si levantamos un prisma s- lido parcialmente sumergido, la bajada del agua tendr [con respecto} al levanta- miento del prisma la misma proporcin que la base del prisma a la superficie libre del agua que lo rodea." La demostracin puede sintetizarse as: sean AB la primera posicin del prisma,. CD la segunda; AE la primera posicin de la superficie libre del agua, GF la segunda (figura 8). Evidentemente, debe realizarse la igualdad de volmenes CH = AF (1) (seguimos aqu la funcional costumbre de la poca de indicar volmenes y reas por los vrtices de una diagonal). La igualdad 1 puede escribirse HA x C :-..L---.,c - --..~-- 1 1 1A H '......- f}____ --~'-- -----D --- --B Figura 8 AE x AG, ...- .......... E -- --F _..... 30. 34 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA de donde resulta que bajada agua: subida prisma AG: AC HA :AE (2) que es lo que se quera demostrar. De lo anterior, y teniendo en cuenta el principio de conservacin de la cantidad de movimiento, se puede comprobar que un prisma de materia ms ligera que el agua, rodeado por agua en toda su altura, tendr que levantarse. 26 En efecto, sean AF el prisma, CE el agua (figura 9). Se tiene que peso CE: peso AF > volumen CE: volumen AF = AC : AB, y por el teorema anterior, peso CE: peso AF > elevacin prisma: bajada agua Figura 9 Dividiendo el segundo miembro entre el tiempo que tarda la elevacin, resulta peso agua: peso prisma > velocidad prisma: velocidad agua, y por tanto, "momento" agua > "momento" prisma, de lo que se concluye que el prisma deber levantarse. Cuando Arqumedes hablaba de cuerpos ms pesados o ms ligeros que el fluido, se refera evidentemente a su peso especfico; pero no tena un vocablo para definirlo. El trmino lo introducira Giambattista Benedetti, en su obra Diversarum speculationum mathematicarum et physicarum liber (Libro acerca de varias especu- laciones matemticas y fsicas), publicada en Turn en 1585, al hablar de"gravedad absoluta" o peso y de "gravedad en es- pecie" o peso especfico. Esta diferen- cci6n la adopta Galileo -quien conoca muy bien el tratado de Benedetti- en la ~~~~~~~=j;:proposicin sig~iente: Un prisma de materia ms ligera que el agua, que descanse e en un recipiente en el cual se vaya echando agua, se levantar slo en cuanto el agua sobrepase una elevacin tal que su pro- E porcin a la altura del prisma sea igual a la que subsiste entre los dos pesos Figura 10 especficos, del slido y del agua. 27 31. 1. HIDROSTATICA 35 Para comprobarlo, llamemos y0 al peso especfico del agua, y al del prisma. Supongamos que sea (figura 10) Pero EB AF y: Yo = FB: FD EB ED - - - - - - ED AF EB: ED y ED Yo AF peso prisma peso agua (3) (4) Supongamos ahora que el prisma ED intente levantarse. Por la proporcin 2 tendramos que EB AF CB AD bajada agua subida prisma velocidad bajada agua velocidad subida prisma Igualando con la proporcin 4, resulta finalmente que "momento" agua = "momento" prisma Siendo iguales dichos momentos, hay equilibrio entre agua y slido. Bastara agregar un poco ms de agua para que el peso (y luego el momento) del agua aumen- te; de modo que el prisma se levantar hasta que slo su parte EB quede sumergida. De lo anterior, Galileo infiere que slidos de peso especfico menor que el del agua se sumergen hasta tanto que un volumen de agua igual al de la parte sumergida pese igual que todo el slido. 28 En efecto, de la proporcin 3 resulta la igualdad de pesos y0 EB = yED Insiste luego en el hecho de que el volumen de slido que quede sumergido nada tiene que ver con el volumen mayor o menor de agua que lo rodea, y concluye: ''Acbase por tanto la falsa opinin de aquellos que estimaban que un navo podra sostenerse mejor y ms fcilmente en grandsima abundancia de agua que en cantidad pequea (lo que crey Aristteles en los Problemas, Seccin 23, Problema 2), siendo por lo contrario verdad que un barco flota igualmente bien en diez barriles de agua que en el ocano." 29 "Con esto -concluye Galileo- me parece haber suficientemente aclarado y abierto el camino a la contemplacin de la verdadera, intrnseca y adecuada causa de los diferentes movimientos y del reposo de distintos cuerpos slidos en diversos medios fluidos, en particular en el agua, mostrando cmo de hecho todo depende de los intercambiables excesos de peso de los mviles y de los medios."30 32. 36 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA PARADOJAS HIDROSTATICAS Casi un siglo despus de Arqumedes, viva en Alejandra un ingeniero llamado He- rn, cuyo gran inters en la mecnica de los fluidos lo llev a recopilar en un tratado, la Neumtica, varios dispositivos que utilizan la energa del agua o del vapor. Les gustara poseer un vaso que quede siempre lleno, no importa lo que ustedes to- men, u otro del cual no se pueda beber sin haber introducido una moneda? O bien un par de vasos del cual, al echar agua en uno, del otro salga vino? En el libro de He- rn hallarn las instrucciones necesarias para fabricarlos. All encontrarn tambin entre otras curiosidades cmo, abriendo la llave del agua, se puede hacer que una trompeta suene, un pjaro cante continua o intermitentemente, o que varios pjaros canten uno despus de otro. Hallarn un autmata que toma cualquier cantidad de lquido que se le ofrezca, y otro que a veces toma y otras no; una rueda que al girar hace que salga agua bendita; un fuego que al prenderse hace que se abran las puertas del templo, o bien que se viertan libaciones sobre el altar. Vern cmo, con slo levantar una manzana, se puede hacer que Hrcules dispare contra un dragn y ste, herido, se queje gimiendo. En la introduccin, donde menciona los principios utilizados en sus mecanis- mos, Hern se refiere a la presin hidrosttica. Existe o no tal presin? Por qu ser, se pregunta, que los nadadores que bucean muy hondo, soportando en sus es- paldas un peso enorme de agua, no resul- tan aplastados? Hay quien afirma que se debe a que el agua es de peso uniforme; pero esto no explica nada, dice Herl; he aqu la verdadera causa: supongamos que la columna lquida que se halla directa- A mente encima del objeto sumergido se transforme en un cuerpo slido (A en la figura 11) de la misma densidad del agua, que alcanza la superficie libre por el lado superior, y por el inferior est en contacto inmediato con el objeto mismo. Este cuerpo equivalente ni sobresale del lquido en Figura u que est, ni se hunde en l, segn lo de- mostrado por Arqumedes; por tanto, no teniendo ninguna tendencia hacia abajo, no ejercer ninguna presin sobre el objeto subyacente.li Este razonamiento llevarla a concluir que no hay presin hidrosttica en el seno de un fluido; pero si el objeto sobre el cual ste se apoya es el fondo o la pared de un depsito, dicha presin s se nota. Bien lo saben quienes deben contener el empuje del agua con terraplenes o compuertas; y lo sabian los holandeses cuando, en la segunda mitad del siglo XVI, confiaron a un renombrado matemtico, Simon Stevin, la defensa de sus tierras bajas contra las inundaciones marinas, capaces, por su sali- nidad, de volver estriles las mejores tierras de cultivo. 33. l. HIDROSTAT!CA 37 Se saba que cuanto ms profunda queda una compuerta, tanto ms se debe re- forzar y ms dificil resulta maniobrarla. No se podra abaratar su construccin -preguntaban algunos- reduciendo la cantidad de agua que la compuerta tiene encima? Supongamos por sencillez, como muestra la figura 12, que la compuerta AB sea horizontal, ubicada en el fondo HK de un depsito, y que sea GL la superficie libre. Si angostamos el acceso del agua dejando para su paso slo la seccin MEABFN y M NC o rellenamos todo lo dems. no quedara G la compuerta menos cargada? Y no podra ser -decan otros- que inclinan- do, como en la figura, el conducto, lapa- red ME soporte la carga de la porcin superior del agua, descansando sobre la L compuerta slo la porcin inferior? Ste- ----l~~-~~~~J__vin, como buen matemtico, medit acerca del problema y sac conclusiones muy distintas. H K A Primero consider que si el agua Figu-ra 12 queda limitada por el vaso CABD, o sea, se reduce a la columna vertical que est encima de la compuerta, evidentemente esta ltima debe soportar todo su peso. Ahora, si sumergimos en el agua un slido de forma cualquiera, pero de la misma densidad de aquella, la presin no podr alterar- se. Adems, si se le da al slido sumergido una figura tal que no deje libre sino un canal de forma arbitraria, tampoco cambiar la presin total sobre la compuerta. Finalmente supongamos que se fije el slido al fondo, formando el conjunto rgido GMEAH-LNFBK: la situacin no cambiar, cualquiera que sea ahora el peso especifico del slido mismo. Concluyendo, la presin sobre la compuerta, o en general sobre el fondo, ser siempre igual al peso de la columna vertical de agua sobre- puesta, sea cual sea la geometra del vaso." Esto public Stevin en su librito sobre hidrosttica aparecido en 1586. Pero, por estar escrito en idioma flamenco, muy pocos lo leyeron; y sus resultados no se difun- dieron hasta que, en 1608, el trabajo se tradujo al latn, idioma cientfico universal de la poca. Naturalmente, el contenido de la obra no se limita a lo anterior. La carga del agua sobre fondos horizontales rara vez crea problemas al ingeniero. Estos aparecen cuando el agua descansa en paredes verticales o inclinadas, empujndolas y amena- zando su estabilidad. Para analizar este caso, Stevin utiliz el mtodo ideado por Arqumedes para la rectificacin de curvas y la cuadratura de reas. Por medio de lneas horizontales, como AC, BD (figura 13), subdividi la superficie MN de lapa- red en pequeas secciones (como AB) y comprob que la presin que cada seccin soporta es mayor que la que soportara si fuese horizontal al nivel superior (AC) y menor que si lo fuese al nivel inferior (BD). De donde, disminuyendo siempre 34. 38 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA ms las anchuras AB hasta aumentar al infinito su nmero, lleg a la conclusin de que el empuje sobre la pared es igual al peso del volumen de agua que se consti- tuir aplicando perpendicularmente a la superficie en cada uno de sus puntos una columna elemental infinitamente delgada (HABK) de altura igual a la profundidad de ese punto con respecto a la superficie libre. Este resultado, vlido para cualquier Figura 13 pared curva, implica que, en el caso de un talud vertical o inclinado rectilineo, el empuje es igual al peso de la columna de agua e D que tiene la superficie mojada por base y como altura la mitad de la del tirante de agua sobre el pie de la pared. 32 El problema de la presin en el seno del fluido, que vimos planteado por Hern, lo vuelve a analizar Galileo "para abrir los ojos a ciertos mecnicos prcticos que sobre un fundamento falso intentan a veces empresas imposibles". Considera el vaso ancho GIDH, conectado con el cafto an- gosto ICAB, donde el agua alcanza el nivel LMGH (figura 14). No faltar quien se asombre, dice Galileo, del hecho de que la grave carga de toda la masa GHDI no levante y expulse la pequei!a cantidad de agua contenida en el cai!o CL que, aun siendo tan reducida, le impide bajar. Sin embargo todo se explica, segn l, considerando que si el nivel GH bajara po- quito, hasta OQ, el nivel LM subira mucho, hasta AB, estando la subida LA con respecto a la bajada GO en proporcin inversa a las secciones LM y GH de los dos conductos y, por tanto, en proporcin directa a las velocidades con que se desplazan las columnas respectivas. Los "momentos" de ambos brazos (masas desplazadas por velocidades relativas) resul- tarn luego iguales, cumplindose la ley de igualdad de cantidades de movimiento. "Siendo que eJ momento de la velocidad A B L ~--_9 H or------- Q D e~====':/ f'igura 14 del movimiento de un mvil compensa el de la gravedad de otro, ,por qu habr que admirarse de que la velocsima subida de la poca agua CL equilibre la tardadsima bajada de la mucha agua GD?" ll 35. l. H!DROSTATICA 0 39 UNA MAQUINA PARA MULTIPLICAR FUERZAS El efecto sealado por Galileo puede tambin interpretarse de otro modo. Sean dos columnas liquidas AGHB y CKLD (figura 15), interconectadas por un conducto inferior. Si los pesos de las columnas, en vez de multiplicarse por las velocidades de sus desplazamientos virtuales, se dividen entre las reas de las bases GH y KL relativas, tambin se encuentran iguales resultados. Ahora, este cociente, que es una fuerza por unidad de superficie, es justamente lo que nosotros llamamos ''presin"; y el equilibrio implica la igualdad de las presiones ejercidas por las dos columnas sobre el liquido a nivel GL. A G 'P' ~ - B e W//h-.Q:I'///% H K ----- Blaise Pascal era un inventor. En Figura 15 1642, a los diecinueve aos de edad, deci- D L di ayudar a su padre, Etienne, comisario delegado por el rey en Normanda para la recoleccin y reparticin de impuestos, obligado a dedicarse todo el da a hacer su- mas y restas, multiplicaciones y divisiones, localizar errores en las cuentas y vol- verlas a repetir. Padre e hijo aborrecan semejante ocupacin; as que a ste se le ocurri construir, con base en "los conocimientos de la geometra, la flsica y la mecnica" que como nio prodigio antes y luego como adolescente genial, haba ad- quirido, una mquina calculadora, la "Pascaline", que permita realizar con seguri- dad infalible, y sin pluma ni fichas, todo tipo de operaciones aritmticas. Blaise no haba nacido con simpata por el agua. Dos eran las cosas que no poda soportar a la edad de un ao: ver agua y descubrir a su padre y a su madre uno cerca de la otra. En ambos casos el beb empezaba a menearse y chillar desesperada- mente y no haba modo de apaciguarlo. Se enferm y durante ms de un ao su pa- decimiento fue agravndose, hasta llegar el momento en que todos le crean a punto de morir. Una hechicera, a la cual la joven mam, a pesar de las advertencias de sus amigas, haba seguido regalando, como a muchas otras mujeres pobres, una suma mensual, le prepar una cataplasma con nueve hojas, tres de cada uno de tres tipos de hierbas, recogidas por una nia de siete aos. El pap hizo colocar la cataplasma sobre el vientre de Blaise y sali para cumplir con sus funciones oficiales. Al regresar a medio da, halla a la mam llorando: el pequeo parece muerto; sin pulso ni voz ni sentidos, se va poniendo cada vez ms fro. Sale el padre, se encuentra con la hechicera y le da una bofetada que la hace volar del escaln. La buena mujer se levanta y le pide mil disculpas: haba olvidado avisarle que el pequeo parecera muerto hasta la media noche y luego se pondra bien. Y he aqu a los padres sentados aliado de la cuna, oyendo sonar el reloj de la torre: las dos, las tres, las cuatro... las horas se hacen eternas; el tiempo pasa y el nio no da seas de vida. Medianoche, y nada. Pero poco antes de la una el nio bosteza; lo levantan, lo calientan, le dan vino con azcar que l bebe con fruicin. Aparece la nodriza y l, siempre sin abrir los ojos, mama hasta las seis de la maana; entonces los abre y chilla: pap y mam estn sentados 36. 40 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA juntos. Pasan los das; a la semana, cuando el padre regresa solo de la misa, porque la madre ha quedado cuidando al pequeo, lo encuentra en los brazos maternos, con un vaso en cada mano, divirtindose en traspasar agua del uno al otro.34 Es as como el nifto y el agua se hacen amigos. Blaise empieza a observarla y realiza experimentos; un da lleva a cabo el de la figura 15. En lo que otros haban visto simplemente una manifestacin de equilibrio, l descubre un sistema para multiplicar fuerzas: "si un recipiente lleno de agua y cerrado por todas partes tiene dos aberturas, una cntupla de la otra, colocando en cada una un pistn que se le ajuste (P y Q, en la figura), un hombre, empujando el pistoncito pequeo, igualar la fuerza de cien hombres que empujen aqul que es cien veces ms grande... De donde parece que un recipiente lleno de agua es... una nueva mquina para multiplicar las fuerzas tanto como se quiera, porque un hombre por este medio podr levantar cualquier carga que se ofrezca". Esto hallamos escrito en Trait de l'quilibre des li- queurs (Tratado acerca del equilibrio de los lquidos) publicado en 1663, un ao despus de haber muerto Pascal a la edad de 39. Y ms adelante dice: "Es claro que, cuando el pistn se ha desplazado una pulgada, el agua impulsada por l, al empujar el otro pistn, hallando un abertura cien veces mayor, no ocupar sino la centsima parte de la altura: de modo que los desplazamientos estn entre s como las fuerzas. Lo que puede tomarse como la verdadera causa de este efecto; por ser evidente que es Jo mismo hacer que cien libras de agua recorran el camino de una pulgada que hacer que una libra recorra cien pulgadas."35 He aqu pues una nueva interpretacin del fenmeno: ya no igualdad de cantidades de movimiento, ni de presiones, sino de trabajo. La aportacin del genio es frecuentemente descubrir algo nuevo y diferente en aquello que los dems ven durante toda su vida slo de cierta manera: la que les fue enseada por sus maestros y que aceptan por inercia. UN SIFON MALOGRADO El discurso de Galileo acerca de las cosas que estn sobre el agua y su secuencia de debates y polmicas haban conmovido a los crculos cultos de Italia y Europa. A fines de diciembre de 1613 Filippo Salviati, devoto amigo de Galileo, al que sola ofrecer en su "Villa delle Selve" cerca de Florencia la tranquilidad necesaria para redactar sus escritos, hallndose de paso por Gnova, se encontr con Giovanni Battista Baliani, patricio de esa ciudad. La pltica recay naturalmente sobre el Maestro, a quien Baliani recordaba pues haba viajado hasta Venecia a propsito para poderlo escuchar. "Hall aqu un filsofo a nuestra manera, muy amable y gentil hombre -escribe Salviati a Galileo-. El filosofa sobre la naturaleza y se burla de Aristte- les y de todos los peripatticos... Se re de quienes han escrito en contra del opsculo de Ud., aunque me dijo haber notado en l algunas cosas que no le gustan. Le rogu que me las muestre, lo que prometi hacer, pues dice que el libro lo tiene en su villa... Es el mejor hombre que nunca me haya encontrado, aunque un poco aferra- do a su opinin; por lo dems amabillsimo, y (un tipo) que le gustara a Ud. "36 Salviati se diriga a Espaa. Miembro de una ilustre familia florentina, se haba 37. 1. HIDROSTATICA 41 molestado por haber tenido que ceder en una cuestin de precedencia ante Bernar- detto de Mdici, sobrino del papa Len XI; y as haba decidido salir de viaje. Pero en mayo del ao siguiente, a la edad de 32 aos, morira en Barcelona. Por lo contrario Baliani, coetneo suyo, alcanz los 84 aos, luego de haber sido elegido como uno de los doce Padres del Senado Genovs, mxima autoridad civil de esa repblica. Ocupado toda su vida en la administracin pblica, Baliani empez a comuni- carse con Galileo para consultarle acerca de dudas que se le presentaban e ideas que se le ocurran. Galileo, siempre solcito en mantener la correspondencia, le contesta- ba de inmediato. Varias cartas celosamente conservadas por ambos han llegado hasta nosotros. En la Biblioteca Nacional de Florencia hallamos una de Baliani a Gali- leo, de julio de 1630, donde se expone un grave problema hidrulico. "Necesitamos lograr que una corriente de cerca de dos onzas (6.9 cm) de dimetro cruce un cerro, y para eso conviene que el agua suba verticalmente... cerca de 70 pies geomtricos. Con tal objeto construimos un sifn de cobre de acuerdo con el dibujo anexo (figura 16), donde CA es la horizontal por (el punto) en que se toma el agua, Bes (el punto) D e A B Figura 16 donde sta tiene que salir, Del embudo a travs del cual se llena el sifn y DE la altura vertical que el agua tiene que subir. Pero este sifn no produce el efecto deseado. Ms bien si, luego de obturarlo por arriba, se abre, el agua sale por ambas partes; y si se mantiene cerrado por un lado y se abre el otro, de este ltimo sale agua de todos modos. No puedo admitir que en esta ocasin el agua haya querido apartarse de sus propiedades naturales; por tanto es forzoso que, al salir agua, se meta aire en la parte superior; pero no veo por dnde. Ocurre adems otra cosa que me deja pasmado; a saber que, si se abre la boca A, el agua sale hasta que haya bajado desde D hasta aproximadamente la mitad, o sea hasta F, y luego se para... Quiero relatarle todo, para que Ud. con ms facilidad pueda descubrir en qu consiste mi error y haga el favor de avisarme. "37 El6 de agosto Galileo contesta: "Siento de veras que Ud. no haya solicitado mi parecer acerca del resultado del sifn antes de que se hiciese el gasto, porque habra podido ahorrrselo con sealar -salvo errores- la imposibilidad del asunto; la que 38. 42 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA -1.. Esta ilustracin, tomada de un ejemplar de un tratado sobre mquinas de Mariano Taccola (1381-1458), que se encuentra en la Biblioteca Marciana de Venecia, muestra cmo en ese en tonces se crea posible elevar el agua a cualquier altura por medio de un sifn. 39. l. H!DROSTATICA 0 43 resulta de un problema mo, analizado hace A tiempo y que de veras tiene mucho de adm- rable. Puede hacerse subir agua por un cailo o sifn, por succin o bien por impulso. Por succin entiendo cuando el mecanismo que trabaja -cualquiera que sea- se coloca en la parte superior A del cao AB; por impulso, si se hace que el agua suba, siempre que el mecanismo impelente se acomode por abajo en B(figura 17). Cuan- do el agua se tenga que sacar por impulso, se podr levantar y empujar a una altura cualquiera, hasta de 1000 codos, con tal que el cao sea firme y robusto, para que no reviente; pero si se levanta por succin, existe una determinada altura y longitud de cao ms all de la cual es imposible hacer subir el agua ni un dedo; ms bien B ni un pelo; y tal altura me parece sea poco Figura 17 ms o menos 40 pies, y tal vez hasta menos. La causa de dicho efecto me atorment mucho antes de investigarla; pero finalmente me di cuenta de que no deba de ser tan recndita, ms bien muy manifiesta; ya que as acontece con las causas verdaderas, una vez descubiertas." "Yo s bien que Ud. no duda que, de ser AB un cable de navo fijado en A, es posible colgarle en B una carga tan pesada que logre finalmente reventarlo... Enton- ces, si se rompen cuerdas de camo y [hasta] de acero cuando tienen que aguantar un peso excesivo, qu duda debe quedarnos de que tambin una cuerda [hecha] de agua tenga que reventarse? Ms bien, sta se romper con tanta ms facilidad en cuanto las partes del agua, para separarse la una de la otra, no tienen que vencer otra fuerza sino la del vaco que resulta luego de la_particin." 38 LA FUERZA DEL VACIO Al hablar de fuerza del vaco, Galileo haba tocado un tema candente. Para Arist- teles, y por tanto para todos los peripatticos, un vaco aislado y continuo no puede existir, y !Sto por razones meramente lgicas. "Si el vaco es algo as como un lugar sin cuerpo -escribe Aristteles- si hubiera vaco, a dnde ira un cuerpo colocado en su interior? ... ningn objeto puede moverse si hay vaco;... en el vaco los objetos tienen que quedar en reposo porque no hay ningn lugar al cual ellos puedan ir mejor que a otro, en cuanto el vaco no admite diferencias... Porque... lo arriba no di- fiere de lo abajo; porque no habiendo diferencias en lo que no es nada, no hay ninguna en el vaco que es algo que no existe, una privacin de existencia." 39 En el vaco, segn Aristteles, no habra movimiento. En efecto, se consideraba 40. 44 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA entonces que el movimiento implica el reemplazo de un medio, el aire, por otro, el cuerpo, y que, luego que ste ha sido arrojado, el aire desplazado lo retroimpulsa, lo cual no podra ocurrir en el vaco. Adems, el cuerpo avanza venciendo la resistencia del medio ambiente, con movimiento tanto ms rpido cuanto ms enrarecido est aqul; por ello, en el vaco la velocidad debiera de ser enormemente grande. Final- mente, un slido introducido en agua desplaza un volumen de agua igual al suyo; colocado en el vaco, qu desplazar? A dnde ir a dar el vaco desplazado? Pe- netrar en el cuerpo? Todo esto es imposible.40 Ntese que lo que Aristteles exclua era un vaco aislado y continuo, mientras que si admita la presencia de pequesimos vacos distribuidos en medios rarefac- tos. Consideraba que sta es la razn por la cual entre ms rarefacta est una sustan- cia, ms rpidamente se mueve hacia arriba; por eso se dirigiran siempre hacia arriba el aire, medio rarefacto, y el fuego, ms rarefacto todava. Por eso mismo, de existir un volumen vaco, ste se elevara inmediatamente con mxima velocidd. "Pero -conclua Aristteles- tal vez es absolutamente imposible que el vaco se mueva: en efecto, el mismo razonamiento que mostr que ningn objeto es capaz de moverse en el vaco comprueba que tampoco el vaco puede hacerlo."41 El argumento ms comn acerca del horror al vaco lo expresa Galileo mismo en su libro Discorsi e dimosrrazioni matematiche intorno a due nuuve sc1enze atienen- ti afia meccanica e i movimenti continui (Discursos y demostraciones matemticas acerca de dos nuevas ciencias referentes a Ja mecnica y Jos movimientos conti- nuos) por boca de Salviati, uno de los imaginarios interlocutores: "Sean dos placas de mrmol, metal o vidrio perfectamente planas, pulidas y bruidas. Si las coloca- mos horizontalmente una sobre la otra, conseguiremos con toda facilidad que la superior resbale... Pero intentemos separarlas mantenindolas paralelas: hallaremos tal repugnada a la separacin que la superior se levantar y arrastrar consigo la otra, por grave y pesada que sea, mantenindola levantada indefinidamente. Esto comprueba de modo evidente el horror de la naturaleza a tener que admitir, aun por un brevsimo tiempo, el espacio vaco que quedara entre ambas lminas antes de que la afluencia del aire lo ocupe."42 La carta de Galileo del6 de agosto no lleg a Baliani sino hasta el23 de octubre: en esos meses hubo una epidemia de peste que pudo ocasionar la demora en el correo. Al da siguiente, Baliani contest con una larga misiva en la que explicaba que, si bien no le convenca del todo la idea de que la columna de agua llegue a rom- perse por efecto de su propio peso como un cable, de todos modos comparta la idea de que pudiera crearse un vaco, aun dudando de que "pueda producirse en tanta cantidad y tan fcilmente"; pues su sentir era que el vaco "no puede crearse sin gran violencia, y que debe de poderse hallar qu tan grande tiene que ser esta violencia que se requiere para que el vaco se produzca".43 Ahora bien, razona Baliani, olvidemos por un momento el vaco y pensemos en la fueza que se requerira para partir una columna de agua sujeta a gran presin, con objeto de permitir la entrada de aire. "Yo imagino hallarme en el fondo del mar, 41. DISCORSI E l. HIDROSTATICA 45 DIMOSTRAZIONI MATE M A TIC HE, intorno adue nuouefcimz:,e Attencnti aUa MEC:ANICA. & i MovtMI!NTt LocALr; Jtlsignor G A L I L E O G A L 1 L E 1 L 1 N C E O, Filofofo e Matcmatico primario del Scrcniflimo Grand Duca di Tofcana. Cgn'111111 A!!tndiutklmmoJigruitJtl'kuniSPiil. IN LEIDA, Appref'o gliElfcvirii. M. D, e:, XXXVIII. 42. 46 EL AGUA SEGUN LA CIENCIA donde el agua tenga diez mil pies de profundidad; y, de no ser por la necesidad de respirar, creo que podra sostenerme, aun sintindome ms comprimido y apretado por todos los lados de lo que estoy ahora... ; pero, prescindiendo de dicha compre- sin, no sentira otra molestia, ni experimentara el peso del agua mayormente que cuando, sumergindome en verano por debajo del agua para baarme en el mar, tengo diez pies de agua sobre mi cabeza sin que note su peso. Pero si yo no estuviese dentro del agua, que me presiona de todos lados, si no me hallase no digo en el vaco sino en el aire, y que hubiese agua de mi ca

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