El Desarrollo Del Pensamiento Lógico

7/25/2019 El Desarrollo Del Pensamiento Lgico

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EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LGICO-MATEMTICO

Conferencia de Apertura del 1 Congreso Mundia de Ma!e"#!i$as en E% I%&

Jos Manuel Serrano Gonzlez-Tejero

Universidad de Murcia

INTROD'CCIN

Cuando hablamos de pensamiento lgico-matemtico, en trminos generales, se entiende quehacemos referencia a las matemticas o al conocimiento matemtico y, aunque es cierto que lasnociones matemticas suponen una de las posibles formas de pensamiento lgico-matemtico,no es menos cierto que este reduccionismo del pensamiento lgico-matemtico al conocimientomatemtico, es un craso error

Cualquier epistemolog!a, y la epistemolog!a gentica de "ean #iaget no puede sustraerse a ello,se encuentra abocada a considerar el problema de la bipolaridad del conocimiento $n efecto,

sabemos que muchas proposiciones alcan%an su valor de verdad o falsedad sin recurso a laconstatacin emp!rica y slo pueden ser alcan%adas por deduccin #or el contrario, podemosencontrar otro gran con&unto de proposiciones en las que esos valores estn mediati%ados por laposibilidad de constatacin emp!rica de los hechos a los que se refieren y slo pueden seralcan%adas por induccin $ste planteamiento parece conducir a una irreductibilidad entre estosdos con&untos de verdades y cualquier teor!a del conocimiento se va a ver abocada a responderal problema entre la relacin de estas dos formas de conocimiento' el conocimiento lgico-matemtico (verdades normativas) y el conocimiento f!sico (verdades fcticas)

#ara poder dar solucin a este problema #iaget postula la necesidad de una continuidadfuncional entre la vida y el pensamiento, porque para el eminente epistemlogo sui%o *si losproblemas biolgicos y psicolgicos son solidarios, ello se debe a que el conocimiento prolonga,efectivamente, la vida misma, de tal forma que la asimilacin biolgica+ se prolonga en unaasimilacin intelectual./ $sta continuidad entre lo biolgico y lo psicolgico queda aseguradapor una propiedad intr!nseca a todo tipo de organi%acin vital' la accin, mecanismo a travs delcual el organismo entra en contacto con el entorno, lo asimila y 0act1a2 sobre ltransformndolo Ahora bien, como no e3iste 0accin2 sin 0reaccin2, #iaget se ve en lanecesidad de utili%ar el trmino interaccinpara designar las relaciones entre el individuo y loreal

$n el proceso de interaccin su&etoob&eto tenemos, por tanto, tres elementos (su&eto), () y(ob&eto) $l primer elemento de la terna, es decir, el su&eto, es el conocedor y el conocimiento lopuede e3traer del propio su&eto (metacognicin), de la interaccin con el ob&eto (cognicin oconocimiento lgico-matemtico) o del ob&eto (cognicin o conocimiento f!sico) 4e esta manerala apropiacin de los saberes y de los contenidos espec!ficos de las matemticas es una forma deconocimiento lgico-matemtico, pero, evidentemente, no es la 1nica posible

5echo este breve prembulo, vamos a comen%ar a desarrollar una forma de conocimiento lgico-matemtico que conocemos como 0aritmtica2, as! como sus relaciones e implicaciones con otraforma de conocimiento lgico-matemtico que denominamos 0lgica2

4esde que vieron la lu% los primeros traba&os piagetianos sobre la construccin del n1mero y,muy especialmente, desde la aparicin en .67. de la Gense du nombre chez l'enfantcon lapropuesta de la indisociabilidad cardinal-ordinal del n1mero y los subsecuentes traba&os de estaobra pionera, han proliferado, a partir de la dcada de los 0892 y hasta el momento actual, lasinvestigaciones sobre los or!genes del n1mero o, si se prefiere, sobre la construccin del n1meroen el ni:o, tanto desde posiciones de afian%amiento en el seno de la propia $scuela de ;inebra,
http://www.waece.org/cdlogicomatematicas/ponencias/serrano_pon_es.htm#_ftn1http://www.waece.org/cdlogicomatematicas/ponencias/serrano_pon_es.htm#_ftn1


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como de confirmacin o de aceptacin o refutacin parcial, pero siempre en el seno de la propiateor!a piagetiana, aunque se intenten integrar en la misma elementos de otros modelos o teor!as(postpiagetianos o neopiagetianos) 4e hecho, desde .689 hasta el momento actual, tenemosregistrados ms de 9, sobre loscomponentes cardinales y ordinales del n1mero, ponen de manifiesto que el n1mero no es clasede relaciones simtricas transitivas (empleando la terminolog!a de ?ussell, clase de clases) o, almenos, no slo es clase de clases, como proponen los cardinalistas, tampoco hace referencia alenca&e de relaciones asimtricas transitivas o, al menos, no slo es relacin de orden, comoproponen los ordinalistas, aunque tampoco podemos admitir la indisociabilidad cardinal-ordinaldel n1mero, tal y como propone #iaget @osotros proponemos la siguiente e3plicacin funcionalque puede ser tomada a modo de definicin'

0$l n1mero es una de las doce categor!as antianas reformuladas por #iaget que pertenece a lafuncin implicativa de la inteligencia y que, por lo tanto, tiene como funcin la discreti%acin delcontinuo (asimilacin del universo) Como todas las categor!as que permiten la adaptacin delsu&eto a su entorno, se encuentra regulada por la funcin organi%adora de la inteligencia, lo queequivale a decir que es una totalidadindependiente del resto de las categor!as, con unsistemade relacionesque le es propio, unos finesespec!ficos y unos medios(valores) adecuados allogro de esos fines2

Ahora bien, la funcin implicativa o asimiladora de la inteligencia es 1nica y, por tanto,independencia, no significa aislamiento, sino interaccin @os encontramos por tanto con unaestructura cognitiva espec!fica, con un funcionamiento igualmente espec!fico y que e&erce unafuncin interactiva con otras estructuras cognitivas de las que depende el propio proceso deasimilacin

$sta interaccin determina que las estructuras o categor!as estructurales que configuranel proceso centr!peto de la adaptacin tengan un desarrollo ms o menos armnico y, por tanto,que desde una perspectiva estad!stica 0correlacionen2 o 0covar!en2 entre s! Bin embargo, estacorrelacin trasciende los l!mites estad!sticos, porque estad!sticamente no puede e3istirindependencia (ortogonalidad) y covariacin =a interpretacin vendr!a dada en trminos de


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*independencia de organi%acin' un sistema de relaciones caracter!stico, constituido por leyesespec!ficas, unas finalidades diferenciadas y unos medios (esquemas) diversificados ui%s poreso habr!a que ver esta situacin ms en la l!nea, o desde el punto de vista, de la *matemticaingenua, como interseccin de con&untos 4e esta manera podr!amos interpretar nuestroestudio desde la perspectiva de un diagrama configurado por tres con&untos que representar!anlos tres elementos configuradores del proceso de cuantificacin en el hombre' clases, relaciones(asimtricas) y n1mero

Utili%ando una terminolog!a y una interpretacin puramente piagetiana, diremos que nosencontramos con las tres posibles formas de equilibracin cognitiva (asimilacinDacomodacin),

al menos en lo que hace referencia a los procesos de cuantificacin que nos ocupan en estetraba&o'

#or un lado, tendr!amos las equilibraciones internas de los subsistemas numrico (EFGF8FH), derelaciones simtricas (.F7FGFH) y de relaciones asimtricas (


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Aclaremos esto con un e&emplo Jmaginemos que, ante un con&unto de animales como elque se nos presenta en el cuadro siguiente, se nos hiciera esta pregunta decuantificacin' )*+u, hay m-s. animales o perros/0

$n el momento en que procesamos la informacin que tenemos ante nosotros (cuadro y te3to)

sabemos que lo que tenemos que hacer es cuantificar, por comparacin (*qu hay ms), uncon&unto de animales (de los cules algunos son perros y otros son palomas), con una de suspartes (el subcon&unto de los perros) Como la estructura que determina el sistema decuantificacin, coordina todos los subsistemas cuantificadores de la realidad (intensiva,e3tensiva simple y e3tensiva mtrica), se establece que, de todos los posibles esquemas quepueden dar solucin al problema y puesto que lo que se pide es la comparacin del todo con unade sus partes, de acuerdo con la teor!a de la econom!a del pensamiento


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la iteracin de unidades $s evidente que la solucin al problema planteado, para lograr laacomodacin ms eficiente, es el proceso de cuantificacin e3tensiva simple

=a unidad funcional de conducta (esquema) que permite la solucin ms eficiente alproblema planteado es, sin lugar a dudas y dada la disposicin espacial de los elementos ennuestro e&emplo, el esquema de correspondencia uno-a-uno' como hay algunos elementosdel segundo con&unto (palomas) que no tienen imagen en el primer con&unto (perros) podemosconcluir que hay m-s palomas %ue perros

Ahora bien, el esquema de correspondencia un!voca o biun!voca es una unidad funcionalde conducta que posibilita el recurso a la construccin de las clasesE/y, por esta ra%n, habr!aque ubicarla en el seno de ese con&unto (confrontar diagrama)

Bin embargo, el esquema de correspondencia uno-a-uno, es tambin un esquemanumrico por cuanto, por e&emplo, contar, es, entre otras cosas, establecer una correspondenciabiun!voca entre unas palabras (numerales) y unos ob&etos, por lo que podr!amos decir que elesquema de correspondencia uno-a-uno supone la necesaria coordinacin de los subsistemas den1mero y clase (%ona G del diagrama)

Jmaginemos, finalmente, que nuestros perros y nuestras palomas se distribuyen de la

siguiente manera'

Bi la pregunta vuelve a ser ahora, )*%u, hay m-s. perros o palomas/0, al tener quecomparar las partes entre s!, debemos recurrir a un proceso de cuantificacin e3tensiva, peroahora parece ms eficiente un proceso iterativo, es decir un proceso de cuantificacin e3tensivamtrica ui%s, de nuevo en aras de la eficiencia del proceso, el esquema de conteosea elms adecuado para darle solucin al problema

Ahora bien, el esquema de conteo supone, tanto la utili%acin de un esquema decorrespondencia biun!voca (ob&etos-numerales), como el establecimiento de un orden estable enlos numerales (primero el ., luego el


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funcional, por e&emplo, de . es 7, G y H (7 L G L H .N) $n efecto, si tomamos el primero denuestros e&emplos, para dar respuesta a la cuestin' 0Oqu hay ms, animales o perrosP2 noresulta QfuncionalN contar los animales y luego los perros para determinar que el cardinal de losprimeros es mayor que el cardinal de los segundos, incluso aunque el ra%onamiento condu%ca a,una ve% contados los perros, suspender el funcionamiento del esquema de conteo por llegar a laconclusin de que, al seguir contando, el cardinal de los animales va a ser mayor y, por tanto,hay ms animales que perros $s evidente que el esquema de inclusin Qniega funcionalmenteN al

esquema de conteo

=a negacin por pertinencia material se produce o entre esquemas pertenecientes a diferentessubsistemas (por e&emplo, en nuestro diagrama de c!rculos tendr!amos que .N < L E) o entreesquemas del mismo subsistema de naturale%a no reductible por conducir a acomodacionesdiferentes $n efecto, tomemos dos esquemas de cuantificacin pertenecientes al 0subsisteman1mero2, que hemos designado como (E) en nuestro diagrama de c!rculos, como, por e&emplo,la aprehensin inmediata (subitizing) y la estimacin Bi tratramos de coordinar estos dosesquemas ver!amos que no e3iste posibilidad material alguna de hacerlo

$n primer lugar, porque se orientan a acomodaciones diferentes, el primero conduce a ladeterminacin del cardinal e3acto de un con&unto de pocos elementos, concretamente unm3imo de HR


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operatoria y funcional' cualidades numricas y cualidades no numricas (lo que podr!a serasumido como una etapa de diferenciacin de es%uemas sin integracin)

#or 1ltimo, el ni:o ir dotando a su pensamiento lgico-matemtico de la movilidad suficiente(sis!e"a de rea$iones) para organi%ar la informacin que e3trae de su accin sobre larealidad en un sistema de con&unto (!o!aidad) con unos "ediosy unos )inesdeterminadospero puestos siempre al servicio de la discreti%acin del medio (etapa de integracin de loses%uemasen un sistema de con&unto) para interpretarlo de forma coherente, efectiva(e%uilibracin) y cada ve% ms eficiente (econom(a del pensamiento)

$sto supone la posibilidad de elaborar un modelo funcional que, interpretado mediante undiagrama de flu&o, ser!a el siguiente'

y vendr!a a confirmar, a grandes rasgos, las tres formas de equilibracin cognitiva descritas por#iaget

Bin embargo, y aunque las relaciones de equivalencia se mantienen para ambos tipos decualidades, la numerosidad de un con&unto no es considerada como una Qcualidad f!sicaN delmismo, como lo puede ser el tama:o, el color, la te3tura, etc 4e esta manera, y a1n admitiendoque un con&unto A es igual que un con&unto S e igual que un con&unto C porque todos tienen elmismo n1mero de elementos, los peque:os niegan la posibilidad de que se puedan poner en elmismo grupo porque todos ellos 0se parecen en la cantidad2K utili%ando la terminolog!a de?ussell, no admiten la Qclase de las clasesN que tienen el mismo n1mero de elementos, al menos,no al mismo nivel que admiten la clase de los perros como Qclase de las clasesN de perros dedistintas ra%as, o la clase de los peque:os como Qclase de las clasesN de diferentes figurasgeomtricas peque:as Utili%ando una terminolog!a piagetiana, 0el n1mero presenta una altaresistencia a ser clasificado2


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Lampoco se encuentra el n1mero especialmente vinculado, en estas primeras edades, a la 0ideade orden2 y, por tanto, a una nocin intuitiva de seriacin $n nuestras e3periencias hemospodido constatar que la 0nocin de tama:o2, como en el caso de la clasificacin, se refiere acualidades f!sicas de los ob&etos o de los con&untos de ob&etos, nunca al 0tama:o numrico2 delos con&untos $l n1mero, como relacin de orden, parece tener un fuerte componente temporal,qui%s vinculado al lengua&e, de manera que los ni:os llegan a comprender que el 0cuatro2

QprecedeN al 0cinco2 (4 * 5K 4se dice antesque 5) y, ms tard!amente, que 0cuatro2 Qes

menorN que 0cinco2 (4 +5)

#or lo tanto, desde la perspectiva de un modelo de equilibracin lgico-matemtico a nivel deobservables ( IB ), podr!amos concluir que las dificultades en la conservacin de n1mero vienendadas por las resistencias de este ente para ser organi%ado desde la perspectiva de lasrelaciones simtricas (clases) y de las relaciones asimtricas (orden)'

#or el contrario, los componentes incluidos en el proceso de cuantificacin e3tensiva, simple omtrica, son elementos de gran relevancia a la hora de e3plicar la construccin del n1mero en elni:o, qui%s, porque, como dec!a Marcel Soll en su 2istoire des "ath,mati%ues'

TA la suite dNune longue et pnible evolution+ lNhomme a fini par se rendre matre de deu3techniques, qui font dsormais partie de son 0quipement mental2' lNappariement et lerecensementG/T

Bin embargo, aunque admitamos que el empare&amiento (correspondencia biun!voca) y elrecuento (enumeracin o conteo) son esquemas ms o menos espec!ficos de los procesos decuantificacin e3tensiva, no podemos olvidar que la correspondencia es solidaria de las clases yque el conteo, por e&emplo, es un esquema de correspondencia dotado de un orden 8/ OCmoes posible, entonces, que afirmemos que los esquemas de clase y orden no tengan una e3cesivarelevancia para e3plicar el constructo n1meroP

@uestra impresin es que las asimilaciones que el su&eto reali%a o, e3presado en otros trminos,las discreti%aciones que el su&eto efect1a del continuo son asimilaciones estticas (en el sentidoantiano del trmino) y, si tenemos en cuenta que relacin cuantitativa y n1mero son categor!as

dinmicas de la funcin implicativa de la inteligencia, es fcil comprender que los peque:osreali%an asimilaciones deformantesde la realidad, lo que les conduceaacomodacionesigualmente deformantesK es decir, e3isten disfunciones acomodadoras, porquee3isten disfunciones asimiladoras

Bin embargo, a partir de lo que #ierre ;rco denomin conservacin de la cotidad, el n1mero esun instrumento cognitivo para la comparacin de con&untos a fin de determinar su posibleequipotencia $sto coincide, en el mbito de las clases y de las relaciones asimtricas a unaprdida del componente espacial y ob&etal (lo esttico de la acomodacin) y a una ganancia de lotemporal y lo causal (lo dinmico de la acomodacin)
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$ste sentido dinmico es fcil de captar, ya que el tiempo es el espacio en movimiento y lacausalidad la dinmica del ob&eto $3presando de forma ms concreta esta afirmacin podr!amosdecir que la creciente movilidad de los esquemas del su&eto hace que se alcance un suficientenivel de descentracin y se pueda pasar de lo esttico del proceso de adaptacin (estados) a lodinmico de este proceso (transformaciones), con lo que la accin cobra una importancia capitalpara e3traer informacin (pensamiento lgico-matemtico) a la hora de conferir un significado ala realidad onocimiento f!sicoy conocimiento l"ico-matemticose constituyen as! en

un ee bipolarpara interpretar el mundo

$sta coordinacin de lo est-ticoy lo din-micode la funcin de adaptacinhace que la correlacine3istente entre los procesos de cuantificacin intensivay etensivatenga connotacionescausales

I",i$a$iones edu$a!ias%

Como dec!amos con anterioridad, las investigaciones sobre la construccin del n1mero y, muyespecialmente, aquellos traba&os sobre la construccin del n1mero en base a la integracin dehabilidades, han sido muy prol!ficas y han dado lugar a la aparicin de muchos modelosinterpretativos, fundamentalmente a partir del 1ltimo cuarto de siglo que acaba de concluir $nefecto, los traba&os de la $scuela de ;inebra durante el tercer cuarto del siglo precedente (.6G9-

.6HG) y el impacto de #iaget en los $stados Unidos de Amrica en el 1ltimo tercio de esa mismacenturia, especialmente en las dcadas de los 0H92 y de los 0>92, &unto con la aparicin de lasteor!as del procesamiento de la informacin, dio paso a un con&unto de propuestas integradorasentre ambas concepciones y modelos tericos que, ba&o el nombre de neopiagetianas,posibilitaron y abrieron el camino para numerosos y fruct!feros traba&os acerca de laconstruccin del n1mero a lo largo del 1ltimo cuarto de siglo que acaba de concluir

Bin embargo, estos descubrimientos altamente enriquecedores para la psicop>edagog!a de lasmatemticas no han llevado apare&ados avances isomrficos en la prctica docente y el desfaseinvestigacin-pra3is se hace cada ve% ms patente en nuestras aulas, de manera que hemosllegado a cotas de rendimiento escolar en esta disciplina que empie%an a ser muy preocupantesy que, en definitiva, lo que suponen es que la mayor!a de los alumnos no alcan%an nivelesadecuados de comprensin matemtica $n este sentido $duardo Mart! concluye en un traba&osobre psicopedagog!a de las matemticas financiado por la 4ireccin ;eneral de Jnvestigacin

Cient!fica y Lcnica del Ministerio de $ducacin y Ciencia que, en nuestro pa!s, el >8V de losalumnos de .E a:os no alcan%a el nivel de comprensin matemtica correspondiente a su edad4entro del mismo orden de cosas, el informe #isa de


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Beymour #apert se preguntaba si a los alumnos a los que se les ense: lgebra durante unprimer curso aprend!an me&or la geometr!a del curso siguiente que aqullos que durante eseprimer curso se limitaron a hacer gimnasia Ante la respuesta negativa a la pregunta seplanteaba una nueva cuestin' *Ocabe identificar y ense:ar algo distinto del lgebra o de lageometr!a y que, una ve% aprendido, facilite el aprendi%a&e del lgebra o de la geometr!aP@osotros efectuar!amos una traslacin y de la pregunta y la har!amos de otra forma' O5ay que

Qense:ar matemticasN a los ni:os o hay que hacer que Qpiensen matemticamenteNP y si la

respuesta la encontramos en el segundo trmino de la disyuncin, entonces cabr!a una segundacuestin' Oqu supone hacer que los ni:os Qpiensen matemticamenteNP

E $ono$i"ien!o .gi$o-"a!e"#!i$o

$l conocimiento lgico-matemtico (o si se prefiere, con las salvedades introducidas al principio,el conocimiento matemtico) tiene sus peculiaridades que deben ser conocidas para poderentender los mecanismos de su adquisicin y, de esta manera, elaborar las estrategias msoportunas para su ense:an%a #ero tambin tiene caracter!sticas que comparte con otros tiposde conocimiento (f!sico, social, etc) que deben incorporarse al proceso de ense:an%a yaprendi%a&e en estas etapas iniciales de la escolari%acin

#ero Oqu es este tipo de conocimiento que hemos venido denominando como conocimiento

lgico3matem-ticoP

Babemos que lo real se presenta ante el su&eto como un continuo que tiene que interpretar, loque equivale a decir que le tiene que conferir un significado, por ello interact1a con el mediointentando descomponery recomponerese continuo a fin de 0conocerlo2

=as unidades (funcionales) de conducta mediante las cules el su&eto interact1a con su entornoreciben el nombre de 0esquemas2 Un 0esquema2 es una 0forma2 que se aplica a un0contenido2 (sin lugar a dudas, que el contenido puede ser otro esquema e incluso el mismoesquema)H/ =os esquemas act1an en tres niveles que se corresponden con los tres niveles deequilibracin cognitiva descritos #or un lado, los esquemas se aplican sobre la realidad o sobrerepresentaciones de la realidad y, en su caso, sobre los propios esquemas'

$s evidente que en este proceso de interaccin el su&eto slo puede e3traer informacin de dos

elementos' la accin y el ob&eto #ues bien, la informacin que el su&eto e3trae del ob&eto recibeel nombre de conocimiento f!sicoy la informacin que e3trae de su accin sobre el ob&etorecibe el nombre de conocimiento l"ico-matemtico

Jmaginemos un con&unto de canicas de colores que se encuentran dispuestas de la siguientemanera'


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podemos decir que este con&unto est formado por una canica ro&a, una canica amarilla y unacanica a%ul #ero Oquin es ro&aP o Oquin es amarillaP o Oquin es a%ulP $videntemente lascanicas $sta es una informacin que est en el ob&eto y que yo e3traigo del mismo' elconocimiento de los colores es un e&emplo de conocimiento f!sico

Bitumonos, de nuevo, en el mismo con&unto anterior y tratemos de determinar eln1mero de canicas que tiene el con&unto Contamos las canicas comen%ando, por e&emplo, por laro&a y terminando por la a%ul'

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diremos que el cardinal del con&unto es tres, es decir, hay tres canicas

#ero imaginemos que empe%amos por la ro&a y terminamos por la amarilla'

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diremos, entonces, que el cardinal del con&unto es tres, es decir, hay tres canicas

Bigamos imaginando Bupongamos que empie%o a contar por la a%ul y termino por laro&a'

1 2 3

diremos, ahora, que el cardinal del con&unto tambin es tres, es decir, hay tres canicas

Jmaginemos las seis variaciones posibles (EX) a la hora de contar el con&unto formadopor una canica ro&a, una canica a%ul y una canica amarilla =legaremos a la conclusin de quesea cual fuere el orden en el que se cuenten los elementos del con&unto siempre obtenemos porresultado QtresN, por tanto, 0el cardinal de un con&unto parece ser independiente del orden enque se cuenten sus elementos2

$sto, indudablemente, es *conocimiento pero este conocimiento no lo he e3tra!do de la realidadsino de mi accin sobre la realidad, de mi 0accin de contarla realidad26/ =a irrelevancia delorden en el conteo es un conocimiento lgico-matemtico

=as actividades encaminadas a lograr este primer nivel de equilibrio (entre el su&eto Yesquemas- y el ob&eto Ypropiedades-) comen%arn siempre partiendo de un modelo IB(comoel descrito en el cap!tulo anterior) y tratando de disminuir la resistencia del ob&eto a la aplicacindel esquema Una tcnica posible (entre otras muchas) es poner al su&eto en situacin for%adamediante un problema de carcter, generalmente, dicotmico #or e&emplo, imaginemos que le


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damos a un ni:o, que se encuentra en la etapa de intuiciones simples (7 a:os,apro3imadamente), un con&unto de elementos formado por figuras geomtricas (cuadrados,tringulos y c!rculos) de dos tama:os (grandes y peque:os) y tres colores distintos (ro&os,a%ules y verdes) Bi, una ve% reconocidas las caracter!sticas de los elementos que va amanipular, le pedimos que ponga en marcha un esquema de clase (relaciones deseme&an%aZequivalencia) a travs de una consigna comprensible para el su&eto (supongamos queentiende perfectamente lo que quiere decir *pon &untos los que se parecen), el peque:o podr!a

hacer tres montones' cuadrados, tringulos y c!rculos (criterio forma)

Bi, a continuacin, le decimos' *$st muy bien, pero ahora intenta hacerlo de otra forma, esdecir, no vale poner &untos los cuadrados, los c!rculos y los tringulos Leniendo en cuenta queel Qcriterio colorN es un criterio que, genticamente hablando, presenta una dificultad similar al

Qcriterio formaN, ser muy probable que la e&ecucin del su&eto consista en destruir los tresmontones anteriores y volver a reali%ar otros tres montones, pero esta ve% teniendo en cuenta elcolor' ro&os, a%ules y verdes #or estar a nivel de intuiciones simples, aunque los criterios formay color los mane&a con una aceptabilidad que raya en lo operacional, no puede mane&arsimultneamente ambos criterios (carcter aditivo o unidimensional del pensamiento que, entrminos piagetianos, equivaldr!a a decir)centracin0) y, por eso, a la hora de discreti%ar elcontinuo que se le presenta, es imposible que considere a la ve%, la forma y el color (por eso seve obligado a destruir la reali%ado y comen%ar de nuevo la e&ecucin, a partir de otro criterio)

$l residuo del ra/ona"ien!o !ransdu$!iode los su&etos (propio de la etapa preconceptual)hace que, en este primer nivel de la etapa intuitiva, sus e&ecuciones estn dominadas por la

Qsucesividad inter-coleccionesN, como durante la etapa anterior determin la Qsucesividad intra-coleccionesN, es decir, ahora hay simultaneidad intra-coleccin (inductividad) y sucesividad inter-coleccin (transductividad).9/

Bi, por 1ltimo, le pedimos que utilice el tercero de los criterios (tama:o), dicindole' *$st muybien, pero ahora intenta hacerlo de otra forma, es decir, no vale poner &untos los cuadrados, losc!rculos y los tringulos, como hiciste antes, ni los ro&os, los a%ules y los verdes, como has hechoahora $s posible que el su&eto rebuscara entre las distintas figuras geomtricas (como si tratarade encontrar un nuevo criterio) y finalmente nos di&era' *no se puede

Ante esta situacin podr!amos decir que nuestro su&eto es capa% de organi%ar lo real desde la

perspectiva de 0las seme&an%as2 utili%ando los criterios QformaN y QcolorN, pero no con relacin alQtama:oN y, adems, los criterios que es capa% de utili%ar no se coordinan entre s!

4adas las caracter!sticas del pensamiento del peque:o nos podr!amos plantear dos ob&etivos'

a) disminuir la resistencia que el criterio tama:o (?o) presenta para poner en marchaesquemas de seme&an%a (As) con este criterio (Is), a fin de que pueda establecer colecciones enbase al tama:o (Mo)K yZo

b) conducir el pensamiento del su&eto hacia un modelo II Bpor coordinacin de losobservables en el ob&eto (forma y color) y en sus acciones de clasificacin de lo real (en base aesos criterios)

$n el primero de los casos (encontrar yZo hacer operativo un nuevo criterio), comoreconoce el criterio Qtama:oN, pero la Qfuer%aN de los criterios QformaN y QcolorN anula suoperatividad, deber!amos de partir de situaciones en que los criterios QfuertesN no se encontraranoperativos #or e&emplo, si de&amos constantes los criterios QformaN y QcolorN, utili%ando unmaterial compuesto slo por cuadrados ro&os grandes y peque:os y le damos al su&eto laconsigna *pon &untos los que se pare%can, haciendo dos montones, lo ms probable es querealice esos dos montones, colocando en uno los *grandes y en otro los *peque:osK aunque, sile preguntamos Opor qu se parecen los elementos de cada montnP, la respuesta vendr!a dadaen trminos de QformaN, *porque son cuadrados, y si, a continuacin, le decimos *pero si todos


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son cuadrados Opor qu no los pones todos &untosP, es casi seguro que nos dir!a *porque t1 mehas dicho que haga dos montones

Bi partiendo de los dos montones que ha construido, vamos dndole, de una en una, elresto de las figuras geomtricas en un !ndice de dificultad creciente (desde la perspectiva de lasrelaciones de seme&an%a)K por e&emplo, en primer lugar un cuadrado grande a%ul (difiere en elcolor del 1ltimo elemento del montn de los cuadrados grandes), luego un cuadrado verdepeque:o (id con relacin a los peque:os), seguimos con un c!rculo peque:o verde (se aseme&aen el color al 1ltimo elemento peque:o colocado), un tringulo grande a%ul (id con relacin a losgrandes), etc, dicindole siempre' *y ste, Oen qu montn lo pondr!asP (si, en alg1nmomento, di&era que no se puede poner en ning1n montn porque no se parece a ninguno, se ledir!a' *bueno, es igual, pero t1 ponlo en uno, en el que me&or creas que est)

Al final de la tarea, el ni:o tendr!a dos montones, los QgrandesN y los Qpeque:osN y, si lepreguntamos en qu se parecen los elementos de cada montn, es muy probable que nos dierala solucin del tama:o

4e la misma manera que hemos introducido la cualidad de tama:o, tal y como hemos de&adorefle&ado en lasonclusionesde este traba&o, deber!amos introducir la cualidad n1mero, atravs de actividades similares Jgualmente, al mismo tiempo que traba&amos las relaciones

0ms que2 Z 0menos que2 o 0mayor que2 Z 0menor que2 con distintos criterios y cualidadesf!sicas, tambin deber!amos hacerlo con los criterios de n1mero y las cualidades numricasestablecidas en los con&untos $sta 0ordenacin2 tambin se deber!a introducir a otrascualidades de lo real (sonidos Yms grave, menos grave-K colores Yms ro&o, menos ro&o-K etc)porque todo es QseriableN

4e hecho, en situaciones coloquiales, es fcil encontrar momentos en los que se establece o sepide que se QserienN cualidades de muy dif!cil ordenacin porque pertenecen a subcon&untos nocompatibles, como afectos (*a quin quieres ms, a pap o a mam, *yo quiero ms a A que aS), relaciones sociales (*A es ms amigo m!o que S), conductas socio-pol!ticas (*A es msdemcrata que S)

$n el segundo de los casos, (lograr la coordinacin de observables en el ob&eto y en la accin),partir!amos, como hemos dicho de un modelo tipo IIB../'

=a tcnica a utili%ar ser!a similar al primero de los casos Leniendo en cuenta que el criterioforma parece predominante sobre el criterio color.


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verdes), con tres subcolecciones cada una (cuadrados, tringulos y c!rculos), lo que supone uninicio en la coordinacin de los dos criterios y un enriquecimiento de los esquemas declasificacin que va a marcar la posibilidad de trnsito de la subetapa de intuiciones simplesala de intuiciones articuladas

$sta posibilidad de articulacin de dos criterios, es decir, del traba&o sistemtico con dosdimensiones del ob&eto, hace que el pensamiento, hasta ahora aditi#o(acciones interiori%adassobre una 1nica dimensin del ob&eto), devenga enmultiplicati#o(acciones interiori%adas sobredos dimensiones del ob&eto, consideradas de manera simultnea)

$s fcil de comprender que, a partir de esta situacin, podr!amos llegar a establecer laposibilidad de divisin de los con&untos establecidos ba&o el criterio QformaN, en subcon&untosdeterminados por el criterio color, con lo que dir!amos que el pensamiento es conmutati#o

@otemos que, cuando hemos llegado a esta situacin, el su&eto puede comen%ar a traba&ar conlo que "ean #iaget, Alina B%eminsa y S\rbel Jnhelder denominaron clasificacionesmultiplicativas.7/y correspondencia m1ltiple, conducente a la multiplicacin numrica.G/, demanera que puede llegar a resolver una situacin como la siguiente'

Bea un con&unto de tringulos, cuadrados y c!rculos sin pintar (color madera) y dos botes de

pintura de dedos (ro&a y a%ul) Bi se pintan las figuras con los dos colores Ocuntas clasesdistintas se pueden formarP

Bi multiplicamos (consideramos simultneamente) tres(E) clases de figuras geomtricaspor(3) dos(


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Cuando este segundo nivel de equilibrio se alcan%a decimos que hay una coordinacin deesquemas

Una coordinacin de esquemas es un nuevo esquema y por tanto, una nueva ley de composicin

*diferente a las anteriores, es decir a aquellas que determinaban los esquemas de partida quese coordinan'

(E1 coord.E2= E3)

Continuando con nuestro e&emplo anterior, podemos decir que una ve% constituidos losesquemas aditivos y multiplicativos y adquirida la movilidad suficiente, o si se prefiere, perdidala rigide% inicial de los segundos.8/, deben coordinarse, con el fin de ir constituyendo yenriqueciendo el sistema (la estructura) de cuantificacin del su&eto Ou supone lacoordinacin de esquemas aditivos y multiplicativosP $videntemente, y por lo dicho con

anterioridad un nuevo esquema y, por tanto una nueva ley cognitiva OCul es ese esquemaP,Ocul es la ley de composicin que lo caracteri%aP, Oqu supone para el pensamientoP y,finalmente, Ocmo podemos lograr que se produ%ca la coordinacin necesaria para suconstitucinP

Jmaginemos que, sobre su e&ecucin anterior, le preguntamos a nuestro peque:o' OCuntas delas figuras geomtricas tienen puntas (vrtices) y cuntas noP Al pintarlos de colores, Ocuntosmontones tienen puntas y cuntos noP Bepara los que tienen puntas de los que no las tienen

?etomemos pues nuestra disposicin multiplicativa anterior con una peque:a modificacin'


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$s evidente que hay dos(


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=legados a este punto hemos de efectuar dos importantes aclaraciones $n primer lugar, elhecho de que un su&eto adquiera o construya un esquema aditivo, multiplicativo o partitivo,incluso que su pensamiento sea distributivo, no quiere decir que sepa sumar, multiplicar o dividir,en el sentido aritmtico de estos trminos =o que quiere decir es que posee instrumentoscognitivos para iniciar, de alguna forma, el aprendi%a&e de las operaciones aritmticas $nsegundo lugar, el hecho de que hayamos planteado actividades de aprendi%a&e que han generadodesarrollo (por e&emplo, pasar de las intuiciones simples a las intuiciones articuladas), no indica,

en modo alguno, que nos situemos en una perspectiva vigotsiana frente a una posicinpiagetiana.H/ @osotros consideramos que el binomio aprendi%a&eZdesarrollo es un pardialctico y no conferimos preponderancia a ninguno de los dos polos del par.>/ $n efecto, sihemos postulado una actividad de aprendi%a&e que ha posibilitado el paso de las intuicionessimples a las intuiciones articuladas, tambin acabamos de decir que el aprendi%a&e de la suma yde la multiplicacin requiere un cierto nivel de desarrollo de los esquemas aditivos ymultiplicativos, respectivamente

Los esue"as o,era!orios%

5asta ahora slo hemos hecho referencia e3pl!cita a la adquisicin de los esquemas numricosdesde la perspectiva de la funcin de adaptacin, es decir, como el equilibrio necesario entre laasimilacin y la acomodacin, pero para el proceso de ense:an%a y aprendi%a&e es necesario

estudiarlo tambin desde la perspectiva de la funcin de organizacinpuesto que, para que elpensamiento pueda ponerse de acuerdo con lo real, primero ha de estar de acuerdo consigomismo

#ara #iaget, el sistema cognitivo humanoest constituido por dos subsistemas' $lsu$sistema%(que es el sistema de 0comprender2 o 0conceptual2) y elsu$sistema %%(que es el sistemade 0saber hacer2 o 0procedimental2), es decir que, para #iaget, &conocer' es(indisocia$lemente( &comprender' ) &sa$er *acer' $n efecto, en .6H6, #iaget e Jnhelderintroducen un nuevo par dialctico en la teor!a del eminente epistemlogoginebrino.6/vinculado a la funcin reguladora de la inteligencia'estructuras versusprocedimientos o $ono$i"ien!o de$ara!ioversus$ono$i"ien!o,ro$edi"en!a $l conocimiento declarativolo constituyen los hechos, los conceptos y losprincipios


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Consiste en lograr el enriqueci-mientocognitivo encontrando le-yes decomposicin entre conoci-mientos yestructuras anteriores

Consiste en lograr el enriqueci-mientocognitivo a travs de la variedad'alcan%ar el ob&etivo por caminosdiferentes

Bin embargo, aunque slo e3isten dos subsistemas cognitivos (comprender y saber hacer) yparece que ambos se encuentran dotados de los instrumentos adecuados (esquemaspresentativos y esquemas procedimentales), es necesario recurrir a un tercer con&unto deesquemas porque e3iste un conocimiento que es indisociablemente declarativo y procedimental$ste tercer con&unto de esquemas es nominado por #iaget con el nombre gentico deesquemasoperatorios

$n efecto retomemos nuestro e&emplo de las canicas y tratemos de determinar el cardinal delsiguiente con&unto mediante la aplicacin de un esquema de conteo'

. < E 7 G 8

Comen%aremos con el punto inicial de la serie numrica e iremos atribuyendo un numeral y sloun numeral, de forma iterativa, a cada uno de los elementos del con&unto, de forma biun!voca, ydiremos' *uno, *dos, *tres, *cuatro, *cinco y *seis 5ay seis canicas

Bupongamos que las canicas se disponen de la siguiente forma'

$s muy probable que, ante esta nueva situacin apliquemos el mismo esquema, es decir, elesquema de conteo, pero que esta ve%, en lugar de contar siguiendo la serie de los n1merosnaturales, lo hagamos siguiendo la serie de los n1meros pares' *dos, *cuatro y *seis 5ay seiscanicas

Be ha variado la Qdisposicin espacialN de los elementos y hemos QmodificadoN el esquema deconteo, la QmaneraN de contar 5emos utili%ado el mismo es%uemapero medianteunprocedimientodiferente

Ou podr!amos decir del esquema de conteoP $videntemente, que se trata de un esue"a

,ro$edi"en!aporque al variar la disposicin espacial de los elementos, y en aras de sueficiencia, el procedimiento de contar ha sido modificado, por tanto, est su&eto a variacionesespacio-temporalesK est dirigido a alcan%ar un ob&etivo (determinar el cardinal del con&unto)K lacomprensin consciente de su e&ecucin no es necesaria (lo importante es contar efica%(correctamente) y eficientemente (con rapide%)K se desarrolla mediante una cadena secuencialen la que los enlaces son sustituidos de manera parcial (secuencia (n) vs secuencia (


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0cinco2, y el 0cuatro2, y el 0tres2, etcK entonces Opor qu no hemos dicho que hay 0cinco2, o0cuatro2, o 0tres2+ canicasP Jgual ha ocurrido cuando hemos contado la segunda de las seriesque hemos pronunciado los numerales 0dos2, 0cuatro2 y 0seis2 y, a pesar de ello, hemosafirmado que hay seis canicasy no cuatro ni dos $sto se debe a que hemos aplicadoelprincipio cardinal que viene a decir que *el cardinal de un con&unto viene determinado porel numeral aplicado al 1ltimo elemento contado $sto es as!, independientemente de ladisposicin espacial de los elementos del con&unto, por tanto, no est su&eto a variaciones

espacio-temporalesK es necesaria su comprensin conscienteK permite responder a la preguntaOpor qu hay seis canicas en ese con&untoP, luego est destinado a comprender las ra%ones+ $spor tanto un conocimiento declarativo (no en vano lo denominamos 0principio2 cardinal), lo quenos conduce, sin solucin de continuidad, a decir que el esquema de conteo es un esue"a,resen!a!io

#ero, Ocmo puede un esquema ser, a la ve%, presentativo y procedimentalP, Ocmo puedegenerar, simultneamente, un conocimiento declarativo y procedimentalP =a respuesta vienedada por el hecho de que elesue"a de $on!eoes un esue"a o,era!orio

Uno de los problemas de la ense:an%a en general, y de las matemticas en particular, es que elmaestro tiende a que el su&eto Qsepa hacerN, lo que equivale a decir que se fi&a ob&etivosprocedimentales descuidando los ob&etivos declarativos, con lo que est castrando el sistema

cognitivo del individuo #odr!amos decir, parafraseando la suprema iron!a de dNAlembert, que suprincipio gu!a de la ense:an%a es' seguid haciendo, el conocimiento vendr despus


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$n efecto, en cada momento se adquiere un cierto nivel matemtico que est en continuocambio #or e&emplo, hemos podido comprobar, en la macrog,nesis, un desarrollo que podr!aperfectamente responder a la siguiente secuencia'

esquemas aditivos ` pensamiento aditivo conmutativo ` generali%acin de los esquemasaditivos ` esquemas multiplicativos ` pensamiento multiplicativo conmutativo ` coordinacin deesquemas aditivos y multiplicativos pensamiento distributivo +

Anali%ando el desarrollo de los esquemas de conteo, se puede comprobar igualmente, peroahora en la microg,nesis, una secuencia evolutiva' aplicacin de palabras-n1mero (no tienen porqu ser numerales), sin ning1n tipo de orden, a los ob&etos (uno, tres, doce, nueve,

*veinticatorce, seis+) ` aplicacin de numerales, sin ning1n tipo de orden, a los ob&etos (uno,tres, doce, nueve, siete+) ` aplicacin de numerales a los ob&etos en un orden (sabe que unaspalabras se dicen antes que otras) no estable (uno, tres, seis, nueve, once+, aunque otras vecespuede decir' uno, dos, cuatro, nueve+) ` aplicacin de numerales a los ob&etos con un ordenestable que no responde a la cadena de los n1meros naturales (uno, tres, siete, nueve,+ y sivuelve a contar el mismo con&unto repite la misma serie' uno, tres, siete, nueve,+) ` aplicacinde numerales a los ob&etos con un orden estable que se corresponde con la cadena de losn1meros naturales (uno, dos, tres, cuatro, cinco,+) pero que tiene carcter irrompible (siemprese empie%a a contar por el n1mero QunoN) ` + `

$ste conocimiento se apoya en cada momento, como acabamos de comprobar, en un lengua&edeterminado, de manera que las e&ecuciones correctas o incorrectas del su&eto hemos deanali%arlas desde la 0historicidad ontogentica2 #or e&emplo, cuando le damos a un ni:o decuatro a:os (apro3imadamente) una cantidad discreta compuesta, por e&emplo, por un con&untode siete fichas y le pedimos que construya un con&unto ms numeroso que el que nosotroshemos construido es probable que su e&ecucin sea la siguiente'

Bin embargo, si le pedimos que construya un con&unto menosnumeroso que el nuestro, podr!areali%ar algo similar a esto'

$sto nos aventurar!a a decir, errneamente, que el su&eto sabe construir un con&unto menosnumeroso que otro dado, pero no construir un con&unto ms numeroso que otro

Bin embargo, si el su&eto aprende (tambin) por imitacin, ser!a muy dif!cil sostener esaafirmacin porque, en el lengua&e coloquial, la e3presin 0ms que2 es com1nmente utili%ada,mientras la e3presin 0menos que2 est prcticamente en desuso (nosotros decimos' ms alto-ms ba&oK ms grueso-ms delgadoK ms largo-ms corto+K y casi nunca recurrimos ae3presiones como menos alto, menos grueso, menos largo+) 4esde esta perspectiva parecems sensato que el peque:o *aprenda antes el significado del m-sque el significadodel menos(siquiera por las dificultades en la construccin de las negaciones)


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Bupongamos ahora que le damos un con&unto formado por tres elementos y le pedimos queconstruya un con&unto ms numeroso que el que nosotros hemos hecho $l ni:o podr!a haceralgo muy parecido a lo siguiente'

#ero si ahora le decimos que, frente a nuestro con&unto de tres elementos, ponga unomenos numeroso que el nuestro su e&ecucin ser!a'

Biguiendo con nuestras conclusiones disparatadas dir!amos que ahora es capa% deconstruir un con&unto ms numeroso que otro dado, pero no un con&unto menos numeroso

@inguna de las dos conclusiones son correctas $l su&eto es *uno y no puede ser, a lave%, hbil e inhbil =a realidad es la siguiente'

=os trminos 0ms2 y 0menos2 tienen un carcter ob&etivo (&u%gue quien &u%guecomparativamente dos con&untos homogneos, el con&unto ms numeroso es mayor y+ punto)Bin embargo, la dificultad de descentracin de los peque:os en estas edades hace que sesub&etivicen los trminos del lengua&e, por eso el su&eto asocia los vectores ling!sticos ob&etivos0ms2 y 0menos2 a los escalares sub&etivos 0muchos2 y 0pocos2 (lo que para alguien esmucho, para otra persona puede ser poco, lo que en un momento determinado puede sermucho, en otro momento puede ser poco+), de manera que cuando yo le doy siete elementos yle digo que ponga ms l interpreta que yo he puesto muchas y que el tiene que poner (ms)muchas como yo Cuando le digo que ponga menos l interpreta que yo he puesto muchas y que

le estoy pidiendo que ponga (menos) QpoquitasN

Una ve% que sabemos lo que son QpoquitasN para el peque:o (E), le damos un con&unto de treselementos (de pocas fichas, utili%ando su estimacin) y le digo que ponga ms que yo $ntoncespiensa que yo he puesto pocas y le pido que ponga (ms) muchas, por lo que coloca cinco fichasque, en ese momento y para la realidad *fichas, suponen para l muchas #or el contrario,cuando yo le doy esas tres fichas (que son pocas para el ni:o) y le pido que ponga menosinterpreta lo siguiente' *5a puesto pocas y me dice que ponga (menos) poquitas como l, por lotanto, pone tambin tres fichas

Jgualmente, el conocimiento del su&eto se apoya en un con&unto de proposiciones aceptadas porel pensamiento en un momento determinado de la ontognesis $n efecto, cuando ante laprueba de conservacin de las cantidades discretas que nosotros hemos utili%ado, le ped!amos alos su&etos que frente a una coleccin de siete fichas pusieran las mismas que nosotros y

reali%aban la siguiente e&ecucin'

no es que reali%ara una e&ecucin incorrecta, es que la proposicin aceptada como verdad parasu pensamiento es que 0dos colecciones que tienen la misma longitud son iguales2


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Biguiendo la propuesta de îtcher, el conocimiento matemtico se genera a partir de un con&untode cuestiones importantes y de problemas no resueltosK pero, o&oX, de cuestiones importantespara el su&eto (motivacin) y de problemas no resueltos por el su&eto pero que se encuentren,como dir!a [igotsy, en su %ona de desarrollo pr3imo, es decir, que se puedan resolvermediante procesos de equilibracin mayorante $ste componente determina los ob&etivos ycontenidos educativos en el proceso de ense:an%a y aprendi%a&e y &ustifica cualquier opcinmetodolgica en el seno del paradigma constructivista que garanti%a, no slo la construccin de

significados (cognicin), sino, adems, la atribucin de sentido (motivacin)

$l conocimiento lgico-matemtico necesita apoyarse tambin en un con&unto de formas dera%onamiento de las que va a depender el tipo de este conocimiento y las formas de suadquisicin $n este sentido, a lo largo del desarrollo, encontramos tres formas de ra%onamientoa la hora de elaborar una construcciones mental, determinar los contenidos intencionales de lasacciones y conferir un significado de lo real' ra%onamiento !ransdu$!io(que va de lo particulara lo particular), ra%onamiento indu$!io(que va de lo particular a lo general) yra%onamiento dedu$!io(que va de lo general a lo particular)

Iinalmente îtcher postula que el conocimiento matemtico depende de un con&unto de visionesdel hacer matemtico, es decir, de cmo se hacen matemticas =as cuatro grandes l!neasbsicas en el saber y en el hacer matemtico son las siguientes'

_ Constructivista4 que emana de Srouer y, fundamentalmente, de ânt y que suponeaceptar que son las entidades reales las que, al permanecer o transformarse, provocan elpensamiento matemtico y, al hacerlo, obligan a la construccin de formas y estructuras quetratan de captar, de alguna manera, los procesos reales y provocan la construccin de modelosposibles de esa realidad

_ Empirista4que tendr!a a Mill como m3imo e3ponente y que se plantea la cuestin decmo se alcan%a el conocimiento y cmo se enla%a la matemtica con lo real (enlace que seestima como algo ms que un mero accidente)

_ 5ogicista4que teniendo a Irege como autor ms representativo y que se apoya en elproceso demostrativo a partir de unos contenidos de pensamiento puro y se plantea la necesidadde unas conceptograf!as bsicas, diferentes del lengua&e natural, para la e3presin del *hacermatemtico

_ 6ormalista4apoyada en el poder del signo y de lo ideogrfico, y que se plasma en losprocesos algebraicos, en el 0Anlisis2 de $uler y =agrange, en los principios de permanencia deleyes formales, en el inscripcionismo s!gnico de 5eine o Lhomae y que culmina con el formalismofinitista de 5ilbert

=as nociones matemticas deben ser, por tanto y por este orden, constructivas (provocando elpensamiento matemtico), emp!ricas (enla%ando siempre el contenido matemtico con larealidad circundante al su&eto), lgicas (diferenciando lo real de la accin, el mundo f!sico delpensamiento, el lengua&e natural del gua&e matemtico) y formales (sostenidas por sistemas derepresentacin espec!ficos y por la permanencia e invarian%a de las leyes cognitivas que son, en1ltimo lugar, de naturale%a lgico-matemtica)

Leniendo en cuenta todas estas cuestiones y el hecho de que nuestro traba&o haya puesto demanifiesto el componente cualitativo del n1mero en todo su desarrollo anterior a la conservacinde la 0cotidad2 y, por tanto, la necesidad de utili%ar actividades numricas cualitativas, previas acualquier estado de cuantificacin, en el proceso de ense:an%a y aprendi%a&e del n1mero en$ducacin Jnfantil y de manera equivalente a otras *cualidades no numricas (como el color, eltama:o, etc), as! como qu esquemas y qu coordinaciones de esquemas resultan msrelevantes para la adquisicin del n1mero, podr!amos proponer un e&emplo de aprendi%a&e de lasnociones numricas que, a grandes rasgos, podr!a ser el siguiente'


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Lomemos un con&unto de seis pare&as idnticas de animales, cada pare&a de un color distinto yde un tama:o tal que cada uno de los animales pueda caber en un cubo de 7 cm de arista

Lomemos tambin doce cubos de G cm de arista y con el borde pintado del mismo color que losanimales, de modo que a cada pare&a de animales le corresponda una pare&a de cubos con elborde pintado del mismo color que los animales (a una pare&a de animales amarillos, lecorresponden una pare&a de cubos con su borde pintado de amarillo) y tres recipientes decapacidad equivalente a cinco de los cubos anteriores, dos de ellos idnticos (A y AN) y el terceroms estrecho y, por tanto, ms largo (S)K con la condicin de que si uno de los dos recipientesidnticos (A o AN) se encuentra lleno (G cubos de capacidad) y el segundo (S) slo contienecuatro unidades (7 cubos de capacidad), la altura del l!quido es todav!a ligeramente superior a ladel recipiente ms ancho que se encuentra lleno

A continuacin se presentarn al ni:o cinco animales distintos, pidindole que d a cada uno delos animales un depsito de agua (cubo), para ello podemos contarles un cuento cuya base esten la necesidad que los animales tienen de agua, incitndole, de esta manera a llenar losdepsitos con agua para cada uno de los animales y con la misma cantidad para que no seenfaden o discutan sobre quin tiene ms agua (se utili%ar un recipiente con el borde pintadodel mismo color que la piel del animal) Una ve% reali%ada esta primera actividad se reali%anpreguntas de pertenencia para refor%ar la correspondencia (Odnde est el agua del+P, Ode

quin es el agua de este depsitoP, etc), si presentaran alguna dificultad para establecerla seles induce a que introdu%can cada animal en su depsito

=uego, se les pasa a contar una historia conducente a la necesidad de constituir un 0poblado2,por lo que habr!a que verter el agua de cada animal (cubo) en un gran depsito (A) ?eali%adaesta nueva operacin se vuelve a interrogar sobre la pertenencia del agua (Odnde est ahora elagua de +P) y ms tarde sobre el n1mero de animales que pueden beber del depsito quepertenece al 0poblado2 (si hubiera problemas para la cualificacin numrica se introducen losanimales en el depsito), hacindole llegar a la conclusin que el 0todo2 formado estcompuesto por 0cinco partes2 y slo cinco

A partir de aqu! se contin1a con acciones de adicin y sustraccin' y si viene un nuevo animalOque tendr que hacer para poder beber del depsito del 0poblado2P, y si se va el+ Oqu tendrque hacer para no pasar sedP, etc

Una siguiente fase consistir!a en constituir una situacin anloga que condu&era a tener ante s!dos 0poblados2 idnticos' *Mira, ahora vamos a de&ar este 0poblado2 aqu! y haremos un nuevo0poblado2 con animales idnticos a estos $sto nos conducir a tener dos depsitos de cincounidades de capacidad en cada uno

#artiendo de esta situacin continuamos con una narracin que nos permita a:adir o quitarunidades del depsito preguntndoles siempre por la comparacin entre los depsitos de los dos0poblados2, de manera que su accin no entrar nunca en conflicto con su percepcin puestoque cuando se a:aden unidades aumenta el nivel del l!quido en el recipiente y cuando se retirandisminuye, pero nosotros le preguntaremos siempre sobre el n1mero de animales que puedenbeber agua de los recipientes #or e&emplo, una ve% retirado un animal de uno de los0poblados2, conservando los cinco animales en el otro, preguntar!amos' OCuntos animales

pueden beber en este 0poblado2 (A)P Ocuntos animales pueden beber en este otro (AN)P,entonces Odnde hay ms agua, en este 0poblado2 (A) o en este (AN), reiterando las preguntasinicialesK Ocuntos animales me has dicho que pueden beber aqu! (A)P Oy aqu! (AN)P

=a siguiente situacin ser!a idntica a la anterior, pero pidindole el establecimiento de lacorrespondencia, no sobre los elementos, sino sobre los despla%amientos del l!quido' *Bi el+ selleva su agua, Ohasta dnde llegar!a el agua del depsitoP #idindole siempre las ra%ones' Oporqu crees t1 que llegar!a hasta aqu!P


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$sta situacin de anticipacin f!sica, la trasladaremos, inmediatamente, a una situacin deanticipacin numrica' si el+ se lleva su agua Ocuntos animales podr!an beber entonces deldepsitoP, Odnde estar!a el agua del+P

Iinalmente, le contar!amos una historia que &ustificara que los animales del poblado (AN) van allevar su agua a otro depsito (S), con lo que, una ve% trasladada, la altura alcan%ada essensiblemente mayor $ntonces se le pregunta si hay ms agua en A o en S Bi la respuesta esS, se le interroga sobre el n1mero de animales que pueden beber en cada depsito (si fueranecesario se introducir!an los animales en sus depsitos y se vaciar!a el agua &unto con losanimales, de manera que hubiera una percepcin del n1mero de animales, al igual que la hay dela altura del agua) Bi sigue manteniendo que A S se le pide que anticipe cuntos cubos sepodr!an llenar con el agua de A y cuntos con el agua de S Biempre se le pedir que &ustifiquesu respuesta

Como la &ustificacin vendr dada siempre en trminos perceptivos, se le plantea una nuevasituacin en la que se parte de los dos depsitos con las cinco unidades Be le vuelve ainterrogar por la igualdad y, lgicamente, seguir manteniendo su posicin de que A S por queen S *es ms alto $ntonces se le dice' *mira, el animal+ (del depsito S) se marcha y, portanto, se lleva su agua, Ocuntos animales pueden beber de este depsito (A)P Ocuntos puedenbeber de este otroP $sta nueva situacin hace que entre en conflicto lo numrico y lo perceptivo

AG S7, pero A=es todav!a menor (menos alto) que S= Bi se inclina por la solucin numrica, sele dice, pero t1 hab!as dicho que *donde es ms alto hay ms =o que le lleva a situar laevaluacin numrica en su &usta medida Bi todav!a se inclina por la solucin de la altura,buscar!amos un nuevo recipiente en dnde tuviramos la misma situacin pero en la relacin Econtra G, es decir, A con cinco unidades y S con tres unidades, pero la altura en S algoligeramente mayor que la altura en A

4e esta manera seguir!amos procediendo hasta afian%ar la evaluacin numrica (el n1mero)como un elemento fundamental a la hora de discreti%ar un continuo, es decir, como instrumentode asimilacin de lo real

5asta este momento hemos planteado siempre las actividades con carta de naturale%aindividual, pero nada est ms le&os de la realidad de nuestro pensamiento que postular que elproceso de ense:an%a y aprendi%a&e del n1mero y las nociones numricas de base (como las de

cualquier otro contenido matemtico o de otras reas curriculares) deba reali%arse a partir deactividades individuales, antes bien, todas las actividades deber!an plantearse seg1n unaestructura de tarea que favoreciera la interaccin entre iguales y la organi%acin cooperativa delaula $l proceso de interaccin entre iguales es fundamental para la adquisicin del conocimientoy, tanto desde planteamientos sustantivos y tericos de carcter general -bien sea desde laperspectiva de la $scuela de ;inebra (conflicto socio-cognitivo), bien sea desde la perspectivavigotsiana (%ona de desarrollo potencial)-, como desde planteamientos espec!ficos(investigaciones espec!ficas en aprendi%a&e cooperativo) se pone de manifiesto la rentabilidad dela interaccin entre iguales $n este sentido, una buena parte de nuestra investigacin se hacentrado en el traba&o cooperativo en el aula, abarcando, tanto aspectos generales, comoaspectos aplicados al mbito de la ense:an%a de las matemticas

Considera$iones )inaes%

=a elaboracin de actividades de aprendi%a&e para la adquisicin del n1mero y los esquemaslgico-matemticos de base, no es una tarea fcil, pero adems, el profesor se encuentra conuna serie de limitaciones que van desde su propia e inadecuada formacin, hasta defectos delsistema, pasando por tpicos errneos y tradiciones nefastas

Comen%ando por estas 1ltimas podemos observar que e3iste una peligrosa tradicin en laeducacin de no sistemati%ar el proceso de ense:an%a y aprendi%a&e, de manera que se generalo que Csar Coll denomin como un problema de *opinionitis y que es debido a laasistemati%acin del proceso instruccional $n efecto, cuando un ingeniero e3plica cmo se


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construye un puente, un arquitecto cunto cemento se necesita para establecer el arma%n deun determinado edificio o un ciru&ano cmo se efect1a una laringectom!a, slo otro tcnico,equiparable a l en conocimientos, opina sobre el temaK esto se debe, sin lugar a dudas, a quela construccin de un puente o un edificio, o la reali%acin de una determinada intervencinquir1rgica, son procesos altamente sistemati%ados Bin embargo, cuando se habla deinstruccin, cada individuo es un maestro y se siente con el derecho de decir, qu, cundo ycmo se debe ense:ar un contenido instruccional a un alumno determinado


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de decisin instruccional, en sus distintos niveles, nos encontramos con planteamientos tericoscorrectos pero de dif!cil traduccin al lengua&e del aula (el tringulo interactivo constituye launidad de anlisis de los procesos de ense:an%a y aprendi%a&e) o con frases grandilocuentes dedif!cil interpretacin para el maestro (en la construccin del conocimiento en el aula hay quetener en cuenta el papel mediador de la actividad mental constructiva del alumno) 4esde estaperspectiva, podemos observar en nuestras aulas *planteamientos constructivistas que ignoranla unidad lgica y psicolgica del tringulo interactivo, *metodolog!as constructivistas que

ignoran la actividad mental del alumno o *anlisis de tareas constructivistas en donde laestructura lgica y psicolgica de las matemticas son profanadas de la forma ms impune queuno pudiera imaginar, etc $sto denota que, pese a la buena voluntad y al enorme esfuer%o quedesarrollan en su autoformacin, nuestros maestros no han sido formados para estar *a la alturadel paradigma constructivista

Wtro handicap con el que se suele encontrar el profesorado, sobre todo de los niveles educativosinferiores es un con&unto de tpicos que desvirt1an el proceso de ense:an%a y aprendi%a&e desdeuna perspectiva logocntrica $n este sentido, cuando se habla de conocimiento lgico-matemtico, es frecuente encontrar en los manuales de $ducacin Jnfantil e3presiones que son0verdades a medias2 (y ya se sabe que la peor mentira es una verdad a medias) como, pore&emplo, *el color es una caracter!stica de tipo cualitativo o cualidad+ (y) el n1mero de ob&etosde una coleccin es una caracter!stica de tipo cuantitativo, o sea, se puede cuantificar o medir#ues bien, si tenemos un Qcon&untoN o QgrupoN de ob&etos (A) constituidos por seis figurasgeomtricas ro&as, otro Qcon&untoN o QgrupoN de ob&etos (S) constituido por cuatro figurasgeomtricas ro&as, y un tercero (C) constituido por seis figuras geomtricas a%ules, tenemos' A S (haciendo abstraccin de la cualidad Qn1meroN)K A C (haciendo abstraccin de la QcualidadNcolor) y S C (haciendo abstraccin de las QcualidadesN color y n1mero), de manera quepodr!amos calcular la unin de A, S, y C (A 'S 'C figuras geomtricas) 4e la mismamanera A S (porque la QcualidadN n1mero difiere en ambos con&untos)K A C (porque la

QcualidadN color difiere en ambos con&untos) y S C (porque, tanto la QcualidadN de n1mero,como la de color son diferentes) $s evidente, por tanto, que la cualidad n1mero es equiparablea la cualidad color $n este sentido se puede decir que el n1mero tiene un car-cter cualitativo

#or el contrario, la QcualidadN ro&o puede ser 0medida2 (ie longitudes de onda) y puede ser0ordenada2 (ser ms ro&o o ser menos ro&o)K por e&emplo no es e3tra:o escuchar e3presionestales como *ests ms ro&o que un pimiento que quiere significar que la persona en cuestin

tiene una intensidad de ro&o en el rostro mayor que la intensidad de ro&o de un pimiento de esecolor Lodas las cualidades de los ob&etos son susceptibles de medida (con alg1n tipo deinstrumento y en alg1n tipo de escala de medida), porque cualquier continuo en lo real (larealidad es un continuo) es ob&eto de discreti%acin en la mente

Wtra serie de tpicos hacen referencia a mati%aciones, que no conducen a ninguna parte, comola clsica distincin, que encontramos en numerosas obras, entre conocimiento formal einformal, sobre todo en el campo del conocimiento lgico-matemtico Bi nos paramos arefle3ionar un poco nos daremos cuenta que conocer es saber hacer comprendiendo las ra%ones$sto es formal, dir!amos que muy serio y muy formal, y eso es conocer, nos guste o no #uesbien, no es dif!cil encontrar en la actualidad e3presiones tales como' *los ni:os de estas edadesutili%an mecanismos informales para solucionar situaciones problema que les planteamos enrelacin con situaciones de recuento (utili%acin de los dedos, movimiento de la cabe%a) quepoco a poco se formali%arn mediante la utili%acin del n1mero #ues bien, la referencia a los

ob&etos yZo al cuerpo, no supone, en absoluto, la utili%acin de mecanismos o procedimientosinformales, sino mecanismos o procedimientos psicolgicos que dan cuenta del paso de lacentracin a la descentracin (utili%ando una terminolog!a piagetiana) o de la sub&etividad a laob&etividad por el intermediario de la intersub&etividad (utili%ando una terminolog!a vigotsiana)

$n efecto, admitamos o no el principio haeceliano


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de ;erstmann y el posterior diagnstico diferencial efectuado por ^leist, sabemos quela acalculiava siempre asociada a una agnosia digital, por lo que estos autores llamanpoderosamente la atencin sobre la correlacin !ntima e3istente entre el reconocimiento de losdedos de la mano y las primeras adquisiciones del clculo @o es, por tanto, de e3tra:ar que losni:os (como el hombre primitivo) 0cuente con los dedos2 (no 0cuentan los dedos2)

$l que los procedimientos iniciales de clculo tengan un origen neurolgico no quiere decir, deninguna de las maneras, que sean procedimientos informales de clculo Como no quiere decirque los conocimientos matemticos del hombre primitivo, por el hecho de tener un origenprctico, fueran conocimientos matemticos informales 5erodoto, en un conocido pasa&e desu 2istoria, dec!a'

*$l rey de $gipto dividi el suelo del pa!s entre sus habitantes, asignando lotes cuadrados deigual e3tensin a cada uno de ellos y obteniendo sus principales recursos de las rentas que cadaposeedor pagaba anualmente Bi el r!o arrasaba una parte del lote de un habitante, ste sepresentaba al rey y le e3pon!a lo ocurrido, a lo cual el rey enviaba personas a e3aminar y medirla e3tensin e3acta de la prdida y ms adelante la renta e3igida era proporcional al tama:oreducido del lote

$l ladrillo con que el hombre primitivo constru!a sus casas y sus tumbas, aport la nocin de

ngulo recto $l concepto de l(nea(y su nombre) deriva de la forma de la fibra del lino Wtrosmuchos conceptos matemticos tienen su origen en movimientos (ya de las dan%as primitivas,ya del caminar de los astros en el cielo+)

$l hecho de que la nocin de proporcionalidad, a la que hac!a referencia 5erodoto, venga de lanecesidad de aplicar una ley con &usticia, la de ngulo recto de un ladrillo, la de l!nea de unafibra te3til, etc, no permite que nadie llame informales a los conocimientos que debemos aaquellos que nos precedieron histricamente

Wtro tpico que da:a bastante el *hacer matemtico es el de verdad absoluta (a lasmatemticas se les llama ciencias e3actas) 4e&emos que sean los propios filsofos de lamatemtica los que nos desgranen esta cuestin $n este sentido, ^rieger postula un con&untode afirmaciones bastante esclarecedoras'

=os teoremas matemticos, dice ^rieger, *son ob&etos interpretables culturalmente, lo mismoque lo pueden ser las obras de arte Al tomarse separados del conte3to cultural, los teoremas seenfocan de modo trascendente y se ven como anal!ticos o verdaderos por su ser, dada la verdadpor la demostracin que hace el matemtico (como el artista su obra)K o sintticos y se lesadmite como verdaderos por su correspondencia y locali%acin en la historia y el mundo

$st muy claro que las matemticas son un instrumento de transmisin de la cultura, por tantolas verdades matemticas son verdades en el espacio y en el tiempo y nunca verdadesabsolutas

$n otro pasa&e de su art!culo, ^rieger nos dice que *la matemtica es un instrumento y un oficioComo instrumento es 1til porque se adapta al material que encuentra, es decir, al mundo naturaly a las ciencias #ero, a la ve%, ese material tambin se adapta para ponerse de acuerdo con lascapacidades matemticas Un acuerdo nunca perfecto con lagunas entre ambos polos que obligaa reali%ar modificaciones en la matemtica para ponerse de acuerdo con el material que laentornaK pero tambin el mundo, el material, tiene que modificarse para esa adaptacin

Jgualmente las matemticas son un instrumento de asimilacin para acomodarnos al mundo quenos rodea, es decir, para conferir un significado a lo real Cuanto ms y ms poderoso sea esteinstrumento de asimilacin, se le podrn conferir a la realidad significados cada ms ricos =autilidad de las matemticas est, por tanto, en su poder para e3plicar el mundo, tratar dedesconectar las primeras del segundo ser, por tanto un error aberrante


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$l maestro que ense:a matemticas debe conectar estas con la realidad para no parecerse almatemtico que describe # Bimons' *el matemtico %uamatemtico no le parece esencialrefle3ionar acerca de lo que hace y de lo que dice, con lo que, instalado en el mundo de lasideas, se transforma en un platnico que mane&a ob&etos abstractos separados del espacio y deltiempo y totalmente a&enos a la realidad que circunda al su&eto que aprende

Iinalmente ^rieger postula que las matemticas, como oficio de docente, debe partir del hechoque *la ense:an%a de la matemtica contiene un !mpetu, lo que se califica de motivacin, que noest escrito en parte alguna pero se transmite en la pi%arra o el papel, en el planteamiento detareas y actividades individuales o colectivas =a motivacin proviene de la e&emplificacin, de laancdota+ y esta motivacin es de tipo ms bien general y cultural aunque se utilice una &ergasemitcnica de la subcultura propia del matemtico

=a 1nica ense:an%a vlida de las matemticas, sea cual sea el prisma que se utilice, debe partirde la realidad y debe tener como destinataria esa misma realidad

4esde que #aul Senacerraf publicara su clebre dilema/conocemos los cuatro elementosesenciales del saber matemtico'

. $l conocimiento matemtico se basa en una posicin epistemolgica (que se ha dado en

llamar epistemolog(a del sentido com1n) de naturale%a causal


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[5]A $ra':% #e *na !ar/a y "eno%a e'o!*c&+n< e! o-7re a $er-&na#o "or acer%e e>"er$o en #o% $:cn&ca% *e or-arn en !o %*ce%&'o"ar$e #e %* ?e*&"o -en$a!@ e! e-"are6a-&en$o y e! rec*en$o (o!!, 19B; "". 89).

[4]Con$ar e% a$r&7*&r n*-era!e%, en *n or#en e%$a7!e e &rre!e'an$e, a !o% e!e-en$o% #e *n con6*n$o #e o76e$o%, #e -anera *e ca#a n*-era!%e corre%"on#a con *n o76e$o y %+!o *no y ca#a o76e$o %e corre%"on#a con *n n*-era! y %+!o *no.

[B]rec&%a-en$e, !a "o$enc&a!a# #e *n e%*e-a '&ene #e$er-&na#a "or !a 'ar&e#a# #e con$eno% a !o% *e %e "*e#e a"!&car; "ore6e-"!o, #*ran$e e! "er&o#o %en%or&o-o$or, !o% e%*e-a% (#e acc&+n) %on or-a% *e %+!o %e "*e#en a"!&car a *n con$eno rea! y

"re%en$e; #*ran$e e! "er&o#o #e "re"arac&+n y or/an&zac&+n #e !a% o"erac&one% concre$a% !o% e%*e-a% (%&-7+!&co% o re"re%en$ac&ona!e%)

%on or-a% *e ac$an %o7re con$eno% rea!e% ("re%en$e%, %&-7+!&co% o %&-7o!&za#o%), e% #ec&r, ac$an $an$o %o7re !a rea!a#, co-o %o7re

re"re%en$ac&one% #e !o rea!; &na!-en$e, #*ran$e e! "er0o#o #e !a% o"erac&one% or-a!e%, !o% e%*e-a% (or-a!e%) "*e#en %er,

a!$erna$&'a-en$e, or-a% y con$eno% y, "or $an$o, "*e#en ac$*ar %o7re !o rea!, %o7re re"re%en$ac&one% #e !o rea! y %o7re !o% "ro"&o%e%*e-a%. S*"on/a-o% *n e%*e-a re"re%en$ac&ona! *e !!a-are-o% o"*e%$o y re"re%en$are-o% "or () y !a re"re%en$ac&+n n*-:r&ca

#e *n con6*n$o or-a#o "or c&nco e!e-en$o% (5); en$once% "o#e-o% #ec&r *e e! o"*e%$o #e 5 e% 5. E%$a acc&+n *e, co-o e%

&n$er&or&za#a y re'er%&7!e, !!a-are-o% operacin, %*"one !a a"!&cac&+n #e *n e%*e-a a !a re"re%en$ac&+n #e *na rea!a#, !o *e no%8

!!e'a a conc!*&r *e !a con%$r*cc&+n #e !o% n-ero% ne/a$&'o% %e #e7e "ro#*c&r #*ran$e e! "er&o#o #e !a% operaciones concretas.

S*"on/a-o% *e e! -&%-o e%*e-a (o"*e%$o) "*#&era ac$*ar %o7re %0 -&%-o; en$once% e%$ar0a-o% an$e !a %&/*&en$e %&$*ac&+n (), *ea7r0a *e #e&n&r!a co-o e! ?o"*e%$o@ #e! ?o"*e%$o@ y c*yo re%*!$a#o %er0a *e e! o"*e%$o #e! o"*e%$o e% e! -&%-o e!e-en$o,

$ra#*co en $:r-&no% -a$e-$&co% y con !en/*a6e e%co!ar -eno% "or -eno% = -%. or $an$o, !a re/!a #e !o% %&/n8o% e% *na operacin

formal.

[8]Co-o no ay acc&+n %&n reacc&+n a7!are-o% #e &n$eracc&+n %*6e$oo76e$o.

[9]A"!&car *na *na# *nc&ona! #e con#*c$a o e%*e-a (en e%$e ca%o e! ?e%*e-a #e con$eo@) a !a rea!a#.

[1]D*ran$e !a e$a"a "reconce"$*a! !a r&/ez #e !o% e%*e-a% %&-7+!&co% o re"re%en$ac&ona!e% ace *e no% encon$re-o% con con#*c$a%#e c!a%&&cac&+n $a!e% co-o&%$enc&a #e *n #e%a%e #e! cr&$er&o co!or con re!ac&+n a! cr&$er&o or-a. E%$ar0a-o% an$e !o *e a-&!$on !!a-a7a !a

a!%a %&-e$r0a #e! "re#&ca#o. En eec$o, co-o e! cr&$er&o Ior-a "re%en$a *na I"o$enc&a -ayor *e e! cr&$er&o Ico!or, en e! razona-&en$o

#e! %*6e$o e% &-"o%&7!e *e %e !e "*e#a a"!&car e! c*an$&&ca#or todosa! co!or todos%on !o% Ic*a#ra#o% y algunos%on (!o%) Iaz*!e%; "or

!o $an$o, an$e !a "re/*n$a $o#o% !o% az*!e% %on c*a#ra#o%F :! re%"on#e *e ?no@, "or*e $a-7&:n ?ay c*a#ra#o% ro6o%@; e% #ec&r, an$e !a"re/*n$a $o#o% !o% az*!e% %on c*a#ra#o%F co!oca e! "re#&ca#o en %* I6*%$o !*/ar, #e%#e !a "er%"ec$&'a #e %* razona-&en$o $o#o% !o%

c*a#ra#o% %on az*!e%F

[13]Serrano, J.M. y Nernn#ez, A. (1989) C!a%e% !+/&ca% y co!ec$&'a% #o% -o#o% #e &n$er"re$ac&+n #e !a rea!a#F. Estudios dePsicologa,38

[1]&a/e$, J. e One!#er, . (19B5)La gnesis de las estructuras lgicas elementales. *eno% A&re%. a+%

[15]&a/e$, J. y Sze-&n%Pa, A. (19B5)La gnesis del nmero en el nio. *eno% A&re% a+%.

[14]Qo% e%*e-a% a#&$&'o% $*'&eron *e a#*&r&r, en %* -o-en$o, *na /ran -o'&!a# "ara "o#er #e'en&r en e%*e-a% -*!$&"!&ca$&'o%.
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[1B]Recor#e-o% *e *na #e !a% #&erenc&a% e%enc&a!e% en$re Q.S. &/o$%Py y J. &a/e$ e% *e, -&en$ra% *e "ara e! "r&-ero e! #e%arro!!o%&/*e a! a"ren#&za6e, "ara e! %e/*n#o e! a"ren#&za6e %&/*e a! #e%arro!!o.

[18]Serrano, J.M.; on%, R.M. y Serrano, M.J. (25) Qa% o"erac&one% &n$ra"ro"o%&c&ona!e% y e! n-ero. 5G Con/re%o M*n#&a! #e E.O.

[19]A*n*e &a/e$ nac&+ en e*en7*r/ (e*cT$e!) "rc$&ca-en$e $o#a %* ac$&'a# #ocen$e e &n'e%$&/a#ora !a rea!&z+ en U&ne7ra.

[2]Kn hechoe%$ con%$&$*o "or "&eza% #e &nor-ac&+n ar7&$rar&a-en$e. Kn conceptoe% !a re"re%en$ac&+n -en$a! /en:r&ca #e *n o76e$o,*n eco o *n con6*n$o #e o76e$o% o #e eco% *e co-"ar$en, a! -eno%, *na carac$er0%$&ca co-n. Kn principioe% *n con6*n$o #econce"$o% *e "er-&$e e>"!&car, re!ac&onar o "re#ec&r !o rea!.

[21]Qa ra%e e>ac$a #e Jean !e Ron# #A!e-7er$ e% %e/*, !a e 'en#r #e%"*:%.

[22]E%$e $:r-&no *e e-"!ea#o "or Var! Werner y #e%&/na e! &-"or$an$e "a"e! #e%e-"ea#o "or e! Icarc$er &%$+r&co #e! o-7re.

[23] E%$o oc*rre con o$ra% "roe%&one% en *e e! "roce%o e%$ "oco %&%$e-a$&za#o, "or "oner *n e6e-"!o, en n*e%$ro "a0%, ca#a e%"ao!, no%+!o e% -ae%$ro, e% $a-7&:n en$rena#or #e $7o!, cr0$&co $a*r&no, e$c.

[2]Q!e/a#o% a e%$e "*n$o e-o% #e #ec&r *e "oco% #&%eo% &n%$r*cc&ona!e% "o%$*!an *n "roce%o #e e'a!*ac&+n con$&n*a; ca%& $o#a% !a%

e'a!*ac&one% *e %e eec$an %on #e na$*ra!eza "*n$*a!.

[25]E%$e con%$r*c$o %e *n#a-en$a en e! conce"$o "&a/e$&ano #e e%*e-a y !a noc&+n #e e%*e-a *e e-ana #e !a% $eor0a% #e!"roce%a-&en$o *-ano #e !a &nor-ac&+n "ero !a% $ra%c&en#e y !a% %*"era.

[24]Ern%$ aecPe! en*nc&+, en 1848, !o *e %e conoce con e! no-7re #e ley fundamental biogentica%e/n !a c*!, ay *n "ara!e!&%-oen$re !a ontognesis(#e%arro!!o #e! &n#&'*o #e *na e%"ec&e) y !a filognesis(#e%arro!!o #e !a corre%"on#&en$e e%"ec&e). Co-o !a

on$o/:ne%&% reca"&$*!a !a &!o/:ne%&% e%$a $eor0a %e conoce con e! no-7re #e teora de la recapitulacin*e, #e%arro!!a#a &n&c&a!-en$e

"or Joann Nr&e#r&c MecPe!, a!canz+ /ran "re#&ca-en$o con !a "*7!&cac&+n #e! Origen de las especies#e DarX&n.

[2B]Qa "a!a7ra dgito*$&!&za#a "ara reer&rno% a !a% c&ra% 1 a 9, a-7a% &nc!*%&'e, ace reerenc&a a !a e>"re%&+n ro-ana numerare perdigitos(con$ar "or !o% #e#o%).

[28]Qo *e "arece nece%ar&o "ara !a 'er#a# en !a -a$e-$&ca ace &-"o%&7!e e! conoc&-&en$o #e e%a 'er#a#; !o *e ar0a "o%&7!e e!conoc&-&en$o -a$e-$&co ace &-"o%&7!e !a 'er#a# #e! -&%-o.
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El Desarrollo Del Pensamiento Lógico

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