El Determinante Letra Grande 1

7/25/2019 El Determinante Letra Grande 1

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1

EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

1.- Definicin de determinante.

2.- Ejemplos.

3.- Desarrollo del determinante por cualquier fila o columna

4.- Propiedades de los determinantes.

5.- Clculo de determinantes.

6.- Clculo de la inversa de una matriz usando el determinantes

7.- Menores y rango

8.- Algoritmo ms eficiente para calcular el rango con menores.

9.- Problemas


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2

1.- Definicin de determinante.

Sea

A =

a11

a12

a13

... a1n

a21

a22

a23

... a2n

a31

a32

a33

... a3n

... ... ... ... ...

an1

an2

an3

... ann

"

#

$$$$$$

%

&

''''''

una matriz cuadrada de orden n.

Para n = 1 det(a)=a

Para n > 1, det(A) = ai1"i1i=1

n

# , donde "ij = (#1)i+j

det Aij( )

2.- Ejemplos.

Determinantes de matrices de orden 2 y orden 3


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3

3.- Desarrollo del determinante por cualquier fila o columna

Teorema 1.86 El determinante de una matriz A de orden n se puede calcular segn las frmulas

det(A)= aij!ij= a

ij!ij

i=1

n!

j=1

n!

Ejemplo 1.87 Calcule el determinante de la matriz

3 6 2 2

4 2 0 6

0 3 0 0

3 7 0 4

!

"

####

$

%

&&&&


4/30

4

4.- Propiedades de los determinantes

Lema 1.79 Sean A, B y C tres matrices que se diferencian nicamente en su fila j, en

concreto la fila j de A es igual a la suma de las filas j de B y C. Entonces det(A) = det(B) +

det(C)

Determinantes y operaciones elementales

Proposicin 1.75 det(Efk!f

hA)="det(A)

Proposicin 1.77 det(Ef

k!t f

hA)=tdet(A)

Proposicin 1.80 det(Efk!f

k+tf

hA)=det(A)

Corolario 1.76 Si A tiene dos filas

iguales entonces detA=0

Corolario 1.81 det(Efk!f

h)="1

Corolario 1.78 Si a tiene una fila nula

entonces detA=0

Corolario 1.81 det(Efk!tf

k

)=t

Corolario 1.81 det(Ef

k!f

k+t f

h)=1


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5

Ejemplos

Proposicin 1.751 2 3

p q r

h k l

= "

p q r

1 2 3

h k l


p q r

h k l

=5

2 3 4

p q r

h k l


p q r

h " 2 k" 4 l " 6

=

1 2 3

p q r

h k l

Corolario 1.761 2 3

1 2 3

h k l

=0

Corolario 1.810 1 0

1 0 0

0 0 1

= "1

Corolario 1.780 0 0

p q r

h k l

=0

Corolario 1.811 0 0

0 5 0

0 0 1

=5


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6

Corolario 1.811 0 0

0 1 0

3 0 1

=1

Ejemplo. Aplicando el Lema 1.79 , la Proposicin 1.77. y el Corolario 1.76.

5n+1 3 2

5n+2 6 2

5n+3 9 2

=

5n

3 2

5n

6 2

5n

9 2

+

1 3 2

2 6 2

3 9 2

=2.5n

1 3 1

1 6 1

1 9 1

+3

1 1 2

2 2 2

3 3 2

=0

Otras propiedades del determinante

Teorema 1.84 Sean A y B dos matrices de orden n. Se verifica:

1.detA!0""A es invertible"

2. det(AB)=det(A)det(B)


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7

3. det(A)=det At( )

Comentario: Como consecuencia de esta ltima igualdad, el Lema 1.79. , las proposiciones

1.75. , 1.77. y 1.80 y los corolarios 1.76. , 1.78. y 1.81. enunciados para filas se pueden reescribir

enuncindolos tambin para columnas.

Desarrollo de un determinante por cualquier fila o columna.

Proposicin 1.85 y

Teorema 1.86 Sea A una matriz de orden n. Se verifica det(A)= aij!

ij= a

ij!

iji=1

n!

j=1

n!

cualesquiera que sean i,j , 1!i,j!n


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8

Definicin1.71

Proposicin 1.73 Proposicin1.75 Proposicin 1.77. Lema 1.79 Proposicin 1.89.

Corolario 1.76 Corolario 1.78 Corolario 1.90.

Corolario 1.81. Proposicin 1.80.

Teorema 1.82.

(Resume las proposiciones 1.75.,1.77., 1.80)

Teorema 1.84

Proposicin 1.85

Teorema 1.86.


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9


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10

5.- Clculo de determinantes.La pgina 53 muestra que el procedimiento de hacer transformaciones elementales en la matriz cuyo determinante queremos

calcular nos lleva a matrices en las que ese clculo es ms sencillo por la presencia de ceros. Lo terico sera llegar hasta una

matriz escalonada por filas tal como se hace en el ejemplo 1.83.


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11

Estrategias de clculo de determinantes

Ejemplo

m m m m

m a a a

m a b b

m a b c

=

m m m 0

m a a 0

m a b 0

m a b c " b

=

m m 0 0

m a 0 0

m a b " a 0

m a b " a c " b

=

m 0 0 0

m a " m 0 0

m a " m b " a 0

m a b " a c " b

=m(a " m)(b " a)(c " b)

Ejemplo 1.88.Calcule los valores de x que anulen el determinante de la matriz

x 1 2 3

1 x 3 2

2 3 x 1

3 2 1 x

"

#

$

$$$

%

&

'

'''

Observacin: A veces una manipulacin previa puede facilitar la obtencin de ceros. En este

ejemplo se consigue que todos los elementos de la primera columna sean iguales. (La estrategia

de sumar a una lnea todas las paralelas es lcito aunque no atiende a la recomendacin de que en

cada paso solamente sea una lnea la que acte sobre otras paralelas o sobre s misma) En esteejercicio el paso siguiente ser hacer que en la primera columna todas las entradas menos una

sean cero.


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12

x 1 2 3

1 x 3 22 3 x 1

3 2 1 x

=

x+6 1 2 3

x+6 x 3 2x+6 3 x 1

x+6 2 1 x

=

x+6 1 2 3

0 x!

1 1 !

10 2 x!2 !2

0 1 !1 x!3

=(x+6)

x!1 1 !1

2 x!

2 !

2

!1 1 x!3

=

= (x+ 6)

x" 2 1 "1

0 x" 2 "2

x" 2 "1 x" 3

= (x+ 6)

x" 2 1 "1

0 x" 2 "2

0 "2 x" 2

= (x+ 6)(x" 2)x" 2 "2

"2 x" 2= (x+ 6)(x" 2) (x" 2)

2" 2

2( ) =

=(x+6)(x!2)(x!2+2)(x!2!2)=x(x!2)(x!4)(x+6)

Nota: El clculo efectuado en el ejemplo tiene un valor aadido: el resultado se obtiene ya

factorizado.

Nota: Pretender hacer ceros sin ms puede enredar y alargar los clculos.


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13

x 1 2 3

1 x 3 2

2 3 x 1

3 2 1 x

=

x 1 2 3

1" x x"1 1 "1

2 3 x 1

1 "1 1" x x"1

=

x x+1 2 5

1" x 0 1 0

2 5 x x+1

1 0 1" x 0

= "(x+1)

1" x 1 0

2 x x+1

1 1" x 0

" 5

x 2 5

1" x 1 0

1 1" x 0

= (x+1)2

1" x 1

1 1" x" 5

21" x 1

1 1" x=

Generalmente se necesita expresar el resultado como un producto. Obtener un polinomio para

despus tener que factorizarlo es un viaje de ida y vuelta que adems puede ser engorroso. En

este caso hay una solucin elegante.


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14

El determinante de una matriz triangular por bloques.

Proposicin 1.89. , Corolario 1.90. y Ejemplo 1.91.

Ejemplo:

1 2 3 4

5 6 7 8

0 0 1 2

0 0 3 4

=

1 2

5 6

1 2

3 4

6.- Clculo de la inversa de una matriz usando el determinantes

El la pgina 59 encontramos la definicin de matriz adjunta y a continuacin la comprobacin de

que Adj(A)tA=det(A)I

n


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15

Ejemplo 1.92

Clculo de la inversa de la matriz D=

1 4 0

2 3 1

0 1 1

!

"

###

$

%

&&&empleando el mtodo de Gauss

1 4 0

2 3 1

0 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

"

#

$$$

%

&

'''(

1 4 0

0 )5 1

0 1 1

1 0 0

)2 1 0

0 0 1

"

#

$$$

%

&

'''(

1 4 0

0 1 1

0 )

5 1

1 0 0

0 0 1

)2 1 0

"

#

$$$

%

&

'''(

1 0 )4

0 1 1

0 0 6

1 0 )4

0 0 1

)2 1 5

"

#

$$$

%

&

'''(

"

1 0 #4

0 1 1

0 0 1

1 0 #4

0 0 1

#1/ 3 1/6 5 /6

$

%

&&

&

'

(

))

)

"

1 0 0

0 1 0

0 0 1

#1/ 3 2 / 3 #2 / 3

1/ 3 #1/6 1/6

#1/ 3 1/6 5 /6

$

%

&&

&

'

(

))

)


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16

Ejemplo. Clculo de la inversa de M=1 1 2

m 1 "1

3 m 1

#

$

%%%

&

'

(((

M=

1 1 2

m 1 !1

3 m 1

=

2m+1 3 0

m 1 !1

m+3 m+1 0

=2m+1 3

m+3 m+1=2(m+2)(m!2)

M!1=

1

2(m+2)(m!2)

1 !1

m 1! 1 2

m 1

1 2

1 !1

! m !1

3 1

1 2

3 1! 1 2

m !1

m 1

3 m! 1 1

3 m

1 1

m 1

"

#

$$$$$$

$$$

%

&

''''''

'''

=1

2(m+2)(m!2)

m+1 2m!1 !3

!m!3 !5 2m+1

m2!3 !m+3 !m+1

"

#

$$$

%

&

'''


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17

7.- Menores y rango

Definicin 1.93. Un menor de orden p de una matriz A es el determinante de una submatriz de

A de orden p. Si A es cuadrada de orden n, el menor principal de A de orden k para k = 1, , n

es

!k=det

a11

! a1n

! " !

an1

! ann

"

#

$$$$

%

&

''''

Proposicin 1.94. El rango de A es mayor o igual que el rango de una submatriz de A

Lema 1.95. Sea A una matriz de tamao m x n y P una submatriz de A de orden m 1 y rango

m 1. Si rg(A) = m entonces A tiene una submatriz de orden m y rango m que contiene a P.

Proposicin 1.96. Sea A una matriz de tamao m x n y sea P una submatriz de A de orden p 1

y rango p 1 si rg(A)!p entonces A tiene una submatriz de orden p y rango p que contiene a P

Teorema 1.97. (a veces es la definicin) El rango de A es igual al mayor orden de un menor no

nulo de A


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18

Ejemplo 1.98. Clculo del rango de la matriz A=

1 0 2 1

2 !1 !3 0

4 !1 1 25 !2 !4 1

"

#

$$

$$

%

&

''

''

En este ejemplo, se detecta un menor de orden 2 no nulo, !2=det

1 0

2 "1

#

$%

&

'( por lo que el rango

de la matriz es mayor o igual que 2. El Teorema

1.96. nos garantiza que si el rango es mayor o igual que 3 entonces A tiene una submatriz de

orden 3 y rango 3 que contiene a


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19

8.- Algoritmo ms eficiente para calcular el rango con menores.

Ejemplo.- Clculo del rango de A =

4 1 0 3 0

"1 0 2 "6 3

2 1 0 "1 4

1 0 2 "2 1

#

$

%

%

%%

&

'

(

(

((

Solucin:

i) Localizamos directamente un menor de orden 2 no nulo1 0

0 2" 0 # rangA $ 2(Elijo este menor por la evidencia de

ser no nulo y porque tiene muchos ceros, de manera que cuando haga ampliaciones tendr que calcular determinantes donde

aparecern esos ceros lo cual, en principio, hace ms llevadero su clculo) No solamente en solamente los dos filas

de

A2=

1 0

0 2

"

#$

%

&' son linealmente independientes si no tambin las dos filas deA que contienen aA2

ii) Aadimos la tercera fila de A a las dos primeras y buscamos una submatriz A3que contenga a A

2y tal que

det(A3) " 0(si son todos nulos la tercera fila es c.l. de las dos primeras y se puede suprimir).

012

201

014

! ;

101

620

301

!

!

;

401

320

001

Designo por A3a la submatriz A

3=

1 0 0

0 2 3

1 0 4

"

#

$$$

%

&

'''

tengo garantizado que rgA3= 3 y rgA " 3


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20

iii) A las tres filas de A que contienen a A3les aado la cuarta fila de A y busco una submatriz de orden cuatro que

contenga a A3y tenga determinante distinto de cero

4 1 0 0

"1 0 2 3

2 1 0 4

1 0 2 1

;

1 0 3 0

0 2 "6 3

1 0 "1 4

0 2 "2 1

Operando se comprueba que estos dos menores son nulos, luego rgA = 3

9.- Problemas

F 2.2. Calcule el determinante de la siguiente matriz y estudie el rango para los distintos valores

del parmetro "# IR

A=

! 1 1 1

1 ! 1 1

1 1 ! 1

1 1 1 !

!

"

####

$

%

&&&&


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21

Solucin

Clculo del determinante:

" 1 1 1

1 " 1 1

1 1 " 1

1 1 1 "

=

"+3 1 1 1

"+3 " 1 1

"+3 1 " 1

"+3 1 1 "

= ("+3)

1 1 1 1

1 " 1 1

1 1 " 1

1 1 1 "

= ("+3)

1 1 1 1

0 "#1 0 0

0 0 "#1 0

0 0 0 "#1

= ("+3)("#1)3

Discusin del rango

a) Si !!"3y !!1, el rango de la matriz es 4

b) Para !=1, el rango es 1 (evidente)

c) Para "= #3se calcula el rango de la matriz

"3 1 1 1

1 "3 1 1

1 1 "3 1

1 1 1 "3

#

$

%

%%%

&

'

(

(((


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22

Siguiendo fielmente el algoritmo descrito en la pgina 64 y el Ejemplo 1.99 buscamos u menor

de orden 2 no nulo: A2=

!3 1

1 1

"

#

$%

&

'aadimos una tercera fila (en este caso ser la segunda fila

de la matriz del problema)

!3 1 1 1

1 !3 1 1

1 1 !3 1

"

#

$$$

%

&

'''y buscamos una submatriz A

3que contenga a

A2

y tal que det(A3)!0

Hay dos submatrices !3 1 1

1 !3 1

1 1 !3

"

#

$$$

%

&

'''y !

3 1 1

1 !3 1

1 1 1

"

#

$$$

%

&

'''Se encuentra que el segundo

determinante es distinto de cero lo que nos permite asegurar que la segunda fila de la matiz no

depende linealmente de las otras dos. Para el valor "= #3ya encontramos tres filas linealmente

independientes y el estudio est acabado puesto que no hay cuatro (rgA < 3)

Resumen:

"# $3 y "# 1 rg(A) =4

"= $3 rg(A) =3

"=1 rg(A) =1


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23

Observacin: Para hallar el rango de una matriz cuadrada de orden n,puedeser conveniente

comprobar en primer lugar si su rango es el mximo posible, n, hallando el determinante. Si es

distinto de cero, el rango es efectivamente n. En caso contrario, empezamos a analizar los

menores como en los ejemplos anteriores.

Si la matiz es cuadrada y tiene parmetros la solucin de este problema puede tomarse como

modelo: Siempre que el valor del determinante sea distinto de cero el rango de la matriz es n y

solamente queda calcular el rango de matrices numricas para los valores del parmetro o

parmetros que anulan el determinante.


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24

F2.4 (Primera solucin) Obtenga la inversa de la matriz A=

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

!

"

##

##

$

%

&&

&&

donde

a!C , a3=1 y a"1

i) Calculo el determinante de A y su matriz adjunta para despus aplicar frmula de la pgina

59 del libro de texto.

Primera opcin de clculo del determinante de A

A =

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

=

1 1 1

0 a"1 a2"1

0 a2"1 a "1

=

a "1 (a+1)(a"1)

(a+1)(a "1) a"1= (a "1)

2 1 a +1

a +1 1= (a"1)

21" (a+1)

2( ) = (a"1)2 (a+ 2)("a)

Segunda opcin de clculo del determinante de A


25/30

25

A=

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

=3a2!2a!a

4=3a

2!3a=3a(a!1)

ii) Matriz Inversa de A:

A"1=

1

AAdj(A)t =

1

3a(a "1)

a a2

a2

a"

1 1

a2

a

1 1

a a2

"1 a

2

1 a

1 1

1 a"

1 1

1 a2

1 a1 a

2 "1 11 a

21 11 a

#

$

%%%%%

%

%

&

'

(((((

(

(

=

1

3a(a "1)

a2 "a4 a2 "a a2 "a

a2 "a a "1 1"a2

a2 "a 1"a2 a "1

#

$

%%%

&

'

(((=

1

3a(a "1)

a2 "a a2 "a a2 "a

a2 "a a2a(a "1) a3 "a2

a2 "a a3 "a2 a2a(a "1)

#

$

%%%

&

'

(((=

Conclusin: A"1

=

1

3a(a "1)

a(a "1) a(a "1) a(a "1)

a(a "1) a2a(a "1) a.a(a "1)

a(a "1) a "a(a "1) a2a(a "1)

#

$

%%%

&

'

(((=

1

3

1 1 1

1 a2

a

1 a a2

#

$

%%%

&

'

(((


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26

F 2.4 (Segunda solucin) Obtenga la inversa de la matriz A=

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

!

"

##

##

$

%

&&

&&

donde

a!C , a3=1 y a"1

Nota previa: (Empiezo buscando relaciones de igualdad que puedan utilizarse en el clculo)

Dado un nmero complejo a tal que a3=1, se verifica:

i) a=1!a.a= a2=1 ii) a.a=a

3!a=a

2

iii) a=a2!(a)

2=a iv) a

3=1!a

3"1=0!(a"1)(a

2+a+1)=0!a="a"1

(por hiptesis a es distinto de 1)

v) a!1=a2

!

a.a=a(a!

a) y a!1=a2

!

a.a=a(a!

a)


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27

Utilizando las igualdades convenientes se obtiene: A=

1 1 1

1 a a

1 a a

!

"

##

#

$

%

&&

&

A=

1 1 1

1 a a

1 a a

=a2+2a!a!a!a

2=3(a!a)

adj(A) =

a2 "a

2

"(a "a) a "a

"(a "a) a "1 "(a "1)

a "a "(a "1) a "1

#

$

%%%

&

'

(((=

a "a a "a a "a

a "a a "1 "(a "1)

a "a "(a "1) a "1

#

$

%%%

&

'

(((=

a " a a " a a " a

a " a a(a " a) a(a " a)

a " a a(a " a) a(a " a)

#

$

%%%

&

'

(((= a " a( )

1 1 1

1 a a

1 a a

#

$

%%%

&

'

(((

A"1

=

1

3

1 1 1

1 a a

1 a a

#

$

%%%

&

'

(((


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28

F 2.5. Dada la ecuacin detx"a " b a b

c x"a " b b

c a x"a " c

#

$

%%%

&

'

(((=0 con a , b , c " K

Eljase de entre las siguientes afirmaciones las que sean correctas:

a) Son soluciones x = 1 , x = 0 , x = a + b + c

b) No tiene solucin en IR

c) x = a + b + c es solucin

Solucin

x " a " b a b

c x " a " b b

c a x " a " c

=

x " a " b " c 0 "(x " a " b " c)

c x" b " c b

c a x " a " c

=

x " a " b " c 0 0

c x" b " c b+ c

c a x" a

= (x " a " b " c)x" b " c b+ c

a x " a=

= (x " a "b " c) (x " b " c)(x" a) " a(b+ c)( ) = (x " a " b " c)(x 2 " (2a+ b)x +a 2 " ac)


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Una vez obtenida esta factorizacin del determinante se encontr la solucin x = a + b + c. No

merece la pena seguir calculando soluciones, es ms cmodo sustituir en el producto y

comprobar que x = 0 y x = 1 no son solucin.

Observacin: la duda sobre una posible errata en la entrada (2,2) de la matriz anima a resolver

tambin el problema suponiendo que esa entrada es x" b"

F 2.5. (Con un cambio en la matriz del problema anterior) Dada la ecuacin

det

x"a" b a b

c x" b" c b

c a x"

a"

c

#

$

%%%

&

'

(((=0con a, b,c"K

Eljase de entre las siguientes afirmaciones las que sean correctas:

a) Son soluciones x = 1 , x = 0 , x = a + b + c

b) No tiene solucin en IR

c) x = a + b + c es solucin

Solucinx" a"b a b

c x"b" c b

c a x" a" c

=

x a b

x x" b" c b

x a x" a"c

= x

1 a b

1 x" b" c b

1 a x" a" c

=

1 a c

0 x" a" b" c 0

0 0 x" a" b" c

= a" a" b" c( )2

Luego a nica respuesta correcta es la c)


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F 2.9 (PEC) Demuestre que si A es una matriz de orden n, con n impar, tal que A.At =Iny det A=1,

entonces det A" In( )= 0

Solucindet A" I

n( )= det A" A.At

( )= de t A.In" At

( )( )=det A.det In" At

( )=det In "At

( )=("1)ndet At" I

n( )= "det At" I

n( )

= "det(At"In)t="det(A" I

n)

Por tanto det A" In( )= 0

Justificaciones

1 Hiptesis del problema

2 Propiedad del producto de matrices (Teorema 1.4.)

3 Determinante del producto (Teorema 1.84)

4 Hiptesis del problema.

5 Determinante de la matiz opuesta: det (-M)= det (-I) M =det (-_I) det M = (1)ndet (M)6 Hiptesis del problema.

7 Determinante de la matriz traspuesta (Teorema 1.84.)

8 Propiedades de la matriz traspuesta (Teorema 1.7.)

El Determinante Letra Grande 1

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