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EL ELEMENTO FINITO
APLICADO A LAS ESTRUCTURA S
METALICAS
ING. F. JAVIER ANAYA ESTRELLA
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INTRODUCCION
UNA REGION COMPLEJA QUE DEFINE UN CONTINUO SE DISCRETIZA EN
FORMAS GEOMETRICAS SIMPLES LLAMADAS ELEMENTOS FINITOS. LAS
PROPIEDADES DEL MATERIAL Y LAS RELACIONES GOBERNATES SON
CONSIDERADAS SOBRE ESOS ELEMENTOS Y EXPRESADAS EN
TÉRMINOS DE VALORES DESCONOCIDOS EN LOS BORDES DEL
ELEMENTO. UN PROCESO DE ESAMBLE CUANDO SE CONSIDERAN
DEBIDAMENTE LAS CARGAS Y RESTRICCIONES DA LUGAR AUN
CONJUNTO DE ECUACIONES. LA SOLUCION DE ESAS ECUACIONES NOS
DA EL COMPORTAMIENTO APROXIMADO DEL CONTINUO.
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METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
La solución aproximada se propone para cada ecuación diferencial en
forma un tanto arbitraria y se considera que es buena si proporciona
resultados aproximados a los reales. Una característica común de lolas
soluciones aproximadas es que son funciones continuas en todo el
dominio y diferenciables un número infinito de veces.En el caso del método de los elementos finitos, la idea no es encontrar
una función que sea la solución aproximada en todo el dominio, sino
más bien, el objetivo es determinar los valores de la solución
aproximada en ciertos puntos del dominio y en el resto del dominio la
solución aproximada se encuentra mediante funciones de
interpolación.
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METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
El método de los elementos finitos tiene las siguientes características:
• El dominio de la función de divide en varios elementos, introduciendo
artificialmente ciertos puntos llamados nodos y se encuentra una
solución aproximada para cada elemento.
• Se emplea una forma estándar de la solución aproximada que es
independiente del tipo de ecuación diferencial que se pretende
resolver.
• No da como resultado la función aproximada sino los valores de lafunción aproximada en ciertos puntos del dominio (nodos) y se
emplean funciones de interpolación para determinar los valores de la
función en los puntos restantes.
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METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
• Para encontrar los valores de la función aproximada en los puntos
del dominio, el MEF utiliza funciones continuas a “pedazos” y
diferenciables solo el número de veces que sea necesario. Estas
funciones por lo general son polinomios de primer o segundo orden,
es decir, la función aproximada es un conjunto de segmentos derectas o curvas.
• Como consecuencia de la discretización del dominio, el MEF genera
un sistema de ecuaciones lineales con un gran número de incógnitas
que se debe resolver aplicando algún método numérico eficiente.
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INTERPOLACIONES
Funciones de interpolación lineal y cuadrática
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METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Se puede definir entonces que:
EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ES UN PROCEDIMIENTO
NUMERICO PARA RESOLVER PROBLEMAS FISICOS GOBERNADO POR
ECUACIONES DIFERENCIALES.
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ASPECTOS HISTORICOS
1941 Hrenikoff presentó una solución de problemas de la elasticidad usandoel “método de trabajo del marco”.
1943 Courant usó interpolación polinomial por partes sobre subregiones
triangulares para modelar problemas de torsión.
1955 Argyris publica un libro sobre teoremas de energía y métodos
matriciales, cimentó métodos adicionales en los estudios del elemento finito.
1956 Turner y otros investigadores obtuvieron matrices de rigidez para
armaduras, vigas y otros elementos.
1960 Clough es el primero en emplear y acuñar el término “elemento finito”.
En los primeros años de esta década los ingenieros usaron el método para
obtener soluciones aproximadas en problemas de análisis de esfuerzos, flujo de
fluidos, transferencia de calor y otras áreas.
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•Discretización del dominio:
La región donde se desea determinar
la solución del problema se debe
discretizar, esto significa que el
dominio real se substituye por
elementos discretos mediante la
elección de ciertos puntos nodales
de coordenadas conocidas.
•Elección de las funciones de
aproximación:
Se debe elegir el orden de la
aproximación: lineal, cuadrática o demayor orden, y se debe plantear una
función de interpolación para cada
elemento en términos de los valores
nodales desconocidos.
• Formulación de las ecuaciones del
MEF:
Con las funciones de interpolación
elegidas se aplica el método deGalerkin (o alguno de los métodos
que se verán más adelante) al
problema analizado para obtener las
ecuaciones finales que resuelven el
problema.
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•Ensamble de los elementos:
Una vez establecidas las ecuaciones
del MEF para cada elemento se
deben “ensamblar” de acuerdo con
la posición que ocupan sus nodos,
para formar un sistema general de
ecuaciones que abarque todo el
dominio. El concepto de “ensamble”
se entiende en el sentido de
considerar la participación de todos
los elementos que convergen en un
mismo nodo al valor aproximado de
la incógnita en ese nodo.
•Solución del sistema de
ecuaciones:
El MEF genera un sistema de
ecuaciones lineales con un gran
número de incógnitas que se debe
resolver aplicando algún método
numérico eficiente.
Determinación de los valores
aproximados:
Finalmente se determinan los
valores aproximados de la función
en los puntos nodales.
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El método de Galerkin se emplea para encontrar la solución aproximada de
ecuaciones diferenciales y también es conocido que este es uno de los métodos
más utilizados para resolver las ecuaciones diferenciales aplicando el MEF.
Para resolver aproximadamente problemas de Mecánica de Sólidos aplicando el
MEF es frecuente emplear, además del método de Galerkin, otros métodos. Los
dos métodos más importantes son el que se basa en el principio de los trabajos
virtuales y el que emplea el principio de la energía potencial total mínima.
Principio de los trabajos virtuales
Principio de la energía potencial total
mínima. Método de Rayleigh-Ritz
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ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES
Algunos problemas físicos gobernados por ecuacionesdiferenciales ordinarias, se pueden modelar o discretizar como
un sistema de elementos unidimensionales. Las armaduras,
vigas, marcos, entre otros, se pueden discretizar con elementos
de este tipo.
Los elementos unidimensionales son segmentos de recta cuya
longitud y posición quedan definidas por las coordenadas de sus
nodos inicial y final (ver Figura 1 ). Estos elementos se unen oconectan en ciertos puntos llamados nodos formando de esta
manera un sistema. Cabe mencionar que los nodos a que se hace
referencia no existen necesariamente en la realidad sino que
aparecen como resultado de la discretización del problema.
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ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES
L
i N
N j
j
i
x i
x j
i
j
x
(x)= N (x) N (x) i i j j
x
(x)
Figura 1 Elementounidimensional lineal
( ) ( ) ( )i i j j x N x N x
j ii j
j i j i
x x x x(x)
x x x x
( )
( )
j j
i
j i
i i j
j i
x x x x
N x x x L
x x x x N x
x x L
( ) x N y
i
i j j
N N N
FORMA MATRICIAL:
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ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES
Las funciones de forma juegan un papel fundamental en el MEF y esmuy importante conocer sus principales características. De las
expresiones anteriores se deduce que:
• Las funciones de forma son válidas solamente para el elemento
donde fueron definidas.• Cada nodo del elemento tiene su propia función de forma.
• Las funciones de forma unidimensionales sólo dependen de la
coordenada x.• Las funciones de forma tienen un valor igual a la unidad en su
propio nodo y son igual con cero en el otro nodo del elemento, es
decir:
( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1i i i j j i j j x N x N x N x
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ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES
( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1i i i j j i j j x N x N x N x
x
N(x)
i j
i
i x
j j x
N (x)i
j (x)
1
0 x
i N (x) N (x) j
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ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES
x1
1
1 2
2
2 x x3
3
3 4
4
4 x x5
5
5
L L L L1 2 3 4
1 2 3 4
e e ei i j j N N
(1) (1) (1)
1 1 2 2
(2) (2) (2)
2 2 3 3
(3) (3) (3)3 3 4 4
(4) (4) (4)
4 4 5 5
N N
N N
N N
N N
SOLUCIONES
APROXIMADAS PARA
CADA ELEMENTO:
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FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES BÁSICAS DEL MEF
Para formular la solución de un problema específico empleando el
MEF se debe conocer de antemano:
• la ecuación diferencial gobernante,
• el dominio o región de integración y• las condiciones de frontera.
La formulación de las ecuaciones básicas para resolver una ecuación
diferencial aplicando el MEF tiene un procedimiento estándar,independiente de la ecuación que se pretende resolver.
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FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES BÁSICAS DEL MEF
ECUACION FINAL A LA QUE SE LLEGA APLICANDO EL MEF A UN
ELEMENTO AISLADO:
T T
e e
d N d N
D dx N Q dxdx dx
k f
e
T
L
d N d N k D dx
dx dx
eT
L f N Q dx
PARA UN ELEMENTO:
K F
1 1 1
n n n
e e e
K k F f
PARA EL SISTEMA:
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FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES BÁSICAS DEL MEF
x
P
q
P
L t
e
x j
j
x i
iu
ji
u
a) b)
Le
Ae
e e+1
e+1 A
ELEMENTOS BARRA
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UTILIZANDO EL METODO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES:
a qT T i L L B E A B dx N dx P
ae e e
k f
e
Lk B AE B dx
qe
LQ N dx
e
i f Q P
PARA UN ELEMENTO EN
PARTICULAR:
En estas expresiones, es
la matriz de rigidez del
elemento, es el vector de
desplazamientos nodales,
es el vector de fuerzas
distribuidas y el vector de
fuerzas concentradas en
los nodos del elemento.
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UTILIZANDO EL METODO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES:
PARA EL SISTEMA:
a K F
1 1 1
a an n n
e ee
e e e
K k F f
En esta ecuación, es la matriz de
rigidez general del sistema
(ensamblada), y son el vector de
los desplazamientos nodales
(incógnitas) y el vector de fuerzas
nodales del sistema (ensamblados),
respectivamente.
K
a F
ji dN
d N dN Bdx dx dx
a ad N du
Bdx dx
a E E B Esfuerzos normales
en los nodos del
elemento
A la matriz , que contiene las derivadas de las
funciones de forma, se le llama matriz de
deformación.
B
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El potencial más grande del MEF está quizás, en la solución deproblemas en medios continuos bi y tridimensionales cuyas
ecuaciones gobernantes se expresan en términos de derivadas
parciales.
Uno de los primeros elementos finitos usados en la práctica fue el
elemento triangular de tres nodos, debido a su gran versatilidad paraadaptarse a dominios con contornos irregulares.
El elemento triangular lineal tiene tres lados rectos y un nodo en
cada vértice. Al discretizar una región con elementos de este tipo se
recomienda que los triángulos, en la medida de lo posible, tengan
sus lados iguales aunque sean de diferentes tamaños.
ELEMENTOS BIDIMENSIONALES LINEALES
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ELEMENTOS BIDIMENSIONALES LINEALES
x, u
y, v P x
y P
q y
xq
i j
k
e u iiv
uk k v
e
u j jv
k
i
j
En los problemas
bidimensionales la solución
aproximada de la ecuación
gobernante depende de las
coordenadas x y y . Si seconsidera que dentro de cadaelemento triangular la soluciónaproximada dependelinealmente de ambascoordenadas, entonces la
función aproximada puedeexpresarse en la siguienteforma:
1 2 3( , ) x y x y
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ELEMENTOS BIDIMENSIONALES LINEALES
En general, las funciones de forma de los elementos triangulares tienenpropiedades similares a las enunciadas para los elementos unidimensionales, estas
propiedades son:
• Cada nodo del elemento tiene su propia función de forma.
• Las funciones de forma de un elemento solo dependen de las coordenadas x, y. • Las funciones de forma tienen un valor igual a la unidad en su propio nodo y son
igual con cero en los otros nodos del elemento como se muestra en la Figura 2. De esto se deduce que la función de forma de un nodo varía linealmente a lo
largo de los lados que convergen en él y es igual con cero sobre el lado opuesto.
( ) 1 ( ) 0 ( ) 0
( ) 0 ( ) 1 ( ) 0
( ) 0 ( ) 0 ( ) 1
i i j i k i
i j j j k j
i k j k k k
N x N x N x
N x N x N x
N x N x N x
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ELEMENTOS BIDIMENSIONALES LINEALES
x
y
i N
i
j
k
N = 1i
x
y
j N
i
j
k
j
x
y
k N
i j
k
N = 1k
N = 0i
N = 0i
N = 1 N = 0 j
N = 0 j
N = 0k
N =0k
FIG. 2 FUNCIONES DE FORMA DEL ELEMENTO TRIANGULAR LINEAL
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CÁLCULO DE ESFUERZOS EN SÓLIDOS ELÁSTICOS
BIDIMENSIONALES
Una de las primeras aplicaciones del método de los elementos finitos fue el
cálculo de esfuerzos en sólidos elásticos. En este tipo de problemas, el MEF se aplica para determinar los desplazamientos nodales y posteriormente se
calculan las deformaciones y los esfuerzos correspondientes.
DISCRETIZACIÓN DE LA REGIÓN DE CÁLCULO
La región de cálculo se debe discretizar con elementos triangulares
considerando los siguientes criterios:
• Los lados de los triángulos deben ser aproximadamente iguales,
evitando triángulos demasiado alargados o estrechos.
• La colocación de los triángulos debe seguir aproximadamente la
forma geométrica del cuerpo analizado.• Se deben colocar nodos en los puntos de aplicación de las cargas
concentradas y en los puntos donde comienzan y terminan las cargas
distribuidas.
• Se deben colocar nodos en los todos los puntos de apoyo.
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ECUACIONES BÁSICAS DE LA TEORÍA ELÁSTICA DE ESFUERZOS
0
0 x
y
xy
u
x x
uv
y v y
u v
y x y x
S u
0
0 y
x
uS
v y
y x
u
FORMA MATRICIAL:
2
12
1 0
1 01
0 0 (1 )
x x
y y
xy xy
E
1 01
(1 )1 0
(1 ) (1 2 ) 1
1 20 0
2(1 )
x x
y y
xy xy
E
ESTADO PLANO DE
ESFUERZOS
ESTADO PLANO DE
DEFORMACIONES
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ECUACIONES BÁSICAS DE LA TEORÍA ELÁSTICA DE ESFUERZOS
FORMA COMPACTA
ESTADO PLANO DE
ESFUERZOS
ESTADO PLANO DE
DEFORMACIONES
D
2
1
2
1 011 0
(1 )1 0 ó 1 0
1 (1 )(1 2 ) 10 0 (1 )
1 20 0
2(1 )
E E D D
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FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES BÁSICAS DEL MEF
u u
v v
i i j j k k
i i j j k k
N u N u N u N
N v N v N v N
N au
i
i
2 1
6 1
u
v
uuy
vv
u
v
j
j
k
k
a
u
2 6
0 0 0
0 0 0
i j k
i j k i j k
N N N N N N N
N N N
00 0
00 0
ji k
i j k ji k
N N N
N N N N N N
S N a B a
0 0 0
0 0 0
ji k
ji k
j ji i k k
N N N
x x x
N N N B
y y y
N N N N N N
y x y x y x
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
i j k
i j k
i j k
i j k
N N N b b b
x A x A x A
N N N c c c
y A y A y A
0 0 01
0 0 02
i j k
i j k
i i j j k k
b b b
B c c c A
c b c b c b
Esta matriz no depende de las coordenadas y sólo
contiene valores constantes
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FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES BÁSICAS DEL MEF
Una vez conocidos los desplazamientos nodales se
pueden calcular los esfuerzos en cada elemento
ee e D B a
Los esfuerzos en cualquier punto de un elemento resultan serconstantes pero varían de elemento a elemento. Este
comportamiento es una característica particular de los
elementos triangulares lineales (que no se presenta en otros
tipos de elementos finitos) y se debe considerar en el
momento de determinar el tamaño de los elementos. Es
común asociar los esfuerzos calculados con un punto ubicadoen el centroide de cada elemento.
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ELEMENTO RECTANGULAR BILINEAL
El elemento rectangular de cuatro nodos apareció inmediatamente
después del elemento triangular y es el más simple de la familia de
los elementos rectangulares.
El elemento rectangular tiene lados paralelos a los ejes generales x e y . Se acostumbra numerar sus nodos en dirección contraria a las
manecillas del reloj comenzando con el nodo inferior izquierdo. Laaltura del elemento se considera igual a 2b y su base a 2a, como
se muestra en la Figura 3
2 a
2 b
e
r
s
i
m k
k m
ji
y
x
q
s
r
jt
FIG. 3 ELEMENTO RECTANGULAR BILINEAL
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FUNCIÓN APROXIMADA. FUNCIONES DE FORMA
Cada función de forma varía linealmente a lo largo de los dos lados
del rectángulo que convergen en su nodo y vale uno en su propio
nodo y cero en los otros nodos del rectángulo.
Una vez conocidos los valores nodales de la función aproximada es
posible determinar los valores de esta misma función en cualquier
punto en el interior de un elemento.La variación lineal de la función a lo largo de los lados de los
elementos rectangulares y triangulares hace que estos elementos
sean compatibles y se puedan combinar en la solución de un
mismo problema.
1 11 1 1 14 4
1 11 1 1 1
4 4
i j
k m
r s r s N a b a b
r s r s N
a b a b
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EVALUACIÓN DE LAS MATRICES DE LOS ELEMENTOS
N au
i
i
2 1
8 1
y
j
j
k
k
k
k
u
v
u
vua
uv
vu
v
u
2 8 j
N N N N N i k m
2 2
0, , ,
0
ii
i
N N i i j k m
N
B a
0 0 0 0
0 0 0 0
ji k m
ji k m
j ji i k k m m
N N N N
x x x x
N N N N B
y y y y
N N N N N N N N
y x y x y x y x
3 8
i j k m B B B B B
3 2
0
0 , , ,
i
i
i
i i
N
x N
B i i j k m y
N N
y x
1 1 4 4
3 32 2
3 32 1 1 4 2 4
0 0 0 0
0 0 0 0
c c c c
c cc c B
c cc c c c c c
1 2
3 4
1 1
4 4
1 1
4 4
b s a r c c
a b a b
a r b sc c
a b a b
Se deduce que, a diferencia del
elemento triangular, la matriz de
deformación del elemento
rectangular depende de las
coordenadas locales r y s y por lotanto es posible determinar los
esfuerzos en cualquier punto del
elemento.
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EVALUACIÓN DE LAS MATRICES DE LOS ELEMENTOS
Es importante recordar que a
diferencia del elemento triangular,
ahora la matriz de deformación es
una función que depende de las
coordenadas locales del elemento y
de sus dimensiones. Entonces, se
pueden calcular los esfuerzos encualquier punto de un elemento
sustituyendo las coordenadas
apropiadas en la siguiente expresión
Es frecuente calcular los esfuerzos en
los puntos nodales de cada elemento
y posteriormente se presentan enforma gráfica como isolíneas de
esfuerzos. La deficiencia principal de
los elementos rectangulares bilineales
es su poca adaptabilidad a contornos
irregulares, de aquí que su uso sea
poco frecuente.
,T
i j i j
r a s b
r a s b
k B D B t ds dr
11 12
12 11
33
11 12 332 2 2
11 12 33
0
0
0 0
(1 ). . :
1 1 2(1 )
1. . . :
1 1 2 1 1 2 2(1 )
D d d
d
E E E e p de esfuerzos d d d
E E E e p de desp d d d
K U F
( , , ) ( , , ) ee e
e r s D B e r s a
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Funciones de forma para elementos unidimensionales
cuadráticos
21 2 3( ) a a a
3
1
2
L / 2
L / 2
Funciones de forma para elementos triangulares
cuadráticos
1 2 3 4 5 6( , ) x y a a x a y a x a x y a y
y
x
3
2
1
4
5
6
L = 1
1
1 L = 1 / 2
L = 0
1 1 L = 0
L = 1 / 2
1
1 L = 1
6
5
4
1
2
3
x
y
L = 1 / 2
2
2 L = 1
2 L = 0
L
=
1 /
2
3
3
L
=
0
3
L
=
1
a) b)
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Funciones de forma para elementos triangulares
cúbicos
Funciones de forma para elementos rectangulares
Lagrangianos
2 2 3 2 2 31 2 3 4 5 6 7 8 9 10( , ) x y a a x a y a x a x y a y a x a x y a x y a y
x
3
2
1
4
5
6
7
8
9
10
y
n mi i jl l
1 2 3
4
9
8
7 6 5
4 3
1 2
c)a) b)
Elementos Lagrangianos: a) Lineal, b) cuadrático y c) cúbico
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Funciones de forma de la familia “serendípita” en elementos rectangulares
b)a) c)
21
34
567
8 4
321
1 3 42
9 7810
6
512
11
Es conveniente que el polinomio de interpolación y las funciones de forma
solo dependan de las coordenadas de nodos situados en el contorno del
elemento. Precisamente esta propiedad tienen los elementos
rectangulares de la familia serendípita.
Figura 5 Elementos de la familia “ serendípita”: a) lineal, b) cuadrático y c) cúbico
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Figura 6 ELEMENTOS PRISMATICOSRECTANGULARES
(FAMILIA SERENDIPITIA)
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CRITERIOS DE FALLA EN MATERIALES DUCTILES
Teoría de la tensión tangencial
máxima Criterio de Tresca)
, la tensión de límite elástico del material
de la pieza.
, mayor y la menor tensión principal en elpunto considerado.
Teoría de la máxima energía
de distorsión Criterio de Von
Mises)
, son las tensiones principales en el punto considerado.
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CRITERIOS DE FALLA EN MATERIALES DUCTILES
Comparación de las superficies de fluencia para
los criterios de Von Mises y Tresca usando
las tensiones principales como coordenadas.
Figura 8
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APLICACIONES
Figura 9 ANCLAJE DE VARILLAS EN UN BLOQUE DE CONCRETO
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APLICACIONES
Figura 10 PLACA BASE
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PLIC CIONES…
Figura 11 PLACA BASE
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PLIC CIONES…
Figura 12 MODELADO DE PUENTE VEHICULAR
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PLIC CIONES…
Figura 13 SECCION DE PUENTE CURVO
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PLIC CIONES…
Figura 14 TORRES BICENTENERIO
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PLIC CIONES…
Figura 15 ESFUERZOS EN LA ABERTURA EN UNA PLACA
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PLIC CIONES…
Figura 16 ESFUERZOS EN UNA ESFERA SUJETA A PRESION INTERNA
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PLIC CIONES…
Figura 17 ESFUERZOS EN UNA VIGA IPR
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PLIC CIONES…
Figura 18 BANCO DE APOYO METÁLICO PARA UN PUENTE
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FINAL DE LA PRESENTACION
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