El genio, el aventurero y las redes cristalinas / CIENCIORAMA 1

El genio, el aventurero y las redes cristalinas

Carlos Velázquez

En la primera mitad del siglo XIX dos grandes científicos combinaron sus

talentos y personalidades completamente opuestas para resolver uno de los

más grandes misterios de la ciencia: ¿cómo se organizan los átomos de un

cristal?

Honorable pero incompleta

Para finales del siglo XVIII el estudio de los cristales –los minerales que

tienen átomos con arreglo regular y suelen tener caras planas– había

avanzado mucho, y de la mano de científicos como Steno, L'Isle y Haüy

llegó a ser una ciencia respetada. Ellos encontraron que los ángulos que

forman las caras de los minerales cumplían leyes simples e invariables que

no dependían del tamaño de las muestras o de la manera como se habían

formado (ver en http://cienciorama.unam.mx/ "Joyas de la ciencia..."). En ese

tiempo el estudio de los cristales era tema de actualidad científica. Las

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formas exteriores de los minerales sugerían que en su interior había una

estricta organización, y hubo incluso quienes sugirieron que allí debían existir

pequeños fragmentos en forma de cubos o prismas imposibles de

descomponer en piezas más pequeñas, que eran los componentes últimos

de los cristales.

El genio

El 29 de junio de 1801 nació en Alemania Moritz Ludwig Frankenheim, quien

desde pequeño demostró un talento fuera de serie. Obtuvo su grado doctoral

a los 22 años en el Alma Mater Berolinensis, hoy día Universidad Humboldt

de Berlín, y a los 26 años se trasladó a la Universidad de Breslau, Alemania,

donde ejerció como profesor adjunto de matemáticas, física y geografía. Sin

embargo lo más importante en su formación fue descubrir que le fascinaban

los cristales. En 1826 escribió un primer artículo general sobre el tema y

tres años después discutió en otro texto las propiedades cohesivas o qué

tan fuerte se pegan las capas de los cristales.

Pero su mayor contribución a la cristalografía vendría años más tarde

cuando acabó de pulir un modelo en el que trabajaba. En él tomó como

punto de partida la hipótesis, en ese momento aún no demostrada, de que

existían los átomos, que él concibió como pequeñas esferas iguales que

concentraban la masa y la identidad de un elemento químico. Este detalle

es digno de reconocimiento porque en la época en que él vivió muchos

científicos dudaban de la existencia de los átomos y su modelo se tomó en

cuenta sólo como una posibilidad más para explicar las propiedades

observadas en los cristales.

Frankenheim imaginó los átomos como pequeñas esferas que ocupan

un pequeño volumen formando una red de puntos repartidos en el espacio

según un patrón que se repite. A partir de su modelo quería descubrir si

estos patrones eran capaces de reproducir las propiedades observadas en

los cristales reales.

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Figura 1. En la parte izquierda tenemos una red arbitraria de puntos. A la derecha está

una copia de la red pero desplazada una distancia (puntos rojos), y aunque un punto de

las dos redes coincide (señalado en verde), todos los demás puntos no coinciden.

Para entender esto vale la pena revisar lo que hoy sabemos sobre la teoría

de las redes de puntos en dos dimensiones, por ejemplo la red de la parte

derecha de la figura 1. Si tomamos esta red y la desplazamos 1 cm a la

derecha y luego la sobreponemos a la red original, veremos que sólo unos

pocos puntos coinciden con otros puntos de la red original, como se ilustra

a la derecha de la figura 1. En este caso, decimos que la red no tiene

simetría en esta traslación. Y si realizamos el mismo proceso con la figura

2, pero desplazamos la red de la izquierda sólo 1 cm sobre la segunda,

vemos que todos los puntos coinciden. Cuando una red cumple esta

propiedad decimos que es invariable o simétrica en los desplazamientos.

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Figura 2. En este segundo ejemplo de redes se cumple la propiedad de que al ser

desplazada la red queda exactamente igual.

Con este antecedente surge la pregunta lógica de cuántos tipos de redes

quedan invariables al aplicarles un desplazamiento. Para investigarlo hay que

arrastrar el lápiz una buena cantidad de tiempo. Por ejemplo la red de la

figura 2 resulta ser invariante al aplicarle dos tipos de desplazamientos en

la dirección a y en la dirección b. Y si giramos esta red 180° a partir de

cualquier punto obtenemos otra vez la misma red. Éste es otro tipo de

simetría y se llama simetría ante rotaciones o rotacional. Para no hacer el

cuento largo, en la figura 3 se indican todos los tipos de redes en dos

dimensiones que se mantienen invariantes cuando se les aplica un

desplazamiento.

Frankenheim tenía una noción de todo esto, pero él quería saber algo

más: cuáles redes en tres dimensiones permanecían invariantes al aplicarles

un desplazamiento. A pesar de que la solución completa no era

absolutamente obvia, era fácil pensar en algunos tipos sencillos de redes en

tres dimensiones que lo cumplían. La más sencilla de todas era una

constituida por los vértices de un conjunto de cubos ordenados para que

ocuparan todo el espacio. Lo mismo pasaría si en vez de cubos perfectos

se usaran prismas rectangulares (figura 7).

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Figura 3. Redes bidimensionales.

Mientras Frankenheim trabajaba en la teoría de los cristales, otro protagonista

de esta historia se abría paso en mundo de la física.

Figura 4. Es posible obtener algunas redes tridimensionales como las que Frankenheim

buscaba si consideramos que los puntos están ubicados en los vértices de un apilamiento

de cubos o de prismas rectangulares.

El aventurero

El 23 de agosto de 1811 nació Joseph Auguste Bravais en un barrio cercano

a París. Fue también un niño con grandes talentos, pero su temperamento

era todo lo contrario al del tranquilo y teórico Frankenheim. Bravais recibió

una educación clásica en el College Stanislas en París, donde se graduó en

1827 a los 16 años. Dos años más tarde ganó un concurso de matemáticas

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y fue aceptado en la Escuela Politécnica. Al final de su primer año escolar

obtuvo las mejores calificaciones en todas las clases.

Dado su evidente potencial, se le ofreció la posibilidad de elegir la

especialización de su preferencia. Cualquiera hubiera pensado en una prolífica

carrera en física, química o matemáticas, sin embargo pidió entrar a servir

en la armada francesa. Tal decisión desconcertó sólo a los que no sabían

que desde la infancia su gran sueño había sido explorar el mundo. Poco

después, en 1832, con 21 años de edad, zarpó en su primer viaje por el

Mediterráneo rumbo a Argelia. Y ésta fue sólo la primera expedición en una

vida llena de aventuras.

La curiosidad científica de Bravais era insaciable. A partir de las

observaciones que realizó en sus viajes publicó varios artículos relacionados

con los órganos que componen las plantas, lo cual le valió ser elegido

miembro de la Sociedad Filomática, o sea de apoyo a las ciencias, de París.

En sus largos viajes solía mandar correspondencia a la Academia de Ciencias

Francesa con observaciones botánicas, pero también estaba vivamente

interesado en la astronomía, la meteorología y el magnetismo terrestre.

Bravais tenía una mente en la que bullían ideas y en la que se entrelazaban

los más diversos campos del conocimiento.

Su vida de viajes duró poco más de una década, hasta que en 1845

aceptó un puesto como profesor de astronomía en la Escuela Politécnica.

Igual que su predecesor, el clérigo Haüy, la fascinación por la simetría de

las plantas lo condujo a las simetrías de los cristales. En esos años comenzó

a elucubrar sobre la estructura interna de los cristales y se encontró con

los trabajos publicados por Frankenheim.

Las redes de Frankenheim

Mientras Bravais recorría el mundo, Frankenheim desarrollaba sus ideas sobre

cristalografía. Después de un arduo trabajo de síntesis publicó sus resultados

en 1835 en un artículo que llevó el rimbombante nombre de “Teoría de la

cohesión, incluyendo la elasticidad de los gases y la elasticidad y coherencia

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de los cuerpos sólidos, líquidos y cristalinos”. En este trabajo afirmaba que

las redes que podían permanecer invariantes ante un desplazamiento eran

15.

Realizó un trabajo monumental de investigación matemática, pero al

mismo tiempo otros fraguaban muchas otras ideas que tenían que ver con

el tema y que se condensaron en la recién surgida teoría de grupos, en

ellas influyeron los matemáticos Galois y Abel entre otros (para saber más

sobre la vida de estos extraordinarios matemáticos puedes leer El elegido

de los dioses: la vida de Evariste Galois de Leopold Infeld, publicado en Siglo

XXI).

Si tenemos una esfera perfecta, la giramos sobre su eje y después la

detenemos la veremos exactamente igual que antes, esto significa que es

simétrica ante una rotación y a las matemáticas que se aplican para estudiar

la simetría de un objeto, como puede ser una red, se les llama teoría de

grupos. Las simetrías están presentes en una gran cantidad de situaciones

matemáticas y físicas, y en la cristalografía son fundamentales. La

investigación de Frankenheim sobre las redes invariantes fue un estudio

sobre simetría, aunque él no lo había visto así, y resulta irónico saber que

la teoría de grupos se empezó a popularizar poco después de que publicó

su trabajo en 1846, pero más irónico resulta que Bravais conoció los trabajos

de Frankenheim justo después de haber estudiado los nuevos desarrollos de

la teoría de grupos.

Las redes de Bravais

La mente de Bravais trabajaba de manera distinta a la metódica mente de

Frankenheim. Bravais siempre estaba pendiente de las ideas de otros, las

tomaba y las aplicaba en los más diversos campos. El estilo de pensamiento

de Bravais era intrépido, y se sentía a gusto entre las ciencias más disímiles.

Su entusiasmo por la simetría y los cristales devino de su interés por la

descripción de las plantas, y para él fue natural acercarse a la teoría de

grupos, o sea al estudio de la simetría que en ese momento se estaba

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popularizando. Podemos imaginar cómo habrá gozado aplicando estas ideas

y cómo habría encontrado simetrías ocultas en sus amadas plantas.

La aplicación de la teoría de grupos a la forma exterior de los cristales

es algo natural. Por eso cuando Bravais leyó casualmente los trabajos de

Frankenheim donde hablaba de la forma en que los hipotéticos átomos se

organizaban en un cristal, le sorprendió que no hubiera utilizado la teoría

de grupos. Las ideas de Frankenheim resultaban muy atractivas pues con

pocos enunciados se podía descubrir cómo se formaban los ángulos de las

caras de las gemas preciosas. Después de pensarlo un poco, decidió lo que

en su opinión cualquier científico sensato haría: combinó las dos teorías

para ver qué pasaba.

El resultado que Bravais obtuvo no fue tan sorprendente: las

matemáticas de Frankenheim eran muy buenas, pero no habían tomado en

cuenta todas las simetrías posibles y como resultado se equivocó al

considerar que dos tipos de redes eran distintas cuando en realidad eran

las mismas, de modo que el número correcto de redes era 14. Bravais

publicó este resultado y lo improbable ocurrió: el artículo gustó como el pan

caliente. De inmediato muchos cristalógrafos se dieron cuenta de la

trascendencia de estas ideas y no pasó mucho para que todos estuvieran

hablando de las redes de Bravais.

Celdas unitarias

Podemos entender las redes de Frankenheim y Bravais más fácilmente si

retomamos la idea de que podemos generar una red utilizando los vértices

de un poliedro. Las redes de Bravais se suelen representar considerando

uno solo de estos poliedros e indicando con puntos los lugares donde se

ubican los átomos. A estas figuras se les conoce como celdas unitarias. En

la figura 5 se representa una de las 14 celdas unitarias de las redes de

Frankenheim y Bravais.

Podríamos pensar que al agregar un átomo a alguna de las celdas

unitarias se obtendría una nueva red, sin embargo siempre que lo hacemos

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o bien obtenemos una red que no es invariante ante desplazamientos o bien

podemos demostrar que hemos caído en otra de las 14 redes. Las redes

de Frankenheim y Bravais se han conservado como uno de los grandes

pilares de la cristalografía moderna. A partir de estos modelos se pueden

comprender muchas de las propiedades que observamos en los cristales

reales.

A pesar de que el crédito por las redes fue para Bravais, Frankenheim

no entró en una controversia con él sino que continuó con sus clases y

dejó por un tiempo el campo de la cristalografía. Durante ese tiempo lo

absorbió la geografía, la otra pasión de su vida. A Frankenheim le intrigaban

las diferencias entre los distintos pueblos, pero a diferencia de Bravais,

prefería revisar los tratados y los libros acerca de ellos en lugar de viajar.

A partir de sus años de estudio escribió su obra más importante en geografía:

Völkerkunde (Etnología). Tras este interludio de estudios sociales, regresó al

estudio de los cristales, y tras analizar las ideas de Bravais, se dio cuenta

de que podía extender su propio trabajo utilizando métodos originales y

llegar también al resultado de las 14 redes. Después de esto publicó más

trabajos acerca de las formas de crecimiento de los cristales a partir de las

redes.

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Figura 5. Redes de Bravais. En la figura se indica si la longitud de los lados de las caras son

iguales o distintas, también se indican los valores que pueden tener los ángulos para cada tipo de

red. Finalmente, las letras indican la manera en que se ordena la red: P significa que sólo hay

átomos (según lo pensaba Frakenheim) en los vértices, I significa que hay un átomo extra en el

centro del poliedro. C implica que hay un átomo en las caras inferior y superior, mientras que F

significa que todas las caras tienen un átomo en el centro de las tapas.

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El agridulce final

Frankenheim murió en 1869, pero antes publicó la primera parte de un

trabajo enciclopédico acerca de los cristales, pero quedó trunco. La agitada

vida de Bravais tocó su cúspide al publicar su trabajo acerca de las redes

cristalinas, que incluso hoy día son ampliamente conocidas como las redes

de Bravais. Sin embargo, su historia agitada y llena de aventuras y ciencia

al extremo acabó pronto. En 1853 su padre murió debido a una caída

accidental. Poco después murió su hijo de fiebre tifoidea y al año siguiente

murió su hermano intoxicado en una planta de gas en Dijon. Todas estas

pérdidas lo afectaron mucho y para salir de la depresión se sumergió en el

trabajo abusando del café y dejando de dormir. Ni siquiera su incorporación

a la Academia de Ciencias en la sección de Geografía y Navegación ni el

otorgamiento de la Legión de Honor lo sacaron de su depresión, y los

efectos de una enfermedad desconocida que se ha especulado pudo ser

Alzheimer, lo terminaron de sumir en la desesperación. Bravais murió en

1863.

A pesar de sus agridulces finales, los trabajos de Frankenheim y de

Bravais siguen iluminando el camino del estudio de los cristales, y nos

muestran cómo dos mentes muy distintas pueden ser la llave para resolver

un gran misterio.

Bibliografía

• Léonce Élie de Beaumont, Éloge historique d'Auguste Bravais. Mémoires de l'Académie

des sciences de l'Institut de France, Gauthier-Villars, París, 1866, tomo 35, p. XXIII-

XCIX.

• José Lima-de-Faria. Historical Atlas of Crystallography. International Union of

Crystallography, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1990.

• Schuh, C. P. (2007a) Mineralogy & Crystallography: On the History of These

Sciences From Beginnings Through 1919, archives.org:

http://www.archive.org/details/History_Mineralogy_2007 .

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Figuras

Imagen inicial: https://sciencespourtous.univ-lyon1.fr/auguste-bravais-le-scientifique-

aventurier/

Figura 3:

http://iopscience.iop.org/0143-0807/35/5/055021/downloadHRFigure/figure/ejp498814f1

Figura 4:

http://etc.usf.edu/clipart/42700/42755/cubes-25_42755_lg.gif

https://i.stack.imgur.com/WhBGM.png

Figura 5:

http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_03_4.html