ElHombrequeCalculaba

Por

JulioCésardeMelloySouza

CAPÍTULOI

Enelcualencuentro,duranteunaexcursión,unviajerosingular.Quéhacíaelviajeroycuáleseranlaspalabrasquepronunciaba.

Ciertavezvolvía,alpasolentodemicamello,porelcaminodeBagdad,deunaexcursiónalafamosaciudaddeSamarra,enlasmárgenesdelTigris,cuando vi, sentado en una piedra, a un viajero modestamente vestido, queparecíareposardelasfatigasdealgúnviaje.

Disponíameadirigiraldesconocidoel“zalam”trivialde loscaminantes,cuandocongransorpresalevilevantarseypronunciarlentamente:

—Unmillóncuatrocientosveintitrésmil,setecientoscuarentaycinco.

Sentóse enseguida y quedó en silencio, la cabeza apoyada en lasmanos,comosiestuvieraabsortoenprofundameditación.

Me paré a corta distancia yme puse a observarle como lo habría hechofrenteaunmonumentohistóricodetiemposlegendarios.

Momentosdespuésselevantó,nuevamente,elhombre,y,convozclaraypausada,enuncióotronúmeroigualmentefabuloso:

—Dosmillones,trescientosveintiúnmil,ochocientossesentayseis.

Yasí,variasveces,elextravaganteviajero,puestodepie,decíaunnúmerodevariosmillones,sentándoseenseguidaenlatoscapiedradelcamino.

Sin saber refrenar la curiosidad que me aguijoneaba,meaproximéaldesconocido,ydespuésdesaludarloennombredeAlah(conÉlenlaoraciónyenlagloria),lepreguntéelsignificadodeaquellosnúmerosquesólopodríanfigurarenproporcionesgigantescas.

—¡Forastero! – respondió el “Hombre que calculaba”—, no censuro lacuriosidadquetellevóaperturbarlamarchademiscálculosylaserenidaddemis pensamientos.Y, yaque supiste ser delicado al hablar y al pedir, voy asatisfacertudeseo.Paraesonecesito,sinembargo,contartelahistoriademivida.

Ynarrómelosiguiente:

CAPÍTULOII

EnelcualBeremísSamir,el“Hombrequecalculaba”,cuentalahistoriadesuvida.Cómofuiinformadodelosprodigiososcálculosquerealizabaypor

quénoshicimoscompañerosdeviaje.

MellamoBeremísSamirynacíenlapequeñaaldeadeKhoy,enPersia,alasombradelagranpirámideformadaporelmonteArarat.Siendomuyjoventodavía,meempleécomopastoralserviciodeunricoseñordeKhamat.

Todos losdías,alsalirelSol, llevabaelgranrebañoalcampo,debiendoponerloalabrigo,alatardecer.Portemordeextraviaralgunaovejayserportalnegligenciacastigado,contábalasvariasvecesduranteeldía.

Fui,así,adquiriendo,pocoapoco, talhabilidadparacontarque,aveces,instantáneamente, calculaba sinerror el rebañoentero.Nocontentoconeso,paséaejercitarmecontandoademáslospájaroscuando,enbandadas,volabanpor el cielo. Volvíme habilísimo en ese arte. Al cabo de algunos meses –gracias a nuevos y constantes ejercicios—, contando hormigas y otrospequeños insectos, llegué a practicar la increíble proeza de contar todas lasabejasdeunenjambre.Esahazañadecalculistanadavaldríafrentealasotrasquemás tarde practiqué.Mi generoso amo, que poseía, en dos o tres oasisdistantes, grandes plantaciones de dátiles, informado de mis habilidadesmatemáticas,meencargódedirigirsuventa,contándolosyounoporunoenlos cachos.Trabajé asía al pie de los datileros cerca de diez años.Contentocon las ganancias que obtuvo, mi bondadoso patrón acaba de concedermealgunosmesesdedescanso,yporesovoyahoraaBagdadpuesdeseovisitaraalgunosparientesyadmirar lasbellasmezquitasy los suntuosospalaciosdeesa bella ciudad. Y para no perder el tiempo, me ejército durante el viaje,contandolosárbolesquedansombraalaregión,lasfloresquelaperfumanylospájarosquevuelanenelcielo,entrelasnubes.

Y señalando una vieja y grande higuera que se erguía a poca distancia,prosiguió:

— Aquel árbol, por ejemplo, tiene doscientas ochenta y cuatro ramas.Sabiendo que cada rama tiene, término medio, trescientas cuarenta y sietehojas,sededucefácilmentequeaquelárboltendráuntotaldenoventayochomilquinientascuarentayochohojas.¿Quéleparece,amigo?

—¡Quemaravilla!–exclaméatónito—.¡Esincreíblequeunhombrepuedacontar todos los gajos de un árbol, y las flores de un jardín! Tal habilidadpuedeproporcionaracualquierpersonaunmediosegurodeganarenvidiablesriquezas.

—¿Cómoeseso?–preguntóBeremís—,¡Jamáspasópormiimaginaciónquepudieraganarsedinerocontandolosmillonesdehojasdelosárbolesolosenjambres de abejas! ¿Quién podría interesarse por el total de ramas de unárboloporelnúmerodepájarosquecruzanelcieloduranteeldía?

—Vuestraadmirablehabilidad–expliqué—podríaserempleadaenveintemil casos diferentes. En una gran capital como Constantinopla, o aún enBagdad, seríais útil auxiliar para elGobierno.Podríais calcular poblaciones,ejércitosyrebaños.Fácilosseríaevaluarlasriquezasdelpaís,elvalordelascolectas,losimpuestos,lasmercaderíasytodoslosrecursosdelEstado.Yoosaseguro–por las relacionesquemantengo,puessoybagdalí,quenoosseríadifícil obtener una posición destacada junto al glorioso califa Al-Motacen(nuestroamoyseñor).Podríais,talvez,ejercerelcargodevisir–tesoreroodesempeñarlasfuncionesdeFinanzasmusulmanas.

—Siesasí,joven–respondióelcalculista—nodudomás,yosacompañohaciaBagdad.

Y sin más preámbulo, se acomodó como pudo encima de mi camello(únicoqueteníamos),rumboalaciudadgloriosa.

Deahíenadelante,ligadosporeseencuentrocasualenmediodelagrestecamino,noshicimoscompañerosyamigosinseparables.

Beremíseradegenioalegreycomunicativo. Jovenaún–puesno tendríaveintiséisaños—,estabadotadodegraninteligenciaynotableaptitudparalaciencia de los números. Formulaba, a veces, sobre los acontecimientosmásbanalesdelavida,comparacionesinesperadasquedenotabangranagudezadeespírituyverdaderotalentomatemático.

Beremís también sabía contar historias y narrar episodios que ilustrabansusconversaciones,deporsíatrayentesycuriosas.

Avecespasábasevariashoras,enhoscosilencio,meditandosobrecálculosprodigiosos. En esas oportunidades me esforzaba por no perturbarlo,quedándome quieto, a fin de que pudiera hacer, con los recursos de sumemoriaprivilegiada,nuevosdescubrimientosenlosmisteriososarcanosdelaMatemática,cienciaquelosárabestantocultivaronyengrandecieron.

CAPÍTULOIII

Singular aventura acerca de 35 camellos que debían ser repartidos entretres árabes. Beremís Samir efectúa una división que parecía imposible,conformandoplenamentea los tresquerellantes.Laganancia inesperadaqueobtuvimosconlatransacción.

Hacíapocashorasqueviajábamossininterrupción,cuandonosocurrióunaaventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso enpráctica,congrantalento,sushabilidadesdeeximioalgebrista.Encontramos,

cerca de una antigua posadamedio abandonada, tres hombres que discutíanacaloradamente al lado de un lote de camellos. Furiosos se gritabanimproperiosydeseabanplagas:

—¡Nopuedeser!

—¡Estoesunrobo!

—¡Noacepto!

ElinteligenteBeremístratódeinformarsedequesetrataba.

—Somoshermanos–dijoelmásviejo—yrecibimos,comoherencia,esos35camellos.Según la expresavoluntaddenuestropadre,deboyo recibir lamitad,mi hermanoHamedNamir una tercera parte, yHarim, elmás joven,unanovenaparte.No sabemos sinembargo, comodividir de esamanera35camellos,yacadadivisiónqueunoproponeprotestan losotrosdos,pues lamitadde35es17ymedio.¿Cómohallarlaterceraparteylanovenapartede35,sitampocosonexactaslasdivisiones?

—Esmuysimple–respondióel“Hombrequecalculaba”—.Meencargarédehacerconjusticiaesadivisiónsimepermitísquejuntealos35camellosdelaherencia,estehermosoanimalquehastaaquínostrajoenbuenahora.

Tratéenesemomentodeintervenirenlaconversación:

—¡Nopuedoconsentirsemejantelocura!¿Cómopodríamosdartérminoanuestroviajesinosquedáramossinnuestrocamello?

—Notepreocupesdelresultado“bagdalí”–replicóenvozbajaBeremís—.Semuybienloqueestoyhaciendo.Dametucamelloyverás,alfin,aqueconclusiónquierollegar.

Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y leentreguémihermoso“jamal”,queinmediatamentejuntóconlos35camellosqueallíestabanparaserrepartidosentrelostresherederos.

—Voy,amigosmíos–dijodirigiéndosealostreshermanos—ahacerunadivisiónexactadeloscamellos,queahorason36.

Yvolviéndosealmásviejodeloshermanos,asílehabló:

—Debíasrecibir,amigomío,lamitadde35,osea17ymedio.Recibirásencambio lamitadde36,osea,18.Nada tienesquereclamar,puesesbienclaroquesalesganandoconestadivisión.

Dirigiéndosealsegundoherederocontinuó:

—Tú,HamedNamir,debíasrecibirunterciode35,osea,11camellosypico. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porquetambiénesevidentequeganasenelcambio.

Ydijo,porfin,almásjoven:

—Ati,jovenHarimNamir,quesegúnvoluntaddetupadredebíasrecibirunanovenapartede35,osea,3camellosypartedeotro,tedaréunanovenapartede36,esdecir,4,ytugananciaserátambiénevidente,porlocualsóloterestaagradecermeelresultado.

Luegocontinuódiciendo:

—Porestaventajosadivisiónquehafavorecidoatodosvosotros,tocarán18camellosalprimero,12alsegundoy4al tercero, loquedaunresultado(18+12+4)de34camellos.De los36camellos sobran,por lo tanto,dos.Unopertenece,comosaben,amiamigoel“bagdalí”yelotrometocaamí,porderecho,yporhaberresueltoasatisfaccióndetodos,eldifícilproblemadelaherencia.

— ¡Sois inteligente, extranjero! –exclamó el más viejo de los treshermanos—.Aceptamosvuestrorepartoenlaseguridaddequefuehechoconjusticiayequidad.

Elastutoberemís–el“Hombrequecalculaba”—tomóluegoposesióndeunodelosmáshermosos“jamales”delgrupoymedijo,entregándomeporlariendaelanimalquemepertenecía:

—Podrásahora,amigo,continuartuviajeentumansoysegurocamello.Tengoahorayo,unosolamenteparamí.

YcontinuamosnuestrajornadahaciaBagdad.

CAPÍTULOIV

Enelcualencontramosunricosheik,casimuertodehambreeneldesierto.La propuesta que nos hizo sobre los ocho panes que teníamos y como seresolvió,demaneraimprevista,elpagoconochomonedas.LastresdivisionesdeBeremís:ladivisiónsimple,ladivisiónexactayladivisiónperfecta.Elogioqueunilustrevisirdirigióal“Hombrequecalculaba”.

Tres días después, nos aproximábamos a una pequeña aldea –llamadaLazakka— cuando encontramos, caído en el camino, a un pobre viajeroherido.

Socorrímosleydesulabiosoímoselrelatodesuaventura.

Llamábase Salem Nasair, y era uno de los más ricos negociantes deBagdad.Alregresar,pocosdíasantes,deBasora,conunagrancaravana, fue

atacado por una turba de persas, nómades del desierto. La caravana fuesaqueada, pereciendo casi todos sus componentes amanos de los beduinos.Sólo se había salvado él, que era el jefe, ocultándose en la arena, entre loscadáveres de sus esclavos. Al terminar el relato de sus desgracias, nospreguntóconvozangustiosa:

—¿Tenéis,porcasualidad,musulmanes,algunacosaparacomer?¡Estoycasimuriéndomedehambre!

—Tengosolamentetrespanes–respondí.

—Yotraigocinco–afirmóamiladoel“Hombrequecalculaba”.

— Pues bien –sugirió el sheik—; juntemos esos panes y hagamos unasociedad única. Cuando lleguemos a Bagdad os prometo pagar con ochomonedasdeoroelpanquecoma.

Así hicimos, y al día siguiente, al caer la tarde, entramos en la célebreciudaddeBagdad,laperladeOriente.

Alatravesarunahermosaplaza,nosenfrentamosconungrancortejo.Alfrente marchaba, en brioso alazán, el poderoso Ibraim Maluf, uno de losvisiresdelcalifaenBagdad.

AlverelvisirasheikSalemNasairennuestracompañía,gritó,haciendopararsupoderosaescolta,ylepreguntó:

—¿Quétehapasado,amigomío?¿PorquéteveollegaraBagdadsucioyharapiento,encompañíadedoshombresquenoconozco?

Eldesventuradosheiknarró,minuciosamente,alpoderosoministrotodoloque le ocurriera en el camino, haciendo los mayores elogios respecto denosotros.

—Pagasinpérdidadetiempoaesosdosforasteros,ordenóelvisir.

Y sacando de su bolsa 8 monedas de oro las entregó a Salem Nasair,insistiendo:

— Quiero llevarte ahora mismo al palacio, pues el Comendador de losCreyentes desea, con seguridad, ser informado de esta nueva afrenta que lobeduinospracticaran,almataranuestrosamigossaqueandocaravanasdentrodenuestrasfronteras.

— Voy a dejaros, amigos míos —; dijo Nasair— mas, antes deseoagradeceros el gran servicio que me habéis prestado. Y para cumplir lapalabra,ospagaréelpanquetangenerosamentemedierais.

Ydirigiéndoseal“Hombrequecalculaba”ledijo:

—Portuscincopanestedarécincomonedas.

Yvolviéndosehaciamí,concluyó:

—Yati,“bagdalí”,tedaréporlostrespanestresmonedas.

Congransorpresanuestra,el“Calculista”objetó,respetuosamente:

— ¡Perdón, oh sheik!Ladivisiónhechade esemodo serámuy sencilla,masnoesmatemáticamenteexacta.Siyodi5panes,deborecibir7monedas;ymicompañero,“elBagdad”quediotrespanes,solamentedeberecibirunamoneda.

—¡PorelnombredeMahoma!–dijoelvisirIbraim,interesadovivamenteporelcaso—.¿Cómojustificas,extranjero,tandisparatadaformadepagar8panes con 8 monedas? Si contribuiste con 5 panes, ¿por qué exiges 7monedas?Ysi tuamigocontribuyócon3panes,¿porquéafirmasquedeberecibirúnicamenteunamoneda?

El “Hombre que calculaba” se aproximó al poderoso ministro y así lehabló:

— Voy a probaros que la división de las monedas hecha en la formapropuesta por mí, es más justa y más exacta. Cuando, durante el viaje,teníamoshambre,sacabaunpandelacajaylopartíaentrestrozos,unoparacadaunodenosotros.Todoslospanesqueeran8,fuerondivididos,pues,enlamismaforma.Esevidente,porlotanto,quesiyotenía5panes,di15pedazos;si mi compañero tenía 3 panes, dio 9 pedazos. Hubo, así, un total de 24pedazos,deloscualescadaunodenosotroscomió8.Ahorabien;sidemis15pedazoscomí8,di, en realidad,7;ymicompañero,que tenía9pedazos, alcomerse 8, solo dio 1. Los 7 que di yo y el que suministró “el bagdalí”formaronlos8quecomieraelsheikSalemNasair.Porconsiguiente,es justoqueyoreciba7monedasymicompañero1.

El gran visir, después de hacer los mayores elogios al “Hombre quecalculaba”,ordenóquelefueranentregadaslas7monedas,puesamísólometocaba, por derecho, 1. La demostración lógica y perfecta presentada por elmatemáticonoadmitíaduda.

—Esadivisión– replicóentoncesel “Calculista”—esmatemáticamenteexacta,peroalosojosdeDiosnoesperfecta.

Ytomandolasochomonedasenlamanolasdividióendospartesiguales.Diómeunadeellasyseguardólaotra.

—Esehombreesextraordinario–exclamóelvisir—.Noaceptóladivisiónpropuesta de las ocho monedas en dos partes de 5 y 3, en la que salíafavorecido; demostró tener derecho a 7 y su compañero a 1, acabando pordividirlas8monedasendospartesiguales,querepartióconsuamigo.

Yañadióconentusiasmo:

—¡MacAlah!Esejoven,ademásdeparecermeunsabiohabilísimoenloscálculos deAritmética, es bueno como amigoy generoso como compañero.Tómoloahoramismocomosecretariomío.

—Poderosovisir–ledijoel“Hombrequecalculaba”—,veoqueacabáisdehacer,con29palabrasyuntotalde145letras,elmayorelogioqueoíenmivida,yyo,paraagradecéroslo,meveoenlaobligacióndeemplear58palabrasen las cuales figuran nadamenos que 290 letras, el doble de las vuestras5,precisamente.¡QueAlahosbendigayproteja!

Con estas palabras el “Hombre que calculaba” nos dejó a todosmaravilladosdesuarguciaeinvencibletalentodecalculista.

CAPÍTULOV

En el cual nos dirigimos a una posada. Palabras calculadas por minuto.Beremís resuelve un problema y determina la deuda de un joyero. LosmédicosdelreyArtajerjesylaAritmética.

DespuésdeabandonarlacompañíadelsheikNasairydelvisirMaluf,nosencaminamoshacia unapequeñaposaddenominada “PatitoDorado”, en losalrededoresdelaMezquitadeSolimán.

Allívendimosnuestroscamellosaunchamir1demiconfianza,quevivíacerca.

EnelcaminodijeaBeremís:

— Ya veis, amigo, tuve razón cuando afirmé que un calculista hábilhallaríaconfacilidadunbuenempleoenBagdad.Nobienllegasteis,fuisteisinvitadoaejercerelcargodesecretariodeunvisir.AhoranonecesitaréismásvolveralaáridaytristealdeadeKhoy.

— Aunque aquí prospere —me contestó el “Calculista”—, aunque meenriquezca,volveré,coneltiempoaPersia,paravermitierranatal.Esingratoaquel que olvida su patria y los amigos de la infancia., cuando tiene lafelicidaddeencontrarensuvidaunoasisdeprosperidadyfortuna.

Yañadió:

—Viajamos juntoshasta estemomento, exactamenteochodías.Duranteese tiempo, para aclarar dudas e indagar sobre cosas que me interesaban,pronuncié exactamente 414.720 palabras. Ahora bien; como en 8 días hay11.520 minutos, saco en conclusión que durante nuestro viaje pronuncié,términomedio,36palabrasporminuto,osea2.160porhora.Estosnúmeros

demuestran que hablé poco, fui discreto y no ocupé tu tiempo haciéndoteescuchardiscursosengorrososyestériles.Unhombretaciturno,excesivamentecallado,sevuelvedesagradable,maslosquehablansinpararirritanyfastidiana sus oyentes. Debemos, pues, evitar las palabras inútiles, sin caer en ellaconismo,queesincompatibleconladelicadeza.HabíaunavezenTeherán,Persia,unviejomercaderqueteníatreshijos.Undíaelmercaderlosllamóylesdijo:“Aqueldevosotrosquepaseeldíasindecirpalabrasinútilesrecibiráunpremiode23dracmas”.Alcaer lanoche, los treshijos sepresentaronalanciano. El primero dijo: “Evité hoy, padremío, todas las palabras inútiles.Espero, por tanto, merecer, según vuestra promesa, el premio estipulado,premiode23dracmas,comosindudarecordareis.”Elsegundoseaproximóalanciano,lebesólasmanosyselimitóadecir:“Buenasnoches,padremío.”Elmásjoven,enfin,seaproximóalancianoysindecirpalabraextendiólamanopara recibir el premio. El mercader, al observar la actitud de los tresmuchachos,leshablóasí:“Fatigómeelprimero,alllegaramipresencia,convarias palabras inútiles.El tercero semostródemasiado lacónico.El premiocorresponde, pues, al segundo, que en su conversación fue discreto y sinafectación.”

Alterminar,Beremísmepreguntó:

—¿Noteparecequeelviejomercaderfallóconjusticiaaljuzgarasustreshijos?

No le respondí. Me pareció mejor no discutir el caso de los veintitrésdracmas con aquel hombre prodigioso que calculaba medidas y resolvíaproblemas,reduciendotodoanúmeros.

Momentosdespuésllegábamosal“PatitoDorado”.

El dueño de la posada se llamaba Salim y había sido empleado de mipadre.Alverme,gritósonriente:

—¡Alahseacontigo,miseñor!Aguardotusórdenesahoraysiempre.

Díjele entonces que necesitaba una habitación paramí y parami amigoBeremísSamir,elcalculista,secretariodelvisirMaluf.

—¿Esehombre esun calculista?—exclamóel viejoSalim—.Sí así es,llegóenunmomentooportunoparasacarmedeunapuro.Acabodetenerunaseriadivergenciaconunjoyero.

Discutimos largo rato, y de nuestra discusión ha resultado, al final, unproblemaquenosabemosresolver.

Al saber que un calculista había llegado a la posada, varias personas seaproximaron, curiosas. El vendedor de joyas fue llamado, y declaró estarinteresadísimoenlaresolucióndeeseproblema.

—¿Cuáleselorigendeladuda?–preguntóBeremís.

ElviejoSalimcontestó:

— Ese hombre, y señaló al joyero, vino desde Siria a vender joyas enBagdad,prometiéndomepagarporelhospedajeveintedracmassivendía lasjoyaspor100dracmas,pagando35silasvendíapor200.

Proporciónqueplanteóelmercaderdejoyas:

200:35=140:x

Elvalordexes24,5

Alcabodevariosdíasdeiryvenirdeaquíparaallá,vendiótodoen140dracmas. ¿Cuánto debe pagar, en consecuencia, ateniéndose a lo convenido,porconceptodehospedaje?

—Debopagarapenas24dracmasymedio–replicóelmercadersirio—.Sivendiendoa200pagaría35,vendiendoa140debopagar24ymedio.

—Estáequivocado–replicóirritadoelviejoSalim—.Pormiscálculosson28.Veausted:sipor100debíapagar20,por140deborecibir28.

Proporciónqueplanteóeldueñodelahospedería:

100:20=140:x

Elvalordexes28

—Calma,misamigos–interrumpióelcalculista—esprecisoencarar lasdudas con serenidad y bondad. La precipitación conduce al error y a ladiscordia. Los resultados que los señores indican están equivocados, segúnvoyademostrarlo:

Yaclaróelcasodelsiguientemodo:

—De acuerdo con la combinaciónhecha, el sirio pagaría 20dracmas sivendieselasjoyaspor100,yseveríaobligadoapagar35si lasvendieseen200.

Tenemosasí:

Preciodeventa20035

Preciohospedaje10020

Diferencia:10015

Observenqueaunadiferenciade100enelpreciodeventa,correspondeunadiferenciade15enelpreciodelhospedaje.¿Estáclaroesto?

—Clarocomolechedecamello–asintieronambos.

—Ahora –prosiguió el calculista—, si un acrecentamiento de 100 en laventaproduceunaumentode15enelhospedaje,unacrecentamientode40(queeslosdosquintosde100)debeproducirunaumentode6(queeslosdosquintos de 15) a favor del posadero. El pago que corresponde a los 140dracmases,pues,20más6,osea,26.

Proporciónqueplanteóelcalculista:

200:15=40:x

Elvalordexes6

Dirigiéndoseentoncesaljoyerosirio,asílehabló:

—Miamigo.Losnúmeros,apesardesusimplicidadaparente,noesraroqueengañen,aunalmáscapaz.Lasproporciones,quenosparecenperfectas,nos conducen, a veces, a error. De la incertidumbre de los cálculos es queresulta indiscutible el prestigio de la Matemática. De los términos delproblemaresultaqueelseñordeberápagarahotelero26dracmasyno24ymedio,comoalprincipiosostenía.Haytodavíaunapequeñadiferenciaquenomereceser consideraday cuyamagnitudnopuedo expresar numéricamente,porcarecerderecursos.

—El señor tiene razón –asintió el joyero—.Reconozco quemi cálculoestabaequivocado.

Y sin dudar, sacó de su bolsa 26 dracmas y los entregó al viejo Salim,ofreciendocomopresentealtalentosoBeremísunhermosoanillodeorocondospiedrasoscuras,acompañandoelobsequioconexpresionesafectuosas.

Todoslosquesehallabanenlaposadaadmiraronlasagacidaddelnuevocalculista, cuya fama, día a día, ganaría a grandes pasos la “almenara” deltriunfo.

Momentos después, cuando nos encontrábamos a solas, interrogué aBeremís sobre el sentido exacto de una de sus afirmaciones: “De laincertidumbre de los cálculos es que resulta indiscutible el prestigio de laMatemática”.

El“Hombrequecalculaba”meaclaróelconcepto:

— Si los cálculos no estuvieran sujetos a dudas y contradicciones, laMatemática sería, al final, de una simplicidad insípida, tibia, apagada, sininterés alguno.No habría raciocinio, ni sofismas, ni artificios; la teoríamásinteresante desaparecería entre las nebulosidades de las nociones inútiles.Presentándose,sinembargo,aúnen las fórmulasmásperfectasy rígidas, lasdudas,incertidumbresycontradicciones,elmatemáticotomadelcarcajdesuinteligencia, sus armas y se apresta a combatir. Donde el ignorante veincertidumbreycontradicciones,elgeómetrademuestraqueexistefirmezay

armonía.ElreyArtajerjespreguntó,ciertavez,aHipócratesdeCos,médicofamoso,comodebíaprocederparacombatirdemodoeficientelasepidemiasque diezmaban al ejército persa. Hipócrates respondió: “Obligad a todovuestro cuerpo médico a estudiar Aritmética. Al practicar el estudio de losnúmerosylasfiguras,losdoctoresaprenderánarazonar,desenvolviendosusfacultadesdeinteligencia,yaquelquerazonaconeficaciaescapazdehallarlosmediossegurosparacombatircualquierepidemia.”

CAPÍTULOVI

Enel cualvamosalpalaciodelvisirMaluf.Encontramosalpoeta Iezid,quenoreconocelosprodigiosdelcálculo.“Elhombrequecalculaba”cuenta,enformaoriginal,unacaravananumerosa.Laedaddelanoviayuncamellosinoreja.Beremísdescubrela“amistadcuadrática”yhabladelreySalomón.

Despuésdelasegundaoración,salimosdelaposadaynosdirigimoshacialaresidenciadelvisirIbraimMaluf.

Al entrar en la hermosamorada del visir, el calculista quedó encantado.Era una casa principesca, de puro estilo árabe, con un pequeño jardínsombreadoporfilasparalelasdenaranjosylimoneros.Deljardínsepasabaaun patio interior por una estrecha puerta y un corredor que tenía apenas elanchodeunhombrenormal.Enel fondodelpatioerguíansedocecolumnasblancas,unidasporotrostantosarcosenformadeherradura,quesostenían,alaalturadelprimerpiso,unagaleríaconbarandademadera.Elpisodelpatio,de la galería y de las habitaciones estaba embaldosado con espléndidosmosaicos de cuadritos esmaltados, de variados colores; los arcos lucíanarabescos y pinturas sugestivas; la balaustrada tenía labrados de motivosdelicados; todo estaba diseñado con una armonía y una gracia digna de losarquitectosdelaAlhambra.

Habíaenelmediodelpatiounafuentey,másadelante,otra,revestidasdemosaicoconrosasyestrellasyenellatressurtidores.Delmediodecadaarcocolgaba una lámparamorisca. Todo era allí, fastuoso y señorial.Una de lasalasdeledificio,queseextendíaalolargodeljardín,teníatambiénunfrenteformadoportresarcos,antelosquesusurrabaunatercerafuente.Enlassalasprincipales,ricostapicesdeorolucían,suspendidosdelasparedes.

Ante el gran ministro nos condujo un esclavo negro. Lo encontramosreclinadoengrandesalmohadones,hablandocondosdesusamigos.

UnodeelloseraelsheikSalemNasair,nuestrocompañerodeaventurasenel desierto; el otro era un hombre bajo, de fisonomía bondadosa, de rostro

redondoybarbaligeramentegrisácea.Vestíaconesmeradogustoylucíaenelpecho,unamedalladeorodeformarectangular,queteníaunacaradelcolordeloroyotraobscuracomobronce.

Nos recibió el visir Maluf con demostraciones de viva simpatía, ydirigiéndosealhombredelamedalla,ledijosonriente:

— Aquí está, caro Iezid, nuestro gran matemático. El joven que loacompañaesun“bagdalí”quelodescubrióporcasualidadcuandoviajabaporloscaminosdeAlah.

Dirigimosunrespetuoso“zalam”alnoblejefe.Mástardesupimosquesetratabadeunpoetabrillante—IezidAbulHamid—,amigoyconfidentedelcalifaAl-Motacen.

La singular medalla la había recibido de sus manos como premio, porhaberescritounpoemadetreintamildoscientosversossinemplearunasolavez,lasletras“kaf”,“lam”y“ayu”.

— Amigo Maluf –dijo el poeta Iezid—, cuéstame creer las hazañasprodigiosasllevadasacaboporestecalculistapersa.Cuandosecombinanlosnúmeros, aparecen, también, los artificios del cálculo y las mistificacionesalgebraicas.Presentóseciertavezunmago,queafirmabapoderleereldestinode loshombresen laarena,al reyEl—Harit,hijodeModad.–“¿Haceustedcálculos?”,lepreguntóelrey.Yantesdequeelmagosaliesedesuasombro,continuó:“Sinohacecálculos,susprediccionesnadavalen;massilasobtienepor loscálculos, dudode ellas.”Aprendí en la Indiaunproverbioquedice:“Esprecisodesconfiarsietevecesdelcálculoyciendelcalculista.”

— Para poner fin a esas de desconfianzas –sugirió el visir— vamos asometeranuestrohuéspedaunapruebadecisiva.

Ydiciendoasíselevantódelosalmohadonesynoscondujoaunadelasventanasdelpalacio.

Dabaesaventanaparaungranpatioque,enesemomento,estaballenodecamellos.

Erantodosmuyhermosos,pareciendodebuenaraza;distinguíentreellosdosotresblancos,deMongolia,yvarios“carehs”,depeloclaro.

— Es esa –dijo el visir— una hermosa partida de camellos que hecompradoyquepiensoenviarcomodotealpadredeminovia.Di,sinerror,cuántosson.

Elvisir,parahacermás interesante laprueba,dijoensecretoa suamigoIezid,elnúmerototaldeanimales.

—Quiero ahora —prosiguió, volviéndose a Beremís— que nuestro

calculistanosdigacuántoscamelloshayenelpatio,delantedenosotros.

Esperéaprensivoelresultado.Loscamelloseranmuchosyseconfundíanenmedio de la agitación en que se hallaban. Simi amigo, en un descuido,erraseelcálculo,terminaríanuestravisita,enconsecuencia,conelmásgrandedelosfracasos.

Despuésdedarunvistazoatodosloscamellos,elinteligenteBeremísdijo:

—Señorvisir:creoqueseencuentranahoraenelpatio,257camellos.

— Es verdad –confirmó el visir—: ha acertado. El total es ese,precisamente:257.

—¿Cómollegóalresultadocontantarapidezyprecisión?–preguntócongrandísimacuriosidadelpoetaIezid.

—Muy simplemente –explicó Beremís—. Contar los camellos uno poruno,sería,amimododever, tareasin importancia,unabagatela.Parahacermás interesante el problema, procedí de la siguientemanera: conté primerotodas laspatasydespués todas lasorejas,hallandodeesemodoun totalde1.541.A ese resultado sumé una unidad y dividí por 6.Hecha esa división,hallécomococienteexacto,257.

— ¡Por el nombre del profeta! –exclamó el visir—. Todo esto esoriginalísimo,admirable.¡Quiénibaaimaginarqueestecalculista,parahacermásinteresanteelproblema,fuesecapazdecontartodaslaspatasyorejasde257camellos!¡PorlagloriadeMahoma!

— Debo decir, señor ministro –retrucó Beremís—, que los cálculos sevuelvenavecescomplicadosydifícilescomoconsecuenciadeundescuidoode la falta de habilidad del propio calculista.Cierta vez enKhói, enPersia,cuando vigilaba el rebaño de mi amo, pasó por el cielo una bandada demariposas. “Preguntóme, a mi lado, un pastor, si podía contarlas.” “Sonochocientas cincuenta y seis” –respondí. “¡Ochocientas cincuenta y seis!”respondiómicompañero,comosihubieseexageradoel total.–Fueentoncesque noté que por descuido había contado, no las mariposas, sino sus alas.Despuésdedividirpor2,ledijeelresultadoverdadero.

Aloírelrelatodeesecaso,lanzóelvisirestrepitosacarcajada,quesonóenmisoídoscomosifueraunamúsicadeliciosa.

— Hay, sin embargo –insistió muy serio el poeta Iezid— unaparticularidadqueescapaami raciocinio.Dividirpor6esaceptable,yaquecada camello tiene 4 patas y 2 orejas, cuya suma (4+2) es igual a 63. Noobstante, no comprendo por qué razón antes de dividir sumó una unidad altotal.

—Nadamássimple–respondióBeremís—.Alcontarlasorejasnotéque

unodeloscamelloseradefectuoso(sóloteníaunaoreja).Paraquelacuentafueseexactaera,pues,necesarioaumentarunoaltotalobtenido.

Yvolviéndosehaciaelvisir,preguntó:

—¿Seríaindiscreciónoimprudenciademipartepreguntaros,señor,cuáleslaedaddeaquellaquetienelaventuradeservuestranovia?

—Deningúnmodo–respondiósonrienteelministro—.Asirtiene16años.

Yañadió,subrayandolaspalabrasconunligerotonodedesconfianza:

—Peronoveorelaciónalguna,señorcalculista,entrelaedaddeminoviayloscamellosquevoyaofrecercomopresenteamifuturosuegro.

— Deseo apenas –refutó Beremís— haceros una pequeña sugestión. Siretiraseis del conjunto, el camello defectuoso (sin oreja), el total sería 256.Ahorabien:256eselcuadradode16,osea,16veces16.Elpresenteofrecidoal padre de la encantadora Asir tomará, de ese modo, alto significadomatemático.Elnúmerodecamellosqueformanladoteseráigualalcuadradodelaedaddelanovia.Ademáselnúmero256espotenciaexactadelnúmero2(que para los antiguos era número simbólico),mientras que 257 es primo4.Esas relaciones entre los números cuadrados son buen augurio para losenamorados. Cuéntase que el rey Salomón, para asegurar la base de sufelicidad,dioalareinadeSaba–lafamosaBalkis—unacajacon259perlas.Esprecisamente259elcuadradode23,queeralaedaddelareina.Elnúmero256 presenta, no obstante, gran ventaja sobre el 259. Si sumamos losguarismosde256obtenemos13,queelevadoalcuadradoda169;lasumadelas cifras de ese número es 16, cuyo cuadrado nos reproduce precisamente,256.Por esemotivo los calculistas llaman reversible alnúmero256.Existe,pues, entre los números 13 y 16 curiosa relación, que podría ser llamada“amistad cuadrática”. Realmente, si los números hablasen podríamos oír lasiguienteconversación:Eldieciséisdiríaaltrece:

“Quieroofrecertemihomenaje,amigo.Micuadradoes256,cuyasumadeguarismoses13.”

Yeltrecerespondería:

“Agradezcotubondadyquieroretribuirlaenlamismaforma.Micuadradoes169,cuyasumadeguarismoses16.”

Elcalculistaagregó:

—Creohaberjustificadoplenamentelapreferenciaquedebeserotorgadaalnúmero256,queexcedeenpropiedadesal257.

— Su idea es bastante curiosa – acordó prontamente el visir— y voy aadoptarla,aunquecaigasobremílaacusacióndeplagiario,delreySalomón.

YdirigiéndosealpoetaIezid,concluyó:

—Veoquelainteligenciadeestecalculistanoesmenosquesuhabilidadpara descubrir analogías e inventar leyendas. Estuve muy acertado en elmomentoenquedecidíofrecerlesermisecretario.

— Siento decirle, ilustre mirza5 –replicó Beremís— que sólo podríaaceptarvuestrahonrosa invitación si aquíhubiera lugarparamibuenamigoHank-Tad-Madya—el“bagdalí”—,queseencuentraenestosmomentossinrecursosysinempleo.

Quedé encantado con la delicadeza del calculista, que procuraba, de esamanera,atraersobremílavaliosaproteccióndelpoderosovisir.

—Esmuyjustosupedido–dijocondescendientementeelministro—,ysucompañeroHank-Ta-Madyasequedarátambiénaquí,ejerciendolasfuncionesdeescribiente,comoyaloheordenado.

Acepté, sindudar, lapropuesta,expresandodespuésalvisiry tambiénalbondadosoBeremísmireconocimiento.

CAPÍTULOVII

Enelcualvamosalacalledelosmercaderes.Beremísyelturbanteazul.Elcasodeloscuatrocuatros.Elproblemadelmercadersirio.Beremísexplicatodoyesgenerosamenterecompensado.Historiadela“pruebareal”delreydeYemen.

lgunosdíasdespués,terminadoslostrabajosquediariamentehacíamosenelpalaciodelvisir, fuimosapasearporelsuquede losmercaderes.Aquellatarde,laciudadpresentabaunaspectofebril,fueradelocomún.EraqueporlamañanahabíanllegadodosgrandescaravanasdeDamasco.

Losbazaresaparecíanllenosdegente;lospatiosdelosalmacenesestabanatestados demercaderías; los fieles rezaban en las puertas de lasmezquitas.Portodaslascallesseveíanlosturbantesblancosdelosforasteros,ynoeransolo los turbantes los que nos parecían blancos, sino que todo se nospresentabadeesecolor;dabalaimpresióndequelagentecaminaraenpuntasdepies.Todoestabaimpregnadodeunfuertearomadeáloe,deespecias,deincienso,demirra;parecíaqueseanduvieraporunainmensadroguería.

Los vendedores pregonaban sus mercaderías, aumentando su valor conelogiosexagerados,paralosqueestanfértillaimaginaciónárabe.

—¡Estericotejido,esdignodelprofeta!

—Amigo. ¡Esundeliciosoperfume,queaumentaráelcariñodevuestraesposa!

—Reparad,ohsheik,enestaschinelasyeneste lindo“cafetán”que losdijinsrecomiendanalosángeles.

SeinteresóBeremísporuneleganteyarmoniosoturbanteazulclaro,queunsirio,mediojorobado,ofrecíapor4dracmas.Latiendadeesemercadereramuyoriginal,puestodoallí(turbantes,cajas,pulseras,puñales,etc.)sevendíapor 4 dracmas.Había un letrero que, en caracteres árabes decía:Los cuatrocuatros.

AlveraBeremísinteresadoenadquirirelturbanteazul,objeté:

—Juzgounalocuraelcomprareselujo.Tenemospocodineroynohemospagadoaúnelhospedaje.

—Noeselturbanteloquemeinteresa–retrucóBeremís—;observoquelatiendadeestemercaderse llama“Loscuatrocuatros”.Hayenellounagrancoincidencia,dignademiatención.

—¿Coincidencia?¿Porqué?

—Enestemomento,“bagdalí”–replicóBeremís—laleyendaquefiguraeneseletreromerecuerdaunadelasmaravillasdelcálculo.Podemosformarunnúmerocualquiera,empleandosolamentecuatrocuatros,ligadosporsignosmatemáticos.

Y antes de que le interrogase sobre aquel enigma, Beremís explicó,dibujandoenlafinaarenaquecubríaelpiso:

—Quieroformarelnúmerocero.Nadahaymássimple.Bastaescribir:44—44= 0Están así los cuatro cuatros formando una expresión igual a cero.Pasamosahoraalnúmero1.Estaeslaformamáscómoda:44=1

—¿Quiereverahoraelnúmero2?Fácilmenteseusan loscuatrocuatrosescribiendo:4+4=2

—El3esmásfáciltodavía.Bastaescribirlaexpresión:4+4+4=3

Repareenquelasumade12divididapor4,dauncociente3.Resultaasíelnúmero3formadoporcuatrocuatros.

—¿Cómoformareiselnúmero4?–pregunté.

—Muyfácilmente–dijoBeremís—.Elnúmerocuatropuedeformarsedevarias maneras; una de ellas sería la siguiente: 4 – 4 +4= 4 En la que elsegundosumandovalecero,ysusuma,porlotanto,vale4.

Noté entonces que elmercader sirio seguía atento, sin perder palabra, laexplicación de Beremís, como si mucho le interesasen las expresionesaritméticasformadasporloscuatrocuatros.

Beremíscontinuó:

—Paraformarelnúmero5,porejemplo,nohaydificultad.Escribimos:4×4+4=5

Enseguidapasamosal6:

4+4+4=6

Unapequeñaalteracióndelaexpresiónanteriorlaconvierteen7:

44−4=7

Ydemaneramássimplelogramosel8:

4+4+4–4=8

Elnuevenodejadeserinteresante:

4

4+4=9

Yahoraunaexpresióniguala10formadaporloscuatrocuatros:

44−4=10

Enesemomento,eljorobado,dueñodelatienda,queestuvieraoyendolaexplicacióndelcalculistaenactitudderespetuososilencioeinterés,observó:

—Por lo que acabo de oír, el señor es hábil para sacar cuentas y hacercálculos.Leregalaréestebelloturbante,comopresente,sisesirveexplicarmeciertomisterio que encontré en una suma, y queme tortura desde hace dosaños.

Yelmercadernarrólosiguiente:

—Presté,ciertavez,lacantidadde100dracmas:50aunsheikylosotros50aunjudíodeElCairo.

Elsheikpagósudeudaencuatrocuotas,delmodosiguiente:

Pagó20,quedódebiendo30

Pagó15,quedódebiendo15

Pagó20,quedódebiendo5

Pagó5,quedódebiendo0

Suma50Suma50

—Fíjese,miamigocontinuóelmercader—,enque tanto lasumade lascuotaspagadascomoladelossaldosdeudoresesiguala50.

El judío pagó también los 50 dracmas en cuatro cuotas, del modosiguiente:

Pagó20,quedódebiendo30

Pagó18,quedódebiendo12

Pagó3,quedódebiendo9

Pagó9,quedódebiendo0

Suma50Suma51

Eneste caso la primera sumaes50 (comoen el caso anterior),mientrasquelasegundadauntotalde51.

Noséexplicarmeesadiferenciade1queseobservaen la segundapartedel pago.Se bien que no salí perjudicado (pues recibí el total de la deuda),mas¿cómojustificarelhechodeserlasegundasumaiguala51ynoa50?

—Amigomío–aclaróBeremís—,estoseexplicaconpocaspalabras.Enlascuentasdepago,lossaldosdeudoresnadatienenqueverconeltotaldeladeuda. Admitamos que una deuda de 50 fuese pagada en tres cuotas: laprimerade10,lasegundade5ylatercerade35.

Efectuemoslassumas:

Pagó10,quedódebiendo40

Pagó5,quedódebiendo35

Pagó35,quedódebiendo0

Suma50Suma75

Enesteejemplo, laprimerasumaes50,mientrasque lade lossaldoses75; podía también haber resultado igual a 80, 99, 100, 260, 8000 u otronúmerocualquiera.Puedeporcasualidaddar50(comoenelprimercaso),ó51(comoenelcasodeljudío).

Quedóconformeelmercaderalhaberentendidoelasunto,cumpliendosupromesadeofrecer,comopresente,alcalculista,el turbanteazulquevalía4dracmas.

Beremís, para distraer al buenmercader, le contó enseguida este curiosoepisodio:

—Omeya, rey deYemen, tenía un tesorero llamadoQuelal, queparecíamuycuidadosoyprobo.Queriendoelmonarcaasegurarsedelahonestidadde

su auxiliar, hizo lo siguiente: durante tres días colocó, sin decir nada, undracmaenlacajadelosgastos.Resultabaclaroqueeltesorero,alfinalizareldía, cuandohiciera el arqueo, hallaría el exceso de un dracma, que anotaríacomosaldoenellibrocorrespondiente.Elreyobservóqueenlostresdíaseltesorero no registraba aquella diferencia. –“Naturalmente que, el muyambicioso, se guarda el dracma excedente”, supuso el rey. “¡Quien iba aimaginar que el tesoreroQuelal fuese capaz de tal proceder!” Resolvió, sinembargo,someterloaunaverdaderaprueba,estoes,auna“pruebareal”.¿Yquéhizoelrey?Pues,durantelostresdíassiguientesretirósecretamentedelacaja un dracma, y esperó que el tesorero se diese cuenta y reclamase ladiferencia. Pero eso tampoco dio resultado. Mediante esas pruebas, queconsiderósuficientes,Omeiá llamósugranvisiry ledijo:“Esprecisohacercon urgencia un interrogatorio. Tengo serias razones para desconfiar denuestro tesorero Quelal.” –“Creo, mi rey, que es necesario investigar”—replicó el visir—. Puedo probar que el indigno Quelal no procede conhonestidad.” “¿Cómo?”, preguntó el rey. –Dijo entonces elministro: “SepaVuestraMajestadqueresolví,unavez,sabersieranexactasonolascuentaspresentadasdiariamente por el tesorero de laCorte. Sin decir nada, durantetres días, retiré de la caja la cantidad de un dracma. Pues bien, el tesoreronuncaanotó loqueyo retiraba.Acontinuación,y tambiéndurante tresdías,coloquéundracmaenlacajadeQuelal,sinqueélregistraraeseexceso.Ahorabien: cuando un tesorero no anota con exactitud las diferencias de caja, esporquesuformadeprocederseapartade losprincipiosde lamáselementalhonestidad.”Consobradarazónseasombróelreyaloírelrelatodelgranvisir.

Estaba sí explicado el misterio del caso. Las leyes del Destino soninsondables.Porextraordinariacoincidencia,losmismosdíasenqueélponíaundracma,elvisirretirabalamismacantidaddelacaja.Elreynohizootracosa,enlosdíassiguientes,queretiraraldiligenteQuelaleldinerocolocadoporelastutoministro.Avergozóseentonceseldignomonarca,porelespionajeaquesometieraaunfuncionariotanfielyquetantalealtadydedicaciónhabíademostradosiempre,asícomodehaberempleadoesosardidesyfraudes,quefuerananulados, empleando igualesmedios, por el visir.Cuandoelministroterminóelrelato,elpoderosoreyselevantóydijo,mirándolofijamente:“Suspalabras, visir, solo prueban que nuestro tesorero Quelal es escrupuloso yhonestísimoensusfunciones.

Resuelvo,pues,quenosehagaelinterrogatorio,yqueQuelalquedeensupuesto con el mismo cargo y doble sueldo. El visir, al oír esa inesperadasentenciadelrey,tuvounataquealcorazónycayófulminadosobrelasgradasdeltrono.Ynoeraparamenos.¡Uassalam!

CAPÍTULOVIII

EnelcualBeremíshabladelasformasgeométricas.EncontramosalsheikSalenNasairentre losvendedoresdevino.Beremís resuelveelproblemadelos 21 vasos y otro más que causa asombro a los mercaderes. Un camellorobado,descubiertoporGeometría.Habladel sabioAl-Hossein,que inventóla“pruebadelnueve”.

Estaba Beremís satisfechísimo con el bello regalo que le hiciera elmercadersirio.

Estámuybienarreglado–decía,haciendogirarelturbanteyexaminándolocuidadosamenteportodoslados—.Tiene,paramímaneradever,unpequeñodefectoquepudoserevitado.Suformanoesrigurosamentegeométrica.

Quedé atónito, sin poder disimular la sorpresa que sus palabras mecausaran.

Aquel hombre, a más de ser un calculista original, tenía la manía detransformarlascosasmásvulgares,demododedarleformageométricahastaalosturbantesdelosmusulmanes.

— No le admire, amigo mío –prosiguió el inteligente persa—, que yoquieraverturbantesdeformageométrica.Lageometríaexisteentodaspartes.Procure observar las formas regulares y perfectas que presentan algunoscuerpos.

“Elbeduinovelasformasgeométricas,peronolasentiende;elsunitalasentiendemas no las admira; el artista, finalmente,mira la perfección de lasfiguras,comprendelobelloyadmiraelordenylaarmonía”.Eneldibujoqueilustraestapáginaseveunaflorenlaquesedestaca,enformaimpecable,lasimetríapentagonal.

Lasflores, lashojasymuchosanimalesrevelansimetríasadmirablesquedeslumbrannuestroespíritu.LaGeometría,repito,existeentodaspartes.Eneldisco del Sol, en la hoja del datilero, en el arco iris, en lamariposa, en eldiamante,enlaestrellademaryhastaenunpequeñogranodearena.Hay,enfin,infinitavariedaddeformasgeométricaspresentadasporlaNaturaleza.Uncuervo,alvolarlentamenteporelcielo,describefigurasadmirables;lasangrequecirculaporlasvenasdeloscamellosnoescapaalosrigurososprincipiosgeométricos; lapiedraque se tira al importunochacal, dibuja en el aireunacurva perfecta. La abeja construye sus alvéolos en forma de prismashexagonales, y adopta esa forma geométrica, creo, para obtener mayorrendimiento y economía de material. La Geometría existe, como dijo elfilósofo,entodaspartes.Sinembargo,esprecisosaberverla,tenerinteligenciapara comprenderla y alma para admirarla. El rudo beduino, ve las formas

geométricas, mas no las comprende; el “sunita”4 las entiende pero no lasadmira;elartista,finalmente,miralaperfeccióndelasfiguras,comprendelobelloyadmiraelordenylaarmonía.Diosfueungrangeómetra.GeometrizólaTierrayelCielo5.ExisteenPersiaunaplanta,el“saxahul”,muyapreciadacomoalimentoparaloscamellosyovejas,cuyasemilla…

Iba a proseguir el elocuente calculista con sus consideraciones sobre lasformasgeométricasdelassemillasdel“saxahul”,cuandovimosenlapuertade una tienda próxima, a nuestro protector, el sheik SalermNasair, que nosllamabaagrandesvoces.

Esta figura indica, claramente, la solucióndelproblemade los21vasos.Los siete primeros rectángulos representan los vasos llenos; los 7 siguientesrectángulosrepresentanlosvasosmediollenosylosotros7vasosvacíos.Paraque los tres mercaderes reciban el mismo número de vasos y cantidadesiguales de vino, la división deberá efectuarse cómo indican las líneaspunteadasdeldibujo.

—Mesiento felizdehaberloencontrado, calculista (exclamóel sheikalaproximársenos); su presencia esmuyoportuna.Estoy aquí en compañía dealgunos amigos y me hallo azorado con dos problemas que sólo un granmatemáticopodríaresolver.

AseguróBeremísqueemplearíatodossusrecursosparahallarlasoluciónde los problemas que interesaban al sheik, pues no quería desperdiciar unasolaocasióndeserviraunhombretanamableygeneroso.

Elsheikseñalóalostresárabesqueloacompañabanydijo:

— Estos tres hombres recibirán, como pago de un servicio hecho, unapartida de vino compuesta de 21 vasos iguales, estando 7 llenos, 7 mediollenosy7vacíos.Quierenahoradividirlos21vasosdemaneraquecadaunorecibaelmismonúmerodevasosylamismacantidaddevino.¿Cómohacerelreparto?Eseeselprimerproblema.

Pasadosalgunosminutosdesilencio,Beremísrespondió:

—Ladivisiónqueacabáisdeproponersepuedehacerdevariasmaneras.Indicaréunadeellas.Elprimersociorecibirá:

3vasosllenos,

1mediolleno,

3vasosvacíos.

Alsegundolecorresponderán:

2vasosllenos,

3mediolleno,

2vasosvacíos.

Altercerolecorresponderán:

2vasosllenos,

3mediolleno,

2vasosvacíos.

Segúnesereparto,cadasociorecibirá7vasosylamismacantidaddevino.Ya ve, sheik, que el problema no presenta dificultad alguna, y que sianalizamos el enunciado no es difícil demostrar que él admite otra soluciónrigurosamenteexacta.

Laespirallogarítmicasepresentaconfrecuenciaenlanaturaleza.Así,porejemplo,enelgirasolaparecedichacurvanotable.

Se aproximó uno de los árabes a Beremís y lo saludó respetuosamentehablandoasí:

—Esmuchomásdifícil el problemaquemepreocupa.Tengocontinuastransaccionescon loscristianosquenegocianenvinosde Ispahán.Sevendeesevinoenvasospequeñosygrandes.Segúnnuestrainvariablecombinación,unvasograndellenovale6vasospequeñosvacíos;dosvasosgrandesvacíosvalenunopequeñolleno.Procuroahorasabercuantosvasospequeñosvacíospuedocambiarporlacantidaddevinocontenidaendosvasosgrandes.

Aquel embrollo de valores y relaciones no intimidaron al “Hombre quecalculaba”. Habituado a enfrentarse a problemas difíciles y a trabajar connúmerosenormes,Beremísnosseconfundíaconelenunciadodecuestionesabstrusasyaparentementesinsentido.

— Amigo mío –respondió, dirigiéndose al vendedor de vinos—. Tengogran placer en aclarar esta cuestión que me parece tan sencilla como laprimera. Por lo que he oído, “2 vasos grandes llenos valen 12 pequeñosvacíos”. Por otra parte, si 2 grandes vacíos valen 1 pequeño lleno, y 3pequeños vacíos valen también 1 pequeño lleno, está claro que 2 grandesvacíos valdrán 3 pequeños vacíos. Es preciso ahora, para mayor claridad,recordardememorialosdosresultadosyaobtenidos:

2vasosgrandesllenosvalen12pequeñosvacíos

2vasosgrandesvacíosvalen3pequeñosvacíos

De aquí sacamos la conclusión que la diferencia de los valores entre 2grandesllenosy2grandesvacíosesiguala9pequeñosvacíos.Esadiferenciasedebeprecisamente,alacantidaddevinocontenidaendosvasosgrandes.

Esnotablelavariedaddeformasgeométricasquesepresentanenlosorganismosvivos.Enlafiguravemosla“hélicecónica”rigurosamentedibujadaenelperfildeuncaracol.

Conclusión:Lacantidaddevinocontenidaendosvasosgrandespuedeserpermutadapor9vasospequeñosvacíos.

LasoluciónpresentadaporBeremísasombróaloscomerciantesenvinos.Ninguno de ellos suponía que la imaginación de mi amigo fuese capaz derealizareseprodigio.

UnodeloscompañerosdelsheikofrecióunpocodevinoaBeremís.Este,sin embargo, como buen musulmán, agradeció el ofrecimiento pero no loaceptó. La bebida es un pecado, y perjudica grandemente la salud y lainteligencia.Y,afindeevitarquelosmercaderessesintiesenofendidosconsurechazo,relatólosiguiente:

—Al-Hossein,médicoymatemáticofamoso,alllegaraIspahán,despuésde una larga excursión, encontró un grupo de hombres que charlaban a lasombradeungigantesco“betoum”.Elsabio,quesehallabaenesemomentoalegreybiendispuesto, resolvió enseñar alguna cosaútil e interesante a losdesconocidos.Acercóseaellos,y,despuésdesaludarlosconsimpatía,dijo:

—Amigosmíos.Existeunaciencianotableymuyútilaloshombres.Conla ayuda de ella se descubre todos los secretos y se revela la verdad. EsacienciaeslaMatemática.Voyademostraros,enpocaspalabras,enqueradicasubellezaysupoder.

Ydespuésdeproferirestaspalabras,quenofueroncomprendidasporsusrudosoyentes,Al-Hosseintomóunpedazodecarbónytrazóeneltroncodeunárboldosrectascruzadas.

Pretendía el sabio demostrar, con auxilio de esa figura, una propiedadenunciadaporEuclides,geómetragriego:“Dosángulosopuestosporelvérticesoniguales”.

Laespirallogarítmicapuedenotarseengrannúmerodeestosseresvivos.Las flores, las hojas y muchos animales revelan simetrías admisibles quemaravillan el espíritu. Como dijo Platón, “la Geometría existe en todaspartes”.

Después de trazar las rectas en posición conveniente, Al-Hosseinmarcócon cuidado los dos ángulos cuya igualdad pretendía demostrar con suadmirableraciocinio.

No había terminado la figura geométrica, cuando uno de los doscamelleros se levantó de súbito y se arrojó trémulo a los pies del sabio,murmurandoconvozronca,queexpresabagrantemor:

—¡Fuiyo,señor!¡Fuiyo!¡Dirélaverdad!

Realmentesorprendidoconlainesperadaactituddelbeduino,Al-Hosseinse dio cuenta de que había, en la confusión del camellero, unmisterio queconveníaconocer.Dominando,pues,lasorpresaqueexperimentara,dijoasí:

— Nada debes temer, amigo mío. La verdad es siempre descubierta.Vamos,confiesatodoyserásperdonado.

Enelperfildeciertaspalmerasseobservaunacurvaquelosmatemáticosestudian y analizanminuciosamente: es la curva logarítmica. Esta forma esadoptadaporprincipiodeeconomía,pueselvegetal,deesemodo,conmenoscantidaddematerial,resistemejorelimpulsodelviento.Elingeniero,despuésde laboriosas aplicaciones de cálculo infinitesimal, demuestra que la curvalogarítmicaeselperfilmásconvenienteparalosfaros.

Al oír estas palabras, el hombre confesó al sabio que había robado, díasantes,elcamellopredilectodelvisir.

InútilesdecirqueAl-Hosseinignorabaaquelhurtoaudazquepreocupabaatodosyentornodelcualsehabíanhechoinfructuosaspesquisas.

Descubierto, así, el autor del robo, el camello fue restituido pocas horasdespués a su poderoso dueño y el ladrón, amparado por el prestigio deAl-Hossein,selibródeseverasentencia,siendoperdonado.

¿Cómoexplicarlosmotivosquellevaranalcriminalarevelarsusecreto?Losucedidoera,sinembargo,muysencillo:lafigurageométricahechaporelmatemáticoparaexplicarlaproposicióndeEuclides,eraexactamenteigualala“marca”queteníaelcamellorobado.Elladrón,alverlafigura,creyóqueAl-Hosseinconocíasusecretoy, llenodeindecibleespanto,nosesintióconánimodeocultarlaverdad.

LafamadeAl—Hossein,desdeesedía,sevolvió,bajoelcielodePersia,cienvecesmayor.

¡Noeraparamenos!¡Conunasimplefigurageométricadescubrióalmásaudazladrón,yencontróuncamelloqueyasedabaporperdido!

CAPÍTULOIX

Enelcualrecibimos lavisitadelsheikIezid.Extrañaconsecuenciade laprevisióndeun astrólogo.Lamujer y laMatemática.Beremís es invitado aenseñarMatemáticaauna joven.Situaciónsingularde lamisteriosaalumna.Beremíshabladesuantiguomaestro,elsabioNo-Elin.

EnelúltimodíadeMoharran,alcaerlanoche,fuimossorprendidosporla

presencia, en la posada, del gran Iezid-Abul-Hamid, amigo y confidente delcalifa.

—¿Algúnnuevoproblemaqueresolver?–preguntóBeremís.

—¡Adivinó!...–respondióIezid—.Mehalloenlanecesidadderesolverun grave problema. Tengo una hija llamada Telassim, dotada de graninteligencia y marcada de inclinación para los estudios. Cuando nacióTelassim, consulté a un astrólogo famoso que sabía revelar el futuro por laobservacióndelasnubesylasestrellas.Esemagoafirmóquemihijaviviríafelizhastalos18años;apartirdeesaedadseveríaamenazadaporuncúmulode desgracias lamentables. Había, no obstante, un medio de evitar que ladesdicha cayese sobre ella. Telassim –añadió el mago— debía aprender laspropiedadesde los númerosy todas las operacionesque con ellos se hacen.Ahorabien:paradominarlosnúmerosyhacercálculosesnecesarioconocerlaciencia de Al—Carismi, es decir, la Matemática. Resolví, pues, asegurar aTelassim un futuro feliz haciendo que estudiase los misterios del Cálculo.Busqué varios “Ulemas” de la Corte, mas no logré hallar uno solo que sesintiesecapazdeenseñarMatemáticaaunajovende17años.

Unodeellos,dotadodegran talento, intentódisuadirmede talpropósito.Quienquisiese enseñar canto a una jirafa, cuyas cuerdas vocales no puedenproducirelmenorsonido,perderíaeltiempotrabajandoinútilmente.Lajirafa,por su propia naturaleza, no podría cantar. Del mismo modo, el cerebrofemenino (explicó elmonjemahometano) es incompatible con las nocionesmássimplesdeMatemática.Sebasaesaincomparablecienciaenelraciocinio,en el empleo de fórmulas y principios demostrables con los poderososrecursos de la Lógica y de las Proporciones. ¿Cómo podrá una pequeña,encerradaenel“harem”desupadre,aprenderfórmulasdeÁlgebrayteoremasde Geometría? ¡Nunca! Es más fácil que una ballena vaya a la Meca enperegrinación,queunamujeraprendaMatemática.¿Paraquélucharcontraloimposible?¡Mactub!.Siladesgraciadebecaersobrenosotros,¡quesehagalavoluntaddeAlah!Elmayordelosdesánimosseapoderódemíaloíraquellaspalabras.Sinembargo,yendociertavezavisitaramiamigoSalenNasair,elmercader, oí referencias elogiosas del nuevo calculista persa que llegara aBagdad. Hablóme del episodio de los ocho panes, y ese caso, narradominuciosamente,me impresionó. Procuré conocer al talentosomatemático yfuiconesefinalacasadelvisirMaluf,quedandoasombradoconlasolucióndadaalproblemadelos257camellosreducidosluegoa256.

LaGeometría,dijoPlatón,existeentodaspartes.Eneldiscodelsol,enlaformadeldatilero,enelarcoiris,eneldiamante,enlaestrellademar,enlateladelaarañayhastaenunpequeñogrannodearena.Enlafiguradearribavemos la forma perfecta que presenta la flor delmaracuyá. Es admirable lasimetría pentagonal con que están dispuestos los elementos de esa flor.

Llamamos la atención del lector para una observación realmenteextraordinaria:“Lassimetríasdeordenimparsóloseencuentranenlosseresdotadosdevida.Lamateriainorgánicasólopresentasimetríapar”

EljefeIezid,irguiendolacabeza,mirófijaysolemnementealcalculista,yañadió:

— ¿Será capaz, el hermano de los árabes, de enseñar los artificios delcálculoamihijaTelassim?Pagaréporlasleccioneselprecioquemeindique,pudiendo,comoahora,seguirenelcargodesecretariodelvisirMaluf.

— ¡Generoso sheik! –exclamó Beremís—. No encuentro motivo pararechazarvuestrainvitación.Enpocosmesespodréenseñaravuestrahijatodaslas operaciones algebraicas y el secreto de la Geometría. Se equivocan dosveceslosfilósofoscuandointentanmedirconunidadesnegativaslacapacidadintelectual de la mujer. La inteligencia femenina, cuando es bien orientada,puede acogerperfectamente las bellezasy secretosde la ciencia.Tarea fácilsería desmentir los conceptos injustos formulados por el sacerdote. Loshistoriadorescitanvariosejemplosdemujeresquesehicieroncélebresporsuculturamatemática.EnAlejandría,porejemplo,vivióHipatia,queenseñólacienciadelcálculoacentenaresdepersonas,comentó lasobrasdeDiofanto,analizó los dificilísimos trabajos de Apolonio y rectificó todas las tablasastronómicasusadashastaentonces.Nohaymotivo,ohsheik,paraafligirsenidudar. Vuestra hija aprenderá fácilmente la ciencia de Pitágoras. Deseosolamentequedeterminéiseldíayhoraenquedeberáiniciarlaslecciones.

Respondióelnoble:

—Lomásdeprisaposible.Telassimcumplióya17años,yestoyansiosoporlibrarladelastristesprevisionesdelastrólogo.

Yañadió:

—Deboadvertirlodeunaparticularidadquenodejadetenerimportanciaen este caso. Mi hija vive encerrada en el “harem” y nunca fue vista porhombresextrañosanuestrafamilia.Solopodrá,porlotanto,oírsusleccionesdeMatemática, oculta por una espesa cortina, con el rostro cubierto por un“jaique” y vigilada por dos esclavas de confianza. ¿Acepta, aún así, mipropuesta?

—Aceptocongransatisfacción–respondióBeremís—.Esevidentequeelrecatoypudordeunajovenvalenmuchomásqueloscálculosylasfórmulasalgebraicas.Platón,filósofoymatemático,mandócolocarlaleyendasiguienteenlapuertadesuescuela:

“Noentresinoesgeómetra”.

Presentóseundíaunjovendecostumbreslibertinasymanifestódeseosde

frecuentarlaacademia.Elmaestro,sinembargo,noloadmitió,diciendo:“LaGeometríaespurezaysimplicidad;tuimpudiciaofendeatanpuraciencia”.Elcélebre discípulo de Sócrates procuraba, de ese modo, demostrar que laMatemáticanoarmonizaconladepravaciónyconlastorpesindignidadesdelos espíritus inmorales. Serán, pues, encantadoras las lecciones dadas a esajoven que no conozco y cuyo rostro candoroso jamás tendré la ventura deadmirar.Queriéndolousted,podréiniciarmañanalaslecciones.

—Perfectamente–asintióeljefe—.Unodemissiervosvendrámañanaabuscarlo(¡queriendoAlá!),pocodespuésdelasegundaoración.¡Uassalam!

DespuésqueeljefeIeziddejólaposada,interroguéalcalculista:

—Escucha,Beremís.Hayen todo esounpuntooscuroparamí. ¿CómopodrásenseñarMatemáticaaunajoven,cuando,enverdad,nuncaestudiasteesa ciencia en los libros, ni tomaste lecciones de los “ulemas”? ¿Cómoaprendisteelcálculo,queaplicascon tantobrilloyoportunidad?Bien losé,calculista: entre pastores persas, contando ovejas, dátiles y bandadas depájarosenvueloporelcielo.

—Estásequivocado,“bagdalí”–replicóconserenidadelcalculista—.Eneltiempoenquevigilabalosrebañosdemiamo,enPersia,conocíaunviejodervichellamadoNo—Elin,aquien,duranteunatempestaddearena,salvédelamuerte.Desde ese día, el bondadoso anciano fuemi amigo. Era un gransabioymeenseñómuchascosasútilesymaravillosas.Fueconélqueaprendílas reglas que permiten efectuar los cálculos con precisión y rapidez. Elprudentedervichemedecía:“laMatemáticasefundaúnicamenteenlaverdad,sin tener en cuenta ninguna autoridad, tradición, interés o preconcepto. Lomismoocurreconcualquierciencia,peornodeunamaneratanclaracomoenlaMatemática,pues,enmayoromenorgrado,hayenlasotrascienciasalgunacosa que se basa en la autoridad de los investigadores.”Me hablómuchasveces de los grandes trabajos que los geómetras de la antigüedad habíanrealizado.Graciasalauxiliodeesederviche, llegaronamiconocimiento lasobrasdeEuclides,Thales,Pitágoras,delgranArquímedesydemuchosotrossabiosde la antiguaGrecia.Despuésdehacer unapequeñapausa, concluyóBeremís:

— No—Elin me enseñaba Matemáticas haciendo curiosas figuras en laarenao rayando,con lapuntadeunaaguja, lashojasdeunaplanta llamada“idomeg”.VeráscomopodréenseñarMatemáticalomismo,sinverelrostrodelaquevaasermidiscípula.

CAPÍTULOX

EnelcualvamosalpalaciodeIezid.ElrencorosoTara—Tirnoconfíaenel calculista.Lospájaros cautivosy losnúmerosperfectos.El “Hombrequecalculaba” exalta la caridad del sheik. Oímos una tierna y arrebatadoracanción.

SeríapocomásdelascuatrocuandodejamoslaposadaynosdirigimosalacasadelpoetaIezidAbul-Hamid.

Guiadosporunamableydiligentecriado,atravesamosdeprisalascallestortuosasdelbarrioMouassan,yendoadarunsuntuosopalacioqueseerguíaenmediodeunbellojardín.

Beremís quedó encantado con el aspecto artístico que el rico Iezidprocurabadar a su residencia.En el centrodel parque levantábaseunagrancúpula plateada, donde los rayos solares se deshacían en fulgores rutilantes.Ungranpatio,porfuerteportóndehierro,ornamentadocontodoslosrecursosdelarte,dabaentradahaciaelinterior.

Unsegundopatiointerno,conunbiencuidadojardínensucentro,dividíael edificio en dos cuerpos. Uno de ellos estaba destinado a los aposentosparticularesyelotroalassalasdereunión,asícomoauncomedor,enelcualelsheikcenaba,aveces,encompañíadepoetasyescritores.

Elaspectoexterior,apesardelaartísticaornamentacióndelvestíbulo,eratristeysombrío.

Quienreparaseenlasventanasenrejadasnopodíasospecharlapompayelarteconquetodoslosaposentosestabandecorados.

Una galería con lindas arcadas sostenidas por nueve o diez esbeltas ydelgadascolumnasdemármolblancoconarcosrecortadoselegantescapiteles,con las paredes revestidas de azulejos en relieve y el piso de mosaico,comunicaba los dos cuerpos del edificio; dos largas escalinatas, también demármol, conducían al jardín, donde flores de diversas formas y perfumesbordeabanuntranquilolago.

Unviverollenodepájaros,adornadoconmosaicosyarabescos,parecíaserlomás importante del jardín.Había allí aves de exóticos cantos devariadasformas y rutilantes plumajes. Algunas, de peregrina belleza, pertenecían aespeciesparamídesconocidas.

Nos recibió el dueño de casa, con mucha simpatía, viniendo a nuestroencuentroeneljardín.Sehallabaensucompañíaunjovenmoreno,delgadoyde amplios hombros, que nos resultó simpático.Tenía unmodo agresivo demirar, y la forma en que hablaba era bastante desagradable, llegando, enciertosmomentos,hastaserinsolente.

—¿Espues,ésteelcalculista?–observó,subrayandolaspalabrascontono

demenosprecio—.Meadmiratubuenafe,queridoIezid.Vasapermitirqueun mísero encantador de serpientes se aproxime y dirija la palabra a laencantadoraTelassim.¡Nofaltabamás!¡PorAlah,queeresingenuo!

Ypronuncióunacarcajadainjuriosa.

Aquella grosería me sublevó. Tuve ímpetus de repeler la descortesía deaquelatrevido.Beremís,sinembargo,continuabaimperturbable.Eraposible,tal vez, que el algebrista descubriera, en las palabras insultantes que oyera,nuevoselementosparahacercálculosopararesolverproblemas.

Elpoeta,mostrándoseapenadopor laactitudpocodelicadadesuamigo,dijo:

—Perdone, señor calculista, el juicioprecipitadoque acabadehacermiprimo “el hadj” Tara-Tir. Él no conoce, ni puede evaluar su capacidadmatemática,puesestápordemásocupadoporelfuturodeTelassim.

—No lo conozco, es claro; nome empeñomayormente en conocer loscamellosquepasanporBagdadenbuscadesombrayalfalfa–replicóiracundoTara-Tir,coninsultantedesprecio.

Ysiguióhablandodeprisa,nerviosoyatropelladamente:

—Puedoprobar,enpocosminutos,primomío,queestáscompletamenteengañadorespectoalacapacidaddeeseaventurero.Simelopermites,yoloconfundirécondosotressimplezasqueoíaunmaestrodeescuelaenMosul.

—Seguramente–convinoIezid—.Puedesinterrogaranuestrocalculistayproponerle,ahoramismo,elproblemaquequisieras.

—¿Problema?¿Paraqué?¿Quieresconfrontaraunchacalqueaúllaconun“ulema”queestudia?–interrumpiógroseramente—.Teaseguroquenoseránecesarioinventarproblemasparadesenmascararal“sufi”ignorante.Llegaréal resultadoquepretendosin fatigar lamemoria,más rápidamentede loquepiensas.

Y, apuntando hacia el gran criadero, interpretó a Beremís, fijando ennosotrossuspequeñosojosacerados,quebrillabaninexorables:

— Respóndame, calculista del “Patito”, ¿cuántos pájaros hay en esecriadero?

BeremísSamir cruzó los brazos y se puso a observar conviva atención.Sería prueba de insana, pensé tratar de contar tantos pájaros, que inquietosvolaban por todos lados, ya cruzándose en el aire, ya sustituyéndose en lasperchasconincreíbleligereza.

AlcabodealgunosminutossevolvióelcalculistahaciaelgenerosoIezidyledijo:

—Ruegoavos,jefe,mandéissoltarinmediatamentetrespájaroscautivos.Serádeesemodomásfácilyagradable,paramí,enunciarelnúmerototal.

Aquelpedido tenía todoel aspectodeundisparate.Está claroquequiencuentaciertonúmero,podrácontar,fácilmente,esenúmeromás3.

Iezid, intrigadísimo, con el inesperado pedido del calculista, hizocompareceralencargadodelcriaderoyledioórdenesparaquelasolicituddelcalculistafueseatendida:libertadosprontamente,treslindoscolibríesvolaronrápidosporelcielohaciafuera.

—Se encuentran ahora en el criadero –declaróBeremís— cuatrocientosnoventayseispájaros.

—¡Admirable!–exclamóIezidentusiasmado—.Esasí.Micolecciónerademediomillar.DescontandolostresqueahorasoltéyunruiseñorqueenviéaMosul,quedanprecisamente496.

Lasumadelosdivisoresde496,menoresa496es:

1

2

4

8

16

31

62

124

248

Suma=496

—Acertóporcasualidad–rezongó,llenoderencor,elterribleTara-Tir.

ElpoetaIezid,instigadoporlacuriosidad,preguntóaBeremís:

—¿Puededecirme,amigomío,porquéprefiriócontar496,cuandoestansencillocontar496+3,osea499?

—Puedoexplicarle,ohsheik, larazóndemipedido–respondióBeremíscon altivez—. Los matemáticos procuran siempre dar preferencia a losnúmerosnotablesyevitarlosresultadosinexpresivosovulgares.Ahorabien:entre499y496nosepuededudar.Elnúmero496esunnúmeroperfectoydebemerecernuestrapreferencia.

—¿Yquéesunnúmeroperfecto?–preguntóelpoeta.

—Númeroperfecto–aclaróBeremís—eselquepresentalapropiedaddeser igual a la suma de sus divisores, excluyéndose, claro está, el propionúmero.Así,porejemplo,elnúmero28presenta5divisores,menoresque28,son:1,2,4,7y14.Lasumadeestosdivisores,1+2+4+7+14=28porconsiguiente, 28 pertenece a la categoría de los denominados númerosperfectos.Elnúmero6,tambiénloes.Losdivisoresde6(menoresque6)son1, 2 y 3, cuya suma es 6. Al lado de 6 y de 28 puede figurar 496, que estambién,comoyadije,unnúmeroperfecto.

El rencoroso Tara-Tir, sin querer oír más explicaciones, se despidió delsheikIezidyseretiródestilandorabia,porlagranderrotasufridaalpretenderponerenevidencialafaltadehabilidaddelcalculista.

—Ruégoleseñorcalculista–dijoIezid—quenoseofendaporlaspalabrasdemiprimoTara-Tir.Tieneél,exaltadotemperamento,ydesdequeasumióladireccióndelasminasdesalenAl-Derid,sehavueltoirascibleyviolento.

ComprendíqueelinteligenteBeremísnodeseabacausardisgustoalsheik,cuandorespondióllenodebondad:

—Dadalagranvariedaddetemperamentosycaracteres,nonosesposiblevivir en paz con el prójimo sin refrenar nuestra ira y cultivar la paciencia.Cuandome siento herido por la injuria, procuro seguir el sabio precepto deSalomón:

Quienderepenteseenfurece,estonto;

Quienesprudente,disimulaelinsulto.

Y,despuésdeunapequeñapausa,continuó:

—Estoy,sinembargo,muyagradecidoalpoderosoTara-Tir,ynolepuedoguardar rencor,puessu turbulentoprimomeofreció laoportunidaddehacernueveactosdecaridad.

—¿Cómo?

— Cada vez que ponemos en libertad un pájaro cautivo –explicó elcalculista—practicamostresactosdecaridad.Elprimero,paraconlaavecilla,restituyéndole la libertad que le había sido robada; el segundo, para connuestraconciencia,yeltercero,paraconDios.

— Quiere decir, entonces, que si diera libertad a todos los pájaros delcriadero…

—Yoos aseguro,oh sheik,quepracticandomil cuatrocientosochentayocho actosde caridad–replicóprontamenteBeremís, como si ya supiesedeantemanoelproductode496por3.

Impresionado por estas palabras, el generoso Iezid ordenó que fueran

puestasenlibertadtodaslasavesquesehallabanenelcriadero.

Lossiervosyesclavosquedaronaterradosaloíresaorden.Lacolección,formadaconpacienciaytrabajo,valíaunafortuna.Enellafigurabanperdices,colibríes, faisanes multicolores, gaviotas negras, patos de Madagascar,lechuzasdelCáucaso,yvariasgolondrinasrarísimasdeChinaydelaIndia.

— ¡Suelten los pájaros! –ordenó nuevamente el sheik, agitando lamanoresplandecientedeanillos.

Lasgrandespuertasdetelametálicaseabrieron.Engrupos,deapares,loscautivosdejabanlaprisiónyesparcíanseporlaarboledadeljardín.

DijoentoncesBeremís:

—Cadaave,conlasalasextendidas,esunlibrodedoshojasabiertoenelcielo.EsungrancrimenrobarodestruiresapequeñabibliotecadeDios.

Enesemomentooímoselcomienzodeunacanción;lavozeratantiernaysuave, que se confundía con el trino de las golondrinas y el arrullar de laspalomas.

Al principio era una melodía afable y triste, llena de melancolía yrecuerdo, como las endechasdeun ruiseñor solitario; animóse, luego, enuncrescendo vivo, en gorjeos complicados, en trinos argentinos, entrecortadoscon gritos de amor que contrastaban con la serenidad de la tarde, yrevoloteaban por el espacio como si fueran hojas que llevara el viento. Porúltimovolvióaltonotristedelprincipio,lanzandounanotadesgarradoraquequedóflotandoenlalímpidaatmósfera,comounsuspirodevirazón:

Siyohablaselaslenguasdeloshombres

ydelosángelesynotuviesecaridad,

seríacomoelmetalquesuena,

ocomolacampanaquetañe,

¡Nadasería!...¡Nadasería!...

Siyotuvieseeldondelaprofecíaytodalaciencia,

detalmaneraquetransportaselosmontes,

ynotuviesecaridad.

¡Nadasería!...¡Nadasería!...

Sidistribuyesetodosmisbienesparaelsustento

delospobres

yentregasemicuerpoparaserquemado,

ynotuviesecaridad.

¡Nadasería!...¡Nadasería!...

El encanto de aquella voz parecía envolver la tierra en una ola deindefinible alegría.Eldíaparecíamásclaro, el cielomásazuly el airemásleve.

—EsTelassimquecanta–explicóeljefealrepararenlaatenciónconqueoíamosembebidoslaextrañacanción.

Labandadadepájarosquerevoloteaballenabaelespacioconsusalegresnotasdelibertad.Noeranmásque496,perodabanlaimpresióndequeeran¡diezmil!...

—¿Ydequiénsonesosbrillantísimosversos?–indagué.

—Nolosé.UnaesclavacristianalosenseñóaTelassimyella jamáslosolvidó.Debenserdealgúnpoetanazareno.

Subimos,yasíseiniciólaprimeraleccióndeMatemática.

CAPÍTULOXI

BeremísiniciasucursodeMatemática.Elnúmeroyeluniverso.UnafrasedePlatón.LaunidadyDios.Quemedir.LaspartesqueformanlaMatemática.LaAritméticaylosnúmeros.ElÁlgebraylasrelaciones.LaGeometríaylasformas. La Mecánica y la Astronomía. Un sueño del rey Aldebazan. La“alumnainvisible”elevaaAlahunaoración.

Lahabitación enqueBeremís debía realizar su curso deMatemática eraespaciosa.Estabadivididaenelcentroporunagrancortinadeterciopelorojoquedescendíadeltechohastaelsuelo.Eltechoeradecoloresylascolumnasdoradas.EsparcidossobrelasalfombrasseencontrabangrandesalmohadonesdesedaconleyendasdelCorán.AdornabanlasparedescaprichososarabescosazulesentrelazadosconhermososversosdeAntar1,elpoetadeldesierto.Enelcentro,entredoscolumnas,conletrasdeorosobrefondoazul,seleíaestenotabledístico:

“CuandoAlahquierebienaunodesusservidores

abreparaéllaspuertasdelainspiración.”

Latardedeclinaba;enelaireflotabaunsuaveperfumedeinciensoyrosas.

Lasventanas,depulidomármol,estabanabiertas,dejandoverel jardínylosfrondosospomares,queseextendíanhastaelparduzcoytristerío.

Una esclava morena, de clásica hermosura circasiana, estaba de pie, elrostrodescubierto,juntoalapuerta.

—¿Vuestrahijasehallayapresente?–preguntóBeremísalsheik.

—Seguramente—respondió Iezid—.Leordenéestarenelotroextremode la habitación, detrás de la cortina, desde donde podrá ver y oír,permaneciendosíinvisibleparalosqueaquísehallen.

Realmente, las cosas fueron dispuestas de talmanera, que ni siquiera sedistinguíalasombradelajovenqueibaaserdiscípuladeBeremís.Eramuyprobablequeellanosestuvieraobservandoporalgúnpequeñoorificiohechoenelterciopelo,eimperceptibleparanosotros.

— Pienso que es oportuno comenzar ya la primera lección –advirtió elsheik.

Ypreguntóconcariño:

—¿Estásatenta,Telassim,hijamía?

—Sí,padre—respondióunavozfemeninadeagradabletimbre,desdeelotroladodelaposento.

Mientras tanto Beremís se había preparado para la lección; cruzó laspiernas, sentándose sobreunalmohadón, enel centrode la sala.Yoprocuréserdiscreto,colocándomeaunlado;juntoamívinoasentarseelsheikIezid.

Toda investigación científica, es costumbre que sea precedida por unaoración.Fue,pues,así,queBeremíscomenzó:

—Nosotros Te Adoramos, Señor, e imploramos Tu divina providencia.Condúcenos por el camino de la verdad; por el camino de los iluminados ybienamadosporTi.

Terminadalaoración,asíhabló:

— Cuando miramos, señora, hacia el cielo, en las noches límpidas ycalmas,sentimosquenuestrainteligenciaespequeñaparaconcebir lasobrasmaravillosasdelCreador.Delantedenuestramiradasorprendida,lasestrellassonunacaravanaluminosaquedesfilaporeldesiertoinsondabledelinfinito;las nebulosas inmensas y los planetas giran según leyes eternas por losabismos del espacio. Una noción surge, entretanto, bien nítida, en nuestroespíritu: la noción de número. Vivió otrora, enGrecia, cuando ese país eradominadoporelpaganismo,unfilósofonotablellamadoPlatón.(Alahes,sinembargo, más sabio). Consultado por un discípulo sobre las fuerzasdominantesdelosdestinosdelhombre,elgransabiorespondió:“Losnúmerosgobiernanelmundo”.Realmenteesasí.Elpensamientomássimplenopuedeserformuladosinqueenélseinvolucre,bajomúltiplesaspectos,elconcepto

fundamentaldenúmero.Elbeduinoqueenmediodeldesierto,enelmomentodelaoración,murmuraelnombredeDios,tienesuespíritudominadoporunnúmero:¡LaUnidad!Sí;Dios,segúnlasverdadesescritasenelLibroSantoyrepetidasporelProfeta,esUno,eternoeinmutable.Luego,elnúmeroUnoapareceenelcuadrodenuestrainteligenciacomoelsímbolodelpropioCreador.Delnúmero,señora,queeslabasedelarazónydelentendimiento,surge otra noción de indiscutible importancia: la noción de medida.Medir,señora, es comparar. Por lo tanto, solo son susceptibles de medirse lasmagnitudes que admiten un elemento como base de comparación. ¿Seráposiblemedirlaextensióndelespacio?Deningúnmodo.Elespacioesinfinitoy, siendo así, no admite término de comparación. ¿Será posible avaluar laeternidad? De ninguna manera. Dentro de las posibilidades humanas, eltiempoessiemprefinito,yenelcálculodelaEternidadnopuedeloefímeroservirdeunidaddeavaluación.Enmuchoscasos,sinembargo,nosesposiblerepresentarunamagnitudquenoseadaptealossistemasdemedida,porotraquepuedaseravaluadaconexactitud.Esecambiodemagnitudes,tendienteasimplificar los procesos de medidas, constituye el objeto principal de unaciencia, que los hombres denominanMatemática. Para alcanzar su objetivo,precisa la Matemática estudiar los números, sus propiedades ytransformaciones.EnesaparteellatomaelnombredeAritmética.Conocidoslosnúmeros,esposibleaplicarlosalaavaluacióndemagnitudesquevarían,oque son desconocidas, pero que se presentan expresadas por medio derelacionesyfórmulas.TenemosasíelÁlgebra.Losvaloresquemedimosenelcampodelarealidadsonrepresentadosporcuerposmaterialesoporsímbolos;en cualquier caso, esos cuerpos o esos símbolos están dotados por tresatributos: forma, tamaño y posición. Es necesario, pues, estudiar estos tresatributos;eseestudioconstituyeelobjetodelaGeometría.Estudia,además,laMatemática, las leyes que rigen los movimientos y las fuerzas, leyes queaparecenenlaadmirablecienciaquesedenominaMecánica.LaMatemáticapone todos sus recursos al servicio de una ciencia que eleva el alma yengrandece al hombre.Esa ciencia es laAstronomía.Hablan algunos de lasCiencias Matemáticas, como si la Aritmética, el Álgebra y la Geometríafuesenpartesenteramentedistintas.Noesasí,sinembargo.Todasseauxilianmutuamente,apoyándoseunasenlasotras,y,enciertospuntos,seconfunden.Hayunacienciaúnica,laMatemática,lacualnadiesepuedejactardeconocer,porquesusconocimientosson,porsunaturaleza,infinitos,ydelacualtodoshablan,sobretodolosquemáslaignoran.Entreloshombresquelaestudianylaconocenhay,sinembargo,algunosquemássefijanenminuciasqueenlasideas generales, siendo, por lo tanto, sus descubrimientos de escasaimportancia. Nárrase que Moisés se encontró, cierta vez, en las playas deJudea,conEl-Quíder,elmásgrandeentrelossabiosdelaTierra.Sehallabanlos dos grandesMaestros conversando sobre los más altos problemas de la

VidaydelDestino,cuandoseacercóaellosunpajaritoque traíaenelpicounagotadeaguademar.Lapequeñaavecilla,sin interrumpirelvuelo,dejócaerlagotasobreelhombrodeEl-Quíder.Él,queerasabioentrelossabios,dijoentoncesaMoisés:“¡ProfetadeDios!Esepájaroacabadeenseñarnosunaprofunda verdad,mostrándonos de unamanera elocuente, que la ciencia deMoisés,quees incalculable, acrecentadaconpaciencia deEl-Quíder, que esbienpoca,yladetodoslossabiosdelaTierra—delantedelacienciadeDios—escomounagotadeaguacomparadaconelmar.”LaMatemática,señora,enseñaalhombreasersencilloymodesto;eslabasedetodaslascienciasytodaslasartes.Aldebazan,reydeIrak,descansandociertavezenlagaleríadesupalacio,soñóqueencontrabasietejóvenesquecaminabanporunaruta.Enciertomomento,vencidasporlafatigayporlased,lasjóvenessedetuvieronbajoelsolcalcinantedeldesierto.Apareció,entonces,unahermosaprincesaqueseaproximóalasperegrinas,trayéndolesungrancántarodeaguapurayfresca.Labondadosaprincesasaciólasedquedevorabaalasjóvenes,yéstaspudieron reanudar su interrumpida jornada. Al despertar, impresionado conesecuriososueño,decidióAldebazanentrevistarseconunastrólogofamoso,llamadoSanib,acualconsultósobreelsignificadodeaquellaescenaenlaqueél–reypoderosoy justo—asistieraenelmundode lasvisionesy fantasías.DijoSanib,elastrólogo“¡Señor!Lassietejóvenesquecaminabanporlaruta,eran las artes divinas y las ciencias humanas: la Pintura, la Música, laEscultura;laArquitectura,laRetórica,laDialécticaylaFilosofía.LaprincesaquelassocorriórepresentalagrandeyprodigiosaMatemática.SinelauxiliodelaMatemática–prosiguióelsabio—lasartesnopuedenprogresar,ytodaslasotrascienciasperecen.”Impresionadoelreyporloqueoía,determinóquese organizasen en todas las ciudades, oasis y aldeas de su país, centros deestudios matemáticos. Elocuentes y hábiles “ulemas”, iban por orden delsoberano recorriendo los bazares y caravanas, enseñando Aritmética a loscaballerosybeduinos.Enlasparedesdelasmezquitasyenlaspuertasdelospalacios, los versos de los poetas famosos fueron sustituidos por fórmulasalgebraicasyporcálculosnuméricos.Alcabodepocosmesesacontecióqueelpaísatravesabaporunaeradeprosperidad.Paralelamentealprogresodelaciencia,crecíanlosrecursosnaturalesdelpaís,lasescuelasestabanrepletas;elcomercio se acrecentaba en forma prodigiosa; multiplicábanse las obras dearte;levantábansemonumentos,ylasciudadesestabancolmadasdeturistasycuriosos.ElpaísdeIrakteníaabiertaslaspuertasalProgresoyalaRiqueza,sino hubiése la fatalidad, (¡Mactub!) puesto el término a aquel período detrabajoyprosperidad.ElreyAldebazan,acometidoporrepentinaenfermedad,murió,siendollevadoporelmalignoAzrailparaelcielodeAlah.Lamuertedel soberano abrió dos tumbas. Una de ellas acogió el cuerpo del gloriosoMonarca,ylaotralaculturacientíficadelpueblo.Subióaltronounpríncipevanidoso,indolenteydelimitadasdotesintelectuales.Lepreocupabanmáslas

diversiones que los problemas Administrativos del Estado. Pocos mesesdespués, todos los servicios públicos estaban desorganizados; las escuelascerradas, y los artistas y “ulemas”, forzados huir bajo la amenaza de losmalvadosyladrones.Eltesoropúblicofuedilapidadoenmúltiplesfestinesydesenfrenadosbanquetes.Elpaísde Irak, llevadoa la ruinaporeldesorden,fue atacado por enemigos ambiciosos, y vencido.La historia deAldebazan,señora, nos demuestra que el progreso de un pueblo se halla ligado aldesenvolvimiento de los estudios matemáticos4. En el Universo todo esnúmeroymedida.LaUnidad,símbolodelCreador,eselprincipiodetodaslascosas, las cuales no existen sino en virtud de inmutables proporciones yrelaciones numéricas. Todos los grandes enigmas de la Vida pueden serreducidos a simples combinaciones de elementos variables o constantes,conocidosodesconocidos.ParaquepodamosconocerlaCienciaesnecesariotomar un número por fase.Veremos cómo estudiarlo con la ayuda deAlah,ClementeyMisericordioso.

—¡Uaasalam!

Conestaspalabrasconcluyóelcalculista,dandoporterminadasuprimeraclasedeMatemática.

Con agradable sorpresa oímos, entonces a la alumna, a quien hacíainvisiblelacortina,pronunciarlasiguienteoración:

“¡Oh Dios Omnipotente, Creador del Cielo y de la Tierra! Perdona lapobreza,pequeñezypuerilidaddenuestroscorazones.Noescuchesnuestrospedidos, pero oye el clamor de nuestras necesidades; no atiendas nuestrospedidos, pero ten en cuenta nuestros silenciosos gemidos. ¡Cuantas vecespedimosaquelloquetuvimosyquedejamosperder!¡Cuántasvecessoñamosposeer aquello que nunca será nuestro! ¡OhDios!Nosotros te agradecemosporesteUniverso,queesnuestrograndehogar,porsuvastedadyriqueza,yporlavidamultiformequeenélexisteydelacualformamosparte.Loámosteporelesplendordelcieloazulyporlabrisadelatarde,porlasvelocesnubesypor las constelaciones de las alturas.Loámoste por los océanos inmensos,porelaguaquecorre,porlasmontañaseternas,porlosárbolesfrondosos,porel suave césped enque reposannuestrospies. ¡Nosotros te agradecemos losmúltiples encantos con que podemos experimentar en nuestras almas lasbellezasdelaVidayelAmor!¡OhDios,ClementeyMisericordioso!Perdonalapobreza,lapequeñezylapuerilidaddenuestroscorazones.”

CAPÍTULOXII

EnelcualveoaBeremís interesadoenel juegodesaltarconcuerda.Lacurva del “baq-taque” y las arañas. Pitágoras y el círculo. Encontramos aHaridNamur.Elproblemade los60melones.Cómoperdióel intendente laapuesta. La voz del muezín ciego llama a los creyentes para la oración de“mogreb”.

Cuandodejamoselhermosopalaciodelpoeta Iezid, faltabapocopara lahoradel“ezzan”.Alpasarporel“marabú”deRamiroíelsuavegorjeodeunpájaroentrelasramasdeunaviejahiguera.

—Es, con seguridad,unode los libertosdehoy–observé—.Reconfortaoírlostraducirenmelódicoscantos,laalegríadelalibertadreconquistada.

Beremís,sinembargo,enaquelmomentonossepreocupabaporelcantodelpájaro.

Absorbíasuatenciónungrupodepequeñosquesedivertíanenlacalle,acortadistancia.

Dosdeellossostenían,porlosextremos,untrozodecuerdafinaquedebíatenercatorceoquincepalmosdeextensión.Losotrostratabandetrasponerdeun salto, la cuerda, colocadamás omenos alta, conforme a la agilidad delsaltador.

—Mira lacuerda,“bagdalí”–dijoelcalculista, tomándomeporelbrazo—,¡Observaquécurvaperfecta!¿Nolahallasdignadeestudio?

— Pues, amigo mío –dijo Beremís—: convéncete de que tus ojos sonciegosparalasmásgrandesbellezasymaravillasdelaNaturaleza.Cuandolosniños tienen la cuerda, sosteniéndola por los extremos, dejándola caerlibremente y bajo su propio peso, la cuerda forma una curva notable, puessurge como resultantede fuerzasnaturales.Yo tuveocasióndeobservar esacurva—queelsabioNo-Elinllamabala“baq-taque”,porquetienelaformadela jorobadeciertosdromedarios—.¿Tendráesacurvaplanaalgunaanalogíacon las derivadas de la parábola? En lo futuro, si Alah lo quiere, losmatemáticos descubrirán el medio de trazar esa curva, punto por punto, yestudiarán rigurosamente todas sus propiedades. — Hay, sin embargo –prosiguió—, muchas otras curvas más importantes. Debo citar, en primerlugar,elcírculo.Pitágoras,filósofoymatemático,considerabaalcírculocomola figura más perfecta, relacionándolo así con la idea de perfección. Entretodaslascurvasmásperfectas,elcírculoeslaquetieneeltrazadomássimple.

Beremís,interrumpiendoenesemomentoladisertaciónapenascomenzadasobrelascurvas,señalóhaciaunjovencitoquesehallabaacortadistanciaygritó:

—¡HarimNamir!

El jovensevolvió rápidamenteyvinoalegreanuestroencuentro.Medicuenta entonces, que se trataba de uno de los tres hermanos que habíamosvisto discutir en el desierto, cierto día, por causa de la herencia de los 35camellos; reparto complicado, lleno de tercios y novenos, que Beremísresolviópormediodeunartificiocurioso,alqueyamehereferido.

— ¡Mac Alah! – exclamó Harim, dirigiéndose a Beremís—. Ha sido elDestinoquiendispusoahoranuestroencuentro.MihermanoHamedsehallaatribuladoporunacuentade60melonesquenadiepuederesolver.

YHarimnosllevóaunapequeñacasaendondeseencontrabasuhermanoHamedNamur,encompañíadevariosmercaderes.

MostróseHamedmuysatisfechoalveraBeremísy,volviéndosehacialosmercaderes,lesdijo:

—Estehombrequeacabadellegar,esungranmatemático.Graciasasuvaliosa ayuda pusimos hallar la solución perfecta de un problema que nosparecíaimposible:dividir35camellosentre3personas.Estoysegurodequeélpodráexplicar,enpocosminutos,ladiferenciaencontradaenlaventadelos60melones.

Como era necesario informar minuciosamente a Beremís, uno de losmercaderestomólapalabraydijo:

— Los dos hermanos, Harim y Named, me encargaron vender en elmercadodospartidasdemelones.Harimmeentregó30melones,quedebíanser vendidos á razón de 3 por un denario; Hamed me dio, también, 30melones,paraloscualesfijóunpreciomáselevado,estoes,arazóndedosporun denario. Era bien claro que, terminada la venta,Harim recibiría 10 y suhermano 15 denarios. El total obtenido sería, pues, de 25 denarios. Sinembargo,alllegaralaferia,unadudameacometió:Siyovendoprimerolosmelones caros, pensé, peco de imparcialidad, y si vendo los más baratosprimero,encontrarédificultadparacolocarlosotros.Lomejorseráquevendalasdospartidas,almismotiempo.Habiéndosellegadoaesaconclusión,reunílos 60 melones y comencé a venderlos a 5 por 2 denarios. El negocio sejustificaba conun simple razonamiento. Si debía vender 3 por un denario yluego 2 por la misma suma, era más simple que vender 5 por 2 denarios.Vendidoslos60melonesen12lotesde5cadaunoobtuve24denarios.¿Cómopagaralosdoshermanos,siunodebíarecibir10yelotro15denarios?Habíauna diferencia de un denario, que no sabía como explicar, pues el negociohabíasidohechocontodocuidado.Vender3porundenarioy2por1,¿noeslomismoquevender5por2denarios?

—Lacuestiónnotendríaimportanciaalguna–intervinoHamedNamir—

si no fuese por la intervención absurda del “vequil”4 que vigila la feria.Habiendo oído algo sobre el caso, y no sabiendo explicar la diferencia, haapostado5denariosaqueesadiferenciaproveníadelafaltadeunmelónquefuerarobadodurantelaventa.

—El “vequil” no tiene razón –afirmóBeremís—y debe ser obligado apagar la apuesta. La diferencia que encontró el vendedor se debe a losiguiente: La partida deHarim se componía de 10 lotes de 3melones cadauno.Cada lote debía ser vendido a undenario.El total de la venta sería 10denarios.LapartidadeHamedsecomponíade15lotes(condosmelonescadauno)yuntotalde15denarios.Observenqueelnúmerodelotesdeunapartidaesdiferentealdelaotra.Paravenderlosmelonesenlotesde5cadauno,sólolos10primeroslotespodríanservendidos(sinperjuicio)por2denarioscadauno. Vendidos esos 10 lotes, quedan todavía 10 melones, que pertenecenexclusivamentea lapartidadeHamedyque, siendodepreciomáselevado,debíanservendidosa razónde2por1denario.Ladiferenciadeundenarioresultó,pues,delaventadelos10últimosmelones.Nohuboroboalguno.Dela desigualdad de los precios e las dos partidas, resultó la pérdida de undenario,queseverificóenelresultadofinal.

Enesemomentolavozdel“muecín”,cuyoecovibrabaenelairealllamaralosfielesparalaoración,interrumpiónuestrareunión.

—¡Haialel-salah!¡Haialel-salah!

Cada uno de nosotros procuró, sin pérdida de tiempo, hacer, según loindicaelLibroSanto,las“guci”deritual.

ElSolyasehallabasobrelalíneadelhorizonte.Habíallegadolahoradel“mogreb”.

Desde la tercera almenara de la mezquita de Omar, el “muecín” ciegollamaba,convozpausadayronca,aloscreyentesparalaoración:

—AlahesgrandeyMahomaeselverdaderoenviadodeDios. ¡Venidaorar,musulmanes!¡Venidaorar!

Los mercaderes, precedidos por Beremís, extendieron sus tapetes decolores, se sacaron las sandalias,miraron la dirección de laCiudadSanta yexclamaron:

— ¡Alah, omnipotente y misericordioso! Loado sea el Creador de losmundosvisiblese invisibles.A ti,queereselverdaderoSoldelmundo;quesiemprealumbras,sin tenerocaso;quecon tus rayosbenéficosycon tu luz,alegras y avivas todas las cosas en elCielo y en laTierra:Te rogamos quemisericordiosamente brilles en nuestros corazones, para que la noche y laoscuridaddelpecado,ylaniebladelerror,seandisipadasporelbrillodeTu

luz en nuestros corazones, y nosotros por toda nuestra vida andemos sintropezar, como de día, puros, alcanzando las bendiciones abundantes quetienesparanosotros.

CAPÍTULOXIII

Enelcualvamosalpalaciodelcalifa.Beremísesrecibidoporelrey.Lospoetas y la Amistad. La amistad entre los hombres y la amistad entre losnúmeros. Números amigos. El califa elogia al “Hombre que calculaba”. Esexigidaenpalacio,lapresenciadeuncalígrafo.

Cuatrodíasdespués,porlamañana,senosinformóqueseríamosrecibidosen solemne audiencia por el califa Abul-Aabas-Ahmed Al-Motacen Billah,EmirdelosCreyentes,VicariodeAlah.

Aquellacomunicación,tangrataparacualquiermusulmán,fuerecibidaporBeremísypormíconverdaderaansiedad.

Eramuyposiblequeelsoberano,aloíralsheikIezidcontaralgunadelasproezaspracticadasporeleximiomatemático,tuviesecuriosidadporconoceral “Hombre que calculaba”. No se puede explicar de otra forma nuestrapresenciaenlaCorte,entrelasfigurasdemásprestigiodelaaltasociedaddeBagdad.

QuedéasombradoalentrarenelpalaciodelEmir.

Variasarcadassuperpuestas,formandocurvasarmoniosas,ysostenidasporaltas y delgadas columnas esculpidas, tenían sus basamentos ornados confinísimos mosaicos. Pude notar que esos mosaicos estaban formados porfragmentosdelozablancaybermeja,alternandoconfranjasdeestuque.

Lostechosdelossalonesprincipaleserandecolororoyazul;lasparedesdetodaslashabitacionessepresentabancubiertasdeazulejosenrelieve,ylospisos eran de mosaico. Las cortinas, los tapices, los divanes, todo, en fin,cuanto constituía el mobiliario del palacio, demostraba la magnificenciaindiscutibledeunpríncipedeleyendahindú.Afuera,enlosjardines,senotabalamismapompa, realzadapor lamanode laNaturaleza, perfumadapormilaromasdiferentes,alfombradaconverdecésped,bañadaporelrío,refrescadapor innumerables fuentes demármol blanco, junto a las cuales unmillar deesclavastrabajabansincesar.

FuimosconducidosporunayudantedelvisirIbraimMalufhastalaSaladelasAudiencias.

Vimosalllegar,alpoderosomonarcasentadoenriquísimotronodemarfilyterciopelo.

Perturbóme algo la belleza sublimedel salón.Todas sus paredes estabanadornadas con inscripciones admirables, hechas por el arte caprichoso dealgún calígrafo genial. Las leyendas aparecían, en relieve, sobre fondo azulclaro con letra pequeña y roja. Casi todas eran versos de los poetas másfamosos de nuestra patria. Jarrones con flores por todas partes, floresdeshojadassobreloscojines,sobrelasalfombras,oenbandejasdeoroyplataprimorosamentecinceladas.

Hermosas y numerosas columnas lucían, airosas, con sus capiteles ybasamentos,elegantementeornadasporelcinceldeartistasárabes,quesabían,comoninguno,multiplicar ingeniosamente las figurasgeométricas asociadasconfloresyhojasdetulipán,azucenasymildiversasplantas,enunaarmoníamaravillosa de inenarrable belleza. Se hallaban presentes siete visires, dosjueces,variosdoctoresydiversosdignatariosdegranprestigio.

Al honrado Maluf correspondía hacer nuestra presentación. En eldesempeñodeestamisión,elvisir,conloscodosapoyadosenlacinturaylaspalmasdelasmanoshaciafuera,hablóasí:

—Para satisfacer tudeseo, reydel tiempo,ordenécompareciesenhoy, aestaexcelsaaudiencia,elcalculistaBeremísSamir,miactualsecretario,ysuamigoHank-Tade-Madya,auxiliardeescribienteyfuncionariodepalacio.

—Sean bienvenidos,musulmanes. –respondió con sencillez el sultán—.Admiro a los sabios. Un matemático, bajo el cielo de este país, contarásiempreconmisimpatíay,sifueranecesario,conmidecididaprotección.

—¡Alahbadie,yasidi!–exclamóBeremís,inclinándosedelantedelreyybesando,respetuoso,latierraentrelasmanos.

Quedéinmóvil,lacabezainclinada,losbrazoscruzados,puesnohabiendosidoaludidoenloselogiosporelsoberano,nopodíatenerelhonordedirigirleel“zalam”.

El hombre que tenía en sus manos el destino del pueblo árabe parecíabondadosoydesprovistodeprejuicios.Teníaelrostrodelgado,quemadoporel sol del desierto y surcado de arrugas prematuras. Vestía con relativasencillez.Llevabaenlacintura,bajolafajadeseda,unhermosopuñal,cuyocabo estaba adornado con piedras preciosas. El turbante era verde conpequeñas listas blancas. El color verde es –como todos saben— lo quedistinguealosdescendientesdeMahoma,elSantoProfeta(¡conÉlhayapazygloria!).

—Muchas cosas importantes quiero resolver en la audiencia de hoy –comenzóelcalifa—.Noquiero,sinembargo,iniciarlostrabajosydiscutirlosgrandes problemas políticos, sin recibir una prueba clara y precisa que elmatemáticopersa recomendadopormiamigo Iezides, realmente,ungrany

hábilcalculista.

Interpelado de ese modo Beremís por el glorioso monarca, se sintióobligadoacorresponderbrillantementealaconfianzaqueeljefeIezid,enéldepositara.

Dirigiéndose,pues,alsultán,asílehabló:

—No soymás, Comendador de los Creyentes, que un rudo pastor queacabadeserdistinguidoconvuestrahonrosaatención.

Ydespuésdecortapausaprosiguió:

— Aseguran, entretanto, mis generosos amigos, que es justo incluir minombreentreloscalculistas.Siéntomehalagadoportanaltadistinción,aunquepienso que, en general, los hombres son buenos calculistas. Calculista es elpescadorquecuentalospecesquehayensured;calculistaeselsoldadoqueavaloradeunaojeada,cuandoestáencampaña,ladistanciadeunaparasanga;elcalculistaeselpoetaquecuenta lassílabasymideelritmodelosversos;calculistaeselmúsicoqueaplica,enladivisiónencompases,lasleyesdelaperfecta armonía; calculista es el pintor que traza las figuras segúnproporciones invariables, para obtener perspectiva; calculista es el humildetejedorquedisponeunoporuno,todosloshilosdesutrabajo.¡Todos,enfin,ohrey,sonbuenosyhábilescalculistas!

Y, después de mirar a todos los nobles que rodeaban el trono, Beremísprosiguió:

—Veo, con infinita alegría, que estáis rodeadode “ulemas”, ydoctores;quehay,alasombradevuestrotronopoderoso,hombresdevalorquecultivanelestudioyengrandecenlaciencia.Lacompañíadelossabios,ohrey,esparamíelmayortesoro.Elhombresólovaleporloquesabe.Saberespoder.Lossabios educan por el ejemplo, y nada hay que conquiste al espíritu humanomásprofundamentequeelejemplo.Sinembargo,nodebeelhombrecultivarla ciencia si no es para utilizarla en la práctica del bien. Sócrates, filósofogriego, afirmaba con el peso de su autoridad enorme: “Sólo es útil elconocimiento que nos hacemejores”. Séneca, otro pensador famoso, decía,incrédulo:“¿Quéimportasaberqueesunalínearecta,sinosesabeloqueesla rectitud?” Permitidme, pues, rey generoso y justo, que rindami humildehomenaje a los doctores y “ulemas” que se hallan en esta sala.Durante lostrabajos diarios, observando las cosas queAlah sacóde laNadapara darlesvida, aprendí a valorar los números y a transformarlos pormedio de reglasprácticas y seguras. No deja de preocuparme, sin embargo, la prueba quesolicitáis. Confiado en vuestra proverbial generosidad, agrádame decir queobservoenestaSaladeAudiencias,demostracionesadmirablesyelocuentesdequelaMatemáticaexisteentodaspartes.Adornanlasparedesdeestebello

salón varios versos que contienen un total de 504 palabras, estando algunastrazadasencaracteresnegrosy las restantesen rojo.Elcalígrafoquedibujóestos versos demostró tener tanto talento e imaginación al descomponer las504palabras,comolospoetasqueescribieranesasinmortalespoesías.

¡Rey magnánimo! –prosiguió Beremís—: encuentro en los versosincomparablesqueadornanestaSaladeAudienciasgrandeselogiossobre laAmistad. Puedo leer allí, cerca de la columna, la célebre “cassida” de“Mohalhil”:

“Simisamigosmehuyeran,demíhuiríantodoslostesoros.”

UnpocomásabajoencuentroelelocuentepensamientodeTarafa:

“El encanto de la vida depende únicamente de las buenas amistades quecultivamos.”

AlaizquierdasedestacaelprofundoconceptodeHatim,delatribudeTai:

“Labuenaamistadesparaelhombreloqueelaguapuraylímpidaparaelbeduinosediento.”

Sí, todo eso es sublime, profundo y elocuente. La mayor belleza, sinembargo, reside en el ingenioso artificio empleado por el calígrafo parademostrarquelaamistadquelosversosexaltan,noexistesolamenteentrelosseresdotadosdeviday sentimientos.La amistad sehalla, también entre losnúmeros.

¿Cómo descubrir –preguntaréis— entre los números, aquellos que estánunidos por los lazos de la amistadmatemática? ¿De quémedios se vale elgeómetra para señalar en la serie numérica los elementos ligados por laestima?

En pocas palabras podré explicar en que consiste el concepto de losnúmerosamigosenMatemática.

Consideremos,porejemplo,losnúmeros220y284.

Elnúmero220esdivisibleexactamenteporlosnúmeros:

1,2,4,5,10,11,20,22,44,55y110.

Estossonlosdivisoresde220menoresque220ysusuma:

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

Elnúmero284es–asuvez—divisibleexactamenteporlosnúmeros:

1,2,4,71y142.

Sonesoslosdivisoresde284menoresque284ysusuma:

1+2+4+71+142=220

Pues bien. Hay entre esos números relaciones notables. Si sumamos losdivisores de 220, arriba indicados, obtenemos una suma igual á 284; sisumamoslosdivisoresde284,elresultadoes,precisamente,220.

De esa relación los matemáticos llegaron a la conclusión de que losnúmeros 220 y 284 son “amigos”; es decir, que cada uno de ellos pareceexistirparaservir,alegrar,defenderuhonraralotro.

Yelcalculistaconcluyó:

— ¡Pues bien, rey generoso y justo!Observad que las 504 palabras queformanelelogiopoéticodelaAmistadfueronescritasenlasiguienteforma:

220encaracteresnegrosy284encaracteresrojos.Y220y284son,comoyaexpliqué,númerosamigos.

Observad, también, una relación no menos interesante: las 504 palabrasforman32leyendasdiferentes.Puesbien,ladiferenciaentre284y220es64,númeroque,ademásdesercuadradoycuboperfecto,esprecisamenteigualaldobledelnúmerodeleyendasdibujadas.

Elinfieldiráquesetratadesimplescoincidencias.Sinembargo,aquelquecree en Dios y tiene la dicha de seguir las enseñanzas del Santo ProfetaMahoma (¡con Él en la oración y en la paz!), saben que las llamadascoincidencias no serían posibles si Alah no las describiese en el libro delDestino.Afirmo,pues,queelcalígrafo,aldescomponerelnúmero504endosporciones(220y284),escribiósobrelaAmistadunpoemaqueelevaatodosloshombresdealmanobleyespírituclaro.

Al oír las palabras del calculista, el califa quedó extasiado. Resultabaextraordinario.

Resultabaextraordinarioqueaquelhombrecontase,deunamirada,las504palabrasdelos32versosyque,alcontarlas,verificasequehabía220ennegroy284enletrasrojas.

—Tuspalabras, calculista–dijoel rey—mehandado la certezadequeeresungeómetradegranmérito.Hequedadoencantadoconesa interesanterelación que los algebristas denominan “amistad numérica”, y estoy ahorainteresadoensabercuálfueelcalígrafoqueescribió,alhacereldecoradodeesta habitación, los versos que sirven de adorno a estas paredes. Es fácilverificar si la descomposición de las 504 palabras, en partes que formennúmerosamigos, fuehechaapropósitoo resultódeuncaprichodelDestino(obraexclusivadeAlah,elExaltado).

Y haciendo aproximar al trono a uno de sus secretarios, el sultán AlMotacenlepreguntó:

—¿RecuerdasNuredínZarur,alcalígrafoquetrabajóenestepalacio?

—Loconozcomuybien–respondióprontamenteelsheik—.VivejuntoalamezquitadeOtman.

—Traedloaquí,“sejid”,lomásprontoposible–ordenóelcalifa—.Quierointerrogarlo.

—¡Escuchoyobedezco!

Ysalióaprisaacumplirlaordendelsoberano.

CAPÍTULOXIV

En el cual esperamos en el trono real, el regreso de Nuredín Zarur, elemisario del califa. Los músicos y las bailarinas gemelas. Como BeremísreconocióaIclimiayTabessan.SurgeunvisirenvidiosoquecriticaaBeremís.El elogio de los teóricos soñadores hecho por Beremís. El rey proclama lavictoriadelateoríasobreelutilitarismogrosero.

DespuésqueeljefeNuredinZarur–elemisariodelrey—partióenbuscadel calígrafo que dibujara las 504 palabras de las leyendas de la Sala deAudiencias,entraronenellacincomúsicosegipciosqueejecutaron,congransentimiento, lasmás agradables canciones ymelodías árabes. En cuanto losmúsicos hicieron vibrar sus laúdes, arpas cítaras y flautas, dos graciosasbailarinasdjalcianas,paramayorentretenimientodetodos,danzaronsobreunagran tarimacircular.Era asombrosa la semejanzaqueseobservabaentre lasdosjóvenesesclavas.Teníanambaseltalleesbelto,lascarasmorenas,losojospintados con “colk” negro; pendientes, pulseras y collares exactamenteiguales.Yparacompletarelparecido,sepresentabancontrajesenlosquenosenotabalamenordiferencia.

Endeterminadomomentoelcalifa,queestabadebuenhumor,sedirigióaBeremísyledijo:

— ¿Qué pensáis, calculista, demis lindas “adjamis”?Ya habréis notadoque son parecidísimas. Una de ellas se llama Iclimia y la otra responde altiernonombredeTabessan.Songemelasyvalenuntesoro.Noencontré,hastaahora, quien fuese capaz de distinguir, con seguridad, una de otra, cuandoreaparecen después de danzar. Inclimia (¡mira bien!) es la que se encuentraahoraaladerecha;Tabessan,alaizquierda,juntoalacolumnanosdirigesumejorsonrisa.

— Confieso, oh sheik del Islam –respondió Beremís— que vuestrasbailarinasson,realmente, irresistibles.LoadoseaAlah,elÚnico,quecreólaBellezaparamodelar conella las seductoras formas femeninas.De lamujer

hermosayadijoelpoeta:

“MujernoeressoloobradeDios,

loshombresteestáncreandoeternamente

conlahermosuradesuscorazones

ysusansiashanvestidodegloriatujuventud.”

“Portilabraelpoetasuteladeoroimaginaria;

elpintorregalaatuforma,díatrasdía,nuevainmortalidad.

Poradornarte,porvestirte,porhacertemáspreciosa,

elmardasusperlas,latierrasuoro,suflorlosjardinesdelestío.”

“Mujer,eresmitadmujerymitadsueño.”

—Sin embargo, me parece relativamente fácil— añadió el calculista—distinguiraIcliniadesuhermanaTabessan,bastarepararenlahechuradelostrajesdeambas.

—¡Cómo!–dijoelsultán—.Porlostrajesnosepodrádescubrirlamenordiferencia, pues determiné que ambas usasen velos, blusas y mhazmasrigurosamenteiguales.

—Pidoperdón, reygeneroso–contradijoBeremís—,mas lascosturerasno acataron vuestra orden con el debido cuidado. La “mhazma” de Icliniatiene en el borde, 312 franjas, mientras que la de Tabessan sólo posee 309franjas.Esadiferenciade3franjasessuficienteparaevitarlaconfusiónentrelasdoshermanasgemelas.

Al oír tales palabras, el califa batió palmas, haciendo parar el baile, yordenóqueun“haquim”contase,unaporuna,todaslasfranjasqueaparecíanenlaspollerasdelasbailarinas.

ElresultadoconfirmóelcálculodeBeremís.

Icliniateníaenelvestido312franjasyTabessan309.

—¡MacAlah!–exclamóelcalifa—.ElsheikIezid,apesardeserpoeta,noexageró.Estecalculista es realmenteprodigioso. ¡Contó todas las franjasdelaspollerasmientraslasbailarinasdanzabanrápidamentesobreeltablado!La envidia, cuando se apodera de un hombre, abre en su alma el camino atodoslossentimientosdespreciablesytorpes.

Había en la corte de Al-Motacen un visir llamado Nahun Ibn-Nahun,hombremaloyruin.

ViendocreceranteelcalifaelprestigiodeBeremís,comodunadearena

formadaporelsimún,yaguijoneadoporeldespecho,ideódesprestigiaramitalentosoamigo,colocándoloensituaciónfalsayridícula.Conesepropósitoseacercóalreyyledijo:

—Acabo de observar, Emir de losCreyentes, que el calculista persa eshábilparacontarloselementosofigurasdeunconjunto.Contólasquinientasy tantaspalabrasescritasen lasparedesdel salón,citódosnúmerosamigos,hablódeladiferencia64(queescuboycuadrado),y terminócontando,unapor una, las franjas de las polleras de las hermosas bailarinas djalcianas.Quedaríamosmalservidossinuestrosmatemáticossedispusieranaobservarsolamentecosas tanpuerilesysinutilidadprácticaalguna.Realmente.¿Quénos importa saber si hay en los versos que nos engrandecen, 220 ó 284palabras, y si esos números son amigos o no? La preocupación de cuantosadmiramos a un poeta, no es contar las letras de sus versos, ni calcular elnúmerodeellasescritasenrojooennegro.Tampoconosinteresasabersienelvestidodeestabellaygraciosabailarinahay309,312ó1.000franjas.Todoesoesridículoydemuyescasointeréspara loshombresdesentimientoquecultivanlaBellezayelArte.

El ingenio humano, amparado por la ciencia, debe consagrarse a laresolución de los grandes problemas de la vida. Los sabios –inspirados porAlah,elExaltado—nolevantaroneldeslumbranteedificiodelaMatemáticapara que esa noble ciencia viniese a tener la aplicación que le encuentra elcalculistapersa.Meparece,pues,uncrimen,reducirlacienciadeunEuclides,de un Arquímedes o de unmaravilloso Omar Cayan (¡Alah lo tenga en sugloria!),aesamíserasituacióndeavaluadoranuméricadecosasyseres.Nosinteresa,pues, ver a ese calculista aplicar las teorías (quediceposeer) en laresolucióndeproblemasdeutilidadreal,estoes,problemasqueserelacionenconlasnecesidadesdelavidacorriente.

— Hay un pequeño engaño de vuestra parte, señor visir –replicó enseguidaBeremís—,yyotendríaagranhonraesclareceresepequeñoerrorsielgenerosoCalifa,nuestroamoyseñor,meconcedierapermisoparadirigirlemásextensamentelapalabraenestaaudiencia.

—Nodejadeparecerme,hastaciertopunto,juiciosa–replicóelrey—lacensura del visir Nahun Ibn-Nahun. Una aclaración sobre el caso esindispensable.Habla,pues.Tuspalabrasorientaránlaopinióndelosqueaquísehallan.

—Losdoctoresy“ulemas”,¡OhreydelosÁrabes!–comenzóBeremís—noignoranquelaMatemáticasurgióconeldespertardelalmahumana;peor,no lo hizo con fines utilitarios. Fue el ansia de resolver el misterio delUniverso,delantedelcualloshombressoncomogranosdearena,queledioelprimer impulso. El verdadero desenvolvimiento resultó, ante todo, del

esfuerzo en penetrar y comprender el Infinito. El progreso material de loshombresdependedelasconquistasabstractasocientíficasdelpresente,yesaloshombresdecienciaquetrabajansinningúndesigniodeaplicacióndesusdoctrinas, a los que la Humanidad será deudora en lo futuro. Cuando elmatemáticoefectúasuscálculosobuscanuevasrelacionesentrelosnúmeros,no lo hace con fines utilitarios. Cultivar la ciencia por la utilidad práctica,inmediata,esdesvirtuarelalmadelapropiaciencia.Apareceen laamonita(concha fósilpertenecienteaunmoluscocefalópodo)unacurvaconsideradaentrelasfigurasmásnotables–la“espirallogarítmica”.Privilegiograndedelmatemático es esa ligazón íntimaymisteriosa entre él y su aspiración, que,fuera de sí mismo, casi no interesa a nadie; análogamente decimos de lasaplicacionesprácticasdelacienciaqueapasionanalasmultitudes,yfrentealas cuales él permanece aparentemente ajeno. Que ese acuerdo entre lasespeculaciones matemáticas y la vida práctica se explique por medio deargumentosmatemáticosodeteoríasbiológicas,noimporta; lociertoesqueesa relación existe y que la Historia sólo ha logrado confirmarlo. En losestudios más áridos y abstractos el matemático trabaja convencido que sulabor,hoyomañana,seráútilasussemejantes.Esacertezadelagranutilidaddesuobrapermitealmatemáticoentregarse,sinreservaysinremordimiento,a los placeres de la imaginación creadora, sin pensarmás que en su propioidealdebellezayverdad.¿La teoríaestudiadahoy tendráaplicacionesen lofuturo? ¿Quién podrá aclarar ese enigma ni su proyección, a través de lossiglos?¿Quiénpodrá,delaecuacióndelpresente,despejar lagran incógnitadelos tiemposvenideros?SóloAlahsabe laverdad.Esmuyposibleque lasinvestigaciones teóricas de hoy provean, dentro de mil o dos mil años, depreciosos recursos a la práctica. Es preciso, sin embargo, no olvidar que laMatemática,ademásdelobjetivoderesolverproblemas,calcularáreasymedirvolúmenes, tiene finalidadesmuchomáselevadas.Por tener altovalor en eldesenvolvimientodelainteligenciaydelraciocinio,eslaMatemáticaunodeloscaminosmássegurospordondepuede llegarelhombreasentirelpoderdelpensamiento,lamagiadelespíritu.Elestudiodelamatemáticacontribuye,porsísólo,alaformacióndelapersonalidad;antetodo,ejercitasingularmentelaatención,y,deesemodo,desenvuelve,concomitantemente,lavoluntadylainteligencia; habitúa a reflexionar sobre una misma cosa que no ocupa lossentidos, a observarla en todos sus aspectos y en todas sus variantes, acompararlaconotrosobjetosanálogos,adescubrirtenuesyocultosvínculos,y a seguir, en todos sus pormenores, la extensa cadena de deducciones; dehábitos de paciencia, de precisión y de orden; inicia el razonamiento en losrecursosdelaLógica;elevayencantaporlacontemplacióndevastasteoríasmagníficamenteordenadasyresplandecientesdeclaridad.LaMatemáticaes,en fin,unade lasverdadeseternasy,como tal,elevaelespíritu–delmismomodo que lo hace la contemplación de los grandes espectáculos de la

Naturaleza, a través de los cuales sentimos la presencia de Dios, Eterno yOmnipotente. Hay, pues, ilustre visir Nahun Ibn—Nahun, como ya dije, unpequeño error de vuestra parte. Cuento los versos de un poema, calculo laalturadeunaestrella,lasfranjasdeunapollera,midolaextensióndeunpaís,o la fuerza de un torrente; aplico, en fin, fórmulas algebraicas y principiosgeométricos, sin preocuparme por el beneficio inmediato que puedanproducirmemiscálculosyestudios.Sinlossueñosylasfantasías,lacienciaseempequeñecería;seríaunacienciamuerta.¡Uassalam!

Las palabras elocuentes de Beremís impresionaron profundamente a losnoblesy“ulemas”querodeabaneltrono.

El rey se aproximó al calculista, y, estrechándole lamano, exclamó congranautoridad:

—La teoríadel hombrede ciencia soñadorvencióyvencerá siempre alutilitarismogroserodelambiciososinidealfilosófico.

Al oír tal sentencia, dictada por la justicia y por la razón, el envidiosoMahunIbu—Hahunseinclinó,dirigióun“zalam”alrey,ysindecirpalabraseretirócabizbajodelaSaladeAudiencias.

CAPÍTULOXV

En el cualNuredin regresa a laSala deAudiencias.La información queobtuvodeun“imman”.Comovivíaelpobrecalígrafo.Elcuadrado llenodenúmerosyeltablerodeajedrez.Beremíshablasobreloscuadradosmágicos.Laconsultadel“ulema”.El reypideaBeremísque lecuente la leyendadeljuegodeajedrez.

Nuredinno fue favorecidopor lasuerteal iradesempeñarsumisión.Elcalígrafoqueel reyquería interrogar con tantoempeño sobreel casode los“númerosamigos”,noseencontrabamásenlaciudaddeBagdad.

A relatar las medidas que tomara para dar cumplimiento a la orden delcalifa,hablóasíelnoblemusulmán:

—Salídeestepalacio,acompañadoportresguardias,hacialamezquitadeOtman(Alahlaennoblezcacadavezmás).Meinformóunviejo“imman”,quevela por la conservación del templo, que el hombre que buscaba había,efectivamente,resididoalgunosmesesenunacasapróxima.Pocosdíasantes,sinembargo,salióparaBasora,conunacaravanadevendedoresdetapicesyvelas.Supetambiénqueelcalígrafo(cuyonombreel“imman”ignoraba)vivíasólo,yquerarasvecesdejabalapequeñaymodestahabitaciónenquemoraba.

Creí necesario examinar esa habitación, en procura de algún indicio quefacilitaselapesquisa.

El aposento se hallaba abandonado desde el día en que el calígrafo lodejara.Todoallídenotabaextraordinariapobreza.Unlechobasto,colocadoauncostado,eratodoelmobiliario.Sobreuncajóntosco,demadera,untablerodeajedrezyunascuantaspiezasdeesejuegoy,enlasparedes,uncuadradollenodenúmeros.Encontrandoextrañoqueunhombretanpobre,quellevabauna vida llena de privaciones, cultivase el juego de ajedrez y adornase lasparedes con figuras de expresiones matemáticas, resolví traer esos objetosconmigo, para que nuestros “ulemas” pudieran admirar las reliquias dejadasporelviejocalígrafo.

Elsultán,llenodecuriosidadporelcaso,ordenóaBeremísqueexaminaseconlaatencióndebidaeltableroylafiguraqueparecíamásapropiadaparaundiscípulodeAl-Carismil,queparaadornodelcuartodeunpobre.

Despuésdehaberobservadometiculosamenteeltableroyelcuadro,dijoel“Hombrequecalculaba”:

—Esa interesante figuranumérica,encontradaenelcuartodelcalígrafo,constituyeloquellamamosun“cuadradomágico”.

Tomemos un cuadrado y dividámoslo en 9, 16, 25 ó más cuadradosiguales,quellamaremoscasillas.

En cada una de esas casillas coloquemos un número entero. La figuraobtenidaseráuncuadradomágicocuandolasumadelosnúmerosquefiguranenunacolumna,enunafila,oencualquieradelasdiagonales,seasiemprelamisma.Eseresultadoinvariablesellamaconstantedelcuadrado,yelnúmerodecasillasdeunafila,módulodelmismo.

Losnúmerosqueocupanlasdiferentescasillasdelcuadradomágicodebensertodosdiferentesytomadosensuordennatural.

Elorigendeloscuadradosmágicosesoscuro.Secreequelaconstruccióndeesasfigurasconstituíaya,enépocasremotas,unpasatiempoqueabsorbíalaatencióndegrannúmerodecuriosos.

Como los antiguos atribuían a ciertos números, propiedades cabalísticas,eramuynaturalqueviesenvirtudesmágicasenlosarreglosespecialesdeesosnúmeros.

Los cuadrados mágicos eran conocidos por los matemáticos chinos quevivieroncuarentaycincosiglosantesdeMahoma.

Es imposible, sin embargo, construir un cuadrado mágico con cuatrocasillas.

En la Indiamuchos reyesusaban loscuadradosmágicoscomoamuletos;un sabio de Yemen afirmaba que los cuadrados preservaban de ciertasenfermedades. Un cuadrado mágico de plata, colgado del cuello, evitaba,segúnlacreenciadeciertatribu,elcontagiodelapeste.Cuandouncuadradomágico presenta cierta propiedad –como, por ejemplo, la de poderdescomponerseenvarioscuadradosmágicos–llevaelnombredehipermágico.Entre los cuadrados hipermágicos podemos citar los diabólicos. Así sedenominan los cuadradosque continúan siendomágicos aunque cambieunafila por una columna. Las indicaciones hechas por Beremís acerca de loscuadradosmágicosfueronoídascongranatenciónporelreyyporlosnoblesmusulmanes.

Uno de los “ulemas”, después de dirigir elogiosas palabras al “eminenteBeremísSamir,delpaísdeIrán”,aseguróquedeseabahacerunaconsultaalsabiocalculista.Laconsultaeralasiguiente:

—Habráunmétodoespecialpara las investigacionesmatemáticas,o losgrandesprincipiosylasleyesadmirablesdeesacienciaserándescubiertasporcasualidad?

LarespuestaaesadelicadaconsultalaformulóBeremísenlossiguientestérminos:

— No existe, ni puede existir, método general para dirigir lasinvestigaciones, pero es evidente que la casualidad casi no interviene. Eldescubrimiento es siempre producto de larga reflexión y de un esfuerzoconsciente enunadirecciónyadeterminada.Elhechomás interesante, entrelos que observan entonces, es, tal vez, la aparición repentina de la soluciónlargamente buscada, a veces cuando el investigador ya hace tiempo queabandonó el asunto. Todo permite creer que esa verdadera luzmental es elresultadodeun trabajo subconsciente,que representaríaunpapel importanteeneldescubrimiento.

Acontinuaciónelbrillantecalculistatomóeltablerodeajedrezydijo:

—Esteviejotablero,divididoen64casillasnegrasyblancas,seemplea,como sabéis, en un interesante juego que un hindú, llamado Lahur Sessa,inventó hace muchos siglos, para recreo de un rey de la India. Eldescubrimientodeljuegodeajedrezsehallaligadoaunaleyendaqueencierracálculosynúmeros.

—Debeserinteresanteoírla–opinóelcalifa.

—Escuchoyobedezco–respondióBeremís.

Ynarrólahistoriasiguiente:

CAPÍTULOXVI

Leyenda sobre el juego de ajedrez, contada al califa de Bagdad, Al-MotacenBillah,Emirde losCreyentes,porBeremísSamir,el“Hombrequecalculaba”.

Difícil, será descubrir, dada la vaguedad de los documentos antiguos, laépoca exacta en que vivió y reinó en la India un príncipe llamado Iadava,dueñode laprovinciadeTaligana.Sería injusto,sinembargo,ocultarqueelnombre de ese soberano es mencionado por varios historiadores hindúes,comoeldeunodelosmonarcasmásgenerososyricosdesutiempo.

Laguerra,consucortejoinimitabledecalamidades,amargómucholavidadelreyIadava,cambiandoelocioyelplacerdequegozabalarealeza,enlasmás inquietantes atribulaciones. Fiel al deber que le imponía la Corona, develarpor la tranquilidaddesussúbditos,sevioelhombrebuenoygenerosoobligadoaempuñarlaespadapararepeler,alfrentedeunpequeñoejército,uninsólito y brutal ataque del aventurero Varangul, que se decía príncipe deCalian.

El choque violento de los dos rivales sembró demuertos los campos deDacsinaytiñódesangrelasaguassagradasdelríoShandú.ElreyIadavatenía–segúnloquerevelalacríticadeloshistoriadores—singularaptitudmilitar;sereno, elaboró un plan de batalla para impedir la invasión, y tan hábil yafortunadofuealejecutarlo,quelogróvenceryaniquilarporcompletoa losmalintencionadosperturbadoresdelapazdesureino.

El triunfo sobre los fanáticos de Varangul le costó, desgraciadamente,grandes sacrificios; muchos jóvenes “quichatrias” pagaron con la vida laseguridaddeuntronoparaprestigiodeunadinastía;yentrelosmuertos,conel pecho atravesado por certera flecha, quedó en el campo de batalla elpríncipeAdjamir,hijodelreyIadava,quienpatrióticamentesesacrificóenelmomentoculminantedelalucha,parasalvarlaposiciónquedioalossuyoslavictoriafinal.

Terminada la cruenta campaña y asegurados los nuevos límites de sufrontera, regresó el rey a su suntuoso palacio de Andra, prohibiendo, sinembargo, las ruidosas manifestaciones con que los hindúes festejan susvictorias.Encerradoensushabitaciones,solosalíadeellasparaatenderalosministros y sabios brahmanes cuando algún grave problema nacional loobligabaadecidir,comojefedeEstado,eninterésypara lafelicidaddesussúbditos.

Conelcorrerde losdías,en lugardepagarse los recuerdosde lapenosacampaña, más se agravaban la angustia y la tristeza que, desde entonces,oprimían el corazón del rey. ¿De que le podrían servir, en verdad, los ricospalacios,loselefantesdeguerra,lostesorosinmensos,siyanovivíaasuladoaquelquefueralarazóndesuexistencia?¿Quévalorpodríantener,alosojosdeunpadre inconsolable, las riquezasmateriales, quenoborraríannunca elrecuerdodelhijodesaparecido?

Los pormenores de la batalla en que pereciera el príncipe Adjamir noabandonabansupensamiento.Elinfelizmonarcapasabalargashorastrazando,sobreunagrancajadearena,lasdiversasmaniobrasrealizadasporlastropasduranteelasalto.Unsurcoindicabalamarchadelainfantería;otro,paralelo,asu lado,mostraba el avance de los elefantes de guerra; un pocomás abajo,representada en pequeños círculos, dispuestos con simetría, se perfilada latemida caballería, comandada por un viejo “radj”, que se decía bajo laprotección de Tchandra, la diosa de la Luna. Así, por medio de gráficos,esbozaba el rey la colocación de las tropas, estando las enemigasdesventajosamente colocadas,gracias a su estrategia, en el campoenque selibrólabatalladecisiva.

Unavezcompletoelcuadrodeloscombatientes,contodoslosdetallesquepudiera evocar, borraba el rey todo, y comenzaba otra vez, como si sintieseplacerenrevivirlosmomentosdeangustiayansiedadpasados.

Alahoratempranadelamañana,enquelosbrahmanesllegabanalpalacioparalalecturadelosVedas,yaseveíaalreytrazandoenlaarenalosplanosdeunabatallaquesereproducíaindefinidamente.

¡Desgraciadomonarca!–murmurabanlossacerdotes,apenados—.Procedecomoun“sudra”aquienDiosprivódelusodelarazón.¡SóloDhanoutara5,poderosayclemente,podrásalvarlo!

Y los brahmanes elevaban oraciones, quemaban raíces aromáticas,implorando a la diosa clemente y poderosa, eterna patrona de los enfermos,queamparasealsoberanodeTaligana.

Undía,finalmente,fueinformadoelreydequeunjovenbrahmán—pobreymodesto— solicitaba una audiencia que venía pidiendo desde hacía algúntiempo. Como estuviese en ese momento en buena disposición de ánimo,ordenóelreyquellevaranaldesconocidoasupresencia.

Conducidoa lagran saladel trono, fue interpeladoel brahmán, como loexigíalacostumbre,porunodelosvisiresdelrey.

—¿Quiéneres,dedondevienesyquedeseasdeaquelque,porlavoluntaddeVichnú,esreyyseñordeTaligana?

—Minombre–respondióel,jovenbraman—esLahurSessa,yvengodelaaldeadeManir,queestáa treintadíasdemarchadeestabellaciudad.Alrecintoenquevivía llególanoticiadequenuestrobondadosoreyarrastrabalosdías,enmediodeprofundatristeza,amargadoporlaausenciadelhijoquele robaba la guerra.Granmal será pare el país,me dije, si nuestro queridosoberanoseencierracomounbrahmánciegodentrodesupropiodolor.

Pensé, pues, en inventar un juego que pudiera distraerlo y abrir en sucorazón las puertas a nuevas alegrías. Es ese insignificante obsequio quedeseo,enestemomento,ofreceranuestroreyIadava.

Como todos los grandes principios citados en las páginas de laHistoria,teníaelsoberanohindúelgravedefectodeserexcesivamentecurioso.Cuandole informaron del objeto de que el joven bracmán era portador, no pudocontenereldeseodeverloyapreciarlosindemora.

Lo que Sessa traía al rey Iadava consistía en un gran tablero cuadrado,dividido en sesenta y cuatro cuadraditos iguales; sobre ese tablero secolocabandoscoleccionesdepiezas,quesedistinguíanunasdeotrasporelcolor,blancasynegras,repitiendosimétricamentelosmotivosysubordinadasareglasquepermitíandevariosmodossumovimiento.

Sessaexplicóconpacienciaalrey,alosvisiresycortesanosquerodeabanalmonarca,enqueconsistíaeljuego,enseñándoleslasreglasesenciales:

—Cadaunodelosjugadoresdisponedeochopiezaspequeñitas,llamadaspeones.

Representan la infantería que avanza sobre el enemigo para dispersarlo.Secundando la acción de los peones vienen los elefantes de guerra8,representados por piezas mayores y más poderosas; la caballería,indispensableenelcombate,aparece,igualmente,eneljuego,simbolizadapordos piezas que pueden saltar como dos corceles, sobre las otras; y paraintensificarelataque,seincluyen–representandoalosguerrerosnoblesydeprestigio,losdosvisiresdel rey.Otrapieza,dotadadeampliosmovimientos,máseficienteypoderosaquelasdemás,representaráelespíritupatrióticodelpuebloy será llamada la reina.Completa la colecciónunapiezaqueaisladapocovale,peroqueamparadaporlasotrassetornamuyfuerte:eselrey.

El rey Iadava, interesado por las reglas del juego, no se cansaba deinterrogaralinventor:

—¿Yporquélareinaesmásfuerteypoderosaqueelmismorey?

—Esmáspoderosa–argumentóSessa—porquelareinarepresenta,eneljuego,elpatriotismodelpueblo.Elpodermayorconquecuentaelreyreside,precisamente, en la exaltación cívica de sus súbditos. ¿Cómo podría el rey

resistir los ataques de sus adversarios, si no contase con el espíritu deabnegaciónysacrificiodeaquellosquelorodeanyvelanporlaintegridaddelapatria?

En pocas horas el monarca aprendió las reglas del juego, consiguiendoderrotarasusvisiresenpartidasquesedesenvolvíanimpecablementesobreeltablero.

Sessa, de vez en cuando, intervenía respetuoso, para aclarar una duda osugerirunnuevoplandeataqueodedefensa.

En determinado momento el rey hizo notar, con gran sorpresa que laposiciónde laspiezas,por las combinaciones resultantesdediversos lances,parecíareproducirexactamentelabatalladeDacsina.

—Observad–dijoelinteligentebrahmán—queparaconseguirlavictoriaesimprescindibleelsacrificiodeestevisir.

EindicóprecisamentelapiezaqueelreyIadava,eneldesarrollodeljuego,pusieragranempeñoendefenderyconservar.

EljuiciosoSessademostraba,deesemodo,queelsacrificiodeunpríncipees a veces impuesto comouna fatalidad, para que de él resulten la paz y lalibertaddeunpueblo.

Aloírtalespalabras,exclamóelreyIadava,sinocultarsuentusiasmo:

— No creí nunca, que el ingenio humano pudiera producir maravillascomoestejuego,taninteresantealparqueinstructivo.Moviendoesassimplespiezas,aprendíqueunreynadavalesinelauxilioyladedicaciónconstantedesussúbditos,yque,aveces,elsacrificiodeunsimplepeónvalemás,paralavictoria,quelapérdidadeunapoderosapieza.

Y,dirigiéndosealjovenbrahmánledijo:

—Quierorecompensarle,amigomío,porestemaravillosoobsequio,quedetantomesirvióparaaliviarviejasangustias.Pide,pues,loquedesees,paraqueyopuedademostrar,unavezmás,comosoydeagradecidoconaquellosquesondignosdeunarecompensa.

Laspalabrasconqueelreytraducíasuagradecimientodejaronindiferentea Sessa. Su fisonomía serena no traducía la menor emoción ni la másinsignificante muestra de alegría o sorpresa. Los visires miraban atónitos yasombradossuapatíaanteunofrecimientotanmagnánimo.

— Rey todopoderoso –recriminó el joven con suavidad y altivez. Nodeseo,porelpresentequehoyostraje,otrarecompensaquelasatisfaccióndehaber proporcionado al señor de Taligana un pasatiempo agradable paraaligerar el pesode las horas alargadas por agobiadoramelancolía.Yo estoy,

porotanto,sobradamenterecompensado,ytodaotrapagaseríaexcesiva.

Sonrió, desdeñosamente, el bondadoso soberano al oír aquella respuesta,que reflejaba u desinterés tan raro entre los hindúes. Y, no creyendo en lasinceridaddelaspalabrasdeSessa,insistió:

—Me causa asombro tanto desamor y desdén por las cosasmateriales,joven. La modestia, cuando es excesiva, es como el viento que apaga laantorcha,dejandoalviandanteenlastinieblasdeunanocheinterminable.Paraque el hombre pueda vencer losmúltiples obstáculos que le depara la vida,precisa tenerelespíritusujetoaunaambiciónque lo impulsehaciaun idealcualquiera.Exijo,portanto,queescojassidemora,unarecompensadignadetuvaliosoregalo.¿Quieresunabolsa llenadeoro?¿Deseasunarca llenadejoyas? ¿Pensaste en poseer un palacio? ¿Aspiras a la administración de unaprovincia?Aguardoturespuesta,yaquemipalabraestáligadaaunapromesa.

—Noadmitir vuestroofrecimientodespuésdevuestrasúltimaspalabras—respondió Sessa—, más que descortesía sería desobediencia al rey. Voy,pues,aaceptarporel juegoque inventé,una recompensaquecorrespondaavuestra generosidad; no deseo, sin embargo, ni oro, ni tierras, ni palacios.Deseomirecompensaengranosdetrigo.

—¿Granosdetrigo?–exclamóelrey,sinocultarlasorpresaquelecausarasemejantepropuesta—.¿Cómopodrépagarlecontaninsignificantemoneda?

— Nada más simple –aclaró Sessa—. Dadme un grano de trigo por laprimeracasilladeltablero,dosporlasegunda,cuatroporlatercera,ochoporlacuartayasíduplicandosucesivamentehastalasexagésimacuartayúltimacasilla del tablero. Ruego a vos, rey generoso, que de acuerdo con vuestramagníficaoferta,ordenéiselpagoengranosdetrigo,yasícomoteindiqué.

No sólo el rey, sino los visires y venerables brahmanes, se rieronestrepitosamentealoírlaextrañasolicituddeljoven.Lafaltadeambiciónquesetraducíaenaquelpedidoera,enverdad,comoparacausarasombroaunalquemenosapegotuviesealascosasmaterialesdelavida.¡Eljovenbrahmán,que pudo obtener del rey un palacio o una provincia, se conformaba congranosdetrigo!

—Insensato–exclamóelrey—.¿Dóndeaprendistetangrandeindiferenciaporlafortuna?Larecompensaquemepidesesridícula.Biensabesqueenunpuñadodetrigohayunnúmeroenormedegranos.Debesdartecuentadequecondosotresmedidasdetrigotepagaréholgadamente,conformetupedido,porlas64casillasdeltablero.Haselegidounarecompensaquenoalcanzaríaniparadistraeralgunosdíaselhambredelúltimo“paria”demireino.Enfin,ya que mi palabra fue empeñada, ordenaré que el pago se hagainmediatamenteconformeatudeseo.

MandóllamarelreyalosalgebristasmáshábilesdelaCorteylesordenócalculasenlaporcióndetrigoqueSessapretendía.

Lossabiosmatemáticos,al cabodealgunashorasdeprofundosestudios,volvieron al salón para hacer conocer al rey el resultado completo de suscálculos.

Preguntóleselrey,interrumpiendoeljuego:

—¿Concuántosgranosdetrigopodrécumplir,finalmente,conlapromesahechaaljovenSessa?

—Reymagnánimo–declaróelmássabiodelosgeómetras—:calculamoselnúmerodegranosdetrigoqueconstituirálarecompensaelegidaporSessa,y obtuvimos un número cuyamagnitud es inconcebible para la imaginaciónhumana.

Hallamos en seguida, y con la mayor exactitud, a cuántas “ceiras”correspondería ese número total de granos, y llegamos a la siguienteconclusión:lacantidaddetrigoquedebeentregarseaLahurSessaequivaleaunamontañaqueteniendoporbaselaciudaddeTaligana,fuese100vecesmásalta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos sus campos, ydestruidas todas sus ciudades, noproduciría enun siglo la cantidadde trigoque, por vuestra promesa, debe entregarse al joven Sessa. ¿Cómo describiraquílasorpresayelasombroqueesaspalabrascausaronalreyIadavayasusdignosvisires?Elsoberanohindúseveía,porprimeravez,enlaimposibilidaddecumplirunapromesa.

Lahur Sessa –refiere la leyenda de la época—, como buen súbdito, noquisodejarafligidoasusoberano.Despuésdedeclararpúblicamentequesedesdecía del pedidoque formulara, se dirigió respetuosamente almonarcayprosiguió:

—Maldita, ¡oh rey!, sobre la gran verdad que los brahmanes prudentestantasvecesrepiten:loshombresmásprecavidos,eludennosololaaparienciaengañosa de los números sino también la falsamodestia de los ambiciosos.Infelizdeaquelque tomasobresushombros loscompromisosdehonorporuna deuda cuya magnitud no puede valorar por sus propios medios. Másprevisoreselquemuchoponderaypocopromete.

Ydespuésdeligerapausa,continuó:

— Aprendemos menos con las lecciones de los brahmanes que con laexperienciadirectadelavidaydesusleccionesdiarias,siempredesdeñadas.Elhombrequemásvive,mássujetoestáalasinquietudesmorales,aunquenoquiera.Hállaseora triste,oraalegre;hoyvehemente,mañana indiferente;yaactivo,ya indolente; lacompostura, lacorrección,alternarácon la liviandad.

Sólo el verdadero sabio, instruido en las reglas espirituales, se eleva porencimadeesasvicisitudes,pasandoporsobretodasesasalternativas.

Esasinesperadasysabiaspalabrasquedaronprofundamentegrabadasenelespíritu del rey.Olvidando lamontañade trigoque, si querer, prometiera aljovenbrahmán,lonombrósuprimerministro.

Y Lahur Sessa, distrayendo al rey con ingeniosas partidas de ajedrez yorientándolo con sabios y prudentes consejos, prestó los más señaladosservicios a su pueblo y a su país, paramayor seguridad del trono ymayorgloriadesupatria.

EncantadoquedóelcalifaAl-MotacencuandoBeremísterminólasingularhistoria del juego de ajedrez.Llamó al jefe de sus escribas y ordenó que laleyendadeSessafueseescritaenhojasespecialesdepergaminoyconservadaenhermosocofredeplata.

Enseguida,elgenerososoberanoordenóseentregaraalcalculistaunmantodehonory100sequíesdeoro.

A todos causó gran alegría el acto de magnificencia del soberano deBagdad.LoscortesanosquepermanecíanenlaSaladeAudienciaserantodosamigosdelvisirMalufydelpoetaIezid;era,pues,consimpatía,queoíanlaspalabrasdelcalculistapersa,porquienseinteresabanvivamente.

Beremís,despuésdeagradeceralsoberanolospresentesconqueacababadeserdistinguido,seretiródelaSaladeAudiencias.Elcalifaibaainiciarelestudio y a juzgar varios casos, oír a los “cadis” y a dictar sus sabiassentencias.

Dejamos el palacio real al caer la nochey cuando comenzaba elmesdeCha-band.

CAPÍTULOXVII

En el cual el “Hombre que calculaba” recibe innumerables consultas.Creencias y supersticiones. Unidad y figura. El cuentista y el calculista. Elcasodelas90manzanas.LaCienciaylaCaridad.

Apartir del célebredía enque estuvimos, por primeravez, en laSaladeAudienciasdelCalifa,nuestravidasufrióprofundasmodificaciones.Lafamade Beremís aumentó considerablemente. En la modesta fonda en quevivíamos,losvisitantesyconocidosnoperdíanoportunidaddelisonjearloconrepetidasdemostracionesdesimpatíayrespetuosossaludos.

Todoslosdíasveíaseobligadoelcalculistaaatenderdecenasdeconsultas.Unavezerauncobradorde impuestosquenecesitabaconocerelnúmerode“ratls” impuestos en un “abás” y la relación entre esa unidad y el “cate”;aparecía,enseguida,un“hequim”ansiosoporoíraBeremísunaexplicaciónsobrelacuradeciertasfiebrespormediodesietenudoshechosenunacuerda;másdeunavezelcalculistafuellamadoporloscamellerosquequeríansabercuantasvecesdebíaunhombresaltarunahogueraparalibrarsedelDemonio.Aparecíanaveces,alcaerdelanoche,soldadosturcos,deaviesamirada,quedeseaban aprender medios seguros para ganar en el juego de los dados.Tropecé,muchasveces,conmujeres–ocultasporespesosvelos—quevenían,tímidas,aconsultaralmatemáticosobrelosnúmerosquedebíantatuarseenelantebrazoizquierdoparatenerbuenasuerte,alegríayriqueza.

AtodosatendíaBeremísSamirconpacienciaybondad.Aclarabalasdudasa algunos, daba consejos a otros. Procuraba destruir las creencias ysupersticiones de los mediocres e ignorantes, mostrándoles que ningunarelación puede existir., por la voluntad de Alah, entre los números y lasalegríasotristezasdelcorazón.

Yprocedíaasí,guiadoporelevadosentimientodealtruismo,sinperseguirlucronirecompensas.Rechazabasistemáticamenteeldineroqueleofrecían,ycuandoalgúnrico“sheik”,aquienenseñara,insistíaenpagarlaconsulta,Beremísrecibíalabolsallenadedenarios,agradecíalalimosnaymandabadistribuirlaíntegramenteentrelospobresdelbarrio.

Ciertavezunmercader,llamadoAzizNeman,trayendounpapelllenodenúmerosycuentas,vinoaquejarsedeun socio, aquien llamaba“miserableladrón”, “chacal inmundo” y otros epítetos no menos insultantes. Beremísprocurócalmarelánimoexaltadodelcomerciante,llamándoloalcaminodelahumildad.

—Cuídate–aconsejó—delosjuicioshechosenunmomentodearrebato,porqueestosdesfiguranmuchasveceslaverdad.Aquelquemiraa travésdeunvidriode color, ve todas las cosasdel colorde esevidrio; si el vidrio esrojo,todoleparecerárojizo;siesamarillo,todoselepresentaráamarillento.Elapasionamientoesparanosotros,loqueelcolordelvidrioparalosojos.Sialguiennosagrada,todoloaplaudimosydisculpamos;si,porelcontrario,nosmolesta,todolocondenamosointerpretamosdemododesfavorable.

Enseguidaexaminóconpaciencialascuentas,ydescubrióenellasvarioserroresquedesvirtuabanlosresultados.Azizseconvenciódequehabíasidoinjusto con el socio, y quedó tan encantado con la manera inteligente yconciliadoradeBeremís,quenosconvidóaquellanocheaefectuarunpaseoporlaciudad.

NosllevónuestrocumplidocompañerohastaelcaféBazarique,situadoen

elextremodelaplazadeOtman.Unfamosocuentista,enelmediodelasalallenadeespesohumo,manteníalaatencióndeunnumerosogrupodeoyentes.

Tuvimoslasuertedellegarenelprecisomomentoenelqueel“sheik”El-Medah,habiendo terminado laacostumbradaoración inaugural,empezaba lanarración.Eraunhombredemásomenoscincuentayseisaños,moreno,deoscurísimabarbaydeojoscentellantes;usaba,comocasitodosloscuentistasdeBagdad,unamplísimopañoblanco,ceñidoen tornoa sucabezaconunacuerdadepelodecamello,que ledaba lamajestaddeunsacerdoteantiguo.Hablaba en voz alta y enérgica erguido en medio del círculo de oyentes,acompañado por dos sumisos ejecutantes de laúd y tambor. Narraba, conentusiasmo,unahistoriadeamor,intercaladaconlasvicisitudesdelavidadeun sultán. Los oyentes, atentos, no perdían una sola palabra. El gesto del“sheik”eratanarrebatado,suvoztanexpresivaysurostrotanelocuente,queavecesdaba la impresióndequevivía lasaventurasquecreaba su fantasía.Hablaba de un largo viaje; imitaba el paso del caballo cansado, y señalabahaciagrandeshorizontesmásalládeldesierto.Avecesfingíaserunbeduinosedientoprocurandohallarasualrededorunagotadeagua;otrasdejabacaerlacabezaylosbrazoscomounhombrepostrado.

Árabes, armenios, egipcios, persas y nómades deHedjaz, inmóviles, sinrespirar, observaban atentos las expresiones del rostro del orador. En aquelmomento, dejaban traslucir, con el alma en los ojos, toda la ingenuidad yfrescuradesentimientosqueocultabanbajounaaparienciadesalvajedureza.Elcuentistasemovíapara laderechaypara la izquierda, secubríael rostrocon lasmanos levantaba los brazos al cielo, y, amedida que aumentaba suentusiasmoylevantabalavoz, losmúsicosbatíanytocabanconmásfuerza.Lanarraciónentusiasmóalosbeduinos;alterminar,losaplausosensordecían.

ElmercaderAzizNeman,queparecíamuypopularenaquellabarullentareunión,seadelantóhaciaelcentrodelaruedaycomunicóal“sheik”,entonosolemneydecidido:

—¡Hállasepresenteelhermanodelosárabes,elcélebreBeremísSamir,elcalculistapersa,secretariodelvisirMaluf!

CentenaresdeojosconvergieronenBeremís,cuyapresenciaeraunhonorparalosparroquianosdelcafé.

El cuentista, después de dirigir un respetuoso “zalam” al “Hombre quecalculaba”,dijoconbientimbradavoz:

—Misamigos:hecontadomuchashistoriasdereyes,geniosymagos.Enhomenajealbrillantecalculistaqueacabadeentrar,voyacontarunahistoriaqueenvuelveunproblemacuyasolución,hastaahora,nofuedescubierta.

—¡Muybien!¡Muybien!–exclamaronlosoyentes.

El“sheik”evocóelnombredeAlah(¡conélenlaoraciónyenlagloria!),yenseguidacontóestahistoria:

—VivíaunavezenDamascounbuenytrabajadoraldeanoqueteníatreshijas.Undía,conversandoconun“cadí”,declaróelcampesinoquesushijasestabandotadasdegraninteligenciayderaropoderimaginativo.

El “cadí”, envidioso, irritose al oír elogiar al rústico el talento de lasjóvenes,ydijo:

—Yaeslaquintavezqueoigodetubocaelogiosexageradosqueexaltanla sabiduría de tus hijas. Voy a probar si ellas son, como afirmas, taningeniosasyperspicaces.

Mandóel“cadí”llamaralasmuchachasylesdijo:

— Aquí hay 90 manzanas que ustedes deberán vender en el mercado.Fátima, que es la mayor, llevará 50; Cunda llevará 30, y la pequeña Sihavenderálas10restantes.SiFátimavendelasmanzanasa7porundenario,lasotras deberán hacerlo por el mismo precio, esto es, a 7 por un denario; siFátima fija como precio para la venta, tres denarios cada una, ese será elprecio por el cual Cunda y Siha deberán vender las que llevan. El negociodebe hacerse de suerte que las tres saquen, con la venta de las respectivasmanzanas,lamismacantidad.

—¿Ynopuedodeshacermedealgunasmanzanas?,preguntóFátima.

— De ningún modo –objetó, rápidamente, el impertinente “cadí”—. Lacondición,repito,esesa:Fátimadebevender50,Cunda30ySihasólopodrávender las 10 que le tocan.Y por el precio que venda Fátima venderán lasotras.Haganlasventasdemodoquealfinallosbeneficiosseaniguales.

Aquel problema, así planteado, resultaba absurdo y disparatado. ¿Cómoresolverlo?Lasmanzanas,segúnlacondiciónimpuestaporel“cadí”,debíanser vendidas por elmismo precio. En esas condiciones, era evidente que laventadelas50manzanasdebíaproducirmayorbeneficioquelaventadelas30ódelas10restantes.

Comolasjóvenesnoatinaranconlaformaderesolverelproblema,fueronaconsultarelcasoconunimmanquevivíaenlacercanía.

El imman, después de llenar varias hojas de números, fórmulas yecuaciones,concluyó:

—Pequeñas:eseproblemaesdeunasimplicidadevidente.Vendanlas90manzanas comoel viejo cadí ordenóy llegarán sin error al resultadoque élmismodeterminó.

Laindicacióndadaporel immanaclarabael intrincadoenigmade las90

manzanaspropuestoporelcadí.

Las jóvenes fueron al mercado y vendieron todas las manzanas: Fátimavendiólas50quelecorrespondían,Cundalas30ySihalas10quellevara.Elprecio fue siempre el mismo para las tres, y el beneficio también. Aquítermina la historia. Toca ahora a nuestro calculista determinar como fueresueltoelproblema.

Nobienterminóelnarradordehablar,Beremísseencaminóalacentrodelcírculoformadoporloscuriososoyentes,ydijoasí:

—Nodejadeserinteresanteeseproblema,presentadobajoformadeunahistoria.Heoídomuchasveceslocontrario;simpleshistorias,disfrazadasdeverdaderosproblemasdeLógicaodeMatemática.Lasoluciónparaelenigmacon que el malicioso cadí de Damasco quiso atormentar a las jóvenescampesinas,eslasiguiente:

Fátima inició la venta fijando el precio de 7 manzanas en un denario.Vendióde esemodo,49, y sequedócon1, sacandoen esaprimeraventa7denarios. Cunda, obligada a vender las 30 manzanas por el mismo precio,vendió28por4denarios,quedandocon2deresto.

Siha,queteníaunadecena,vendió7porundenarioysequedócon3deresto.

Tenemosasí,comoprimerafazdelproblema:

Fátimavendió49ysequedócon1

Cundavendió28ysequedócon2

Sihavendió7ysequedócon3

A continuación decidió Fátima vender la manzana que le quedaba en 3denarios. Cunda, según la condición impuesta por el cadí, vendió las 2manzanasen3denarioscadauna,obteniendo6denarios,ySihavendiólas3suyasdelrestopor9denarios,estoes,tambiéna3denarioscadauna:

Terminado el negocio, como es fácil verificar, cada una de las jóvenesobtuvo10denarios,resolviendoasíelproblemadelcadí.QuieraAlahquelosperversosseancastigadosylosbuenosrecompensados.

El sheik El-Medah, encantado con la solución presentada por Beremís,exclamó,levantandolosbrazos:—¡PorlasegundasombradeMahoma!Estejovencalculistaesrealmenteungenio.Eselprimer“ulema”quedescubre,sinhacercuentascomplicadas,lasoluciónexactayperfectaparaelproblemadelcadí.

LamultitudquellenabaelcafédeOtman,sugestionadaporloselogiosdelsheik,vitoreó:

—¡Bravo,bravo!¡Alahiluminealjoven“ulema”!

Era muy posible que muchos hombres no hubieran entendido laexplicacióndeBeremís.Noobstanteesapequeñarestricción,losaplausoserangeneralesyvibrantes.

Beremís,despuésdeimponersilencioalabarullentaconcurrencia,lesdijoconvehemencia:

—Amigosmíos:meveoobligadoaconfesarquenomerezcoelhonrosotítulode“ulema”.Locoesaquelqueseconsiderasabiocuandosólomidelaextensión de su ignorancia. ¿Qué puede valer la ciencia de los hombresdelantedelacienciadeDios?

Yantesdequeningunodelospresenteslointerrogase,narrólosiguiente:

— Hallábase cierta vez, en presencia de Masudí, el gran historiadormusulmán,elalquimistaAidemirben—Alí,quiensevanagloriabadeposeertodos los secretos científicos que le hacían dueño de la tierra. Ante tandescabelladapresunción,Masudíobservó:

—“Aidemirben—Alíhablacomohablóotroralahormigaquedescubrierala granmontaña de azúcar.” Y, a fin de curar, de una vez para siempre, lavanidadsinlímitedelalquimista,elgranhistoriadorasílecontó:“Éraseunavezunahormiguitaque,vagandoporelmundo,encontróunagranmontañadeazúcar.Muycontentaconsudescubrimiento,sacódelamontañaungranoylollevóasuhormiguero.–“¿Quéeseso?”,preguntaronsuscompañeras.–“Estoes unamontañade azúcar”, replicóorgullosa. “La encontré enmi caminoyresolví traerlaparaaquí.”–Masudí, conmaliciosa ironía, concluyóasí:—Elsabio orgulloso es como la hormiga. ¡Trae una pequeñamigaja, y casi creellevarelpropioHimalaya!Lacienciaesunagranmontañadeazúcar;deesamontañasóloconseguimosretirarinsignificantestrocitos.”

Unbarquerodehinchadasmejillas,quesehallabaenlarueda,preguntóaBeremís:

—¿CuáleslacienciadeDios?

—¡LacienciadeDioseslaCaridad!

EnesemomentomeacordédelaadmirablepoesíaqueoyeraaTelassim,enlosjardinesdel“sheik”Iezid,cuandolospájarosfueronpuestosenlibertad:

Siyohablaselaslenguasdeloshombres

ydelosángeles

ynotuviesecaridad,

seríacomoelmetalquesuena,

ocomolacampanaquetañe,

¡Nadasería!...

¡Nadasería!...

Hacialamedianoche,cuandodejamoselcaféBazarique,varioshombres,para testimoniarnos la consideración que nos dispensaban, vinieron aofrecernos sus pesadas linternas, pues la noche era oscura y las calles erantortuosasyestabandesiertas.

CAPÍTULOXVIII

Enel cual volvemos al palacio del sheik Iezid.Una reunióndepoetas yletrados.El homenaje alMaharajá deLaore.LaMatemática en la India.LaperladeLilavati.LosproblemasdeAritméticadeloshindúes.Elpreciodelaesclavade20años.

Aldíasiguiente,alaprimerahorade“sob”,vinounegipcioconunacartadelpoetaIezid,abuscarnosanuestrahumildeposada.

—Todavía esmuy temprano para la clase (advirtió tranquilo, Beremís).Dudoquemipacientealumnahayasidoprevenida.

Elegipcioexplicóqueel“sheik”,antesdelaclasedeMatemática,deseabapresentar al calculista a su grupo de amigos. Convenía, pues, llegar mástempranoalpalaciodelpoeta.

Esta vez, por precaución, fuimos acompañados por tres esclavos negros,decididos y fuertes, pues era muy posible que el terrible y celoso Tara-Tirintentase, en el camino, asaltarnos ymatar al calculista, en el cual, parece,preveíaaunpoderosorival.

Unahoradespués,sinquenadaanormalocurriera,llegamosalamagníficaresidencia del “sheik” Iezid. El esclavo egipcio nos condujo, a través deinterminablegalería,hastaunhermososalónazuladornadoconfrisosdorados.AlíseencontrabaelpadredeTelassim,rodeadodevariosletradosypoetas.

—¡Zalamaleikum!

—¡Masaal—quair,sheik!

—¡Ventaezzaiac!

Cambiadosesosatentossaludos,eldueñodecasanosdirigióunaspalabrasamistosasconvidándonosatomarparteenaquellareunión.

Nossentamos,sobreblandoscojinesdeseda.Unaesclavamorena,deojosnegrosyvivaces,nostrajofrutas,dulcessecosyaguaperfumadaconrosas.

Observé entonces que uno de los invitados que parecía extranjero,ostentabaensustrajesunlujoexcepcional.

Vestía una túnica de satín blanco de Génova, sostenida con un cinturónazuladornadoconbrillantes,ydelcualcolgabaunlindopuñalconelcabodelapislázuli y zafiros. El turbante, de seda color rosa, adornado con hilosnegros,teníadiseminadaspiedraspreciosas,ysusmanos,trigueñasyfinas,seveíanrealzadasporelbrillodelosanillosquecubríanlosdedos.

—Ilustregeómetra–dijoelsheikIezid,dirigiéndosealcalculista—:notobienqueestáissorprendidoconlareuniónquepromovíhoyenestahumildetienda.Debo, por tanto, informaros que esta reunión no tiene otra finalidadqueladetributarhomenajeanuestroilustrehuésped,elpríncipeCluzir-el-dinMeubareo-SchaseñordeLoareyDelhi.

Beremís con una leve inclinación de busto hizo un “zalam” al granmaharajádeLaore,queeraeljovendelcintodebrillantes.

Yasabíamos,porlasconversacioneshabitualesconquenosentreteníanlosforasterosdelaposada,queelpríncipehabíadejadosusricosdominiosdelaIndiaparacumplirconunode losdeberesde todobuenmusulmán:hacer laperegrinaciónalaMeca,laperladelIslam.

Quedaría,porlotanto,pocosdíasenBagdad,paracontinuarluego,consusnumerosossiervosyayudantes,hacialaCiudadSanta.

— Deseamos, calculista –prosiguió Iezid— tu ayuda para que podamosaclarar una deuda sugerida por el príncipe Cluzir Schá. ¿Cuál fue lacontribución con que la ciencia de los hindúes enriqueció a laMatemática?¿Cuáles losprincipalesgeómetrasquemássedestacaronen la Indiaporsusestudioseinvestigaciones?

— Generoso sheik –respondió Beremís—. La tarea que acabáis deencomendarme es de las que exigen erudición y serenidad. Erudición paraconocer, con todos los detalles, los datos recopilados por la Historia de lasCiencias y serenidad para analizarlos y juzgarlos con elevación ydiscernimiento.Vuestrosmenoresdeseos,ohsheik,son,sinembargo,órdenespara mí. Expondré en esta brillante reunión, como humilde homenaje alpríncipeCluzirSchá(aquienreciénhetenidoelhonordeconocer),laspocasnocionesqueaprendíenloslibrossobreeldesenvolvimientodelaMatemáticaenelpaísdeGanges.

Yasícomenzóel“Hombrequecalculaba”:

—Nueve o diez siglos antes deMahoma, vivió en la India un bracmán

ilustrequesellamabaApastamba.Conelobjetodeinformaralossacerdotessobrelosprocedimientosparaconstruiraltaresyorientarlostemplos,escribióese sabio una obra intitulada Suba—Sultra, que contiene numerosasenseñanzas matemáticas. Es poco probable que esa obra haya recibido lainfluenciadelosPitagóricos2,pueslaGeometríadelsacerdotehindúnosigueelmétodo de los investigadores griegos. En las páginas de Suba—Sultra seencuentran varios teoremas de Matemática y pequeñas reglas sobreconstrucciones de figuras. Para transformar convenientemente un altar, elprudente Apastamba construye un triángulo rectángulo cuyos lados miden,respectivamente, 39, 36 y 15. Aplica en la solución de este interesanteproblemaelprincipiofamosoatribuidoalgeómetraPitágoras:

“El cuadrado construido sobre la hipotenusa es equivalente a la sumadeloscuadradosconstruidossobreloscatetos.”

El teoremadePitágoras, tancitadoenMatemática,puededemostrarsedemuchísimasmaneras.

SiendoAeláreadelcuadradoconstruidosobrelahipotenusa,ByClasdeloscuadradosconstruidossobreloscatetos,tenemoslasiguienterelación:

A=B+C

LafiguraquetraduceelteoremadePitágorasesclásicaenMatemática.

Esaproposición,señores,expresaunagranverdad.LeyeternadictadaporDiosyque laCiencia revelóa loshombres.AntesqueexistieseMarte,o laTierraoelSol,ymuchodespuésquedejarendeexistiraquícomoallá,enlosmundos visibles como invisibles, — el cuadrado construido sobre lahipotenusa fue y será siempre equivalente a la suma de los cuadradosconstruidos sobre los catetos.” Todas nuestras teorías de la vida, todas laspuerilesespeculacionesnuestras sobre lamuerte, todas lasdiscusiones sobrelosproblemasdeldestino—todoesoespolvaredaqueapenasseveenunrayodesol,comparadoconladobleeternidad,pasadayfutura,deunaverdadcomoaquella.

Puesbien;el teoremadePitágorasespresentadoporelhindúApastambabajounaformamuyinteresante:

“La diagonal de un rectángulo produce, por si sola, lo que los lados delrectánguloproducenenconjunto.”

Esposiblesacarenconclusión,pues,queloshindúes,sinelauxiliodelosgriegos,yaconocíanlostriángulosrectángulos,cuyosladosestánexpresadospornúmerosenteros.EnelprimercapítulodeSuba-Sultrahayreferenciasaltriángulorectángulonotable,cuyosladosmiden,respectivamente,3,4y5.ElilustreApastambamencionaotrostriángulospitagóricos:

12,16,20;

5,12,13;

8,15,17

yllega,pormediodefraccionessimplesaexpresarelvaloraproximadodelaraízcuadradade2.3

25=16+9

El valor así obtenido, Apastamba lo aplica en la construcción de uncuadradopormediodeuningeniosoartificio.

Lossacerdotesaprendíanasí,porlalecturadelaspáginasdeSuba—Sultra,a transformar un rectángulo en un cuadro equivalente, cosa que, a veces,precisabanaltenerquealterarlaformadeunaltar,sinmodificarelárea.

SurgierondespuésdeSuba-Sultravariasobrasde indiscutiblevaloren laHistoriadelaMatemática.Porejemplo,Suria-Sidanta,quecontieneunatablade senos4 utilizada por los astrónomos. La palabra seno, en idioma hindú,significadeclive.

Triángulo rectángulo ya conocido y citado por los antiguosmatemáticoshindúes.Convieneobservarqueelcuadrado(25)delladomayoresigualalasumadeloscuadrados(9+16)delosotrosdoslados

Suria-Sidantaeselprimertratadoqueexponelasreglasdelanumeracióndecimalcadaguarismotieneunvalornegativoyempleaelceroparaindicarlaausenciadeunidadesdeciertoorden.

Nomenosnotable,paralacienciadelosbrahmánes,eseltratadodeAria—Bata,quesedivideencuatropartes:“ArmoníasCelestes”,“ElTiempoysuMedida”,“LasEsferas”y“ElementosdeCálculo”.VariossonloserroresqueseobservanenlaspáginasdeAria-Bata.Esegeómetraafirmaqueelvolumendeunapirámideseobtiene“multiplicadolamitaddelabaseporlaaltura”eindica como fórmulas para el cálculo de áreas de cuadriláteros, algunas quesólo son aplicables a casos particulares. Para determinar el largo de lacircunferenciadaAria—Bata lasiguiente regla:“Sumar4á100,multiplicarpor8,sumar62.000”;seobtieneasí la longitudde lacircunferenciaparauncírculodedosmiriámetrosdediámetro.

LosPitagóricosfueronatacadosdetodosmodosporsusadversarios.Conestas caricaturas pretendían ridiculizar a los discípulos del célebre filósofogriego.

UnadelasmáscuriosaseimportantesobrasdelaliteraturacientíficadelaIndiaesBijaganita.

Ese nombre singular está formado por dos palabras, bija y ganita, que

significan,respectivamente,semillaycuenta.Latraducciónperfectadeltítulodelaobrahindúsería:

“Elartedecontarsemillas”.

Lilavati, según una curiosa leyenda, no se casó por causa de una perladesprendidadesuvestidodenovia,y“quehizodetenereltiempo”.Báskara,elgeómetrahindú,pàraconsolarasuhijaledijo:

“—Escribiréunlibroqueperpetuarátunombre.Vivirásenelrecuerdodelos hombres más de lo que hubieran vivido los hijos que pudieron habernacidoentumalogradomatrimonio.”

LaobradeBáskarasehizocélebreyelnombredeLilavatisurgeinmortalenlaHistoriadelaMatemática.

El autor de ese trabajo extraordinario es el famosomatemático BáskaraAcharia,quenacióenBidon, en laprovinciadeDecan, enel año492de laHégira.Amás deBijaganita escribióBáskara el célebreLilavati, tratado deÁlgebrayGeometría,yenlosúltimosañosdesuexistenciahizounpequeñolibrodeAstronomía,derelativaimportancia,intituladoSuomani.

ElorigendeLilavatiesmuyinteresante.Voyarelatarlo.BáskarateníaunahijallamadaLilavati.Cuandoestanació,élconsultóalasestrellasyverificó,porladisposicióndelosastros,quesuhijaestabacondenadaaquedarsolteratoda la vida, no siendo requerida por los jóvenes nobles. Báskara no seconformóconesadeterminacióndelDestinoy recurrióa losastrólogosmásfamosos de la época. ¿Cómo hacer para que la graciosa Lilavati pudieseencontrar esposo, y ser feliz en el casamiento? Uno de los astrólogosconsultados por Báskara, le aconsejó casar a Lilavati con el primerpretendientequeapareciera,perodijoquelahorapropiciaparalaceremoniadelenlaceseríamarcada,enciertodía,porelcilindrodelTiempo.

Los hindúes medían, calculaban y determinaban las horas del día conayuda de un cilindro colocado en un recipiente lleno de agua. Ese cilindro,abiertoapenasensupartesuperior,teníaunpequeñoorificioenelcentrodelabase. La cantidad de agua que entraba por el orificio llenaba lentamente elcilindroqueseibahundiendohastadesaparecercompletamentebajoelaguaaunahorapreviamentedeterminada.

EscuriosoelartificioqueBáskara,matemáticohindú,ensulibroLilavati,emplearaparaladeterminacióndeláreadelcírculo.Trazadoundiámetro,cadaunodelossemicírculoseradivididoenunmismonúmerodesectoresiguales.Los sectores1,2,3,4,5,6,7,8y9que formabanunode los semicírculoseran colocados como indica la figura, con las bases (que se suponenrectificadas)apoyadassobreunarectaAB.Lossectoresa,b,c,d,e,f,g,h,i,que formaban el otro semicírculo eran colocados entre los primeros en

oposición (como indica la figura) de modo de completar el paralelogramoABCD.Eláreadelcírculoseráigualalproductodelasemicircunferenciaporla altura del círculo. La base AB de ese paralelogramo es lasemicircunferenciarectificada.

Conagradablesorpresaparasupadre,Lilavati fuepedidaenmatrimoniopor un joven rico y de buena familia. Fijado el día y señalada la hora, sereunieronlosamigosparaasistiralaceremonia.

EstaesLilavati,laheroínadelacélebreleyendade“Laperlayeltiempo”,que es llamada en el libro de Báskara “la linda pequeña de los ojosfascinantes”.

Báskara colocó el cilindro de las horas y aguardó que el agua llegase alnivelmarcado.Lanovia, llevadapor irresistibleyverdaderamente femeninacuriosidad, quiso observar la subida del agua en el cilindro.Al aproximarseparaacompañarladeterminacióndelTiempo,unadelasperlasdesusvestidossedesprendióycayódentrodelvaso.

Porunafatalidad,laperla,llevadaporelagua,obstruyóelpequeñoorificiodelcilindro,impidiendoquepudieseentrarelagua.Elnovioylosconvidadosesperaron largo rato con paciencia. Pasó la hora fijada sin que el cilindromarcara el tiempo, como previera el sabio astrólogo. El novio y losconvidadosseretiraronparaquefuesefijadaotrafecha,despuésdeconsultarlosastros.

El joven brahmán desapareció algunas semanas después, y la hija deBáskaraquedóparasiempresoltera.

ReconocióelinteligentegeómetraqueerainútillucharcontraelDestinoydijo a su hija: Escribiré un libro que perpetuará tu nombre. Vivirás en elpensamiento de los hombres más de lo que hubieran vivido los hijos quepudieronhabernacidodetumalogradomatrimonio.

LaobradeBáskarasehizocélebreyelnombredesuhijasurgeinmortalenlaHistoriadelaMatemática.

En lo que se refiere a la Aritmética, Lilavati hace de las operacionesaritméticas sobre números enteros; estudia minuciosamente las cuatrooperaciones, el problema de elevación al cuadrado y al cubo; enseña laextraccióndelaraízcuadrada,yllegahastaelestudiodelaraízcúbicadeunnúmero cualquiera. Aborda después las operaciones con númerosfraccionarios, aplicando la hoy tan conocida regla de reducción a comúndenominador.Alfinaldeesaparte,refiriéndosealareduccióndeunnúmeroporcero,Báskaradice:“Nilaadiciónnilasustracción,porgrandesquesean,hacendisminuiroaumentarlacantidadllamadacocienteporcero.”

Lilavati presenta, en seguida, reglas variadas de cálculo, algunas decarácter general, como la de inversión, que consiste, procediendo en ordeninverso, en hallar un número que, sometido a una sucesión de operaciones,reproduzcaunnúmerodado,y la reglade falsaposición,que losEgipciosylosGriegosyaconocíanyempleaban.

Interesantesporlaforma,delicadaalgunasveces,ricayexuberanteotras,como son presentados algunos problemas, revelan, por sus enunciados, laíntimasatisfaccióndequienlospropuso,asícomolainclinacióndesuespíritualohermosoyalbien.

Esesteunejemplocaracterístico:

“AmableyqueridaLilavati,dedulcesojoscomolosdeladelicadaytiernagacela,dimecuálessonlosnúmerosqueresultandelamultiplicaciónde135por12.”

MásadelanteBáskaraenseñaaresolverlasiguienteydelicadacuestión:

“Lindapequeñadeojosfascinantes, tú,queconoceselverdaderométododelainversión,dimecualeselnúmeroquemultiplicadopor3,aumentadoenlastrescuartaspartesdelproducto,divididopor7,disminuidoenunterciodelcociente, multiplicado por sí mismo, disminuido en 52, después de laextraccióndelaraízcuadrada,adicionadoen8ydivididopor10,sea2.”

No es menos interesante el problema formulado sobre un enjambre deabejas:

“La quinta parte de un enjambre de abejas se posa sobre una flor dekadamba,laterceraparteenunaflordesilinda,eltripledeladiferenciaentreestosdosnúmerosvuelasobreunaflordekrutja,yunaabejavuelaindecisadeunaflordepandanusaunjazmín.”

Otros problemas tratan sobre el interés del dinero, sobre el preciode lasesclavas,cuyovalormáximo,alos16años,correspondíaalde8bueyescondos años de trabajo, sobre el costo de los géneros, de los salarios, de lostrasportes,etc.

Elproblemaque relataréesunode los incluidosenLilavatiyquepocosmatemáticossabránresolver:

“Unapequeñadeseisañosesvendidapor32niscas.¿Cuáleselprecio,enniscas,deunajovencitade20años?”

Es muy interesante también, la regla que Lilivati presenta para ladeterminacióndeláreadelcírculo.

CAPÍTULOXIX

En el cual el príncipe Cluzir elogia al “Hombre que calculaba”. Elproblema de los tres marineros. La generosidad del Maharajá de Laore.Beremísrecuerdalosversosdeunpoeta.Lacienciayelmar.

El elogio queBeremís hizo de la ciencia de los hindúes recordando unapágina de la Historia de la Matemática, causó inmejorable expresión en elespíritu del príncipe Cluzir—Schá. El joven soberano, impresionado por ladisertación,declaróqueconsiderabaalcalculistaunsabiocompleto,capazdeenseñarelartedeBáskaraauncentenardebrahmanes.

—Hequedadoencantado–añadió—aloírlaleyendadelainfelizLilavati,queperdióelnovioporcausadeunaperlade suvestido.LosproblemasdeBáskara, citados por el elocuente calculista, son, realmente interesantes, ypresentan,ensusenunciados,ese“espíritupoético”,queestandifícildehallarenlasobrasdeMatemática.Siento,sinembargo,queelilustrematemáticonohayacitadoelfamosoproblemadelostresmarineros,queapareceenellibrointitulado“Faiouentchoutin”,yquehastaahoranotienesolución.

— Príncipe magnánimo –respondió Beremís—. Entre los problemas deBáskarapormicitadosnofiguróeldelostresmarineros,porlasimplerazónquenoloconozcosinovagamente,porunrelatoinciertoydudoso,ignorandosuenunciadoexacto.

—Yo loconozcoperfectamente–dijoelpríncipe—.Y tendríaverdaderoplacer en recordar ahora esa cuestión, que tiene atribulados a tantosalgebristas.

YelpríncipeCluzir—Schácontólosiguiente:

—UnnavíoquevolvíadeSerendibe,trayendograncantidaddeespecias,fuealcanzadoporviolentotemporal.Laembarcaciónhabríasidodestruidaporlasolas,sinofueraporelvaloryelesfuerzodetresmarinerosque,enmediode la tormenta, manejaban las velas con extremada pericia. El capitán,queriendo recompensar a losdenodadosmarineros, lesdio ciertonúmerode“catils”. Los “catils” eran más de doscientos y menos de trescientos. Lasmonedas fueron colocadas en una caja para que al día siguiente, aldesembarcar,elalmojarife lasrepartieseentre los tresvalientes.Sucedió,sinembargo,quedurantelanoche,unodelostresmarinerossedespertóypensó:“Seríamejorqueretirasemiparte.Asínotendréoportunidaddediscutirconmisamigos.”Y,sindecirnadaaloscompañeros,fue,enpuntasdepie,hastadondesehallabaguardadoeldinero, lodividióen trespartes igualesynotóqueladivisiónnoeraexacta,yaquesobrabaun“catil”.–“Porcausadeestamíseramonedita, esprobablequemañanahaya riñaydiscusión.Serámejor

sacarla.”Yelmarinerolatiróalmar,retirándosecauteloso.Llevabasuparteydejaba las que correspondían a sus compañeros en el mismo lugar. Horasdespués el segundo marinero tuvo la misma idea. Fue al arca en que sedepositaraelpremiocolectivoylodividióentrespartesiguales.Sobrabaunamoneda.Elmarinerooptóportirarlaalmar,paraevitarposiblesdiscusiones.Ysaliódeallíllevandolapartequecreíalecorrespondía.Eltercermarinero,ignorando,porcompleto,quesuscompañerosselehabíananticipado,tuvoelmismopensamiento.Levantósedemadrugadayfuea lacajade los“catils”.Dividió las monedas que en ella encontró, y la división tampoco resultóexacta;sobróun“catil”.Noqueriendocomplicarelreparto,elmarinerolatiróal mar y regresó satisfecho a su litera. Al día siguiente, al desembarcar, elalmojarifeencontróunpuñadode“catils”enlacaja.

Sabiendoqueesasmonedaspertenecíanalosmarineros,lasdividióentresporciones, que repartió entre sus dueños. Tampoco fue exacta la división.Sobraba una moneda, que el almojarife se guardó como retribución a sutrabajoyhabilidad.Esclaroqueningunodelosmarinerosreclamó,puescadaunoestabaconvencidodehaber retiradosuparte.Ahorabien:¿cuántaseranlasmonedas?¿Cuántorecibiócadamarinero?

El “Hombre que calculaba”, notando que la historia narrada por el,príncipedespertaragraninterésentrelosnoblespresentes,creyónecesariodarlasolucióncompletadelproblema,yasílohizo:

—Lasmonedaseran,alprincipio,241.Elprimermarinerolasdividióentres partes; tiró un “catil” al mar y se llevó un tercio de 240, o sea, 80monedas,dejando160.Elsegundomarinerohalló,porlotanto,160monedas;tiró una almar y dividió las restantes (159) en tres partes. Tomó la terceraparte,osea,53,ydejóelresto,106.Eltercermarineroencontróenlacaja106monedas,dividióeserestoentrespartesiguales,tirandoalmarlamonedaquesobraba.Retirólatercerapartede105,osea,35monedas,dejandoelresto,osea70.Elalmojarifeencontró70monedas,lasdividióentrespartesiguales,tocando23monedasmásacadamarinero.Elrepartofuehecho,porlotanto,delamanerasiguiente:

MarineroNº180+23=103

MarineroNº253+23=76

MarineroNº335+23=58

Almojarife=1

Tiradasalmar=3

Total=241

Alllegaralfinaldelasolución4,yhabiendodejadodehablarBeremís,el

príncipe,parademostrarsuadmiraciónporelingeniodelcalculista,leofreciócomorecompensaunapequeñamedallitarecubiertaderubíes.

—Esta joya –explicó sonriente el soberano hindú— fue grabada por unartistagenial.Enunadelascarasapareceminombreentrelazadoconunaflorde loto; y la otra contiene algunos versos sobre elmar, escritos en lenguajesimbólico.

Beremíssemostróemocionadoconelpresentedelpríncipey,tomandolamedallaentresusmanos,laexaminóconvivointerés.

—Esraro–dijoalfin—,peorelartistaqueimaginóestadelicadaobradearteseequivocó,sinquerer.Noencuentroaquí,ningunapoesíasobreelmar.SololeopensamientossobreelSaberylaCiencia:

“ElqueprocurainstruirseesmásamadoporDiosqueaquelquecombateenunaguerrasanta.”

“Aquelqueeducayproporcionainstrucciónalosignorantes,escomounvivoentrelosmuertos.”

“Si pasara un día sin que aprendiera alguna cosa que me aproximase aDios,quelaauroradeesedíanoseabendecida.”

“EsunsacrilegioprohibirlaCiencia.PediralaCienciaesofreceractosdeadoraciónaDios;enseñarla,eshacercaridad.LacienciaeslavidadelIslam,lacolumnadelaFe.”

—Amigomío–dijoelpoeta Iezid—.Conozco todosesospensamientos.Fueron dictados por Mahoma (¡con Él en la oración y en la gloria!) y seenseñanhoyentodaslasescuelas.

Elsheiksonrióyconcluyó:

— A mi modo de ver, el artista que grabó esa medalla no engañó alpríncipe.Laciencia, según todosdicen, esunmar inmensoyprofundo.Porconsiguiente, esos pensamientos, desde el punto de vista simbólico, son“versossobreelmar”.

CAPÍTULOXX

EnelcualBeremísdalasegundaclasedeMatemática.Númeroysentidodel mismo. Las diferentes definiciones de número. Los guarismos. Lossistemasdenumeración.Numeracióndecimal.Elcero.Oímosnuevamentelavozdelaalumnainvisible.ElgramáticoDoreid,citaunpoeta.

Terminadalarefección,aunaseñaldelsheikIezid,selevantóelcalculista.Había llegado la hora establecida para la segunda clase deMatemática. La“alumnainvisible”yasehallabaesperandoalprofesor.Despuésdesaludaralpríncipeyalossheiksqueconversabanenelsalón,Beremís,acompañadodeunaesclavaseencaminóhaciaelaposentopreparadoparalalección.

Melevantéyotambién,yacompañéalcalculista,yaqueteníaautorizaciónparaasistiralasleccionesdadasalajovenTelassim.

Uno de los presentes, el gramáticoDoreid, amigo del dueño de la casa,tambiéndeseóoírlaleccióny,dejandolacompañíadelpríncipeCluzirSchá,nos siguió. Doreid era un hombre de mediana edad, muy alegre, de rostroangulosoyexpresivo.

Atravesamos una suntuosa galería tapizada con gobelinos y, guiados porunaesclavacircasianadeesplendorosabelleza, llegamos, al fin, a la saladeMatemática. El primitivo cortinado rojo que ocultaba a Telassim había sidosustituidoporotroazulqueteníaenelcentroungranheptágonoestrellado.

Resultainteresanteobservarlasdiversasformasdadasalascifrasusualesalcorrerdelossiglos.

Enelcuadrodearribapodemosobservar,apartirdelaprimeracolumnadelaizquierda,losguarismos1,2,3,4y5.

En la primera fila, las cifras son apenas iniciales de las palabras delsánscrito (antiguo idioma de los bracmanes). En la tercera fila aparecen lasprimitivas cifras hindúes. En las dos últimas filas se ven las usadas hastaprincipiosdelsigloXVI.

ElgramáticoDoreidyyonossentamosauncostadodelasala,cercadelaventanaqueabríaaljardín,Beremísseacomodócomolaprimeravez,bienenelcentro,sobreunampliocojíndeseda.Asulado,sobreunamesitadeébano,había un ejemplar del Corán. La esclava circasiana, de confianza del sheikIezid,yotrapersa,deojosdulcesysonrientes,seapostaronjuntoalapuerta.Elegipcio,encargadodelaguardiapersonaldeTelassim,serecostóindolentecontraunacolumna.

Despuésdelaoración,asíhablóBeremís:

—Nosabemos,señora,cuandolaatencióndelhombrefuedespertadaporlaideadenúmero.Lasinvestigacioneshechasporlosfilósofosseremontanalostiemposquesolosepercibenatravésdelasnebulosasdelpasado.

En 1579 el matemático italiano Bombelli incluyó en su Álgebra unconjuntocompletodenotacionesconlasquepretendiósimplificarelcálculoyfacilitarlasoperacionesalgebraicas.Laraízcuadradaerarepresentadaporlasletras R, q, colocadas antes del radicando, y la raíz cúbica por un símbolo

análogoR,c.nosnuestralafiguraadjunta,enlaprimeralíneaunaexpresiónalgebraica escrita por Bombelli y, debajo, la misma expresión escrita consímbolosmodernos.Dejódeserincluidalaletrap(signodeadición)antesdelasegundaR.

Los que estudian la evolución del número demuestran que, entre loshombres primitivos, ya estaba la inteligencia humana dotada de lo quellamaremos el “sentido de número”. Esta facultad permite reconocer, demanera puramente visual, si un conjunto de objetos fue aumentado odisminuido,osea,sisufriómodificaciónnumérica.

Nosedebeconfundirelsentidodenúmeroconlafacultaddecontar.Sololainteligenciahumanaescapazdeposeerelgradodeabstracciónquepermitecontar, mientras que el sentido de número es observado entre muchosanimales.

Algunospájaros,porejemplo,sincontarloshuevosquedejanenelnido,puedendistinguirdosdetres.Ciertasavispaslleganadistinguircincodediez.

LossalvajesdeunatribudelnortedeÁfricaconocíantodosloscoloresdelarcoirisydesignabancadaunoporsunombre.Puesbien,esatribunoconocíalapalabracorrespondiente al color.Así también,muchos idiomasprimitivospresentanpalabrasparadesignar,uno,dos,tres,…etc.,ynoencontramos,enesos idiomas, un vocablo especial para designar el número, de un modogeneral.

Yotuveocasióndeverificar,alhacerunaexcursiónapaísdeHadjad,queel número cuatro, entre los habitantes de Barnhein1, era designado por dosnombres distintos: “Cvart” y “arab’ah”. El primero era empleado en laevaluacióndeperlas,yelotroalcontardátiles,camellos,ovejas,etc.

Pitágorasconsiderabaelnúmerocomolaesenciadetodaslascosas.

Aristótelesdecía:“Elnúmeroeselmovimientoaceleradooretardado.”

Paramuchosfilósofoselconceptonuméricosepresentacomo“lacienciadeltiempoabsoluto.”

Elnúmeropuede,también,serdefinidocomolarepeticiónsucesivadelaunidad.

Muchassonlasdefinicionesformuladassobreelconceptodenúmero.Sinembargo,ningunadeellassatisfacealespíritudelmatemático.Citaréseisdeesasdefiniciones:

1) Número es la expresión que determina una cantidad de cosas de lamismaespecie.

2)Númeroeslarepresentacióndelapluralidad.

3)Númeroeslapluralidadmedidaconlaunidad.

4)Númeroeselresultadodelamedidadeunamagnitud.

5) Número es una colección de objetos de cuya naturaleza hacemosabstracción.

6)Númeroesunsímbolocreadoporelespírituhumanoparacaracterizarlosdiferentesestadosdeunaverdadcientífica.

Será preferible, señora, no interesarnos por la definición rigurosa de unnúmero,puestalconceptonoparecetenerdefinición.

¿Cuáleselorigendelnúmero?

Siendo el número un concepto de relación, es bien claro que el númerosurgiódeuna comparación entreungrupodeobjetosyunode esosobjetosaislados.Caminandoporeldesierto,elbeduinoveunacaravanadecamellos.¿Cuántos son? Para definir ese “cuántos”, debe emplear los números. Elnúmeroserá,pues,lapluralidaddefinidabajolaformadeunapalabraodeunsímbolo.

Para llegar a ese resultado precisa el hombre poner en ejercicio ciertaactividad,estoes,precisacontar.

Alcontarrelacionacadaconjuntoconundeterminadosímbolo:uno,dos,tres… o sea, establece una correspondencia entre la serie numérica y losobjetosdelconjuntoqueprocuracontar.

Para la representación de un número cualquiera con pocos signos, eranecesarioinventarunsistemadenumeración.

El más antiguo sistema de numeración es el quinario, en el cual lasunidadesseagrupandecincoencinco.

Enelprimitivosistemaquinarioelnúmerodediscosarribaindicadosería32.

Unavezcontadascincounidadesobteníamosunacolecciónllamadaquina.Así8unidadesseríaunaquinamás3,yescribiríamos13.Esmásimportantedecirque eneste sistemael segundoguarismode la izquierdavalía5vecesmás que si estuviese en el primer lugar. Los matemáticos dicen, porconsiguiente,quelabasedeesesistemaera5.

Seencuentranvestigiosdedichosistemaenlospoemasantiguos.

Otrodelossistemasempleados,fueeldebase20,porelcualsedesignaalnúmeroochentaporlaexpresióncuatroveintes.

Los árabes usaron guarismos que diferían bastante de los actuales. Asípodemosobservarqueelcincoárabeeraunpequeñocírculo,mientrasqueel

ceroserepresentabaporunpunto.

Surgiódespués,señora,elsistemadebase10,queseprestabamásparaexpresargrandescantidades.Elorigendeesesistemaseexplicaporelnúmerodededosdelamano.Algunospueblos,sinembargo,demostrabanpreferenciaporunsistemaqueteníaporbaseelnúmero12(unadocena).Ladocenapresentasobreladecenaunagranventaja:elnúmero12tienemásdivisoresqueelnúmero10.

Las de la figura son las diversas formas presentadas por los númerosegipciosdesde1hasta9.

“Enlanumeraciónescritadelosegipciosel10erarepresentadoporunaherradura;100porunahojadepalemeraenrolladaenespiral:1000porunaflordeloto,símbolodelNilo,aquiendebíanlafertilidaddelsuelo;10000porunindicador;100000porun“embriónderana”,porquelasranaseranencontradasengrancantidad,enlaprimerafazdesuvida,enellodoquelasaguasdelNiloarrastrabanduranteelperíododelasinundaciones.”

El sistema decimal fue, no obstante, universalmente adoptado. Desde eltuaregquecuentaconlosdedoshastaelmatemáticoquemanejainstrumentosde cálculo, todos contamos de 10 en 10. Dadas las divergencias profundasentrelospueblos,semejanteuniversalidadessorprendente;nopuedejactarsede lo mismo ninguna religión, código moral, forma de gobierno, sistemaeconómico,principiofilosóficooartístico,lenguaje,nialfabetoalguno.

Contar es uno de los pocos tópicos en torno al cual los hombres nodivergen,puesloconsideranlógicoynatural.

Difícilmente encontraremos un matemático que sepa leer y calcular laexpresiónqueaparecerepresentadaen lafiguradearriba.Dichaexpresión–afirmaRouseBall–fueincluida,juntoconmuchasotras,enunaobranotabledeNicolásChurquetpublicadaen1854.Vemosabajolamismaexpresiónpormediodenotacionesmodernas.

Observando las tribus salvajes y elmododevivir de losniños, es obvioque los dedos son la base de nuestro sistema numérico; por ser 10 los deambasmanosesquecomenzamosacontarhastaesenúmeroybasemostodonuestrosistemaengruposde10.

Nárrase que un pastor, que necesitaba estar seguro que tenía todas susovejas al anochecer, tuvo que exceder, al contar su rebaño, a la primeradecena.Contaba lasovejasquedesfilabanpor frenteaél,doblandoundedoporcadauna,ycuandoteníadobladosdiezdedos,apartabaunguijarroplano.Terminada la tarea, losguijarros representabanelnúmerode“manos llenas”(decenas), de ovejas del rebaño. Al día siguiente podía rehacer la cuentacomparandolosmontonesdeguijarros.

Luegoseleocurrióaalgúncerebropropensoaloabstracto,quesepodíaaplicaraquelprocesoaotrascosasútiles,comolosdátiles,el trigo, losdías,lasdistanciasylasestrellas.

Y haciendomarcas, en lugar de apartar guijarros, se creó el sistema denumeraciónescrita.

Todos lospueblos adoptaronen su lenguajehablado, el sistemadecimal;los otros sistemas fueron abolidos y relegados. Mas, la adaptación de talsistemaalanumeraciónescritasólosehizomuylentamente.

Fue necesario el esfuerzo de varios siglos para que la humanidaddescubrieseunasoluciónperfectaalproblemadelarepresentacióngráficadelosnúmeros.

Para representarlos, imaginó el hombre caracteres especiales llamadosguarismos,representandocadaunodeesossignoslosvocablos:uno,dos,tres,cuatro,cinco,seis,siete,ochoynueve.Otrossignosauxiliares,talescomod,c,m, etc., indicaban que el guarismo que acompañaba representaba decena,centena,millar,etc.Así,unmatemáticoantiguorepresentabaelnúmero9765por la notación 9m, 7c, 6d, 5. Los fenicios, que fueron los grandescomerciantesdelaantigüedad,envezdeletrasusabanacentos:

9’’’7’’6’5.

Losgriegos,alprincipionoadoptaroneseinteresantesistema.Acadaletradel alfabeto, acompañada de un acento, le atribuían un valor; así la primeraletra(alfa)erael1;lasegundaletra(beta)erael2;laterceraletra(gama)erael 3, y así por consiguiente, hasta el número 19. El 6 era la excepción: esenúmeroserepresentabaporunsignoespecial(estigma).

Combinando,después,lasletrasdosados,representaban20,21,22,etc.

Son interesantes las notaciones matemáticas encontradas en el papiroRhindescritoporelsacerdoteegipcioAshmesu–omejorAhmés–“hijodeun rey llamado Raaus”. Los egiptólogos, después de largos y cuidadososestudios,descubrieronqueel trabajodelsabioAhmésfuehechocercade20siglosantesdeCristo.

Elnúmero4004erarepresentado,enelsistemagriego,pordosguarismos;el número 2022 por tres guarismos diferentes; el número 3333 erarepresentadopor4guarismosquediferíanporcompletounosdeotros.

Pruebademenorimaginacióndieronlosromanos,conformándosecontrescaracteres, I, V y X, para formar los diez primeros números, y con loscaracteresL (cincuenta),C (cien),D (quinientos),M (mil), que combinabanconlosprimeros.

Losnúmerosescritosenguarismosromanoseranasídeunacomplicación

absurda,yseprestabantanmalalasoperacioneselementalesdelaAritmética,queunasimpleadiciónerauntormento.

Con laescritura rúnica, laadiciónpodía,en realidad,hacerseenelpapel(antesenelpapiro,porquenoseconocíaelpapel),disponiendolosnúmeros,unos debajo de otros, de tal suerte que los guarismos con el mismo valorformasencolumna,loqueobligabaamantenerladistanciaentrelosguarismosparatenerencuentalosórdenesquefaltaran.

Estaba la ciencia de los números en este estado hace unos cuatrocientosaños,cuandounhindú,dequien lahistorianoconservóelnombre, imaginóemplearuncarácterespecial,elcero,para indicar,conunnúmeroescrito, laausenciadetodaunidaddedeterminadoorden.Graciasaestainvención,todoslossignos,índicesyletras,volviéronseinútiles;quedaronsolamentelosnueveguarismos y el cero. La posibilidad de escribir un número cualquiera pormediodediezcaracteresfueelprimermilagrodelcero.

Losgeómetras árabes se apoderaronde la invencióndelhindúynotaronque, agregando un cero a la derecha de un número, se elevaba,automáticamente,elordendecimalaquepertenecíansusdiferentesguarismos.Veremosen lapróximaclase (¡SiAlah loquiere!)cuáles son lasprincipalesoperacioneso transformacionesquepodemosefectuarcon losnúmerosy laspropiedadesqueéstospresentan.

CallóBeremís.HabíaterminadolasegundaclasedeMatemática.

Oímosentonces,entonadosporlavozcristalinadeTelassim,lossiguientesversos:

“Dadme¡ohDios!Fuerzasparavolvermiamorfértilyútil.

Dadmefuerzasparanodespreciarjamásalpobrenidoblarlarodillaanteelpoderinsolente.

Dadmefuerzasparaelevarmiespíritubienaltosobrelasfutilezasdetodoslosdías.

Dadmefuerzasparaquemehumilleconamordelantedeti.

Nosoymásqueunjiróndenubedeotoño,vagandoporelcielo,¡oh,miSolglorioso!

Siestudeseoygusto,tómalo,píntalodemilcolores,irísalodeoro,hazlofluctuaralviento,espárceloporelcieloenmúltiplesmaravillas

Ydespués,sifueratudeseoterminar,porlanoche,esejuego,desapareceríadesvaneciéndomeenlatiniebla,otalvezenunasonrisadealborada,transparentedefrescuraydepureza.”

—Esadmirable–balbuceóamilado,elgramáticoDoreid.

—Sí—asentí—.LaMatemáticaesadmirable.

— ¡QuéMatemática ni quenada! –protestómipocooportunovecino—.Novineaquíparaoíresahistoriainacababledenúmerosyguarismos.Esonomeinteresa.CalifiquédeadmirablelavozdeTelassim.

Ycomoquedaseasombradodelantedeaquellarudafranqueza,élañadió:

—Siemprepenséquealpermanecerenestasala,durantelaclase,pudiesever el rostro de la joven. Dicen que es hermosa como la cuarta luna deRamadán.

Yselevantócanturreandobajito:

“Sinotienesganasdellenartucántaro,siprefieresdejarloflotandoenelagua,ven,venasentartupurezaenmilago.

La laderaestáverde,y las floresdemicamposon tantasquenopuedencontarse.Se te irán tus pensamientos por tus ojos negros, comopájaros quevuelandesusnidos,ytuvelosetecaeráatuspies.

Ven,venamilago,sinotienesganasdellenartucántaro.

Si,hartadetusotrosjuegos,quieresjugarconelagua,ven,venamilago.

Dejatumantoazulenlaorilla,queelaguaazulteesconderá.Ylasolassepondrándepuntillasporbesartucuelloysuspirarenlosoídos.

Ven,venamilago,siquieresjugarconelagua.

Sitehasvueltolocayquieresmorir,ven,venamilago.

Mi lagoes fríoyno tienefondo;oscurocomounsueñosinsueños.Alláabajo,nochesydíassoniguales,ytodacanciónessilencio.

Ven,venamilago,sitehasvueltolocayquieresmorir.”

Dejamosconmelancolíayquietalasalallenadeluz.

NotéqueBeremísnoteníamáseneldedoelanilloquehabíaganadoenlaposadaeldíadenuestrallegada.¿Habíaperdidosujoyapredilecta?

La esclava circasiana miraba vigilante, como si temiese el sortilegio dealgún“djin”invisible.

CAPÍTULOXXI

Enel cual comienzoa copiar librosdeMedicina.Progresode la alumnainvisible. Beremís es llamado para resolver un problema. La mitad de laincógnitadelavida.ElreyMazinylasprisionesdeKhorazan.Unverso,un

problemayunaleyenda.LajusticiadelreyMazin.

Volvióse nuestra vida, en esta bella ciudad de los califas, cada día másagitaday laboriosa.ElvisirMalufmeencargócopiardos librosdel filósofoRazes.Sonestos librosqueencierranprofundosconocimientosdeMedicina.Hayensuspáginasindicacionesgranvalorparaeltratamientodelsarampión,lacuradelasenfermedadesdelainfancia,delriñón,delasarticulacionesydemil otros males que atacan a los hombres. Ocupado en esa tarea, quedéimposibilitadodeasistiralasclasesdeBeremís,encasadelsheikIezid.

Porlasreferenciasqueoíademiamigoelcalculista,la“alumnainvisible”habría hecho grandes progresos, en las últimas semanas, en la ciencia deBáskara.Yaconocíalascuatrooperacionesconlosnúmeros,lostresprimeroslibros de Euclides y calculaba, también, el valor de las fracciones connumerador1,2,ó3.2

Ciertodía,alcaerlatarde,íbamosacomenzarnuestramodestarefección,queconsistíaapenasenmediadocenadeempanadasdecarnero,concebollas,miel,harinayaceitunas,cuandooímosenlacallegrantropeldecaballosy,enseguida,gritos,vocesdemandoeimprecacionesdesoldadosturcos.

Melevantéunpocoasustado.¿Quéhabíasucedido?TuvelaimpresiónquelaposadaeracercadaportropasyqueunanuevaviolenciaibaaserllevadaacaboporordendelintoleranteJefedePolicía.

LainesperadaalgazaranoimpresionóaBeremís.Completamenteajenoalos acontecimientos de la calle, continuó, como antes, trazando figurasgeométricassobreungrantablerodemadera.¡Quehombreextraordinario!Nilasagitacionesmásgrandes,nilospeligros,nilasamenazasdelospoderosos,conseguían desviarlo de sus estudiosmatemáticos. SiAsrail, elÁngel de laMuerte, surgiese allí, de repente, trayendo en la hoja de su “kangiar” lasentencia de lo Irremediable, continuaría él, impasible, trazando curvas yángulos,yestudiandolaspropiedadesdelasfigurasydelasrelacionesentrelosnúmeros.

El pequeño aposento en que nos hallábamos fue invadido por el viejoSalim, a quien acompañaban dos esclavos negros y un camellero. Todos semostrabanasustadísimos,comosialgogravehubierasucedido.

—¡PorAlah!–grité,impaciente—.Nomolestenanuestrocalculista.¿Quéalgazara es ésta? ¿Hay nuevos disturbios en Bagdad? ¿Desapareció lamezquitadeSolimán?

— Señor –balbuceó el viejo Salim con voz trémula de susto—. Unaescolta…Unaescoltadesoldadosturcosacabadellegar.

—¡PorelsantonombredeMahoma!¿Quéescoltaesesa,Salim?

—Es la escoltadelpoderosogranvisir IbraimMaluf—el—Barad (¡QueAlah lo llene de bondades!). Los soldados vienen con orden de llevarinmediatamentealcalculistaBeremísSamir.

—¡Paraquétantoescándalo,chacales!–bramé,excitado—.Esocarecedeimportancia. Naturalmente el visir, nuestro buen amigo y protector, desearesolver, con urgencia, un problema de Matemática, y necesita del valiosoconcursodenuestrosabiocalculista.

Misprevisiones fueron tanacertadascomo losmásperfectoscálculosdeBeremís.

Momentosdespués,llevadosporoficialesdelaescolta,llegamosalpalaciodel visir Maluf. Encontramos al poderoso ministro en la fastuosa sala deaudiencias,acompañadodetresauxiliaresdeconfianza.Enlamanoteníaunahojallenadenúmerosydecálculos.

¿Qué nuevo problema sería aquel que perturbara tan profundamente elespíritudeldignoauxiliardelcalifa?

—Elcasoesgrave,calculista–comenzóelvisir,dirigiéndoseaBeremís—. Me encuentro, en este momento, atribulado frente a uno de los máscomplicados problemas que se me han presentado en mi vida. Quieroinformaros minuciosamente de los antecedentes del caso, pues solo convuestraayudapodremoshallar,talvez,unasolución.

Contóelvisirlosiguiente:

—Anteanoche,pocashorasantesquenuestrogloriosocalifaAl-Motacen,EmirdelosCreyentes,partieraparaBasora(dondequedaráportressemanas),hubounincendioenlaprisión.Durantemuchashoras laviolenciadelfuegoamenazó destruirlo todo. Los detenidos, encerrados en sus celdas, sufrierongransuplicio,torturadosporangustiasindecibles.Frenteaesehecho,nuestrogeneroso soberano ordenó fuera reducida a la mitad la pena de todos loscondenados.Alprincipionodimos importanciaalgunaal caso,puesparecíamuysimpleordenarsecumpliera,contodorigor,lasentenciadelrey.Aldíasiguiente, sin embargo, cuando la caravanadelPríncipede losCreyentesyaestaba lejos, verificamos que esa resolución de última hora involucraba unproblema extremadamente delicado, y cuya solución perfecta parecíaimposible.

—Entre los detenidos beneficiados por la ley—prosiguió elministro—hayuncontrabandistadeBasora, llamadoSanadique,condenadohacecuatroaños a prisión perpetua. La condena de ese hombre debe ser reducida a lamitad.Ahorabien;comofuecondenadoaprisiónportodasuvida,sededuce

que,envirtuddelaley,deberáserperdonadodelamitaddelapena,omejoraún,delamitaddeltiempoquelerestavivir.Si llamamos“x”aladuracióndesconocida de su vida, ¿cómo dividir por dos un período de tiempo queignoramos? ¿Cómo calcular lamitad de la incógnita de los años “x” de suvida?

Los alvéolos de las abejas presentan la forma de prismas hexagonales.Esosprismas soncerradospormediode tres rombos igualesyunidoscomoindica la figura. En la construcción de sus alvéolos, las abejas resuelven –segúndiceMaeterlinck–unproblemade“altamatemática”.

Despuésdepensarduranteunosminutos,Beremísrespondió:

—Eseproblemamepareceenextremodelicado,portratarsedeuncasodeMatemáticapura y de interpretación de la ley. Es un caso que interesa a lajusticiadeloshombresyalaVerdaddelosnúmeros.Nopuedodiscutirlo,conlospoderososrecursosdelÁlgebraydelAnálisis,antesdevisitarlaceldaenque se halla condenado Sanadique. Es posible que la “x” de su vida estécalculadaporelDestino,enlapareddelaceldadelpropiocondenado.

— Juzgo infinitamente extraño vuestro parecer –observó el visir— .Nocabeenmicabeza larelaciónquepuedaexistirentre lasblasfemiasconqueloslocosyloscondenadosadornanlosmurosdelasprisiones,ylaresoluciónalgebraicadetandelicadoproblema.

— Sidi –interrumpió Beremís—: se encuentran, muchas veces, en lasparedes de las prisiones, leyendas interesantes, fórmulas, versos einscripciones que iluminan el espíritu y nos orientan hacia pensamientos debondadyclemencia.Cuéntasequeciertavez, el reyMazin, señorde la ricaprovinciadeKhorazan,fue informadoqueunpresidiariohindúhabíaescritopalabrasmágicasenlasparedesdesucelda.ElreyMazinllamóaunescribainteligente y hábil, y le ordenó copiase todas las letras, figuras, versos onúmeros que encontrase en las paredes sombrías de la prisión. Muchassemanasempleóelescribaparacumplir, íntegramente, laordenextravagantedelrey.Alfinal,despuésdepacientesesfuerzos,llevóalsoberanodecenasdehojas llenas de símbolos, palabras ininteligibles, figuras disparatadas,blasfemias de locos y números sin significado. ¿Cómo traducir o descifraraquellas páginas repletas de cosas incomprensibles? Uno de los sabios delpaís,consultadoporelmonarca,dijo:“Rey,esashojascontienenmaldiciones,blasfemias, herejías, palabras cabalísticas, versos, leyendas y hasta unproblemadeMatemáticaconcálculosyfiguras”.

Respondió el rey: “Lasmaldiciones, blasfemias y herejías no calman lacuriosidad que llena mi espíritu. Las palabras cabalísticas me dejanindiferente;nocreoenelpoderocultodelasletrasnienlafuerzamisteriosade los símbolos humanos. Me interesa, sin embargo, conocer el verso, el

problema y la leyenda, pues son producciones que ennoblecen al hombre ypueden traer consuelo al afligido, enseñanza al ignorante y advertencia alpoderoso”.

Anteelpedidodelmonarca,dijoel“ulema”:

—Estossonlosversosescritosporunodeloscondenados:

Nohablesdetufelicidadaalguienmenosfelizquetú.

Cuandonosetieneloqueseama,esprecisoamarloquesetiene.

Heaquíahoraelproblemaescritoconcarbónenlaceldadeuncondenado:Colocar10soldadosencincofilasteniendocuatrosoldadosencadafila.Eseproblema, aparentemente imposible, tieneuna soluciónmuy simple indicadaenlafigura,enlacualaparecencincofilasconcuatrosoldadosencadauna.

Acontinuaciónel“ulema”,parasatisfacerelpedidodelrey,diolecturaalasiguienteleyenda:

“CuéntasequeeljovenTzu—Chag,sedirigióundíaalgranConfucioylepreguntó:

—¿Cuántasveces,¡ohiluminadofilósofo!,debeunjuezreflexionarantesdesentenciar?

RespondióConfucio:

—Unavezhoy;diezvecesmañana.

AsombróseelpríncipeTzu-Changaloírlaspalabrasdelsabio.Elconceptoeraoscuroyenigmático.

—Unavezserásuficiente–aclaróconpacienciaelMaestro—cuandoeljuez,porelexamendelacausa,concluyeperdonado.Diezveces,sinembargo,deberáelmagistradopensar,siemprequesesientainclinadoalibrarsentenciacondenatoria.

Yconcluyó,consuincomparablesabiduría:

—Erra, por cierto, gravemente, aquel quienhesita en perdonar; erra, noobstante,muchomásaún,alosojosdeDios,aquelquecondenasinhesitar.”

Lafiguraqueilustraestápáginaindicalaúnicasoluciónquepuededarsealsiguienteproblema:

“Colocar10soldadosen5filasde4soldadosporfila”

Seadmiróel reyMazinalsaberquehabía,e lashúmedasparedesde loscalabozos subterráneos, escritas por los míseros presos, tanta cosa llena debellezaycuriosidad.

Naturalmentequeenmediodelosquepasabansusdíasllenosdeamarguraenelfondodelasceldas,habíamuchoscultoseinteligentes.Determinó,pues,el rey, que fueran revisados todos los procesos y juicios, y verificó queinnumerables sentencias eran evidentemente injustas. Y así, gracias a lalibertadmuchosinocentesyreparadosdecenasdeerroresjudiciales.

—Todoesopuedesermuyinteresante–dijoelvisirMaluf—.Peoresmuyposible que en las prisiones de Bagdad no se pueda encontrar figurageométrica,versosoleyendamorales.Quierover,sinembargo,elresultadoaquepretendéisllegar.Permitiré,portanto,vuestravisitaalaprisión.

CAPÍTULOXXII

EnelcualvisitamoslosprisionerosdeBagdad.CómoresolvióBeremíselproblemadelamitaddela“x”delavida.El instantedetiempo.Lalibertadcondicional.Beremísaclaralosfundamentosdeunasentencia.

LagranprisióndeBagdadteníaelespectodeunafortalezapersaochina.

Seatravesaba,alentrar,unpequeñopatioencuyocentroseveíaelfamoso“Pozo de la Esperanza”.Allí era donde los condenados, al oír la sentencia,perdían,parasiempre,todaslasesperanzasdesalvación.

Nadiepodría imaginar lavidadesufrimientosymiseriasdeaquellosqueeranencerradosenelfondodelasmazmorrasdelagloriosaciudadárabe.

AlaceldaenquesehallabaelinfelizSanadique,quedesdeyahacíapensaren cosas espeluznantes, trágicas y tremendas, llegamos guiados por elcarcelero,yauxiliadospordosguardias.

Unesclavonubio, casiungigante, conducíaunagranantorcha, cuya luznospermitíaobservartodoslosrinconesdelaprisión.

Después de recorrer un corredor estrecho, que apenas daba paso a unhombre, descendimos por una escalera húmeda y oscura. En el fondo delsubterráneosehallabaelpequeñocalabozodondefueraencerradoSanadique.Enélnoentrabanilamástenueclaridad.Nosepodíarespirarelairepesadoyfétido sin sentir náuseas y vahídos.El suelo estaba cubierto de una capa delodoputrefactoynohabía,entrelascuatroparedes,ningunacosaquepudieseservirseelcondenadoparadescansar.

A la luz de la antorcha que el hercúleo nubio levantaba, vimos aldesventurado Sanadique, semidesnudo, la barba crecida y enmarañada, loscabellosendesaliñocayéndolesobreloshombros,sentadosobreunaloza,lasmanosylospiessujetosacadenasdehierro.

Beremísobservóensilencio,convivointerés,aldesventuradoSanadique.Eraincreíblequeunhombrepudieseresistircuatroañosenaquellainhumanaydolorosasituación.

Las paredes de la celda llenas de manchas de humedad, se hallabanrepletasde leyendasy figuras–extraños indiciosdemuchasgeneracionesdeinfelices condenados—. Beremís examinó, leyó y tradujo con minuciosocuidadotodoaquello,deteniéndose,devezencuando,parahacercálculosquenos parecían largos y laboriosos. ¿Cómo podría el calculista, entre lasmaldiciones y blasfemias que los condenados suelen escribir, descubrir lamitaddela“x”delavida?

Grande fue la sensación de alivio que sentí al dejar la sombría prisión,donde los detenidos eran tan cruelmente tratados. Al llegar de vuelta a lasuntuosa salade audiencias, nos encontramosconelvisirMaluf rodeadodecortesanos, secretarios, jefes y “ulemas” de la Corte. Esperaban todos lallegada de Beremís, pues querían conocer la fórmula que emplearía elcalculistapararesolverelproblemadelamitaddeprisiónperpetua.

—¡Estamosesperándote,calculista!–dijoelvisir—.Esperoquepresentes,sin más demoras, la solución de este gran problema. Tenemos la mayorurgenciaenhacercumplirlasentenciadenuestrogranEmir.

Al oír esa orden, Beremís se inclinó respetuoso, hizo el acostumbrado“zalam”yhablóasí:

—ElcontrabandistaSanadique,deBasora,apresadohacecuatroañosenlafrontera,fuecondenadoaprisiónperpetua.Esapenaacaba,sinembargo,deser reducidaa lamitadpor justaysabia sentenciadenuestrogloriosocalifaAl-Motacen,ComendadordelosCreyentes,sombradeAlahenlaTierra.

DesignemosporxelperíododeSanadique,períodoquecomienzaenelmomentoenquefueapresadoycondenadohastaeltérminodesusdías.Sanadiquefue,porlotanto,condenadoaxañosdeprisión,estoes,aprisiónportodalavida.Ahora,envirtuddelaregiasentencia,esapenadeberáreducirsealamitad.Sidividimoseltiempoxenvariosperíodos,acadaperíododeprisióndebecorresponderigualperíododelibertad.

— Completamente cierto –dijo el visir—. Comprendo perfectamente surazonamiento.

—Ahora bien; comoSanadiqueya estuvopresodurante cuatro años, esclaro que deberá quedar en libertad durante igual período, esto es, durantecuatroaños.

Enefecto.ImaginemosqueunmagogenialpudiesepreverelnúmeroexactodeañosdevidadeSanadiqueynosdijeseahora:“Esehombre,enel

momentoenquefuepuestopreso,teníaapenas8añosdevida.”Enesecasotendríamosquexesiguala8,osea,queSanadiquehabríasidocondenadoa8añosdeprisión,penaqueahoraquedaríareducidaa4años.ComoSanadiqueyaestápresodesdehace4años,yacumplióeltotaldelapenaydebeserconsideradolibre.Sielcontrabandista,pordeterminacióndelDestino,hubieradevivirmásde8años,suvidax(mayorque8)podráserdescompuestaentresperíodos:unode4añosdeprisión(yacumplido),otrode4añosdelibertad,yunterceroquedeberáserdivididoendospartesiguales(prisiónylibertad).Esfácil,pues,sacarenconclusiónque,paracualquiervalordex(desconocido),elpresodeberáserpuestoenlibertadinmediatamente,quedandolibreporcuatroaños,puestieneperfectoderechoaello,comoyademostré,deacuerdoconlaley.

Al finaldeeseplazo,omejor, terminadoeseperíodo,deberávolvera laprisiónyquedarprisioneroporuntiempoigualalamitaddelrestodesuvida.

Sería conveniente, tal vez, encarcelarlo durante un año y concederle lalibertadduranteelañosiguiente;añolibreypasaría,deesemodo,lamitaddesuvidaenlibertad,conformemandalasentenciadelrey.

Esasolución,sinembargo,soloseríaverdaderasielcondenadomurieseenelúltimodíadeunodesusperíodosdelibertad.

Enefecto:

ImaginemosqueSanadique,despuésdepasarunañoen laprisión, fueselibertadoymuriese,porejemplo,enelcuartomesdelibertad.Deesapartedesuvida(unañoycuatromeses)habríapasado:unañopresoycuatromesesenlibertad. ¿Noesasí?Huboerrorenel cálculo.Supenano fue reducidaa lamitad.

Podrá parecer que la solución de este caso, consistiría, finalmente, enprenderaSanadiqueundíaparasoltarloaldíasiguiente,concediéndoleigualperíododelibertad,yprocederasíhastaeltérminodesusdías.

Tal solución no será, con todo, rigurosamente cierta, pues Sanadique—comoes fácil comprender—puede resultar perjudicado enmuchashoras delibertad.Bastaríaparaesoqueélmurierahorasdespuésdeundíadeprisión.

Deteneracondenadoduranteunahoraysoltarloalasiguiente,dejándoloenlibertadduranteunahora,yasísucesivamentehastalaúltimahoradevidadel condenado sería la solución correcta, si Sanadiquemuriera en el últimominuto de una hora de libertad. De lo contrario su pena no habría sidoreducidaalamitad.

Lasoluciónmatemáticamenteexactaconsistiráenlosiguiente:

PrenderaSanadiqueduranteuninstantedetiempoysoltarloalsiguiente.

Es necesario, sin embargo, que el tiempo que esté preso (el instante) seainfinitamente pequeño, esto es, indivisible. Lomismo ha de suceder con elperíododelibertadsiguiente.

Enlarealidad,dichasoluciónesimposible.

¿Cómo prender a un hombre en un instante indivisible, y soltarlo alinstantesiguiente?

Debemos, por tanto, apartarla de nuestros pensamientos. Sólo veo ¡ohvisir!Una formade resolver el problema:Sanadique serápuesto en libertadcondicional,bajolavigilanciadelaley.Esesalaúnicamaneradedetenerylibertarunhombrealmismotiempo.

Ordenó el gran visir que fuese cumplida la sugestión del calculista, y elinfeliz Sanadique fue, en el mismo día “libertado condicionalmente” —fórmulaque los jurisconsultos árabes adoptarondespués, frecuentemente, ensussabiassentencias.

Aldíasiguientelepreguntéquédatosoelementosdecálculoconsiguierahallarél,enlasparedesdelaprisión,durantelacélebrevisita,quelollevaranadartanoriginalsoluciónalproblemadelcondenado.Respondióelcalculista:

— Sólo quien ya estuvo, por unos momentos siquiera, entre los murostenebrosos de una mazmorra, sabe resolver esos problemas en que losguarismossonpartesterriblesdeladesgraciahumana.

CAPÍTULOXXIII

Enelcualrecibimosunahonrosavisita.PalabrasdelpríncipeCluzirSchá.Beremís resuelve un problema. Las perlas del Rajá.Un número cabalístico.QuedaresueltanuestrapartidaparalaIndia.

Elbarriohumildeenquevivimosescribióhoysuprimerdíagloriosoenlahistoria.

Beremís, por la mañana, recibió inesperadamente la visita honrosa delpríncipeCluzirSchá.

Cuandolalujosacomitivadesfilóporlascalles,losbalconesyterrazassellenarondecuriosos.Mujeres,viejosyniñosadmirabanmudosyasombradoselmaravillosoespectáculo.

Precediendo los estandartes con el escudo del príncipe (elefante blancosobrefondoazul).

Venían, al frente, cerca de treinta caballeros, montados en soberbioscorceles árabes, con arreos repujadosygualdrapasde terciopelobordadodeplata.Lucíanalbosmantosytúnicas,ylargascimitarrassujetasconarreosdecuero lustrado, pendían a un costado; en sus cabezas, blancos turbantes conyelmosmetálicos,relucíanalsol.Despuésseguíanvariosarquerosybatidores,todosacaballo.

Ycerrandoelcortejoaparecióelpoderosomaharajá,acompañadodedossecretarios, tresmédicosydiezpajes.Elpríncipevestíaunatúnicaescarlata,toda adornada con hilos de perlas. En el turbante, de una riqueza fastuosa,centelleabaninnumerableszafirosyrubíes.

CuandoelviejoSalimviollegarasuposada,aquellamajestuosacomitiva,lediocomounataquedelocuray,tirándosealsuelo,comenzóagritar:

—¡Menein!¡Menein!

Mandéqueunaguatero arrastrase al alucinadoamigoal fondodelpatio,hastaquelacalmavolvieseasuconturbadoespíritu.

Lasaladelaposadaerapequeñaparadarcabidaa los ilustresvisitantes.Beremís,maravilladodelahonrosavisita,descendióalpatioarecibirlos.

ElpríncipeCluzir,alllegar,saludóalcalculistaconunamistoso“zalam”,yledijo:

—Elpeorsabioesaquelquefrecuentaalosricos;elmayorricoesaquelquefrecuentaalossabios.

— Bien sé, señor – respondió Beremís— que vuestras palabras soninspiradas por el más grande sentimiento de bondad. La pequeña einsignificante parte de ciencia que conseguí adquirir, desparece ante lagenerosidadinfinitadevuestrocorazón.

—Mivisita,calculista–interrumpióelpríncipe—sedebemásalegoísmoqueal interésen laciencia.Despuésque tuveelplacerdeoírlo,encasadelpoetaIezid,penséenofrecerlealgúncargodeimportanciaenmiCorte.Deseonombrarlo mi secretario o director del Observatorio de Delhi. ¿Acepta?PartiremosdentrodepocassemanasparalaMecaydealláparalaIndia.

—Desgraciadamente, ¡oh príncipe generoso! –respondió Beremís—, nopuedoausentarmeahoradeBagdad.Sólopodré irmedeaquídespuésque lahijadelilustreIezidhayaaprendidoMatemática.

Sonrióelmaharajáyrespondió:

—Seelmotivodesunegativafrenteaesecompromiso,ycreoqueprontollegaremosaunacuerdo.El sheik Iezidmehadichoque la jovenTelassim,dadolosprogresosquehahecho,dentrodepocosmesesestaráencondiciones

deenseñaralos“ulemas”elfamoso“problemadelasperlasdelRajá”.

— Yo mucho desearía –prosiguió el príncipe— conocer el complicadoproblemaquevienedesafiandolasagacidaddeosalgebristasyqueserefiere,sinduda,aunodemisgloriososantepasados.

Beremísrespondió:

—Trátasemásdeunacuriosidadaritméticaquedeunproblema,yesteessuenunciado:

“Unrajádejóasushijasciertonúmerodeperlasyordenóqueelrepartosehiciesedelsiguientemodo:a lahijamayorcorresponderíaunaperlamásunséptimode lasquequedasen; lasegunda tomaríadosperlasyunséptimodelasrestantes;latercerarecibiríatresperlasyunséptimodelasquequedasen.Yasísucesivamente,paralasrestanteshijas.

Lashijasmásjóvenespresentaronsuquejaaunjuez,alegandoqueporesesistemacomplicadoellasseríanfatalmenteperjudicadas.

El juez–dicela tradición—,queerahábilenlaresolucióndeproblemas,respondió rápidamente que las demandantes estaban equivocadas, y que ladivisiónpropuestaporelRajáerajustayperfecta.

Eljuezteníarazón.Hechaladivisión,cadaunadelashermanasrecibióelmismonúmerodeperlas.”

Sepregunta:¿Cuáleselnúmerodeperlas?¿CuántaslashijasdelRajá?

Lasoluciónesmuysencilla:

Lasperlaseran36ydebíanrepartirseentre6personas.

La primera sacó una perla y, además, un séptimo de 35, o sea 5; luego,sacó6perlasydejó30.

Lasegunda,de las30queencontró sacó2y, además,un séptimode28,quees4;luego,sacó6ydejó24.

Latercera,delas24queencontró,sacó3y,además,unséptimode21,quees3y,además,unséptimode21,osea3,porlotanto,56ydejó18.

Lacuarta,delas18queencontró,sacó4y,además,unséptimode14,osea2.Recibió,también,6perlas.

Laquintaencontró12perlas;deesas12sacó5y,además,unséptimode7,osea1;luegosacó6.

Alahijamásjovenletocó,porfin,las6perlasrestantes.

Beremísconcluyó:

—Comoveis,elproblema,sibieningenioso,nadatienededifícil.Sellegaalasoluciónsinartificiosnisutilezasderaciocinio.

EnesemomentollamólatensióndelpríncipeCluzirSchá,unnúmeroquesehallabaescritocincovecesenlapareddelahabitación.

Eraelnúmero142857.

—¿Quésignificadotieneesenúmero?–preguntó.

—SetratadeunodelosnúmerosmáscuriososenMatemática–respondióBeremís—.Presenta,conrespectoasusmúltiplos,coincidenciasinteresantes:

Silomultiplicamospor2,elproductoserá:

142.857x2=285.714

Vemosquelosguarismosqueconstituyenelproductosonlosmismosdelnúmerodado, pero enotro dueto son losmismosdel númerodado, pero enotro orden. El 14, que se hallaba a la izquierda, se encuentra ahora a laderecha.

Efectuemoselproductodelnúmero142857por3:

142.857X3=428.571

Seobservaaquílamismasingularidad:losguarismosdelproductosonlosmismosdelnúmero,peroalterados,apenas,enelorden.El1,quesehallabaala izquierda, pasó a la derecha; los demás permanecieron en el ordenprimitivo.

Lomismoocurrecuandoelnúmerosemultiplicapor4:

142.857X4=571.428

Veamosahoraloqueocurreenelcasodelamultiplicaciónpor5:

142.857X5=714.285

El guarismo 7 se trasladó de la derecha para la izquierda. Los restantespermanecieronensuslugares.

Observemoslamultiplicaciónpor6:

142.857X6=857.142

Hechoelproducto,senotaquesóloelgrupo142permutósuposiciónconel857.

Al llegaral factor7nos llama laatenciónotraparticularidad.Elnúmero142.857,

multiplicadopor7,dacomoproductoelnúmero:

999.999

formadoporseisnueves.

Silomultiplicamospor8,elproductoserá:

142857x8=1.142.856

Todas las cifras aparecen en el producto, a excepción del 7. El 7 delnúmeroprimitivofuedescompuestoendospartes:6y1.Elguarismo6quedóaladerechayel1fueparalaizquierdaacompletarelproducto.

Veamosquesucedecuandolomultiplicamospornueve:

142.857x9=1.285.713

Observandocondetencióneseresultado,vemosqueelúnicoguarismoquenofiguraesel4.

¿Quéhapasadoconél?Aparecedescompuestoendospartes,el1yel3,colocadosenlosextremosdelproducto.

Delmismomodopodríamosverificar las rarezasquepresentaelnúmero142.857,multiplicándolopor11,12,13,15,16,18,etc.

Es por eso, que el número 142.857 se incluye entre los númeroscabalísticosdelaMatemática.EnseñómeeldervicheNo-Elin…

—¡No-Elin!—repitió,llenodevivojúbilo,elpríncipeCluzirSchá—.¿Esposiblequehayaconocidoaesesabio?

—Loconocí,ymuybien,Príncipe–respondióBeremís—.Conélaprendítodoslosprincipiosquehoyaplicoamisinvestigacionesmatemáticas.

— Pues, el gran No—Elin –explicó el hindú— era amigo demi padre.Ciertavez,vencidoporlapenadehaberperdidounhijoencombate,duranteunaguerrainjustaycruel,seausentódelaciudadynuncamásfuevisto.Hicevarias investigaciones para encontrarlo,mas hasta hoy no había obtenido lamenorindicaciónsobresuparadero.Lleguéhastapensarquehubieseperecidoeneldesierto,devoradoporlaspanteras.¿Sabrá,acaso,decirmedóndepodréencontraraNo-Elin?

Beremísrespondió:

— Cuando partí para Bagdad, dejé al sabio No-Elin en Khoy, Persia,recomendadoatresamigos.

—Pues, luegoqueyoregresede laMeca, iremosa laciudaddeKhoyabuscar a ese gran “ulema” – respondió el príncipe—. Quiero llevarlo a mipalacio.¿Podráustedauxiliarmeenesamagnaempresa,calculista?

— ¡Señor! –respondió Beremís—. Si es para prestar auxilio y hacer

justiciaaaquelquefuemiguíaymaestro,prontoestoyparaacompañaros,sifuesepreciso,hastalaIndia.

Yasí,porcausadel142.857,quedóresueltonuestroviajea laIndia,a latierradelosRajás.

¡Dichonúmeroesrealmentecabalístico!

CAPÍTULOXXIV

EnelcualBeremís,pormediodefórmulas,calculalabellezadeunajoven.La división áurea. Cómo se determina, sin error, el valor numérico de laBelleza.

UnodeloshombresmáspopularesdeBagdadesunturco,llamadoHassanMuarique, quien ejerce el cargo de jefe de guardias del sultán. Había yoobservado que Hassan se tornaba día a día uno de los más asiduosconcurrentesdel“PatitoDorado”.Raroeraeldíaenqueelguapocapitándepolicíanosepresentaraahacerunaconsultaalcalculista.

Hoy, al regresar de la mezquita, encontré a Muarique en animadaconversaciónconBeremís.Setratabadelaresolucióndeunnuevoproblema,que parecía muy complicado, pues vi al talentoso matemático, indeciso,analizandofigurasyaplicandofórmulassinllegaraunresultadosatisfactorio.

Alfinalseretiróelturcoconlosguardiasqueloacompañaban.

Sóloentoncespudeoírlaexplicación,delabiosdeBeremís,deaquelrarointerésdelturcoporlaciencia.

Mecontóelcalculistalosiguiente:

—HassanMuarique,capitándelaguardia,resolviócasarseconunajovenllamada Zaira, hija del mercader Abul Lahabe, de Basora. No quería, sinembargo, arriesgarse a pedir a la jovencita en casamiento, sin asegurarsepreviamentedesiellaerahermosaoestabadesprovistadeencantos.Yahabíarecurridoa todos losartificios imaginablesparadescubrirel rostrodeZaira,pero sin resultado. No quiso, sin embargo, guiarse únicamente por lasinformacionesdelasviejas“catbeth”,yaqueesascasamenterasexageranlasvirtudes de las novias para engañar a los pretendientes ingenuos. Ante eseinconveniente, Hassan me ha pedido lo auxiliase a resolver el problema.¿Cómodeberáhacerparaasegurarse,antesdelcasamiento,delabellezadesuesposa?

Halléoriginalaquellaconsultayledije:

— La Matemática dispone de recursos maravillosos. Con el auxilio dedichacienciapuedeelhombrecalcularelpesodeuncamello,laalturadeunatorre o la belleza de unamujer.Y como élmemirase con ojos espantados,aclaré: “Sí, con el auxilio de una relación geométrica, puede elmatemáticodeterminarsiunajoveneshermosaofea,esdecir,sisusformassonperfectaso no. Es enteramente innecesario, para el novio, ver el rostro de su futuraesposa para prevenirse contra cualquier desilusión.Basta dispones demediadocenademedidasyaplicaraellaslas“fórmulasmatemáticasdebelleza”.

—Exigí–prosiguióBeremís—queHassanobtuvieseciertasmedidasdelrostro de Zaira. Esas medidas, tomadas en el interior del “harem” por una“catbet”, fueron entregadas al pretendiente. Disponiendo de los datos delproblema, apliqué las fórmulas, calculé las relaciones, y lleguématemáticamente al siguiente resultado: “La joven Zaira, hija del mercaderABul—Lahabe,eslindacomoladécimatercerahurídelCielodeAlah”.

—Es increíble –observé— que pueda elÁlgebra llegar a ese resultado.¿EsposiblesaberenqueconsisteesafórmulamatemáticadeBelleza?

— Nada más fácil –replicó Beremís—. Puedo explicar una relacióncuriosa,deunmodoelementalysimple.EntrelasdivisionesdeABenpartesdesiguales,¿habráalgunapreferiblealasotras?

—Sí–contestaelmatemático—.Existeunamanera“simpática”dedividirun todo en dos partes desiguales. Veamos en que consiste esta forma dedivisión. Consideremos el segmento AB dividido en dos partes desiguales.Admitamos que esas partes desiguales representen la siguiente relación: “Elsegmentototalesalapartemayor,comolapartemayoresalapartemenor.”Laproposicióneslasiguiente:

segmentototal:partemayor=partemayor:partemenor

Esadivisióncorrespondealaformasimpáticaquepuedenpresentarlasdospartesdesiguales.Podemosformularlasiguienteregla:

“Paraqueuntododivididoendospartesdesigualesparezcahermosodesdeelpuntodevistadelaforma,debepresentarentrelapartemenorylamayorlamismarelaciónqueentreéstayeltodo.”

Hasta hoy no se consiguió descubrir la razón de ser o “por qué” de esabelleza. Los matemáticos, que llevaran hasta muy lejos sus estudios yobservaciones,exponenvariosycuriososejemplosqueconstituyenelocuentesdemostraciones para el principio de esa división que los romanos llamaban“divinaproporción”o“divisiónáurea”.

Podemosllamarlatambiéndivisiónenmediayextremarazón.

Esfácilobservarqueeltítulopuestoporelcalígrafoenlaprimerapágina

deunaobradivide,engeneral, lamedida totaldel libroenmediayextremarazón.

Ladivisiónáureaesobservada,conadmirablenitidez,enlasfachadasdelosedificiosquesedistinguenporlaperfeccióndesuslíneasarquitectónicas.El famoso “panteón” de París, representado en la figura, es un ejemplonotable.SiendoABlaalturadelmonumento,el“puntodeoro”sedestacademanerainconfundible;eselpuntoCporelquepasa,yasealalíneadelabasedelfrontispicio,oelplanoquecortalabasedelacúpula.

Lomismosucedeconlalíneadelosojos,quedivide,enlaspersonasbienproporcionadas, la medida total del rostro en media y extrema razón. Seobservatambiénladivinaproporciónenlaspartesenquelasfalangesdividenlosdedosde lamano.LadivisiónenmediayextremarazónsepuedehallartambiénenlaMúsica,enlaPintura,enlaEsculturayenlaArquitectura.

Enladivisiónáurealarelaciónentreeltodoylapartemayor,esigual,másomenos,a:809/500

Enlaslíneasprincipalesdelrostrofemenino“matemáticamentehermoso”resultaconstanteaquellarelación.

Obtenidas, pues, las medidas que me parecieron necesarias, apliqué lafórmuladeladivinaproporciónalajovenZaira,yverifiquéquesubellezaseexpresabaporelnúmero:

808/500quedifieremuypocodelvalorquedefinelaperfección.

Mediante ese resultado pude afirmar al apasionadoHassan que su noviaeraencantadora.

— ¿Y no temes equivocarte, amigo? –observé—. La belleza femeninaresulta, a veces, de ciertos detalles que la Matemática no puede apreciar.¡Cuántasveceselencantodelamujerresultadelamaneradesonreír,deltonodevoz,deciertadelicadezadeespírituydemilotrospequeñísimosdetallesque,enocasiones,paralosenamorados,sontodo!

Beremís no respondió. Bajó la cabeza y quedó en silencio, como siestuviesepreocupadopornuevasyprofundasmeditaciones.

CAPÍTULOXXV

En el cual reaparece Tara-Tir. El epitafio de Diofanto. El problema deHierón.UnacartadeHassan.Loscubosde8y27.Lamatemáticaylamuerte.CómomurióArquímedes.

LaamenazadorapresenciadeTara-Tirmecausódesagradableimpresión.

Elrencorososheik,queestuvieradurantelargotiempoausentedeBagdad,fuevistoalcaer lanocheencompañíade tres sicarios, rondando lacalleenquevivíamos.

ConseguridadquepreparabaalgunaceladacontraelincautoBeremís.

Preocupadoporsusestudiosyproblemas,nosedabacuentaelcalculistadelpeligroqueleacompañaba,comounasombranegra.

LehablédelasiniestrapresenciadeTara-TiryelprudenteavisodelsheikIezid.

—Todos sus recelos son infundados–respondióBeremís, sinhacer casodemi aviso—.Nopuedo creer en esas amenazas.Loqueme interesa en elmomentoes lasolucióncompletadeunproblema,queconstituyeelepitafiodelcélebregeómetragriegoDiofanto.

El túmuloqueencierraelcadáverdeDiofantoesunamaravilladignadecontemplarse.Conunartificioaritméticolapiedraindicasuedad:

“Dios le concedió pasar la sexta parte de su vida en la niñez; undecimosegundoenlaadolescencia,ydespuésdepasadaunaséptimapartemásdesuexistenciasecasó;alcabodecincoañostranscurridosenunmatrimonioestéril,tuvounhijoquemuriócuandoapenashabíaalcanzadolamitaddelavidadesupadre;cuatroañosmás,mitigandosupropiodolorconelestudiodela ciencia de los números, pasó Diofanto antes de llegar al término de suexistencia”.

Es posible que Diofanto, preocupado en resolver los problemasindeterminados de la Aritmética, no hubiese meditado a fin de obtener lasoluciónperfectaparaelproblemadelreyHierónquenoapareceindicadoensuobra.

—¿Quéproblemaesese?–pregunté.

Beremísrelatóentonceslosiguiente:

—Hierón,reydeSiracusa,mandóasusorfebresciertacantidaddedineroparaconfeccionarunacoronaqueéldeseabaofreceraJúpiter.Cuandoelreyrecibió la obra terminada, verificó que ella tenía el peso del metalsuministrado, pero el color del oro le inspiró desconfianza que los orfebreshubiesenaleadoplatayoro.ParaaclararestadudaconsultóaArquímedes,elgrangeómetra.Arquímedesquehabíaverificadoqueeloropierde,enelagua,52 milésimos de su peso, y la plata, 99 milésimos, averiguó el peso de lacoronasumergidaenelaguayencontróquelapérdidadepesoeradebidaen

parteaciertacantidaddeplataadicionadaaloro.

En el momento en que hablábamos, vino a visitarnos el capitán HassanMuarique,jefedeguardiadelsultán.Elturcosehabíacasado,diezdíasantes,con la Jove Zaira, y estaba contentísimo con la elección que hiciera.Siguiendo,pues,laindicacióndeBeremís,pidióalajovencitaencasamiento,obteniendounaesposamuygraciosa,bondadosaeinteligente.

—Nuncaimaginé–dijo,despuésdeexpresarsuagradecimiento—quelaMatemáticafuesetanprodigiosacomoparallegarapodercalcularlabellezafemenina.

Alnotarelentusiasmodelturco,lollevéhastalaterrazadelahabitaciónquedabaalacalle,ymientrasBeremísprocurabahallarunanuevasoluciónalproblemadeDiofanto,lehablédelpeligroquecorríamosbajolaamenazadelodiodeTara-Tir.

—Alláestáél–señalé—,juntoalafuente.Loshombresqueleacompañanson asesinos peligrosos. Al menor descuido, seremos apuñaleados por esosbandidos.

—¡Quémecuenta!–exclamóHassan—.Yonopodíaniimaginarquetalcosaocurriese.¡PorAlah!Voyahoramismoaresolveresecaso.

Volvíalcuarto,ymepuseafumartranquilo.

UnahoradespuésrecibíelsiguienterecadodeHassan:

“Todo está resuelto. Los tres asesinos fueron ejecutados sumariamente.Tara-Tir recibió 8 garrotazos, pagó una multa de 27 sequíes de oro y fueintimadoaabandonarlaciudad.”

MostrélacartadeHassanaBeremís.Graciasamieficienteintervención,podríamos,ahora,vivirtranquilosenBagdad.

—Es interesante –respondióBeremís—.Esas líneas escritas por nuestrobuenamigoHassanmehacenrecordarunacuriosidadnuméricarelativaalosnúmeros1,8y27.

Y como viese que yo demostrara sorpresa al oír aquella observación, élconcluyó:

—1, 8 y 27 son los únicos números que son cubos perfectos e iguales,también,alasumadelosaguarismosdesuscubos.Porejemplo:

13=1

83=512

273=19.683

Lasumadelascifrasde512es8.

Lasumadelascifrasde19.683es27.2

— Es increíble, amigo mío –exclamé—. ¡Preocupado con los cubos ycuadrados, olvidas que estabas amenazado por el puñal de un peligrosoasesino!

—LaMatemática,bagdalí–respondió—ocupatantonuestraatenciónque,aveces,nosaislamosdetodoslospeligrosquenosrodean.

Enseguidamecontólosiguiente:

—CuandolaciudaddeSiracusafuetomadaporasaltoporlasfuerzasdeMarcelo,generalromano,sehallabaArquímedesabsortoenelestudiodeunproblema,paracuyasoluciónhabíatrazadounafigurageométricaenlaarena.Un legionario romano lo encontró y le ordenó comparecer anteMarcelo.Elsabiolepidióqueesperaseunmomento,parapoderconcluirlademostraciónqueestabahaciendo.Elsoldadoinsistióylotomóporunbrazo.

“Veadondepisa”–ledijoelgeómetra—.“Nomeborrelafigura”.Irritadopornoserinmediatamenteobedecido,elsanguinarioromano,conungolpedeespada,dejósinvidaalsabiomásgrandedetodoslostiempos.Marcelo,quehabíadadoórdenesenelsentidoqueserespetara lavidadeArquímedes,noocultó el pesar que sintió al saber lamuerte del genial adversario. Sobre latumbaquemandóerigir,hizograbarunaesferainscritaenuncilindro,figuraquerecordabaunodelosteoremasdelcélebregeómetra.

CAPÍTULOXXVI

Enelcualvamosporsegundavezalpalaciodelrey.Laextrañasorpresa.Lossietesabios.Ladevolucióndeunanillo.ElsabioMohadebeylaculturareligiosa.LasquincerelacionesnuméricassacadasdelCorán.Jesúsescitado19veces.UnerrordeBeremís.

Enlaprimeranoche,despuésdeRamadán, luegode llegaralpalaciodelcalifa, nos informó un viejo escriba, compañero de trabajo, que el soberanopreparabaunaextrañasorpresaanuestroamigoBeremís.

Seesperabaungranacontecimiento.Elcalculistaibaaserenfrentado,enaudiencia pública, a siete sabios famosos, tres de los cuales habían llegadodíasantesdelCairo.

¡Quéhacer!¡AlahurAcbar!Anteaquellaperspectiva,procurédarvaloraBeremís,haciéndolecomprenderqueéldebíatenerconfianzaensucapacidad,

tantasvecescomprobada.

El calculista me recordó un proverbio que oyera a su maestro No-Elin:“Quiennodesconfíadesínomerecelaconfianzadelosdemás.”

Entramosenelpalaciocongrandesaprensionesyunasombradetristeza.

LagrandeyrutilanteSaladeAudienciasprofusamenteiluminada,aparecíallenadecortesanosysheiksderenombre.

AladerechadelcalifasehallabaeljovenpríncipeCluzirSchá,convidadode honor, que se hacía acompañar por ocho doctores hindúes, ostentandolujosos ropajes de oro y terciopelo, y exhibiendo elegantes turbantes deCachemira.Alaizquierdadeltronosehallabanlosvisires,lospoetas,cadís,yelementosdelamásaltasociedaddeBagdad.Sobreunestrado,dondeveíanvarios cojines de seda, se hallaban los siete sabios que debían interrogar alcalculista.Aungestodelcalifa,elsheikNuredinZarurtomóaBeremísdeunbrazoylocondujocontodasolemnidad,hastaunaespeciedetribunaerigidaenelcentrodelricosalón.

Ungigantescoesclavonegrohizosonarpor tresvecesunpesado“gong”de plata. Todos los turbantes se inclinaron. Y así comenzó la singularceremonia.

Un “imman” tomo el Libro Santo y leyó, con una cadencia invariable,separandolentamentelaspalabras,laoraciónde“Fatihat”.

—¡EnnombredeAlah,Clemente,Misericordioso!

¡LoadoseaelOmnipotente,creadordetodoslosmundos!

¡LamisericordiaesenDiosatributosupremo!

¡NosotrosTeAdoramos,Señor,eimploramosTudivinagracia!

¡Condúcenosporelcaminoverdadero!¡PorelcaminodeaquellosquesoniluminadosybendecidosporTí!

Después que la última palabra del “imman” se perdió con su cortejo deecosporlasgaleríasdelpalacio,elreycaminódosotrespasos,separóydijo:

— ¡Ualá! Nuestro amigo y aliado, el príncipe Cluzir-el-din-MouberecSchá, señor de Laore yDelhi,me pidió proporcionara a los doctores de sucomitiva una oportunidad de admirar la cultura y la habilidad del geómetrapersa,secretariodelvisirIbraimMaluf.Hubierasidodescortésnoaccederaldeseo de nuestro ilustre huésped. Es por eso, que siete de losmás grandes“ulemas” del Islamvan a proponer sal calculistaBeremís cuestiones que serelacionen con la ciencia de los números. Si el sabe responder a todas laspreguntasrecibirá(asíloprometió)unarecompensatal,queloharáunodeloshombresmásenvidiadosdeBagdad.

EnesemomentovimosalpoetaIezidaproximarsealcalifa.

—ComendadordelosCreyentes–dijoelsheik—.Tengoenmipoderunobjetoquepertenecealcalculista.Setratadeunanilloencontradoenmicasaporunadelasesclavasdel“harén”.Quierodevolvérseloalcalculistaantesdeseriniciadalaimportantísimapruebaaquevaasometerse.Esposiblequesetrate de un talismán, y no deseo privarlo del auxilio de los recursossobrenaturales.

Permitióelmonarcaqueelanillofueseentregado,enesemismomomento,alcalculistaBeremíssemostróprofundamenteemocionadoalrecibirlajoya.Apesardeladistanciaaquemehallaba,pudenotarquealgunacosaserialeocurría en aquelmomento.Al abrir la pequeña cajita, sus ojos brillantes sehumedecieron. Supe después, que, conjuntamente con el anillo, la piadosaTelassimhabíacolocadounpapelenelcualBeremísleyóemocionado:

“Ánimo.ConfíaenDios.Rezoporti.”¿EstaríaenteradoelsheikIeziddeesemensajesecreto?

Hízose profundo silencio. El sabio designado para comenzar elinterrogatorio, se levantó. Era un anciano octogenario, de venerable figura;largabarbablancallegábalehastaelpecho.

—¿Quiénesaquelanciano?—preguntó,envozbaja,aunespectadordedelgadoybronceadorostroquesehallabaamilado.

— Es el célebre Mohadebe Ibagué—Abner—Raman –me respondió—.DicenqueconocemásdequincemillibrossobreelCorán.EnseñaTeologíayRetórica.

El sabio Mohadebe pronunciaba las palabras con un tono extraño ysorprendente,sílabaporsílaba,comosieloradorpusieseempeñoenmedirelsonidodesuvoz:

—Voyainterrogarle,calculista,sobreuntemadeindiscutibleimportanciaparalaculturadeunmusulmán.AntesdeestudiarlacienciadeunEuclidesode un Pitágoras, todo musulmán debe conoce profundamente el problemareligioso,pueslavidanopuedeconcebirsesiseapartadelaVerdadylaFe.Aquel que no se preocupa por los problemas de su existencia futura, por lasalvación de su alma y que desconoce los preceptos deDios, nomerece elcalificativodesabio.Quiero,porello,quenosdigas,enestemomento,ysinlamenorvacilación, quince referenciasnuméricas, notablesy exactas, sobre elCorán,ellibrodeAlah.

El silencio fue profundo. Se esperaba con ansiedad la respuesta deBeremís.Conunatranquilidadqueasombraba,eljovencalculistadijo:

—ElCorán,sabioyvenerable“mufti”,secomponede114suratas,delas

cuales 70 fueron dictadas en la Meca y 44 en Medina. Se divide en 611“aschrs”ycontiene6236versículos,deloscuales,7sondelprimercapítulo,“Fatihat”, y 8 del último, “Los hombres”. La suratamayor es la segunda yconstade280versículos.ElCoráncontiene46.439palabrasy323.670letras,cadaunadelascualesencierradiezvirtudesespeciales.Nuestrosagradolibro,cita elnombrede25profetas. Issa,hijodeMaría4, es citado19veces.Haycinco animales cuyos nombres fueron tomados como epígrafes de cincocapítulos: lavaca, laabeja, lahormiga, laarañayelelefante.La surata102tiene por título “La contestación de los números”. Ese capítulo del LibroSagradoesnotableporlaadvertenciaque,ensus5versículos,dirigealosquese preocupan por discusiones inútiles sobre números, que no tienenimportancia alguna en el progreso espiritual del hombre.Esos son los datossacadosdelLibrodeAlah,paracomplacernuestropedido.Hubo,noobstante,enlarespuestaqueacabodedar,unerrorquemeapresuroaconfesar.Envezde15referencias,cité16.

ConfirmóelsabioMohadebetodaslasreferenciasdadasporelcalculista;hastaelnúmerodeletrasleLibrodeAlah,fuedichosinelmenorerror.

CAPÍTULOXXVII

En el cual un sabio historiador interroga aBeremís.El geómetra que nopodíamirarelcielo.LaMatemáticaenGrecia.ElogiodeEratóstenes.

Aclarado el primer punto con todos sus detalles, el segundo sabio fueinvitado a interrogar aBeremís.Ese “ulema” era un historiador famoso queenseñara, durante veinte años, enCórdoba, y quemás tarde, por cuestionespolíticas, se trasladara al Cairo, donde residía bajo la protección del Califa.Eraunhombrebajo,cuyorostrobronceadoaparecíaenmarcadoenunabarbadecorteelíptico.

AsífuecomoelsabiohistoriadorsedirigióaBeremís:

—EnnombredeAlah,ClementeyMisericordioso.Seequivocanlosqueaprecianelvalordeunmatemáticopor lamayoromenorhabilidadconqueefectúalasoperacionesyaplicalasreglasbanalesdelcálculo.Amimaneradever, el verdadero geómetra es el que conoce, con absoluta seguridad, eldesenvolvimiento y el progreso de la Matemática a través de los siglos.Estudiar la Historia de la Matemática es rendir homenaje a los ingeniosmaravillososqueenaltecieranydignificaranlasantiguascivilizaciones,yque,por su labor y por su genio, pudieron revelar algunos de los profundos

misterios de laNaturaleza, consiguiendo, por la ciencia, elevar ymejorar lamiserablecondiciónhumana.NoscorrespondepueshonrarenlaspáginasdelaHistoriaalosgloriososantepasadosquetrabajaranparalaformacióndelaMatemática, y reseñar las obras que dejaran. Quiero, pues, calculista,interrogarte sobre un hecho interesante en la Historia de la Matemática:“¿Cuálfueelcélebregeómetraquesesuicidódedisgustopornopodermiraralcielo?”

Beremísreflexionóunosinstantesyexclamóderepente:

— Fue Eratóstenes, matemático oriundo de Cirenaica y educado, alprincipio,enAlejandríay,mástarde,enlaEscueladeAtenas,dondeaprendiólasdoctrinasdePlatón.

Ycompletandosurespuestaprosiguió:

EratóstenesfueelegidoparadirigirlagranbibliotecadelaUniversidaddeAlejandría, cargo que ejerció hasta el fin de sus días. A más de poseerinnumerablesconocimientoscientíficosyliterariosquelodistinguieronentrelos mayores sabios de su tempo, fue Eratóstenes, poeta, orador, filósofo ytambién atleta consumado.Basta decir quemereció el excepcional título de“pentatlos”, conferido en aquel tiempo al atleta que saliese vencedor en lascinco lunasde losJuegosOlímpicos.Greciasehallaba,enese tiempo,enelperíodoáureodesudesenvolvimientocientíficoyliterario.Eralapatriadelosaedos, poetas que declamaban, con acompañamiento de música, en lasrefecciones y reuniones de reyes y jefes, los célebres poemas homéricos,largas narraciones en verso de las hazañas de los héroes, formando unconjunto de rapsodias en que las costumbres, las lenguas y las creencias sedescriben con admirable simplicidad de expresión, justeza de detalles ysinceridaddesentimientos.BrillóenGreciaelalmagrandedeSócrates,quien,habiéndosededicadoenlamocedadaestudiosdeFísicayAstronomía,sufriómás tarde la influencia del teísmo filosófico deAnaxágoras, creando la leydominantedetodasufilosofía:elBien,consideradocomoefectoesencialdela inteligencia y de la ciencia.Combatiendo la falsa retórica y los sofismas,que enseñaban el arte de razonar y de sustentar indiferentemente todas lasopiniones,SócratestomólamoralcomobasedelaFilosofía,encabezandosuspreceptos con el célebre aforismo: “Conócete a timismo”, que se leía en elfrentedeltemplodeDelfos.

No es exceso de detalles, el comentar que entre los griegos de cultura yvalor, el sabio Eratóstenes era considerado como un hombre extraordinario,que tiraba la jabalina, escribía poemas, vencía a los grandes corredores yresolvía problemas de Astronomía. Eratóstenes legó a la posteridad variasobras.Presentó al reyPtolomeo III deEgipto, una tabla denúmerosprimoshechos sobreunaplanchametálica, en la cual losnúmeros compuestos eran

marcadosconunpequeñoagujero.Diósele,poreso,elnombrede“CribadeEratóstenes”alprocedimientoqueutilizaraelastrónomogriegoparaformarsutabla de números primos. Como consecuencia de una oftalmia, que se ledeclararaduranteunviajeaorillasdelNilo,Eratóstenesquedóciego.Él,quecultivara laAstronomía, se hallaba impedido demirar al cielo y admirar labellezaincomparabledelfirmamentoenlasnochesestrelladas.

¡Laluzeternade“Suhhel”nopodríavencerjamásaquellanubenegraquecubríasusojos!

Amargadoportangrandedesgraciaynopudiendoresistiraldisgustoquelecausaralaceguera,elsabiosesuicidó,dejándosemorirdehambre.

—¡Oh!–exclamóel califa—.Nomepreciode saber si esa respuestaesmáscompletaquelaprimera.

Yponiendosumanosobreelhombrodelpríncipe,añadió:

—Vamos a ver, ahora, si el tercer contendor consigue vencer a nuestrocalculista.

CAPÍTULOXXVIII

EnelcualeltercersabiointerrogaaBeremís.Lafalsainducción.Comosehalla la raíz cuadradade 2025.Beremís demuestra comounprincipio falso,puedesurgirdeejemplosverdaderos.

El tercer sabio que debía interrogar aBeremís, era el célebre astrónomoAbu-Ihasan-Ali1, deMarruecos, venido a Bagdad invitado por el califaAl-Motacen.Eraalto, flaco,y teníael rostrosurcadodearrugas.Ensumuñecalucíaunagranpulseradeoro,dondedicenquesehallabangrabadastodaslasconstelacionesdelZodíaco.

El astrónomoAbulhasan se dirigió a Beremís. Su voz baja y cavernosasonabagravemente:

—Lasdosrespuestasque terminasdeformularprueban,BeremísSamir,que posees sólida cultura. Hablas de la ciencia de Grecia con la mismafacilidadconquecuentaslasletrasdelLibroSagrado.Eneldesenvolvimientodelacienciamatemática,lapartemásinteresanteeslaqueindicalaformaderaciocinioquenosconducealaverdad.Unacoleccióndehechosestátanlejosdeserunaciencia,comounmontóndepiedrasdeserunacasa.Puedoafirmar,igualmente,quelascombinacionesinteligentesdehechosinexactos,oquenohayansidoverificados,almenosensusconsecuencias,sehallantanlejosde

formarunaciencia,comounespejismodesustituir,eneldesierto,lapresenciarealdeunoasis.LaCienciadebeobservarhechosparadeellosdeducirleyes;con el auxilio de éstas, prever otros hechos y mejorar las condicionesmaterialesdelavida.Todoestoescierto;mas,¿cómodeducir laVerdad?Sepresenta,pues,lasiguienteduda:

—¿Esposible,enMatemática,deduciruna regla falsadeunapropiedadverdadera? Quiero conocer tu respuesta, ilustrada con un ejemplo simple yperfecto.

Beremísmeditólargoratoyluego,saliendodesurecogimiento,respondió:

— Admitamos que un algebrista curioso desease determinar la raízcuadradadeunnúmerodecuatrocifras.Sabemosquelaraízcuadradadeunnúmeroesotronúmeroque,multiplicadoporsimismo,daunproductoigual,alnúmerodado.

Vamosasuponer, sinembargo,queelcalculista,alescoger losnúmeros,hicierarecaersuelecciónenlosnúmeros:2025,3025,9801.

Iniciemos la resolución del problema por el número 2025. Hechos loscálculosparaesenúmero,elinvestigadorhallaríaquelaraízcuadradaes45.Enefecto:45veces45esiguala2025.Ahorabien:comosepuedeverificar,45 se obtiene por la suma de 20 + 25, que son parte del número 2025,descomponiéndolopormediodeunpunto20.25.

Lomismoverificaríaelalgebristaparaelnúmero3025,cuyaraízcuadradaes55.2Esconvenientehacernotarque55es lasumade30+25,partesdelnúmero30.25.

Idéntica propiedad se verifica con respecto al tercer número, 9801, cuyaraízcuadradaes99,estoes,98+01.

Frente a esos tres caos, el desprevenido algebrista podría enunciar lasiguienteregla.

“Paracalcularlaraízcuadradadeunnúmerodecuatrocifrassedivideesenúmeroporunpunto, endosgruposdedos cifras cadauno, sumándose losgrupos así formados. La suma obtenida será la raíz cuadrada del númerodado.”

Esa regla, visiblemente equivocada, fue deducida de tres ejemplosverdaderos. Es posible llegar a la verdad, en Matemática, por simplesobservaciones; no obstante son necesarias precauciones esenciales para nocaerenla“falsainducción”.

El astrónomo Abulhasan, sinceramente en cantado con la respuesta deBeremís, declaró que nunca había oído sobre la importante cuestión de la“falsainducciónmatemática”explicacióntaninteresanteysencilla.

A continuación se paró el cuarto sabio y se preparó para formular supregunta.

Nunca olvidaré su erguida y venerable figura, ni dejaré de recordar sumiradaserenaybondadosa.Caminóhastaelextremodelestradoyasíhablóalsultán:

— Para que mi pregunta pueda ser bien interpretada, necesito aclararlacontandounaantigualeyendapersa.

—Cuéntala,¡ohsabioelocuente!–respondióelcalifa—.Estamosansiososdeoírte.

Cruzó el sabio lasmanos sobre el pecho y con voz firme y cadenciosa,comoelandardeunacaravana,contólosiguiente:

CAPÍTULOXXIX

Enelcualoímosunaantigualeyendapersa.Lomaterialyloespiritual.Losproblemas humanos y trascendentales. La famosa multiplicación. El sultánreprimeconenergía,laintoleranciadelossheik.

EraunavezunreyquedominabaenPersiayenlasplaniciesdeIrán.Esepoderoso monarca oyó decir a un derviche, que un verdadero sabio debíaconocer con absoluta perfección la parte espiritual y la partematerial de lavida.

¿QuéhizoelreyAstor?Valelapenarecordarlaformacomoprocedióelpoderosomonarca.

Mandó llamar a los tresmásgrandes sabios dePersia, le entregó a cadaunodeellosdosdenariosdeplataylesdijo:

—Hayenestepalaciotressalasigualmentevacías.Cadaunodevosotrosdeberá llenarunasala,nopudiendoemplearenesa tareamásdinerodelqueacabodeconfiaracadauno.

Elproblemaera,realmente,difícil.Cadasabiodebíallenarunasalavacíagastandoapenaslainsignificantesumadedosdenarios.

Los sabios partieron a cumplir la misión que les había encomendado elcaprichosoreyAstor.

Horasdespuésregresaronalasaladeltrono.

Elrey,interesadoenlasolucióndelenigma,losinterrogó.

Elprimerodijo:

— Señor, gasté dos denarios, y la sala que me corresponde quedócompletamentellena.Misoluciónfuemuypráctica.Comprévariasbolsasdehenoyconélllenelahabitacióndesdeelsuelohastaeltecho.

— ¡Muybien! –exclamó el rey—.Vuestra solución, simple y rápida, hasido realmente muy bien concebida. Conoces, a mi modo de ver, la “partematerial de la vida”, y bajo ese aspectopuedes encarar todos los problemasqueunhombredebeenfrentarsobrelatierra.

Acontinuación,elsegundosabiohablóasí,despuésdesaludaralrey:

En el desempeño de la tarea que me fuera encomendada, gasté apenasmediodenario.

Explicarécómoprocedí.Compréunavelaylaencendíenmediodelasalavacía.Ahora,¡ohrey!,puedesobservarla.Estállena,enteramentellenadeluz.

—¡Bravo!–accedióelmonarca—.Descubristeunasoluciónbrillanteparael problema, la luz simboliza la parte espiritual de la vida.Vuestro espíritu,sacoenconclusión,escapazdeencarar todoslosproblemasdelaexistenciadesdeelpuntodevistaespiritual.

Llegófinalmente,altercersabioelturnodehablar.Heaquícomoresolviólasingularsituación:

Pensé al principio, ¡oh rey del Tiempo!, en dejar la sala entregada amicuidado,exactamentecomosehallaba.Erafácildeducirque lasalareferida,ahora cerrada, no estaba vacía, pues es evidente que estaba llena de aire ypolvo.Noquise, sin embargo, permanecer ocioso,mientrasmis dos colegasdiscurrían con tanta inteligencia y habilidad. Decidí accionar yo también.Tomé,pues,unpuñadodehenodelaprimerasala,quemésehenoconlavelaquesehallabaenlaotra,y,conelhumoquesedesprendía,llenéenteramentelatercerasala.Esinútilañadirquenogastélamenorcantidaddeldineroquemefueentregado.

— ¡Admirable! –exclamó el rey Astor—. Sois el más grande sabio dePersia,ytalvezdelmundo.Sabéisreunirconhabilidadmesurada,lomaterialyloespiritualparalograrlaperfección.

Terminadalanarración,elsabiosevolvióaBeremís,aquiendijo:

—Esmideseo,calculista,verificarsí,asemejanzadel tercersabiodelaleyenda,erescapazdereunirlomaterialyloespiritual,yllegararesolvernosólolosproblemashumanos,sinotambiénlascuestionestrascendentales.Mipregunta es, por lo tanto, la siguiente: “¿Cuál fue la famosamultiplicación,recordadaenlaHistoria,multiplicaciónquetodosloshombrescultosconocen,yenlacualfiguraunsolofactor?”

Esainopinadapreguntasorprendió,yconrazón,alosilustresmusulmanes.Algunos no disimularon pequeños gestos de desagrado e impaciencia. Un“cadi”obeso,ricamentevestido,quesehallabaamilado,murmuró,irritado:

—¡Esonotienesentido!¡Esundisparate!

Beremíspermaneciólargoratomeditabundo.

— La única multiplicación famosa, con un solo factor, citada por loshistoriadoresyquetodosloshombrescultosconocen,eslamultiplicacióndelospaneshechaporJesús,hijodeMaría.Enesamultiplicaciónsólofiguraunfactor:¡elpodermilagrosodelavoluntaddeDios!

Algunos musulmanes intolerantes, se miraron espantados. Hubomurmullos.Elcalifaexclamóconenergía:

— ¡Silencio! Veneremos a Jesús, hijo deMaría, cuyo nombre es citadodiecinuevevecesenelLibrodeAlah.

Yacontinuación,dirigiéndosealquintosabio,añadióplácidamente:

—Aguardamosvuestrapregunta,¡ohsheik!

Al oír esas palabras, el quinto sabio se levantó como si fuese impulsadopor un resorte. Era un hombre bajo, grueso, de blanca cabellera. En vez deturbante usaba un pequeñísimo gorro verde. Al hablar lo hacía en formaarrebatadaynerviosa.

—Elvalordeunsabio–comenzócontétricaentonación—sólopuedesermedido por el poder de su imaginación.Números tomados al acaso, hechoshistóricosrecordadosconoportunidadyprecisión,puedentenermomentáneointerés,masalcabodealgúntiempocaenenelolvido.¿Quiéndenosotrosseacuerda ahora del número de letras del Corán? Hay números, palabras,nombresyobrasqueestán,porsupropianaturalezayfinalidad,condenadosairremediableolvido.Voy,porlotanto,aconvencermedelvalorylacapacidaddel calculista persa preguntándole una cuestión que no tiene que ver conproblemas que exijan memoria o habilidad de cálculo. Quiero que elmatemático Beremís Samir nos cuente una leyenda en la cual aparezcaindicadaunadivisiónde3por3,peronoefectuada,yotrade3por2,indicadayefectuadasindejarresto.

Beremís se quedó mudo, como si la inesperada pregunta del sabio loatolondrase. Era preciso tener la suerte de recordar, en el momento, unaleyendaqueencerrasedosdivisionesnuméricas.

Despuésdealgunosinstantesdeazarosorememorarelcalculistainiciólasiguientenarración.

CAPÍTULOXXX

EnelcualBeremísnarraunaleyenda.Eltigresugiereladivisiónde3por3.Elchacalindicaladivisiónde3por2.Enelcualelchacalsequedaconelresto de la división. Como se calcula el cociente en laMatemática delmásfuerte.

EnnombredeAlah,ClementeyMisericordioso.

El león,el tigreyelchacal,abandonaron,ciertavez, lagrutasombríaenque vivían, y salieron en peregrinación amistosa, a recorrer el mundo, enprocuradealgunaregiónricaenrebañosdetiernasovejas.

Enmediodelaselva,elleón,quedirigía,naturalmente,elgrupo,sesentó,fatigado, sobre sus patas traseras, e irguiendo su enorme cabeza soltó unrugidotanfuerte,quehizoestremeceralosárbolesmáspróximos.

El tigre y el chacal semiraron asustados.Aquel rugido amenazador conque el peligroso monarca, de oscura cola y garras invencibles, turbara elsilenciodelbosque, traducidoaun lenguajealalancede todos losanimales,queríadecir,lacónicamente:“—Estoyconhambre.”

—Vuestra impaciencia es perfectamente justificable (observó el chacal,dirigiéndosehumildementealleón).Osaseguro,sinembargo,queconozco,enestafloresta,unatajomisterioso,delcuallasfierasnotuvieronnuncanoticia.Porelpodríamos llegar, con facilidad, aunpequeñopobladocasi en ruinas,donde la caza es abundante, fácil, al alcance de las garras, y exenta decualquierpeligro.

—Vamos,chacal–dijodeprontoelleón—;quieroconoceryadmirareseadorablelugar.

Alcaerdelatarde,guiadosporelchacal,llegaronlosviajerosaloaltodeun monte no muy elevado, desde donde se divisaba una pequeña y verdeplanicie.

Enmediodelvallesehallabandescuidados,ajenosalospeligrosquelosamenazaban,trespacíficosanimales:unaoveja,uncerdoyunconejo.

Al avistar la fácil presa, el león sacudió la abundante melena en unmovimientodeincontenidasatisfacción.Yconlosojosbrillantesdegula,sevolvióhaciaeltigreygruó,contonoposiblementeamistoso:

—¡Oh, tigreadmirable!Veoallí treshermososysabrososmanjares;unaoveja,uncerdoyunconejo.Tú,queereslistoyexperto,debessaberdividircon talento tres entre tres. Haz, pues, con justicia y equidad, esa operación

fraternal:dividirtresentretrescazadores.

Lisonjeado con semejante proposición, el vanidoso tigre, después deexpresar con visos de falsa modestia su incompetencia y su poco valor,respondióasí:

— La división que generosamente acabáis de proponer—¡oh rey!— esmuysimpleysepuedehacerconbastantefacilidad.Laoveja,queeselmayordelostresbocados,yelmássabroso,y,sinduda,capazdesaciarelhambredeungrupodeleonesdeldesierto,ostocaporderecho.Aquelcerdoflaco,sucioymaloliente,quenovaleunapiernade lahermosaoveja, seráparamí,quesoymodestoyconbienpocomeconformo.Y,finalmente,aquelminúsculoydespreciableconejo,de reducidascarnes, indignodelpaladar refinadodeunrey, corresponderá a nuestro compañero el chacal, como recompensa por lavaliosaindicaciónquehacepoconosproporcionó.

— ¡Estúpido, egoísta! –rugió, enfurecido, el león, llenode indescriptiblefuria—.¿Quiénteenseñóahacerdivisionesdeesamanera?¿Dóndevisteunadivisióndetresportres,hechadeesemodo?

Y, levantando supesadapata, descargó sobre la cabezadel desprevenidotigretanviolentogolpe,quelotirómuertoaalgunospasosdedistancia.

Enseguidasevolvióalchacal,queasistieraaterradoaaqueltrágicofinaldeladivisióndetresportresyasílehabló:

—Miqueridochacal.Siempretuvedetuinteligenciaelmásaltoconcepto.Sequeereselmás ingeniosoybrillantede losanimalesde la floresta,ynoconozcootroquepuedaaventajarteenlahabilidadconquesabesresolverlosmásintrincadosproblemas.Teencomiendo,pues,elhaceresadivisiónsimpley banal, que el estúpido tigre (como ya acabaste de ver) no supo efectuarsatisfactoriamente.¿Estásviendo,amigochacal,aquellosapetitososanimales:la oveja, el cerdo y el conejo? Pues bien: dividirás las tres piezas entrenosotros dos. ¡Nadamás sencillo quedividir tres por dos!Haz los cálculos,puesdeseosaberquécocienteexactomecorresponde.

—NosoymásqueunhumildeyrudosiervodeVuestraMajestad–dijoelchacal,entonohumildísimoderespeto—.Debo,pues,obedecerciegamentelaordenque acabode recibir.Voy adividir, como si fueraun sabiogeómetra,aquellastrespiezasentrenosotrosdos.Ladivisiónmatemáticamenteexactaesla siguiente. La admirable oveja, manjar digna de un soberano, es paravuestrosrealescaninos,puesesindiscutiblequesoiselreydelosanimales;elbello cerdo, del cual oigo los armónicos gruñidos, debe ser también paravuestrorealpaladar,pues,segúndicen losentendidos, lacarnedepuercodamásfuerzayenergíaalosleones;yelinquietoconejo,consuslargasorejas,debe ser saboreado por vos, como sobremesa, ya que a los reyes, por ley

tradicional entre los pueblos, les pertenecen, de los opíparos banquetes, losmanjaresmásfinosydelicados.

—¡Chacalincomparable!–exclamóelleón,encantadoconelrepartoqueacababadeoír—.¡Quéagradablesysabiassontuspalabras!¿Quiénteenseñóese artificiomaravilloso para dividir con tanta perfección y acierto, tres pordos?

—Es zarpazo con que vuestra justicia castigó, hace un instante, al tigrearroganteyambicioso,meenseñóadividirconcertezatrespordoscuandodeesosdosunoesel leónyotroel chacal.En lasmatemáticasdelmás fuerte,pienso que el cociente es siempre exacto, y al más débil, después de ladivisión,nielrestoledebetocar.

Y,desdeesedíaenadelante,haciendosiempredivisionesdeesamanera,inspiradas en el más torpe servilismo, vivió el astuto chacal su vida de viladulador,regalándoseconlosdesechosquedejabaelleón.

—Heaquí,elocuente“ulema”—concluyóBeremís—,unaleyendaenlacualaparecendosdivisiones.Ladivisiónde3por3fueapenasindicada,ylaotra,de3por2,efectuadasindejar“resto”.

Quedó encantado el sultán al oír la admirable fábula contada por elcalculista.

Ordenóquela“Divisióndetresportres”fueseconservadaenlosarchivosdel califato, pues la narración de Beremís, por sus elevadas finalidadesmoralesmerecíaserescritaconletrasdeoroenlasalastransparentesdeunamariposablancadelCáucaso.

Y,acontinuación,tomólapalabraelsexto“ulema”.

Elsextosabioerauncordobés.HabíavividoquinceañosenEspañaydeallá había huido por haber caído en desgracia con un príncipe musulmán.Hombre de media edad, de cara redonda y fisonomía franca y sonriente,decían de él sus admiradores que era muy hábil para escribir versoshumorísticososátirascontralostiranos.

—¡Emir del Mundo!— comenzó el cordobés, dirigiéndose al sultán—.Acabodeoírconverdaderoplaceresaadmirablefábulaintitulada“Ladivisióndelpersa”.Encierraella,amimododever,grandesenseñanzasyprofundasverdades.Verdadesclarascomolaluzdelsolenlahorade“edduhhr”.Meveoobligadoaconfesarquelospreceptosmatemáticostomanformavivacuandosonpresentadosbajolaformadefábulasodehistorias.Conozcounaleyendaquenocontienedivisiones,cuadradosofracciones,masencierraunproblemadeLógica, posible de resolver con un razonamiento puramentematemático.Contada la historia, veremos como podrá el eximio calculista resolver el

problemaenellacontenido.

Yelsabiocordobéscontólosiguiente:

CAPÍTULOXXXI

En el cual el sabio cordobés cuenta una leyenda. Los tres novios deDahizé. El problema de los cinco discos. Como Beremís reprodujo elraciociniodeunnoviointeligente.

Aasudi,elfamosohistoriadorárabe,habla,enlosveintidósvolúmenesdesuobra,delossietemares,delosgrandesríos,deloselefantescélebres,delosastros,delasmontañas,delosdiferentesreyesdeChinaydemilotrascosas,ynohacelamenorreferenciaaDahizé,hijaúnicadelreyCassim,el“Indeciso”.No importa. A pesar de todo, Dahizé no será olvidada, pues entre losmanuscritos árabes antiguos fueron encontrados más de cuatrocientos milversos en los cuales centenares de poetas loabany exaltaban los encantos yvirtudesdelahermosaprincesa.LatintautilizadaparadescribirlabellezadelosojosdeDahizé,transformadaenaceite,alcanzaríaparailuminarlaciudaddelCairodurantemediosiglo.

—¡Quéexageración!,—diréis.

Noadmito laexageración,hermanode losárabes.Laexageraciónesunaformadisfrazadadementir.

Pasemos,sinembargo,alcasoquenosinteresa.

CuandoDahizé cumplió 18 años de edad, fue pedida enmatrimonioportres príncipes cuyos nombres perpetuó la tradición: Aradín, Benefir yCamozan.

El rey Bassin quedó indeciso. ¿Cómo elegir entre los tres ricospretendientes, aquel que sería el novio de su hija? Hecha la elección, laconsecuenciainevitableseríaqueél,elrey,ganaríaunyerno,pero,encambio,seharíadedosrencorososenemigos.Malnegocioparaunmonarcasensatoyprudente,quedeseabavivirenpazconsupuebloysusvecinos.

Consultada la princesa Dahizé, declaró que se casaría con el másinteligentedesusadmiradores.

LadecisióndelajovenfuerecibidaconalegríaporelreyCassim.Elcaso,queparecíatancomplicado,tenía,sinembargo,unasoluciónmuysimple.ElsoberanoárabemandóllamaracincodelosmásgrandessabiosdelaCorteylesdijoquesometiesenalospríncipesaunrigurosoexamen.

Terminadas las pruebas, los sabios presentaron al rey un minuciosoinforme.Lostrespríncipeseraninteligentísimos.ConocíanprofundamentelaMatemática, Literatura, Astronomía y Física; resolvían complicadosproblemas de ajedrez, cuestiones sutilísimas de Geometría, enigmasarrevesadosyoscurascharadas.

— No hallamos medio alguno –concluyeron los sabios— que nospermitiesellegaraunresultadodefinitivoafavordeunoodeotro.

Frenteaeselamentablefracasodelaciencia,resolvióelreyconsultaraundervichequeteníafamadeconocerlamagiaylossecretosdelocultismo.

Elsabiodervichedijoalrey:

— Sólo conozco un medio que permitirá determinar cuál es el másinteligentedelostres.Eslapruebadeloscincodiscos.

—Hagamos,pues,esaprueba–accedióelrey.

Lospríncipes fueron llevadosalpalacio.Elderviche,mostrándolescincodiscosdecartón,lesdijo:

— He aquí cinco discos, dos de los cuales son negros y tres blancos.Observenquesondelmismotamañoydelmismopeso,yquesolodifierenenelcolor.

A continuación un paje vendó cuidadosamente los ojos de los trespríncipes,impidiéndolesasíverlamenorluz.

El viejo derviche tomó entonces al azar tres de los cinco discos y losprendióalaespadadelostrespríncipes.

Dijoentonceselderviche:

—Cadaunodevosotrosllevaacuestasundisco,cuyocolorignora.Seréisinterrogadosunoauno.Aquelquedescubraelcolordeldiscoquelecupoensuerte, será declarado vencedor y se casará con la lindaDahizé. El primeroque sea interrogado podrá ver los discos de los otros dos concursantes; alsegundoleserápermitidovereldiscodelúltimo.Estetendráqueformularlarespuesta sin ver disco alguno.Aquel que formule la respuesta exacta, paraprobarquenofuefavorecidoporelazar,tendráquejustificarlapormediodeunrazonamientoriguroso,metódicoysimple.¿Cuáldevosotrosdeseaserelprimero?

RespondióprontamenteelpríncipeCamozan:

—Quieroserelprimeroenresponder.

El paje retiro la venda que cubría los ojos del príncipeCamozan, y estepudo ver el color de los discos que se hallaban sobre las espaldas de sus

rivales.

Interrogado, en secreto, por el derviche, no acertó en su respuesta. Fuedeclaradovencido,ydebióretirarsedelasala.

Elreyanuncióenvozalta,afindepreveniralosotrosdos:

—EljovenCamozanacabadefracasar.

—Quieroserelsegundo–dijoelpríncipeBenefir.

Desvendadoslosojos,elpríncipeviolaespaldadesucompetidoryvioelcolordesudisco.

Aproximósealdervicheyledijoensecretosurespuesta:

El derviche sacudió negativamente la cabeza. El segundo príncipe habíaerrado,yfue,porconsiguiente,invitadoadejarelsalón.

Quedabaaúneltercerconcursante,elpríncipeAradín.

Este, luego que el rey anunció la derrota del segundo pretendiente, seaproximó al trono, con los ojos vendados, y dijo en voz alta el color de sudisco.

Elsabiocordobés,dirigiéndosealcalculista,lepreguntó:

— Deseo saber cual fue la respuesta del príncipe Aradín y cuál elrazonamientohechoporelpríncipe,que lo llevóa resolverconseguridadelproblemadeloscincodiscos.

Beremís,congraveseriedadysinintimidarse,hablóasí:

—ElpríncipeAradín,elhéroedelacuriosaleyendaqueacabamosdeoír,afirmó al reyCassim: “Mi disco es blanco”.Y para llegar a esa conclusiónhizo,conseguridad,elsiguienterazonamiento:

III

Negro(Benefir)

Blanco(Benefir)

Negro(Yo)

Negro(Yo)

IIIIV

Blanco(Yo)

Blanco(Yo)

Negro(Benefir)

Blanco(Benefir)

En esas diversas hipótesis no fue incluido, por no interesar alrazonamiento, el color del disco del príncipe Camozan, primer concursanteinterrogado.

I,hipótesis.—Negro(Benefir);Negro(Yo).

DiríaelpríncipeAradin:

“Admitida la primera hipótesis, esto es, simi disco fuera negro y el deBenefirnegro,elprimerconcursantenohabríaerrado.Enefecto:viendodosdiscosnegros,sabría(conabsolutacerteza)quesudiscoerablanco,yhabríarespondidoacertadamente.”

Ahorabien:sielprimeroseequivocófueporquetuvodudas,y,ellosóloseríaposiblesielhubieravistoundisconegroyotroblanco,odosblancos.Esevidente que la hipótesis I no es aceptable y debe ser, por consiguiente,desechada.

Quedan,porlotanto,lashipótesisII,IIIyIV.

II,hipótesis.Negro(Yo);Blanco(Benefir).

DiríaenestecasoelpríncipeAradín:

“AdmitamosquelahipótesisIIfueseverdadera;estoes,vamosasuponerqueeldisco (A) fuesenegro,y eldisco (B),deBenefir, blanco.ElpríncipeBenefir, que esmuy inteligente, sabiendo envirtuddel razonamiento (comoconsecuenciadelerrordelprimero),quenuestrosdiscosnopodíansernegros(como ya probé), concluiría diciendo que el de él era blanco, y habríaacertado.SiBenefirerró,fueporquetuvodudas,yesadudasolopodríasurgirdelhechodehabervistoenmisespaldasundiscoblanco.”

“DesechadalahipótesisII,comoacabodeprobar,sóloquedanlasIIIyIV.Encualquieradelasdoshipótesis,midiscoesblanco.”

— Es ese, ¡oh sabio! –concluyó Beremís— el razonamiento que habríahechoelpríncipeAradínparadescubrir,conabsolutaseguridad,elcolordesudisco.

CAPÍTULOXXXII

En el cual Banabixacar interroga a Beremís. Alí Babá y los cuarentaladrones. ¡Cuarenta! ¿Por qué? Cuál es el significado simbólico de esenúmero.Elproblemadelapiedrade40“artales”.

El séptimo y último sabio que debía interrogaraBeremís, era una de lasfigurasmásextraordinariasdelIslam.Erageómetrayastrónomo,ysellamabaMohildin IhaiaBanabixacar.Sunombre estaba escrito en cincomezquitas ysuslibroseranleídoshastaporlos“roumis”.EraimposibleencontrarbajoelcielodelIslam,inteligenciamáspoderosayculta,mássólidayvasta.

EleruditoBanabixacar,consumaneraclaraeimpecable,hablóasí:

— Entre las leyendas más famosas citan los narradores la admirablehistoria intitulada “Alí Babá y los Cuarenta Ladrones”. ¿Ese número“cuarenta”habríasidoelegidoalacaso,ofueelegidoenvirtuddeprincipiooleyexclusivamentematemática?¿Quérelaciónhabráentreelnúmerocuarentaylos“ladrones”?

Lacuestiónpropuestaeradificilísimaydelicada.LarespuestadeBeremís,sin embargo, no se hizo esperar. El calculista persa habló de la siguientemanera:

— Los ladrones que figuran en la aventura del leñador Alí Babá, soncuarenta. Desde el punto de vista matemático, presenta este número unaparticularidadmuycuriosa,quejustifica,plenamente,lapreferenciadadaporlos narradores antiguos. ¡Cuarenta! ¿Qué hacían los ladrones para juntarriquezas y con ellas llenar la caverna? Ellos robaban, es decir, “sustraían”.Cada robo correspondía a una sustracción. Una vez cometido el robo, losladronesdelacuadrillajuntabanlosobjetosrobados;taloperaciónequivaleaunasuma,osea,aunaadición.¿Quéhacíanpueslosladronesdelaleyenda?Sumabanysustraían.Puesbien:elnúmerocuarentaeselmayornúmeroque,descompuestoencuatropartesdesiguales,permiteformarconesaspartes,pormediodesumasysustracciones,todoslosnúmerosenterosdesde1hasta40.Esascuatropartes,quesepresentanenprogresióngeométrica(siendolarazóniguala3),son:

1,3,9,27

Así:

1=1

21=27–9+3

2=3–1

22=27–9+3+1

3=3

23=27–3–1

4=3+1

24=27–3

5=9–3–1

25=27–3+1

6=9–3

26=27–1

7=9–3+1

27=27

8=9–1

28=27+1

9=9

29=27+3–1

10=9+1

30=27+3

11=9+3–1

31=27+3+1

12=9+3

32=27+9–3–1

13=9+3+1

33=27+9–3

14=27–9–3–1

34=27+9–3+1

15=27–9–3

35=27+9–1

16=27–9–3+1

36=27+9

17=27–9–1

37=27+9+1

18=27–9

38=27+9+3–1

19=27–9+1

39=27+9+3

20=27–9+3–1

40=27+9+3+1

Eso demuestra que los números, desde 1 hasta 40, pueden ser formadosconloscuatroelementos1,3,9y27enquefuedescompuestoelnúmero40.

En las cuarenta relaciones que acabo de formar, podemos observar lassiguientesparticularidades:

I)Laprimeracomienzapor1;lastressiguientespor3;lasnuevesiguientespor9;las27siguientespor27;

II)Cadaunodeloscuatroelementos(1,3,9y27)figura27vecesenlascuarentadiferentesrelaciones.

Existeotroproblemaya estudiadopor losmatemáticosdel tiempodeAlCarisma,ycuyasoluciónsebasaenesamismapropiedaddelnúmero40.

Eseproblemaeselsiguiente:

Un mercader tenía una piedra que pesaba 40 “artales”. Cierta vez esapiedra se cayóy se partió en cuatro pedazos, causandogran contrariedad almercader.Un calculista, que se hallaba presente, pasó los cuatro pedazos ydijoalmercader:“Esunadivisiónconveniente.

Conesoscuatropedazospodráshacercualquierpesajedesde1hasta40.”

Sepregunta:¿Cuántopesabanlos4fragmentosdepiedra?

Lasoluciónesdadaprecisamenteporlosnúmeros1,3,9y27.

Con esos cuatro pesos se puede hacer cualquier pesaje (en unidadesenteras)desde1hasta40.

Elpesode14“artales”,porejemplo,seríaobtenidocolocandoelpeso27enunodelosplatosdelabalanza,ylosotrostresfragmentosmenoresenelotroplato.Ladiferenciadepesoes14“artales”.

Las cuatro partes en que fue descompuesto el número 40, son, como yadije, potencias de 3. Este número aparece (y la circunstancia es digna dehacersenotar)encasitodoslosepisodiosdelaleyendadeAlíBabá.

Cuandoelpobreleñadordescubriólagrutadelosladrones,conducíatresburros cargados de leña; con ayuda de esos tres burritos trajo a su casa utesorofabuloso.Todavíamás:tresladronesdelacuadrillafueronmuertosporel jefe, al haber sido engañados por Luz Nocturna, que era la esclavapredilectaypreferidadeAlíBabá.

ElenvidiosoCassim,hermanodeAlíBabá,sorprendidoenelinteriordela

gruta, fue muerto por los ladrones y su cuerpo dividido en 6 pedazos. Elnúmero6eseldoblede3,cuyasprimeraspotenciassuman40.(30+31+32+33=40.)

Haytambiénconrespectoalafrasemágica,“Ábrete,sésamo”,quehabríalagrutaencantada,relacionesnuméricasdignasdeobservar.

Otroproblemafamosoenelcualapareceelnúmero40,eselsiguiente:

“ElhistoriadorJosefo,gobernadordeGalilea,queresistióheroicamentelaslegionesdeVespasiano,siendovencidoalfinal,serefugióenunacavernaconcuarentapatriotasjudíos.Sitiadospor los romanos,prefirieronmatarse todosantesdeentregarsealosenemigos.Formandorueda,contaban1,2y3,ycadaunodelosqueletocabaelnúmero3eramuerto.¿Enquélugarcorrespondíaestar a Josefo para escapara a esta horrible matanza?” La solución de esteproblemapuedeobtenersefácilmenteconayudadeunesquemapráctico:bastaescribir en círculo 41 números y, comenzando a contar por el primero, irtachandoconuntrazocadatreslugares.

Después de terminar toda la rueda, continuar delmismomodo, pero sintomar en cuenta los números ya tachados, porque estos pasan a serconsiderados soldados muertos. Terminado el trabajo, se ve que solo dosjudíos se salvaronde aquellamasacre: fueron los que se encontraban en loslugares 16 y 31. Uno de esos lugares privilegiados lo escogió para sí elgobernadorJosefo,elcualenvezdemataralcompañeroysuicidarsedespués,prefirióentregarsecontodaslasgarantíasaVespasiano.

El número 40 aparece entre las tradicionesmás notables de los judíos ycristianos.Creo,sinembargo,haberexplicadosuficientementelasignificaciónsimbólicadelnúmerocuarentaenunadelasleyendasmásfamosasdenuestroinmensotesoroliterario.

CAPÍTULOXXXIII

EnelcualBeremíshabladelosproblemasimposibles.Eldobledelcubo.Latriseccióndelángulo.Lacuadraturadelcírculo.Elnúmero22yelcírculo.

Un silencio profundo siguió a las palabras con que Beremís terminó suoriginal explicación sobre el significado del número 40 que aparece en laleyendadeAlíBabá.

El gran astrónomoBenabixacar, que se hallaba a la derecha, después deaspirar largamenteelperfumedeun frascoque tenía en lamano, sedirigió,respetuoso,alcalifaenlossiguientestérminos:

—Meveoforzadoaconfesar,reydelTiempo,quealformularelproblema

de los cuarenta ladrones de Alí Babá, no imaginaba que el calculista persafuesecapazderesolverlodemaneratanbrillanteycompleta.Fueronmuchoslos investigadores que incluyeron tal problema entre los que debíanpermanecersinsolución,burlandolosrecursosdelaMatemática.LasoluciónformuladaporBeremísSamiresdignadefigurarenlaspáginasdeoroentrelosversosde“Lamiatel—adjem”.

ElpríncipeCluzirSchádijo,entoncesalsultán:

—Esesabioancianoacabadereferirsealos“problemassinsolución”delaMatemática. Sería interesante que el calculista, que ya ha aclarado tantascuestionesdifíciles,nosdijeraalgosobrelosproblemassinsolución.

—Esmagníficoloquepropones–interrumpióelsultán.

Y,dirigiéndosealcalculista,ledijo:

—¿Cuálessonlosproblemasfamososquelosmatemáticosconsideransinsolución?

— En el campo de la Matemática, se presentan, ¡oh Emir de losCreyentes!, infinidad de problemas para los cuales no se ha encontrado unasolución satisfactoria.Entre losque sehanhechocélebres, justo es citar lossiguientes:

Problemadeladuplicacióndelcubo.

Problemadelatriseccióndeunángulo.

Problemadelacuadraturadelcírculo.

Veamos en que consisten esos problemas y cuales fueron los intentoshechosporlosmatemáticosenelsentidoderesolverlos.

—Elproblemadeladuplicacióndelcubo,conocidoenlaantigüedadbajola denominación de problema de Delos o problema deliano, se explica pormediodeunaleyendaquenodejadeserinteresante:

Una terrible epidemia diezmaba a los habitantes de la ciudaddeAtenas.Convencidosqueel flageloeracastigode losdioses, losatenienses fueronaconsultareloráculodeDelossobreelmedioquepodríanvalerseparaacabarconelmal.Dijoeloráculo:“EneltemplodeApoloexisteunaltardeformacúbica. La epidemia cesará el día en que ese altar sea sustituido por otroexactamenteigualaldoble.”

Hallaron los atenienses por demás simple la condición impuesta por eloráculoylosustituyeronporotroaltardelamismaformaycuyaaristaeradosvecesmayor.

Seguros que habían cumplido la indicación revelada por el oráculo,

esperabanque la epidemia terminara. Se engañaron.Lapeste se volviómásmortífera.Consultaronotravezaloráculoyésteexplicó:“Elnuevoaltarnoesel doble del primero, sino ocho veces mayor.” E insistió: “Es necesarioduplicarelcubo.”

Frenteaesadificultad,losateniensesapelaronalosconocimientosdelosgeómetras.ParaseragradablealosdioseseranecesariosaberGeometría,pueslaGeometríaeslacienciadivina.

Hipócratesfueelprimergeómetraqueestudióelproblema,consiguiendo,hasta cierto punto, aclarar la cuestión. Asquitas presentó una soluciónmuyingeniosa, cuya demostración geométrica y cinemática, sugerida por el granfilósofoPlatón,fueanalizadamástardeporEudoxio.

Mecmeno, notable geómetra, de quien el conquistador Alejandro fue eldiscípulo, tratandodesolucionarelproblemadeliano,descubriólasllamadassecciones cónicas: esto es, probó que las curvas llamadas elipse, parábola ehipérbolapuedenobtenersemedianteseccionesplanasdeuncono.

Más tarde Nicomedes se dedicó también sin resultado al problema deDelos,procurandoresolverloconelauxiliodeunaconstrucciónbasadaenunacurvallamadaconcoide.

Alah se compadezca de esos geómetras que tanto contribuyeron con susestudios,aldesenvolvimientodelagrancienciadeEuclides.

Veamos,acontinuación,enquéconsisteelproblemadelatriseccióndeunángulo.

Dado un ángulo cualquiera, dividirlo en tres ángulos iguales empleandoúnicamentelareglayelcompás.

Ungriego,llamadoHipias,sehizocélebreenlaHistoriadelaMatemática,porelhechodehaberseocupadodelproblemadelatriseccióndelángulo.

Hipiasimaginóunacurvadenominadamástardecuadratriz,conelauxiliodelacualeraposibleresolverelproblemadelatriseccióndelángulo.

La cuadratriz es notable porque es la primera curva definida por víacinemática.

El filósofo Platón no aceptó la solución dada al problema por Hipias,haciendoverquelacuestióngeométricasolopodíaserresueltaconelempleoexclusivode la reglayel compás.Sino fuesepor lacondición impuesta, lacurva denominada concoide de Nicomedes, aplicada al problema de laduplicación del cubo, podría ser empleada, igualmente, en el caso de latriseccióndelángulo.

Detodaslascuestionesgeométricasfamosas,elproblemadelacuadratura

delcírculoesunode losquehadespertadomayor interésentre loshombresquecultivaranlaMatemática.

El problema de la cuadratura del círculo consiste en una construcciónrigurosa,conlareglayelcompás,estoes,porunnúmerolimitadoderectasycircunferencias, de un cuadrado de área igual a la de un círculo dadocualquiera.

Durante más de mil trescientos años investigaron los matemáticos esefamosoproblema, tratandoenvanodedescubrirleunasolución;yel fracasode tantos esfuerzos–traducidopor la faltade éxitode todas las tentativas—llevó,algeómetraaincluirelproblemadelacuadraturadelcírculoentrelosproblemasimposibles.

Asícomoelalquimista,obsesionadoporlaobsesióndedescubrirlapiedrafilosofal, aportaba a la Química nuevos e impactantes descubrimientos,también el matemático, investigando sobre ala cuadratura del círculo,trabajabaparaelprogresodelaciencia.

NoscuentaPlutarco,historiadorateniense,queelprimeroqueseinteresóporelproblemadelacuadraturadelcírculofueelfilósofojónicoAnaxágoras,delquefuediscípuloPericles.

El cultivode la ciencia fueparaAnaxágoras fuentede serios sinsabores.PorhaberafirmadoqueelSolexcedíaenmagnitudalapenínsulaeuropea,eintentandoexplicardiversosfenómenosquelosgriegosatribuíanalosdiosescaprichosos del paganismo, fue condenado a prisión, y en el silencio delpresidioescribióuntrabajosobrelacuadraturadelcírculo.

Hipócrates–oncesiglosantesdeMahoma—llegóadescubrirlasprimerascuadraturasdesuperficieslimitadasporcurvas,cuandosuobjetivoúnicoerallegaralacuadraturadelcírculo.

El geómetra Dinastrato, hermano de Menecme y discípulo de Platón,reconocióqueconelauxiliodeunacurva(cuyodescubrimientoseatribuyeaHipias)eraposibleresolverelproblemadelacuadraturadelcírculo.Deahíladenominacióndecuadratrizdadaalacurvadescubiertaporelsofistagriego.

Elproblemadelacuadraturadelcírculoesimposible;nomenosimposiblees la división euclidiana de la circunferencia en un número cualquiera departesiguales,acausadelarelaciónentrelacircunferenciayeldiámetro.Esarelacióndebeseraproximadamenteiguala22/7,comoleemosenelCapítuloVIII del libro de Masudi, en el cual ese autor, repitiendo los cálculos delastrónomoHussein,afirmaquelacircunferenciadelaTierramultiplicadapor7ydivididapor22,dacomoresultadoeldiámetrodelaTierra.

—¡PríncipedelosCreyentes!TodoslosfielessabenqueAlah(¡exaltado

seaelAltísimo!)enelCorándice:“LosverdaderossabiostemenelnombredeDiosyadoranalCreador”.

Mahoma,enciertaocasión,afirmóconsuinspiradapalabra:“Procuradlainstrucción.

Cultivar el estudio es acción altamente meritoria a los ojos de Dios.Propagar la ciencia es una guerra santa.” La instrucción permite al hombredistinguir lo que es lícito de lo que es ilícito. En las horas solitariasencontramos en ella lamás fiel compañera; en losmomentos de infortunio,consejera veraz; en los tiempos felices, inestimable auxiliar. “En el día deljuicio,dijoaúnMahoma(¡conÉlenlaoraciónyenlapaz!),latintagastadapor los sabios y la sangre derramada por los mártires serán pesadas en lamismabalanza.Undíaconsagradoalasinvestigacionescientíficastienemásvalor,a losojosdeDios,quecienexpedicionesguerreras.”A la luzdeesasenseñanzaseternasdebemos,pues,exaltaralosquesededicanalestudiodelaCiencia, y especialmente a los sabios que cultivan laMatemática, honra delespírituhumano.

Gloria,pues,aAlah,CreadordelCieloydelaTierra,señordelosmundosvisibleseinvisibles.

CAPÍTULOXXXIV

El califa Al—Motacen ofrece oro y palacios al calculista. Beremís losrechaza.Unpedidodecasamiento.Elproblemade losojosnegrosyazules.Como determinó Beremís, por el cálculo, el color de los ojos de cincoesclavas.

Terminado el relato hecho por Beremís sobre los problemas famosos deMatemática, el sultán, después de conferenciar en voz baja con sus dosconsejeros,hablóasí:

Porlasrespuestasdadasatodaslaspreguntas,calculistahashechoméritospara recibir elpremioque teprometí.Dejo,por tanto, a tu lección¿Quieresrecibirveintemildenariosdeoro,oprefieresposeerunpalacioenBagdad?¿Deseas el gobiernodeunaprovincia, o ambicionas el cargode visir demiCorte?

—Reygeneroso—respondióBeremís,profundamenteemocionado—.Noambiciono riquezas, títulos, homenajes o regalos, porque sabido es que losbienes materiales nada valen; la fama que pueda surgir de los cargosimportantesnomeinteresa,puesmiespíritunosueñaconlagloriaefímeradelmundo. Si es vuestro deseo hacerme, como dijiste, envidiado por todos los

musulmanes,mipedidoeselsiguiente:DeseocasarmeconlajovenTelassim,hijadelsheikIezidAbul—Hamid.

Elinesperadopedidoformuladoporelcalculistacausóindecibleasombro.Me di cuenta, por los rápidos comentarios que pude oír, que todos losmusulmanesqueallí sehallabanno tenían lamenordudasobreelestadodedemenciadeBeremís.

— ¡Ese calculista es un loco, decían, Desprecia la riqueza y rechaza lagloriaparacasarseconunajovenquenuncavio!

CuandoelcalifaAl—MotacenoyóelpedidodeBeremís,ledijo:

—Nomeopondré,calculista,atucasamientoconlahermosaTelassim.Esverdad,queesajovenyaestabaprometidaaunodelosmásricossheiksdelaCorte;pero,porunavez,sinembargo,yaqueelladeseacambiarelrumbodesuvida—¡mactub!—,¡seahechalavoluntaddeAlah!

— No obstante, impongo –prosiguió enérgico el soberano— unacondición. Tendrás, eximio matemático, que resolver, delante de todos losnoblesqueaquísehallan,uncuriosoproblemainventadoporundervichedelCairo.Si resuelveseseproblema, tecasarásconTelassim;encasocontrario,tendrásquedesistir,parasiempre,deesa fantasía locadebeduinoquebebió“hachís”.¿Teconviene?

—¡EmirdelosCreyentes!–respondióBeremíscontranquilidadyfirmeza—.Deseoconocerlosdatosdelaludidoproblema,afindepodersolucionarloconlosprodigiososrecursosdelCálculoydelAnálisis.

Elpoderosocalifadijoentonces:

—Elproblema,ensuexpresiónmássimple,eselsiguiente:Tengocincohermosasesclavas,quecompréhacepocosmesesaunpríncipemongol.Deesas cinco encantadoras jóvenes, dos tienen los ojos negros y las cincorestantesazules.Lasdosesclavasdeojosnegros“dicensiempre laverdad”;lasesclavasdeojosazules,porlocontrario,sonmentirosas,estoes,“nodicennuncalaverdad”.Dentrodealgunosminutos,esascincojóvenesserántraídasa la sala; todas tendrán el rostro cubierto por un espeso velo oscuro. El“Jaique”quelasenvuelve,haceimposibledistinguirencualquieradeellas,elmenorrasgofisonómico.

Tendrás que descubrir e indicar, sin el menor error, cuales son lasjovencitas de ojos negros y cuales las de ojos azules. Te será permitidointerrogaratresdelascincoesclavas,nopudiendohacermásdeunapreguntaacadauna.Conlaayudadelastresrespuestasobtenidas,elproblemadeberáser resuelto, justificando la solución con un razonamiento matemático.Además, las preguntas deben ser de tal naturaleza, que sólo puedan ser

respondidasconexactitudporlasesclavas.

Momentosdespués,bajolamiradacuriosadeloscircunstantes,aparecíanenel salónde audiencias las cincoesclavasdeAl—Motacén.Cubiertas conlargos velos negros desde la cabeza hasta los pies, parecían verdaderosfantasmasdeldesierto.

Beremíssintióquellegabaelmomentodecisivodesucarrera.Elproblemaformulado por el califa de Bagdad, a más de ser difícil y original, podríaencerrardudasyescollosimprevisibles.

Alcalculistaleerapermitidointerrogaratresdelascincojóvenes.¿Cómodescubrir,porlasrespuestas,elcolordelosojosdetodasellas?¿Acuálesdelascincodeberíainterrogar?

¿Cómoeliminarlasdudasquesurgiríandelinterrogatorio?

Habíaunaindicaciónvaliosa:lasdeojosnegrosdecíansiemprelaverdad;lasotrastres(deojosazules)mentíansiempre.

¿Bastaríaeso?

Vamosasuponerqueelcalculistainterrogaseaunadeellas.Lapreguntadebíaserdetalnaturaleza,quesololaesclavapudieraresponder.Obtenidalarespuesta,continuaría laduda.¿Lainterrogadahabríadichoverdad?¿Habríamentido?¿Cómollegaralresultado,sinoconocíaéllarespuestaexacta?

Elcasoera,realmente,muygrave.

Lascincoembozadassecolocaronenfilaenelcentrodelsuntuososalón.Se hizo un gran silencio.Los nobles,musulmanes, sheiks y visires, seguíanconvivointeréslasalternativasdeaquelnuevoysingularcaprichodelrey.

El calculista se aproximó a la primera esclava (que se hallaba en elextremodelafila,aladerecha)ylepreguntóconvozfirmeyreposada:

—¿Dequécolorsontusojos?

¡Por Alah! A interpelada respondió en un dialecto chino, totalmentedesconocido para los musulmanes presentes. Beremís protestó. Nocomprendióunasolapalabradelarespuestadada.

Elcalifaordenóquelasrespuestasfuerandadasenárabe,ydeunamaneraclaraysencilla.

Aquel inesperado fracaso, vino a agravar la situación del calculista.Quedábanle apenas dos preguntas, pues la primera era consideradaenteramenteperdidaparaél.

Beremís, a quien el hecho no había logrado desalentar, se volvió a lasegundaesclavaylepreguntó:

—¿Cuálfuelarespuestaquetucompañeraacabadedar?

—Laspalabrasdeellafueron:“Misojossonazules”.

Esarespuestanadaaclaraba.¿Lasegundaesclavahabríadicholaverdadoestaríamintiendo?¿Ylaprimera?¿Quiénpodíaconfiarensuspalabras?

Laterceraesclava(quesehallabaenelcentrodelafila)fueinterrogadaacontinuación,porBeremís,enlasiguienteforma:

—¿Dequecolorsonlosojosdeesasdosjóvenesqueacaboseinterrogar?

Aesapregunta–queeralaúltimaquèpodíaformular–laesclavarespondió:

—Laprimeratienelosojosnegrosylasegundaazules.

¿Seríaverdad?¿Habríamentido?

Lo cierto es que Beremís, después de meditar algunos minutos, seaproximótranquiloaltronoydijo:

— ¡Comendador de los Creyentes! ¡Sombra deAlah sobre la Tierra! Elproblema propuesto está resuelto por completo y su solución puede seranunciada con exactitud matemática. La primera esclava (la de la derecha)tiene losojosnegros, la segunda azules, la terceranegros, y las dosúltimastienenlosojosazules.

Levantadoslosvelosyretiradoslospesados“haics”,lasjóvenesmostraronsonrientes los rostros descubiertos. Se oyó un ¡ah! De asombro en el gransalón.ElinteligenteBeremíshabíadicho,conadmirableprecisión,elcolordelosojosdetodasellas.

—¡PorlasbarbasdeMahoma!—exclamóelrey—¡Yahabíaexpuestoeseproblemaacentenaresdesabios,doctores,poetasyescribas,yesestemodestocalculistaelprimeroqueconsigueresolverlo!¿Cómofuequellegaste,joven,ala solución?¿Dequémodopodrásdemostrarquenohabíaen la solución lamenorposibilidaddeerror?

Interrogado de esa manera por el generoso monarca, el “Hombre queCalculaba”asíhabló:

—Al formular laprimerapregunta: “¿Cuál es el colorde tusojos?”, yosabíaquelarespuestaseríafatalmentelasiguiente:“Misojossonnegros”.Enefecto.Siellateníalosojosnegros,diríaverdad,esdecir,afirmaría:“Misojossonnegros”.Siteníalosojosazules,mentiría,y,alresponder,diríatambién:“Misojossonnegros”.Luegoyoafirmoquelarespuestadelaprimeraesclavaeraúnicaybiendeterminada:“Misojossonnegros”.Hecha,por lo tanto, laprimera pregunta, esperé la respuesta que previamente conocía. La esclava,respondiendoendialectodesconocido,meauxiliódegranmanera.Realmente.Alegando no haber entendido el arrevesado idioma chino, interrogué a la

segundaesclava:¿Cuál fue la respuestadadapor tucompañera?Lasegundamedijo:“Laspalabrasdeellafueron:Misojossonazules.Esarespuestavinoademostrarquelasegundamentía,puesesanopodíahabersido,deningunamanera(comoyaexpliqué)larespuestadelaprimerajoven.Ahorabien:silasegunda mentía era porque tenía los ojos azules. Repara, ¡oh rey!, en esanotable particularidad para resolver un enigma.De las cinco esclavas habíauna, en ese momento, cuya incógnita había despejado, con precisiónmatemática.Eralasegunda.Habiendomentido,teníalosojosazules.Restabaaúndespejarcuatroincógnitasmásenelproblema.

Aprovechando la tercera y última pregunta, interpelé a la esclava queestabaenelcentrodelafila:“¿Dequécolorsonlosojosdelasjóvenesqueacabodeinterrogar?”estafuelarespuestaqueobtuve:“Laprimeratienelosojosnegrosylasegundalostieneazules.”Conrespectoalasegundanoteníaduda(comoyaexpliqué).¿Quéconclusiónpudesacardelatercerarespuesta?Esmuy simple.La tercera esclavanomentía,pues afirmabaque la segundateníaojosazules.Silaterceranomentía,susojoserannegros.Seguro,ahora,quelaprimeraylatercerateníanlosojosnegros,porexclusiónfuefácilsaberquelasdosúltimaslosteníanazules(asemejanzadelasegunda).

Yelcalculistaconcluyó:

—Puedoafirmar, reydelTiempo,queenesteproblema, apesarquenoaparecen fórmulas, ecuaciones o símbolos algebraicos, la solución, por serexactayperfecta,debeserobtenidapormediodeunrazonamientopuramentematemático.

Estabaresueltoelproblemadelcalifa.

En breve, Beremís se vería forzado a resolver otro, mucho más difícil:Telassim,elsueñodeunanocheenBagdad.

¡LoadoseaAlah,quecreóalaMujer,elAmoryalaMatemática!

ÚLTIMOCAPÍTULO

EnlaterceralunadelmesdeRhegebdelaño1258,unahordadetártarosymongoles atacaron la ciudad de Bagdad. Los invasores eran dirigidos porGenghisCan.

El sheik Iezid (Alah lo tenga en su gloria),murió combatiendo junto alpuentedeSolimán;elcalifaAlMotacen,seentregóprisioneroyfuedegolladoporlosmongoles.

Laciudadfuesaqueadayduramentearrasada.

La gloriosa Bagdad, que durante quinientos años fuera el centro de laciencia,lasletrasylasartes,quedóreducidaaunmontónderuinas.

Felizmente yo no asistí a ese crimen que los conquistadores bárbarospracticaron contra la civilización.Tres años antes, después de lamuerte delgeneroso príncipe Cluzir Schá (¡Alah lo tenga en su paz!), seguí paraConstantinoplaconBeremísyTelassim.

DebodecirqueTelassim,antesdesucasamientoyaeracristiana,yalcabode pocos meses logró que Beremís repudiase la religión de Mahoma, yadoptaseíntegramenteelEvangeliodeJesúsCristo,Salvador.

BeremísquisoserbautizadoporunobispoquesupieseMatemática.

Todoslosdíasvoyavisitarlo.Llegoavecesaenvidiarlafelicidadenquevive,encompañíadesushijitosydesucariñosaesposa.

Noquedaduda.Detodoslosproblemas,elquemejorresolvióBeremísfueeldalaVidayeldelAmor.

Yaquítermina,sinfórmulasysinnúmeros,lahistoriasencilladelavidadel“Hombrequecalculaba”.

— La verdadera felicidad es –según afirma Beremís— poder vivir a lasombradelareligióncristiana.

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