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EL INFINITO EL INFINITO

Fernando Bombal

Universidad ComplutenseReal Academia de Ciencias

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Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal, cuyo limitado imperio es la ética; hablo del Infinito. (J.L. Borges, “Avatares de la Tortuga”)J. L. Borges (1899-1986)

Blaise Pascal (1623-1662)

Cuando considero la limitada exten-sión de mi vida comparada con la eternidad […] o la pequeña parte de espacio que puedo tocar o ver, sumer-gido en la inmensidad infinita de espa-cios que no conozco […] siento miedo y asombro al verme aquí en lugar de allí, ahora en vez de entonces

Ciertamente, los conjuntos y procesos infinitos pueden provocar grandes dolores de cabeza:

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“Como ningún otro problema, el del infinito ha inquietado desde los tiempos más remotos al ánimo de los hombres. Ninguna otra idea ha sido tan estimulante y fructífera para el entendimiento.” (überdas Unendliche, 1926).

“ La literatura matemática está plagada de absurdos y errores debidos, en gran medida, al infinito.”

Por ello

“La elucidación definitiva de la naturaleza del infinito […] se ha convertido en una cuestión de honor para el espíritu humano.”

David Hilbert (1862-1943)

Larga Historia… Empecemos por el comienzo:

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Aristóteles (384-322 a. d. C.): utilizó su sempiterno sentido comúnpara separar el concepto de infinito en dos: infinito potencial, para designar magnitudes o procesos que se pueden prolongar tanto como se desee, en oposición al infinito actualo real. Sólo acepta el primero en el mundo sensible.“No es posible que el infinito exista como un ser en acto o como una sustancia y un principio. El infinito existe [sólo] potencialmente, bien por adición o por división”[FísicaIII]El negar la existencia actual del infinito no priva a los matemáticos de sus especulaciones. De hecho ellos no necesitan este infinito y no hacen uno de él. Sólo postulan [por ejemplo]de una línea finita que puede prolongarse tanto como se desee…”[Física, III, 207b]

Grecia: El Comienzo.Grecia: απειρου (ápeiron). α , prefijo negativo + πειρο (límite), que literalmente significa ilimitado, pero también indefinido, totalmente desordenado, infinitamente complejo, etc.

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1.- El infinito en las matemáticas griegas.

•Los filósofos griegos pronto encontraron sorprendentes relaciones numéricas en muchos fenómenos naturales: música, astronomía…

•Los pitagóricos sostenían que la naturaleza del cosmos era esencialmen-te numérica. En el universo pitagórico no existía el ápeiron: los números naturales y sus relaciones eran suficientes para describir la realidad.

•La asunción de que todo objeto estaba formado por una colección de átomosindividuales e indivisibles hace que, en particular, dos magnitudes geométricas análogas sean siempre conmensurables

Los pitagóricos desarrollaron un método para encontrar una medida común a dos magnitudes geométricas análogasconmensurables

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D

L

n1L

R1

con

Si R1 > 0, se procede de forma análoga con L y R1:

1.1 Algoritmo de Euclides (m.c.d.)

10 R L≤ <

2 1 2L n R R= + 2 10 R R≤ <

1 1D n L R= +

con y se continúa el proceso.

Como los restos sucesivos forman una cadena estrictamente decreciente de números enteros no negativos (múltiplos de la unidad común!), se llegará eventualmente a un Rk= 0.

Entonces es claro que D y L son múltiplos de Rk-1.

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A mediados del siglo V a. d C., los pitagóricos se dieron de bruces con el ápeiron: ¡Existen segmentos para los que este proceso no termina nunca!

a b

d

c

•BCF es isósceles: L = BC = BF •La diagonal S = BF + FD = L + FD, con 0 < FD < L. •Pero los triángulos dBF y BCFson iguales, y también lo son los aBb y cFD, luego •Bb = FD = FC = dF = s = diagonal del pentágono pequeño. •Por tanto, -S = L + FD = L + s-L = Db = DF + Fb = s + l,siendo l el lado del pentágono pequeño..

a b

c

d

Así pues, en el siguiente paso estaremos como al principio: comparando la diagonal con el lado de un pentágono regular, que sabemos que nunca da resto nulo.

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Las paradojas de Zenón de Elea (ca. 500 a. de C.)

1.- Paradoja de Aquiles y la Tortuga:El veloz Aquiles nunca podráalcanzar a la lenta tortuga en una carrera en la que le ha dado una cierta ventaja: primero Aquiles debe llegar a la posición inicial de la tortuga, y ésta ya se habrá movido a una posición posterior. Cuando Aquiles llegue a este segundo punto, la tortuga se habrá movido de nuevo, y asísucesivamente. Por tanto, Aquiles nunca logrará alcanzar a la tortuga.

2.- Paradoja de la dicotomía. Un móvil no puede recorrer una distan-cia finita d, pues primero deberárecorrer la mitad de esa distancia d/2; después la mitad de lo que queda, es decir, d/4, etc. Así el móvil tiene que recorrer una infini-dad d/2, d/4, d/8…de distancias. Pero esta sucesión no tiene último elemento y por tanto nunca puede ser completada.

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Por supuesto, Zenónsabíaque Aquiles alcanzaría a la tortuga o el móvil recorrería la distancia requerida. Lo paradójico para Zenón es la identificación de un proceso infinito (las sucesivas posiciones a recorrer) con uno finito (la distancia total a recorrer).

Aristóteles; se puede recorrer un número infinito de magnitudes (las que separan a Aquiles de la tortuga, o las sucesivas mitades que debe recorrer el móvil) o estar en contacto con cada una de ellas, en un tiempo limitado.

¿Solución?: 2 4 2n

d d dd+ + + =⋯ ⋯

Versión moderna: Teoría de series convergentes:

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significa que, dado ε>0, en toda etapa a partir de una n0, el móvil estaráen (d- ε, d) (¡y NO que alcance el punto d!).

Como señala M. Jammer (Zeno’s paradoxes today, en «L’infinitonella scienza. Infinity in Science», 81-96. Istituto della Enciclopedia Italiana, 1989),

2 4 2n

d d dd+ + + =⋯ ⋯

Implicaciones fascinantes.

Bertrand Russell: “inmensamente sutiles y profundas. Apeló a la teoría cantoriana, señalando que “ una serie sin final puede, no obstante, formar un todo y puede haber nuevos términos más alláde ese todo”. Parece claro que Russell estaba pensando en el ordinal ω+1, sucesor del primer ordinal infinito (sin predecesor) ω.

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Lo cierto que la introducción de procesos infinitos puede llevar a contradicciones lógicas nada deseables. Por ello los matemáticos griegos desarrollaron un verdadero “horror al infinito” .

Proposición 20 del libro IX de Los Elementos: hay más números primos que cualquier colección(finita) de primos que consideremosy no que hay infinitos primos.

Definición 4 del libro V: dos magnitudes forman razón (es decir, se pueden comparar)cuando cada una admite un múltiplo que es mayor que la otra. Prohíbe de hecho la existencia de magnitudes infinitamente pequeñas o infinitamente grandes.

Proposición 1 del Libro X: Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se substrae una magnitud mayor que su mitad, y del resto una magnitud mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la menor de las magnitudes dadas.

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2.- Especulaciones medievales y renacentistas.

Edad Media: Se aceptan las ideas de Aristóteles sobre el infinito, salvo la existencia de un infinito absoluto real: Dios.

Ejemplo(Siglo XIII): Es imposibleque el mundo sea eterno: si fuera así, a lo largo de un pasado infinito habría habido 12 veces más revoluciones de la luna en torno a la tierra que del sol. ¡Pero, al mismo tiempo, habría tantas revoluciones de la luna en torno a la tierra que del sol, puesto que ambas serían infinitas!(Los escolásticos suponían que todos los infinitos eran iguales.)

Se utilizan la naturaleza paradójica de los conjuntos infinitos en apoyo de determinadas afirmaciones sobre el mundo:

Galileo pone en evidencia la naturaleza paradójica de los conjuntos infinitos y las dificultades para su tratamiento matemático.

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Discorsi e dimostrazioni matematiche in torno a due nova scienze(1638): se pueden emparejar biunívocamente los números naturales con sus cuadrados, por lo que

En un conjunto infinito, si uno pudiera concebir tal cosa, nos veríamos forzados a admitir que hay tantos cuadrados como números.

Hay tantos puntos en la circunferencia grande como en la pequeña ¡!

Esta es una de las dificultades que surgen cuando intentamos, con nuestra mente finita, discutir el infinito, asignándole las mismas propiedades que damos a lo finito y limitado. Creo que esto es un error, pues no se puede decir de [dos] cantidades infinitas que una sea mayor, menor o igual que otra…

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I. Newton (1642-1727) en carta de 1692: “Los infinitos, cuando se consideran sin ninguna limitación o restricción, no son iguales, ni distintos, ni guardan ninguna proporción uno respecto de otro.”

G. Leibniz (1646-1716):

a) Nada es más palpable que lo absurdo de la idea de un número infinito.

b) Estoy tan a favor de la realidad del infinito que, en lugar de admitir que la Naturaleza lo abomina, […] creo que la afecta por todas partes, para exhibir mejor las perfecciiones de su Autor.

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La actitud predominante de los matemáticos posteriores a Galileo en los 200 años siguientes fue un tanto hipócrita, pues la mayoría lo ignoraron, cuando no rechazaron enfáticamente su existencia, aunque utilizaron implícitamente sus propiedades en muchos razonamientos.

C. F. Gauss (1777-1855): “En lo que concierne a su demostración […] protesto contra el uso que se hace de una cantidad infinita como una entidad real; esto nunca se permite en matemáticas. El infinito es sólo una manera de hablar…”

Cauchy (1789-1857) en su Cours d’Anayse, describe el infinito como “una cantidad variable, cuyo valor se incrementa sin límite y puede sobrepasar cualquier cantidad dada”, es decir, el viejo infinito potencialde Aristóteles.

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L.Kronecker (1832-1891) a Lindemann : “¿De qué sirve su bello trabajo sobre π? ¿Por qué estudiar estos problemas, si los números irracionales no existen?.

Mejor suerte corrieron los elementos infinitamente pequeños:

a) Indivisiblesgeométricos: áreas como infinitas líneas, etc. Recombinarlos adecuadamente para calcularáreas, volúmenes, etc.

b) Aritmetización de los indivisibles: infinitésimo, base del Cálculo Diferencial.Inconsistentes, pero funciona!

c) Aumento de la inseguridad en los abominables pequeños ceros: refundación crítica del Cálculo en el XIX.

Un análisis más detallado, alargaría demasiado la exposición: Boyer, etc.

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Las propiedades paradójicas de las magnitudes infinitas, se basan esencialmente en las dos afirmaciones siguientes:

I.- Dos colecciones son del mismo tamaño si y sólo si sus elementos se pueden emparejar entre sí por medio de una correspondencia biunívoca (biyección).

II.- Una colección tiene un tamaño mayor que cualquiera de sus partes propias.

I: Base del proceso mismo de contar.

II. uno de los axiomas de Los Elementosde Euclides (“noción común” nº 5), en la forma El todo es mayor que la parte

El Infinito Actual

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B. Bolzano (1781-1848) Paradoxien des Unendlichen(Paradojas del infinito; 1851): Reflexiones sobre el infinito

Introduce por primera vez una visión conjuntista. Identifica los conjuntos finitos con los números naturales (construcción)

Llamaréinfinita a una multitud si todo conjunto finito es tan sólo una parte de ella.

Existe al menos un conjunto infinito: “El conjunto de todas las propo-siciones y verdades en sí”. Distinción entre “A” y “A es verdadera”

Bolzano: no todas las multitudes infinitas son iguales. Criterios de comparación: De nuevo el dilema de Galileo.

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Le sigue pareciendo evidente (II). “Prueba” que (I) es cierto para conjuntos finitos, mientras que los conjuntos infinitos se caracterizan por ser biyectivos con una parte propia. (Prueba: dos ejemplos:

•En general, si a<b<c son tres puntos sobre la recta, (a,c)y (a,b) pueden ponerse en biyección: ,

aunque, evidentemente(a,c) es mayor que (a,b).

x -[0,5] es biyectivo con [0,12]

aunque evidentemente[0,12] es mayor que [0,5].

( )c a

y c x ab a

−= + −−

0

5

12

y -y = (5/12)x

0

x -

5

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A lo largo de toda la obra, Bolzano oscila sin cesar alrededor de la idea de biyección como criterio de igualdad de tamaño de conjuntos (condición necesaria), para terminar rechazándola en diversas ocasiones, de forma explícita. ¡No es fácil rechazar la afirmación II!

Y esto es precisamente lo que hay que hacer para solventar la paradoja de Galileo: R. Dedekind (1831-1916) y G. Cantor (1845-1918)

Se atrevieron a aceptar, junto con la existencia real de conjuntos infinitos, el hecho de que estos conjuntos pueden tener el mismotamaño que alguno de sus subconjuntos propios.

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1872: aparecen sendos trabajos donde se construyen los números reales.

-Cantor: sucesiones de Cauchy de números racionales.

Tanto Cantor como Dedekind recurren al infinito actual o real como base de sus construcciones.

-Dedekind: cortaduras (I,S) de números racionales.

I = {m/n: m2/n2 < 2}, S = {m/n: m2/n2 > 2}; ( I, S) = √2

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• Primer trabajos: Journal de Crelle(1874) Algunos conjuntos infinitos numéricos.

Aplicación: El conjunto de los números algebraicos es biyectivocon el de los números naturales es decir, es numerable). De estos dos hechos, deduce un teorema de Liouville sobre la existencia de infinitos números trascendentes (es decir, no algebraicos).

•No existe una biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los todos los números reales. (¡Hay, al menos, 2 infinitos!)

{ } 0 0 1 1 0Sea : . , , ... Si , claramente .n n nr n r I r I I d I d r n∈ ⊂ ∉ ∉ ⊂ ∈ ∀∩ℕ ℝ � � � ≠

Cantor:

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Artículos siguientes:

a) Establece como base la noción de conjunto: “una colección de objetos bien definidos que la mente puede concebir como un todo y decidir si un objeto dado pertenece o no a ella”.b) Acepta explícitamente la afirmación I para establecer la equivalencia de conjuntos: Conjuntos equivalentes tienen la misma potenciao cardinal

c) Los naturales son el conjunto infinito con menor potencia (que designó por 0א = #(ℕ).)

d) la potencia de R (potencia del continuo: c) y la de Rn es la misma para

cualquier entero positivon: (“¡lo veo, pero no lo creo!”: 1877)

Cantor da un sentido intuitivo a la noción de conjunto finito≡ se puede contar. Infinito ≡ no es finito.Dedekinddefine (1888) un conjunto infinito como el que es biyectivocon una parte propia del mismo. Finito ≡ No es infinito.Cantor-finito → Dedekind-finito, pero no al revés (A.E.)

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•Cantor establece también una aritmética transfinita y diversas propie-dades de estos números.

•Si #(A) = α, #(B) = β, A y B disjuntos, #(A∪B) = α + β.

•Ejemplo:P = {pares}, I = {impares}, #(P) = #(I) = 0א.

#(P ∪ I) = 0א 0א + = #( ℕ .0א = (

•Si #(A) = α, #(B) = β,, #(A × B) := α . β

Si #(A) = α, #(B) = β, AB := { f: A→B}, entonces #(AB) := αβ

•Nótese que identificando cada subconjunto de A con su función característica, resulta que #(P(A)) = #( {0,1}A) = 2#(A)

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• #(A) < #(B) ) si A es equivalente a un subconjunto de B, pero no es biyectivo con B. Puede probarse que si #(A) ≤ #(B) y #(B) ≤ #(A), entonces #(A) = #(B) (Cantor-Bernstein)

•En 1891, Cantor descubrió que la potencia de cualquier conjunto es estrictamente menor que la del conjunto de sus partes: #(A) < #(P(A)).

•Como puede probarse fácilmente que #(P(N ) = c, se deduce el resulta-

do ya probado en el artículo de 1874 de que 0א < c.

•Partiendo entonces de A = N e iterando la operación P(A), Cantor cons-

truye entonces una jerarquía de números transfinitos todos diferentes.

0#( ) #( )) #( ( )))c= ℵ < ℘( = < ℘℘( <⋯ℕ ℕ ℕ

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•Cantor Intenta demostrar que los cardinales de dos conjuntos cualesquiera, A y B, son comparables, es decir, #(A) = #(B), o bien #(A)< #(B), o bien #(A) > #(B) (Teorema de tricotomía). Lo consigue admitiendo que puede definirse un buen ordenen cada uno de los conjuntos (ley del pensamiento):

•Si A≠∅, elijamos un a0εA arbitrario. Si A-{a0} ≠∅, elijamos a1 ε A-{a0} arbitrario… Si A es finito, entonces para alguna etapa n es A = {a0, a1,…,an}; en otro caso A1 = {a0, a1,…,an, …} es un subconjunto infinito bien ordenadode A. Si A1 ≠ A, elijamos arbitrariamente un aω ε A-A1 y repetimos el argumento hsta que, eventualmente, elijamos todos los elementos de A = {a0, a1,…, an,…., a ω, a ω+1, …, aε,…} y el orden de elección proporciona un buen ordenen A.

•Además, Cantor pudo probar con esta asunción que el orden definido en los números transfinitos es un buen orden.

0 1 2 1ω ω+ℵ < ℵ < ℵ < < ℵ < ℵ <⋯ ⋯

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•E. Zermelo (1871-1953) intentódemostrar la intuitivamente cierta suposición de Cantor de que en todo conjunto podía definirse una buena ordenación, pero para ello tuvo que introducir un nuevo axioma): el Axioma de Elección: dada una colección no vacía de conjuntos no vacíos y disjuntos, existe un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada conjunto de la colección. (Equivalente: Si I ≠ ∅ y A i ≠ ∅ para cada iε I, ∏ iε I A i ≠ ∅ )

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De las relaciones

00#( ) #( )) ( 2 ) #( ( )))cℵ= ℵ < ℘( = = < ℘℘( <⋯ℕ ℕ ℕ

y

0 1 2 1ω ω+ℵ < ℵ < ℵ < < ℵ < ℵ <⋯ ⋯

cabe plantearse si c es 1א, el siguiente número cardinal a 0א: Hipótesis del continuo (HC). En general, la hipótesis de que

12 αα

ℵ+= ℵ

Se conoce como Hipotesis del continuo generalizada.

Cantor dedicó muchos e infructuosos esfuerzos a probar (HC), que aparece en primer lugar en la famosa lista de problemas enunciada por Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900

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En 1938 K. Gödel probó no se puede demostrar la negaciónde la HC en la axiomática ZF.

P. Cohen,en 1963, demostró que (HC) no es un teorema de (ZF).

Por tanto, (HC) es independientede la axiomática usual (ZF): ni (HC) ni su negación puede probarse.

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¡Muchas gracias por la atención prestada!

FIN