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Operaciones Financieras a Interés Compuesto Capitalización Discontinua

En aquellas transacciones que abarcan un período largo de tiempo, el interés puede ser manejado de dos formas:

• A intervalos establecidos el interés vencido se paga mediante cheque o cupones. El capital que produce los intereses permanece sin cambio durante el plazo de la transacción. Se trabaja con interés simple.

• A intervalos establecidos: el interés vencido es agregado al capital (por ejemplo, en las cuentas de ahorro). Estas operaciones se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En este caso se dice que el interés es capitalizable o convertible en capital. En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica o discontinua de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores).

A partir de esta unidad se comenzará a trabajar con este tipo de transacciones, llamadas operaciones a interés compuesto. Algunos conceptos importantes a manejar son:

• La suma vencida al final de la transacción se conoce como monto compuesto. • A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se la conoce como

interés compuesto. • Como ya se dijo, los intereses son productivos, lo que significa que: • A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos

intereses en los períodos siguientes. • Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio

de dicho período. Deducción de la fórmula fundamental del monto a interés compuesto

Para facilitar la comprensión de la situación, aquí se representa la situación para una operación de tres períodos:

El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del monto conseguido en cada momento es la siguiente:

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Momento 0 M0 = C M0 = C

Momento 1 M1 = M0 + I1 = C + C i M1 = C . (1 + i)

Momento 2 M2 = M1 + I2 = M1 + M1 i = M1 (1 + i) = C . (1 + i) . (1 + i) M2 = C . (1 + i)^2

Momento 3 M3 = M2 + I3 = M2 + M2 i = M2 (1 + i) = C . (1 + i)2 . (1 + i) M3 = C . (1 + i)^3

,,, ... …

Momento n Mn = Mn-1 + In = Mn-1 (1 + i) = C . (1 + i)n-1 . (1 + i) M = C . (1 + i)^n

Esta última expresión es la denominada fórmula fundamental de la capitalización

compuesta: . Permite calcular el capital final o monto (M) en régimen de interés compuesto, conocidos el capital inicial (C), la tasa de interés (i) y la duración (n) de la operación. A partir ella, además de calcular montos, es posible, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el restante o bien reemplazar en estas fórmulas ya despejadas:

Además, sigue siendo válido el cálculo de los intereses a través de la fórmula conocidos el monto y el capital inicial.

Ejercitación(comparar alguno con interés simple): a) Calcular el monto y los intereses obtenidos al invertir $200.- al 5% de interés anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta. b) ¿Qué suma de dinero mínima se debe invertir si en 2 años se desea disponer de $1.500.- y se consigue una tasa de interés compuesto del 6% anual? c) ¿Qué intereses producirán $300.- invertidos 4 años al 7% de interés compuesto anual? d) Determine la tasa de interés anual a la que deben invertirse $1.000.- para que, en 12 años, se obtenga un monto de $1.601,03.-. e) Un capital de $2.000.- colocado al 4% de interés compuesto anual asciende a $3.202.-. Determine el tiempo que estuvo impuesto. f) Hallar el monto obtenido tras depositar $3.000.- durante 6 años y 3 meses al 5% de interés compuesto anual. g) ¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad sabiendo que el dinero no utilizado puede ser depositado al 8% anual de interés con capitalización semestral, si las propuestas son:

• $90.000.- de contado; • $40.000.- de contado y el saldo en 3 pagarés iguales de $20.000.- a 1, 2 y 3 años de plazo. Respuestas:

a) M = $325,78 ; I = $25,78

b) $1.334,99

c) $93,24

d) 4%

e) 12 años

f) $4.069,63

g) La b) por $1.393,50

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Mas Problemas de Interés Compuesto

1. Determine el valor de un capital que, colocado a una tasa de interés compuesto del 10% anual, produjo $24.310.-, luego de 2 años, siendo semestral la capitalización de intereses.

2. Calcule el monto al que asciende el depósito de un capital de $12.000.- colocados al 4% mensual, con capitalización semanal, durante 343 días.

3. Determine cuanto tiempo debe transcurrir para que un capital de $6.209.- colocado al 10% anual de interés con capitalización cuatrimestral, produzca un monto de $10.000.-.

4. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital, si la tasa es del 16% anual con capitalización semestral?

5. ¿A qué tasa anual se triplica un capital en 5 años? 6. Complete el siguiente cuadro:

7. Calcule el saldo final de un capital de $25.000.- colocados durante 5 años al 15% anual de

interés compuesto en los primeros 3 años y, en los restantes, al 18% anual, siempre con capitalización anual.

8. Una cierta suma de dinero se deposita el 1/7/01 en un banco que capitaliza semestralmente los intereses a razón del 42% anual. A partir del 1/1/02 los intereses disminuyen al 33% anual, con igual capitalización. Determine la suma depositada sabiendo que los intereses ganados al 31/12/03 fueron de $1.394,80.-.

9. Averigüe el monto obtenido al depositar $16.500.- durante 6 meses, a la misma tasa que estuvieron colocados $13.450.- los que en 3 meses produjeron un monto de $16.500.-. Para ambas operaciones considere capitalización mensual.

10. Un capital genera intereses por $15. 476.- a una tasa de interés del 18% cuatrimestral durante tres meses. ¿Cuál es el capital invertido y el monto obtenido si se capitaliza trimestralmente?

11. Una empresa debe renovar maquinarias dentro de 6 meses, para lo cual necesitará disponer de $50.000.- en ese momento. Con tal fin prevé efectuar 2 depósitos, uno de $15.000.- dentro de 2 meses y el otro dentro de 4 meses. ¿Cuál será el valor del último depósito que le permitirá tener el dinero necesario, en el plazo previsto, sabiendo que el interés que recibe por ambos depósitos es del 36% anual con capitalización mensual?

12. Una persona tiene 2 hijos con una diferencia de edad de 3 años. Cuando el mayor cumple 18 años, le deposita $5.000.- al 24% anual de interés compuesto y cuando el menor cumple 18 años, le deposita $5.000.- al 30% anual. ¿En qué momento podrán retirar el mismo monto los 2 hermanos si la capitalización es anual?

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13. El 1/1/2002 se depositan $8.000.- al 33% anual, con capitalización cuatrimestral y el 30/8/2003 se retiran $2.400.-. Determine el saldo de la cuenta al 31/12/03 si las condiciones del depósito no varían.

14. ¿Qué intereses producirá un capital de $6.250.- si se deja por 3 años a una tasa de interés compuesto del 14% semestral, con capitalización trimestral?

15. Al comprar una persona un terreno, tiene las siguientes opciones: $5.000.- de contado y $25.000 dentro de cinco años, o $25.000 de contado. Si el dinero que no se utilice para el pago puede invertirse al 6% anual capitalizado trimestralmente, ¿Cuál de las opciones es más ventajosa?

16. Un hombre ha depositado $5.000.- el 1/7/98 al 12% de interés trimestral, con la intención de retirar cierta suma el 30/9/04. El 1/4/2002 se elevó la tasa de interés, de tal forma que el 31/3/2003 consiguió la suma deseada.

a) ¿A cuánto ascendió la tasa de interés en esta última instancia? b) ¿Cuánto era el monto buscado? 17. Un hombre ha prestado una suma de dinero que será devuelta de la siguiente manera:

dentro de 3 meses $2.000.- y dentro de 1 año $4.000.- (ambas con intereses incluidos). El deudor propone devolver el préstamo en un solo pago a los 5 meses. Si la operación se realiza a una tasa del 2% mensual con capitalización mensual, ¿Cuánto deberá abonar?

18. Dos capitales cuya suma es $20.000.- se colocaron: uno a un año y el otro a 17 meses. La tasa de colocación del 1º fue del 6% trimestral y la del 2º fue del 3% mensual, ambos con capitalización mensual. El 2º capital produce un monto inferior en $1.996.- al 1º. Determine el valor de cada capital.

19. Calcule los intereses acumulados en 27 días al 22% de interés anual, con capitalización mensual, para un capital de $20.000.-

20. Una entidad bancaria que ofrece a sus clientes colocar fondos al 60% anual con capitalización mensual, toma un préstamo pero con capitalización trimestral. ¿Cuál debe ser la tasa anual ofrecida al banco, para que la entidad pague la misma tasa efectiva?.

21. ¿En cuánto tiempo un capital de $12.600.- invertido al 13,5% semestral con capitalización trimestral, duplicaría el monto obtenido por $7500.-invertidos al 1,875% mensual, durante el mismo tiempo y la misma capitalización?

22. Un hombre que dispone de $45.000.- ha invertido una parte al 24% anual y el resto al 4,5% bimestral, ambos con capitalización anual. Pasados 12 años los montos de se igualan. Calcule la suma colocada en cada tasa.

23. Una empresa invierte $60.000.- por 20 meses al 5% bimestral, con capitalización mensual. Luego de 15 meses la tasa se incrementa en 1 punto porcentual mensual. Al finalizar el 10º mes se hace un retiro parcial, de forma tal que al final de la operación la suma retirada asciende a $42.738,32. ¿Cuánto dinero se ha retirado en el 10º mes?

24. El 1/3/02 se ha depositado $8.000.- al 9,6% anual con capitalización trimestral. El 1/9/02 la tasa baja al 8,8% anual (con igual capitalización) por lo que se decide retirar $6.000.-. El 1/3/03 la tasa sube al 12% anual, con capitalización trimestral, por lo que se decide depositar $10.000.- más. ¿En que fecha se reunirá $14.485.-?

25. Un capital que es colocado durante 20 meses al 2% mensual, produce $430.- más con el régimen compuesto que con el régimen de capitalización simple. Se pide:

a) ¿Cuál es el valor del capital? b) ¿Qué tasa se debería usar en capitalización simple para que los montos fueses iguales?

26. Se ha abierto una cuenta el 1/6/02 con $8.000.- al 30 % anual con capitalización trimestral. El 1/3/03 se retiran $2.000.-. El resto que da depositado hasta producir un monto de $8.533,75. ¿En qué fecha se reúne dicho monto?

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Respuestas:

1) $20.000.- 14) $7.826,19

2) $18.918.- 15) La 1º por $1.438,24

3) 4 a 10 m 4 d 16) 32,75%

4) 9 semestres 17) $45.563,04

5) 24,57% 18) $12.000.- $8.000.-

6) 19) $288,80

7) $52.941,66 20) 63,05%

8) $1.135.- 21) 4 a 1 m 11 d

9) $24.831,75 22) $25.705,29 $19.294,71

10) $33.488.- $48.964.- 23) $45.000.-

11) $31.216,30 24) 1/6/04

12) 16 a 7 m 27 d desde el 1º dep 25) $5.003,06 2,43%

13) $12.299,32 26) 1/6/03

Estudio Comparativo de la Capitalización Simple y Compuesta A partir de la siguiente representación gráfica, es posible observar que:

• El monto obtenido en el régimen de interés simple va aumentando linealmente, ya que los intereses son siempre generados por el capital inicial. En la operación con interés compuesto la evolución no es lineal sino exponencial, ya que cada año se van generando más intereses como consecuencia de ser el capital cada año mayor.

• Transcurrido un período el monto coincide en ambos regímenes, para cualquier otro momento ya no existe, siendo la diferencia cada vez mayor.

• Para períodos inferiores a la primer capitalización el monto es mayor en régimen de interés simple y, a partir del año, es mayor en la capitalización compuesta. Este es el motivo por el cual es preferible la capitalización simple en operaciones a corto plazo y la compuesta para el largo plazo.

Ejercicio: Cuál de los dos tipos de capitalización es mas conveniente para una persona que deposita $2.000.- durante 10 años a una tasa del 10% anual. ¿Qué sucedería si fuesen 2 años, 1 año o 6 meses en las mismas condiciones?

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Comparación Interés acumulado:

Simple vs. Compuesto

-

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

4.000

4.500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Períodos

$

Interés Simple Interés Compuesto

Comparación Monto: Int. Simple vs. Int. Compuesto

-

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Períodos

$

Interés Simple Interés Compuesto

Fuente: http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Couselo/Web/index.htm