EL JOC COM A EINA EDUCATIVA EN
133
EL JOC COM A EINA EDUCATIVA EN L’APRENENTATGE DE FETS NUMÈRICS BÀSICS PER MILLORAR EL CÀLCUL MENTAL EN UNA AULA DE PRIMÀRIA Treball de Final de Grau de Mestre d’Educació Primària IRMA DARNÉ DUQUE Curs 2015-16 Tutora: Mireia Jurado Salvans Departament de Didàctica de les Arts i les Ciències Universitat de Vic – Universitat Central de Catalunya 13 de maig de 2016
Transcript of EL JOC COM A EINA EDUCATIVA EN
EL JOC COM A EINA EDUCATIVA EN
L’APRENENTATGE DE FETS NUMÈRICS BÀSICS
PER MILLORAR EL CÀLCUL MENTAL EN UNA
AULA DE PRIMÀRIA
Treball de Final de Grau de Mestre
d’Educació Primària
IRMA DARNÉ DUQUE
Curs 2015-16
Tutora: Mireia Jurado Salvans
Departament de Didàctica de les Arts i les Ciències
Universitat de Vic – Universitat Central de Catalunya
13 de maig de 2016
2
RESUM
Aquest treball d’investigació pretén comprovar si incidint específicament en els fets
numèrics bàsics de descompondre el nombre 5 i el nombre 10 a través del joc millora
el càlcul mental, evoluciona el tipus d’estratègies additives utilitzades pels infants de 1r
de primària de l’Escola Vedruna de Ripoll i s’avança cap al coneixement matemàtic
formal. Per aconseguir aquest propòsit, s’han identificat i analitzat els coneixements
dels infants en relació a la descomposició del 5 i el 10 i les estratègies emprades a
l’hora de resoldre operacions additives. L’anàlisi s’ha dut a terme a partir d’una prova
inicial que s’ha tornat a passar després d’haver dissenyat i aplicat una seqüència
didàctica basada en jocs per observar i analitzar l’evolució dels aprenentatges adquirits
per part dels infants.
Paraules clau: jocs matemàtics, descomposició del 5 i el 10, càlcul mental, estratègies
additives, coneixement matemàtic.
ABSTRACT
This research study is expected to verify whether focusing on the basic numeric facts
of part-whole relationships using the 5 and 10 through games improves the mental
calculation, develops the addition strategies used by first grade students of the Ripoll’s
Escola Vedruna elementary school and helps them progress towards a formal
mathematical knowledge. In order to achieve this objective, the children’s part-whole
relationship knowledge and their strategies when solving addition calculations have
been identified and analysed. The analysis has been performed by using an initial test
that students have to complete again after the design and the execution of a game
based learning unit, in order to observe and analyse the acquired knowledge evolution.
Key words: mathematic games, part-whole relationships using the 5 and 10, mental
calculation, addition strategies, mathematical knowledge.
3
ÍNDEX
INTRODUCCIÓ ............................................................................................................ 5
1. PLANTEJAMENT ..................................................................................................... 7
1.1. Justificació de la investigació ............................................................................. 7
1.2. Objectius i hipòtesi de la investigació ................................................................. 8
2. MARC TEÒRIC ........................................................................................................ 9
2.1. El joc com a eina educativa en l’ensenyament-aprenentatge de les
matemàtiques ........................................................................................................... 9
2.1.1. Definició de joc ............................................................................................ 9
2.1.2. Classificació i tipus de jocs ........................................................................ 11
2.1.3. Matemàtiques i joc .................................................................................... 12
2.1.4. Com dur a terme el joc a l’aula? ................................................................ 16
2.2. El sentit numèric i les estratègies d’addició en l’ensenyament de les
matemàtiques ......................................................................................................... 21
2.2.1. Coneixement intuïtiu, informal i formal ....................................................... 21
2.2.2. El sentit numèric: la importància de les relacions entre els nombres ......... 24
2.2.3. Aritmètica informal i formal ........................................................................ 28
3. METODOLOGIA ..................................................................................................... 34
3.1. Orientació metodològica................................................................................... 34
3.2. Context de la investigació i mostreig ................................................................ 35
3.3. Instruments de la recerca ................................................................................. 37
3.4. Procediment de la recerca ............................................................................... 38
4. ANÀLISI DE DADES I RESULTATS ...................................................................... 43
4.1. Procés d’anàlisi de dades ................................................................................ 43
4.2. Resultats de la prova inicial .............................................................................. 50
4
4.2.1. Operació A: 4+1 ........................................................................................ 51
4.2.2. Operació B: 2+3 ........................................................................................ 52
4.2.3. Operació C: 5+5 ........................................................................................ 53
4.2.4. Operació D: 2+8 ........................................................................................ 54
4.2.5. Operació E: 6+5 ........................................................................................ 55
4.2.6. Operació F: 1+9+4 .................................................................................... 56
4.2.7. Operació G: 3+5+7 .................................................................................... 57
4.3. Resultats de la prova final ................................................................................ 59
4.3.1. Operació A: 4+1 ........................................................................................ 59
4.3.2. Operació B: 2+3 ........................................................................................ 60
4.3.3. Operació C: 5+5 ........................................................................................ 61
4.3.4. Operació D: 2+8 ........................................................................................ 62
4.3.5. Operació E: 6+5 ........................................................................................ 63
4.3.6. Operació F: 1+9+4 .................................................................................... 64
4.3.7. Operació G: 3+5+7 .................................................................................... 65
4.4. Comparació dels resultats de les dues proves ................................................. 67
4.4.1. Operació A: 4+1 ........................................................................................ 67
4.4.2. Operació B: 2+3 ........................................................................................ 69
4.4.3. Operació C: 5+5 ........................................................................................ 71
4.4.4. Operació D: 2+8 ........................................................................................ 72
4.4.5. Operació E: 6+5 ........................................................................................ 74
4.4.6. Operació F: 1+9+4 .................................................................................... 76
4.4.7. Operació G: 3+5+7 .................................................................................... 79
4.5. Síntesi general de la comparació de resultats .................................................. 81
5. CONCLUSIONS I PROSPECTIVA ......................................................................... 85
5.1. Conclusions ..................................................................................................... 85
5.2. Prospectiva ...................................................................................................... 90
6. VALORACIÓ FINAL ............................................................................................... 91
7. REFERÈNCIES BIBLIOGRÀFIQUES .................................................................... 92
5
INTRODUCCIÓ
Aquest seguit de pàgines que es troben a continuació corresponen al Treball de Fi de
Grau en Mestre d’Educació Primària de la Universitat de Vic. Concretament, la recerca
s’ha realitzat entorn l’àrea de coneixement de Didàctica de la Matemàtica amb la
intenció de descobrir si una seqüència didàctica basada en jocs i centrada en treballar
els fets numèrics bàsics de descompondre el 5 i el 10 millora el càlcul mental dels
infants de primer curs de primària de l’Escola Vedruna. Específicament, si potencia
l’aparició d’estratègies additives més formals i ajuda als infants a evolucionar de tipus
de coneixement matemàtic.
L’estructura del treball oscil·la entre dos grans eixos: una fonamentació teòrica i un
apartat d’aplicació per donar sentit i fiabilitat a la recerca. Específicament la redacció
del treball s’organitza en sis parts ben diferenciades. El primer capítol explica el
plantejament de la investigació justificant l’elecció de la temàtica de recerca,
presentant els objectius de recerca i la hipòtesi d’investigació.
En el segon capítol es revisa la literatura i s’elabora un marc en el qual es tenen en
compte les aportacions d’autors de referència en el camp de la recerca. En la primera
part s’exposen diverses definicions del terme joc, es classifiquen els jocs depenent de
diferents criteris, s’expliquen els beneficis que aporten els jocs dins l’aula i es detalla
com s’ha de dur a terme una seqüència didàctica basada en jocs. En la segona part
s’expliquen els tres tipus de coneixement matemàtic, es remarca la importància de
desenvolupar en els infants el sentit numèric i es detallen les estratègies informals i
formals d’addició.
El tercer capítol conté la part metodològica de la recerca explicant, primerament,
l’orientació metodològica, el paradigma d’investigació i la metodologia educativa de la
qual parteix l’estudi: la investigació acció. En segon lloc, es presenta el context de la
investigació i el mostreig i, seguidament, s’exposen els instruments utilitzats per recollir
les dades durant la investigació. Finalment es detalla el procediment de la recerca:
planificació, elaboració del pla d’acció, anàlisi i comparació dels resultats i avaluació i
valoració de l’eficàcia del pla d’acció.
El quart capítol mostra l’anàlisi de dades i resultats detallant, primer, el procés seguit a
l’hora d’analitzar les dades obtingudes en la prova inicial i final. Seguidament es
6
presenten els resultats d’aquestes proves per descobrir si els infants han evolucionat
pel que fa al tipus de coneixement matemàtic i d’estratègies d’addició. Específicament
primer es fa un anàlisi detallat de la prova inicial, després de la final i, per últim, es
comparen les dues proves.
En el cinquè capítol es detallen les conclusions de la investigació relacionades amb els
fonaments teòrics detallats al marc teòric i les dades obtingudes durant l’anàlisi de
resultats per verificar la hipòtesi inicial. També s’exposa la prospectiva de l’estudi
obrint noves línies d’investigació que podrien ser tractades en un futur. Finalment, el
sisè i últim capítol presenta les reflexions i valoracions personals adquirides durant la
realització d’aquest treball.
7
1. PLANTEJAMENT
En aquest capítol s’introdueix el problema de recerca justificant, primer, l’elecció de la
temàtica de la investigació. Seguidament es plantegen els objectius que guien i
acompanyen la recerca i es formalitza la hipòtesi.
1.1. Justificació de la investigació Des d’un bon principi tenia clar que volia dur a terme una investigació sobre els jocs
com a font d’aprenentatge de les matemàtiques, ja que durant el primer semestre del
curs passat, cursant l’assignatura "Les matemàtiques en els projectes", vaig tenir
l’oportunitat de conèixer alguns dels beneficis que aporten els jocs en l’aprenentatge
de les matemàtiques. Vaig poder posar-me a la pell de nens i nenes de primària jugant
i, després, analitzant didàcticament què s’aprenia en base a autors de referència sobre
aquesta temàtica. A més, des del primer curs del grau m’ha interessat conèixer altres
maneres d’aprendre matemàtiques, ja que la meva experiència escolar
metodològicament tradicional no ha estat bona creant, inclús, pors entorn a aquesta
àrea de coneixement.
D’altra banda, el contingut matemàtic a tractar a l’hora de dur a terme la part pràctica
d’aquesta recerca, és a dir, la seqüència didàctica basada en jocs aplicada a l’aula de
primer de primària, va ser escollit posteriorment quan vaig elaborar el diagnòstic de la
situació. En altres paraules, quan vaig adonar-me de les dificultats que presentaven
els infants de l’aula entorn a un contingut que ja havien tractat durant el primer
trimestre: la descomposició de nombres i sumes amb nombres de l’1 al 9. Així dons,
vaig centrar-me específicament en tractar un fet numèric bàsic: la descomposició del
nombre 5 i del nombre 10.
Arribats aquest punt, el meu interès de recerca es va focalitzar en dos grans àmbits
que, en aquest cas, s’interrelacionen per aconseguir millorar la realitat existent de
l’aula: els jocs com a font d’aprenentatge de les matemàtiques i la descomposició del
nombre 5 i 10 com a base per millorar el càlcul mental dels infants. Concretament
m’interessava posar en pràctica una seqüència didàctica basada en jocs per descobrir
si era una bona metodologia per tractar un contingut matemàtic tant elemental i bàsic.
8
1.2. Objectius i hipòtesi de la investigació
L’objectiu principal de la investigació és el següent:
Incidir en els fets numèrics bàsics de descompondre el 5 i el 10 a través del joc
per millorar el càlcul mental potenciant l’ús d’estratègies additives formals i
ajudant als infants a evolucionar cap a un tipus de coneixement matemàtic
formal.
Per tal de concretar aquest objectiu principal se’n formulen uns altres d’específics:
Identificar i analitzar els coneixements dels infants en relació als fets numèrics
bàsics de descompondre el nombre 5 i el nombre 10.
Identificar les estratègies que utilitzen els infants de 1r de primària per resoldre
operacions additives.
Dissenyar i desenvolupar una seqüència didàctica basada en jocs matemàtics
amb l’objectiu de millorar el càlcul mental incidint en la descomposició del 5 i
del 10 per potenciar l’aparició d’estratègies additives més formals i ajudar als
infants a avançar en el tipus de coneixement matemàtic.
Comprovar si la seqüència ha permès avançar als alumnes en la comprensió i
automatització de la descomposició del 5 i del 10 i l’aparició d’estratègies
additives, millorant el càlcul mental.
La hipòtesi que es planteja en aquesta recerca és la següent:
Incidint específicament en els fets numèrics bàsics de descompondre el 5 i el 10 a
través del joc millora el càlcul mental, evoluciona el tipus d’estratègies additives
utilitzades pels infants i s’avança cap al coneixement matemàtic formal.
9
2. MARC TEÒRIC
En aquest capítol es presenta el marc teòric de la recerca dividit en dos grans apartats:
el joc com a font d’aprenentatge de les matemàtiques i l’ensenyament-aprenentatge
del contingut matemàtic desenvolupat durant la intervenció elaborada a partir de jocs.
En la primera part s’exposen diverses definicions del terme joc, es classifiquen els jocs
depenent de diferents criteris, s’expliquen els beneficis que aporten els jocs dins l’aula
i es detalla com s’ha de dur a terme una seqüència didàctica basada en jocs. En la
segona part s’expliquen els tres tipus de coneixement matemàtic, es remarca la
importància de desenvolupar en els infants el sentit numèric i es detallen les
estratègies informals i formals d’addició.
2.1. El joc com a eina educativa en l’ensenyament-aprenentatge de les
matemàtiques
En aquest apartat, primerament es defineix què és un joc a partir de diferents
definicions elaborades per autors de referència en aquest àmbit arribant a una única
definició que s’usarà al llarg del treball. Seguidament es realitza una classificació de
jocs, primer partint de conceptes generals i, després, focalitzant en el camp de la
matemàtica. A continuació s’expliquen les raons per les quals s’han d’utilitzar jocs
matemàtics a una aula de primària dividides en dos apartats: raons intrínseques i
raons inherents a la naturalesa del joc. Al final, s’elabora una única metodologia
basada en diferents autors per dur a terme una seqüència didàctica basada en jocs.
2.1.1. Definició de joc
El joc és una activitat universal que no coneix fronteres. A través de les referències
que proporciona la literatura, l’art, l’arqueologia o l’antropologia, es pot descobrir que
les cultures més diverses han utilitzat jocs en els seus rituals religiosos per predir el
futur, exercitar l’agilitat, la punteria, la perspicàcia o, senzillament, per entretenir-se. De
fet, les comunitats humanes sempre han expressat amb jocs la seva interpretació de la
vida i del món (Chamoso, Durán, García, Martín, i Rodríguez, 2004).
Socialment el terme joc s’utilitza per referir-se a multitud d’activitats quotidianes que
els humans practiquen o presencien per entretenir-se i ocupar el seu temps lliure, com
per exemple: jocs d’atzar, d’estratègia, de rol, esportius, a l’aire lliure, de taula o
10
videojocs. No obstant és difícil aproximar-se a una definició que tingui en compte els
múltiples significats enllaçats que comporta aquesta paraula. El diccionari de l’Institut
d’Estudis Catalans (2007) el defineix com “un entreteniment, exercici recreatiu, sotmès
a regles, en el qual entren en competència l’habilitat i la sort dels participants”.
Huizinga (2012:3) considera que “el joc és més vell que la cultura mateixa i s’estén per
totes les etapes de la vida com un ferment cultural”. El defineix com una acció o
ocupació lliure, que es desenvolupa dins d’uns límits temporals i espacials
determinats, segons regles absolutament obligatòries, encara que lliurament
acceptades, i acompanyats de sentiments de tensió i alegria produïts pel caràcter
competitiu.
Bright, Harvey i Wheeler (1985) i Corbalán (1994) incorporen altres aspectes
importants que ajuden a complementar la definició de joc:
El joc és improductiu, és a dir, els jugadors només aspiren al plaer de guanyar
al contrincant.
És incert i activa la imaginació i la predisposició dels participants a fer
prediccions, ja que al començament de qualsevol joc no es coneixen ni els
seus resultats ni les múltiples situacions que s’aniran desenvolupant a mesura
que vagi avançant el joc.
Socialment les situacions dels jocs es consideren d’importància mínima.
Bishop (1998) afegeix que el joc és una part integral de la vida i una necessitat sense
ser un deure, ni habitual ni real. A més, està estretament relacionat amb la bellesa
creant ordre i essent ordre, tenint ritme i harmonia i essent repetitiu. Sovint es
relaciona amb l’enginy i l’humor sense ser un sinònim d’aquests termes tenint
elements d’incertesa i risc. És aliè a l'antítesi entre seny i bogeria, veritat o falsedat, bo
o dolent, vici i virtut, sense tenir una funció moral.
En aquest treball es prendrà com a referència tot el conjunt d’idees que s’han anat
desglossant arribant a una única definició que té en compte les característiques
aportades per tots els autors de referència en aquest camp: el joc es caracteritza per
ser una activitat humana lúdica, lliure, reglada, limitada espacial i temporalment,
11
competitiva, improductiva i de resultat incert, d’importància social i necessari per a la
vida.
2.1.2. Classificació i tipus de jocs
Al llarg de la història, els jocs s’han classificat de maneres molt diverses tenint en
compte diferents característiques. La classificació de Roth (1902, citat a Bishop, 1998:
4) engloba pràcticament totes les tipologies de joc existents en diverses cultures en
funció de si són imaginatius, realistes (utilitzant objectes naturals), imitatius,
discriminadors (jugar a amagar), competitius (combats), propulsius o de plaer.
Gairín (1990) realitza una classificació focalitzada en l’àrea de matemàtiques distingint
els jocs a partir de dues característiques ben diferenciades:
1. Jocs de coneixement. Els jugadors han d’utilitzar conceptes o algoritmes
durant el seu torn, com per exemple: multiplicant o calculant l’àrea d’una figura
plana. Es distingeixen tres nivells d’aplicació en aquest tipus de joc:
o Pre-instruccional. A través del joc l’alumne descobreix un concepte
matemàtic. És a dir, el joc és l’únic vehicle per l’aprenentatge.
o Co-instruccional. El joc és una activitat més de les diferents activitats
que el docent utilitza per ensenyar un bloc temàtic. És a dir, el joc
acompanya a altres recursos d’aprenentatge.
o Post-instruccional. Els infants ja han treballat un tema i mitjançant el joc
es reforcen els aprenentatges. És a dir, el joc serveix per consolidar
l’aprenentatge.
2. Jocs d’estratègia. Els jugadors han de posar en pràctica habilitats,
raonaments o destreses directament relacionades amb la manera en la qual
habitualment procedeixen les matemàtiques. Aquests poden ser de dos tipus:
o Personals: el jugador ha de trobar una forma de resoldre la situació.
o Multipersonals: l’objectiu és guanyar al contrincant.
12
Chamoso et al. (2004) incorporen un altre tipus de joc en el llistat anterior:
3. Jocs d’atzar. Es caracteritzen per tenir un desenvolupament completament
aleatori depenent del resultat que s’obtingui quan es tira un dau o s’extreuen
cartes d’una baralla. Són jocs que resulten familiars als infants i proporcionen
oportunitats per buscar regularitats, realitzar recomptes sistemàtics i assignar
probabilitats.
D’altra banda, Fosnot i Dolk (2001) realitzen una altra classificació que permet atendre
a la diversitat d’una aula entenent que tots els infants són diferents i que, per tant,
necessiten treballar a partir d’activitats que permetin atendre a tots els nivells de
coneixement:
Jocs de taula (Board games). L’autora determina que gairebé tots els jocs de
taula que incorporen caselles tenen potencial d’incorporar grans i rics moments
matemàtics. Alhora s’han de crear moments de reflexió realitzant preguntes
adaptades als coneixements de cada infant per aconseguir aflorar
l’aprenentatge d’aspectes matemàtics.
Jocs de cartes (Card games). Aquesta tipologia de jocs permet, sobretot,
treballar el concepte de cardinalitat i el desenvolupament d’estratègies de
càlcul. A més, facilita el treball amb infants que posseeixen diferents nivells
d’aprenentatge, ja que les cartes disposen de símbols per comptar.
Jocs de daus (Dice games). Segons l’autora, els jocs de daus proporcionen
exactament els mateixos avantatges que les dues tipologies anteriors
permetent la pràctica de conceptes, procediments i estratègies matemàtiques.
2.1.3. Matemàtiques i joc
El joc pot ser una eina útil en l’ensenyament de qualsevol matèria, ja que aquest
connecta amb els interessos de l’infant, forma part de la seva naturalesa i és bàsic pel
seu creixement intel·lectual. El joc crea una zona de desenvolupament pròxima en el
nen o nena que és generadora de nous aprenentatges. No és un tret predominant de
la infància, sinó un factor bàsic del desenvolupament (Vygotski, 1979).
13
Concretament en l’ensenyament de les matemàtiques, el joc presenta multitud de
beneficis, no només per raons lúdiques, sinó també per raons intrínseques de la
mateixa disciplina. Guzmán (1984) exposa que el joc ben reglat i posseïdor de certa
riquesa de moviments, presenta un anàlisi intel·lectual semblant al pensament
matemàtic. Segons aquest autor, la matemàtica, per la seva naturalesa, és també un
joc perquè reclama la coneixença d’unes regles, la seva familiarització i l’aplicació de
tècniques simples que, a mesura que es van repetint, condueixen a l’èxit.
Gairín (1990) argumenta que moltes persones pensen que la matemàtica és una
disciplina que exigeix molta serietat i, no obstant això, l’autor defensa que la major part
dels matemàtics consideren que, entre d’altres aspectes, la matemàtica és un
apassionant joc amb moltes ramificacions i nombroses aplicacions a altres disciplines.
Segons Gardner (1995), el joc és un del mètodes més adequats per a transmetre als
infants el profund interès i entusiasme que les matemàtiques poden generar:
El millor camí per despertar a un estudiant consisteix en oferir-li un intrigant joc,
trencaclosques, truc de màgia, acudit, paradoxa, apariat de naturalesa matemàtica o
qualsevol d’entre una vintena de coses que els professors avorrits tendeixen a evitar
perquè semblen frívoles (Gardner, 1995: pròleg).
Bishop (1998) afegeix que els jocs han estat la base de les principals idees
matemàtiques, particularment en la probabilitat, però també més generalment en la
teoria dels números, en la geometria i en l’àlgebra. A més, l’autor mostra una altra
similitud entre la matemàtica i un tipus de joc concret: l’imitatiu. L’activitat matemàtica
consisteix en el desenvolupament de certs tipus de models de realitat i, per tant, els
jocs imitatius poden ser una base important en l’aprenentatge d’aquesta disciplina. La
descontextualització d’una idea o d’un procés des de la realitat fins a l’abstracció de la
realitat és una part important de la manera en que s’han generat les idees
matemàtiques i, per tant, els jocs d’experimentació poden ser una part important en
l’educació matemàtica.
Edo (1998) presenta les relacions entre el joc i la matemàtica i afirma que tenen
especial importància en l’educació primària:
Raonament lògic: en multitud de jocs hi intervenen estratègies, és a dir, el
jugador ha de descobrir i aplicar alguns procediments que l’ajudin a resoldre la
situació en la qual es troba.
14
Numeració i càlcul: en molts jocs de cartes o daus es manegen números,
quantitats i càlculs. Per tant, una de les relacions més obvies entre joc i
matemàtica és la possibilitat d’augmentar la capacitat de càlcul mental. Aquests
jocs també poden ajudar a comprendre millor les operacions i les seves
propietats, a adquirir nous conceptes com el valor de posició en el sistema de
numeració, a descobrir regularitats, a treballar estratègies numèriques
generals, etc.
Tot i ser variades i profundes les relacions entre jocs i matemàtiques, segons
Chamoso et al. (2004) existeixen altres raons inherents a la naturalesa del joc per
utilitzar aquest recurs a una aula que a continuació es llisten:
Són activitats atractives i acceptades amb facilitat pels estudiants que les
troben variades i les reconeixien com a elements de la seva realitat. Poden
crear un ambient lúdic que contribueixi a despertar la curiositat dels infants i els
ajudi a gaudir de l’alegria del descobriment i el plaer del coneixement. Inclús la
utilització de jocs a l’aula facilitarà esquivar el rebuig d’alguns alumnes en
relació aquesta matèria i superar bloquejos d’altres. Amb tot, s’espera que la
classe sigui més participativa, pràctica, recreativa i amena.
S’aprofita la motivació excepcional que provoquen les activitats recreatives per
demostrar que les matemàtiques no són avorrides ni difícils.
Qualsevol situació de joc que es plantegi a l’aula afavorirà el desenvolupament
social dels i les alumnes, ja que estimularà el tracte amb altres persones, la
col·laboració entre iguals i el treball en equip, l’acceptació de les normes, la
comunicació i discussió d’idees, el reconeixement dels èxits dels demés i la
comprensió dels propis errors. El joc introdueix elements com la novetat, la sort
o la variabilitat. Això afavoreix a la igualtat entre tots, incloent el docent. Aquest
nou ambient ajuda a caviar el paper dels infants a l’aula creant una instrucció
més cooperativa, ja que tots manipulen, aprenen i ensenyen.
Requereixen esforç, rigor, atenció i memòria, estimulen la imaginació,
afavoreixen la creativitat i ensenyen a pensar amb esperit crític. Fomenten la
independència, desenvolupen la capacitat per seguir instruccions, permeten
manejar conceptes, procediments matemàtics i destreses de coneixement en
15
general, i afavoreixen la discussió sobre matemàtiques i un ús ric de formes
d’expressió.
Es recomanen com a generadors d’aprenentatges duradors. Les habilitats
adquirides en condicions d’aprenentatge agradables es retenen normalment
durant períodes de temps més llargs que les que s’adquireixen per imposició o
en condicions adverses essent oblidades després de superar metes a curt
termini com els exàmens.
Poden ser compreses i apreciades sense la necessitat de tenir molts
coneixements previs de matemàtiques provocant situacions on tots els i les
alumnes poden investigar algun aspecte matemàtic. A més, permeten una
correcció immediata de la solució, ja que si no és l’apropiada no s’arriba al
resultat desitjat.
Bright et al. (1985) exposen altres raons i beneficis per jugar a l’aula, com per
exemple: la possible millora d’alumnes de baix rendiment escolar, adquisició de
coneixements i destreses igual o millor que en altres situacions d’aprenentatge i més
bona preparació per a la resolució de problemes. Guzmán (1984) sobretot remarca els
avantatges de tipus psicològic i motivacional que aporta el joc exposant que
freqüentment moltes persones que es declaren incapaces de tota la vida per a la
matemàtica gaudeixen intensament amb trencaclosques i jocs en que l’estructura poc
defereix de la matemàtica.
L’autor segueix argumentant que concretament en aquestes persones existeixen
bloquejos psicològics que ennuvolen la seva ment quan s’adonen que una qüestió que
se’ls proposa, molt més senzilla potser que el joc que practiquen, té a veure amb el
teorema de Pitàgores, per exemple. Aquests bloquejos són causats molt freqüentment
a la infància, on a absurdes preguntes inicials totalment immotivades seguien
respostes aparentment inconnexes que feien de la matemàtica una bola inextricable
cada vegada més absurda i complicada.
Edo (1998) també assegura que els jocs poden ser una activitat satisfactòria,
generadora de diversió i inclús de plaer i que ajuden a reforçar o consolidar
aprenentatges conceptuals, procedimentals i d’actitud. Concretament augmenten les
habilitats de càlcul mental, el desenvolupament de la capacitat de classificació,
seriació comprensió del número, comprensió i ubicació espacial i temporal i el
16
desenvolupament del llenguatge matemàtic. Els jocs també ajuden a diversificar les
propostes didàctiques, afavorir el desenvolupament de l’autoestima dels infants,
relacionar la matemàtica amb una situació generadora de diversió i connectar algun
contingut matemàtic amb una situació pròxima a la realitat extraescolar.
En definitiva, com afirma Bishop (1998: 9), “hi ha bones raons culturals, matemàtiques,
educacionals i psicològiques per incloure els jocs a una classe de matemàtiques”. A
més, els jocs permeten el desenvolupament de l’àrea social, política, moral, emocional
i cognitiva de l’infants i el més important, acaben amb la por i aversió que els i les
alumnes tenen a les matemàtiques.
2.1.4. Com dur a terme el joc a l’aula?
En aquest apartat primer s’expliciten els aspectes previs que s’han de tenir en compte
a l’hora d’introduir jocs matemàtics a l’aula com a recursos didàctics. Posteriorment, es
detalla com ha de ser el disseny de la planificació i el desenvolupament d’una
seqüència didàctica basada en jocs. Tot i que existeixen multitud de metodologies que
tracten els jocs a l’aula, donada la naturalesa d’aquesta recerca únicament s’han inclòs
els autors següents: Edo (1998), Gairín (1990) i Curth (2001).
Consideracions prèvies
Naturalment no tots els jocs són vàlids ni significatius per a l’aprenentatge de les
matemàtiques. Però segons Bishop (1998) tampoc cal que els jocs tinguin com a
màxim objectiu els continguts específics d’aquesta àrea, sinó que també és vàlid que a
partir dels jocs es tractin idees matemàtiques més generals com les regles, els
procediments, plans, estratègies i models. De fet, el joc té una estreta relació amb el
raonament matemàtic i és la base del raonament hipotètic.
Edo (1998) és partidària del joc com una eina necessària per aprendre, però sense
aïllar-la de l’aula ni considerar-la una activitat de poc valor atribuint-li les
característiques de gratuïtat, entreteniment, tonteria, pèrdua de temps, etc. L’autora
exposa que els adults hem comés l’error de considerar el joc només com una activitat
de distracció, d’esplai o d’alliberament de tensions produïdes per les activitats
escolars. És freqüent contraposar el joc a la idea de “treball seriós” associant aquest
17
últim terme amb productivitat, operativitat, aprenentatge, obligatorietat, esforç i
rendiment. Per tant, els jocs no són únicament activitats d’esbarjo, s’han d’entendre
com una pràctica habitual i seriosa a l’escola
Seguint les indicacions d’Edo (1998), convé oblidar que divertit és el contrari d’avorrit,
però no de seriós. És més, per aprofitar els jocs des d’un punt de vista educatiu s’han
de tractar i practicar amb absoluta serietat. Lligat a aquest concepte, cal tenir present
que els jocs s’utilitzen a qualsevol edat, ja que els avantatges d’aprendre en un
ambient agradable són independents d’aquesta.
Tal i com argumenta Edo (1998), els jocs s’han d’usar de manera habitual a l’aula i no
en circumstàncies excepcionals, ja que es corre el risc que es considerin activitats
especials i rares. Hi ha una resistència per part de les famílies dels infants a que els
seus fills i filles juguin a l’escola i, també, part d’oposició entre el professorat, ja que els
seus efectes no són ràpids ni fàcilment quantificables. Però si que són més duradors,
com ja s’ha exposat anteriorment.
Guzmán (1984) exposa que el joc ben seleccionat i ben presentat a l’aula pot ser un
element auxiliar de gran eficàcia per aconseguir amb més profunditat els objectius de
l’ensenyament entenent que aquests consisteixen en ajudar a l’infant a desenvolupar
de forma harmoniosa la seva ment i les seves potencialitats intel·lectuals, sensitives,
afectives i físiques. Chamoso et al. (2004) aclareixen que els jocs són un recurs
didàctic més i, com qualsevol altre instrument, ha d’incorporar-se a l’aula de manera
premeditada i planificada amb una programació prèvia que tingui en compte tots els
factors del procés d’ensenyament-aprenentatge, com per exemple, els coneixements
previs dels infants. Evidentment, en cada cas s’ha de valorar si el joc és l’eina més
adequada per aconseguir els objectius proposats.
A més, quan els jocs s’incorporen a l’aula, si es pretén que no es desvirtuïn
aconseguint avenços pel que fa a l’aprenentatge, cal cuidar les característiques que el
defineixen tal i com exposaven Chamoso et al. (2004):
Lúdica i improductiva: en el moment de la seva presentació han de considerar-
los un divertiment i utilitzar-los exclusivament per jugar. La utilitat didàctica
sorgirà en el desenvolupament posterior si es treballen de forma adequada.
18
Lliure: si no s’aconsegueix despertar en els estudiants el desig de joc, aquest
perdrà el sentit convertint-se en un simple exercici rutinari.
Amb regles pròpies, limitats espacial i temporalment: les sessions de classe
estan limitades temporalment i, per tant, si es vol treure profit d’un joc, convé
que aquesta sigui de poques regles i fàcil de comprendre. Moltes normes i
complicades no conviden a jugar i, inclús, poden suposar un bloqueig inicial. A
més, seria desitjable que el desenvolupament de les partides fos ràpid, ja que
el participant pot avorrir-se si la partida sura molt.
De resultat imprevisible: si són molt previsibles els infants es cansaran de
seguida.
Metodologia basada en jocs
Per aconseguir la quantitat de beneficis citats anteriorment, cal dissenyar
adequadament una proposta coherent que programi detalladament la planificació i el
desenvolupament que es durà a terme per realitzar una programació basada en jocs.
Edo (1998) proposa el disseny que ella mateixa va seguir per revisar, modificar i
millorar un taller de jocs i matemàtiques que es realitzava a una escola, concretament
a Cicle Inicial:
Establir els objectius generals a partir de les següents preguntes, per exemple:
Per què es vol ensenyar matemàtiques a partir de jocs? Què es pretén
aconseguir?
Concretar els continguts matemàtics que es prioritzen.
Dissenyar la situació didàctica inicial seguint aquests passos:
o Nombre d’infants que participen
o Nombre de docents que intervenen
o Espais
o Conèixer el temps que es disposa en cada sessió.
o Determinar la quantitat de jocs que es jugaran, quantes vegades es
repetirà el mateix joc i si la dificultat d’aquests serà progressiva.
19
o Acordar qui escull el joc, quins i per quin motiu es seleccionen.
o Definir què s’espera que aprenguin els participants en cada joc:
continguts, objectius i sistemes d’avaluació.
o Decidir com seran les sessions de joc i qui presenta cada joc nou.
o Idear la manera per evitar la decepció i la pèrdua d’interès en els i les
alumnes.
o Comunicar als infants des d’un principi què farem, com i amb quina
finalitat.
o Preveure la destinació d’un temps per conversar amb els infants abans,
durant i després respecte a “què creuen que poden aprendre” i “què han
après” jugant als jocs proposats.
o Crear les agrupacions d’infants.
o Determinar el paper del docent en totes les situacions possibles.
o Escollir els instruments adequats segons el que es vol observar i
avaluar.
Disseny final: periòdicament es van revisant les situacions inicials resolvent les
qüestions plantejades i introduint modificacions.
Segons Gairín (1990), quan l’experiència ja està dissenyada, cal que el docent tingui
en compte una sèrie de consideracions: practicar el joc prèviament a la presentació
d’aquest als infants per conèixer en profunditat les regles i les seves estratègies i
gaudir-lo; proposar el joc a l’alumnat en el moment precís practicant-lo de forma
correcta, dedicant una preparació prèvia i augmentant la dificultat progressivament; i
aconseguir que tots els infants participin en el joc arbitrant mesures perquè tot
l’alumnat pugui arribar a la solució sense que es faci pública abans que tots l’hagin
obtingut.
També cal estructurar la posada en pràctica dels diferents jocs escollits i programats.
Curth (2001) mostra la planificació d’aquesta fase dividida en tres etapes ben
diferenciades:
1. Joc: en aquesta etapa es dur a terme la comprensió del joc, les regles a seguir
i l’objectiu final d’aquest.
2. Reflexió: aquesta etapa es composarà per activitats que es desprenguin de la
mateixa activitat lúdica, com per exemple, plantejant situacions hipotètiques
20
que podrien haver passat jugant. És important preveure moments de treball
individual i alhora treball col·lectiu creant grups reduïts d’infants, ja que ambdós
proporcionen diferents aprenentatges complementaris.
3. Confrontació: cal disposar d’un temps en l’organització de l’aula amb la
finalitat que els infants presentin i discuteixin les resolucions de les activitats.
Aquesta etapa representa el tancament de les activitats proposades permetent
simultàniament el compliment de diferent objectius:
o Promou l’adequada verbalització de les activitats: ús apropiat del
llenguatge, terminologia, enriquiment del vocabulari, etc.
o Posa en evidència les diferents estratègies que els infants han seguit
durant el temps de joc. D’aquesta manera podran adonar-se que hi ha
altres estratègies més adequades, més senzilles o simplement diferents
de la pròpia.
o Permet valorar els hàbits de seguir, entendre i valorar el raonament aliè,
fonamentar els desenvolupaments, justificar el raonament propi,
realitzar conjectures, escoltar al company, admetre els propis errors,
aprendre a treballar en grup, etc.
21
2.2. El sentit numèric i les estratègies d’addició en l’ensenyament de les
matemàtiques
En aquest apartat es contextualitza l’evolució que els infants haurien de desenvolupar
al llarg de l’educació infantil i primària per adquirir els procediments i continguts de la
matemàtica formal. Per tant, primerament s’expliquen els tipus de coneixement
matemàtic que els infants haurien d’adquirir a mesura que creixen. A més, s'exposa
breument la dualitat existent entre aprendre a partir de la memorització o
l’automatització.
Seguidament es desenvolupa més àmpliament què és el sentit numèric i la seva
importància en l’ensenyament de les matemàtiques, així com també s'anoten i
s'argumenten les quatre relacions que ajuden a desenvolupar el sentit numèric.
Finalment, es detallen les estratègies informals d’addició que els infants segueixen
alhora de resoldre operacions i s’anuncien les estratègies formals pròpies de cursos
més elevats de primària.
2.2.1. Coneixement intuïtiu, informal i formal
Baroody (1988) nega la proposició que durant molt temps s’ha cregut: els infants
preescolars manquen essencialment de pensament matemàtic. És més, l’autor
defensa que el coneixement que aquests posseeixen és necessari per adquirir els
procediments i continguts de la matemàtica escrita i simbòlica que tots coneixem. Per
aquest motiu, gradua tres tipus de coneixement que els infants haurien d’adquirir a
mesura que creixen:
Coneixement intuïtiu
Els infants preescolars posseeixen el sentit numèric bàsic, és a dir, tenen un procés
d’enumeració o correspondència que els permet distingir entre petits conjunts
d’objectes i comprendre “igual”, “diferent” i “més”. Concretament, saben senyalar amb
exactitud els conjunts que tenen més elements de manera intuïtiva per l’extensió o la
longitud que ocupen, és a dir, escullen per l’aparença o percepció que mostren. També
reconeixen si una col·lecció ha estat alterada a causa de l’addició o sostracció
d’objectes. El fet que distingeixin entre números petits no garanteix que puguin
ordenar-los per ordre de magnitud.
22
Coneixement informal
Tot i que el coneixement intuïtiu constitueix la base del desenvolupament matemàtic,
els infants troben que aquest coneixement simple i planer no és suficient per abordar
tasques quantitatives. Per tant, es recolzen cada vegada més en instruments més
precisos i fiables: numerar i comptar. Quan els infants ja s’han après els noms dels
números, aproximadament cap als dos anys d’edat, usen la paraula “dos” per designar
totes les pluralitats: dos o més objectes. Més endavant, comencen a utilitzar la paraula
“tres” per designar “molts” (més de dos objectes). A l’etiquetar col·leccions amb
números, els nens posseeixen un mitjà precís per determinar “igual”, “diferent” i “més”.
Els preescolars inclús arriben a descobrir que comptar pot servir per determinar
exactament els afectes d’afegir o sostreure quantitats d’una col·lecció.
Però aquest coneixement es fa cada vegada menys útil a mesura que els nombres són
més grans. El temps i l’esforç mental requerits per comptar o calcular de manera
informal es fan enormes i arriben a ser prohibitius. A mesura que els números
augmenten, els mètodes informals es van fent cada vegada més propensos a l’error.
En realitat, els infants poden arribar a ser completament incapaços d’usar
procediments informals amb números grans. Encara que els mètodes informals
proporcionin una solució immediata, no poden proporcionar registres a llarg termini.
Coneixement formal
En poques paraules, el coneixement formal és la matemàtica escrita i simbòlica que
s’imparteix a les escoles i permet als infants pensar d’una manera més abstracta i
poderosa, i emprendre amb eficàcia els problemes en els quals intervenen números
grans. És essencial que els nens i nenes aprenguin els conceptes dels ordres d’unitats
de base deu i que pensin en desenes i múltiples de deu per obtenir flexibilitat i facilitat
per dur a terme una àmplia gama de tasques matemàtiques, com per exemple realitzar
aritmètica mental amb nombres de varies xifres. Cal tenir present que molts infants
poden seguir aferrats als mètodes informals després d’haver presentat els algoritmes
per a realitzar operacions portant-ne.
El coneixement informal té un paper crucial en l’aprenentatge significatiu de la
matemàtica formal. Per tant, l’ensenyament formal ha de basar-se en el coneixement
matemàtic informal dels infants. Per aconseguir-ho, els docents han d’explotar les
potencialitats informals perquè l’ensenyament formal sigui significatiu i interessant. En
23
general, les llacunes existents entre el coneixement informal i la instrucció formal
poden explicar les dificultats d’aprenentatge. Quan l’ensenyança formal s’introdueix
massa ràpid sense tenir en compte els coneixements previs dels infants el resultat és
un aprenentatge memorístic i mecànic.
Encara que l’operació bàsica en la qual es centren Kling i Bay-Williams (2015), la
multiplicació, s’allunya de la línia d’investigació d’aquesta recerca, la suma, el procés
que desglossen per aprendre les taules de multiplicar sí que hauria de ser semblant
per automatitzar els fets numèrics bàsics (com descompondre el nombre 5 i 10).
Específicament aquests autors defensen que els estudiants que aprenen les taules de
multiplicar a través de mètodes tradicionals, generalment no retenen les taules perquè
directament es passa de la fase 1 a la fase 3.
Taula 1. Fases del domini de les taules bàsiques
Nota. Adaptat de Kling i Bay-Williams (2015: 550)
Altres autors com Fosnot i Dolk (2001) també han reflexionat sobre la polèmica decisió
de memoritzar les addicions i sostraccions bàsiques (fins a 20) mitjançant exercicis de
Fase 1. Modelar i/o comptar per trobar la resposta (Modeling
and/or counting to find the anwer)
Resoldre 6 x 4 dibuixant 6 grups de quatre punts i, després,
comptar-los
Fase 2. Obtenir respostes usant estratègies de raonament
basades en taules conegudes (Deriving answers using
reasoning strategies based on known facts)
Resoldre 6 x 4 pensant que 5 x 4 = 20 i afegint un altre grup de 4.
Fase 3. Dominar (Mastery)
Producció eficient de respostes sabent que 6 x 4 = 24
24
repetició o entendre les relacions entre els dos processos, com si aquestes
aproximacions fossin contràries. Les autores exposen que el resultat d’aquest debat ha
estat extremista, és a dir, o bé se’ls fa comptar amb els dits o se’ls fa memoritzar
taules de suma i resta aïllades.
Entendre la suma i la resta i les seves relacions és necessari per adquirir un
aprenentatge significatiu, però no és suficient a l’hora d’operar amb nombres més
elevats. Alhora, memoritzar les operacions bàsiques no ajuda a desenvolupar les
relacions entre els nombres ni a desenvolupar estratègies que més endavant seran
necessàries.
Davant aquesta dualitat, Fosnot i Dolk (2001) plantegen la idea de canviar la paraula
“memoritzar” per “automatitzar” a la fi d’aconseguir que els infants pensin en les
relacions dels nombres i acabin “automatitzant” una operació bàsica mitjançant la
focalització en les relacions en comptes de les repeticions. Quan les relacions són el
focus, hi ha menys taules per aprendre i les idees més abstractes com la
compensació, la inclusió jeràrquica i les relacions part-tot (part-whole) comencen a
fluir. A més a més, si un infant oblida la resposta d’una operació té una manera ràpida
d’arribar a la solució.
2.2.2. El sentit numèric: la importància de les relacions entre els nombres
Per aconseguir que els infants avancin en el seu propi aprenentatge fins arribar a un
coneixement formal és necessari que desenvolupin el sentit numèric. Howden (1989,
citat a Van de Walle, Karp i Bay-Williams, 2013: 129) descriu aquest concepte com
una “bona intuïció sobre els nombres i les seves relacions. Es desenvolupa
gradualment com a resultat d’explorar nombres, visualitzant-los en una varietat de
contextos, i relacionant-los en maneres que no estan limitades per algoritmes
tradicionals”.
Van de Walle et al. (2013) afegeixen que el sentit numèric és essencial per
desenvolupar el coneixement dels estudiants sobre la magnitud dels nombres, les
múltiples maneres de pensar sobre la representació dels nombres, utilitzar els
nombres com a referència i desenvolupar percepcions acurades sobre els efectes de
les operacions de nombres. És a dir, els i les alumnes a mesura que treballen les
relacions i connexions entre els nombres, gradualment adquireixen flexibilitat en el
25
pensament numèric. Inclús continuen desenvolupant el sentit numèric a mesura que
comencen a utilitzar nombres en operacions, construir un coneixement del valor de
posició i concebre mètodes flexibles de computació i fer estimacions involucrant
nombres grans, fraccions, decimals i percentatges.
Els mateixos autors, Van de Walle et al. (2013) anoten que, malauradament, els llibres
de text tradicionals directament tracten l’addició i sostracció sense haver treballat
suficientment les relacions entre els nombres. En conseqüència, els infants tenen un
coneixement massa limitat per poder introduir nous temes i, sovint, continuen comptant
d’un en un per solucionar problemes simples tenint dificultats per assolir els
coneixements bàsics. De fet, quan els nens i nenes obtenen el concepte de cardinalitat
i poden usar les seves habilitats de comptar de manera significativa, ja no poden
aconseguir molt més en relació a les activitats de comptar. A partir d’aquest punt, s’ha
d’arribar a crear relacions que no estiguin lligades únicament al concepte de comptar
amb la finalitat de desenvolupar el sentit numèric dels infants. Van de Walle et al.
(2013) llisten les quatre relacions que els infants poden i haurien de desenvolupar amb
els números:
1. Reconeixement de patrons (Patterened sets)
Els infants poden aprendre a reconèixer patrons numèrics identificant-los amb
nombres sense haver de comptar-los. Els més comuns són els patrons de
punts que apareixen en un dau i, de fet, són els més útils, ja que formen part de
molts jocs tradicionals per a infants i adults. Quan els i les alumes aprenen
aquets patrons els hi és més fàcil fer composicions, ja que reconeixen
instantàniament un patró (subitizing) i l’associen al nombre concret que li
correspon.
2. Un i dos més, un i dos menys (One and two more, one and two less)
Quan els infants aprenen a comptar no saben de quina manera està relacionat
un número amb un altre, ja que únicament relacionen paraules que representen
a números amb objectes fins que ja no queden més objectes per comptar (per
exemple: la paraula “u” la relacionen amb un dit i la paraula “dos” amb dos dits).
Per poder reflexionar sobre la relació entre els nombres, cal que els infants
aprenguin que 6 i 8 són “dos més que 6” o “dos menys que 8” en comptes de
26
“ve després de dos cops” o “ ve abans de dos cops”. En les dues últimes
expressions es pot apreciar que els infants exclusivament es basen en la recta
numèrica sense identificar les relacions que existeixen entre els dos nombres.
És important que acabin aprenen, sense la necessitat de comptar, que 7 és un
més que 6 i també dos més que 9, per exemple.
3. Ancoratges o punts de referència del 5 i el 10 (Anchors or benchmarks of 5
and 10).
El número deu juga un paper molt important en el nostre sistema numèric i,
tanmateix, el nombre cinc també. Per això és molt important desenvolupar les
relacions dels números de l’1 al 10 amb els números 5 i 10. S’ha d’aconseguir
que els infants tinguin clares aquestes relacions existents en base el cinc i el
deu per pensar sobre diferents combinacions de nombres (per exemple,
considerar de quina manera el coneixement del 8 com a “5 i 3 més” i com a “2
per arribar a 10” pot jugar un rol en cadascun dels següents casos: 5+3, 8+6, 8-
2, 8-3, 8-4, 13-5). Més endavant, relacions similars poden ser utilitzades en el
desenvolupament de les habilitats de càlcul mental en nombres més grans,
com per exemple 68 + 7.
El model més comú i potser el més important perquè els infants practiquin
aquesta relació és la graella del 10 (ten-frame). Aquesta graella és simplement
una matriu de 2 x 5 en la qual es situen peces o punts per il·lustrar nombres. És
recomanable incorporar primer la graella del 5 (five-frame) per començar a
explorar les possibles relacions existents. Al principi, molts infants necessitaran
comptar cadascuna de les peces que incorporen a la graella i, inclús, per
construir nous nombres els i les alumnes trauran totes les peces de la cartolina
per representar el nombre a partir d’una graella buida. Però de seguida
ajustaran els nombres afegint o traient només els números que fan falta donant
per sabut que quan una fila està plena és perquè simbolitza el nombre cinc
sense haver-lo de comptar.
El més important de tot és no pressionar els infants, ja que amb pràctica
continuada aquests aniran aprenen les relacions. Observar com utilitzen la
graella del 10 pot ajudar a descobrir com els i les alumnes desenvolupen el seu
concepte numèric.
27
4. Relacions part-part-tot (Part-Part Whole Relationships)
Chapin i Johnson (2006: 17) exposen que els infants han d’entendre les
relacions que existeixen entre els nombres com una part i el tot (Part-Whole).
És a dir, els infants han d’entendre que les quantitats són interpretades com a
composicions d’altres nombres, per exemple: el número 6 és un tot i comprèn
petits grups o parts com l’1 i el 5 o el 2 i el 4. Quan els nens i les nenes són
capaços de determinar un nombre com un conjunt d’altres nombres ja estan
preparats per començar a entendre la descomposició de nombres.
Chapin i Johnson (2006: 17) continuen explicant que l’aprenentatge de
relacions requereix temps i és bastant comú trobar infants de cicle inicial de
primària que presenten dificultats per fer construccions amb nombres del 7 al
12. Però en general, si els infants aprenen d’aquesta manera mitjançant la
composició dels nombres, els serà més fàcil aprendre els conceptes numèrics,
la resolució de problemes i el valor de posició; a diferència dels infants que
aprenen comptant. Baroody (1988) afirma que comptar té poc o res a veure
amb el desenvolupament del concepte numèric, ja que hi ha molts nens i nenes
que aprenen a recitar la sèrie numèrica però sense dotar-la de significat.
Per contra, segons Van de Walle et al. (2013) encara que els infants aprenguin
a comptar amb significat un conjunt d’objectes, aquesta pràctica no provoca
que aquests pensin en els nombres i les seves relacions. Per tant, proposa
realitzar activitats en els quals els infants hagin de dir en veu alta o escriure les
possibles combinacions de nombres que formen un número per promoure el
pensament reflexiu focalitzat en les relacions de part-tot (Part-Whole). Les
activitats escrites que es poden dur a terme poden ser plantejades de diverses
maneres: dibuixant, completant espais en blanc o incorporant equacions
d’addicció en el cas d’haver-les treballat (3+5=8). A més, l’autor subratlla que
és important introduir el nombre zero en les relacions part-tot perquè els infants
entenguin que, per exemple, el nombre 7 també pot ser 0+7.
28
2.2.3. Aritmètica informal i formal
Consideracions prèvies
Baroody (1988) exposa que els conceptes informals d’addició i sostracció guien els
intents dels infants per a construir procediments aritmètics informals. Per exemple, per
sumar un més a tres, molts nens i nenes comencen comptant fins a tres i després es
limiten a comptar una unitat més (1, 2, 3; 4). Els infants descobreixen ràpidament que
les relacions entre un número i el que el segueix s’apliquen a problemes N+1 i que les
relacions entre un número i l’anterior poden aplicar-se a N-1. També poden saber que
després d’un nombre qualsevol de la recta numèrica, si se’ls demana 3+1 només han
de dir el número que el segueix (el 4).
El concepte informal que tenen els infants de l’addició pot fer que els problemes N+1
siguin més fàcils de resoldre que els problemes 1+N. Els nens i nenes consideren que
l’addició és un procés augmentatiu i, per tant, interpreten que el problema 3+1 és tres i
un més, cosa que pot resoldre fàcilment comptant (1, 2, 3; 4) o duent a terme les
relacions entre un número donat i el que el segueix (3, 4). En canvi, interpreten que
1+3 és u i tres més, cosa que no es pot resoldre fàcilment amb aquests mètodes. Els
infants poden presentar la tendència a considerar que N+1 i 1+N són problemes
diferents i la suma consegüent no es equivalent sense donar-se compte que el seu
mètode per resoldre N+1 és també eficaç en problemes 1+N.
Però de seguida s’adonen que la suma N+1 o 1+N és el número que segueix a N en la
sèrie numèrica. El desenvolupament d’aquesta regla general de números consecutius
pels problemes amb l’1 és un primer pas molt important per obtenir, més endavant,
una capacitat de càlcul general més flexible. Amb aquesta regla també s’adonen que
poden prescindir de l’ordre dels sumands en problemes amb 1.
Aviat podran fer M+N començant a comptar pel sumand més gran (2 + 6 fan 6; 7, 8). A
més, els infants consideren l’adició com una unió o reunió de dos conjunts d’una
manera gradual, ja que tenen la concepció unionista. La comprensió que l’ordre dels
sumands no altera la suma en els problemes amb 1 és molt important per entendre
profundament l’addició.
29
PasCompte concret
global (CC)
Estratègia de pautes
digitals
Estratègia de
reconeixement de
pautes
És l’estratègia més
bàsica. Els objectes es
compten un per un per
representar un sumand.
El procés es repeteix
amb l’altre sumand.
Després es compten
tots els objectes per
determinar la suma.
Cada sumand es
representa amb una pauta
digital. Així s’evita el
laboriós procés de comptar
els dits un per un per
representar cada sumand.
Amb aquesta estratègia, el
nen només a de comptar
una vegada per determinar
la suma.
És encara més econòmica
que l’anterior, ja que
comporta la creació de
pautes digitals per cada
sumand per, a continuació,
reconèixer la suma
immediatament de manera
visual (mitjançant una
captació directa).
Comptar objectes per
representar el primer
sumand:
Formar una pauta digital
per representar el primer
sumand:
Formar una pauta digital per
representar el primer
sumand:
4 4
1, 2, 3, 4
Comptar objectes per
representar el segon
sumand:
Formar una pauta digital
per representar el segon
sumand:
Formar una pauta digital per
representar el segon
sumand:
2 2
1, 2, 3, 4 1, 2
Comptar tots els
objectes per determinar
la suma:
Comptar tots els dits per
determinar la suma:
Reconèixer el resultat
1, 2, 3, 4 5, 6 1, 2, 3, 4 5, 6 6
1
2
3
Estratègies d’addició informal
a) Procediments concrets
Baroody (1988: 130) explica que inicialment els infants usen objectes concrets per
calcular sumes. A causa de la seva immediata disponibilitat, solen usar els dits per
sumar fins a deu. En el quadre següent es classifiquen els procediments concrets per
resoldre una suma del tipus 4 + 2:
Taula 2. Procediments concrets d’addició informal
Nota. Adaptat de Baroody (1988: 130)
30
A banda d’aquestes tres estratègies, també és freqüent que els infants inventin nous
procediments. Per exemple, els casos com 2+8 o 6+3, són difícils de solucionar usant
el procediment de pautes digitals (per exemple, amb la operació 3+5 es pot formar el
tres en una mà i el cinc en l’altra i, després, comptar tots els dits), ja que un dels
sumands no es pot representar fàcilment amb una mà. Per tant, els infants mateixos
poden modificar la seva estratègia per solucionar problemes de nombres més grans
preparant la pauta digital del sumand més petit (dos dits en el cas de 2+8) i, després,
formant la pauta digital de l’altre número (el vuit) per acabar comptant tots els dits i
anunciar el resultat final.
Altres usen models cardinals ja presents a l’aula per comptar, les pròpies pautes que
proporcionen les xifres (per exemple: els dos extrems del nombre dos o els tres
extrems del nombre 3), el rellotge de l’aula o, inclús, creant un model mental per portar
el compte imaginant-se quatre punts en les cantonades d’una caixa mentre ja han
comptat el primer sumand de la suma 2 + 4. Els procediments basats en aquests
models poden ser la base per la invenció de procediments eficaços de càlcul mental
proporcionant un control que permet escollir de manera intel·ligent entre procediments
informals d’addició.
b) Procediments mentals
Groen i Resnick (1977, citat a Baroody, 1988: 132) exposen que amb el temps els
infants abandonen espontàniament els procediments concrets i inventen procediments
mentals per calcular sumes. A partir d’aquí, els infants ja saben “portar el compte” en
problemes en els quals un dels termes és “1” (N+1 o 1+N) i en altres problemes més
complicats (M+N). En el primer tipus, l’infant només ha de comptar fins a N i dir el
número que el segueix a la sèrie numèrica, en canvi, amb problemes sense “1”, el nen
o nena ha de continuar comptant més enllà de N un número determinat de vegades.
Aquest últim cas requereix mètodes prèviament planificats per portar el compte.
Al principi, els infants utilitzen objectes concrets per portar el compte, sobretot l’ús dels
dits. Per exemple, quan han de sumar 2+4 compten a partir del número dos i, després,
acaben de comptar els números que falten pel resultat estenent els dits fins tenir
quatre dígits a la mà. Si l’infant pot reconèixer automàticament pautes digitals, aquest
procés es pot exercitar amb gran eficàcia i sense massa atenció, ja que conèixer la
pauta digital del quatre permet saber quan ha de parar de comptar.
31
Estratègies informals
de procediments
mentals
Descripció
Aquesta tècnica és una invenció bastant sofisticada perquè no reflexa
directament el procés concret i global de comptar-ho tot i comporta l’enumeració
del segon sumand a mesura que el nen compta a partir del primer (un procés de
control simultani).
2 + 4
1, 2; 3, 4, 5 i 6
Abreviació del procediment CTP, ja que l’infant comença a comptar des del
terme cardinal corresponent al primer sumand.
2 + 4
2; 3, 4, 5 i 6
Aquest mètode implica comptar fins al cardinal del número major a partir d’1 i,
després, seguir comptant mentre s’enumera el terme menor. En aquest cas,
determinar quin dels dos sumands és major ja s’ha fet de manera automàtica,
sense requerir cap esforç.
2 + 4
1, 2, 3, 4; 5 i 6
Els infants es donen compte que comptar el primer sumand és innecessari i que
n’hi ha prou amb anunciar el cardinal que li correspon. Per tant, adopten el
mètode abreviat de començar amb el terme cardinal del sumand major en
comptes de comptar a partir d’1. Aquest és el procés informal d’addició mental
més econòmic.
2 + 4
4; 5 i 6
Comptar-ho tot
començant pel primer
sumand (CTP)
Comptar a partir del
primer sumand (CPP)
Comptar-ho tot
començant pel terme
major (CTM)
Comptar a partir del
terme major (CPM)
Amb el temps, els infants passen de comptar objectes a comptar coses menys
concretes per portar el compte, com per exemple fent copets amb els dits o amb el
llapis quan compten o portar el compte amb un altre compte verbal o subvocal, és a
dir, un doble compte (per exemple, 2+4: 1, 2; 3 és un més, 4 són dos més, 5 són tres
més i 6 són quatre més) arribant a ser un procediment extremadament automàtic i
realitzant-se mentalment.
En el requadre següent s’anuncien gradualment les estratègies informals que els
infants utilitzen un cop ja saben “portar el compte”. Els infants van evolucionant de
procediment a mesura que descobreixen altres maneres més econòmiques de saber el
resultat d’una suma.
Taula 3. Estratègies informals de procediments mentals
32
La invenció espontània de procediments mentals és possible gràcies a l’autocontrol
que els infants comencen a tenir dels nombres. Aquest autocontrol també permet que
els nens i nenes escullin de manera flexible entre diversos procediments mentals
depenent dels nombres que s’hagin de sumar.
D’altra banda, aquesta invenció de procediments d’addició en que els infants no donen
importància a l’ordre dels sumands (CTM o CPM) no es pot confondre en que
directament ja comprenen la propietat commutativa. Pot ser que l’infant, encara que
sumi números en qualsevol ordre, cregui que 3+6 i 6+3, per exemple, no són
equivalents i no donen el mateix resultat.
Parrish (2010) comprimeix les quatre estratègies informals anteriors que proposa
Baroody en dues de ben diferenciades:
Comptar-ho tot (Countig all) que es refereix a CTP.
Comptar a partir de... (Counting on) que es refereix a CPP i CPM, ja que no
fa cap distinció entre retenir a la ment el nombre major o menor per, després,
continuar comptant el nombre que falta per aconseguir obtenir el resultat.
Però la mateixa Parrish (2010) n’afegeix d’altres pertanyents a un coneixement més
formal sobre el càlcul mental:
33
Estratègies Descripció Exemples
Fent dobles
(Doubles/Near
Doubles)
L’infant ajusta els nombres d’una
suma per aconseguir dobles o una
combinació propera als dobles.
8 + 9 = 17
(7+1) + 9
7 + (1+9)
7+10 = 17
8 + 9 = 17
(8+1) + 9
9 + 9 = 18
18 - 1 = 17
8 + 9 = 17
(8+2) + (9+1)
10 + 10 = 20
20 - 3 = 17
Fent deus
(Making tens )
L’infant descompon els nombres
d’una operació per formar deus.
L’objectiu d’aquesta estratègia és
ser capaç d'utilitzar amb fluïdesa
la descomposició del nombre 10
per accelerar el procés d'addició.
8 + 9 = 17
(7+1) + 9
7 + (1+9)
7 + 10 = 17
8 + 9 = 17
8 + (2+7)
(8+2) + 7
10 + 7 = 17
Fent números de
referència
(Making landmarks or
friendly numbers ).
El nen o nena ajusta un o tots els
sumands, afegint o extraient una
mateixa quantitat, per aconseguir
obtenir nombres de referència,
com per exemple: els números
acabats en cinc, els múltiples de
10, el nombre 25 o el 50.
48 + 23 = 71
48 + 2 = 50
50 + 23 = 73
73 - 2 = 71
Compensant
(Compensation)
L’infant manipula els nombres per
fer-los més simples a l’hora
d’afegir-los traient una quantitat
d’un sumand i afegint exactament
la mateixa quantitat en l’altre
sumand.
Descomponent els
dos nombres
segons el valor de
posició de les xifres
(Breaking each
number into its Place
Value)
Es descompon cada sumant i
s’ajunten les xifres que ocupen el
mateix valor de posició. D’aquesta
manera, es combinen les desenes
i les unitats. Els totals s'agreguen
a partir de les quantitats anteriors.
47 + 23 = 70
(40+7) +
(20+3)
40+20 = 60
7+3 = 10
60+10 = 70
Descomponent un
dels nombres
segons el valor de
posició de les xifres
(Adding up in chunks )
És la mateixa estratègia que
l’anterior, però només
descomponent un dels sumands.
D’aquesta manera és més senzill
ajuntar el segon nombre.
47 + 23 = 70
47 + (20+3)
47+20 = 67
67+3 = 70
47 + 23 = 70
(40+7) + 23
40+23 = 63
63+7 = 70
47 + 23 = 70
+3
50 + 20 = 70
47 + 23 = 70
+7
40 + 30 = 70
Taula 5. Estratègies d’addició
Nota. Adaptat de Parrish (2010: 60)
34
3. METODOLOGIA
Aquest capítol conté la part metodològica de la recerca explicant, primerament,
l’orientació metodològica, el paradigma d’investigació i la metodologia educativa de la
qual parteix l’estudi: la investigació acció. En segon lloc, es presenta el context de la
investigació i el mostreig amb la intenció de situar al lector. Seguidament s’argumenta
el procés de selecció de les tècniques de recollia de dades i, finalment, es detalla el
procediment de la recerca: planificació, elaboració del pla d’acció, anàlisi i comparació
dels resultats i avaluació i valoració de l’eficàcia del pla d’acció.
3.1. Orientació metodològica
La investigació forma part del paradigma d’investigació sociocrític, ja que té la finalitat
de descriure, comprendre i transformar una realitat existent. En el meu cas, es posa en
pràctica una seqüència didàctica prèviament planificada tenint en compte el context
des d’on es parteix amb la finalitat de millorar el càlcul mental evolucionant de tipus de
coneixement matemàtic i d’estratègies additives emprades pels infants. D’acord amb
Popkewitz:
Esta perspectiva tiene como objetivo el análisis de las transformaciones sociales y dar
respuesta a determinados problemas generados por éstas. Algunos de sus principios
son: a) conocer y comprender la realidad como praxis; b) unir teoría y práctica:
conocimiento, acción y valores; c) orientar el conocimiento a emancipar y liberar al
hombre, y d) implicar al docente a partir de la autorreflexión (Popkewitz, 1988, citat a
Latorre, Rincón i Arnal, 2005: 42).
Per tant, l’objectiu d’investigació és dialèctic i la posició de l’investigador és alhora
objectiva i subjectiva dins un procés de reflexió crític. A més, la recerca duta a terme
s’engloba dins una investigació qualitativa i interpretativa i l’orientació metodològica
està enfocada a l’aplicació, és a dir, a l’adquisició de coneixement amb el propòsit de
donar respostes a problemes concrets, concretament a la presa de decisions i el canvi
o millora de la pràctica educativa (Latorre, Rincón i Arnal, 2005).
Així doncs, la metodologia educativa de la qual parteix aquest estudi és la investigació
acció. Elliott (1993, citat a Latorre, 2008: 24) defineix aquesta metodologia com “un
estudi d’una situació social amb la finalitat de millorar la qualitat de l’acció dins de la
mateixa”. Aquesta orientació té com a trets principals la participació de les persones
35
que investiguen, la col·laboració del grup de persones implicades, la integració de la
teoria en la pràctica, la cerca d’una millora a través de la intervenció i la pràctica
reflexiva de les pròpies accions.
El procés que s’ha seguit a l’hora de realitzar l’estudi, d’acord amb els principis bàsics
de la investigació acció, ha estat planificar, actuar, observar i reflexionar.
Concretament, s’ha identificat un problema de recerca sobre la pràctica educativa
analitzant les estratègies d’addició i identificant el nivell de coneixement matemàtic en
el qual s’emmarca un grup concret d’alumnes a través d’una prova inicial.
Seguidament s’ha planificat i desenvolupat un pla d’acció que, en aquest cas, ha estat
programar una seqüència didàctica basada en jocs matemàtics.
Per crear aquest pla d’acció s’ha realitzat un estudi profund de les possibles solucions
contraposant-les amb aspectes teòrics de l’àmbit d’investigació. Finalment s’ha avaluat
als infants tornant a passar la mateixa prova amb la intenció de recollir dades per
analitzar-les i comparar-les amb les inicials.
Per acabar, cal remarcar que la investigació acció es transforma en nous cicles, és a
dir, quan la investigació s’ha analitzat i avaluat és comú que es torni a replantejar un
nou cicle per planificar l’acció següent.
3.2. Context de la investigació i mostreig
Aquesta investigació s’ha dut a terme a l’Escola Vedruna de Ripoll, concretament a
primer de primària durant l’estada intensiva de Pràctiques III. L’escola és un centre
concertat que ofereix servei educatiu des dels zero fins als setze anys, d’una línia fins
a sisè de Primària i dues a l’ESO.
L’aula que va ser utilitzada per realitzar la investigació estava formada per un grup
molt nombrós de 30 infants d’entre sis i set anys, dels quals nou eren nenes. Dins
l’aula, convivien i es respectaven diverses cultures i diferents nivells d’aprenentatge.
Durant moltes hores setmanals hi havia una mestra de suport a l’aula, ja que hi havia
un cas d’autisme elevat. A l’aula necessitava una vetlladora, ja que el seu
desenvolupament anava marcat per un Pla Individualitzat i sempre li adaptaven
qualsevol tasca de l’aula. Al mateix temps hi havia un altre infant que patia el
36
Síndrome d’Asperger, però podia seguir perfectament les classes. És més, superava
amb èxit els controls tenint altes capacitats intel·lectuals, però en l’àmbit social i les
relacions amb els companys presentava dificultats. En qualsevol moment es podia
alterar i cridar sense cap mena de motiu.
A part d’aquests dos casos, els infants que no tenien per llengua materna el català
presentaven moltes dificultats d’aprenentatge i, evidentment, necessitaven més ajuda i
suport per seguir les classes. A més, un d’aquests infants presentaven encara més
dificultats afegides, ja que tenia problemes d’oïda i fins feia aproximadament mig any
havia començat a sentir-s’hi i a parlar. Tot just ara descobria el món que l’envoltava i
tot i que tenia capacitats suficients per superar els continguts de primer, no acabava
d’implicar-se en les tasques de l’aula ni en el grup-classe.
Però a l’aula també hi havia cinc casos d’infants que tenien un ritme d’aprenentatge
molt ràpid, especialment en l’àrea de matemàtiques. La resta d’infants anaven
avançant adequadament seguint el seu propi ritme d’aprenentatge. Degut a la
diversitat de nivells d’aprenentatge de l’aula s’ha seleccionat com a mostra tota la
població, és a dir, la totalitat dels infants de la classe per obtenir més dades i
aconseguir una major fiabilitat. A més, la mida de la població és abastable per tractar-
la tota sense experimentar biaixos.
Pel que fa a l’àrea d’experimentació, els infants realitzaven quatre hores setmanals de
matemàtiques, en una d’aquestes treballaven de manera online usant els
chromebooks1 a través de la plataforma symbaloo. També intentaven treballar per
projectes, almenys en realitzaven un per trimestre. La mestra seguia una metodologia
manipulativa a partir de problemes de la vida quotidiana alhora combinant-ho amb una
metodologia més tradicional usant el llibre de text.
1 Ordinadors personals que treballen amb el sistema operatiu Google Chrome Os. Permeten
estar connectats a Internet permanentment, ja que es basen completament en el núvol.
37
3.3. Instruments de la recerca
El procés de selecció de les tècniques de recollida de dades ha estat acurat per
garantir la qualitat de l’estudi i satisfer les necessitats que el tema o problema
d’investigació planteja de manera eficaç per cobrir els objectius formulats. Inicialment,
seguint els passos de Latorre (2008), em vaig formular les següents preguntes: Quin
tipus d’informació busco? Com pretenc recollir-la? Com la registraré? A partir d’aquí,
vaig escollir les tècniques de recollida de dades: l’anàlisi de documents, l’observació,
el diari personal i les gravacions en vídeo.
Primerament es tenia clar que es volia extreure informació d’una prova inicial i final
individual (anàlisi de documents) realitzada per a cada alumne de l’aula per poder
descobrir, per una banda, els coneixements dels infants en relació als fets numèrics
bàsics de descompondre el nombre 5 i el nombre 10 i les estratègies que utilitzaven
per resoldre operacions additives i, per l’altra banda, comprovar analitzant les dues
proves si la seqüència aplicada havia permès avançar als alumnes en la comprensió i
automatització de la descomposició del 5 i del 10 i de les estratègies additives,
sobretot l’estratègia de “fer deus”.
Aquesta prova es va realitzar de forma oral i estava formada per set sumes, cinc de
dos sumands i dues de tres sumands, que progressivament anaven augmentant de
dificultat (vegeu l’annex 1). Mentre els infants realitzaven la prova, observava i anotava
quins processos seguien i quines estratègies adoptaven per resoldre les sumes i,
alhora, gravava en vídeo les situacions que es generaven durant la prova a la fi
d’analitzar detingudament els processos i estratègies que usaven els i les alumnes i
prestar atenció a altres successos que potser em passaven per alt en aquell moment.
Aquesta tècnica em va permetre proporcionar fiabilitat i precisió en detalls importants.
D’altra banda, vaig utilitzar un diari personal en el qual escrivia les reflexions sobre els
fets que anaven succeint amb l’objectiu de poder adquirir més dades o un altre tipus
d’informació sobre el tema tractat.
38
3.4. Procediment de la recerca
A continuació s’explicaran tots els passos que s’han seguit per dur a terme la recerca
seguint el procés d’investigació acció que proposa Latorre (2008):
Taula 6. Procediment de la recerca
Primerament es va elaborar una planificació per identificar el focus d’investigació, idear
el diagnòstic de la situació i formular la hipòtesi d’acció. Es tenia clar que es volia crear
una seqüència didàctica basada en jocs per descobrir la funcionalitat d’aquesta
metodologia, però no es va decidir el contingut matemàtic a tractar fins que es va
experimentar el problema que existia a l’aula observada, és a dir, les dificultats que
presentaven els infants entorn a un contingut que ja havien tractat durant el primer
trimestre: la descomposició de nombres i sumes amb nombres de l’1 al 9.
Posteriorment, es va decidir concretament que es treballaria entorn un fet numèric
bàsic: la descomposició del nombre 5 i del nombre 10 per millorar el càlcul mental
PLANIFICACIÓ
Diagnòstic de la situació: Els infants de primer de primària presenten
dificultats entorn la descomposició de nombres i sumes amb nombres de
l'1 al 9.
Hipòtesi d'acció: Incidint específicament en els fets numèrics bàsics de
descompondre el 5 i el 10 a través del joc millora el càlcul mental,
evoluciona el tipus d’estratègies additives utilitzades pels infants i
s’avança cap al coneixement matemàtic formal.
PLA D'ACCIÓ
ANÀLISI I COMPARACIÓ DELS
RESULTATS
AVALUAR I VALORAR
L'EFICÀCIA DEL PLA D'ACCIÓ
Prova inical Unitat Didàctica Prova final
39
potenciant l’aparició d’estratègies additives formals i ajudant als infants a avançar en el
tipus de coneixement matemàtic.
A partir d’aquí es va elaborar un pla d’acció per canviar la realitat i millorar la situació
educativa. El primer pas va ser dissenyar una prova amb l’objectiu d’identificar els
coneixements previs dels infants sobre la temàtica a tractar i descobrir les estratègies
que utilitzaven per resoldre sumes. Aquesta prova contenia set sumes, cinc de dos
sumands i dues de tres sumands, que progressivament anaven augmentant de
dificultat (vegeu l’annex 1). A més, els infants disposaven de material (taps de suro) i
paper i llapis per si necessitaven suport per resoldre les sumes. Des d’un bon principi,
l’elecció gradual de les sumes era inamovible per diversos motius:
L’augment progressiu de dificultat permetia observar quin nivell d’aprenentatge
tenien els infants.
Els infants que presentaven dificultats d’aprenentatge tenien l’oportunitat de
resoldre les primeres sumes sense bloquejar-se.
La motivació i l’autoestima de l’alumnat podia augmentar quan resolien la
primera suma, després de la incertesa i els nervis de no saber què hi havia en
les targetes.
La selecció de les operacions tampoc va ser causal. Es va intentar escollir unes sumes
que permetessin descobrir les estratègies, informals o formals, que usaven els infants
per resoldre-les i, sobretot, que pertanyessin a descomposicions del nombre cinc (4+1
i 2+3) i del nombre deu (5+5 i 2+8), ja que era el contingut que s’havia determinat per
treballar posteriorment. Durant la primera prova no es coneixen les possibilitats dels
infants i, per aquest motiu, es van incorporar dues operacions de tres sumands a la fi
d’atendre a possibles infants que ja dominaven les sumes anteriors i necessitaven un
grau més de dificultat.
En general, la tasca proposada durant la prova inicial i final estava inspirada en una
activitat dissenyada per Van de Walle et al. (2013: 135) que proposa fer llistes de tres
nombres, dos dels quals sumin el nombre que es vulgui focalitzar, com per exemple el
5. Es tracta que els infants escollin quins dos nombres formen el número 5:
40
2-3-4
5-0-2
1-3-2
3-1-4
2-2-3
4-3-1
En el cas d’aquesta recerca, concretament es va seguir aquest model adaptant
l’estructura i la forma de l’exercici per aconseguir els objectius prèviament establerts.
Es va aplicar el mateix exercici en les dues últimes sumes de tres sumands, però
focalitzades en identificar els dos nombres que formaven el 10 i presentades en forma
d’algoritme per aproximar-se més a la matemàtica formal.
A més, aquestes sumes també tenien la intenció de ser un repte pels infants durant la
segona prova. Dos dels tres sumands que formaven part de les sumes formaven el
nombre deu (1+9+4 i 3+5+7) i durant la seqüència didàctica es treballava la
descomposició del nombre 10 en dos sumands. Per tant, aquestes dos últimes sumes
permetien veure la progressió i la fase d’aplicació d’un contingut en un model nou, ja
que els infants no havien treballat específicament durant la intervenció les sumes de
tres sumands.
La prova es va passar als 30 nens i nenes que hi havia a l’aula a principis del mes de
desembre. Aquesta mateixa prova es va tornar a realitzar a principis del mes de març
un cop finalitzada la intervenció (la seqüència didàctica) per analitzar i comparar els
resultats obtinguts. Aproximadament cada prova va ocupar quatre hores, deu minuts
per infant. Per garantir l’autenticitat de les proves, es va usar el mateix procediment,
contingut i material:
41
1 IntroduccióCom estàs? T'agrada
sumar?
2
Informació sobre
la càmera de
vídeo
Veus aquesta càmera?
Gravarà tot el que fem,
però no et preocupis
perquè només ho veure jo.
3Explicació de
l'activitat
Veus aquestes targetes?
En cadascuna hi ha una
suma. M'hauràs de dir el
resultat de cada suma a
mesura que te les vagi
ensenyant.
4 Desenvolupament
L'examinador diu en veu
alta la suma i dóna tot el
temps necessari a l'infant
perquè resolgui la suma.
5 FinalMoltes gràcies, m'has
ajudat molt.
a.Quan l'infant anuncia un
resultat (correcte o incorrecte)
L'examinador pregunta: com ho has fet?
b. Si l'infant no
aconsegueix dir un resultat
L'examinador li ofereix suport (taps de suro o paper i llapis): Pots utilitzar material per fer la suma si vols.
c. Si l'infant es bloqueja
i, inclús, amb suport no anuncia un resultat
Vols que deixem aquesta suma i en resolem una altra?
Taula 7. Patró d’actuació pel desenvolupament de la prova
Durant la segona prova no va caldre precisar els primers punts que apareixen a la
taula 7 perquè els infants ja coneixien la mecànica de la prova i, evidentment, em
tenien molta més confiança que al principi. Durant la prova s’intentava, mitjançant
preguntes, descobrir les estratègies additives que usaven els infants sense oferir
directament la possibilitat d’utilitzar material per poder fer la suma amb la finalitat
d’evitar que la resolguessin amb suport per motius de comoditat. Evidentment, quan
observava que algun alumne es posava nerviós perquè no sabia com solucionar la
suma, immediatament oferia la possibilitat de resoldre-la amb material.
Els resultats obtinguts de la primera prova també van servir per idear la segona part
del pla d’acció: la seqüència didàctica (vegeu l’annex 2). Descobrir els coneixements
que posseïen els infant sobre el contingut a tractar va facilitar encara més la concreció
dels continguts i la selecció dels jocs per afavorir l’aprenentatge dels i les alumnes. Es
va poder crear una seqüència de jocs feta a mida pels infants seguint la metodologia
42
d’Edo (1998) i Curth (2001) durant quatre setmanes coincidint amb l’estada intensiva
de Pràctiques III, concretament dues sessions per setmana d’una hora cadascuna.
Aquesta seqüència didàctica tenia com a finalitat ensenyar als infants els fets numèrics
bàsics de descompondre el 5 i el 10, ja que es va considerar un contingut bàsic per
desenvolupar posteriorment habilitats de càlcul mental en nombres més grans (Van de
Walle et al., 2013). El motiu real pel qual es va idear la seqüència didàctica, com ja
s’ha anat anotant anteriorment, va ser per comprovar si a través d’una intervenció
pràctica basada en jocs (majoritàriament de cartes) els infants milloraven les
estratègies additives emprades i avançaven de tipus de coneixement matemàtic.
La tercera part del pla d’acció va consistir en tornar a passar la prova inicial per tal de
recollir dades sobre la progressió del tema tractat. Per últim, es valora i s’avalua
l’eficàcia del pla d’acció analitzant les dades obtingudes i redactant unes conclusions.
Seguint la metodologia investigació acció, aquests últims passos servirien per poder
planificar l’acció següent i començar un nou cicle.
43
4. ANÀLISI DE DADES I RESULTATS
En aquest capítol s’explica detalladament el procés seguit a l’hora d’analitzar les dades
obtingudes en la prova inicial i final. Seguidament es presenten els resultats
d’aquestes proves per descobrir si els infants han evolucionat pel que fa al tipus de
coneixement matemàtic i d’estratègies d’addició. Específicament primer es fa un
anàlisi detallat de la prova inicial, després de la final i, per últim, es comparen les dues
proves.
4.1. Procés d’anàlisi de dades
El procés d’anàlisi de dades es va iniciar durant el mes de desembre, després d’haver
passat la prova inicial als infants, ja que es volien descobrir els coneixements previs
d’aquests per crear una Seqüència didàctica coherent, és a dir, feta a mida pels i les
alumnes. Alhora, aquest anàlisi ja serviria per comparar les dues proves.
El primer pas va ser examinar profundament les trenta gravacions de vídeo (una per
cada infant) que contenien les set sumes explicitades amb anterioritat, concretament a
l’apartat 3.4. Tot i que en cadascuna de les proves es prenien notes, les gravacions
van permetre aprofundir molt més en la recerca, ja que es van precisar detalls que en
el seu moment havien passat per alt captant les accions verbals i no verbals dels
infants.
A partir de les gravacions i anotacions preses, es va dur a terme un buidatge de les
dades en set graelles, una per cada tipologia de suma. Aquestes taules es dividien en
dos grans apartats: el procés i la resposta. El primer apartat contenia el
desenvolupament (l’explicació detallada sobre com l’infant havia solucionat la suma),
els errors comesos durant el procés i el material utilitzat. El segon apartat es subdividia
en quatre més: estratègia emprada, automatització de les operacions, resultat obtingut
de la suma i tipus de coneixement matemàtic (intuïtiu, informal i formal).
L’automatització s’identificava durant el procés de resolució de cada suma, ja que hi
havia infants que directament deien la solució de l’algoritme perquè l’havien
automatitzat com a operació bàsica. També es marcaven com a automatitzats els
casos en els quals es recorrien a una automatització per acabar de resoldre la suma,
com per exemple: en l’operació 6+5, alguns dels infants usaven l’operació
automatitzada 5+5 per resoldre la suma més fàcil i ràpidament.
44
Per determinar les estratègies que seguien els infants, es va dur a terme un
procediment de codificació per obtenir una major demostració estadística (Anguera,
1982: 70). El sistema de categories es va construir en base a les estratègies
denominades per Baroody (1988) i Parrish (2010) ja explicitades a l’apartat 2.2.3. Es
va usar una nomenclatura per distingir les diverses estratègies que seguien els infants:
A continuació s’adjunta la taula de buidatge que recull les dades obtingudes durant la
prova inicial de desembre, concretament, la primera suma (4+1). La resta de taules es
troben a l’annex (vegeu l’annex 3).
f No segueix cap estratègia CTM Comptar-ho tot començant pel terme major
2 + 4
1, 2, 3, 4; 5 i 6
CC Compte concret global CPM Comptar a partir del terme major
Els objectes es compten un per un per representar un
sumand. El procés es repeteix amb l’altre sumand.
Després es compten tots els objectes per determinar
la suma.
2 + 4
4; 5 i 6
PD Estratègia de pautes digitals Cincs Fent Cincs
Cada sumand es representa amb una pauta digital. Al
final es compten tots els dits per determinar el resultat.
RP Estratègia de reconeixement de pautes Deus Fent deus (Making tens)
Cada sumand es representa amb una pauta digital. Al
final, mitjançant una captació directa, es determina el
resultat sense haver de comptar.
INP Invenció de nous procediments Dobles Fent dobles (Doubles/Near Doubles)
Usar altres models cardinals per dur a terme el procés
de comptar
CTP Comptar-ho tot començant pel primer sumand NRFent números de referència (Making
landmarks or friendly numbers)
2 + 4
1, 2; 3, 4, 5 i 6
CPP Comptar a partir del primer sumand Compensant Compensant (Compensation)
2 + 4
2; 3, 4, 5 i 6
45
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1
Ha retingut al cap el número més gran (4) i per
resoldre la suma ja sabia que després del 4 venia el
5 (que era un més)
No No CPM No 5 Informal
2 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
3Ha començat a comptar pel nombre més gran
(1,2,3,4) i, després, hi ha afegit l'1No No CTM No 5 Informal
4
Compta per representar el primer sumand, torna a
comptar per representar el segon sumand i, al final,
ho compta tot junt
Primer diu que el resultat
de la suma és 4, però de
seguida canvia d'opinió
perquè compta els dits de
la mà
Dits CC No 5 Informal
5 Directament diu un resultat sense comptar No suma No f No 3 Intuïtiu
6Ha sumat mentalment comptant primer el nombre 4
i, després, afegint-hi l'1No No CTM No 5 Informal
7 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
8Ha començat a comptar pel nombre més gran
(1,2,3,4) amb suport i, després, hi ha afegit l'1No Dits CC No 5 Informal
9 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
10 Directament diu un resultat sense comptar No suma No f No 6 Intuïtiu
11
Directament diu un resultat sense comptar i quan se
li ofereix el material, només agafa dos taps i els
compta
No entén què és sumar No f No 2 Intuïtiu
12 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
13Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
14 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
15 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
16Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
17 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
18
Directament diu un resultat sense comptar i,
després, quan obté el material agafa set taps de
suro i a mesura que els va posant drets els compta
així: 1, 2, 3, 4, 5, 7 i 8
Primer respon que la suma
fa 2 sense haver-ho
comptat.
No segueix bé la recta
numèrica quan compta
amb material
Taps de suro f No 7 Informal
19Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
20Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
21 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
22 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
23Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
24Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
25Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
26 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
27
Forma una pauta digital per formar el primer
sumand, després hi afegeix el segon sumand i
reconeix directament el resultat (un mà amb cinc
dits alçats)
No Dits RP No 5 Informal
28Ha començat a comptar pel nombre més gran
(1,2,3,4) amb suport i, després, hi ha afegit l'1No Dits PD No 5 Informal
29Ha començat a comptar pel nombre més gran
(1,2,3,4) amb suport i, després, hi ha afegit l'1No Taps de suro CC No 5 Informal
30Ha sumat mentalment comptant primer el nombre 4
i, després, afegint-hi l'1No No CTM No 5 Informal
Alu
mn
at
Procés
Suma 4 + 1
Resposta
46
Sumes
4+1 4 13% 16 53% 10 33%
2+3 9 30% 12 40% 9 30%
5+5 2 7% 1 3% 27 90%
2+8 4 13% 20 67% 6 20%
6+5 4 13% 23 77% 3 10%
1+9+4 2 7% 21 70% 7 23%
3+5+7 3 10% 25 83% 2 7%
Coneixement Intuïtiu Coneixement Informal Coneixement Formal
Aquest primer buidatge de les dades va permetre realitzar una segona graella
focalitzada als tipus de coneixements matemàtics incorporant totes les tipologies de
sumes tractades durant la prova. D’aquesta manera, es va poder visualitzar des d’on
partien els infants per poder planificar la següent acció: la seqüència didàctica.
Concretament es va determinar que calia treballar la descomposició del nombre 5 i del
nombre 10 per aconseguir que els infants evolucionessin de coneixement matemàtic
usant estratègies formals per solucionar les operacions, ja que la majoria de l’alumnat
utilitzava estratègies informals.
Taula 1. Tipus de coneixement matemàtic (prova inicial)
La informació que aporta la taula anterior es mostra de manera més visual a
continuació usant els mateixos colors pel que fa a les tres tipologies de coneixements:
Taula 2. Prova inicial
Un cop posada en pràctica i finalitzada la intervenció, es va tornar a passar la mateixa
prova per recollir noves dades que mostressin la progressió de l’alumnat. Per fer el
buidatge de les dades, es van utilitzar les mateixes taules i criteris que en la primera
prova. En total, set taules més de buidatge (vegeu l’annex 4). També es va tornar a fer
Sumes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
4+1
2+3
5+5
2+8
6+5
1+9+4
3+5+7
47
un recompte final sobre el tipus de coneixement en el qual cada infant es trobava per
poder comparar els resultats2.
Per poder analitzar i comparar detalladament les dues proves, es va elaborar una altra
taula centrada en les estratègies emprades pels infants refusant altres aspectes
tractats durant el primer buidatge, com el desenvolupament, els errors i
l’automatització. Aquests conceptes es van considerar secundaris en determinar la
tipologia d’estratègies emprades i l’evolució d’aquestes durant el transcurs de la
recerca, que era el que vertaderament importava.
El model de taula creat codificava les diverses estratègies en categories més àmplies
per poder comparar amb més facilitat i precisió els resultats de les proves segons el
tipus de coneixement matemàtic en el qual es situaven els infants elaborat per
Baroody (1988): coneixement intuïtiu, coneixement informal i coneixement formal.
Aquest registre apareixia en forma de percentatge per determinar amb exactitud el
nombre de casos.
La primera categoria contenia els casos d’infants que no seguien cap estratègia per
resoldre la suma, és a dir, els que simplement es guiaven per l’aparença o percepció
que mostraven els nombres de l’operació anunciant un resultat esporàdic sense haver
aplicat instruments més precisos i fiables, com per exemple: numerar i comptar. El
segon coneixement, l’informal, estava format per dues subcategories coincidents amb
la classificació de Baroody (1988) -procediments concrets i mentals- i, cadascuna
d’elles, contenia les diferents estratègies ja explicades amb anterioritat: CC, PD, RP,
INP, CTP, CPP, CTM i CPM.
La nomenclatura de les estratègies pertanyents al coneixement formal estava
inspirada en les denominacions de Parrish (2010): cincs, deus, dobles, NR i
compensant. A continuació s’exposa un mapa general de la llegenda elaborada i
utilitzada per crear les taules de resultats. A tall d’exemple, també s’adjunta una
d’aquests taules, concretament la que correspon als resultats obtinguts de la suma
4+1 de la primera prova.
2 Aquestes taules apareixen més endavant a l’apartat 4.4 quan es comparen els resultats
obtinguts de les dues proves.
48
T.C Tipus de coneixement
Int. Coneixement Intuïtiu
f No segueix cap estratègia
Coneixement Informal
P. Concrets Procediments Concrets................................................................
CC Compte concret global
PD Estratègia de pautes digitals
RP Estratègia de reconeixement de pautes
INP Invenció de nous procediments
P. Mentals Procediments Mentals................................................................
CTP Comptar-ho tot començant pel primer sumand
CPP Comptar a partir del primer sumand
CTM Comptar-ho tot començant pel terme major
CPM Comptar a partir del terme major
Coneixement Formal
Cincs Fent cincs
Deus Fent deus (Making tens)
Dobles Fent dobles (Doubles/Near Doubles)
NR Fent números de referència (Making landmarks or friendly numbers)
Compensant Compensant (Compensation)
X Resultats incorrectes
49
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x x 4 13%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Prova inicial: Suma 4+1
Deus
Dobles
NR
CompensantConeix
em
ent F
orm
al
Estratègies
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Cincs
f
Total
5 17%
11 37%
10 33%
Taula 1. PI - A
50
Per poder identificar i catalogar les catorze taules totals s’utilitzarà una nomenclatura
específica seguint els mateixos criteris. Primer apareixerà el nombre de la taula i, a
continuació, el codi PI (prova inicial) o PF (prova final) seguit de la lletra pertanyent a
cadascuna de les sumes:
A 4+1
B 2+3
C 5+5
D 2+8
E 6+5
F 1+9+4
G 3+5+7
A més, el color del títol de cada taula té correspondència amb el color de cada taula de
buidatge recollides a l’annex (vegeu l’annex 3 i 4). És a dir, cada color correspon a una
operació específica de la prova.
En les sumes que els infants usen 5+5 per arribar a un resultat final, com per exemple
en l’operació C i E, es podrien interpretar diferents estratègies: deus i dobles.
Qualsevol d’aquestes possibilitats seria correcte, però s’ha decidit que en aquests
casos es seguiria el mateix criteri per determinar l’estratègia emprada: deus. El motiu
pel qual s’ha arribat a aquesta determinació ha estat el contingut tractat durant la
seqüència didàctica: la descomposició del nombre deu. S’interpreta que després
d’haver treballat aquest contingut, quan resolguin sumes utilitzant l’operació bàsica
5+5 sigui perquè coneixen la descomposició del deu.
4.2. Resultats de la prova inicial
En aquest apartat s’exposaran els resultats de la primera prova passada durant el mes
de desembre. Es seguirà una estructura lògica tenint en compte la dificultat de les
sumes, és a dir, s’aniran analitzant les taules seguint l’ordre amb el qual es va passar
la prova als infants.
Per últim, cal afegir que per realitzar l’anàlisi de cadascuna de les taules es tindran en
compte els següents aspectes: els nivells de coneixement matemàtic, les estratègies
emprades i els resultats erronis.
51
4.2.1. Operació A: 4+1
Taula 1. PI - A
La primera operació que els infants van resoldre durant la prova va ser la suma 4+1.
La taula mostra que el 54% dels infants es situen en el nivell de coneixement informal.
Concretament, 5 alumnes utilitzen procediments concrets per resoldre la suma, és a
dir, compten els dos sumands de l’operació amb suport. Específicament, tres infants
segueixen l’estratègia compte concret global (CC), manipulant objectes per determinar
la solució. Els altres dos alumnes utilitzen les pròpies pautes digitals per sumar, un
d’ells formant els dos sumands de l’operació amb els dits i després comptant el total
(PD) i, l’altre, directament reconeixent mitjançant una captació directa el resultat.
En canvi, el 37% de l’alumnat fa servir procediments mentals. Tres d’aquests casos
resolen la suma a través de l’estratègia CTM, és a dir, comptant els dos sumands
començant pel terme major (1, 2, 3, 4; 5). D’aquest 37%, 8 alumnes utilitzen una
estratègia més rendible que l’anterior comptant a partir del terme major només afegint-
hi mentalment al nombre quatre un número més (CPM).
Per contra, el 33% de l’alumnat se situa en el coneixement formal i la totalitat
d’aquesta agrupació aplica l’estratègia de fer cincs per establir la solució, és a dir,
reconeixen que el 4 i l’1 formen el nombre cinc. Tot i així, un 13% dels estudiants
posseeixen un coneixement intuïtiu guiant-se per l’aparença o percepció dels nombres
de l’operació anunciant un resultat intuïtiu sense haver aplicat cap estratègia. Aquests
quatre infants no arriben a la solució correcta de l’operació.
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x x 4 13%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Prova inicial: Suma 4+1
Deus
Dobles
NR
CompensantConeix
em
ent F
orm
al
Estratègies
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Cincs
f
Total
5 17%
11 37%
10 33%
52
4.2.2. Operació B: 2+3
Taula 2. PI - B
En la suma 2+3, la majoria dels infants (60%) utilitzen procediments concrets i mentals
inclosos dins el nivell de coneixement informal. Pel que fa als procediments concrets,
dos alumnes segueixen l’estratègia CC formant els dos sumands de la suma
mitjançant material per recomptar-los al final, dos infants més utilitzen l’estratègia de
pautes digitals (PD) i un altre l’estratègia de reconeixement de pautes (RP). Aquests
tres casos fan servir les pròpies pautes digitals per comptar els sumands de l’operació.
A més, en aquesta operació, existeix un cas d’invenció de nous procediments (INP).
L’infant usa les pròpies pautes que proporcionen les xifres (els extrems dels nombres)
per comptar i determinar el resultat de l’operació.
Pel que fa als procediments mentals, tres estudiants segueixen l’estratègia CTP
començant a comptar pel primer sumand per acabar anunciant el resultat. L’estratègia
CPP és la que apliquen més infants (en total 6) i encara que sigui molt similar a
l’anterior, aquesta permet començar a comptar a partir del primer sumand sense la
necessitat de comptar-lo des de l’inici de la recta numèrica. En concret, dos casos
empren l’estratègia CTM iniciant el comptatge pel terme major. Només un alumne
s’estalvia comptar des de l’inici de la recta numèrica el terme major, ja que aplica
l’estratègia CPM retenint el terme major al cap per sumar-li, ràpidament, el nombre 2.
El coneixement formal està constituït per 9 alumnes (30%) que utilitzen la mateixa
estratègia: fer cincs. Aquests identifiquen directament sense la necessitat de numerar i
comptar que els dos sumands de l’operació formen el nombre cinc. Només el 10% dels
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x 3 10%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
P. C
oncre
ts
12 40%
9 30%
Prova inicial: Suma 2+3
P. M
enta
ls
Total
6 20%
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
53
infants no segueixen cap estratègia situant-se al nivell de coneixement intuïtiu i
resolent la suma erròniament. Concretament, el cas 11 i 18 no entenen què se’ls
demana.
4.2.3. Operació C: 5+5
Taula 3. PI - C
L’operació C, que correspon a 5+5, és la suma que ha obtingut més bons resultats
durant la prova inicial. El 90% de l’alumnat es situa en el nivell de coneixement formal
usant l’estratègia de “fer deus” per determinar el resultat, ja que coneixen sense haver
de comptar que dos cincs constitueixen un deu. És interessant subratllar el cas de
l’infant 26 que resol la suma duent a terme l’estratègia de “fer dobles” determinant que
4+4=8 i afegint-hi dos més per acabar de determinar el resultat.
Tot i així, existeix un cas en el qual necessita fer un procediment mental, concretament
mitjançant l’estratègia CPP, per determinar amb seguretat el resultat de la suma. Per
últim, dos infants pertanyents al nivell de coneixement intuïtiu (l’11 i el 18) no resolen
adequadament la suma, ja que específicament no segueixen cap estratègia i només es
guien per l’aparença dels dos nombres que han de sumar sense aplicar cap
procediment.
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x 2 7%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Prova inicial: Suma 5+5
Total
0 0%
1 3%
27 90%
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
54
4.2.4. Operació D: 2+8
Taula 4. PI - D
La majoria de l’alumnat, amb un 67%, utilitza estratègies pertanyents al coneixement
informal per resoldre la suma 2+8. Concretament, el 27% aplica procediments
concrets: tres infants segueixen l’estratègia CC comptant material per determinar el
resultat, un alumne fa servir l’estratègia de pautes digitals (PD), tres més usen
l’estratègia de reconeixement de pautes (RP) i un últim infant s’inventa un nou
procediment per solucionar l’operació (INP). Val a dir que aquest últim cas és el mateix
infant que durant l’operació B resol la suma comptant els extrems dels nombres.
D’altra banda, el 40% pertanyent al nivell de coneixement informal resol la suma a
través de procediments mentals. Específicament 9 d’aquests infants apliquen
l’estratègia CPM que els permet arribar a un resultat més ràpidament, ja que retenen el
nombre més gran i només cal que hi afegeixin mentalment el terme menor. Però dos
altres infants necessiten comptar, sense retenir, el terme major de la suma per després
afegir-li el terme menor (CTM): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; 9 i 10. Per últim, un únic infant
segueix l’estratègia CPP de començar a comptar a partir del primer sumand sense
tenir en compte quin és el terme major.
Pel que fa al coneixement formal, el 20% de l’alumnat utilitza l’estratègia de “fer deus”
sabent directament que el dos i el vuit forma el nombre 10 independentment de l’ordre
dels sumands. Per contra, el 13% dels infants s’emmarquen en el nivell de
coneixement intuïtiu sense resoldre adequadament la suma. Concretament els infants
11 i 18 segueixen sense entendre què han de fer. Tot i així, en aquesta operació
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x x 4 13%
CC x
PD
RP x
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Total
Prova inicial: Suma 2+8
8
12
6
27%
40%
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Estratègies
20%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
55
existeixen dos casos més d’infants que, tot i que segueixen estratègies pertanyents a
procediments concrets, s’equivoquen a l’hora d’anunciar la solució deixant-se material
per comptar.
4.2.5. Operació E: 6+5
Taula 5. PI - E
En aquesta operació (6+5) sobretot predominen les estratègies pertanyents a un
coneixement informal. Són molt pocs els infants que arriben a aplicar una estratègia
formal per resoldre la suma. Inclús existeix un tan per cent més elevat d’infants que es
situen en el coneixement intuïtiu respecte dels que es mostren a un coneixement
formal.
Concretament, el 76% de l’alumnat es troba en el coneixement informal: 10 infants
segueixen procediments concrets i 13 en segueixen de mentals. Pel que fa als
procediments concrets, la majoria d’alumnes (set en total) utilitzen els dits per comptar
els dos sumands de la suma (PD). Només tres infants necessiten material per
determinar el resultat (CC). Pel que fa als procediments mentals, la totalitat de
l’alumnat reté el terme major per, després, seguir comptant el terme menor (CPM): 6;
7, 8, 9, 10 i 11.
El 10% de l’alumnat es situa en el nivell de coneixement formal utilitzant l’estratègia de
“fer deus” determinant que 5+5 dóna 10 i afegint-t’hi l’1 per saber el resultat de
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x x 4 13%
CC x
PD x
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM x x x x
Prova inicial: Suma 6+5
10 33%
13 43%
3 10%
Total
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
56
l’operació. En canvi, el 13% no segueix cap estratègia trobant-se en el nivell de
coneixement intuïtiu.
Dels trenta infants analitzats, deu no arriben a la solució correcta. Específicament
quatre dels infants que resolen l’operació a través de l’estratègia CPM, un que segueix
el procediment concret PD, un altre que usa el CC i, per últim, els quatre infants que es
mostren al nivell de coneixement intuïtiu (els infants 11 i 18 no entenen la tasca a
realitzar dient com a resultat un nombre a l’atzar).
4.2.6. Operació F: 1+9+4
Taula 6. PI - F
La penúltima operació passada durant la prova va ser de tres sumands: 1+9+4. A
causa de l’elevada dificultat d’aquesta, s’aprecia una alta concentració d’infants que
usen procediments concrets per resoldre la suma (47%), és a dir, necessiten material
per poder portar els comptes. En conjunt, el nivell de coneixement informal forma el
70% de l’alumnat. El coneixement formal constitueix el 23% i l’intuïtiu el 7%.
Centrant l’atenció en el coneixement informal, concretament els procediments
concrets, es visualitzen vuit alumnes que usen l’estratègia CC: formen amb material el
primer, el segon i el tercer sumand i, al final, ho compten tot junt per anunciar el
resultat. Existeixen cinc casos d’infants que s’ajuden de les seves pròpies pautes
digitals per portar el compte dels diferents components de l’operació (PD). Només un
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x 2 7%
CC x x x
PD x x
RP
INP
CTP
CPP
CTM x
CPM
x
Prova inicial: Suma 1+9+4
Total
14 47%
7 23%
7 23%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
57
únic infant, el mateix que en les operacions B i D, s’inventa nous procediments per
determinar el resultat comptant els extrems dels nombres (INP).
D’altra banda, un 23% de l’alumnat ha usat procediments mentals, específicament sis
d’aquests empren l’estratègia CPM retenint el nombre més gran al cap i continuant
comptant la resta de sumands. Només existeix el cas d’un infant que necessita
comptar des del principi de la recta numèrica el nombre més elevat de la suma (el 9)
per, després, afegir-hi els altres sumands (CTM).
Pel que fa al coneixement formal, el 23% dels infants utilitzen l’estratègia de fer deus,
és a dir, identifiquen el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, resolen la suma acabant de
comptar l’últim sumand o reconeixent directament el resultat. El 7% restant es situa en
el nivell de coneixement intuïtiu directament sense donar cap resultat
A nivell de resultats, hi ha 9 casos que resolen incorrectament la suma: els dos infants
que es situen en el coneixement intuïtiu (directament sense dir un resultat), cinc
alumnes que usen procediments concrets, un infant que segueix el procediment
mental CTM i un altre que utilitza l’estratègia de “fer deus”, però es descompta quan hi
afegeix l’últim sumand.
4.2.7. Operació G: 3+5+7
Taula 7. PI - G
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x 3 10%
CC x x x
PD x x
RP x x
INP
CTP
CPP x
CTM x
CPM x x x
x
x
Prova inicial: Suma 3+5+7
Total
18 60%
7 23%
2 7%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
58
A primer cop d’ull es pot observar la gran quantitat de casos que s’emmarquen dins el
nivell de coneixement informal, sobretot en els procediments concrets. La dificultat de
la suma 3+5+7 provoca aquest contrast havent-hi només dos casos situats en el nivell
de coneixement formal.
El 10% dels infants formen part del nivell de coneixement intuïtiu, ja que no utilitzen
cap estratègia per dur a terme la suma. Els tres casos (9, 11 i 18) directament no
resolen la suma ni anuncien cap resultat. D’alta banda, només el 7% de l’alumnat
utilitza una estratègia formal, però sense arribar a una resposta correcta. Un d’aquests
casos segueix l’estratègia de “fer deus” utilitzant l’operació bàsica 5+5=10, però
descomptant-se a l’introduir la resta de sumands. L’altre infant aplica l’estratègia de
“fer dobles” però erròniament, ja que determina que els dos primer sumands fan 7 i,
després, anuncia que 7+7=14.
La majoria d’infants es situen en el nivell de coneixement informal (83%). En total 18
estudiants segueixen procediments concrets, específicament la meitat d’aquests casos
resolen la suma a través de l’estratègia CC (mitjançant material) i l’altra meitat a partir
de les pròpies pautes digitals: 6 d’ells comptant tots els dits per determinar el resultat
(PD) i els 3 restants reconeixent la suma immediatament de manera visual. Pel que fa
als procediments mentals, dels 7 infants que n’utilitzen dos segueixen l’estratègia CPP
de començar a comptar a partir del primer sumand, un únic infant aplica l’estratègia
CTM comptant tots els sumands des del principi de la recta numèrica començant pel
terme major i els últims quatre usen l’estratègia CPM començant a comptar a partir del
terme major.
Per acabar, cal esmentar que a banda dels 5 resultats incorrectes dels infants
pertanyents al nivell de coneixement intuïtiu i informal, també hi van haver 12 errades
provinents de l’alumnat que va utilitzar estratègies informals. En total, hi van haver 17
respostes incorrectes.
59
4.3. Resultats de la prova final
En aquest apartat s’exposaran els resultats de la prova final passada durant el mes de
març. Es seguirà la mateixa estructura que en l’apartat anterior tenint en compte els
tres objectes d’anàlisi: els nivells de coneixement matemàtic, les estratègies emprades
i els resultats erronis.
4.3.1. Operació A: 4+1
Taula 8. PF - A
La majoria de l’alumnat (77%) es situa en el nivell de coneixement formal. Són pocs
els que es troben en el nivell de coneixement informal (20%) i només hi ha un cas que
s’emmarca dins del coneixement intuïtiu (3%).
Pel que fa al coneixement formal, la totalitat d’infants usen l’estratègia de “fer cincs”
per solucionar l’operació, és a dir, coneixen i capten directament sense la necessitat
de comptar que el nombre 4 i l’1 formen el cinc. Centrant l’atenció al coneixement
informal, el 10% de l’alumnat dur a terme procediments concrets amb el suport de les
pròpies pautes digitals, concretament dos casos a través de l’estratègia PD i un únic
cas a partir de l’estratègia RP reconeixent directament el resultat sense la necessitat
de comptar.
El cas que es situa en el coneixement intuïtiu (l’11) coincideix amb l’única resposta
incorrecta, ja que no utilitza cap estratègia per determinar el resultat i simplement
anuncia un nombre intuïtiu i a l’atzar.
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 1 3%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
TotalEstratègies
Prova final: Suma 4+1
3 10%
3 10%
23 77%
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Coneix
em
ent F
orm
al
Compensant
Cincs
Deus
Dobles
NR
60
4.3.2. Operació B: 2+3
Taula 9. PF - B
En l’operació 2+3 el 53% de l’alumnat es situa en el nivell de coneixement formal usant
l’estratègia de “fer cincs” identificant sense la necessitat de comptar que el dos i el tres
formen el nombre cinc. D’altra banda, el 40% dels infants s’emmarquen dins un nivell
de coneixement informal i el 7% restant es situa en el nivell intuïtiu sense aplicar cap
estratègia per resoldre la suma.
Centrant l’atenció en el coneixement informal, el 13% usa procediments concrets amb
l’ajuda de pautes digitals per determinar el resultat de l’operació. D’aquests casos, tres
segueixen l’estratègia PD comptant tots els dits alçats al final de la composició dels
dos sumands i un únic infant segueix l’estratègia RP directament reconeixent el
nombre un cop ha representant els dos sumands amb els dits. El 27% d’infants usa
procediments mentals per resoldre l’operació: quatre d’aquests a partir de l’estratègia
CPP comptant a partir del primer sumand, un únic infant dur a terme l’estratègia CTM
comptant tots els termes de la suma començant pel nombre major i, per últim, tres
infants apliquen l’estratègia més eficaç d’aquest tipus de coneixement (CPM) comptant
d’aquesta manera: 3; 4 i 5.
Pel que fa al coneixement intuïtiu, l’infant 18 resol correctament la suma sense haver
aplicat cap estratègia, simplement determinant un resultat espontani. En canvi, l’infant
11 anuncia un resultat incorrecte essent l’únic cas que s’equivoca durant aquesta
operació.
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 2 7%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
16 53%
4 13%
8 27%
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Prova final: Suma 2+3
TotalEstratègies
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
61
4.3.3. Operació C: 5+5
Taula 10. PF - C
La totalitat dels infants (100%) es mostra en el nivell de coneixement formal utilitzant
l’estratègia de “fer deus” per determinar el resultat de la suma. Absolutament tot
l’alumnat reconeix directament que el 5 i el 5 junts formen el nombre 10, sense la
necessitat de portar el compte usant estratègies informals. Cal assenyalar que tots els
infants han arribat a la solució correcta, incloent-hi el cas 11 que en totes les altres
operacions es mostra al nivell de coneixement intuïtiu responent incorrectament.
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
0 0%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Prova final: Suma 5+5
Total
0 0%
0 0%
30 100%
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
62
4.3.4. Operació D: 2+8
Taula 11. PF - D
La majoria de l’alumnat (67%) es situa en el nivell de coneixement formal utilitzant com
estratègia la de “fer deus” identificant directament que el dos i el vuit formen el nombre
10 sense haver de portar el compte. Tot i així, el 30% dels infants usen estratègies
informals emmarcades dins els coneixement informal. Només un 3% es mostra en el
nivell intuïtiu, concretament el cas 11 que continua sense entendre què ha de fer
anunciant un resultat a l’atzar.
Els casos pertanyents al coneixement informal estan constituïts per tres infants que
apliquen procediments mentals -concretament CPM comptant a partir del terme major-
i sis més que segueixen procediments concrets. D’aquesta última agrupació, tres
estudiants utilitzen material que els ajuda a numerar i, en definitiva, a determinar el
resultat (CC). Els altres tres infants s’ajuden de les pròpies pautes digitals per comptar
i arribar a una solució correcta (dos infants a través de l’estratègia PD i un únic alumne
a partir de l’estratègia RP).
En definitiva, només hi ha dos infants que anuncien un resultat incorrecte: l’11 i el 18.
Aquest últim, tot i que empra una estratègia concreta, es deixa el sumand menor per
acabar de comptar.
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 1 3%
CC x
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Prova final: Suma 2+8
20 67%
6 20%
3 10%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Total
63
4.3.5. Operació E: 6+5
Taula 12. PF - E
El 60% de l’alumnat es situa en un nivell de coneixement informal presidit d’un 37% de
casos que es troben emmarcats en un nivell de coneixement formal. Únicament el 3%
es situa en el nivell de coneixement intuïtiu.
Pel que fa al coneixement informal, el 23% de casos segueixen procediments concrets
per solucionar l’operació: dos dels infants fan servir material a l’hora d’enumerar els
dos sumands per, després, comptar-los tots junts (CC); quatre més segueixen
l’estratègia PD usant les pròpies pautes digitals per formar els dos sumands i, a al
final, comptar-los tots; i l’últim infant utilitza l’estratègia RP reconeixent les pautes
digitals un cop ha representat els dos sumands que composen l’operació.
Els infants que s’emmarquen dins el nivell formal, segueixen diferents processos. La
majoria (9 casos) utilitza l’estratègia de “fer deus” identificant l’operació bàsica 5+5=10
i, després, sumant-n’hi un més. Un altre infant usa conjuntament l’estratègia de “fer
deus” i “fer cincs”, primerament, descomponent el nombre cinc (4+1) i, segonament,
determinant que 6+4=10 per acabar sumant-hi l’1 corresponent a la descomposició del
cinc que ha realitzat prèviament. Un últim alumne utilitza l’estratègia de “fer dobles” per
determinar el resultat de la suma identificant que 6+6=12 i, després, restant-n’hi 1.
En el nivell de coneixement intuïtiu només hi ha un cas, l’11, que segueix sense
entendre la tasca a realitzar i anunciant un resultat a l’atzar. En total, comptant també
aquest últim cas, cinc infants resolen la suma incorrectament: el 18 es deixa un
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 1 3%
CC x
PD x
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM x x
Prova final: Suma 6+5
11 37%
11 37%
Total
7 23%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
64
sumand per formar amb material i el 13, el 23 i el 26 es descompten quan apliquen
l’estratègia informal emprada.
4.3.6. Operació F: 1+9+4
Taula 13. PF - F
En l’operació de tres sumands 1+9+4, el 53% d’infants es situen en un nivell de
coneixement formal utilitzant l’estratègia de “fer deus” per determinar el resultat de la
suma. Concretament, identifiquen el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, resolen la suma
acabant de comptar l’últim sumand o reconeixent directament el resultat. Tot i que un
d’aquests casos es descompta a l’hora d’afegir-hi l’últim sumand anunciant un resultat
incorrecte.
En aquest cas, el coneixement informal conté el 43% dels avaluats, concretament sis
infants usen procediments concrets i set n’usen de mentals. Pel que fa als concrets,
quatre casos necessiten material per poder desenvolupar la suma (CC), tot i que un
infant no acaba d’arribar al resultat correcte. Els dos infants restants, recorren a
l’estratègia de pautes digitals (PD), però sense solucionar correctament la suma
deixant-se dits per comptar.
Pel que fa als procediments mentals, tres infants segueixen l’estratègia CPP comptant
a partir del primer sumand. Els altres quatre desenvolupen l’estratègia CPM seguint el
mateix procés que en l’estratègia anterior, però identificant i començant a comptar pel
nombre més gran. Tot i dur a terme procediments de comptatge, hi ha dos infants que
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 1 3%
CC x
PD x x
RP
INP
CTP
CPP x
CTM
CPM x
x
Prova final: Suma 1+9+4
6 20%
7 23%
16 53%
Total
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
65
es descompten durant el procés (el 7 i el 26) i, en conseqüència, donen un resultat
erroni.
Per acabar, en el nivell de coneixement intuïtiu només apareix el cas 11. Aquest infant
directament exposa que l’operació és massa complicada per a ell i, per tant,
concretament no dóna una resposta. En definitiva, set infants van exposar erròniament
la solució de la suma.
4.3.7. Operació G: 3+5+7
Taula 14. PF - G
En l’última suma de tres sumands 3+5+7, la majoria d’infants es situen en el nivell de
coneixement informal (66%) amb un elevat percentatge de casos que utilitzen
procediments mentals per resoldre l’operació (43%). Tot i així, el coneixement formal
no queda enrere, ja que està constituït pel 30% de l’alumnat. El percentatge més baix
el forma el coneixement intuïtiu que, de la mateixa manera que en l’operació F, només
s’hi situa l’infant 11 determinant que no vol resoldre la suma, ja que és massa
complicada per a ell.
Centrant l’atenció al coneixement informal, set infants segueixen procediments
concrets. Específicament tres d’aquests duent a terme l’estratègia del compte concret
global (CC) construint cada sumand amb material per, després, comptar-ho tot junt. La
resta d’alumnes resolen la suma mitjançat la utilització de les pròpies pautes digitals:
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 1 3%
CC x
PD
RP x x
INP
CTP
CPP x x x
CTM
CPM
x x
Prova final: Suma 3+5+7
13 43%
9 30%
Total
7 23%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
66
un infant comptant tots els dits per anunciar el resultat (PD) i tres més reconeixent la
solució a partir dels dits alçats sense la necessitat de comptar (RP).
Pel que fa al coneixement formal, la totalitat d’infants usen l’estratègia de “fer deus”
identificant el nombre 10 (3+7) i directament afegint-hi el sumand que hi falta per
resoldre la suma. Concretament l’infant 22, tot i que utilitza la mateixa estratègia, forma
el nombre deu per un altre camí: primer descompon el 7 (5+2) i forma el nombre 10
(5+5) sumant-hi els altres nombres que falten (el 2 i el 3).
Per acabar, cal explicitar els infants que no arriben a una solució correcta (8 en total):
el cas 11 pertanyent al nivell de coneixement intuïtiu; el 5, el 13 i el 18 que utilitzen
procediments concrets; l’1, el 20 i el 25 a través de procediments mentals i el 17 i el 23
que usen estratègies formals.
67
4.4. Comparació dels resultats de les dues proves
En aquest apartat es relacionen i es comparen els resultats de les dues proves
analitzades amb anterioritat seguint el mateix ordre i estructura que en els aparats 4.2 i
4.3. Per dur a terme l’anàlisi comparatiu es tindran en compte els següents aspectes:
els nivells de coneixement matemàtic, les estratègies emprades i els resultats erronis.
Finalment, per aconseguir un mapa general dels resultats, es realitzarà una síntesi pel
que fa a l’evolució de les estratègies utilitzades i del tipus de coneixement matemàtic a
partir de diferents gràfics.
4.4.1. Operació A: 4+1
Taula 1. PI - A
Taula 8. PF - A
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x x 4 13%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Prova inicial: Suma 4+1
Deus
Dobles
NR
CompensantConeix
em
ent F
orm
al
Estratègies
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Cincs
f
Total
5 17%
11 37%
10 33%
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 1 3%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
TotalEstratègies
Prova final: Suma 4+1
3 10%
3 10%
23 77%
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Coneix
em
ent F
orm
al
Compensant
Cincs
Deus
Dobles
NR
68
Visualment es pot apreciar un augment elevat d’infants que es situen en el nivell de
coneixement formal, ja que en la prova inicial només el 33% de l’alumnat usava
estratègies formals i, en canvi, en la prova final la majoria de l’alumnat (77%) dur a
terme estratègies formals. Concretament 10 infants es mantenen en aquest mateix
coneixement i 13 evolucionen deixant d’usar estratègies informals per aplicar
l’estratègia formal de “fer cincs”.
Específicament els casos 8 i 29 deixen d’usar material (CC) per determinar el resultat
de la suma. Els infants 27 i 28 també deixen d’utilitzar suport, concretament les pròpies
pautes digitals (PD i RP). Pel que fa als procediments mentals, els casos 3 i 6 ja no
necessiten comptar el terme major de la suma començant pel principi de la recta
numèrica (CTM) i els infants 1, 13, 19, 20, 23, 24 i 25 també evolucionen abandonant
l’estratègia informal CPM.
El nombre d’infants emmarcats en el nivell de coneixement intuïtiu disminueix respecte
a la primera prova passada. En la segona prova, sense aplicar cap estratègia només
es manté el cas 11, ja que el 5, el 10 i el 18 evolucionen cap a un coneixement
informal. Concretament l’infant 10 progressa aplicant un procediment concret basat en
l’estratègia de pautes digitals (PD) usant els propis dits per comptar els dos sumands
de l’operació. Els altres dos casos, el 5 i el 18, evolucionen cap al procediment mental
més elevat comptant, només, l’últim sumand (CPM).
Tot i així, hi ha dos casos (el 16 i el 30) que pateixen un retrocés pel que fa a
l’estratègia emprada. Durant la primera prova, el 16 utilitza l’estratègia CPM i, en canvi,
durant la final usa la CTM necessitant comptar el primer sumand per acabar
determinant el resultat d’aquesta manera: 1, 2, 3, 4; 5. El cas 30 inclús retrocedeix d’un
procediment mental (CTM) cap a un de concret usant les pròpies pautes digitals per
determinar el resultat (PD).
Pel que fa als resultats, dels quatre infants pertanyents al coneixement intuïtiu de la
primera prova, només l’11 respon incorrectament. Els altres tres (el 5, el 10 i el 18) no
només evolucionen d’estratègia i coneixement, sinó que també arriben a un resultat
correcta durant la prova final.
En definitiva, els casos emmarcats dins el coneixement intuïtiu i informal han disminuït,
sobretot els procediments mentals, evolucionant cap al coneixement formal. En la
prova final només hi ha un 20% de casos que usen estratègies informals i un 3% que
no segueix cap estratègia. Concretament, el 60% de l’alumnat ha millorat d’estratègia
69
emprada durant la resolució de l’operació, el 33% s’ha mantingut i el 7% restant ha
patit un retrocés.
4.4.2. Operació B: 2+3
Taula 2. PI - B
Taula 9. PF - B
Centrant l’atenció al tipus de coneixement intuïtiu, es percep una millora respecte a la
prova inicial. Per una banda, l’infant 30 ha evolucionat de coneixement utilitzant una
estratègia concreta per resoldre la suma i, a més a més, arribant a una solució
correcta. D’altra banda, els infants 11 i 18 s’han mantingut en aquest mateix nivell,
però concretament el cas 18 ha evolucionat pel que fa al resultat, és a dir, en la prova
final ha estat capaç d’arribar a una resolució de la suma correcta.
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x 3 10%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
P. C
oncre
ts
12 40%
9 30%
Prova inicial: Suma 2+3
P. M
enta
ls
Total
6 20%
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 2 7%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
16 53%
4 13%
8 27%
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Prova final: Suma 2+3
TotalEstratègies
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
70
En la prova inicial, el coneixement informal estava format pel 60% de l’alumnat i, en
canvi, en la prova final aquest percentatge ha disminuït a un 40%. Aquesta evidència
significa que el 20% de diferència s’ha incrementat en el coneixement formal, és a dir,
els infants que en la primera prova usaven estratègies informals han progressat duent-
ne a terme de formals. Concretament, l’alumnat que ha realitzat aquesta evolució
utilitzava procediments mentals durant la prova inicial, especialment els estudiants que
posaven en pràctica l’estratègia CTP (el 20), CPP (l’1, el 6, el 19, el 23 i el 24) i CTM
(el 17).
Tot i així també hi ha hagut progressos dins el mateix nivell de coneixement informal,
ja que alguns infants que durant la prova inicial necessitaven suport per numerar i
comptar, en la final ja duen a terme procediments mentals de comptatge.
Específicament l’infant 5 evoluciona de l’estratègia CC a la CTM, el 28 de la PD a la
CPP, el 27 de la RP a la CPP i el 25 de l’INP a la CPP. L’estudiant 10, tot i que canvia
l’estratègia emprada (de la CC a la PD), es considera que no ha evolucionat perquè
continua usant suport per determinar la solució.
Els infants 14 i 29 que durant la primera prova usen l’estratègia de comptar tots els
termes de la suma començant pel primer sumand, deixen de comptar a partir del
principi de la recta numèrica per retenir un dels dos nombres mentalment i realitzar el
càlcul més fàcil i ràpid. Concretament el 29 evoluciona cap a l’estratègia CPP i el 14
cap a la CPM, començant el compte a partir del nombre major. Els casos que es
mantenen usant la mateixa estratègia durant la prova inicial i final són el 4 (PD), el 16
(CTM) i el 3 (CPM). Tot i que també hi ha un cas (el 13) que retrocedeix d’estratègia
emprada utilitzant suport per dur a terme la suma (RP) quan en la prova inicial ho
resolia a través del procediment mental CPP.
En definitiva, el percentatge d’infants que es situa en el nivell de coneixement formal
ha augmentat respecte a la prova inicial. Concretament, el 47% d’infants ha millorat
d’estratègia emprada, el 50% s’ha mantingut i el 3% restant ha patit un retrocés.
71
4.4.3. Operació C: 5+5
Taula 3. PI - C
Taula 10. PF - C
Clarament es pot observar la millora aclaparadora produïda durant la prova final on tot
l’alumnat (100%) es situa en el nivell de coneixement formal emprant l’estratègia de
“fer deus” reconeixent directament, sense la necessitat de comptar, que dos cincs
formen el nombre 10.
Els dos infants que en la primera prova s’emmarcaven dins un nivell de coneixement
intuïtiu, avancen fins arribar a resoldre l’operació usant una estratègia formal. Resulta
molt important destacar el cas de l’infant 11, ja que és en l’única operació que utilitza
una estratègia per resoldre la suma i, en conseqüència, progressa de coneixement.
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x 2 7%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Prova inicial: Suma 5+5
Total
0 0%
1 3%
27 90%
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
0 0%
CC
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Prova final: Suma 5+5
Total
0 0%
0 0%
30 100%
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
72
L’infant 19 també evoluciona la manera de resoldre l’operació sense haver de comptar
per determinar el resultat. Com es pot apreciar, absolutament tot l’alumnat resol
adequadament la suma a diferència de la prova inicial amb dos casos incorrectes.
4.4.4. Operació D: 2+8
Taula 4. PI - D
Taula 11. PF - D
A primer cop d’ull es pot visualitzar que s’ha produït un augment elevat pel que fa a
casos emmarcats dins el coneixement informal. Inclús es pot apreciar la disminució
dels procediments mentals en la taula corresponent a la prova final amb només tres
casos d’infants que compten tots els termes de la suma per determinar-ne el resultat.
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x x 4 13%
CC x
PD
RP x
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Total
Prova inicial: Suma 2+8
8
12
6
27%
40%
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Estratègies
20%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 1 3%
CC x
PD
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM
Prova final: Suma 2+8
20 67%
6 20%
3 10%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
Total
73
Primerament, centrant l’atenció en el coneixement intuïtiu, es pot comprovar que
aquest ha disminuït en la prova final, ja que només hi ha un infant que s’ha mantingut
en aquest mateix nivell: l’11. Els altres dos casos han evolucionat de coneixement i, en
conseqüència, d’estratègia utilitzant com a suport per comptar les pròpies pautes
digitals. Concretament l’infant 10 ha utilitzat l’estratègia PD i l’infant 30 la RP.
En la prova inicial la majoria d’infants es situaven en el nivell de coneixement informal
(67%), en canvi, en la prova inicial només el 30% de l’alumnat es mostra en aquest
nivell. Aquesta veracitat significa que aproximadament el 37% de diferència és la xifra
que ha fet créixer el coneixement formal. Concretament la totalitat d’infants que usaven
procediments mentals per determinar el resultat de la suma han evolucionat usant, en
la prova final, l’estratègia formal de “fer deus”.
Pel que fa als procediments concrets, dos infants han passat directament a un
coneixement formal. Concretament l’estudiant 25 en la prova inicial emprava
l’estratègia INP i l’infant 28 la RP. També hi ha casos que han evolucionat de
procediments concrets a mentals evitant la utilització de suports físics per realitzar els
càlculs: els infants 6 i 27 han passat de la RP a la CPM i el 29 de la CC a la CPM.
Un cas concret (l’infant 13) en comptes d’utilitzar l’estratègia CC, com en la primera
prova, utilitza l’estratègia PD comptant a partir de la formació de les pròpies pautes
digitals. Tot i haver canviat l’estratègia, es considera que aquest infant no ha
evolucionat perquè no ha deixat d’usar suport per comptar. Passa el mateix amb
l’infant 4, que durant la primera prova posa en pràctica l’estratègia PD i en la segona la
CC. El cas 5 també es manté al coneixement informal usant, en les dues proves, la
mateixa estratègia (CC). Pel que fa al coneixement formal, sis infants mantenen la
mateixa estratègia de “fer deus”.
Un altre aspecte a ressaltar són els infants 6, 10 i 30 que no només evolucionen
d’estratègia, sinó que també determinen correctament el resultat quan en la prova
inicial s’equivocaven. El cas 5, tot i que segueix el mateix procediment a l’hora de
resoldre l’operació, també evoluciona pel que fa al resultat anunciant correctament la
solució en la prova final.
En definitiva, el 67% de l’alumnat ha evolucionat pel que fa a estratègies emprades, el
33% s’ha mantingut usant els mateixos processos que en la prova inicial sense haver-
hi cap cas de retrocés.
74
4.4.5. Operació E: 6+5
Taula 5. PI - E
Taula 12. PF - E
En general, s’aprecia un augment de casos emmarcats en el nivell de coneixement
formal (d’un 10% en la primera prova a un 37% en la segona). En conseqüència ha
disminuït el nombre de casos situats en el coneixement informal i intuïtiu.
Els casos emmarcats en el coneixement intuïtiu han disminuït en la prova final, ja que
tres dels infants (el 10, el 18 i el 30) han evolucionat de coneixement aplicant
estratègies informals, concretament a partir de material (CC) i les pròpies pautes
digitals (RP i PD). A més, els casos 10 i 30 no només han progressat pel que fa a
estratègies, sinó que també han aconseguit arribar a una solució correcta, a diferència
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x x 4 13%
CC x
PD x
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM x x x x
Prova inicial: Suma 6+5
10 33%
13 43%
3 10%
Total
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 1 3%
CC x
PD x
RP
INP
CTP
CPP
CTM
CPM x x
Prova final: Suma 6+5
11 37%
11 37%
Total
7 23%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
75
de la prova inicial. Tot i així, l’infant 11 s’ha mantingut en el mateix nivell intuïtiu sense
aplicar cap estratègia per resoldre l’operació.
El coneixement informal també ha patit una disminució de casos respecte a la prova
inicial, tot i que encara segueix essent la majoria amb un 60%. Pel que fa als
procediments concrets, existeixen dos casos d’infants que usen la mateixa estratègia
que durant la prova inicial: el cas 5 continuant amb la CC i el 28 amb la PD. L’infant 4
tampoc ha progressat, tot i que canvia d’estratègia a l’hora de resoldre la suma (de la
CC a la PD) sense abandonar el suport per comptar. Tot i així, aquest cas concret
soluciona correctament la suma, a diferència de la prova inicial.
Per contra, la resta d’infants avancen d’estratègia aconseguint resoldre la suma a
través de processos mentals quan en la prova inicial necessitaven suport per dur a
terme el procés de comptar. Concretament, el 6, el 8, el 12 i el 27 passen de resoldre
l’operació mitjançant pautes digitals (PD) a comptar a partir del terme major (CPM) i
l’infant 29 inicia el procés de comptar a partir del primer sumand (CPP) mentre que en
la primera prova havia d’usar material per determinar el resultat (CC). Sorprenentment,
el casos 1 i 24 que durant la primera prova resolien la suma mitjançant l’estratègia PD,
evolucionen resolent la suma amb l’estratègia formal de “fer deus”.
Pel que fa als procediments mentals, els infants 14, 16, 20, 23, 25 i 26 usen la mateixa
estratègia que en la prova inicial (CPM). Tot i així, els casos 14, 20 i 25 progressen pel
que fa al resultat de la suma, és a dir, durant la prova inicial no arriben a un resultat
correcte a causa de petits errors a l’hora de portar el compte i, en canvi, en la prova
final són capaços d’anunciar la solució correcte. Per contra, els infants 23 i 26 es
descompten mentre porten el compte determinant un resultat erroni, a diferència de la
prova inicial en la qual van resoldre perfectament l’operació.
Tot i que hi va haver un únic cas (el 13) que va empitjorar d’estratègia emprada
utilitzant la PD, mentre que en la prova inicial aplicava la CPM; els altres sis infants
restants van evolucionar fortament avançant de nivell de coneixement emprant
estratègies formals. Especialment els casos 3, 7, 15 i 18 van emprar l’estratègia de “fer
deus” identificant l’operació bàsica 5+5=10 i, després, sumant-n’hi un més. L’infant 2
usa conjuntament l’estratègia de “fer deus” i “fer cincs”, primerament, descomponent el
nombre cinc (4+1) i, segonament, determinant que 6+4=10 per acabar sumant-hi l’1
corresponent a la descomposició del cinc que ha realitzat prèviament. Per últim, el cas
76
9 utilitza l’estratègia de “fer dobles” per determinar el resultat de la suma identificant
que 6+6=12 i, després, restant-n’hi 1.
En el nivell de coneixement formal es mantenen els casos que durant la primera prova
ja van usar una estratègia formal per determinar la solució de l’operació (el 17, el 21 i
el 22). En definitiva, pel que fa a l’evolució de les estratègies emprades, el 40% de
l’alumnat ha usat la mateixa estratègia que en la prova inicial, el 57% ha progressat
d’estratègia i només un 3% ha empitjorat.
4.4.6. Operació F: 1+9+4
Taula 6. PI - F
Taula 13. PF - F
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x 2 7%
CC x x x
PD x x
RP
INP
CTP
CPP
CTM x
CPM
x
Prova inicial: Suma 1+9+4
Total
14 47%
7 23%
7 23%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 1 3%
CC x
PD x x
RP
INP
CTP
CPP x
CTM
CPM x
x
Prova final: Suma 1+9+4
6 20%
7 23%
16 53%
Total
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
77
A primer cop d’ull es percep un augment del nombre de casos emmarcats en el nivell
de coneixement formal respecte a la prova inicial i una disminució elevada del nombre
d’infants que usen procediments concrets, pertanyent a l’agrupació de coneixement
informal, a l’hora de resoldre la suma.
Centrant l’atenció en el coneixement intuïtiu, s’aprecia la millora d’un infant que avança
de coneixement utilitzant material per dur a terme el procés de comptar (CC), però
sense respondre correctament de la mateixa manera que en la prova inicial. L’infant
que es manté en el mateix coneixement és l’11, ja que no realitza cap procés per
resoldre la suma.
Pel que fa al coneixement informal, hi ha hagut 17 infants que han evolucionat
d’estratègia i, inclús, alguns també han progressat de nivell de coneixement. Cal
destacar primer els casos que han evolucionat d’estratègia dins el mateix
coneixement: el 6, el 29, el 27, el 28 i el 25 han deixat enrere la necessitat de comptar
els sumands mitjançant suport (material o pautes digitals) evolucionant cap a
procediments mentals portant el compte dels tres sumands. Concretament el cas 6 a
passat d’una estratègia CC a una PM anunciant el resultat correcte, el 29 d’una CC a
una CPP, el 27 (arribant a una solució correcta a diferència de la primera prova) i el 28
d’una PD a una CPM i el 25 d’una INP a una CPP.
Tot i aquests grans avenços, quatre infants han estat capaços de progressar de nivell
aplicant estratègies formals, mentre que en la primera prova necessitaven suport per
dur el compte. Específicament l’infant 23, que usava una estratègia CC, ha evolucionat
posant en pràctica l’estratègia de “fer deus” i els casos 8, 20 i 24 han deixat enrere
l’estratègia de pautes digitals (PD) per usar la de “fer deus”. Inclús l’infant 24, en
aquesta segona prova, ha resolt correctament la suma a diferència de la primera
vegada. Tot i així, l’infant 20 no ha estat capaç de determinar una solució correcta
després d’haver usat l’estratègia formal.
Pel que fa als procediments mentals, hi ha hagut sis infants que han evolucionat
d’estratègia i, en conseqüència, de coneixement. Els infants 1, 3, 9, 15 i 19, que
partien de l’estratègia CPM, han aconseguit aplicar durant la prova final l’estratègia
formal de “fer deus”. Inclús l’estudiant 14, que usant l’estratègia informal CTM s’havia
equivocat en determinar la solució, ha evolucionat emprant l’estratègia de “fer deus” i
resolent correctament l’operació.
78
Tot i així, hi ha hagut casos que s’han mantingut al mateix nivell sense avançar: els
infants 4, 5 i 10 que continuen usant l’estratègia CC, tot i que el cas 4 progressa pel
que fa a la solució correcta de la suma; els infants 13 i 30, que tot hi haver canviat
d’estratègia encara usen suport (de la CC a la PD) i solucionen erròniament la suma; i
el cas 26 que segueix usant un procediment mental (CPM). Concretament sis casos
continuen utilitzant l’estratègia formal de “fer deus” per resoldre l’operació (el 2, el 12,
el 16, el 17, el 21 i el 22), la qual cosa significa que han reforçat l’estratègia adequada
que ja utilitzaven durant la primera prova. Específicament l’infant 17 ha evolucionat, ja
que ha aconseguit determinar el resultat correcte, a diferència de la primera prova.
En definitiva, el 50% de l’alumnat ha evolucionat d’estratègia emprada en relació a la
prova inicial, el 47% ha mantingut l’estratègia usada en la primera prova i només el 3%
ha retrocedit d’estratègia (concretament el cas 7 que no usa la mateixa estratègia de
“fer deus” que va emprar durant la prova inicial, sinó que retrocedeix aplicant la CPP
sense acabar de resoldre correctament la suma).
79
4.4.7. Operació G: 3+5+7
Taula 7. PI - G
Taula 14. PF - G
Visualment es pot apreciar un augment de casos situats a l’apartat de procediments
mentals, corresponent al nivell de coneixement informal, respecte a la prova inicial. En
conseqüència, s’observa una disminució pel que fa al nombre de casos emmarcats a
l’apartat de procediments concrets. A més, es distingeix un augment de casos situats
en el nivell de coneixement formal, és a dir, d’un 7% durant la primera prova a un 30%
durant la segona.
Analitzant primer els casos de coneixement intuïtiu, s’aprecien dues millores: l’infant 9 i
el 18. Concretament aquest primer estudiant evoluciona espectacularment emprant
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x x x 3 10%
CC x x x
PD x x
RP x x
INP
CTP
CPP x
CTM x
CPM x x x
x
x
Prova inicial: Suma 3+5+7
Total
18 60%
7 23%
2 7%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
T. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Int.
x 1 3%
CC x
PD
RP x x
INP
CTP
CPP x x x
CTM
CPM
x x
Prova final: Suma 3+5+7
13 43%
9 30%
Total
7 23%
Coneix
em
ent F
orm
al Cincs
Deus
Dobles
NR
Compensant
Estratègies
f
Coneix
em
ent In
form
al
P. C
oncre
tsP
. M
enta
ls
80
l’estratègia de “fer deus”, emmarcada en el coneixement formal, i resolent
correctament la suma, a diferència de la primera prova. L’infant 18, tot i que no resol la
suma adequadament, progressa d’estratègia i de tipus de coneixement comptant a
partir de material (CC). El cas 11, com en les altres operacions, es manté en el mateix
coneixement sense aplicar cap procediment conscient per resoldre l’operació.
Pel que fa al coneixement informal, hi ha sis infants que mantenen la mateixa
estratègia que durant la prova inicial per resoldre la suma, és a dir, no evolucionen: el
4 i el 10 utilitzant la CC, el 28 la RP, el 3 i el 16 la CPM i el 25 la CPP. Tot i així, el cas
16 progressa resolent correctament l’operació. Tampoc progressen els infants que
canvien d’estratègia (de la CC a la PD o RP), però segueixen utilitzant suport per
determinar el resultat de la suma: els casos 30, 5 i 13. A més, aquests dos últims
continuen resolent erròniament la suma. L’infant 15, tot i anunciar un resultat correcte
en les dues proves, en la prova final usa una estratègia menys eficaç que la utilitzada
en la primer prova (d’una CPM a una CPP).
La resta d’infants evolucionen d’estratègia dins del mateix coneixement informal o
progressant cap al coneixement formal. Per exemple, els infants 14 i 19 avancen
d’estratègia començant a comptar a partir del sumand més gran de l’operació (CPM) i,
inclús el cas 14 és capaç de resoldre correctament la suma, a diferència de la primera
prova.
Concretament set infants realitzen una evolució molt favorable deixant enrere els
processos concrets per aplicar-ne de mentals: l’infant 29 avança a l’estratègia CPM
partint d’una CC, de la mateixa manera que el cas 26, però partint des de l’estratègia
PD i aconseguint resoldre correctament la suma, a diferència de la primera prova. Els
estudiants 1, 6, 27, 12 i 20 van deixar enrere l’estratègia de comptar a partir de les
pròpies pautes digitals per aplicar la CPP. Concretament el cas 1 i 20 es van equivocar
anunciant el resultat, però el 6 i el 7 van solucionar bé l’operació que, en el cas de la
primera prova, havien fallat.
Tot i així, els casos més sorprenents corresponen als infants que en un inici van
resoldre la suma a partir de procediments concrets i que, en la prova final, la resolen a
través d’aplicar l’estratègia de “fer deus”. Concretament són els infants 7, 17 i 23 que
durant la primera prova usen l’estratègia CC i els casos 8 i 24 que provenen de
l’estratègia PD. Cal remarcar que el 7 i el 24, a més a més de progressar d’estratègia i
de coneixement alhora, també avancen resolent la suma correctament, ja que durant
81
la prova inicial s’equivocaven. Els casos 17 i 23, tot i que avancen, no aconsegueixen
anunciar el resultat correcte. Per últim, cal subratllar l’infant 2 que també progressa
d’estratègia (de la CPM a la de “fer deus”), de coneixement i de solució correcte.
Tal i com s’ha anunciat amb anterioritat, el nombre de casos emmarcats en el
coneixement formal ha augmentant un 23% en relació a la prova inicial. Els dos casos
que durant la primera prova ja utilitzaven estratègies formals s’han mantingut i, alhora,
han progressat perquè han aconseguit resoldre la suma correctament. L’infant 22 ha
seguit la mateixa estratègia que durant la prova inicial (fer deus), però identificant
altres nombres que formaven el deu, ja que primer descompon el 7 (5+2) i forma el
nombre 10 (5+5) sumant-hi els altres nombres que falten (el 2 i el 3). L’estudiant 21,
que en un principi usava l’estratègia de “fer dobles”, l’ha canviat per la de “fer deus”.
En definitiva, el 57% de l’alumnat ha evolucionat d’estratègia emprada, el 40% ha
continuat posant en pràctica la mateixa estratègia que en la prova inicial i només el 3%
ha empitjorat d’estratègia de manera insignificant.
4.5. Síntesi general de la comparació de resultats
Per sintetitzar la comparació de resultats en relació a la prova inicial i final, s’ha
dissenyat una taula centrada en comptabilitzar els casos d’infants que han millorat
l’estratègia emprada durant la prova inicial o, per contra, l’han empitjorat. També
s’assenyalen els infants que no han patit cap evolució ni retrocés pel que fa a les
estratègies usades en relació a la primera i segona prova.
Pertanyen al terme “evolució” els infants que han progressat d’estratègia. Per
determinar aquests s’han comptabilitzat totes les progressions, excepte les
pertanyents a procediments concrets, específicament de l’estratègia de compte
concret global (CC) a l’estratègia de pautes digitals (PD). El motiu pel qual s’ha destriat
aquest cas ha estat perquè es considera que els infants que en la prova inicial van
usar material per numerar i comptar, tornen a fer el mateix procediment quan en la
prova final usen les pròpies pautes digitals. És a dir, encara que canviïn l’estratègia
emprada, utilitzen suport igualment.
El terme “es manté” està format per tots aquells infants que no evolucionen
d’estratègia duent a terme la mateixa que durant la prova inicial. En aquest apartat
82
s’inclouen els casos descrits anteriorment que tot hi avançar d’estratègia segueixen
usant suport per determinar la solució de la suma. En l’últim apartat, el “retrocés”,
s’inclouen tots els infants que han empitjorat d’estratègia respecta a la primera prova
passada.
Taula 15. Recompte de millores pel que fa a les estratègies
Pel que fa al nivell de coneixement matemàtic, s’han dissenyat dues taules
comparatives en les quals es visualitza la progressió dels infants respecte aquest punt
de vista. El color verd clar simbolitza el nivell de coneixement intuïtiu, el taronja el
coneixement informal i el blau el coneixement formal.
Operacions
4+1 18 60% 10 33% 2 7%
2+3 14 47% 15 50% 1 3%
5+5 3 10% 27 90% 0 0%
2+8 20 67% 10 33% 0 0%
6+5 17 57% 12 40% 1 3%
1+9+4 15 50% 14 47% 1 3%
3+5+7 17 57% 12 40% 1 3%
Pel que fa a les estratègies
Evolució Es manté Retrocés
83
Taula 16. Prova Inicial
Taula 17. Prova Inicial
Sumes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
4+1
2+3
5+5
2+8
6+5
1+9+4
3+5+7
Sumes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
4+1
2+3
5+5
2+8
6+5
1+9+4
3+5+7
84
Per poder recollir la informació de manera més precisa s’han elaborat les següents
taules que inclouen el nombre de casos que s’emmarquen en cadascun dels tres
coneixements, així com també de cada suma; juntament amb el percentatge
corresponent:
Taula 18. Tipus de coneixement matemàtic (prova inicial)
Taula 19. Tipus de coneixement matemàtic (prova final)
Sumes
4+1 2 7% 5 17% 23 77%
2+3 2 7% 12 40% 16 53%
5+5 0 0% 0 0% 30 100%
2+8 1 3% 9 30% 20 67%
6+5 1 3% 18 60% 11 37%
1+9+4 1 3% 13 43% 16 53%
3+5+7 1 3% 20 67% 9 30%
Coneixement FormalConeixement Intuïtiu Coneixement Informal
Sumes
4+1 4 13% 16 53% 10 33%
2+3 9 30% 12 40% 9 30%
5+5 2 7% 1 3% 27 90%
2+8 4 13% 20 67% 6 20%
6+5 4 13% 23 77% 3 10%
1+9+4 2 7% 21 70% 7 23%
3+5+7 3 10% 25 83% 2 7%
Coneixement Informal Coneixement FormalConeixement Intuïtiu
85
5. CONCLUSIONS I PROSPECTIVA
En aquest capítol es mostren les conclusions de la investigació relacionades amb els
fonaments teòrics detallats al marc teòric i les dades obtingudes durant l’anàlisi de
resultats per verificar la hipòtesi inicial. També s’exposa la prospectiva de l’estudi
obrint noves línies d’investigació que podrien ser tractades en un futur.
5.1. Conclusions
Amb la realització d’aquest estudi es pretenia verificar la següent hipòtesi:
Incidint específicament en els fets numèrics bàsics de descompondre el 5 i el 10 a
través del joc millora el càlcul mental, evoluciona el tipus d’estratègies additives
utilitzades pels infants i s’avança cap al coneixement matemàtic formal.
A partir de l’anàlisi dels resultats obtinguts i la teoria exposada s’explicaran les
conclusions seguint una estructura coherent. Primer es comprovarà si una metodologia
basada en jocs ha aportat millores en l’aprenentatge de les matemàtiques,
concretament del càlcul mental. Seguidament es descobrirà si incidint en els fets
numèrics bàsics de descompondre el nombre 5 i el nombre 10 els infants han avançat
cap al coneixement formal, han millorat el càlcul mental i han evolucionat el tipus
d’estratègies additives emprades.
En general, hi ha hagut aprenentatge per part de tots els infants de l’aula analitzada
després de posar en pràctica la intervenció basada en jocs que tractava la
descomposició del 5 i el 10. Les taules 18 i 19 mostren la millora pel que fa al tipus de
coneixement matemàtic i, en conseqüència, la taula 15 evidencia l’evolució
d’estratègies additives emprades pels infants.
Per una banda, aquestes millores s’han aconseguit aplicant una metodologia basada
en jocs. Aquesta afirmació queda reforçada pels autors defensors del joc com a eina
útil i imprescindible en l’ensenyament de les matemàtiques. Concretament Edo (1998)
assegura que els jocs ajuden a reforçar o consolidar les habilitats de càlcul mental, així
com també el desenvolupament del llenguatge matemàtic. En la mateixa línia, Fosnot i
86
Dolk (2001) defensen que els jocs de cartes (Card games) permeten, sobretot, treballar
el concepte de cardinalitat i el desenvolupament d’estratègies de càlcul.
En la comparació dels resultats s’ha apreciat una evolució global de tot l’alumnat
independentment dels diferents nivells d’aprenentatge existents. Aquesta evidència es
sosté en la teoria exposada per Fosnot i Dolk (2001) assegurant que el joc facilita el
treball amb infants que posseeixen diferents nivells d’aprenentatge. Per exemple, en
les taules 2 (PI - B) i 9 (PF - B) es pot evidenciar un progrés per part de dos infants
que no partien des del mateix nivell de coneixement matemàtic: el cas 30 evoluciona
d’un nivell de coneixement intuïtiu cap a un d’informal i, per contra, l’infant 23 avança
d’un coneixement informal a un formal.
En la mateixa línia, autors com Chamoso et al. (2004) i Bright et al. (1985) descriuen
que els jocs poden ser compresos i apreciats sense la necessitat de tenir molts
coneixements previs de matemàtiques provocant situacions on tots els infants poden
investigar algun aspecte matemàtic de la mateixa manera o millor que en altres
situacions d’aprenentatge. Aquests autors, inclús garanteixen que el joc provoca la
millora d’alumnes de baix rendiment. Aquestes proposicions es demostren en la
comparació de resultats (apartat 4.4), específicament en totes les taules, en les quals
s’observen casos d’infants que evolucionen tot i situar-se, durant la primera prova, en
el nivell de coneixement intuïtiu, és a dir, simplement guiant-se per l’aparença o
percepció que mostraven els nombres de l’operació anunciant un resultat esporàdic
sense haver aplicat instruments més precisos i fiables, com per exemple: numerar i
comptar.
Com a mostra és interessant esmentar l’evolució que ha seguit el cas 10 que, durant la
prova inicial, s’emmarcava dins un nivell de coneixement intuïtiu sense seguir cap
estratègia per solucionar les operacions A, D i E (taula 1. PI-A, 4. PI-D i 5. PI-E)
presentant dificultats per entendre la tasca proposada. En canvi, en la prova final, ha
aconseguit evolucionar de nivell usant com a suport les pròpies pautes digitals per
determinar, correctament, els resultats de les sumes (taula 8. PF-A, 11. PF-D i 12. PF-
E).
Per altra banda, treballant els fets numèrics bàsics de descompondre el nombre 5 i el
nombre 10 s’ha millorat el càlcul mental, els tipus d’estratègies additives utilitzades
pels infants i s’ha avançat cap al coneixement matemàtic formal.
87
Pel que fa a l’avanç cap al coneixement formal, es comprova a partir de dades
concretes que aplicant una seqüència didàctica que tracta els fets numèrics bàsics de
descompondre el nombre 5 i el 10 s’avança cap al coneixement matemàtic formal.
Centrant l’atenció a la comparació de les taules 18 i 19 es demostra que, en totes les
operacions, hi ha hagut infants que han evolucionat cap a un coneixement formal.
Sobretot en l’operació D (2+8), on catorze infants deixen enrere el coneixement
informal per aplicar estratègies formals per resoldre la suma.
Aquesta evidència es recolza amb la teoria de Van de Walle et al. (2013) a l’afirmar
que per aconseguir que els infants avancin en el seu propi aprenentatge fins arribar a
un coneixement formal és necessari que desenvolupin el sentit numèric, és a dir, que
treballin les relacions i connexions entre els nombres per aconseguir flexibilitat en el
pensament numèric, com per exemple, els punts de referència del 5 i el 10 (Anchors or
benchmarks of 5 and 10).
Concretament, no és sorprenent que els infants vagin abandonant els procediments
informals per aplicar-ne de més formals, tal i com es pot comprovar en la comparació
dels resultats. Per exemple, en la prova inicial només el 20% de l’alumnat va resoldre
l’operació D (2+8) aplicant estratègies formals i, en canvi, en la prova final els
procediments formals augmenten fins arribar al 67%. Aquesta evidència queda
reforçada per Baroody (1988) a l’afirmar que els infants poden arribar a ser incapaços
d’usar procediments informals amb números grans, ja que encara que aquests
mètodes proporcionin una solució immediata, no poden proporcionar registres a llarg
termini.
A més, Baroody (1988) determina que quan l’ensenyança formal s’introdueix massa
ràpid sense haver passat per un coneixement informal el resultat és un aprenentatge
memorístic i mecànic. Aquesta mateixa idea la reforcen Fosnot i Dolk (2001)
determinant que els infants han d’automatitzar les operacions bàsiques en comptes de
memoritzar-les mitjançant la focalització en les relacions i no en les repeticions.
Aquesta idea es manifesta en l’anàlisi de la primera i segona prova, específicament en
l’evolució d’un infant concret: l’11. En la prova inicial, concretament en totes les
operacions, l’infant es situa en un coneixement intuïtiu sense aplicar cap estratègia per
solucionar les sumes. En la prova final passa exactament el mateix excepte en
l’operació C (5+5) que passa d’un coneixement intuïtiu, durant la prova inicial, a un
coneixement formal resolent correctament la suma sense la necessitat de comptar.
88
Segons la teoria exposada, aquest infant resol la suma 5+5 memorísticament, ja que
en totes les altres operacions es comprova que no sap sumar i, per tant, no pensa en
les possibles relacions que existeixen entre nombres.
Aquest mateix autor defensa que a mesura que els números augmenten, els mètodes
informals es van fent cada vegada més propensos a l’error. Analitzant les taules de
resultats de l’apartat 4.4 es comprova aquesta idea, ja que a mesura que augmenta la
dificultat de les sumes i, en conseqüència, s’opera amb nombres més grans, hi ha més
errors quan els infants usen estratègies informals que quan apliquen procediments
formals. La taula 13 (PF - F), corresponent a la suma 1+9+4, n’és un clar exemple:
cinc dels tretze infants que apliquen estratègies informals no aconsegueixen resoldre
correctament la suma per un error de comptatge i, en canvi, només un dels 16 infants
que usen estratègies formals s’equivoca.
Pel que fa a la millora en càlcul mental, Van de Walle et al. (2013) defensen que
treballant les relacions entre nombres, específicament els punts de referència del 5 i el
10 i, en conseqüència, les relacions part-tot (Part-Whole Relationships) s’aconsegueix
que, més endavant, relacions similars puguin ser utilitzades en el desenvolupament de
les habilitats de càlcul mental en nombres més grans. Això es manifesta en la
comparació de resultats de les operacions F (1+9+4) i G (3+5+7), en els quals
s’observa clarament un increment significatiu de casos que empren estratègies formals
relacionades amb el contingut tractat: la descomposició del nombre 10. Durant la
intervenció aplicada després d’haver passat la prova inicial no es va treballar a partir
d’algorismes de tres sumands i, en canvi, el 53% de l’alumnat (en el cas de l’operació
F) va ser capaç de demostrar habilitats de càlcul mental per operar amb estructures
més complicades i desconegudes per a l’alumnat.
En la mateixa línia, segons els mateixos autors, realitzar activitats en les quals els
infants hagin d’escriure les possibles combinacions de nombres que formen un
número, com per exemple completant equacions d’addició tal i com es va dur a terme
en l’última sessió de la intervenció, ajuda a reflexionar sobre les relacions entre els
nombres permetent, en aquest cas, arribar a solucionar operacions de tres sumands o
d’altres més complicades mitjançant estratègies formals. Un exemple concret s’aprecia
a les taules comparatives 5 i 12 que s’augmenten un 27% l’aplicació d’estratègies
formals respecte a la prova inicial.
89
Pel que fa a les estratègies, Van de Walle et al. (2013) reafirmen que els infants
abandonen els procediments concrets i mentals quan treballen el sentit numèric. Això
s’ha pogut apreciar en la comparació de resultats, ja que en totes les operacions ha
disminuït la utilització d’estratègies informals augmentant, en conseqüència, les
formals.
Tot i que molts infants han evolucionat pel que fa a les estratègies emprades i el tipus
de coneixement, els resultats constaten que part de l’alumnat segueix utilitzant suport
per realitzar els càlculs, de la mateixa manera que ho feien durant la prova inicial.
Aquests resultats són habituals, ja que tal i com explica Baroody (1988), els infants tot i
conèixer els mètodes formals continuen utilitzant procediments concrets durant molt de
temps.
Tot aquest seguit de conclusions demostren que, en conjunt, cal treballar el sentit
numèric (les relacions entre els nombres), concretament la descomposició del 5 i el 10,
a partir de jocs que permeten gradualment explorar els nombres, visualitzar-los en un
context diferent al convencional, i relacionar-los en maneres que no estan limitades per
algoritmes tradicionals (Van de Walle et al., 2013).
Finalment, es pot afirmar que s’ha verificat la hipòtesi d’investigació platejada, a més
d’assolir els quatre objectius plantejats inicialment. Absolutament tot l’alumnat ha
millorat les estratègies additives emprades respecte a la prova inicial, però no tots han
arribat al coneixement formal en la totalitat d’operacions avaluades. Per tant, caldria
replantejar-se un nou cicle d’investigació per planificar l’acció següent, tal i com
determina una metodologia d’investigació acció. Una opció seria incidir encara més en
el treball de la descomposició del nombre 5 i 10 a través del joc per aconseguir que la
totalitat d’infants arribessin a adquirir més agilitat en el càlcul mental.
90
5.2. Prospectiva
Tot i que la investigació ha permès extraure conclusions fermes i interessants, les
limitacions temporals de l’estudi provoquen no haver pogut tractar amb suficient
profunditat tots els aspectes inherents a la recerca, com per exemple l’anàlisi
exhaustiu de l’evolució individual de tots els casos investigats. D’altra banda, com s’ha
avançat en l’apartat anterior, les mateixes limitacions temporals no han permès dur a
terme una metodologia d’investigació acció completa replantejant un nou cicle
d’investigació un cop analitzada i avaluada la primer recerca.
Planificar una nova acció en base a la investigació avaluada permetria tenir més
fonaments per contraposar-los i relacionar-los amb autors de referència en l’àmbit
tractat a fi d’aconseguir més fiabilitat i, alhora, complementar la informació obtinguda
de la nova investigació. Per tant, es podrien obrir noves línies d’investigació d’aquest
mateix projecte:
Tornar a passar la prova l’any vinent als mateixos infants per comprovar la
perpetuïtat dels aprenentatges adquirits i una de les característiques bàsiques
del joc com a recurs educatiu: generador d’aprenentatges duradors.
Plantejar el mateix estudi en un altre centre educatiu del mateix curs de
primària per comparar les dues investigacions i aprofundir en els resultats.
Dur a terme la mateixa investigació en una altra aula de primer de primària
aplicant una metodologia tradicional a la meitat dels infants de la classe tractant
el fet numèric bàsic de descompondre el nombre 5 i el 10. A l’altre meitat es
duria a terme una metodologia basada en jocs treballant el mateix contingut per
poder comparar resultats i metodologies.
Seguir investigant sobre el fet numèric bàsic de descompondre el nombre 5 i el
10 analitzant el domini que en tenen infants de cursos més elevats.
91
6. VALORACIÓ FINAL
Personalment he viscut aquest treball com una oportunitat per iniciar-me dins el món
de la recerca i la investigació donant respostes a preguntes que durant el grau
universitari em plantejava i no aconseguia solucionar. Sobretot he descobert com dur a
terme una investigació acció adonant-me de les dificultats inherents que suposa, ja
que aquesta té com a objectiu millorar l’acció educativa.
Deixant enrere els temors he anat fent camí fins aconseguir indagar de manera
sistemàtica i rigorosa sobre una temàtica concreta a partir de fonaments teòrics i
pràctics. Tot i així, el procés de realització ha estat dur i alhora meravellós passant per
moments d’il·lusió i desig per conèixer i aprendre divertint-me i emocionant-me davant
les progressions realitzades per a mi mateixa i pels infants investigats; però també hi
ha hagut temps pels dubtes i les incerteses que, a vegades, em feien desesperar.
Aquest estudi ha contribuït a reforçar el meu criteri pedagògic, així com també a
adquirir nous aprenentatges que em serviran per a la futura pràctica docent tant a
nivell conceptual com actitudinal. Evidentment ara conec amb més profunditat la
metodologia basada en jocs i el desenvolupament que haurien de realitzar els infants
per millorar les habilitats de càlcul mental, però al mateix temps conec com dur a terme
un estudi centrat en una metodologia concreta, que extrapolat a la meva futura tasca
docent, em servirà per ser una mestra oberta als canvis, a investigar, a vincular
l’escola amb la Universitat, a relacionar el dia a dia de l’aula amb fonaments teòrics,
etc. En definitiva, a reciclar-me constantment per millorar l’acció educativa en tots els
àmbits possibles.
Estic contenta i orgullosa d’haver aportat el meu granet de sorra, en la didàctica de les
matemàtiques, investigant i corroborant que el joc és un bon recurs educatiu i que
treballar les relacions entre els nombres, sobretot la descomposició del 5 i del 10,
serveix per millorar el càlcul mental i evolucionar les estratègies additives emprades i
el tipus de coneixement matemàtic. Espero que això només sigui el principi d’un llarg
recorregut d’aprenentatges sense descartar la possibilitat de tornar a realitzar un
treball d’aquestes magnituds, ja que m’han quedat molts fronts oberts plens d’interès i
curiositat.
92
7. REFERÈNCIES BIBLIOGRÀFIQUES
ANGUERA, María Teresa (1982). Metodología de la observación en las Ciencias
Humanas. Madrid: Cátedra.
BAROODY, Arthur J. (1988). El pensamiento matemático de los niños. Un marco para
maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid: Visor
Distribuciones.
BISHOP, Alan J. (1998). “El papel de los juegos en educación matemàtica”. Revista
Uno, núm 18.
BRIGHT, George W.; HARVEY, John G.; WHEELER, Margariete (1985). Learning and
mathematics games. Journal for Research in Mathematics Education
Monograph, VoL 1. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
CHAMOSO, José María; DURÁN, Jesús; GARCÍA, Juan Francisco; MARTÍN, Javier;
RODRÍGUEZ, Mercedes (2004). “Análisis y experimentación de juegos como
instrumentos para enseñar matemáticas”. Suma, núm. 47, p. 47-58.
CHAPIN, Suzanne H.; JOHNSON, Art (2006). Math Matters. Understanding the math
you teach. Grades K-8. 2nd edition. Sausalito: Math Solutions Publications.
CORBALÁN, Fernando (1994). Juegos matemáticos para Secundaria y Bachillerato.
Madrid: Síntesis.
CURTH, Mónica de Torres (2001). “El juego en el aula: una experiencia de
perfeccionamiento docente en Matemàtica a nivel institucional”. Suma, núm.
38, p. 23-29.
Diccionari de la llengua catalana (2007). Barcelona: Institut d’Estudis Catalans.
EDO, Mequè (1998). “Juegos y matemáticas. Una experiencia en el ciclo inicial de
primaria”. Revista Uno, núm 18.
93
FOSNOT, Catherine; DOLK, Maarten (2001). Young mathematicians at work.
Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. Portsmouth:
Heinemann.
GAIRÍN, José María (1990). “Efectos de la utilización de juegos educativos en la
enseñanza de las matemáticas”. Educar, núm. 17, p. 105-118.
GARDNER, Martin (1995). El carnaval matemático. Madrid: Alianza.
GUZMÁN, Miguel (1984). Juegos matemáticos en la enseñanza. Manuscrit no publicat,
Facultat de Matemàtiques, Universitat Complutense de Madrid, Madrid,
Espanya.
HUIZINGA, Johan (2012). Homo Ludens. Madrid: Alianza.
KLING, Gina; BAY-WILLIAMS, Jennifer M. (2015). “Three Steps to Mastering
Multiplication Facts”. Teaching Children Mathematics, 21 (9), 550-559.
LATORRE, Antonio (2008). La investigación-acción. Conocer y cambiar la práctica
educativa. Barcelona: Editorial Graó.
LATORRE, Antonio; RINCÓN, Delio; ARNAL, Justo (2005). Bases metodológicas de la
investigación educativa. Barcelona: Ediciones Experiencia.
PARRISH, Sherry (2010). Number Talks. Helping children build mental math and
computation strategies. Grades K-5. California: Math Solutions.
VAN DE WALLE, Jonh A.; KARP, Karen S.; BAY-WILLIAMS, Jennifer M. (2013).
Elementary and Middle School Mathematics. Teaching Developmentally. 8th
edition. New Jersey: Pearson Education.
VYGOTSKI, Lev (1979). El desarrollo de los procesos psicológicos superiores.
Barcelona: Crítica.
EL JOC COM A EINA EDUCATIVA EN
L’APRENENTATGE DE FETS NUMÈRICS BÀSICS
PER MILLORAR EL CÀLCUL MENTAL EN UNA
AULA DE PRIMÀRIA
Annexos del Treball de Final de Grau de Mestre
d’Educació Primària
IRMA DARNÉ DUQUE
Curs 2015-16
Tutora: Mireia Jurado Salvans
Departament de Didàctica de les Arts i les Ciències
Universitat de Vic – Universitat Central de Catalunya
13 de maig de 2016
2
ÍNDEX
Annex 1. Targetes de la prova inicial i final ................................................................... 3
Annex 2. Seqüència didàctica: Els jocs del nombre 5 i el 10 ......................................... 4
Annex 3. Taules de buidatge de la prova inicial .......................................................... 26
Annex 4. Taules de buidatge de la prova final ............................................................ 33
REFERÈNCIES BIBLIOGRÀFIQUES ......................................................................... 40
3
Annex 1. Targetes de la prova inicial i final
4
Annex 2. Seqüència didàctica: Els jocs del nombre 5 i el 10
Graella de programació general
GRUP CLASSE DURADA PERÍODE CURS ESCOLAR MESTRE/A
1r primària (30 infants) 8 hores 4 setmanes 2015/2016 Irma Darné
ÀREES IMPLICADES TÍTOL
Matemàtiques Jocs de càlcul mental
CONTINGUTS DE L’ÀREA
COMPETÈNCIES BÀSIQUES
OBJECTIUS D’APRENENTATGE CRITERIS D’AVALUACIÓ
Procedimentals Competència matemàtica
Ser capaç de descompondre el nombre 5 en dos i tres sumands de diferents maneres.
Compta tot el primer nombre que
després sumarà amb el segon? Afegeix la segona quantitat a la
primera? Utilitza els dits per comptar? Usa l’estratègia de començar a
comptar a partir del nombre més gran?
Té resultats automatitzats? Verbalitza algun resultat
memoritzat?
Càlcul mental Composició i
descomposició Cerca
d’estratègies
Ser capaç d’aprendre les descomposicions del nombre 5.
Conceptuals Competència d’autonomia i iniciativa personal
Ser capaç de descompondre el nombre 10 en dos sumands de diferents maneres.
Nombres naturals
5
de l’1 al 10 Noció de suma
Ser capaç d’aprendre les descomposicions del nombre 10.
Actitudinals Competència aprendre a aprendre
Ser capaç d’aplicar estratègies favorables per guanyar el joc.
Usa estratègies que li permeten
guanyar el joc?
Col·laboració en
l’organització i el desenvolupament del joc.
Respecte pels companys.
Treball en equip.
Acceptar la derrota.
Interès per intercanviar informacions i suggeriments amb els companys.
Ser capaç de desenvolupar agilitat mental
Com organitzen el joc i
distribueixen les cartes? Com decideixen qui comença? Com resolen els conflictes? És capaç de col·laborar amb el
company o companya? Segueix les normes del joc per
contribuir al bon funcionament d’aquest?
Accepta la derrota?
Ser capaç de seguir les normes del joc.
Ser capaç de col·laborar amb el company o companya per resoldre conflictes i dur a terme la tasca conjuntament.
Ser capaç d’afrontar el repte de la competitivitat acceptant la derrota.
6
SEQÜÈNCIA DIDÀCTICA
DESCRIPCIÓ DE LES ACTIVITATS
MATERIALS RECURSOS
ORG. SOCIAL
TEMPS ATENCIÓ DIVERSITAT
ACTIVITATS AVALUACIÓ/ Paper del mestre
INICIALS 1 Avaluació inicial Conèixer què saben els infants en relació al contingut a tractar a la fi de programar una seqüència didàctica a mida per a ells i elles. Individualment cada infant ha resolt unes sumes de dos i tres sumands que progressivament han anat augmentant de dificultat (4+1, 2+3, 5+5, 2+8, 6+5, 1+9+4 i 3+5+7). La idea era que resolguessin les sumes mentalment i després em comuniquessin verbalment com ho havien fet. Però els qui han volgut han usat material per a comptar i paper per fer els càlculs que necessitaven. Tots els i les alumnes han estat gravats per poder analitzar detingudament les estratègies que han utilitzat per resoldre les operacions.
- Targetes amb sumes (vegeu annex 1). - Taps de suro - Paper i llapis
Individualment
4 hores Els infants que no sabien fer la suma mentalment disposaven de material i suport per realitzar els càlculs.
1. Observar i prendre notes sobre com han resolt les operacions 2. Buidatge dels resultats 3.Interpretació dels resultats 4. Presa de decisions
DESENVOLUPAMENT 2 El joc del nombre 5
Parelles i grups de deu nens i nenes
2 hores Mestra de suport
Autoavaluació per part dels infants sobre els continguts actitudinals 3 El quinto del nombre 10
El quinto del nombre 5 (depenent de com hagi funcionat el primer joc)
Parelles 2 hores Adaptació
7
4 La mona
Parelles i grups de deu nens i nenes
2 hores Mestra de suport
5 Tens un...
Parelles i grups de deu nens i nenes
2 hores Mestra de suport
SÍNTESI 6 Avaluació final Conèixer què han après els infants en relació al contingut a tractar després de dur a terme la programació creada a partir de jocs. Tornar a fer la mateixa avaluació inicial de manera individual amb les mateixes sumes i argumentant com les han resolt. També es podrà utilitzar material per a comptar i paper per fer càlculs. Es tornarà a gravar per poder analitzar detingudament els progressos que ha realitzat cada infant.
- Targetes amb sumes - Taps de suro - Paper i llapis
Individualment
4 hores Els infants que ho necessitin poden usar material i suport per realitzar els càlculs.
1. Observar i prendre notes sobre com han resolt les operacions 2. Buidatge dels resultats 3.Interpretació dels resultats
8
Esquema dels jocs segons com vagin evolucionant les sessions
Els dos primers jocs que corresponen a les quatre primeres sessions d’una hora cadascuna sempre seran els mateixos, però a mesura que es
vagi desenvolupant la seqüència i depenent del grup-classe i el seu nivell, es duran a terme uns jocs o uns altres. La ruta marcada de color
verd és la que prèviament s’ha establert per seguir i, per tant, la de referència. Això significa que en l’apartat següent sobre la planificació
específica de cada joc es segueix l’ordre de la ruta de color verd. Però en l’últim apartat s’explica el joc del “bombardeig” que possiblement es
dugui a terme a l’aula.
El joc del nombre 5 El quinto
Dominen la descomposició
del 5
No dominen la descomposició
del 5
El quinto del nombre 10 El quinto del nombre 5 (sessió 1)
El quinto del nombre 10 (sessió 2)
Ha anat bé
No ha anat bé
La mona
El bombardeig La mona
Tens un...
8
9
Graelles de programació específiques per cada joc
El primer joc té com a objectiu que els infants aprenguin les possibles descomposicions del nombre cinc perquè realitzant la prova inicial em
vaig adonar que molts alumnes encara no les havien automatitzat i necessitaven comptar-ho de cap, amb els dits o inclús amb material. Per
tant, el motiu pel qual realitzo aquest joc abans d’introduir els altres focalitzats en la descomposició del deu és per atendre a la diversitat, és a
dir, a molts infants els servirà per iniciar la memorització, a d’altres per repassar i sistematitzar el contingut i inclús alguns descobriran alguna
estratègia de càlcul.
Sessió 1 i 2: EL JOC DEL NOMBRE 5
Material:
Quatre baralles espanyoles per cada cinc
parelles jugadores: de dues agafem de l’1 al 4,
de cada pal, 4 x 8 = 32. De les altres dos agafem
els 1 i els 2 de cada pal, 4 x 2 = 16. En total 32 +
16 = 48 cartes.
Normes del joc:
Es reparteixen totes les cartes entre les parelles que hi participen.
Cada parella col·loca les seves cartes boca avall, una sobre l’altra.
Cada parella jugadora, seguint un ordre, destapen la primera carta del seu pilonet i la
col·loca damunt la taula.
Es tracta de sumar cinc amb la carta pròpia i una o més cartes que la resta de jugadors
han deixat damunt la taula anteriorment.
Si es pot sumar cinc s’emporten les cartes sumades a un pilonet particular de cartes
guanyades. Si no poden deixen la seva carta damunt la taula.
Guanyarà qui s’hagi emportat més cartes.
Número de jugadors i distribució:
Cinc parelles d’alumnes. En total 10 infants a
cada taula i tres taules jugant el mateix joc.
10
Continguts
procedimentals
Objectius Desenvolupament Temps
Càlcul mental
Composició i
descomposició
Utilització de la
sèrie numèrica
per determinar
la mida d’una
col·lecció
Ser capaç de sumar dos
o més nombres per
obtenir un resultat de 5.
Ser capaç d’utilitzar un
procediment efectiu per
determinar qui té més
cartes al finalitzar el joc.
Ser capaç de col·laborar
amb els companys per
resoldre els possibles
conflictes i realitzar la
tasca conjuntament.
Ser capaç de seguir les
regles del joc.
Sessió 1
1. Presentació de les 8 sessions i del primer joc:
o Per no perdre temps en organització, prèviament agrupar
els infants per parelles i en tres taules de deu alumnes
cadascuna. Col·locar a cada taula uns paperets amb els
noms de les parelles que formen l’equip prèviament
elaborats amb lletra lligada.
o Explicació del què farem durant les vuit sessions i
explicitació de l’objectiu final.
o Consensuar amb els infants les normes de comportament
que cal seguir durant totes les sessions per jugar.
o Donar una baralla de cartes a cada taula i explicar el
funcionament del joc de manera pautada a mesura que
aquest va avançant.
20 min
2. Jugar: cada taula començarà a jugar de manera independent
amb l’ajuda de les tres mestres que hi hauran a l’aula. Cadascuna
s’ocuparà d’un grup i actuaran de guia solucionant, si cal, dubtes i
altres qüestions.
25 min
11
3. Reflexió: verbalitzar les estratègies que s’han utilitzat i tots els
problemes conceptuals, procedimentals i actitudinals que han
anat sorgint durant el joc. El docent pot fer les següents
preguntes:
o Amb quines cartes hem pogut fer un 5?
o Amb quantes cartes podem fer un 5?
o Si tiro un 3, quantes cartes podré agafar? Quines?
Explicar la graella d’autoavaluació que hauran d’omplir juntament
amb la seva parella escoltant i reflexionant el que els altres companys
de joc i la mestra opinin. El docent podrà posar gomet (una cara
somrient) només si han complert l’ítem que se’ls demanava.
A la cartolina que hi ha l’autoavaluació, també hi ha un requadre on
cada parella haurà d’escriure els seus noms o dibuixar algun objecte,
codi o senyal que els identifiqui com a parella de joc.
15 min
12
Sessió 2
1. Recordatori de les normes del joc: preparació prèvia de les
taules i explicació del joc.
10 min
2. Jugar: cada taula començarà a jugar de manera independent
amb l’ajuda de les tres mestres que hi hauran a l’aula. Cadascuna
s’ocuparà d’un grup i actuaran de guia solucionant, si cal, dubtes i
altres qüestions.
40 min
3. Reflexió: les mateixes preguntes que el dia anterior i
autoavaluació.
10 min
13
Sessió 3 i 4: EL QUINTO DEL NOMBRE 10
Material:
15 cartrons amb diferents nombres de l’1 al 9.
Cigrons per marcar els nombres. Així es
podrà jugar més d’una vegada amb els
mateixos cartrons.
Paperets de l’1 al 9.
Normes del joc:
Cada parella té un cartró. En cada taula hi ha cigrons per marcar els nombres.
El docent desplegarà un paperet i cantarà el nombre que hi hagi escrit.
Tots els infants que tinguin en el seu cartró el nombre complementari del que s’ha
cantat que permeti fer un deu, el marquen amb un cigró. Per exemple: la mestra canta
el nombre vuit, per tant, tots els infants que tinguin el nombre dos en el seu cartró l’han
de marcar amb el cigró.
Depenent de com hagi funcionat el joc anterior, es pot començar construint el nombre 5
i evolucionar de nivell, a la sessió següent, continuant amb el nombre 10.
Guanya la parella que primer aconsegueixi marcar tots els nombres del cartró. Haurà
d’alçar la mà i cridar: quinto!
La parella guanyadora tindrà el privilegi de cantar els nombres durant la pròxima
partida i així successivament.
Número de jugadors i distribució:
Quinze parelles d’alumnes amb un cartró
cadascuna. Juguen tots els infants al mateix
moment.
Continguts
procedimentals
Objectius Desenvolupament Temps
Càlcul mental
Ser capaç de reconèixer
Sessió 3
1. Presentació del joc: explicació i conversació sobre els objectius
15 min
14
Composició i
descomposició
les parelles de nombres
que sumats fan 10.
Donat qualsevol nombre
entre l’1 i el 9, saber el
complementari per
sumar deu.
Ser capaç de col·laborar
amb els companys per
resoldre els possibles
conflictes i realitzar la
tasca conjuntament.
Ser capaç de seguir les
regles del joc.
matemàtics i actitudinals que s’espera que assoleixin. Agrupar els
infants per parelles i donar-los el material: un cartró per cadascun
(vegeu annex 3) i una plata de cigrons per cada taula.
2. Jugar: començarà el docent a cantar els nombres deixant bastant
temps perquè els infants puguin pensar i decidir amb el company
el resultat. A mesura que es vagin jugant més partides, la velocitat
del joc canviarà deixant menys temps entre nombre i nombre. A
més, els guanyadors de cada partida seran els encarregats de
cantar els pròxims nombres. Quan cantin “quinto” el docent
sempre comprovarà el cartró.
30 min
3. Reflexió: verbalitzar les estratègies que s’han utilitzat i tots els
problemes conceptuals, procedimentals i actitudinals que han
anat sorgint durant el joc.
Omplir graella d’autoavaluació.
15 min
Sessió 4
1. Recordatori de les normes del joc. Preparació del material i
agrupacions.
10 min
2. Jugar 40 min
3. Reflexió
10 min
15
Sessió 5 i 6: La mona
Material:
Una baralla de cartes espanyoles per cada
cinc parelles jugadores: seleccionem de l’1 al
9 de cada pal.
Normes del joc:
S’agafa una carta de la baralla, es mira i s’ensenya a tots els jugadors. Es deixa a part
durant tota la partida, de manera que quan aquesta s’acabi quedarà una carta sense
emparellar.
Es reparteixen totes les cartes. Cada parella jugadora descarta totes les parelles que tingui
que sumin 10 posant-les damunt la taula.
Seguidament, per torns, amb les cartes a la mà en forma de ventall, deixen que la parella
de la seva dreta agafi una carta sense mirar. Si poden emparellar-la amb una carta de les
seves i sumar 10, aquestes les deixen damunt la taula. Si no poden, s’han de quedar la
carta. A continuació, ofereixen el seu ventall de cartes a la pròxima parella.
El joc continua fins que queda una sola persona amb la carta sense parella i perd.
Número de jugadors i distribució:
Cinc parelles d’alumnes. En total 10 infants a
cada taula i tres taules jugant el mateix joc.
Depenent de com hagin funcionat els jocs
anteriors es pot dur a terme individualment.
Continguts
procedimentals
Objectius Desenvolupament Temps
Càlcul mental
Composició i
descomposició
de números.
Ser capaç de
reconèixer les parelles
de números que
sumats fan 10.
Sessió 5
1. Presentació del joc: explicació i conversació sobre els objectius
matemàtics i actitudinals que s’espera que assoleixin. Agrupar els
infants per parelles i en tres taules de deu alumnes cadascuna.
Donar-los el material. Recreació, si cal, d’una partida perquè els
infants vegin el funcionament, ja que és difícil d’entendre.
20 min
16
Donat qualsevol
nombre entre l’1 i el 9,
saber el complementari
per sumar deu.
Memoritzar algunes de
les parelles de números
que sumen deu.
Ser capaç d’escoltar i
valorar l’opinió dels
companys.
2. Jugar: començar a jugar respectant que cada taula de joc té el seu
ritme. El docent actuarà de guia passant per cada taula i solucionant,
si cal, dubtes i altres qüestions.
25 min
3. Reflexió: verbalitzar les estratègies que s’han utilitzat i tots els
problemes conceptuals, procedimentals i actitudinals que han anat
sorgint durant el joc.
15 min
Ser capaç de
col·laborar amb els
companys per resoldre
els possibles conflictes
i realitzar la tasca
conjuntament.
Sessió 6
1. Recordatori de les normes del joc. Preparació del material i
agrupacions.
10 min
2. Jugar: cada vegada que acabin una partida s’hauran d’anotar en un
full totes les maneres amb les quals han aconseguit formar un deu.
Després ho comunicaran a la resta de companys i companyes de la
taula per compartir les diverses estratègies.
40 min
40 m
i
n
3. Reflexió
10 min
17
Amb aquest últim joc es pretén que els infants repassin totes les possibles combinacions de dos sumands que juntes formen el nombre 10 i,
sobretot, que tinguin la possibilitat d’aplicar estratègies favorables per guanyar la partida, com per exemple: deduir les cartes que tenen els
companys. En definitiva, aquest joc és l’evolució del joc anterior donant la possibilitat, als infants que ja dominen la descomposició del 10,
d’anar més enllà aplicant estratègies més complicades.
Sessió 7 i 8: Tens un...
Material:
Una baralla de cartes espanyoles per cada cinc
parelles jugadores: seleccionem de l’1 al 9 de
cada pal (9 x 4 = 36).
Normes del joc:
Es reparteixen totes les cartes. Cada parella jugadora descarta totes les parelles que
tingui que sumin 10 i les posa en un pilonet particular.
A continuació, la primera parella jugadora demana una carta a una altra parella, a la que
vulgui. Per exemple: Jordi i Maria, teniu un 2? Si aquests tenen la carta que han
demanat obligatòriament els hi ha de donar. Llavors els qui hagin demanat la carta han
d’ensenyar a la resta de companys l’altre carta amb la qual formen un 10 (2 + 8).
Després se les guarden juntament amb el seu propi pilonet de cartes. Segueixen
demanant cartes fins que es topen amb alguna parella que no tenen la carta que
demanen.
Quan fallen passa el torn a la parella que ha dit que no tenien la carta.
Guanya la parella que ha fet més parelles al final de la partida.
Número de jugadors i distribució:
Cinc parelles d’alumnes. En total 10 infants a
cada taula i tres taules jugant el mateix joc.
18
Continguts
procedimentals
Objectius Desenvolupament Temps
Càlcul mental
Composició i
descomposició
de números.
Cerca
d’estratègies
Ser capaç de
reconèixer les parelles
de números que
sumats fan 10.
Donat qualsevol
nombre entre l’1 i el 9,
saber el complementari
per sumar deu.
Memoritzar algunes de
les parelles de
números que sumen
deu.
Saber estar atent als
números que demanen
els companys i actuar
amb conseqüència.
Sessió 7
1. Presentació del joc: explicació i conversació sobre els objectius
matemàtics i actitudinals que s’espera que assoleixin. Agrupar els
infants per parelles i en tres taules de deu alumnes cadascuna.
Donar-los el material. Recreació, si cal, d’una partida perquè els
infants vegin el funcionament, ja que és difícil d’entendre.
20 min
2. Jugar: començar a jugar respectant que cada taula de joc té el seu
ritme. El docent actuarà de guia passant per cada taula i
solucionant, si cal, dubtes i altres qüestions.
25 min
3. Reflexió: verbalitzar les estratègies que s’han utilitzat i tots els
problemes conceptuals, procedimentals i actitudinals que han anat
sorgint durant el joc.
15 min
19
Ser capaç de
col·laborar amb els
companys per resoldre
els possibles conflictes
i realitzar la tasca
conjuntament.
Sessió 8
1. Recordatori de les normes del joc. Preparació del material i
agrupacions.
10 min
2. Jugar: cada vegada que acabin una partida s’hauran d’anotar en
un full totes les maneres amb les quals han aconseguit formar un
deu. Després ho comunicaran a la resta de companys i companyes
de la taula per compartir les diverses estratègies.
40 min
3. Reflexió
10 min
20
Joc provisional
Sessió 5 i 6: El bombardeig
Material:
Baralla de cartes de l’1 al 9.
Normes del joc:
Els jugadors es col·loquen un davant de l’altre. Es reparteixen totes les cartes entre els
dos participants. Cadascun se les col·loca davant seu apilades boca avall.
Alhora, els dos jugadors, destapen una carta del pilonet i la posen davant seu.
Si les dues cartes sumen deu, el primer que digui “deu” en veu alta guanya totes les
cartes obertes que quedin sobre la taula i les afegeix al seu pilonet personal, a sota de tot
sense mirar-se-les.
Guanya qui es quedi amb totes les cartes. També hi pot haver un temps limitat i que
guanyi qui, quan es pari el temps, tingui més cartes.
Número de jugadors i distribució:
Dos jugadors, un contra l’altre. En total hi
hauran quinze parelles jugant.
Continguts
procedimentals
Objectius Desenvolupament Temps
Càlcul mental
Composició i
descomposició
de números.
Ser capaç de
reconèixer les
parelles de números
que sumats fan 10.
Sessió 5
1. Presentació del joc: explicació i conversació sobre els objectius
matemàtics i actitudinals que s’espera que assoleixin. Agrupar els
infants per parelles. Donar-los el material. Recreació, si cal, d’una
partida perquè els infants vegin el funcionament, ja que és difícil
d’entendre.
20 min
21
Cerca
d’estratègies
Memoritzar algunes
de les parelles de
números que sumen
deu amb la intenció
de ser més veloç per
aconseguir guanyar el
joc.
Ser capaç de seguir
les regles del joc.
2. Jugar: començar a jugar respectant que cada parella de joc té el
seu ritme. El docent actuarà de guia passant per cada taula i
solucionant, si cal, dubtes i altres qüestions.
25 min
3. Reflexió: verbalitzar les estratègies que s’han utilitzat i tots els
problemes conceptuals, procedimentals i actitudinals que han anat
sorgint durant el joc.
15 min
Ser capaç de
col·laborar amb els
companys per
resoldre els possibles
conflictes i realitzar la
tasca conjuntament.
Sessió 6
1. Recordatori de les normes del joc. Preparació del material i
agrupacions.
10 min
2. Jugar: cada vegada que acabin una partida s’hauran d’anotar en
un full totes les maneres amb les quals han aconseguit formar un deu.
Després ho comunicaran a la resta de companys i companyes de la
taula per compartir les diverses estratègies.
40 min
3. Reflexió
10 min
22
Millores per incorporar a la planificació
Durant el desenvolupament de totes les sessions s’han anat realitzant propostes de
millora a incorporar a la planificació prèvia després de veure’n l’aplicació a l’aula.
Majoritàriament totes s’han posat en pràctica en sessions posteriors al comprovar el
que no funcionava a fi d’aconseguir els objectius plantejats des d’un inici. Això ha estat
possible perquè la mecànica de les sessions ho ha permès, ja que era sempre la
mateixa.
Millores més importants incorporades a la planificació de la seqüència didàctica:
Fer dos jocs durant la mateixa sessió per evitar el mal comportament i el
cansament que mostraven els infants jugant durant tres quarts d’hora o mitja
hora al mateix joc. D’aquesta manera vaig aconseguir adaptar-me a la manera
de treballar d’aquell grup adonant-me que necessitaven realitzar activitats
curtes i variades.
Introduir un joc nou: El memory. Vaig poder presentar-lo durant la sessió
programada per jugar al Quinto amb l’objectiu de donar més varietat als infants
i treballar d’una altra manera l’objectiu preestablert.
Després de provar totes les agrupacions d’infants possibles, em vaig adonar
que, en aquest cas, funcionaven els grups homogenis pel que fa a nivells
23
d’aprenentatge. És a dir, era un fracàs agrupar infants que encara necessitaven
comptar per determinar les parelles que sumaven deu amb d’altres que no
sabien sumar i, a més a més, amb uns altres que pràcticament ja tenien
automatitzada la descomposició del deu. Tots ells es desmotivaven perquè uns
necessitaven un joc més ràpid per adquirir aprenentatge i els altres més lent
per poder entendre el joc. Els jocs van començar a funcionar millor quan vaig
determinar el que passava i vaig agrupar aquests tres casos junts. Cada grup
anava al seu ritme i tant la mestra tutora com jo podíem dedicar-nos als infants
que els costava més.
Desdoblar el grup-classe per treballar més còmodament, sense xivarri i poder
dur a terme una atenció individualitzada per a cada infant a la fi de garantir el
seu aprenentatge. Aquesta millora juntament amb les altres dues van ser el
punt i final a les sessions feixugues pel que fa al comportament. Gràcies a
aquestes estratègies vaig poder aconseguir el que des d’un principi m’havia
proposat després d’haver conegut al grup: aprendre sota un clima de
tranquil·litat i respecte.
Millores per incorporar a la planificació:
Tot i que el planteig general de les vuit sessions ha funcionat i, a més, ha donat bons
resultats pel que fa al contingut; se m’ocorre una altra manera de presentar les
sessions de joc que, possiblement, hagués donat més bons resultats pel que fa l’àmbit
actitudinal: fer sessions de vint minuts cada dia o cada dos dies només per jugar una o
dues partides del joc que aquella setmana toqués. D’aquesta manera evitaria el
cansament que mostren els infants quan han passat els primers trenta minuts de
classe. L’alumnat sabria que només té vint minuts per jugar i, per tant, s’ho agafarien
més seriosament sense perdre temps voltant per l’aula o molestant als companys. A
més, realitzant les sessions, he descobert que la metodologia que funciona
concretament en aquesta aula és realitzar activitats curtes i variades.
Pel que fa a la programació, crec que vaig cometre l’error de capficar-me més en
aspectes de contingut i metodologia per afavorir els aprenentatge dels infants que en
buscar estratègies perquè els infants adoptessin bons hàbits de comportament i
escolta. Aquestes estratègies les vaig haver d’anar incorporant a mesura que
avançaven les sessions. Tot i que considero que al final vaig ser capaç d’afrontar el
24
seguit de problemes que se’m presentaven aplicant diverses metodologies fins arribar
a trobar l’adequada.
Com a millora, podria haver tingut un ventall més ampli d’estratègies abans de posar
en pràctica la seqüència didàctica havent previst els possibles conflictes. Tot i així, sóc
conscient que els problemes els vaig anar resolent a mesura que apareixien i que, de
fet, són impossibles de percebre abans, ja que realment no sabia del cert què
funcionaria i què no. A més, aquest seguit d’estratègies que penso que em van faltar
abans de posar en pràctica la sessió són fruit d’una llarga experiència practicant la
professió de mestra i, per tant, és normal que encara no posseeixi.
Tanmateix, abans de dur a terme les sessions podria haver planificat més
detalladament els plans que seguirien els infants que necessitaven més suport i ajudes
que la resta de companys. En cap moment vaig deixar de pensar en ells i en cada
sessió tenien una mestra de suport i diferents ajudes per poder fer la tasca al seu
nivell. Tot i així, podria haver creat material adaptat a les seves necessitats abans de
topar-me amb el problema, tal i com va passar amb el joc del “Memory”. A la següent
sessió vaig rectificar creant el material específicament adaptat.
Pel que fa al moment d’autoavaluació que es produïa al final de cada sessió, en
general penso que va servir per relacionar les vuit sessions que es van fer, ja que dia
rere dia els infants mateixos s’autoavaluaven sobre com havia funcionat la sessió i
quins objectius es marcarien per a la pròxima. A més, els infants estaven il·lusionats
amb aquella part de la sessió, ja que havien creat el seu propi “logotip” com a jugadors
de cartes i cada dia adquirien gomets pels ítems que havien fet bé. Tot i així, crec que
els infants eren massa petits per acabar d’entendre el funcionament real d’aquella
tasca, ja que molts d’ells demanaven gomets sense cap mena d’argument.
Per millorar aquesta part i fer-la més real, hagués estat bé treballar-la amb anterioritat
en qualsevol tasca normal de l’aula. Va ser difícil entrar en la mecànica de
funcionament de l’autoavaluació perquè l’alumnat no estava acostumat a fer aquesta
tipologia d’activitats. Ara que conec amb més profunditat el grup-classe, potser penso
que hagués funcionat millor una altra activitat simplement per donar sentit i temàtica a
tota la seqüència didàctica, ja que només amb vuit sessions és gairebé impossible que
s’acostumin a ser crítics amb ells mateixos.
25
Una de les millores a fer respecte a la posada en pràctica de les sessions és
l’adequació als temps de reflexió. Concretament en dos sessions no vaig realitzar la
reflexió posterior als jocs que prèviament tenia programada. En aquell moment em
semblava més important aprofitar els moments gloriosos de bon comportament i
concentració dels infants per seguir jugant. No puc saber si aquesta decisió va afavorir
a l’aprenentatge dels infants, però si puc determinar que el fet de no fer aquestes
reflexions finals perjudicava a altres infants que els funcionava més que la metodologia
basada en jocs veure, per exemple, l’algoritme de la suma o fer-se una idea general
sobre què estàvem aprenent.
Crec en la metodologia basada en jocs, però també crec en una educació feta a mida
per a cada estudiant comprenent que tots som diferents i que, per tant, tots necessitem
la nostra pròpia metodologia. És impossible dur a terme una metodologia per a cada
alumne essent trenta infants, però si que es poden oferir diverses maneres d’aprendre
un determinat contingut per garantir l’aprenentatge de tots els infants.
26
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1
Ha retingut al cap el número més gran (4) i per
resoldre la suma ja sabia que després del 4 venia el
5 (que era un més)
No No CPM No 5 Informal
2 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
3Ha començat a comptar pel nombre més gran
(1,2,3,4) i, després, hi ha afegit l'1No No CTM No 5 Informal
4
Compta per representar el primer sumand, torna a
comptar per representar el segon sumand i, al final,
ho compta tot junt
Primer diu que el resultat
de la suma és 4, però de
seguida canvia d'opinió
perquè compta els dits de
la mà
Dits CC No 5 Informal
5 Directament diu un resultat sense comptar No suma No f No 3 Intuïtiu
6Ha sumat mentalment comptant primer el nombre 4
i, després, afegint-hi l'1No No CTM No 5 Informal
7 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
8Ha començat a comptar pel nombre més gran
(1,2,3,4) amb suport i, després, hi ha afegit l'1No Dits CC No 5 Informal
9 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
10 Directament diu un resultat sense comptar No suma No f No 6 Intuïtiu
11
Directament diu un resultat sense comptar i quan se
li ofereix el material, només agafa dos taps i els
compta
No entén què és sumar No f No 2 Intuïtiu
12 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
13Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
14 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
15 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
16Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
17 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
18
Directament diu un resultat sense comptar i,
després, quan obté el material agafa set taps de
suro i a mesura que els va posant drets els compta
així: 1, 2, 3, 4, 5, 7 i 8
Primer respon que la suma
fa 2 sense haver-ho
comptat.
No segueix bé la recta
numèrica quan compta
amb material
Taps de suro f No 7 Informal
19Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
20Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
21 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
22 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
23Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
24Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
25Ha retingut al cap el número més gran (4) i,
després, n'ha afegit unNo No CPM No 5 Informal
26 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
27
Forma una pauta digital per formar el primer
sumand, després hi afegeix el segon sumand i
reconeix directament el resultat (un mà amb cinc
dits alçats)
No Dits RP No 5 Informal
28Ha començat a comptar pel nombre més gran
(1,2,3,4) amb suport i, després, hi ha afegit l'1No Dits PD No 5 Informal
29Ha començat a comptar pel nombre més gran
(1,2,3,4) amb suport i, després, hi ha afegit l'1No Taps de suro CC No 5 Informal
30Ha sumat mentalment comptant primer el nombre 4
i, després, afegint-hi l'1No No CTM No 5 Informal
Alu
mn
at
Procés
Suma 4 + 1
Resposta
Annex 3. Taules de buidatge de la prova inicial
27
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T.
Coneixement
1Ha començat a comptar a partir del 2 seguint aquest procés: 2
(sense comptar-lo); 3, 4 i 5No No CPP No 5 Informal
2 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
3Ha començat a comptar a partir del nombre major: 3 (sense
comptar-lo); 4 i 5.No No CPM No 5 Informal
4
Forma una pauta digital per representar el primer sumand,
després fa el mateix per formar el segon sumand. Al final, ho
compta tot per donar el resultat
Primer diu un resultat erroni
perquè en comptes de
representar amb els dits el
nombre tres, forma el dos
Dits PD No 5 Informal
5
Compta dos taps de suro per formar el primer sumand i els separa
dels altres. Realitza el mateix procés per representar el segon
sumand (el nombre tres). Quan té els dos pilonets compta tots els
taps per saber el resultat
Abans d'utilitzar el material diu
un resultat qualsevol: 2Taps de suro CC No 5 Informal
6Ha començat a comptar a partir del 2 seguint aquest procés: 2
(sense comptar-lo); 3, 4 i 5No No CPP No 5 Informal
7 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
8 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
9 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
10
Compta dos taps de suro per formar el primer sumand i els separa
dels altres. Realitza el mateix procés per representar el segon
sumand (el nombre tres). Quan té els dos pilonets compta tots els
taps agafant-los amb la mà per saber el resultat
No Taps de suro CC No 5 Informal
11Forma el segon sumand amb material, però no aconsegueix
resoldre la suma
No forma els dos nombres per,
després, comptar-losTaps de suro f No 9 Intuïtiu
12 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
13Ha començat a comptar a partir del 2 seguint aquest procés: 2
(sense comptar-lo); 3, 4 i 5No No CPP No 5 Informal
14Ha comptat el primer sumand i, després, ha afegit el segon
sumand seguint aquest procés: 1, 2; 3, 4 i 5No No CTP No 5 Informal
15 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
16 Ha començat a comptar a partir del nombre major: 1, 2, 3; 4 i 5. No No CTM No 5 Informal
17 Ha començat a comptar a partir del nombre major: 1, 2, 3; 4 i 5. No No CTM No 5 Informal
18Compta material que ha utilitzat per fer la suma anterior sense cap
significat ni intenció
No suma, només compta
material que ha utilitzat per fer
la suma anterior sense cap
significat ni intenció
Taps de suro f No 7 Intuïtiu
19Ha començat a comptar a partir del 2 seguint aquest procés: 2
(sense comptar-lo); 3, 4 i 5No No CPP No 5 Informal
20Ha comptat el primer sumand i, després, ha afegit el segon
sumand seguint aquest procés: 1, 2; 3, 4 i 5No No CTP No 5 Informal
21 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
22 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
23Ha començat a comptar a partir del 2 seguint aquest procés: 2
(sense comptar-lo); 3, 4 i 5No No CPP No 5 Informal
24Ha començat a comptar a partir del 2 seguint aquest procés: 2
(sense comptar-lo); 3, 4 i 5No No CPP No 5 Informal
25 Ha comptat els extrems dels números No Extrems dels
númerosINP No 5 Informal
26 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
27
Ha format una pauta digital per representar el tres i, amb la
mateixa mà, ha format el dos i s'ha adonat que el resultat era cinc
perquè reconeix sense comptar la pauta digital final
No Dits RP No 5 Informal
28Ha començat a comptar el nombre major amb els dits (1, 2, 3) i,
després, ha afegit dos dits sense perdre el compte (4 i 5) No Dits PD No 5 Informal
29Ha comptat el primer sumand i, després, ha afegit el segon
sumand seguint aquest procés: 1, 2; 3, 4 i 5No No CTP No 5 Informal
30Exposa ràpidament que el resultat és 4 perquè després del 3 ve el
4
No entén què ha de fer, ja que
veu 2+3 i es pensa que ha de
dir 4 seguint la recta numèrica
perquè després del 3 ve el 4.
No f No 4 Intuïtiu
Alu
mn
at
Suma 2 + 3
Procés Resposta
28
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
2 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
3 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
4 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
5 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
6 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
7 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
8 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
9 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
10 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
11Diu esporàdicament que el resultat de la suma és 4 i,
després, agafa material i l'ajunta sense cap sentit
No entén
què és
sumar
Taps de suro f No 4 Intuïtiu
12 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
13 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
14 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
15 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
16 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
17 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
18Compta material que ha utilitzat per fer la suma anterior
sense cap significat ni intenció
No segueix
bé la recta
numèrica (1,
2, 3, 4 i 6)
Taps de suro f No 4 Intuïtiu
19Ha retingut al cap el 5 i, després, ha comptat 5 més (6,
7, 8, 9 i 10)No No CPP No 5 Informal
20 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
21 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
22 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
23 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
24 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
25 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
26
Utilitza la suma 4+4 que té automatitzada per resoldre
5+5. Quan té al cap el resultat de 4+4=8, n'hi suma dos
més que són els que ha tret als dos cincs
No No Dobles Si 5 Formal
27 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
28 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
29 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
30 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
Alu
mn
at
Suma 5 + 5
Procés Resposta
29
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el
dos seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
2Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el
dos seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
3Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el
dos seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
4
Representa el nombre major (8) amb pautes digitals assegurant-se que ho
ha fet bé comptant els dits. Manifesta que no té prous dits per comptar i li
deixo la meva mà formant els vuit dits que ja havia comptat ell. Després
forma la pauta digital del nombre dos, sense comptar, amb els seus dits i
ho torna a comptar tot.
Li falten dits per
comptarDits PD No 10 Informal
5Primer diu un resultat sense comptar (7). Quan agafa el material
representa primer el 2 apartant-lo de la resta de taps i, després, fa el
mateix procediment per formar el 8. Al final, ho compta tot junt.
Al final es deixa un tap
per comptarTaps de suro CC No 9 Informal
6Intenta resoldre la suma sense utilitzar material, però al final forma la
pauta digital del nombre vuit sense comptar. Tot i així, no acaba de
resoldre la suma.
Es bloqueja i no acaba
de sumar el nombre 2Dits RP No 9 Informal
7 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
8Ha comptat el nombre major (8) començant per l'1 i, després, n'hi ha
acabat d'afegir dos més seguint aquest procés: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; 9 i 10.No No CTM No 10 Informal
9Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el
dos seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
10Forma el 8 amb material i, després, només hi afegeix un tap dient en veu
alta: i 9.
No forma amb material
el primer sumand Taps de suro f No 9 Informal
11 Diu esporàdicament un nombre sense haver comptatNo entén què és
sumarNo f No 7 Intuïtiu
12 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
13Forma amb material el primer sumand (comptant un per un) i l'aparta de la
resta de taps. Fa el mateix procés per formar el segon sumand. Al final, ho
compta tot junt.
No Taps de suro CC No 10 Informal
14Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el
dos seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
15 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
16Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el
dos seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
17 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
18Compta material que ha utilitzat per fer la suma anterior sense cap
significat ni intenció
No segueix bé la recta
numèrica (1, 2, 3, 4 i 6)Taps de suro f No 4 Intuïtiu
19Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el
dos seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
20Ha comptat el nombre major (8) començant per l'1 i, després, n'hi ha
acabat d'afegir dos més seguint aquest procés: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; 9 i 10.No No CTM No 10 Informal
21 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
22 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
23 Ha retingut el 2 al cap i, després, hi ha sumat el 8: 2;3,4,5,6,7,8,9,10. No No CPP No 10 Informal
24Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el
dos seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
25S'ha retingut el 8 al cap i, després, ha comptat els extrems del nombre
dos.No
Extrems dels
númerosINP No 10 Informal
26Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el
dos seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
27Ha representat la pauta digital del nombre 8 (comptant) i, després, la del
nombre 2. Ha reconegut directament les pautes digitals del resultat. No Dits RP No 10 Informal
28Ha representat la pauta digital del nombre 8 (comptant) i, després, la del
nombre 2. Ha reconegut directament les pautes digitals del resultat. No Dits RP No 10 Informal
29 Forma el 8 amb material, després el 2 i ho compta tot junt No Taps de suro CC No 10 Informal
30 Diu un resultat qualsevolNo entén què és
sumarNo f No 9 Intuïtiu
Alu
mn
at
Suma 2 + 8
Procés Resposta
30
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1Ha retingut al cap el número més petit (5) i ha continuat comptant, amb l'ajuda
dels dits, el nombre que li faltava d'aquesta manera: 5; 6, 7, 8, 9, 10 i 11. No Dits PD No 11 Informal
2 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
3 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
4
Primer intenta resoldre la suma amb els dits, però s'adona que no té prous dits
per acabar de sumar. Després agafa material i intenta formar el primer sumand,
però només agafant quatre taps. El segon sumand tampoc el forma bé, ja que
en comptes d'agafar cinc taps només n'agafa quatre. Al final compta tots els
taps
Li falten dits de la mà
per sumar.
No etiqueta el nombre
al material
corresponent.
Es salta números de la
recta numèrica.
Taps de suro CC No 9 Informal
5
Forma amb material el primer sumand (comptant un per un) i l'aparta de la resta
de taps. Fa el mateix procés per formar el segon sumand. Al final, ho compta tot
junt.
No Taps de suro CC No 11 Informal
6Ha retingut al cap el número més petit (5) i ha continuat comptant, amb l'ajuda
dels dits, el nombre que li faltava d'aquesta manera: 5; 6, 7, 8, 9, 10 i 11. No Dits PD No 11 Informal
7 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
8Ha començat a comptar pel nombre més gran (1,2,3,4,5,6) i, després, hi ha
afegit el 5 a mesura que alçava els dits d'una mà (7,8,9,10 i 11)No Dits PD No 11 Informal
9 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
10Es precipita dient un resultat espontani (5). Després utilitza el material: forma el
primer sumand amb material i d'aquell mateix pilot n'agafa 5 i respon que el
resultat és 1.
Confon suma per resta Taps de suro f No 1 Informal
11 Diu esporàdicament un nombre sense haver comptat No entén què és sumar No f No 7 Intuïtiu
12Ha retingut al cap el número més petit (5) i ha continuat comptant, amb l'ajuda
dels dits, el nombre que li faltava d'aquesta manera: 5; 6, 7, 8, 9, 10 i 11. No Dits PD No 11 Informal
13Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc sense comptar-ho
correctament
No sap portar el
compte mentalmentNo CPM No 15 Informal
14 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. S'ha descomptat No CPM No 13 Informal
15
Diu esporàdicament un nombre sense haver comptat (12). Després ha vist que
havia de comptar per solucionar-ho: ha retingut al cap el número més gran (6) i
n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11.
No No CPM No 11 Informal
16 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
17 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
18Compta material que ha utilitzat per fer la suma anterior sense cap significat ni
intenció
No segueix bé la recta
numèrica (1, 2, 3, 4, 6 i
7)
Taps de suro f No 7 Intuïtiu
19 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
20Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc sense comptar-ho
correctamentS'ha descomptat No CPM No 12 Informal
21 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
22 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
23 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
24Ha retingut al cap el número més petit (5) i ha continuat comptant, amb l'ajuda
dels dits, el nombre que li faltava d'aquesta manera: 5; 6, 7, 8, 9, 10 i 11. No Dits PD No 11 Informal
25Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc sense comptar-ho
correctamentS'ha descomptat No CPM No 8 Informal
26 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
27 Forma la pauta digital del nombre 6 directament. Després compta cinc dits més.Es descompta quan
compta l'últim sumandDits PD No 12 Informal
28 Forma la pauta digital del nombre 6 directament. Després compta cinc dits més. No Dits PD No 11 Informal
29 Forma el 6 amb material, després el 5 i ho compta tot junt No Taps de suro CC No 11 Informal
30 Diu un resultat qualsevol No entén què és sumar No f No 7 Intuïtiu
Alu
mn
at
Suma 6 + 5
Procés Resposta
31
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat l'1. Quan ha tingut el 10 li ha
sumat el 4.No No CPM No 14 Informal
2Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que només ha
hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
3Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat el 4. Quan ha tingut el 13 li ha
acabat de sumar l'1.No No CPM No 14 Informal
4Forma amb material el primer sumand i l'aparta de la resta de taps. Fa el mateix
procés per formar el segon i el tercer sumand. Al final, ho compta tot junt.Confon el 6 pel 9 Taps de suro CC No 12 Informal
5Forma amb material el primer sumand i l'aparta de la resta de taps. Fa el mateix
procés per formar el segon i el tercer sumand. Al final, ho compta tot junt.No Taps de suro CC No 14 Informal
6
Forma la pauta digital del nombre 1 i amb l'altra mà comença a comptar fins que li
queden tots els dits de les dues mans alçats. Però de seguida es bloqueja i intenta
resoldre la suma amb material, primer formant el nombre 9 i, després, el 4. Però per
representar aquest últim nombre només posa tres taps. Quan compta tot el material
només li surten 12 taps.
No forma els tres
nombresTaps de suro CC No 12 Informal
7Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que només ha
hagut de canviar el zero del deu per un quatre.No No Deus Si 14 Formal
8
Ha començat a comptar pel nombre més gran (1,2,3,4,5,6,7,8,9) i, després, hi ha
afegit el 4 a mesura que alçava els dits d'una mà (10,11,12,13). Al final, només ha
hagut d'afegir-hi un 1 per formar el 14.
No Dits PD No 14 Informal
9Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat l'1. Quan ha tingut el 10 li ha
sumat el 4.No No CPM No 14 Informal
10Forma amb material el nombre 9 i, després, fa el mateix procés per formar el 4. Al
final, ho compta tot junt.
Es deixa l'1 a
l'hora de formar
els tres sumands
Taps de suro CC No 13 Informal
11 Diu esporàdicament un nombre sense haver comptatNo entén què és
sumarNo f No 7 Intuïtiu
12Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que només ha
hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
13
Forma amb material el primer sumand i l'aparta de la resta de taps. Per formar el
segon sumand compta fins a nou taps, però no els separa de la resta. A
continuació, senyala (un per un) quatre taps mentre continuar portant el compte del
9: 10, 11, 12 i 13. Acaba afirmant que 13 és el resultat final.
S'oblida del primer
sumand a l'hora
de comptar i
anunciar el
resultat
Taps de suro CC No 13 Informal
14 Ha comptat el 9 (1,2,3,4,5,6,7,8,9) i, després, hi ha afegit el 4 (10,11,12 i 13).S'ha deixat l'1 per
comptarNo CTM No 13 Informal
15
Diu esporàdicament un nombre sense haver comptat (15). Després ha vist que
havia de comptar per solucionar-ho: ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha
sumat el 4. Quan ha tingut el 13 li ha acabat de sumar l'1.
No No CPM No 14 Informal
16Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que només ha
hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
17 Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, després, ha sumat el 4.
S'ha descomptat
quan ha sumat
l'últim nombre
No Deus Si 13 Informal
18 * * * f * * *
19Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat l'1. Quan ha tingut el 10 li ha
sumat el 4.No No CPM No 14 Informal
20Forma directament la pauta digital del nou i la compta. Després s'adona que amb l'1
ja forma el 10. Al final, hi afegeix el 4 comptant-lo mentre el forma amb els ditsNo Dits PD No 14 Informal
21Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que només ha
hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
22Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que només ha
hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
23Utilitza el material per formar el primer sumand i el segon. Però després es bloqueja
i no aconsegueix donar un resultat.
No forma amb
material el tercer
sumand
Taps de suro CC No * Informal
24Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat l'1. Després ha utilitzat els
dits per acabar de comptar-hi el quatre.
S'ha descomptat
quan ha sumat
l'últim nombre
Dits PD No 13 Informal
25Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat l'1. Quan ha tingut el 10 li ha
sumat el 4 perquè s'ha imaginat dos puntets.No No INP No 14 Informal
26Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat l'1. Quan ha tingut el 10 li ha
sumat el 4.No No CPM No 14 Informal
27Forma la pauta digital del 9 i de l'1. Després en compta, utilitzant els dits, quatre
més.
S'ha descomptat
quan ha sumat
l'últim nombre
Dits PD No 13 Informal
28Forma la pauta digital del 9 i de l'1. Després en compta, utilitzant els dits, quatre
més.No Dits PD No 14 Informal
29Forma l'1 amb material, després el 9 i, per acabar, el 4. Ho compta tot junt per donar
la solucióNo Taps de suro CC No 14 Informal
30Forma l'1 amb material, després el 9 i, per acabar, el 4. Ho compta tot junt per donar
la solucióNo Taps de suro CC No 14 Informal
Alu
mn
at
Suma 1 + 9 + 4
Procés Resposta
32
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T.
Coneixement
1Ha retingut al cap el 5 i li ha sumat el 3. Quan ha tingut el 8, amb l'ajuda dels dits, ha
acabat de sumar-hi el 7No Dits PD No 15 Informal
2Ha retingut al cap el nombre major (7) i li ha sumat el 5. Després hi ha acabat de sumar
el 3S'ha descomptat No CPM No 14 Informal
3Ha retingut al cap el nombre major (7) i li ha sumat el 5. Després hi ha acabat de sumar
el 3No No CPM No 15 Informal
4
Forma amb material el primer sumand i l'aparta de la resta de taps. Fa el mateix procés
per formar el segon i el tercer sumand. Al final, ho compta tot junt fent petites parades per
recordar-se del número de la recta numèrica en el qual passa
NoTaps de
suroCC No 15 Informal
5Forma amb material el primer sumand i l'aparta de la resta de taps. Fa el mateix procés
per formar el segon i el tercer sumand. Al final, ho compta tot junt
Es deixa un tap alçat
utilitzat durant la suma
anterior. Quan fa el
recompte final també el
compta
Taps de
suroCC No 16 Informal
6
Forma la pauta digital del nombre tres sense comptar. A mesura que alça els dits de
l'altra mà va comptant el nombre cinc fins que obté com a resultat el 8. Després hi
afegeix el 7 tornant a comptar amb els dits
Quan hi suma el 7 es
confon de pauta digital i
n'acaba sumant 8
Dits RP No 16 Informal
7Primer ha intentat resoldre la suma sense material, però després ha agafat taps de suro
per representar els nombres. Ha format el 10 i, després, n'hi ha afegit dos.
No ha format
correctament els tres
sumands de la suma
Taps de
suroCC No 12 Informal
8
Ha començat a comptar pel nombre més gran (1,2,3,4,5,6,7) i, després, hi ha afegit el 5 a
mesura que alçava els dits d'una mà (8,9,10,11,12). Al final, només ha hagut d'afegir-hi el
3 també amb l'ajuda dels dits (13,14 i 15).
No Dits PD No 15 Informal
9 S'ha bloquejat perquè no volia utilitzar material per fer la suma. * * f * * *
10Forma amb material el primer sumand i l'aparta de la resta de taps. Fa el mateix procés
per formar el segon i el tercer sumand. Al final, ho compta tot junt.No
Taps de
suroCC No 15 Informal
11 * * * * * * *
12Ha retingut al cap el 3 i li ha sumat el 5. Quan ha tingut el 8, amb l'ajuda dels dits, ha
acabat de sumar-hi el 7No Dits PD No 15 Informal
13
Forma amb material el primer sumand (3). Quan vol formar el segon, no comença a
comptar a partir de l'1, sinó que continua el compte que portava a l'inici. Es fa un embolic
i acaba comptant així: 4, 5, 6, 17, 18, 19, 20, 21, 22 i 23.
No forma amb material
els tres sumands per
comptar-los al final.
No segueix la recta
numèrica
Taps de
suroCC No 23 Informal
14Ha començat a comptar pel nombre més gran (1,2,3,4,5,6,7) i, després, hi ha afegit el 5
descomptant-se (8,9,10). I finalment hi ha afegit el 3 (11,12 i 13).
S'ha descomptat quan
ha comptat mentalment
el 5
No CTM No 13 Informal
15
Diu esporàdicament un nombre sense haver comptat (19). Després ha vist que havia de
comptar per solucionar-ho: ha retingut al cap el nombre més gran (7) i li ha sumat el 5 i el
3.
S'ha descomptat CPM No 17 Informal
16 Ha retingut al cap el nombre 5 i li ha sumat el 7. Després hi ha acabat de sumar el 3 S'ha descomptat No CPM No 17 Informal
17
Ha escrit el primer sumand en un full d'aquesta manera: 1, 2, 3. A continuació ha escrit
cinc números més representant el nombre 5: 4, 5, 6, 7, 8. Ha seguit el mateix
procediment per formar el 7: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
NoPaper i
llapisCC No 15 Informal
18 * * * f * * *
19 Ha retingut al cap el 3 i li ha sumat el 5. Quan ha tingut el 8, ha acabat de sumar-hi el 7 No No CPP No 15 Informal
20
Ha retingut al cap el tres i, amb l'ajuda dels dits, hi ha afegit el cinc: 3; 4, 5, 6, 7, 8.
Després ha format directament la pauta digital del 7 i a mesura que anava baixant els dits
seguia el compte anterior: 9, 10, 11, 12, 13, 14 i 15.
No No PD No 15 Informal
21 Ha calculat que 3+5 fan 7 i, per tant, 7+7 fan 14S'ha descomptat amb
3+5, ja que no fan 7No Dobles Si 14 Formal
22 Determina que 5+5=10. D'aquest 10 en treu 3 i fan 7. Al final respon que 7+7=18 S'ha descomptat No Deus Si 18 Formal
23Representa el primer sumand dibuixant tres palets, el segon sumand dibuixant-ne 5 i el
tercer 7. Al final els compta tots per saber el resultat.No No CC No 15 Informal
24Ha retingut el 3 al cap i, amb l'ajuda dels dits, n'ha sumat 5 (en veu alta ha dit 8). Hi ha
afegit el set comptant-lo amb els dits.
S'ha descomptat quan
ha afegit l'últim nombreDits PD No 12 Informal
25 Ha retingut al cap el 3 i li ha sumat el 5. Després ha acabat de sumar-hi el 7 S'ha descomptat No CPP No 13 Informal
26Ha retingut el 3 al cap i li ha sumat 5. Amb l'ajuda dels dits, ha acabat de comptar el
tercer sumand.
S'ha descomptat quan hi
ha afegit l'últim sumandDits PD No 13 Informal
27Ha format una pauta digital pel 5 i li ha sumat 3 alçant els dits de la mà. Al final ha
comptat fins a 7 seguint la recta numèrica anterior amb l'ajuda dels dits.
S'ha descomptat quan hi
ha afegit l'últim sumandDits RP No 17 Informal
28Ha format una pauta digital pel 7 i li ha sumat 5 alçant els dits de la mà. Al final ha
comptat fins a 3 seguint la recta numèrica anterior amb l'ajuda dels dits.No Dits RP No 15 Informal
29Forma el 3 amb material, després el 5 i, per acabar, el 7. Ho compta tot junt per donar la
solucióNo
Taps de
suroCC No 15 Informal
30Forma el 3 amb material, després el 5 i, per acabar, el 7. Ho compta tot junt per donar la
solucióNo
Taps de
suroCC No 15 Informal
Alu
mn
at Suma 3 + 5 + 7
Procés Resposta
33
Annex 4. Taules de buidatge de la prova final
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
2 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
3 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
4
Representa el número 4 amb els dit i de seguida diu el
resultat, ja que reconeix que tots els dits alçats d'una mà
formen el 5
No Dits RP No 5 Informal
5Ha sumat mentalment comptant primer el nombre 4 i,
després, afegint-hi l'1No No CTM No 5 Informal
6 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
7 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
8 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
9 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
10
Forma una pauta digital per representar el 4, després ho
compta i hi afegeix un dit més per acabar de donar el
resultat
No Dits PD No 5 Intuïtiu
11 Directament diu un resultats sense comptar No suma No f No 2 Intuïtiu
12 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
13 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
14 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
15 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
16Ha sumat mentalment comptant primer el nombre 4 i,
després, afegint-hi l'1No No CTM No 5 Informal
17 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
18Ha sumat mentalment comptant primer el nombre 4 i,
després, afegint-hi l'1No No CTM No 5 Informal
19 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
20 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
21 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
22 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
23 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
24 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
25 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
26 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
27 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
28 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
29 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
30
Forma una pauta digital per formar el primer sumand i en
torna a formar una altra per representar el segon sumand.
Al final ho compta tot.
No Dits PD No 5 Informal
Suma 4 + 1
Procés Resposta
Alu
mn
at
34
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
2 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
3Ha començat a comptar a partir del nombre major: 3 (sense
comptar-lo); 4 i 5.No No CPM No 5 Informal
4
Forma una pauta digital per representar el primer sumand,
després fa el mateix per formar el segon sumand. Al final, ho
compta tot per donar el resultat
No Dits PD No 5 Informal
5 Ha començat a comptar a partir del nombre major: 1, 2, 3; 4 i 5. No No CTM No 5 Informal
6 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
7 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
8 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
9 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
10Ha format una pauta digital per representar el tres i una altra pel
2. Després ha comptat tots els dits.No Dits PD No 5 Informal
11 Va agafant taps sense motiu fins que en compta 6
No forma els dos
nombres per, després,
comptar-los
Taps de suro f No 6 Intuïtiu
12 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
13Ha format una pauta digital per representar el dos i,
seguidament, ha comptat el tres (3,4 i 5)No Dits RP No 5 Informal
14Ha començat a comptar a partir del nombre major: 3 (sense
comptar-lo); 4 i 5.No No CPM No 5 Informal
15 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
16Ha començat a comptar a partir del nombre major: 3 (sense
comptar-lo); 4 i 5.No No CPM No 5 Informal
17 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
18Anuncia un resultat esporàdicament (4). Però després rectifica i
diu 5, sense haver comptat.
El principi diu un resultat
erroniNo f No 5 Intuïtiu
19 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
20 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
21 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
22 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
23 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
24 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
25Ha començat a comptar a partir del 2 seguint aquest procés: 2
(sense comptar-lo); 3, 4 i 5No No CPP No 5 Informal
26 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Cincs Si 5 Formal
27Ha començat a comptar a partir del 2 seguint aquest procés: 2
(sense comptar-lo); 3, 4 i 5No No CPP No 5 Informal
28Ha començat a comptar a partir del 2 seguint aquest procés: 2
(sense comptar-lo); 3, 4 i 5
El principi diu un resultat
erroni (9)No CPP No 5 Informal
29Ha començat a comptar a partir del 2 seguint aquest procés: 2
(sense comptar-lo); 3, 4 i 5No No CPP No 5 Informal
30
Forma una pauta digital per representar el primer sumand,
després fa el mateix per formar el segon sumand. Al final, ho
compta tot per donar el resultat
No Dits PD No 5 Informal
Alu
mn
at
Suma 2 + 3
Procés Resposta
35
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
2 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
3 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
4 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
5 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
6 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
7 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
8 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
9 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
10 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
11 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
12 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
13 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
14 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
15 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
16 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
17 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
18 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
19 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
20 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
21 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
22 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
23 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
24 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
25 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
26 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
27 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
28 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
29 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
30 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 5 Formal
Suma 5 + 5
Procés RespostaA
lum
nat
36
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T.
Coneixement
1 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
2 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
3 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
4
Forma amb material el primer sumand (comptant un per un) i l'aparta de la
resta de taps. Fa el mateix procés per formar el segon sumand. Al final, ho
compta tot junt.
NoTaps de
suroCC No 10 Informal
5Primer diu un resultat sense comptar (7). Quan agafa el material representa
primer el 2 apartant-lo de la resta de taps i, després, fa el mateix procediment
per formar el 8. Al final, ho compta tot junt.
NoTaps de
suroCC No 10 Informal
6Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el dos
seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
7 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
8 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
9 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
10Primer forma en una mà el nombre dos. En l'altra mà intenta formar el vuit,
però es queda sense dits. Rectifica i torna a començar formant amb pautes
digitals, primer, el nombre vuit. De seguida se n'adona que la suma fa 10.
No Dits PD No 10 Informal
11 Diu esporàdicament un nombre sense haver comptat No entén què és sumar No f No 7 Intuïtiu
12 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
13 Forma el nombre 8 amb pautes digitals i, després, li suma 2 (9 i 10).
Primer volia formar el
dos amb els dits, però es
col·lapsava perquè
després no li cabia el 8
Dits PD No 10 Informal
14 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
15 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
16 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
17 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
18Forma amb material el nombre 8, però durant el procés diu que el resultat és
7. A continuació posa un tap més per acabar de formar el 8. Després hi posa
un altre tap i ho compta tot junt
No construeix amb
material el primer
sumand (el 2)
Taps de
suroCC No 9 Informal
19 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
20 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
21 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
22 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
23 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
24 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
25 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar
Primer anuncia que el
resultat és 11, però
després rectifica.
No Deus Si 10 Formal
26 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
27Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el dos
seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
28 Ha resolt la suma sense la necessitat de comptar No No Deus Si 10 Formal
29Ha començat a comptar a partir del nombre major i, després, ha afegit el dos
seguint aquest procés: 8 (sense comptar-lo); 9 i 10.No No CPM No 10 Informal
30Ha representat la pauta digital del nombre 8 (comptant) i, després, la del
nombre 2. Ha reconegut directament les pautes digitals del resultat. No Dits RP No 10 Informal
Suma 2 + 8
Procés RespostaA
lum
na
t
37
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
2 Descompon el 5: 4+1. Ha determinat que 6+4=10 i, al final, ha sumat l'1 que li quedava No No Cincs i Deus Si 11 Formal
3 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
4Ha començat a comptar pel nombre més gran (1,2,3,4,5,6) i, després, hi ha afegit el 5 a
mesura que alçava els dits d'una mà (7,8,9,10 i 11)No Dits PD No 11 Informal
5Forma amb material el primer sumand (comptant un per un) i l'aparta de la resta de taps.
Fa el mateix procés per formar el segon sumand. Al final, ho compta tot junt.No Taps de suro CC No 11 Informal
6 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
7 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
8 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
9 Identifica que 6+6=12 i, després, n'hi resta 1. No No Dobles Si 11 Formal
10 Forma la pauta digital del nombre 6 directament. Després compta cinc dits més. No Dits RP No 11 Informal
11 Diu esporàdicament un nombre sense haver comptat No entén què és sumar No f No 10 Intuïtiu
12 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
13Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc, amb l'ajuda dels dits, sense
comptar-ho correctamentS'ha descomptat Dits PD No 10 Informal
14 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
15 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
16 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
17 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
18Diu sense comptar un resultat (4). Després agafa material i intenta formar l primer
sumand, però acaba agafant un tap de més. Seguidament ho compta tot junt i anuncia que
el resultat de la suma és 7
No forma bé amb
material el nombre 6 i
no construeix el 5 per,
després, comptar-ho tot
junt
Taps de suro CC No 7 Informal
19 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
20 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
21 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
22 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1 No No Deus Si 11 Formal
23 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. S'ha descomptat No CPM No 12 Informal
24 Identifica que 5+5=10 i, després, n'hi suma 1
Primer anuncia que el
resultat és 9, però
després rectifica
No Deus Si 11 Formal
25 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
26 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc. S'ha descomptat No CPM No 9 Informal
27 Ha retingut al cap el número més gran (6) i n'hi ha afegit cinc: 6; 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPM No 11 Informal
28 Forma la pauta digital del nombre 6 directament. Després compta cinc dits més. No Dits PD No 11 Informal
29 Ha retingut el 5 al cap i n'hi ha afegit sis més: 5; 6, 7, 8, 9, 10 i 11. No No CPP No 11 Informal
30 Forma la pauta digital del nombre 6 directament. Després compta cinc dits més. No Dits PD No 11 Informal
Suma 6 + 5
Procés RespostaA
lum
na
t
38
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
2Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
3Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
4
Forma amb material el primer sumand i l'aparta de la resta de taps. Fa el
mateix procés per formar el segon i el tercer sumand. Al final, ho compta tot
junt.
No Taps de suro CC No 14 Informal
5 Primer suma 9+1=10. Després agafa quatre taps i acaba de comptarDiu resultats sense
comptarTaps de suro CC No 14 Informal
6Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat l'1. Quan ha tingut el
10 li ha sumat el 4.No No CPM No 14 Informal
7 Al principi es bloqueja. Primer ha sumat l'1 i el 4 i, després, el 9. S'ha descomptat No CPP No 15 Informal
8Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
9Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
10Intenta resoldre la suma amb els dits, però no en té suficients. Agafa el
material i forma primer l'1, després el 9 i, per acabar, el 4. Al final ho compta
tot junt.
No Taps de suro CC No 14 Informal
11 Exposa que aquesta és massa complicada * * f * * Intuïtiu
12Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
13Ha retingut el primer sumand (l'1) i, amb els dits, a continuat comptant:
2,3,4,5,6,7,8,9 ,10. A l'arribar a 10 n'ha comptat cinc més.
En comptes de
comptar-ne 4, n'ha
comptat 5
Dits PD-CTM No 15 Informal
14Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
15Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
16Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
17Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
18Identifica que 1+9=10. Però no acaba de sumar-hi el quatre, tot i que agafa
material per poder-lo comptar.
No entén el que ha de
ferTaps de suro CC No 10 Informal
19Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
20Identifica que 9+1=10. Al final, hi afegeix el 4 comptant-lo mentre el forma
amb els dits
S'ha descomptat quan
ha sumat l'últim
sumand
Dits Deus Si 13 Formal
21Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
22Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
23Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
24Ha identificat el nombre 10 (1+9) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un quatreNo No Deus Si 14 Formal
25Ha retingut al cap el nombre 1 i li ha afegit quatre més. Després li ha sumat
el 9.No No CPP No 14 Informal
26Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat l'1. Quan ha tingut el
10 li ha sumat el 4.S'ha descomptat No CPM No 15 Informal
27Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat l'1. Quan ha tingut el
10 li ha sumat el 4.No No CPM No 14 Informal
28Ha retingut al cap el nombre més gran (9) i li ha sumat el 4. Quan ha tingut el
13 li ha acabat de sumar l'1.No No CPM No 14 Informal
29Ha retingut al cap el nombre 1 i li ha afegit quatre més. Després li ha sumat
el 9.No No CPP No 14 Informal
30Forma la pauta digital de l'1 (i el compta). Després forma directament la
pauta digital del 9 i segueix comptant, però només compta els dits d'una mà.
Seguidament forma la pauta digital del 4 i continua comptant.
Es deixa dits per
comptar quan forma la
pauta digital del 9
Dits PD No 9 Informal
Suma 1 + 9 + 4
Procés Resposta
Alu
mn
at
39
Desenvolupament Errors Material Estratègia Automat. Resultat T. Coneixement
1Ha retingut al cap el 5 i li ha sumat el 3. Quan ha tingut el 8 ha acabat de
sumar-hi el 7
S'ha descomptat quan hi ha
afegit l'últim sumandNo CPP No 16 Informal
2Ha identificat el nombre 10 (3+7) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un cincNo No Deus Si 15 Formal
3Ha retingut al cap el nombre major (7) i li ha sumat el 5. Després hi ha
acabat de sumar el 3No No CPM No 15 Informal
4
Forma amb material el primer sumand i l'aparta de la resta de taps. Fa el
mateix procés per formar el segon i el tercer sumand. Al final, ho compta tot
junt.
No Taps de suro CC No 15 Informal
5
Forma la pauta del nombre 3 i del 5 (sense comptar). Després compta tots
els dits i diu, en veu alta, que els dos primers nombres sumen 8. L'últim
nombre el forma amb material, però després no ho acaba de sumar tot junt
Quan forma el 7 amb
material no el suma a les
operacions que ja havia fet
amb anterioritat
Dits i taps de
suroRP-CC No 7 Informal
6Ha retingut el 3 al cap i li ha sumat 5. Després ha acabat de comptar el
tercer sumand.No No CPP No 15 Informal
7Ha identificat el nombre 10 (3+7) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un cincNo No Deus Si 15 Formal
8Ha identificat el nombre 10 (3+7) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un cincNo No Deus Si 15 Formal
9Ha identificat el nombre 10 (3+7) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un cincNo No Deus Si 15 Formal
10
Forma amb material el primer sumand i l'aparta de la resta de taps. Fa el
mateix procés per formar el segon i el tercer sumand. Al final, ho compta tot
junt.
No Taps de suro CC No 15 Informal
11 Diu esporàdicament un nombre sense haver comptat No entén què és sumar No f No 10 Intuïtiu
12Ha retingut el 3 al cap i li ha sumat 5. Després ha acabat de comptar el
tercer sumand.No No CPP No 15 Informal
13
Compta amb els dits el 3 i el 5 dient en veu alta que fan 8. Com que els dits
que té alçats són els corresponents a la pauta digital del 8, l'infant només
compta fins a obtenir la pauta digital del 7. Per tant, en compta només 4.
S'ha descomptat quan hi ha
afegit l'últim sumandDits RP No 12 Informal
14Ha retingut al cap el nombre major (7) i li ha sumat el 5. Després hi ha
acabat de sumar el 3No No CPM No 15 Informal
15 Ha retingut al cap el 5 i li ha sumat 3. Després hi ha acabat de sumar el 7.Ha anunciat que 5+3 feien 7,
però després ho ha rectificatNo CPP No 15 Informal
16Ha retingut al cap el nombre major (7) i li ha sumat el 5. Després hi ha
acabat de sumar el 3No No CPM No 15 Informal
17 Ha identificat el nombre 10 (3+7) i, després, hi ha sumat el 5. Es descompta amb l'últim
sumand que hi sumaNo Deus Si 16 Formal
18 Agafa material i el va comptant fins arribar a 8 No entén el que s'ha de fer Taps de suro CC No 8 Informal
19Ha retingut al cap un dels nombres majors (5) i li ha sumat el 7. Després hi
ha acabat de sumar el 3No No CPM No 15 Informal
20Ha retingut al cap el 3 i li ha sumat el 5. Quan ha tingut el 8, ha acabat de
sumar-hi el 7
S'ha descomptat quan hi ha
afegit l'últim sumandNo CPP No 14 Informal
21Ha identificat el nombre 10 (3+7) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un cincNo No Deus Si 15 Formal
22
Descompon el 7 (5+2). Ha utilitzat el 5 del nombre set per sumar-lo amb
l'altre 5 que apareix a la suma (5+5=10). Després hi ha afegit el nombre 2
que formava el 7 (per tant, 12) i, per últim, hi ha sumat el 3.
No No Deus Si 15 Formal
23 Ha identificat el nombre 10 (3+7) i li ha sumat el 5S'ha descomptat quan hi ha
afegit l'últim sumandNo Deus Si 16 Formal
24Ha identificat el nombre 10 (3+7) i, ràpidament, ha resolt la suma ja que
només ha hagut de canviar el zero del deu per un cincNo No Deus Si 15 Formal
25Ha retingut al cap el 3 i li ha sumat el 5. Quan ha tingut el 8, ha acabat de
sumar-hi el 7
S'ha descomptat quan hi ha
afegit l'últim sumandNo CPP No 12 Informal
26Ha retingut al cap un dels nombres majors (5) i li ha sumat el 3. Després hi
ha acabat de sumar el 7No No CPM No 15 Informal
27Ha retingut el 3 al cap i li ha sumat 5. Després ha acabat de comptar el
tercer sumand.No No CPP No 15 Informal
28
Ha retingut al cap el nombre 7 i, després, ha comptat el cinc a mesura que
alçava els dits d'una mà i, seguidament, ha fet el mateix procés per acabar
de comptar-hi el tres.
No Dits RP No 15 Informal
29Ha retingut al cap el nombre major (7) i li ha sumat el 5. Després hi ha
acabat de sumar el 3No No CPM No 15 Informal
30
Ha format la pauta digital del 3 i l'ha comptat. Després ha format la pauta
digital del 5 i ha seguit el compte anterior: 4,5,6,7,8. al final, ha formal la
pauta del 7 i ha seguit comptant: 9,10,11,12,13,14 i 15.
No Dits PD No 15 Informal
Suma 3 + 5 + 7
Procés Resposta
Alu
mn
at
40
REFERÈNCIES BIBLIOGRÀFIQUES
CURTH, Mónica de Torres (2001). “El juego en el aula: una experiencia de
perfeccionamiento docente en Matemàtica a nivel institucional”. Suma, núm.
38, p. 23-29.
DECRET 119/2015, de 23 de juny, d’ordenació dels ensenyaments de l’educació
primària, núm. 6900 (2015).
EDO, Mequè (1998). Juegos y matemáticas. Una experiencia en el ciclo inicial de
primaria. [Versió electrònica]. Revista Uno 18.
EDO, Mequè (2003). Juegos matemáticos. Documentación para el taller, desarrollo
curricular. Estrategias e instrumentos, en TOMÁS, C. Y CASAS, M. (coords.).
Educación Primaria. Orientaciones y Recursos. CISSPRAXIS. Barcelona: CD-
Rom, 59 pág.
