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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su Aplicación Escuela de Modelación y Métodos Numéricos 2009 Miguel Angel Moreles a , Salvador Botello a y Jesús Gerardo Valdés b a Centro de Investigación en Matemáticas b Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Guanajuato Guanajuato, Gto., 19 de Junio de 2009 J. Gerardo Valdés V. El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su Aplicación 1
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
El Método de Elementos Finitos Estabilizadosy su Aplicación
Escuela de Modelación y Métodos Numéricos 2009
Miguel Angel Morelesa, Salvador Botelloa y Jesús GerardoValdésb
a Centro de Investigación en Matemáticasb Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Guanajuato
Guanajuato, Gto., 19 de Junio de 2009
J. Gerardo Valdés V. El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su Aplicación 1
Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Contenido
1 Parte de Sólidos y Estructuras
2 Parte de Fluidos Incompresibles
3 Parte de Interacción Fluido-Estructura
4 Aplicaciones
J. Gerardo Valdés V. El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su Aplicación 2
Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Contenido
1 Parte de Sólidos y Estructuras
2 Parte de Fluidos Incompresibles
3 Parte de Interacción Fluido-Estructura
4 Aplicaciones
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Contenido
1 Parte de Sólidos y Estructuras
2 Parte de Fluidos Incompresibles
3 Parte de Interacción Fluido-Estructura
4 Aplicaciones
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Contenido
1 Parte de Sólidos y Estructuras
2 Parte de Fluidos Incompresibles
3 Parte de Interacción Fluido-Estructura
4 Aplicaciones
J. Gerardo Valdés V. El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su Aplicación 2
Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Contenido
1 Parte de Sólidos y Estructuras
2 Parte de Fluidos Incompresibles
3 Parte de Interacción Fluido-Estructura
4 Aplicaciones
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momentum Lineal
ρDvi
Dt=∂σij
∂xj+ ρbi
ConFormulación Lagrangiana
No Linealidad Geométrica y/o Material
Ecuación Constitutiva para Sólidos
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momentum Lineal
ρDvi
Dt=∂σij
∂xj+ ρbi
ConFormulación Lagrangiana
No Linealidad Geométrica y/o Material
Ecuación Constitutiva para Sólidos
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momentum Lineal
ρDvi
Dt=∂σij
∂xj+ ρbi
ConFormulación Lagrangiana
No Linealidad Geométrica y/o Material
Ecuación Constitutiva para Sólidos
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momentum Lineal
ρDvi
Dt=∂σij
∂xj+ ρbi
ConFormulación Lagrangiana
No Linealidad Geométrica y/o Material
Ecuación Constitutiva para Sólidos
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momentum Lineal
ρDvi
Dt=∂σij
∂xj+ ρbi
ConFormulación Lagrangiana
No Linealidad Geométrica y/o Material
Ecuación Constitutiva para Sólidos
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momento Lineal
ρ∂vi
∂t=∂σij
∂xj+ ρbi
Podemos encontrar en Forma Débil el Trabajo Virtual Interno
δW int =
∫Ω0
δEαβSαβdΩ0
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Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momento Lineal
ρ∂vi
∂t=∂σij
∂xj+ ρbi
Podemos encontrar en Forma Débil el Trabajo Virtual Interno
δW int =
∫Ω0
δEαβSαβdΩ0
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones discretizadas
Fuerzas Internas
f intI =
∫Ω0
[BTI ]SdΩ0
Aproximación con Elementos Finitos
f int(un+1) + Man+1 = f ext(un+1)
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones discretizadas
Fuerzas Internas
f intI =
∫Ω0
[BTI ]SdΩ0
Aproximación con Elementos Finitos
f int(un+1) + Man+1 = f ext(un+1)
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Contenido
1 Parte de Sólidos y Estructuras
2 Parte de Fluidos Incompresibles
3 Parte de Interacción Fluido-Estructura
4 Aplicaciones
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momentum Lineal
ρDvi
Dt=∂σij
∂xj+ ρbi
ConFormulación Euleriana
Condición de Incompresibilidad
Ecuación Constitutiva para Fluidos
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Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momentum Lineal
ρDvi
Dt=∂σij
∂xj+ ρbi
ConFormulación Euleriana
Condición de Incompresibilidad
Ecuación Constitutiva para Fluidos
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momentum Lineal
ρDvi
Dt=∂σij
∂xj+ ρbi
ConFormulación Euleriana
Condición de Incompresibilidad
Ecuación Constitutiva para Fluidos
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momentum Lineal
ρDvi
Dt=∂σij
∂xj+ ρbi
ConFormulación Euleriana
Condición de Incompresibilidad
Ecuación Constitutiva para Fluidos
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Momentum Lineal
ρDvi
Dt=∂σij
∂xj+ ρbi
ConFormulación Euleriana
Condición de Incompresibilidad
Ecuación Constitutiva para Fluidos
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Navier-Stokes para Fluidos Incompresibles
ρ
(∂vi
∂t+ vj
∂vi
∂xj
)= − ∂p
∂xi+ ρbi + µ∇2vi
Ecuación de Continuidad
DρDt
+ ρ (∇ · vi) = 0
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Ecuaciones de Gobierno del Problema
Ecuación de Navier-Stokes para Fluidos Incompresibles
ρ
(∂vi
∂t+ vj
∂vi
∂xj
)= − ∂p
∂xi+ ρbi + µ∇2vi
Ecuación de Continuidad
DρDt
+ ρ (∇ · vi) = 0
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Discretización de las Ecuaciones
Forma Débil∫Ω
δvi
(ρ∂vi
∂t+ ρvj
∂vi
∂xj
)dΩ−
∫Ω
p∂δvi
∂xidΩ +
∫Ω
µ∂vi
∂xj
∂δvi
∂xjdΩ =
∫Ω
δviρbidΩ∫Ω
δp∂vj
∂xjdΩ = 0
Aproximación por Elementos Finitos
M1
∆t(vn+1 − vn) + K(vn+1)vn+1 −Gpn+1 = f ext
n+1
GTvn+1 = 0
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Discretización de las Ecuaciones
Forma Débil∫Ω
δvi
(ρ∂vi
∂t+ ρvj
∂vi
∂xj
)dΩ−
∫Ω
p∂δvi
∂xidΩ +
∫Ω
µ∂vi
∂xj
∂δvi
∂xjdΩ =
∫Ω
δviρbidΩ∫Ω
δp∂vj
∂xjdΩ = 0
Aproximación por Elementos Finitos
M1
∆t(vn+1 − vn) + K(vn+1)vn+1 −Gpn+1 = f ext
n+1
GTvn+1 = 0
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Método de los Pasos Fraccionados
Integración en el tiempo: Generalized-α
Mαf
m
∆t γf (vn+1 − vn) + K(vn+αff)vn+αf
f−Gpn = f ext
n+1 −M(
1− αfm
γf
)vn
−∆t γf
αfm
L(pn+1 − pn) = GTvn+1
Mαf
m
∆t γf (vn+1 − vn+1)−G(pn+1 − pn) = 0
Técnica de Estabilización y Modelo de TurbulenciaOSS, FIC
Smagorinsky
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Método de los Pasos Fraccionados
Integración en el tiempo: Generalized-α
Mαf
m
∆t γf (vn+1 − vn) + K(vn+αff)vn+αf
f−Gpn = f ext
n+1 −M(
1− αfm
γf
)vn
−∆t γf
αfm
L(pn+1 − pn) = GTvn+1
Mαf
m
∆t γf (vn+1 − vn+1)−G(pn+1 − pn) = 0
Técnica de Estabilización y Modelo de TurbulenciaOSS, FIC
Smagorinsky
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Contenido
1 Parte de Sólidos y Estructuras
2 Parte de Fluidos Incompresibles
3 Parte de Interacción Fluido-Estructura
4 Aplicaciones
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Métodos de Acoplamiento: Fuerte
1 Block Jacobi Método
xi = Fp(xi−1, yi−1)
yi = Sq(yi−1, xi−1)
2 Block Gauss-Seidel Método
con Relajación de Aitken
xi = Fp(xi−1, yi )
yi = Sq(yi−1, xi )
3 Block Newton Método: Exacto e Inexacto[∂xF− I ∂yF∂xS ∂yS− I
]xi−1,yi−1
[xi − xi−1
yi − yi−1
]=
[x− Fy− S
]xi−1,yi−1
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Métodos de Acoplamiento: Fuerte
1 Block Jacobi Método
xi = Fp(xi−1, yi−1)
yi = Sq(yi−1, xi−1)
2 Block Gauss-Seidel Método
con Relajación de Aitken
xi = Fp(xi−1, yi )
yi = Sq(yi−1, xi )
3 Block Newton Método: Exacto e Inexacto[∂xF− I ∂yF∂xS ∂yS− I
]xi−1,yi−1
[xi − xi−1
yi − yi−1
]=
[x− Fy− S
]xi−1,yi−1
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Métodos de Acoplamiento: Fuerte
1 Block Jacobi Método
xi = Fp(xi−1, yi−1)
yi = Sq(yi−1, xi−1)
2 Block Gauss-Seidel Método
con Relajación de Aitken
xi = Fp(xi−1, yi )
yi = Sq(yi−1, xi )
3 Block Newton Método: Exacto e Inexacto[∂xF− I ∂yF∂xS ∂yS− I
]xi−1,yi−1
[xi − xi−1
yi − yi−1
]=
[x− Fy− S
]xi−1,yi−1
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Métodos de Acoplamiento: Fuerte
1 Block Jacobi Método
xi = Fp(xi−1, yi−1)
yi = Sq(yi−1, xi−1)
2 Block Gauss-Seidel Método
con Relajación de Aitken
xi = Fp(xi−1, yi )
yi = Sq(yi−1, xi )
3 Block Newton Método: Exacto e Inexacto[∂xF− I ∂yF∂xS ∂yS− I
]xi−1,yi−1
[xi − xi−1
yi − yi−1
]=
[x− Fy− S
]xi−1,yi−1
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Métodos de Acoplamiento: Fuerte
1 Block Jacobi Método
xi = Fp(xi−1, yi−1)
yi = Sq(yi−1, xi−1)
2 Block Gauss-Seidel Método con Relajación de Aitken
xi = Fp(xi−1, yi )
yi = Sq(yi−1, xi )
3 Block Newton Método: Exacto e Inexacto[∂xF− I ∂yF∂xS ∂yS− I
]xi−1,yi−1
[xi − xi−1
yi − yi−1
]=
[x− Fy− S
]xi−1,yi−1
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Contenido
1 Parte de Sólidos y Estructuras
2 Parte de Fluidos Incompresibles
3 Parte de Interacción Fluido-Estructura
4 Aplicaciones
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Estructura en estudio
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Estructura en estudio
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Estructura en estudio
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Estructura en estudio
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Estructura en estudio
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Estructura en estudio
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Estructura en estudio
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Estructura en estudio
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Velocidades sobre Chimenea
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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones
Presiones sobre Chimenea
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Deformada y Presiones sobre Chimenea
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Conclusiones
1 Se necesita desarrollar más investigación sobre laestabilización del fluido
2 Se necesita tener códigos propios que estén programadosen paralelo
3 Crear conciencia y desarrollar nuevas aplicaciones paracualquier área.
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Conclusiones
1 Se necesita desarrollar más investigación sobre laestabilización del fluido
2 Se necesita tener códigos propios que estén programadosen paralelo
3 Crear conciencia y desarrollar nuevas aplicaciones paracualquier área.
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Conclusiones
1 Se necesita desarrollar más investigación sobre laestabilización del fluido
2 Se necesita tener códigos propios que estén programadosen paralelo
3 Crear conciencia y desarrollar nuevas aplicaciones paracualquier área.
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Gracias
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