El Método de Hardy Cross
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EL MÉTODO DE HARDY CROSS GENERALIDADES El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes: Ley de continuidad de masa en los nudos; Ley de conservación de la energía en los circuitos. El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen & Williams o, bien, la ecuación de Darcy & Weisbach. La ecuación de Hazen & Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía. La ecuación de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías. Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular, Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a uña" con una calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva. Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías. Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC que aquí se presenta, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuberías y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS El método se fundamenta en las dos leyes siguientes: 1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero" (1)
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Calculo de acuedutos de red cerrada por el metodo de hardy cross
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10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 1/6ELMTODODEHARDYCROSSGENERALIDADESEl Mtodo de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, est basado en el cumplimiento de dosprincipiosoleyes:LeydecontinuidaddemasaenlosnudosLeydeconservacindelaenergaenloscircuitos.Elplanteamientodeestaltimaleyimplicaelusodeunaecuacindeprdidadecargaode"prdida"deenerga,biensealaecuacindeHazen&Williamso,bien,laecuacindeDarcy&Weisbach.LaecuacindeHazen&Williams,denaturalezaemprica,limitadaatuberasdedimetromayorde2",hasido,pormuchosaos,empleadaparacalcularlasprdidasdecargaenlostramosdetuberas,enlaaplicacin del Mtodo de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente derugosidad,C,delasuperficieinternadelatubera,locualhacemssimpleelclculodelas"prdidas"deenerga.LaecuacindeDarcy&Weisbach,denaturalezaracionalydeusouniversal,casinuncasehaempleadoacopladaalmtododeHardyCross,porqueinvolucraelcoeficientedefriccin,f,elcualesfuncindelarugosidad,k,delasuperficieinternadelconducto,yelnmerodeReynolds,R,deflujo,elque,asuvezdependedelatemperaturayviscosidaddelagua,ydelcaudaldelflujoenlastuberas.Como quiera que el Mtodo de Hardy Cross es un mtodo iterativo que parte de la suposicin de loscaudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cualescorrige sucesivamente con un valor particular, Q, en cada iteracin se deben calcular los caudalesactualesocorregidosenlostramosdelared.ElloimplicaelclculodelosvaloresdeRyfdetodosycadaunodelostramosdetuberasdelared,locualserainacabableyagotadorsihubieseque"hacerloaua" con una calculadora sencilla. Ms an, sabiendo que el clculo del coeficiente de friccin, f, estambiniterativo,poraproximacionessucesiva.Loanteriorseconstitua,hastahoy,enalgoprohibitivouobstaculizador,noobstanteserlamaneralgicayracionaldecalcularlasredesdetuberas.Hoy,estosernosloposibleyfcildeejecutarconlaayudadelprogramaenlenguajeBASICqueaquse presenta, sino tambin permitir hacer modificaciones en los dimetros de las tuberas y en loscaudalesconcentradosenlosnudos,yrecalcularlaredcompletamentecuantasvecesseaconveniente.FUNDAMENTOSDELMTODODEHARDYCROSSElmtodosefundamentaenlasdosleyessiguientes:1.Leydecontinuidaddemasaenlosnudos:"Lasumaalgebraicadeloscaudalesenunnudodebeserigualacero"(1)10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 2/6Donde,Qij:Caudalquepartedelnudoioquefluyehaciadichonudo.qi:Caudalconcentradoenelnudoim:Nmerodetramosqueconfluyenalnudoi.2. Ley de Conservacin de la energa en los circuitos: "La suma algebraica de las "prdidas" deenergaenlostramosqueconformanunanillocerradodebeserigualacero".(2)donde,hfij:PrdidadecargaporfriccineneltramoTij.n:NmerodetramosdelcircuitoiECUACIONESBSICASLaecuacindeHazen&Williamsoriginalmenteexpresa:(3)Donde,V:Velocidaddelflujo,m/s.C:CoeficientederugosidaddeHazen&Williams,adimensional.D:Dimetrodelatubera,m.Sf:Prdidaunitariadecarga(m/m).(4)Porcontinuidad,Luego,10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 3/6(5)Delacualresulta:(6)Donde,Q:Caudaldelflujoenelconducto,m3/s.L:Longituddeltramodetubera,m.hf:Prdidadecarga,m.La ecuacin anterior se puede transformar de tal manera que el dimetro se exprese en pulgadas y elcaudalenl/s,obtenindoselasiguienteecuacin.(7)Haciendo(8)Resulta:(9)LaecuacindeDarcy&Weisbachexpresa,entrminosdevelocidaddelflujo,lasiguiente:(10)dondefeselcoeficientedefriccin,deDarcyYentrminosdelcaudal,expresa:10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 4/6(11)Haciendo(12)Resulta:(13)Engeneral,laecuacindeprdidasdecargaporfriccinexpresa:(14)Donde,r:Coeficientederesistencia,cuyovalordependedeltipodeecuacinempleadaparaelclculo.n:Exponentedelcaudal,quedependelaecuacinderesistenciaempleada.n:1.851,segnlaecuacindeHazen&Williams.n:2.0segnlaecuacindeDarcy&Weisbach.ElMtododeHardyCrosscorrigesucesivamente,iteracintrasiteracin,loscaudalesenlostramos,conlasiguienteecuacingeneral:(15)El coeficiente de friccin, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuacin de Colebrook &White,queexpresalosiguiente:10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 5/6(16)Donde:k:Elcoeficientederugosidaddelatubera,mm.D:Dimetrodelatubera,mm.R:ElnmerodeReynoldsdelflujo,adimensional.Ntesequelarelacink/D,enlaecuacin(16)debeseradimensional.Asuvez,elnmerodeReynolds,R,secalculaconlasiguienteecuacin:(17)Donde,v:Velocidaddelflujo,m/s.:Densidaddelfluido(agua),kg/m3.:Viscosidaddinmicadelfluido,kg/m.s.:Viscosidadcinemticadelfluido,m2/s.D:Dimetrodelconducto,m.Q:Caudaldelflujoenelconducto,m3/s.Laecuacin(16)esunaecuacinimplcitaparafy,porlotanto,seresuelveiterativamente,porensayoyerror, en la subrutina 400, aplicando el Mtodo de Newton & Raphson. Ntese que, para acelerar elclculodef,enestasubrutinaseempleaunvalorinicialdef=X0,calculadoconlasiguientefrmula:(18)CONVENCIONES10/5/2015 ElmtododeHardyCrosshttp://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/metodohardycross/elmetododehardycross.html 6/6LoscaudalesQijysuscorrespondientesprdidasdecarga,hfij,yvelocidades,vijsernpositivossifluyenensentidodelasmanecillasdelreloj,onegativosensentidocontrario.LanomenclaturadelostramosTijslorequierequeelprimersubndicerepresenteelnmerodecircuitoalcualpertenece.Elsubndicejesunnmeroconsecutivoqueiniciaen1yterminaenelnmerodetramosdelcircuitoconsiderado.Ejemplo,eltramoT2.4eselcuartotramodelcircuitoNo.2Enlanomenclaturadelostramosnoserequieredesignarlossiguiendounestrictoordenconsecutivo,comotampocounsentidohorariooantihorario.Untramocualquieradelaredpuedeperteneceraunnicocircuito,oados,simultneamente.Enelprimercaso,elnmerodelcircuitoadyacente,solicitadoporlosprogramas,escero.Enelsegundocaso,seentrarelnmerodelotrocircuitoquelocamparteconelactual.
