El Numero e,

Funcion Logaritmo y Exponencial

Edith Cortez Martınez.

Estadıstica

Enero 28, 2014

Resumen

En este trabajo se hace una breve historia de como el numero e fue apareciendo en diversos trabajos y como

este numero fue utilizado por los matematicos Napier, Oughtred, Briggs, Huygens, Nicolas Mercator, Jacobo

Bernoulli, y James Gregory sin identificarlo exactamente. e fue un numero escondido que por mas de 113

anos evadio a la matematicos. Se demostrara que e es irracional y trascendente, tambien se vera la relacion

que tiene con los logaritmos y con los exponentes; presentando sus propiedades, graficas y como con ayuda

de las calculadoras se puede encontrar el exponente o el logaritmo de cualquier base. Esta relacion no se

raliza con frecuencia en los libros de texto, se tienen por separado el numero e como un lımite y las funciones

logarıtmicas y exponenciales; dando las caracterısticas de cada una, en donde aparece el numero e como

base de los logaritmos naturales, pero, ¿por que?, ¿Cual es la diferencia entre log x y ln x? y ¿que significan?

Explicarse esta relacion motivo la creacion de este articulo.

1. Introduction

El numero e es, en comparacion con π, un recien llegado a la escena matematica, llega por primera vez a lasmatematicas de forma muy discreta en 1618, cuando en un apendice al trabajo de John Napier sobre logaritmos,aparecio una tabla dando el logaritmo natural de varios numeros. Sin embargo, no se reconocio que estos fueranlogaritmos en base e, ya que la base sobre la que se calculaban los logaritmos no surgio en la manera en la quese pensaba en los logaritmos en aquel entonces1. Aunque hoy se considera a los logaritmos como los exponentesa los que se deben elevar una base para obtener el numero deseado, esta es una forma moderna de pensar.En 1624, e estuvo a punto de volver a la literatura matematica cuando Briggs dio una aproximacion numericaal logaritmo base diez de e sin mencionar a e especıficamente en su trabajo. En 1661 Huygens comprendio larelacion entre la hiperbola rectangular y el logaritmo. Examino explıcitamente la relacion entre el area bajo lahiperbola rectangular yx = 1 y el logaritmo; por supuesto, el numero e es tal que el area bajo la hiperbolarectangular entre 1 y e es igual a 1. Esta es la propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturalespero los matematicos de la epoca no lo entendıan, aunque se estaban acercando lentamente a ello. Huygens hizootro avance en 1661, definio una curva a la que llamo “ logarıtmica ”pero no en los terminos en los que se refierenactualmente a una curva exponencial, con la forma y = kax; nuevamente, a partir de esto se tiene el logaritmobase 10 de e, que Huygens calculo a 17 decimales. Sin embargo, en su trabajo aparece como el calculo de unaconstante y no es reconocido como el logaritmo de un numero (cerca otra vez pero e sigue sin ser reconocido).En 1668, Nicolas Mercator publico Logarithmotechnia que contiene la expansion en serie de log(1 + x), en estetrabajo Mercator usa el termino “ logaritmo natural ” por primera vez para los logaritmos en base e. El numeroe otra vez no aparece explıcitamnete y continua escondido en las cercanıas.Tal vez de manera sorprendente, ya que los trabajos sobre los logaritmos habıan estado tan cerca de reconoceral numero e, la primera vez en que e es “descubierto” no tiene que ver con la nocion de logaritmo sino mas bienen un estudio del interes compuesto. En 1683, Jacobo Bernoulli examino el problema del interes compuesto ydurante su analisis continuamente, trato de encontrar el lım(1 + 1

n )n cuando n tiende a infinito, uso el teoremadel binomio para demostrar que el lımite tenıa que estar entre 2 y 3, por lo que se puede considerar que esta esla primera aproximacion que se encontro para e. Tambien, si se acepta esta como una definicion de e, serıa laprimera vez en que un numero fue definido mediante un proceso de lımite. De hecho, Bernoulli no reconocio enningun momento la conexion entre su trabajo y aquellos sobre los logaritmos.

1El los primeros trabajos sobre el logaritmo no era visto como funcion en aquellas epocas mas bien era considerado meramentecomo un numero que ayudaba en los calculos.

1

Es posible que el primero en comprender la manera en que la funcion log es la inversa de la funcion exponencialhaya sido Jacobo Bernoulli. Por otro lado, James Gregory en 1684 sin duda hizo la conexion entre logaritmos yexponentes pero podrıa no haber sido el primero.Los trabajos descritos antes no consiguieron exactamnete identificar a e, una vez que se le identifico, entoncesse dieron cuenta poco a poco de que los trabajos anteriores son importantes. En retrospectiva, los desarrollosiniciales del logaritmo forman parte de la comprension del numero e.Es tanta la notacion matematica actual que se le debe a Euler que no sorprende descubrir que la notacion e

Figura 1: Leonhard Euler (1707 − 1783)

para este numero se le deba a el. La afirmacion que se ha hecho algunas veces de que Euler uso la letra e porqueera la primera letra de su nombre es ridıcula, es probable que e ni siquiera venga de “ exponencial ”sino que seasimplemente la vocal que sigue de la a, la cual Euler ya estaba usando en su trabajo. Sea cual fuere la razon,la notacion e aparece por primera vez en una carta que le escribio Euler a Goldbach en 1731. Euler hizo variosdescubrimientos respecto a e en los anos siguientes pero no fue sino hasta 1748 con la publicacion de Introductioin Analysin Infinitorum cuando Euler dio un tratamiento completo a las ideas alrededor de e. Demostro que

e =1

0!+

1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · · + 1

n+ · · · =

∞∑

n=0

1

n!

y que

e = lımn→∞

(

1 +1

n

)n

Euler dio la aproximacion de e con 18 decimales, e = 2.718281828459045235 sin decir de donde salio. Es probableque haya calculado el valor el mismo, pero de ser ası no hay indicios de como lo hizo. De hecho, tomando unos 20terminos de 1+ 1

1! + 12! + 1

3! + · · · , se obtiene la aproximacion dada por Euler. Entre otros resultados interesantes,en este trabajo esta la relacion entre las funciones seno, coseno y la funcion exponencial compleja la cual dedujousando la formula de De Moivre, tambien desarrollo a e en funciones continuas notando un patron en la expresion.

2

Especificamente dio

e − 1

2=

1

1 + 16+ 1

10+ 1

14+ 118+···

y e − 1 = 1 +1

1 + 12+ 1

1+ 1

1+ 1

4+ 1

1+ 1

1+ 16+···

y Euler no dio prueba de que los patrones que encontro continuaran (lo cual sı sucede) pero sabıa que si diera estaprueba serıa equivalente a probar que e es irracional. Ya que, si la fraccion continua para e−1

2 siguera el patronmostrado por los primeros terminos 6, 10, 14, 18, 22, 26, ... (sumando 4 cada vez), entonces nunca terminarıa; porello e−1

2 y e no puede ser racional. Sin duda podrıa considerarse como el primer intento de probar que e no esracional.Aquella pasion que llevo a tantos a calcular π con mas y mas decimales nunca se dio para el caso de e. Sinembargo, sı hubo quienes calcularon su expansion decimal y el primero en dar e con un gran numero de dıgitosfue Shanks en 1854, vale la pena hacer notar que Shanks fue aun mas entusiasta calculando la expresion decimal deπ. Glaisher mostro que las primeras 137 posiciones de los calculos de Shanks estaban correctas pero encontro unerror que, despues de ser corregido por Shanks, dio e con 205 decimales. Se necesitan unos 120 terminos de1 + 1

1! + 12! + 1

3! + · · · para obtener 200 decimales de e. En 1887, Boorman calculo e con 346 decimales yencontro que su calculo coincidia con el del Shanks hasta la posicion 187 pero despues variban. Adams calculo ellogaritmo base 10 de e con 271 decimales.Casi todo el mundo acepta que Euler fue el primero en probar que e es irracional. Y sin duda fue Hermite quienprobo en 1873 que e no es un numero algebraico. Euler ideo una formula bautizadda como identidad de Euler yconsiderada por muchos como la mas bella e importante de las matematicas:

eiπ + 1 = 0

En ella se aunan, varios conceptos claves de la ciencia:π, el numero mas importante de la geometrıa.e, el numero mas importante del analisis.i, el numero mas importante del algebra.

2. Las funciones exponenciales y logarıtmicas

Si a es una constante positiva, au se llama una funcion exponencial. Si u es una fraccion, se sobreentiende queau es la raız positiva. Si y = au, entonces u se llama el logaritmo de y de base a. Esto es:

y = au, u = loga y

son por definicion ecuaciones equivalentes. Eliminando u se obtiene la importante identidad

aloga

y = y

la cual expresa en forma simbolica que el logaritmo de y es la potencia a la cual hay que elevar la base paraobtener y.

Teorema 1 Para cada numero real b existe exactamente un numero real positivo a cuyo logaritmo, L(a), es iguala b.

En particular existe un numero unico cuyo logaritmo natural es igual a 1. Leonardo Euler (1707-1783) pareceque fue el primero que reconocio la importancia de este numero y lo asigno por e, notacion que enseguida se hizousual.

Definicion 1 Designemos por e el numero para el que L(e) = 1, dondee = 2, 7182818285.

Los logaritmos naturales se denominan tambien logaritmos neperianos en honor a su inventor Juan Neper (1550-1617). Es frecuente en la practica utilizar el sımbolo ln (logaritmo natural) en vez de L(x) para designar ellogaritmo de x.Los logaritmos naturales tienen como base a e. Los logaritmos comunes o logaritmos decimales llamados tambiende Briggs (en honor al matematico ingles Henrio Briggs (1556-1630)) son aquellos en los cuales la base es 10,

log10 x o log x

Es tambien llamado logaritmos vulgares cuya base es 10.

3

2.1. En las calculadoras

Los logaritmos vulgares suelen indicarse con la tecla ≪ log ≫. Para asegurarse

log + 10 = 1

El logaritmo natural se indica con la tecla ≪ ln ≫. Para asegurarse

0.9999...+ =ln 2.71828185

¿ A que exponente se debe elevar el 10 para tener 10? Respuesta: log 10 = 1, es decir, 101 = 10.¿ A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 2? Respuesta: log 2 = 0.30102995, es decir, 100.30102995 = 2.¿ A que exponente se debe elevar al e para tener 5? Respuesta: ln 5 = 1.60943, es decir, e1.60943791 = 5.¿ A que exponente se debe elevar al e para obtener 21? Respuesta: ln 21 = 3.04452243, es decir, e3.04452243 = 21.¿ A que exponente se debe elevar al e (10) para obtener 0? Respuesta: ln 0 = 1 (log 0 = 1), es decir, e0 = 1(100 = 1).

4

2.2. Propiedades Generales de los Logaritmos

1. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.

2. Los numeros negativos no tienen logaritmo.

3. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero. (r0 = 1, logr 1 = 0)

4. Los numeros mayores que 1 tiene logaritmo positivo.

5. Los numeros menores que 1 tienen logaritmo negativo.

6. L′(x) = 1x

7. ln (ab) = ln a + ln b

8. ln ab = ln a − ln b

9. ln (e) = 1

10. ln(xr) = r lnx

11. ln b = − ln 1b

12. lımn→∞

ln an = ∞ y lımn→∞

ln a−n = −∞

13. lımn→+0

ln an = −∞

1 2ã

4 5 6 7 8 9 10

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 2: Funcion Logaritmo

5

2.3. Logaritmos referidos a una base positiva b 6= 1

Definicion 2 Si b > 0 y si x > 0, el logaritmo de x en base b es :

logb x =log x

log b(1)

Ejemplo 1 2x = 8 ¿ a que exponente se debe elevar el dos para que nos de 8?; log2 8 = log 8log 2 = 3, es decir,

23 = 8. El logaritmo es la respuesta a esta pregunta, es el exponente.

Los antilogaritmos se utilizan para responder la siguente pregunta.¿ 10exponente que se quiera a que es igual? o¿ eexponente que se quiera a que es igual? 10 para los logaritmos vulgares y e para los naturales aquı se tiene ya elexponente.

2.4. En las calculadoras

Para los logaritmos vulgares

=Shift log (el exponente)+ +

Para los logaritmos naturales

=Shift (el exponente)+ +ln

2.5. La funcion exponencial

La funcion logarıtmica demuestra que para toda x real existe uno y solo un y tal que L(y) = x ( y real y positivo).Por consiguente se puede aplicar el proceso de inversion para definir y como funcion de x. La funcion inversaresultante se denomina funcion exponencial o antilogaritmo, se representa por E o ex (base e, logaritmonatural, antilogaritmo natural).

Definicion 3 Para cualquier x real, se define E(x) como aquel numero y cuyo logaritmo es x. Esto es: y = E(x)significa L(y) = x. Como L y E son inversas una de otra, se tiene

L[E(x)] = x para todo x y E[L(y)] = y para todo y > 0

6

2.6. Propiedades de la funcion exponencial

1. E(0) = 1, e0 = 1

2. E′(x) = E(x), e(x) = e′(x) para todo x

3. E(a + b) = E(a)E(b), ea+b = (ea)(eb)

4. lımx→∞

ex = ∞ y lımx→−∞

ex = 0

5. erx = (ex)r

Definicion 4 Definicion de ax para a > 0 y x real. Un metodo es definir ax como el numero y tal que loga y = x;claro que este metodo no sirve para a = 1 puesto que el logaritmo de base uno no esta definido2. Otro modo esdefinir ax o expa por la formula:

ax = ex ln a = E(x ln a) (2)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

ã

4

5

6

Figura 3: Funcion Exponencial

El segundo metodo es preferible, porque en primer lugar es valido para todo positivo a (incluso a = 1) y ensegundo lugar porque con ello es mas facil probar las siguientes propiedades de exponenciales:

log ax = x log a

(ab)x = axbx

axay = ax+y

(ax)y = (ay)x = axy

Puesto que E y L son funciones inversas, se tiene:

L ◦ E(x) = x para toda x ∈ R

E ◦ L(y) = y para toda y ∈ R y y > 0

Estas formulas tambien pueden escribirse de la siguiente forma3:

ln ex = x, eln y = y (3)

El dominio de E o exp(x) = ex es todo el eje real; su recorrido es el conjunto de numeros reales positivo. Lagrafica de E, que se presenta en la figura 3, se obtiene de la grafica del logaritmo mediante una simetrıa respectoa la recta y = x, ver figura 4.

2El logaritmo de base uno no esta definido pues si se pregunta ¿a que numero se debe de elevar el 1 para que de 5? la respuestaserıa: no hay tal numero pues 1x = 1 para toda x ∈ R

3Las ecuaciones (3) se utilizan para despejar a x de ex y a y de ln y

7

-4 -2 2 4 6

-2

-1

1

2

3

4

Figura 4: La grafica de la funcion exponencial se obtiene de la del logaritmo por una simetrıa respecto a la rectay = x.

2.7. Modulo o Factor de Transicion

Cuando se conoce el logaritmo natural de un numero x, se halla su logaritmo decimal multiplicandolo por elfactor M = 1

ln 10 ≈ 0.434294, valor que no depende de x. A este factor M se le denomina modulo o factor detransicion de los logaritmos naturales a los decimales.

log x = M lnx (4)

Al hacer es esta igualdad x = e obtenemos el numero M expresado por medio de logaritmos decimales log e =M [(ln e) = 1]. Los logaritmos naturales se expresan en logaritmos decimales de la siguiente manera:

lnx =1

Mlog x,

1

M= 2.30285093.

Es notacion:

(log x)2 = log2 x

8

3. Ejercicios 1er Parcial de Probabilidad y Estadistica

3.1. Ejercicios de Logaritmos

Problema 1 Escribir la pregunta en forma matematica y responderla, como en el ejemplo.

Ejemplo 2 ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 2?Solucion:

log 2 = 0.30102995...

100.30102995... = 2

(a) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 5 ?

(b) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 17 ?

(c) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 29 ?

(d) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 0 ?

(e) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 12 ?

(f) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 1236 ?

(g) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 81 ?

(h) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 20 ?

(i) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 500 ?

(j) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 50 ?

(k) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 26 ?

(l) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 301 ?

(m) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 623 ?

(n) ¿A que exponente se debe elevar el 10 para obtener 45 ?

Problema 2 Repetir el problema 1 para la base e.

Problema 3 Escribir la pregunta en forma matematica de los siguientes incisos y responderla:

(a) ¿A que exponente se debe elevar el 2 para obtener 66 ?

(b) ¿A que exponente se debe elevar el 4 para obtener 16 ?

(c) ¿A que exponente se debe elevar el 9 para obtener 21 ?

(d) ¿A que exponente se debe elevar el 8 para obtener 260 ?

(e) ¿A que exponente se debe elevar el 3 para obtener 19 ?

(f) ¿A que exponente se debe elevar el 21 para obtener 1596 ?

(g) ¿A que exponente se debe elevar el 7 para obtener 300 ?

(h) ¿A que exponente se debe elevar el 5 para obtener 26 ?

(i) ¿A que exponente se debe elevar el 16 para obtener 30 ?

(j) ¿A que exponente se debe elevar el 19 para obtener 50 ?

(k) ¿A que exponente se debe elevar el 23 para obtener 503 ?

9

(l) ¿A que exponente se debe elevar el 3 para obtener 31 ?

(m) ¿A que exponente se debe elevar el 11 para obtener 623 ?

(n) ¿A que exponente se debe elevar el 26 para obtener 800 ?

Problema 4 Usando la ecuacion ax = ex ln a exprese cada una de las siguientes relacionesen base e.

(a) 23 = 8 (b) 72 = 49(c) 102 = 100 (d) 223 = 10648

(e)√

81 = 9 (f) 3−3 = 127

(g) 10−1 = 0.1 (h) 272/3 = 9

Problema 5 Escribir como una pregunta cada uno de los siguientes incisos y usando la ecuacion 1 responda lapregunta:

(a) log2 11 (b) log2 22(c) log3 4 (d) log8 102(e) log6 50 (f) log5 40

Problema 6 Simplificar las expresiones y establecer los valores de x para los que la simplificacion es valida.

(a) e− ln x (b) eln x2

(c) ln(e−x2

) (d) ln( 1ex

)

(e) exp(3 lnx) (f) ln(xex) (g) ln e(x− 3√

x) (h) ex−ln x

Problema 7 Encontrar el valor de x:

(a) ln(x2) = 5 (b) e−4x = 3 (c) ln(ln x) = 0 (d) ex + e−x = 2(e) 2x = 15 (f) 7x = 52 (g) 42x+1 = 20 (h) 213x = 126(i) 5x+7 = 135 (j) 42x = 74088 (k) 25

x

2 = 625 (l) 7x

2 = 2401(m) 10x = 630 (n) 102x = 100 (o) ex = 36

Problema 8 Trazar la grafica de y = e−x

Problema 9 Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 5x = 70

b) 5ex = 36.9453

c) 4x+1 = 32x

d) 55e0.36x = 544

e) Encuentre el valor de w en: (1 + w)24 = 4.0489

f) Si p5.3 = 1.024 encuentre el valor de p.

Problema 10 Una ecuacion de curacion de las heridas es

M = Ne−n

10

siendo N el area originalmente danada, en cm2 y M es el area danada despues de transcurridos n dıas en cm2.Encuentre el numero de dıas necesarios para que una herida de 3 cm2 se reduzca a 1 cm2.

Problema 11 En quımica existe una escala logarıtmica conocida como pH (potencial de hidrogeno) que sirvepara medir la acidez o la alcalinidad de una solucion. La escala va del 0 que representa el punto mas acido hastael 14 que representa lo mas alcalino. Una solucion totalmente neutra tiene un pH de 7.El pH se obtiene mediante la siguiente formula:

pH = log1

H+

en donde [H+] es la concentracion de iones hidrogeno, en moles/litro.Una lluvia acida se genera al reaccionar el agua de lluvia con los contaminantes atmosfericos. Una lluvia con unpH menor de 5.6 se considera acida.Cierto dıa, en la ciudad de Guadalajara se registro una lluvia con una concentracion de ioneshidrogeno de3.98×10−3 moles/litro. ¿Se tuvo lluvia acida ese dıa?

10

4. Notacion Factorial y Teorema del Binomio

4.1. Propiedades del Coeficiente Binomial:(

m

0

)

= 1

(

m

m

)

= 1

(

n

n − k

)

=

(

n

k

)

(

n

n + k

)

=n − k

k + 1

(

n

k

)

(

m

k

)

+

(

m

k + 1

)

=

(

m + 1

k + 1

)

(relacion fundamental de los coeficientes binomiales)

(

m

k

)

+

(

m

k − 1

)

=

(

m + 1

k

)

n∑

k=0

(

n

k

)

=

(

n

0

)

+

(

n

1

)

+

(

n

2

)

+ · · · +(

n

n

)

= 2n

(

n

n

)

+

(

n + 1

n

)

+

(

n + 2

n

)

+ · · · +

(

n + m

n

)

=

(

n + m + 1

n + 1

)

(

n

0

)

+

(

n

2

)

+

(

n

4

)

+ · · · = 2n−1

1 −(

n

1

)

+

(

n

2

)

−(

n

3

)

+ · · · + (−1)n

(

n

n

)

= 0

(

n

0

)2

+

(

n

1

)2

+

(

n

2

)2

+ · · · +

(

n

n

)2

=

(

2n

n

)

(

m

0

)(

n

p

)

+

(

m

1

)(

n

p − 1

)

+ · · · +(

m

p

)(

n

0

)

=

(

m + n

p

)

1

(

n

1

)

+ 2

(

n

2

)

+ 3

(

n

3

)

+ · · · + n

(

n

n

)

= n2n−1

1

(

n

1

)

− 2

(

n

2

)

+ 3

(

n

3

)

− · · · − (−1)n+1n

(

n

n

)

= 0

(

2n

n

)

=22n

√πn

, aproximadamente, para grandes valores de n

n

(

n

r

)

= (r + 1)

(

n

r + 1

)

+ r

(

n

r

)

(

n

2

)(

n

r

)

=

(

r + 2

2

)(

n

r + 2

)

+ 2

(

r + 1

2

)(

n

r + 1

)

+

(

r

2

)(

n

r

)

(

n

s

)(

n

r

)

=

q∑

k=0

(

s

k

)(

r + s − k

r − k

)(

n

r + s − k

)

, q = min(r, s)

11

4.2. Ejercicios de Notacion Factorial y Teorema del Binomio

1. Usando las propiedades, calculese

(a)

(

6

k

)

, k = 0, 1, 2, ..., 6

(b)

(

8

k

)

, k = 0, 1, 2, ..., 8

(c)

(

100

k

)

, k = 0, 1, 2, 3, 97, 98, 99, 100.

(d)

(

17

3

)

(e)

(

8

4

)

(f)

(

10

8

)

(g) Calcular aproximadamente 50!

2. Desarrollense:

(a) (2x − 1)5

(b) (x − y)7

(c) (2a + 3)4

(d) (3x2 + 2)6

(e) (√

x − 2)7

(f) (√

x − 3√

y)6

3. Determınese (98)5 por desarrollo de (102 − 2)5.

4. Construyase un arreglo triangular de numeros, conocido como triangulo de Pascal.

5. Sabiendo que:

a)

(

n

10

)

=

(

n

7

)

calcular n.

b)

(

14

k

)

=

(

14

k − 4

)

calcular k.

c) ¿Existe un k tal que

(

12

k

)

=

(

12

k − 3

)

?

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5. Ejercicios de Tecnicas de Conteo

5.1. Ejercicios de Permutaciones

1. Evaluar: (a) 4P3 (b) 6P4 (c) 15P1 (d) 3P3.

2. ¿Cuantos numeros de 3 cifras distintas se pueden formar con los numeros 2, 3, 5, 7, 8, 9 ? Respuesta: 120.

3. Cinco personas entran en un vagon de ferrocarril en que hay 7 asientos.¿De cuantas maneras distintas pueden sentarse? Respuesta: 2520.

4. ¿Cuantos numeros de 4 cifras distintas se pueden formar con los numeros 1, 3, 5, 6, 8, 0? ¿cuantos de ellosson pares?Observe que no se consideran los que empiezan con 0, por ejemplo 0135 = 135, y este no es un numero de4 cifras. Respuesta: 300, Pares: 120.

5. Si tenemos la siguiente patente de auto, con dos letras y cuatro dıgitos, de las cuales se pueden repetir.¿cuantas patentes se pueden formar?(Considerando como 27 el numero de letras del abecedario y 10 dıgitos (0, 1, 2, ..., 9).) Respuesta: 7, 290, 000.

6. ¿De cuantas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses, y 2 italianos pueden sentarse en una fila demodo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? Respuesta: 165, 888 formas.

7. Se tienen cinco banderas distintas para hacer senales, las cuales se muestran en un asta vertical. ¿Cuantassenales pueden hacerse, si cada senal puede tener 1, 2, 3, 4 o 5 banderas? Respuesta: 325 senales.

8. Encontrar el numero de palabras que se pueden formar con todas las letras de MARCELINO Respuesta:362880.

9. ¿Cuantos numeros diferentes de 5 cifras se pueden escribir con los digitos 1, 2, 3, 4, 5? ¿Cuantos empiezancon 1? Respuesta: 120, 24.

10. ¿De cuantas maneras se puede ordenar 7 personas en una fila? Respuesta: 5, 040.

11. Se tiene 12 cadetes, 5 de la 1a compania, 4 de la 2a y 3 de la 3a. ¿De cuantas maneras pueden alinearse loscadetes, por compania? Respuesta: 103, 680.

12. En una biblioteca hay 20 libros latinos y 6 griegos. ¿De cuantas maneras pueden colocarse enun estante en grupos de 5, de los cuales 3 sean latinos y 2 griegos? Respuesta: 205, 200.

13. Un grupo de cinco personas tiene que sacarse una foto, pero dos de ellas no quiere posar una al lado de laotra ¿De cuantas formas distintas se pueden alinear las cinco personas para sacarse la foto, sin que estasdos personas aparezcan una al lado de la otra?

Respuesta: 72.

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5.2. Ejercicios de Permutaciones con Repeticiones

1. Encontrar el numero de palabras que se pueden formar con todas las letras de ALGEBRA, pero que la Lsiempre este primero. Respuesta: 360.

2. a) Hallar el numero de permutaciones diferentes que se pueden formar con todas las letras de la palabraC A MA RA .

b) ¿Cuantas de ellas principian y terminan por A ?

c) ¿Cuantas tienen 3 A juntas?

d) ¿Cuantas empiezan con A y terminan con M ?

Respuesta: (a)120, (b)24, (c)24, (d)12.

3. Obtenga todas las senales posibles que se pueden disenar con seis banderines, dos de los cuales son rojos,tres son verdes y uno morado. Respuesta= 60 senales diferentes.

4. a) ¿Cuantas claves de acceso a una computadora sera posible disenar con los numeros 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3?,

b) ¿Cuantas de las claves anteriores empiezan por un numero uno seguido de un dos?,

c) ¿Cuantas de las claves del inciso a) empiezan por el numero dos y terminan por el numero tres?

Respuestas: a) 280 claves, b) 15 claves, c) 20 claves.

5. ¿De cuantas maneras es posible plantar en una lınea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanosy tres ciruelos? Respuesta: 1260 maneras de plantar los arboles.

6.o Si un equipo de futbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuantas manerashay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?Respuesta: 7, 920 maneras de que en la temporada este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegosperdidos.

7. ¿De cuantas maneras se pueden repartir 7 juguetes entre 3 ninos si el menor recibe 3 y cadauno de los otros recibe 2? Respuesta= 210 maneras.

8. Cada uno de cuatro jugadores recibe 13 cartas de 52, en un juego.¿Cuantos juegos distintos se pueden formar? Respuesta: 52!

(13)!4 .

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5.3. Una Comida Gratis

Diez jovenes decidieron celebrar la terminacion de susestudios en la escuela secundaria con un almuerzo enun restaurante. Una vez reunidos, se entablo entre ellosuna discusion sobre el orden en que habıan de sentar-se a la mesa. Unos propusieron que la colocacion fuerapor orden alfabetico; otros, con arreglo a la edad; otros,por los resultados de los examenes; otros, por la estatu-ra, etc. La discusion se prolongaba, la sopa se enfrio ynadie se sentaba a la mesa. Los reconcilio el mesero,dirigiendoles las siguientes palabras:

· Jovenes amigos, dejen de discutir. Sientense a la mesa en cualquier orden y escuchenme.Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El mesero continuo:

· Que uno cualquiera anote el orden en que estan sentados ahora. Manana vienen a comer y se sientan enotro orden. Pasado manana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y ası sucesivamentehasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el dıa en que ustedes tenganque sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo lesconvidare a comer gratis diariamente, sirviendoles los platos mas exquisitos y escogidos.

La proposicion agrado a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada dıa en aquel restaurante y probar todoslos modos distintos, posibles de colocacion alrededor de la mesa, con el objeto de disfrutar cuando antes de lascomidas gratuitas.Sin embargo no lograron llegar hasta ese dıa. Y no porque el mesero no cumpliera su palabra sino porque elnumero total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Estas son exacta-mente 362, 880. Es facil calcular, que este numero de dıas son casi 100 anos.

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5.4. Ejercicios de Permutacion Circular

1. ¿De cuantas formas se pueden sentar 7 personas en torno a una mesa circular? y ¿Si dos de las personasinsisten en sentarse juntas, ¿Cuantas permutaciones son posibles? Respuesta: 6!, 2 · 5! maneras.

2. ¿De cuantas maneras se pueden sentar 8 hombres y 8 mujeres en una mesa redonda de modo que siemprehaya una mujer seguida de un hombre, es decir, alternados? Respuesta: 7!8! maneras.

5.5. Ejercicios de Combinaciones

1. ¿Cuantos ramilletes distintos se pueden formar con 5 flores de variedades diferentes? Respuesta: 31ramilletes.

2. ¿Cuantas combinaciones distintas pueden formarse tomando cuatro dıgitos con los siguientes numeros3, 4, 7, 5, 8, 1? Respuesta: 15.

3. ¿Cuantas combinaciones de 3 cifras, pueden hacerse con los dıgitos impares? Respuesta: 10.

4.o Un D.T dispone de 5 defensas, 6 delanteros, 4 centros. ¿Cuantos equipos puede formar, si cada equipoes de 2 defensas, 2 delanteros y 1 centro? Respuesta: 600.

5. De una empresa se seleccionan 7 trabajadores, de un grupo de 12 ¿De cuantas maneras se pueden seleccio-nar? Respuesta: 792.

6. ¿De cuantas maneras puede formarse una comision de 3 hombres y 4 mujeres de entre un total de 8 hombresy 6 mujeres? Respuesta: 840.

7. ¿De cuantas maneras pueden escogerse 2 hombres, 4 mujeres 3 ninos y 3 ninas de entre 6 hombres, 8mujeres, 4 ninos y 5 ninas? Respuesta: 42, 000.

8. ¿De cuantas maneras pueden seleccionarse 6 cuestiones de entre un total de 10? Respuesta: 210.

9. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. ¿Cuantasternas se podran formar? Respuesta: 1330 maneras diferentes.

10. ¿Para que valor de n es 3

(

n + 1

3

)

= 7

(

n

2

)

? Respuesta: n = 6.

11. ¿De cuantas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomandolos de tres en tres?Respuesta: 35.

12. A una reunion asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuantos saludos se han inter-cambiado? Respuesta: 45.

13. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comite formado por tres alumnos. ¿Cuantos comites diferentesse pueden formar?

Respuesta=6,545.

14. ¿Para que valor de x es 4

(

19

x

)

= 19

(

17

x

)

? Respuesta: x = 10.

15. Una planta maquiladora de ropa, tiene tres turnos de 8 hrs de trabajo, se cuenta con 30 empleados,donde 3 son ingenieros, 9 se encargan del mantenimiento y 18 son obreros. Si el primer turno requiere deun 1 ingeniero, 3 de mantenimiento y 6 obreros ¿De cuantas maneras puede integrarse el primer turno?Respuesta: 4, 678, 128.

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6. Ejercicios de Teorıa Elemental de la probabilidad

6.1. Ejercicios de Conjuntos

1. Escriba la expresion correspondiente en el diagrama de Venn.

Figura 5: Digrama de Venn

a) ni A ni B.

b) A pero no B.

c) A o B pero no ambos.

2. El diagrama representa un grupo de estudiantes que fueron encuestados y a los cuales se les pidio su opinionrespecto de los temas A,B y C. Al respecto se desea saber:

Figura 6: Digrama de Venn

a) ¿Numero de estudiantes de la muestra? Respuesta: 64.

b) ¿Numero de estudiantes que opinaron del tema B o C? Respuesta: 51.

c) ¿Cuantos no opinaron? Respuesta: 0.

d) ¿Cuantos estudiantes que habian opinado sobre el tema B opinaron sobre los temas A o C? Respuesta:12.

e) ¿Numero de estudiantes que opinaron de los temas A y B? Respuesta: 7.

f ) ¿Cuantos dieron su opinion solo referente al tema A? Respuesta: 13.

g) ¿Cuantos manifestaron su opinion sobre los tres temas? Respuesta: 3.

h) ¿Cuantos opinaron sobre el tema C pero no sobre el tema B? Respuesta: 12.

3. En un grupo de 149 estudiantes, 8 toman calculo, fısica y computacion; 33 toman calculo y computacion;20 toman calculo y fısica; 24 toman fısica y computacion; 79 estan en calculo; 83 estan en fısica y 80 tomancomputacion.

a) ¿Cuantos estudiantes toman exclusivamente fısica? Respuesta: 31.

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b) ¿Cuantos estudiantes toman solamente dos materias? Respuesta: 77.

c) ¿Cuantos estudiantes toman calculo y computacion? Respuesta: 33.

d) ¿Cuantos estudiantes toman las tres materias? Respuesta: 8.

e) ¿Cuantos estudiantes no toman calculo? Respuesta: 70

4. Se tienen 3 juegos de video: llamados A,B y C. Un nino juega los tres, 3 ninos juegan A o B, 3 ninos jueganA o C, 4 ninos juegan B o C. Si sabemos que 8 ninos juegan el juego A, 12 el juego B y 8 el C, entonces;

a) ¿Cuantos ninos juegan a los tres juegos? Respuesta: 1.

b) ¿Cuantos ninos usan los juegos A o B? Respuesta: 15.

c) ¿Cuantos usan B o C? Respuesta: 16.

d) ¿Cuantos ninos juegan solo el juego C? Respuesta: 4.

e) ¿Cuantos ninos solo juegan un juego y solo un juego? Respuesta: 11.

5. En un curso compuesto de 22 alumnos; 12 estudian aleman, 11 estudian ingles, y 11 frances, 6 estudianaleman e ingles, 7 estudian ingles y frances, 5 estudian aleman y frances y 2 estudian los tres idiomas.

a) ¿Cuantos alumnos solo estudian ingles? Respueta: 0.

b) ¿Cuantos alumnos solo estudian un lenguaje? Respueta: 4.

c) ¿Cuantos alumnos solo estudian dos idiomas al mismo tiempo? Respuesta: 12.

d) ¿Cuantos alumnos no estudian ninguno de estos tres idiomas? Respuesta: 4.

6.2. Ejercicios de Espacios Finitos Equiprobables

1. Suponga que A y B son eventos con P (A) = 0.6, P (B) = 0.3, y P (A∩B) = 0.2. Encuentre la probabilidadde que:

a) A no ocurra.

b) B no ocurra.

c) A o B ocurran.

d) No ocurran A ni B.

2. Sean A y B eventos de manera que P (A ∪ B) = 0.8, P (A) = 0.4, y P (A ∩ B) = 0.3. Encuentre:

a) P (Ac).

b) P (B).

c) P (A ∩ Bc).

d) P (Ac ∩ Bc).

3. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de lasmujeres tienen ojos cafes. Encuentre la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea hombre otenga ojos cafes. Respuesta: 2

3 .

4. Determine la probabilidad de cada evento:

a) Que al lanzar un dado equilibrado aparezca un numero impar. Respuesta: 36 .

b) Que al lanzar 4 monedas equilibradas aparezcan 1 o mas caras. Respuesta: 1516 .

c) Que al lanzar 2 dados equilibrados ambos numeros excedan 4. Respuesta: 436 .

d) Que aparezca exactamente un 6 al lanzar 2 dados equilibrados. Respuesta: 1036 .

5. Hay cinco caballos en una carrera. Adriana escoge 2 de los caballos al azar y les apuesta. Enuentre laprobabilidad p de que Adriana escoja al ganador. Respuesta: p = 4

10 = 25 .

6. Hay tres tornillos y tres tuercas en una caja. Se escogen dos partes al azar. Encuentre la proba-bilidad de que uno sea tornillo y el otro tuerca. Respuesta: 9

15 = 35 .

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6.3. Problema Clasico de Cumpleanos

El problema Clasico de Cumpleanos se relaciona con la probabilidad de que npersonas cumplan anos en fechas distintas donde n 6 365. Aquı no se tienen en cuenta los anos bisiestos y sesupone que el cumpleanos de una persona puede caer en cualquier dıa con igual probabilidad.Puesto que hay n personas y 365 dıas diferentes, hay 365n formas en las cuales n personas pueden cumplir anos.Por otra parte, si las n personas tienen fechas de cumpleanos distintas, entonces:

(i) La primera persona puede haber nacido en cualquiera de los 365 dıas.

(ii) La segunda persona puede haber nacido en los 364 dıas restantes.

(iii) La tercera persona puede haber nacido en los 363 dıas restantes, y ası sucesivamente.

Por tanto hay:365 · 364 · 363 · · · (365 − n + 1)

formas en las cuales n personas pueden cumplir anos en fechas diferentes. Por consiguiente

P (n personas cumplan anos en fechas diferentes) =365 · 364 · 363 · · · (365 − n + 1)

365n

En consecuencia, la probabilidad p de que dos o mas personas tengan la misma fecha de cumpleanos es la siguiente:

p = 1 − [probabilidad de que no haya dos personas que cumplan el mismo dıa]

= 1 − 365 · 364 · 363 · · · (365 − n + 1)

365n

El valor de p donde n es un multiplo de 10 hasta 60 es el siguiente:

n 10 20 30 40 50 60p 0.117 0.411 0.706 0.891 0.970 0.994

La tabla anterior nos dice que: en un grupo de 60 personas o mas, la probabilidad de que dos o mas de ellascumplan anos el mismo dıa exede el 99%.

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7. Ejercicios de Distribuciones Discretas y Continuas

1 El gerente de un almacen de ropa para hombre esta interesado en el inventario de trajes que es en esemomento es de 30 (todas las tallas). El numero de trajes demandados a partir de ahora y hasta el final dela temporada se distribuye como:

PX(x) =e−20 20X

X!X = 0, 1, 2, 3, ...

Encuentre la probabilidad de que queden trajes sin vender al final de la temporada.

2 Una variable aleatoria X tiene la funcion de densidad de probabilidad Ce−x. Encuentre los valores apro-piados de C, suponiendo 0 6 X < ∞. Determine la media y la varianza de la funcion de densidad deprobabilidad de X.

3 Jaime y Manuel juegan el siguiente juego. Jaime arroja dos dados legales, y Manuel le paga kcentavos, donde k es el producto de los dos numeros que muestran los dados. ¿Cuanto debe pagar Jaime aManuel por cada juego para que este sea parejo?

4 Supongase que en una loterıa se venden 1, 000 boletos de un peso cada uno. El ganador recibira un premiocuyo valor es de 500 pesos. Si alguien compra tres boletos, ¿cual es su esperanza?

5 ¿Cual es el precio justo que se debe pagar para entrar a un juego en el que se pueden ganar 100 pesos conprobabilidad 0.1, 5 pesos con 0.4 de probabilidad, y nada con 0.5 de probabilidad?

6 Un estudiante realiza un examen cierto/falso con 15 preguntas. Si el adivina en cada pregunta, ¿Cual es laprobabilidad de que obtenga al menos 13 respuestas correctas?

7 Una estudiante realiza un examen de opcion multiple con 16 preguntas. Cada pregunta tiene cinco alter-nativas. Si ella adivina en 12 de las 16 interrogantes. ¿Cual es la probabilidad de que acierte en al menos 8preguntas?

8 Supon que eres un avido aficionado a las carreras de caballos. Estas en el hipodromo y hay8 carreras. Este dıa los corceles y los jockeys estan tan parejos que solo el azar determinara el orden dellegada en cada carrera. Existen 10 caballos en cada carrera. Si en, cada carrera tu apuestas que un corcelen particular puede llegar en primero, segundo o tercer lugar. ¿cual es la probabilidad de que:

a) ganes la apuesta en las 8 carreras?

b) Ganes en al menos seis carreras?

9 Un fabricante de valvulas admite que su control de calidad ha decaıdo de modo que actualmente la pro-babilidad de producir una valvula defectuosa es 0.5. Si se fabrican un millon de valvulas al mes eliges alazar entre estas valvulas 10, 000 muestras cada una tomada por 15 valvulas. ¿En cuantas muestras esperasencontrar

a) Exactamente 13 valvulas buenas

b) Menos de 13 valvulas buenas?

10 Un gran tazon contiene un millon de canicas. La mitad de estas tiene pintado un signo (−) la otra mitadun signo (+).

a) Si eliges al azar 10 canicas una a la vez con reemplazo del tazon. ¿Cual es la probabilidad de escoger9 canicas con un signo (+) y una con un signo (−)?

b) Si obtienes 10000 muestras aleatorias con 10 canicas cada una, una a la vez con reemplazo, ¿Cuantasmuestras esperas que tengan solo canicas con signo (+)?

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11 Imagina que 15% de la poblacion es zurda y que no hay ambidiestros. Si tu detienes a lassiguientes 5 personas que encuentres, suponiendo independencia en la eleccion de estas personas. ¿Cual esla probabilidad de que:

a) Todas sean zurdas?

b) Todas sean diestras?

c) Dos sean zurdas?

d) Al menos una sea zurda?

12 Un puente de cuota cobra $1.00 por cada autobus de pasajeros y $2.5 por otros vehıculos. Supongase quedurante las horas diurnas, el 60% de todos los vehıculos son autobuses de pasajeros. Si 25 vehıculos cruzanel puente durante un periodo particular diurno, ¿cual es el ingreso resultante de cuotas esperado?

13 Los clientes de una gasolinera seleccionan gasolina regular (R). premium (P ) o diesel (D).Supon que clientes sucesivos hacen selecciones independientes con P (R) = 0.3 , P (P ) = 0.2 y P (D) = 0.5.Entre los siguientes 100 clientes, ¿cuales son la media y la varianza del numero que selecciona gasolinaregular?

14 La probabilidad de que una persona muera de cierta infeccion respiratoria es 0.002. Encuentrala probabilidad de que mueran menos de cinco de los siguientes 2000 infectados de esta forma.

15 En promedio una persona en 1000 comete un error numerico al preparar su declaracion de impuestos. Sise seleccionan 10, 000 formas al azar y se examinan, ¿cual es la probabilidad de que 6, 7 u 8 de las fornascontengan un error?

16 Se sabe que la probabilidad de que un estudiante de una preparatoria local presente escoliosis(curvatura de la espina dorsal) es 0.004. De los siguiente 1875 estudiantes que se revisan en busqueda deescoliosis: encuentra la probabilidad de que:

a) menos de cinco presenten el problema

b) 8, 9 o 10 presenten el problema.

17 Se sabe que el proceso de produccion de luces de un tablero de automovil de indicador giratorio produceuno por ciento de luces defectuosas. Si este valor permanece invariable. y se selecciona al azar una muestrade 100 luces, encuentre:

P (p ≤ 0.03), donde p es la fraccion de defectos de la muestra.

18 Dada una distribucion binomial con un valor fijo de n ¿existen valores de p para los cuales σ2 = 0 Explique.

19 Dada una distribucion binomial con un valor fijo de n, ¿cual es el valor de p en el que el valor deσ2 esmayor? Explique.

20 Una venta en particular involucra 4 artıculos seleccionados al azar de un gran lote que contiene 10% dedefectuosos. Sea Y el numero de defectuosos entre los 4 artıculos vendidos, El comprador de los artıculosregresara los defectuosos para ser reparados y el costo de reparacion esta dado por C = 3Y 2 + Y + 2encuentre el costo esperado de reparacion.

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21 La probabilidad de que Jose acierte a una diana con su arco es de 68%; si dispara en rondasde diez tiros. Encuentra la media y la desviacion estandar del numero de aciertos por ronda.

22 Un agente de bienes raıces estima que la probabilidad de vender una casa es 0.1. El dıa de hoy tiene quever 4 clientes. Si el vende en las primeras tres visitas ¿cual es la probabilidad de que en la cuarta visita novenda?

23 La probabilidad de que un submarino hunda un barco enemigo con un disparo de sus torpedos es0.8. Si los disparos son independientes, determina la probabilidad de un hundimiento dentro de los primeros2 disparos y dentro de los primeros tres.

24 En la ESIT la probabilidad de que ocurra una tormenta en cualquier dıa durante la primavera es0.05. Suponiendo independencia ¿cual es la probabilidad de que la primera tormenta ocurra el 5 de abril?Suponiendo que la primavera comienza el primero de marzo.

25 En tiempo ocupado un conmutador telefonico esta muy cerca de su capacidad, por lo que los usuariostienen dificultad al hacer sus llamadas. Puede ser de interes conocer el numero de intentos necesarios afin de conseguir un enlace telefonico. Supon que la probabilidad de conseguir un enlace durante el tiempoocupado es 0.05. Nos interesa conocer la probabilidad de que se necesiten cinco intentos para una llamadaexitosa.

26 Tres personas lanzan una moneda y el disparejo paga los cafes. Si todas las monedas tienen el mismoresultado, se lanzan de nuevo. Encuentra la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos.

27 La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para una licencia de pilotoprivado es 0.7. Encuentra la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen:

a) en el tercer intento.

b) antes del cuarto intento.

28 La probabilidad de que un cliente acuda al mostrador de una tienda de abarrotes en cualquier periodo dedos segundos. es igual a 0.1. Supon que los clientes llegan de manera aleatoria y por lo tanto las llegadasen cada intervalo de un segundo son independientes.

a) Encuentra la probabilidad de que la primera llegada ocurra durante el tercer intervalo de un segundo.

b) Encuentra la probabilidad de que la primera llegada no ocurra hasta al menos el tercer intervalo deun segundo.

29 Al responder una pregunta con respecto a un tema controversial (como ¿alguna vez ha fumado marihuana?),muchas es la gente no quiere contestar afirmativamente. Obten la distribucion de probabilidad para Y , elnumero de personas que se necesitarla entrevistar hasta obtener una sola respuesta afirmativa, sabiendo queel 80% de la poblacion contestarıa verıdica mente no a la pregunta y que del 20% que deberıan contestarverıdica mente si un 70% miente.

30 ¿Cuantas veces esperas que haya que lanzar una moneda perfecta hasta obtener la primera cara?

31 Un explorador de petroleo perfora una serie de pozos en cierta area para encontrar un pozoproductivo. La probabilidad de que tenga exito en una prueba es 0.2.

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a) ¿Cual es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado?

b) ¿Cual es la probabilidad de que el explorador no vara a encontrar un pozo productivo si solamentepuede perforar a lo mas 10 pozos?

32 Supongase que el costo de efectuar un experimento es $1000. Si el experimento falla se incurre en un costoadicional $300 debido a ciertos cambios que deben efectuarse antes de que se intente un nuevo experimento.Si la probabilidad de exitos en cualquiera de los ensayos es 0.2. Si los ensayos aislados son independientesy si los experimentos continuan hasta que se obtiene el primer resultado exitoso. cual es el costo esperadodel procedimiento completo.

33 Si la probabilidad de que cierto examen de una reaccion positiva es igual a 0.4 , ¿Cual es la probabilidad deque ocurran menos de 5 reacciones negativas antes de la primera positiva? Haciendo que Y sea el numerode reacciones negativas antes de la primera positiva.

34 Un lote de 25 cinescopios se somete a un procedimiento de pruebas de aceptacion. El procedimiento consisteen extraer 5 tubos al azar, sin reemplazo, y probarlos. Si dos o menos tubos fallan, los restantes se aceptan.De otro modo el lote se rechaza. Si el lote contiene 4 tubos defectuosos. ¿Cual es la probabilidad de que ellote se acepte?

35 El dueno de una casa planta seis bulbos seleccionados al azar de una caja que contiene 5 bulbosde tulipan y 4 de narciso. ¿Cual es la probabilidad de que plante dos bulbos de narciso y 4 de tulipan?

36 Una fuerza de tarea gubernamental sospecha que algunas fabricas violan los reglamentos contra la conta-minacion ambiental con respecto a la descarga de cierto tipo de producto, 20 empresas estan bajo sospechapero no todas se pueden inspeccionar. Supon que tres de las empresas violan los reglamentos. ¿Cual es laprobabilidad de que:a) en la inspeccion de 5 empresas no se encuentre ninguna violacionb) el plan anterior encuentre 2 que violan el reglamento?

37 Para evitar la deteccion en la aduana un viajero coloca 6 tabletas de narcotico en una botella quecontiene 9 pıldoras de amina similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 de las tabletasal azar para su analisis, ¿cual es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesion ilegal denarcoticos?

38 Supon que X tiene una distribucion de Poisson. Si P (X = 2) = (23 )P (X = 1), Calcula P (X = 0) y

P (X = 3).

39 Una fuente radiactiva se observa durante 7 intervalos cada uno de 10 segundos de duracion y se cuenta elnumero de partıculas emitidas durante cada periodo. Supon que el numero de partıculas emitidas, digamosY , durante cada periodo observado tiene una distribucion de Poisson con parametro 5. ¿Cual es la proba-bilidad de que:a) en cada uno de los 7 intervalos de tiempo, se emitan 4 o mas partıculas?b) Al menos en uno de los 7 intervalos de tiempo se emitan 4 o mas partıculas?

40 El numero de partıculas emitidas por una fuente radioactiva durante un periodo especıfico es una v.a condistribucion de Poisson. Si la probabilidad de ninguna emision es igual a 1

3 . ¿Cual es la probabilidad de queocurran 2 o mas emisiones?

41 Una secretaria comete dos errores por pagina en promedio. ¿Cual es la probabilidad de que enla siguiente pagina cometa

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a) 4 o mas errores?

b) Ningun error?

42 Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada 1 de acuerdo con una distribucion dePoisson con una media de tres por hora, y a la entrada 2 de acuerdo con una distribucion de Poisson conuna media de 4 por hora. ¿Cual es la probabilidad de que tres coches lleguen al estacionamiento duranteuna hora dada?

43 Segun la Administracion de incendios. 185 personas murieron en 1238 incendios en hoteles y moteles enl979, es aproximadamente 1.5 muertos por cada 100 incendiosa) ¿Cual es la probabilidad de que el numero de muertos exceda de ocho, si en una region ocurrieron 200incendios en hoteles y moteles?b) Al ocurrir 200 incendios en hoteles y moteles en cierta region y al exceder el numero de muertos de ocho,¿sospechas que la razon promedio de muertos en la region es mas alta que la media nacional?

44 El chef de un restaurante prepara una ensalada revuelta que contiene, en promedio cincovegetales. Encuentra la probabilidad de que la ensalada contenga mas de 5 vegetalesa) en un dıa dadob) en tres de los siguientes 4 dıasc) por primera vez en abril el dıa 5.

45 Supon que aviones pequenos llegan a cierto aeropuerto segun un proceso de Poisson con tasa de 8 avionespor hora, de modo que el numero de llegadas durante un periodo de t horas es una v.a de Poisson conparametro λ = 8ta) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente 5 aviones pequenos lleguen durante un periodo de unahora? ¿Por lo menos 5? ¿Por lo menos 10?b) ¿Cual es el valor esperado y la desviacion estandar del numero de aviones pequenos que lleguen duranteun periodo de 90 minutos?c) ¿Cual es la probabilidad de que por lo menos 20 aviones pequenos lleguen durante un periodo de 21/2hrs?¿De que a lo sumo lleguen 10 durante este periodo?

46 Supon que un libro con n paginas contiene, en promedio k erratas por pagina. ¿Cual es laprobabilidad de que al menos m paginas que contengan mas de k erratas?

47 La probabilidad de que un raton inoculado con un suero contraiga cierta enfermedad es 0.2. Encuentrala probabilidad de que a lo mas tres de 30 ratones inoculados contraigan la enfermedad, utilizando unaaproximacion de Poisson.

48 El dueno de una tienda tiene existencias de cierto artıculo y decide utilizar la siguiente promocion paradisminuir la existencia. El artıculo tiene un precio de $100. El dueno reducira el precio a la mitad por cadacliente que compre el artıculo durante un dıa en particular. Ası el primer cliente pagara $50 por el artıculo,el segundo pagara $25, y ası sucesivamente. Supon que el numero de clientes que compra el artıculo duranteel dıa tiene una distribucion de Poisson con media 2. Encuentra el costo esperado del artıculo al final dedıa.

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