El Polinomio de Villarreal Total
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EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL 1 1.1. OBJETIVOS Mostrar un método directo para determinar el desarrollo de la potencia de un polinomio. 1.2. MÉTODOS RELACIONADOS A LA POTENCIA DE POLINOMIOS A) Binomio de NEWTON Donde: B) Formula de LEIBNIZ Donde: Son números enteros positivos no nulos. C) Polinomio de Villarreal Donde:
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libro de gran ayuda acerca del teoremas mas importante del Dr. Federico Villarreal Villarreal
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EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL
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1.1. OBJETIVOS
Mostrar un mtodo directo para determinar el desarrollo de la potencia de un
polinomio.
1.2. MTODOS RELACIONADOS A LA POTENCIA DE POLINOMIOS
A) Binomio de NEWTON
Donde:
B) Formula de LEIBNIZ
Donde:
Son nmeros enteros positivos no nulos.
C) Polinomio de Villarreal
Donde:
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1.3. OBSERVACIONES
Esta frmula fue descubierta por Federico Villarreal en 1873 cuando tena
23 aos de edad.
Si n es un numero real o complejo el desarrollo de la potencia del
polinomio siguiente se expresa como:
En este caso es llamado serie de Villarreal y su formula fue descubierta
por l, en el cual se determina los coeficientes de la serie de infinitos
trminos.
La frmula descubierta por Villarreal para determinar el desarrollo de la
potencia de un polinomio es sumamente ventajoso porque es un mtodo a
la vez directo y numrico ya que por la forma de obtener los trminos de
manera recursiva hace posible que usted pueda programar en lenguajes de
programacin como Visual Basic, C++, Pascal, Matlab, etc.
1.4. DEDUCCIN DE LA FRMULA DEL POLINOMIO DE VILLARREAL
Sean los polinomios:
Tales que:
Es decir:
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Donde:
El objetivo es deducir al formula de arriba, lo cual se realizara de la siguiente
manera.
Calculo de las ensimas derivadas de P(x):
Calculo de las ensimas derivadas de Q(x)
Evaluaciones previas de las derivadas anteriores en x = 0 para P(x).
Evaluaciones previas de las derivadas anteriores en x = 0 para Q(x).
Considerando:
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Determinacin de los coeficientes: b0, b1, b2, b3,, bmn.
a) Determinando b0:
Si
Hacemos x = 0:
De donde:
b) Determinando b1:
Si
Derivamos la ecuacin (1):
Ahora multiplicamos la ecuacin (2) por P(x)
Haciendo x = 0 en la ecuacin (3) obtenemos:
De donde:
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Luego reemplazando estos valores en la ecuacin (4):
c) Determinando b2:
Si
Derivamos la ecuacin (3):
Ordenando adecuadamente tenemos:
Haciendo x = 0 en la ecuacin (5) obtenemos:
De donde:
Reemplazamos estos valores en la ecuacin (6):
d) Determinando b3:
Si
Derivando la ecuacin (5):
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Ahora agrupando trminos semejantes:
Luego haciendo x = 0 en la ecuacin (7):
De donde:
Reemplazando estos resultados en la ecuacin (8):
Luego:
Resumiendo los resultados tenemos:
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Es decir:
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1.5. CONCLUSIN
Si:
Es un polinomio de grado m, entonces el polinomio que resulta de
elevar al exponente n a P(x) es otro polinomio Q(x) de grado mn de la forma:
Donde:
1.6. EJEMPLOS DE APLICACIN
A) Determinar el desarrollo de:
Solucin
Aplicando el polinomio de Villarreal tenemos:
Donde:
Con:
m = 2 y n = 2
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Entonces:
Ahora el objetivo es determinar:
Identificando los coeficientes tenemos:
Como m = 2 y n = 2, reemplazamos estos valores en:
Hallando b0:
Hallando b1:
Hallando b2:
Hallando b3:
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Hallando b4:
Resumiendo tenemos los coeficientes hallados:
Finalmente reemplazamos estos valores en:
Se obtiene lo siguiente:
B) Determinar el desarrollo de:
Solucin
Aplicando el mtodo de Villarreal mediante un programa diseado como
Matlab obtenemos lo siguiente:
C) Determinar el desarrollo de:
Solucin
Aplicando el mtodo de Villarreal mediante el programa de Matlab obtenemos:
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D) Determinar el desarrollo de:
Solucin
Aplicando el mtodo de Villarreal mediante el programa Matlab obtenemos:
