El principio de inducción y el teorema de recursión son las herramientas principales para...
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El principio de inducción y el teorema de recursión son las herramientas principales para demostrar teoremas acerca de los números naturales y para la construcción de funciones presentadas con dominio N. Usamos ambos ampliamente en los capítulos anteriores. En esta sección, se muestra cómo generalizar estos resultados a los números ordinales.
4.1
EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN TRANSFINITA
Sea P (x) sea una propiedad (posiblemente con parámetros). Supongamos que, para todos los números ordinales α :
4.2 Si P (β ) es valido para todo β≺α , entonces P (α ).
Entonces P (α ) es valido para todo ordinal α .
PRUEBA
Suponga que algún número ordinal γ no tiene la propiedad P, y sea S el conjunto de
todos los números ordinales β≤γ que no tiene la propiedad P. El conjunto S tiene un
elemento mínimo α . Debido a que cada β≺α tiene la propiedad P, se sigue por (4,2) que contiene P (α ), contradicción
A veces es conveniente usar el principio de inducción transfinita en una forma que se asemeja más de cerca a la formulación usual del principio de inducción para N. Lo hacemos mediante el tratamiento sucesor y ordinales límite por separado.
4.3
SEGUNDA VERSIÓN DEL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN TRANSFINITA
Sea P (x) sea una propiedad. Asuma que
a. P (0) se tiene
b. P (α ) implica P (α+1 ) para todo ordinal α .
c. Para todo limite ordinal α≠0 , si P (β ) se tiene para todo β≺α , entonces P (α ) se tiene. Entonces P (α ) se tiene para todo ordinal α .
PRUEBA
Es suficiente mostrar que los supuestos (a), (b) y (c) implican 4.2. Asi sea α un ordinal
tal que P (β ) para todo β≺α . Si α=0 , entonces P (α ) se tiene por (a). Si α es un
sucesor es decir si no es β≺α talque α=β+1 , nosotros conocemos que P (β ) se
tiene por lo que P (α ) se tiene por (b). Si α≠0 es limite, tenemos P (α ) por (c).
4.4
TEOREMA
Sea Ω un número ordinal, sea un conjunto A, y S=¿α≺Ω Aα
el conjunto de todas
las secuencias transfinita de elementos de A de una longitud de menores que Ω . Sea
g :S→A una función. Entonces existe una única función f :Ω→A tal que
f (α )=g ( fΓα ) Para todo α≺Ω
El lector podría tratar de demostrar este teorema en una forma enteramente análoga a la prueba del teorema de recursión en el capítulo 3. No entraré en detalles ya que este teorema se deduce del teorema de recursión transfinita posterior más general.
Si ν es un ordinal y f es una secuencia transfinita de longitud ν , se utiliza la notación
f=⟨aα lα≺ν ⟩
El teorema 4,4 establece que si g es un función en el conjunto de todas las secuencias
transfinita de elementos de A de una longitud de menores que Ω con valores en A,
entonces hay una secuencia transfinita ⟨aα lα≺ν ⟩
tal que para todo α≺Ω ,
aα=g ( ⟨aξ lξ≺α ⟩)
4.5
EL TEOREMA DE RECURSIÓN TRANSFINITA
Sea G una operación: entonces la propiedad P se indicada en 4.6 define una operación
de F tal que F (α )=G(Fl α) para todo ordinal α .
PRUEBA
Llamemos t un cálculo de longitud α basado en G si t es una función, domt=α+1y
para todo β≤α , t ( β )=G( tl β )
Sea P(x,y) una propiedad
4.6
X es un numero ordinal y y=t(x) para algún calculo t de longitud x basado en G, o x no
es un numero ordinal y y=φ
Nosotros probaremos primero que P define una operación.
Nosotros tenemos que probar que para cada x este un único y tal que P(x,y). Esto es obvio si x no es un ordinal. Para demostrar para ordinales es suficiente probarlo por inducción transfinita: para cada ordinal α hay un único cálculo de longitud α .
Hacemos la hipótesis de inducción para todo β≺α hay un único calculo de longitud
β y demostremos la existencia y unicidad de un cálculo de la longitud α .
Existencia
De acuerdo con el esquema del axioma de sustitución aplicada a la propiedad "y es un cálculo de la longitud x" y el conjunto α , hay un conjunto
T={tl t esuncalculode longitud β para a lg unβ≺α }
Por otra parte la hipótesis de inducción implica que para cada β≺α existe un único
t∈T tal que la longitud de t es β .
T es un sistema de funciones; sea t−=¿T , finalmente sea
τ=t−
∪{(α ,G( t )− )}
nosotros probamos que τ es un único calculo de longitud α .
4.7
τ es una función y dom τ =α+1
PRUEBA
Nosotros vemos inmediatamente que dom t−=¿ t∈T domt=∪β∈α ( β+1)=α en
consecuencia dom τ=dom t−∪ {α }=α+1
Luego puesto que α∉dom t−
es suficiente probar que t−
es una función. Esto se deduce del hecho de que T es un sistema compatible de funciones.
En efecto sea ta , t2∈T arbitrarios y sea domt 1=β1 , domt 2=β2 asumamos que
β1≤β2 , entonces β1⊆ β2y es suficiente probar que t1(γ )=t2 (γ ) para todo γ≺β1 lo
hacemos por inducción transfinita. Asumamos que γ≺β1 y t1(δ )=t2 (δ ) para todo
δ≺γ . Entonces t1Γγ=t2 Γγ y nosotros tenemos que
t1(γ )=G( t1 Γγ )=G (t2 Γγ )=t2( γ ) concluimos que t1(γ )=t2 (γ )para todo γ≺β1 . Esto completa la prueba
4.8
τ (β )=G(τΓβ )para todo β≤α
PRUEBA
Es claro que si β=α como τ (α )=G( t−)=G(τΓα ). Si β≺α , t∈T tal que β∈domt ,
nosotros tenemos que τ (β )=t ( β )=G( τΓβ ) porque t es un calculo y t⊆ τ .
El resultado 4.7 y 4.8 juntos prueban que τ es un cálculo de longitud α .