"El rasgo más importante de la matemática árabe fue la formación de la trigonometría, teniendo lugar la síntesis de diversos elementos trigonométricos: el cálculo de cuerdas y las tablas de los antiguos, en particular los resultados de Ptolomeo y Menelao, las operaciones de los antiguos hindúes, la acumulación de experiencias de mediciones astronómicas.

Sobre la base de este material heterogéneo los matemáticos de los países del Medio Oriente y el Asia Central introdujeron todas las líneas trigonométricas fundamentales. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud. Los datos acumulados fueron tantos que resultó posible estudiar las propiedades de los triángulos planos y esféricos, y los métodos de su resolución. Se obtuvo un sistema de trigonometría armonioso, rico en hechos, tanto plana como esférica... "...En el año 1461, apareció la obra "Cinco libros sobre triángulos de cualquier género", en la cual la trigonometría fue separada de la astronomía y tratada como una parte independiente de las matemáticas. La escribió el matemático alemán Johannes Müller (1436-1476), más conocido por Regiomontano..."

Pero los hechos más famoso de la antigüedad fueron medir la altura de la gran piramide, para ello Thales sólo uso su bastón y las sombras de la piramide y el bastón y la medición del radio de la Tierra por Eratostenes.

"La trigonometría ha sido una herramienta útil desde la antigüedad, el famoso historiador griego Herodoto, describió tres hazañas de la ingeniería griega en la isala de Samos. Una de ellas era un túnel que trasladaba el agua a través del monte Castro a Samos, la capital. Este se descubrió en 1882, 2500 años después de su construcción y tenía 1 Km. de longitud y más de dos metros tanto en altura como en anchura...

Lo más notable del túnel es que los equipos de excavación, que comenzaron a cada uno de los lados, se encontraron en el centro con un error de solamente 10 metros horizontalmente y 3 metros verticalmente. Sabemos esto porque en el centro del túnel hay un recodo de este tamaño que hace que los dos túneles se unan....

Herón describió el posible método que utilizaron, desde su punto de vista usaron la semejanza de triángulos."Construcción de un túnel

Como sabes para construir el túnel de acceso a Cala Cortina, se empezo a taladrar la montaña desde los dos extermos, para que el túnel sea recto y no correr el riesgo de no encontrarse se utiliza la trigonometría.

ExplicaPero la trigonometría también sirve para volar...

Una clase para obtener el permiso de piloto privado permite que un piloto vuele solamente cuando las nubes están a más de 1000 pies de altura y la visibilidad en la tierra es al menos de 3 milllas. Con entrenamiento, estas dos distancias pueden determinarse fácilmente durante el día. De noche, la visibilidad en tierra puede determinarse usando luces cercanas situadas a una distancia conocida: pero ¿cómo se determina durante la noche la altura de las nubes?

Para determinar la altura de las nubes durante la noche se dirige una rayo de luz que se refleja en la nube con un ángulo de 70º y una persona situada a 1000 pies de distancia mira el reflejo y mide el ángulo de elevación.

La trigonometría nos ayuda a medir distancias inacesibles, como por ejemplo la distancia de la bocana del puerto de Cartagena. eDefinición de las razones trigonométricas.

Consideramos un triángulo ABC, rectángulo en C, consideramos el ángulo a y definimos:

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Dividendo el sen(a) entre el cos(a), obtenemos:

Notas:

1. El seno y el coseno de un ángulo es siempre menor o igual que 1, ya que el cateto es siempre menor que la hipotenusa, (salvo para el triángulo degenerado, aquel en el que uno de los catetos mide 0). 2. La tangente puede tomar cualquier valor, desde cero a infinito (casos extremos), ya que uno de los catetos puede ser muy pequeño y el otro muy grande. 3. El seno, coseno y la tangente de los ángulos, se obtenían antiguamente empleando unas tablas que se llaman trigonométricas, actualmente puedes conocer su valor directamente de tu calculadora.

l método empleado en su construcción.

(M-7) La Trigonometría, ¿Para qué sirve?

El problema básico de la trigonometría es algo parecido a esto:

Está cerca de un ancho río y necesita conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbol marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sin cruzar el río?

La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B y mida con una cinta la distancia c entre ellos (la "base"). Un antiguo telescopio de topógrafo (teodolito).

Luego extraiga el poste del punto A y sustitúyalo por un telescopio de topógrafo como el que se muestra aquí ("teodolito"), contando con una placa dividida en 360 grados, marque la dirección ("azimut") a la que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero hacia el árbol y luego hacia el poste B, mide el ángulo A del triángulo ABC, igual a la diferencia entre los números que ha leído de la placa de azimut. Sustituya el poste, lleve el teodolito al punto B y mida de la misma forma el ángulo B .

La longitud c de la base y los dos ángulos A y B son todo lo que necesita para conocer el triángulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo de la misma forma y mismo tamaño, en un sitio más conveniente. La trigonometría (de trigon = triángulo) en un principio fue el arte de calcular la información perdida mediante simple cálculo. Dada la suficiente información para definir un triángulo, la trigonometría le permite calcular el resto de las dimensiones y de ángulos.¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros.

Para topografiar una tierra los topógrafos la dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es, a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los ángulos que se forman con el punto C y usar la trigonometría para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para dos más..., y de esta forma construirá más y más triángulos hasta que se cubra la tierra al completo con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos.

Un gran proyecto de reconocimiento de los 1800s fue la "Gran Planimetría Trigonométrica" de la India británica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36" de ancho, cuyas lecturas se hacían con extraordinaria precisión con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usándolos el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las áreas entre las cadenas de dejaron para más tarde) y se necesitaron décadas para completarla.

En 1843 Andrew Scott Waugh se encargó del proyecto como Inspector General y puso especial atención a las montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Después de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por "computadores" en las oficinas de inspección; no eran máquinas sino personas que efectuaban los cálculos trigonométricos.

La historia dice que en 1852 el jefe de los "computadores" fue hacia el director y le dijo: "Señor, hemos descubierto la mayor montaña del mundo". Desde una distancia de más de 100 millas (160 km), se observó la montaña desde seis estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a través de su telescopio el punto más alto de la Tierra". Al principio se la designó como "Pico XV" por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó en memoria de Sir George Everest, su predecesor en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en el "Museum of the Survey of India" en Dehra Dum.

Hoy en día la posición sobre la Tierra se puede localizar de forma muy precisa usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y nos devuelve nuestra posición con un error de 10-20 metros ( aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometría, pero lo hace todo la computadora que está dentro de su aparato, lo único que usted necesita es pulsar los botones apropiados.

Ahora que conoce un poco de los usos de la trigonometría, bienvenido a avanzar por lo esencial de ella.

Nota: Los detalles sobre el descubrimiento del Monte Everest y la cartografía de la India están tomados de "Who Discovered Mount Everest?" de Parke A. Dickey, Eos (Transactions of the American Geophysical Union), vol 66, p. 697-700, 8 Octubre 1985. El artículo se volvió a imprimir en la p. 54-59 de la History of Geophysics, Vol. 4, editada por C. Stewart Gillmor, publicada por la American Geophysical Union, 1990.

http://www.miportal.edu.sv/sitios/operacionred2008/OR08054866/GEOMETRIA EN EL MUNDO QUE NOS RODEA

La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies,etc. Se puede observar en construcciones, pinturas, esculturas...Junto a la geometría disfrutamos del arte creando un binomio que se percibe en el mundo.

¿CONSIDERA APROPIADO ENSEÑAR LA GEOMETRIA A TRAVÉS DEL ARTE?

Arte y Geometría

La armonía del mundo se expresa para el arte en la complejidad del entrelazado geométrico, porque en la unidad se muestra la multiplicidad y la multiplicidad se encuentra en la unidad.

GAUDI Y LA GEOMETRIA

Tras el último comentario que he recibido en el anterior post, hoy voy a hablar de Gaudí y su relación con la geometría.

Antonio Gaudi fue un artista que se centro en la arquitectura modernista y cuya obra podemos disfrutar por muchos de los rincones españoles.

Gaudí se basó, como muchos otros genios, en la geometría. En sus obras podemos disfrutar de figuras y formas geométricas que tomó de su observación de la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Como podemos leer en Gaudí tomó la geometría como herramienta indispensable a la hora de crear.

Podemos por tanto mostrar a nuestros futuros alumnos toda esa geometría que nos rodea, en Ledufsbbsndbón por ejemplo, la casa de botines, es un lugar privilegiado en el que adentrarnos de lleno en toda esa arquitectura geométrica.

Otra de sus obras la podemos admirar en Astorga, se trata del palacio episcopal.

Estos son solo algunos ejemplos de su extensa obra, lo que quería recalcar es la importacia de la geometria para él. Gaudí observó la ordenación geométrica natural y la llevó a su obra, así una concha de caracol se convertía para él en una escalera, las extremidades de los animales son observadas por el arquitecto y evocadas en sus arcos, en sus columnas, en sus fachadas.