Teorema de PitágorasTERESA OCAMPOASTRID YANNET TABARES URIBEJHON JAIRO GIRALDO ZAPATA

JUSTIFICACIÓN

Como una estrategia para mejorar la calidad de la educación matemática y

modernizar los ambientes escolares, el Ministerio de Educación Nacional de

Colombia adelanta un proyecto, con el cual se pretende aprovechar el potencial

educativo que brindan las tecnologías (Computadores, calculadoras gráficas y

algebraicas, tableros digitales entre otros), en la enseñanza de las ciencias exactas

y naturales.

Las TICS en las matemáticas son una forma de incentivar a los estudiantes para

que estudien de una manera diferente, en la cual ellos sientan que están

aprendiendo, pero no de forma tradicional (tiza, tablero y lengua), sino de la mano

con la tecnología, donde ellos busquen la manera de aprender de manera diferente

creando su propio ambiente de aprendizaje, en el cual interactúan a su ritmo.

Con la implementación de las TICS es fácil motivarlos a investigar, consultar,

estudiar e inventar nuevas alternativas de trabajo, convirtiendo esto en un método

de estudio, ya que pueden utilizar la tecnología en toda su extensión tanto dentro

como fuera de la Institución Educativa.

EL teorema de Pitágoras se convierte en nuestra herramienta de trabajo de la

mano con los programas de Geogebra y cmaptools, los cuales se encuentran en la

red brindándole la oportunidad a los estudiantes de descargarlos en sus

ordenadores sin que para usarlos sea necesaria la conexión a la red (INTERNET)

Esperamos que nuestra propuesta pueda cambiar en algo el pensamiento

antipático de los estudiantes a las matemáticas.

El Colegio Manuel Canuto Restrepo se inicia a mediados del siglo XVIII, en 1852 fue fundado por el Doctor José de la Cruz Restrepo obispo de pasto, nacido en Abejorral, un colegio para la educación de la juventud, en 1854 se cierra debido a las guerras civiles y en 1885 Don Antonio María Duque quien fundo un colegio privado de corta duración.

En 1904 es cuando empieza realmente la historia del plantel, el maestro Don Luis Ramírez hizo posible el surgimiento de un establecimiento oficial, en Liceo San Luis, uno de los primeros en Antioquia, lo dirigió hasta 1912, cuando fue nombrado director de la Escuela Superior y no habiendo quien continuara su labor se cero de nuevo.

En 1920 se reabre y de ahí en adelante hubo en Abejorral una lucha constante por fundar un nuevo colegio encabezada por el canónigo Juan de dios Gómez, párroco e impulsor del progreso en esta ciudad. Gracias a sus gestiones y la colaboración de Don Elías Gutiérrez, Alberto Gutiérrez y Luis Jiménez continúo la labor educativa, de ese tiempo hasta la fecha.

En 1925 el presbítero Juan de Dios Gómez, el Señor Luis F. Hencher, Don José Manuel Uribe E, Don Antonio Jaramillo, Señor Jorge Jiménez C, forman parte de la Junta Directiva y en diferentes años los señores: Antonio Jaramillo E, José Manuel Uribe E, Eduardo Cárdenas, Eduardo Gutiérrez, Jorge Londoño A , Antonio Villegas, Jorge Jaramillo B, Juan de J Peláez, Hernando Londoño,, Bernardo Jaramillo C, Carlos Jailler.

“En el año 1925 y con ocasión del centenario del Excelentísimo Señor Manuel Canuto Restrepo, el Congreso de la República dictó una ley por la cual se auxiliaba a Abejorral para la construcción de un colegio oficial que perpetuara la memoria del obispo de Pasto, nacido en Abejorral”.                                         

“Formamos con Dimensión Humana”, El PEI es concebido como un proceso de construcción colectiva, que recoge intereses, necesidades y expectativas en torno al tipo de hombre y mujer que se desea formar en un contexto determinado, con miras a la consecución de logros y resultados educativos que requieren de una identificación consensuada, articulada siempre a las políticas educativas nacionales, departamentales y municipales.

Es un proceso en tanto requiere decisiones que no se dan en forma aislada. No son pasos lineales o suma de pasos rígidos para llegar a un producto. Se toma en consideración que la institución tiene su propia dinámica de acuerdo a la realidad y al entorno. Hablar de un proceso es reconocer que hay un margen de incertidumbre y de modificaciones en la cotidianeidad de la vida institucional. Los actores son personas que desempeñan determinados roles.

En la Institución Educativa  Manuel Canuto Restrepo queremos prestar un servicio de calidad, donde se vivan los valores  y donde la formación integral sea la meta y el objetivo primordial de cada miembro de la comunidad, basados en principios humanos,  cristianos, donde el saber sea el camino para llegar al

ser y donde se aprenda desde la experiencia y la aplicación de los avances científicos y tecnológicos.

Pretendemos formar al individuo con libertad y autonomía, con capacidad crítica y analítica que genere expectativas para un buen desarrollo en el campo personal, familiar y social.

La Filosofía y Fundamentos de la Institución Educativa Manuel Canuto Restrepo, se sustenta en los preceptos de la Constitución Política de 1991 y se rige por los fines de la educación Colombiana señalados en el artículo 5 de la Ley 115 de 1994 Ley 715 de 2001 y los Decretos reglamentarios de 1860 de 1994 y 114 de 1196 a su vez  se articula el plan Decenal y la Resolución Departamental 129 de 1996 que reglamenta la educación no formal, y el Decreto 3011 de 1997,  y el Decreto 1290 de Abril 16 de 2009  por el cual se dictan normas en materia de currículo, evaluación y promoción de los educandos y evaluación institucional.

Esta institución asume las características, intereses y necesidades del niño, del joven y del adulto en los niveles de educación pre-escolar, básica y  media académica y técnica,  formación para el trabajo,  gestión comercial y agroambiental, organización comunitaria, las cuales brindan la oportunidad de educarse y formarse para el empleo, que los conlleve a una acción permanente de formación en valores y conducta.

La Filosofía de la Institución Educativa Manuel Canuto Restrepo se define con base en la concepción de la persona, como ser en continua transformación; un ser proyectado a la realización plenamente humana y profesional, con dimensiones que interactúan de manera continua en los diferentes procesos educativos y formativos.

“Esta filosofía, está fundamentada en la Constitución Política de Colombia de 1991, la Ley General de Educación 115 y el Decreto 1860 de 1994 y la Ley 715 de 2001, el Plan Decenal de Educación, el Plan Departamental de Educación La Ley 375 de 1997 (LEY DE LA JUVENTUD) y el Plan de Desarrollo Municipal”  

La Institución busca cada día alternativas para ofrecer una educación  integral, que asuma las dimensiones, humanas, intelectuales y psicosociales de sus educandos, cultivando y fortaleciendo la pedagogía de la tolerancia y los valores, promoviendo el respeto a los derechos humanos, enmarcados en una realidad socio-económica, política y religiosa sin olvidar que la formación integral es el objetivo principal de toda educación.

La Institución Educativa Manuel Canuto Restrepo  es una Institución de carácter oficial, formal  y mixta en articulación con el SENA  que busca desde su misión formadora fomentar la educación en niños, jóvenes y adultos, destacándose como una entidad integral, que brinda alternativas pertinentes para el desarrollo de competencias ciudadanas, científicas y laborales; además

el fortalecimiento de valores como la “La Ciencia, Trabajo y Virtud“ entre otros, así como la preservación del medio ambiente y sus recursos, aprovechando los avances de la Tecnología Agroambiental y Gestión Comercial.

En el 2014, La Institución Educativa Manuel Canuto Restrepo, del municipio de Abejorral, Tendrá unas políticas claras y pertinentes que fortalezcan y dinamicen  el Proceso educativo y que le apuestan a una Media Técnica con visión de futuro en el ámbito laboral,  para contribuir al desarrollo municipal y al sur Oriente Antioqueño, creando oportunidades de progreso productivo y colectivo para formar ciudadanos con calidad humana que sean capaces de enfrentarse al mundo laboral y social.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Por la novedad que las TICS nos presentan, podemos decir que por intermedio de

la implementación de estas, en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas en los estudiantes de la institución educativa Manuel Canuto

Restrepo es posible incrementar el interés al estudio de las matemáticas.

¿Cómo implementar las TICS en el área de matemática basada en el Teorema

de Pitágoras en los estudiantes de la Institución Educativa Manuel Canuto

Restrepo?

OBJETIVOS:

Objetivo General:

Implementar el uso de las herramientas tecnológicas (Geogebra y cmaptools)

frente de las matemáticas enmarcadas en el Teorema de Pitágoras.

Objetivos Específicos:

Utilizar Geogebra y cmaptools como herramienta de trabajo dentro de

las matemáticas.

Formar en los estudiantes conciencia de la importancia de la

tecnología en su proceso de aprendizaje

Mostrar como las matemáticas van ligadas a la tecnología

MARCO TEÓRICO

Las deducciones que a lo largo de la historia se han realizado en torno al Teorema de Pitágoras pueden ayudar en el proceso de enseñanza-aprendizaje que

realmente necesitan nuestros estudiantes, con el fin de que comprendan los conceptos a través de la reconstrucción de un método, de tal manera que no mecanicen reglas sino mas bien se logre aumentar y relacionar los conceptos adquiridos previamente para lograr así una mejor comprensión.

Usaremos el enfoque histórico como una propuesta metodológica que actué como motivación para el alumno, ya que por medio de ella el estudiante descubrirá como generar los conceptos a través de métodos que aprenderá en clase. Discutiremos los conceptos y propiedades fundamentales de magnitudes, tales como la longitud y el área de figuras geométricas dadas, repasaremos los conceptos del producto notable del cuadrado de la suma de dos cantidades desde el punto de vista geométrico lo cual nos ayudara a inducir la demostración del Teorema de Pitágoras a través de triángulos rectángulos notables e isósceles rectángulos, tomando en consideración el área de los cuadrados que se encuentra en los lados de dichos triángulos. Esto nos ayudara a recalcar la generalización del Teorema de Pitágoras a través de figuras regulares. Las deducciones se harán pasando de la rama de la matemática llamada Algebra, conjugándola o dándole soporte con otra que muestra la forma estructural, como lo es la Geometría.

“El desarrollo de los procesos cognitivos en el campo de la Didáctica de la Matemática es capaz de ayudar a nuestros estudiantes en la resolución de problemas de geometría, los cuales se deben realizar coordinando la caracterización propuesta por Duval (1998) y desarrollados por Torregrosa, G. y Quesada, H (2007) en la ultima referencia, en donde el proceso cognitivo de visualización está íntimamente relacionado con la forma geométrica de la figura, es decir, su configuración y el razonamiento se basa en aplicar las afirmaciones matemáticas que les corresponda algebraicamente. La coordinación de estos procesos cognitivos les permitirá construir una teoría para deducir el Teorema de Pitágoras desde una representación geométrica, tomando en consideración los cuadrados que se coloquen sobre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera, tomando en consideración la idea de área, esto es, si A y Bson las áreas de los cuadrados construidos sobre las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo y Ces el área del cuadrado construido sobre la longitud de la hipotenusa, entonces se debe cumplir que A+B=C”1

“En la historia de la matemática, se le atribuye a Bhaskara una demostración del Teorema de Pitágoras en el siglo XII en donde asocio la formula a2+b2=c2con el

1 BARRETO G. Julio Cesar. Deducciones del Teorema de Pitágoras a lo largo de la historia como recurso didáctico en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. Universidad Nacional Abierta. Centro Local Yaracuy. Área de Matemática

área de los cuadrados que estaban sobre los lados de un triángulo rectángulo ( a y bsobre las longitudes de los catetos y sobre la longitud de la hipotenusa) y operando con los cuadrados que estaban sobre las longitudes de los catetos logro formar el cuadrado que esta sobre la longitud de la hipotenusa.

Ahora, durante mucho tiempo, tomando en consideración la idea de área se ha pensado en la posibilidad de construir figuras geométricas sobre los lados del triángulo rectángulo que cumplan esta relación y operando con los triángulos equiláteros, polígonos regulares y semicírculos nos damos cuenta que efectivamente se cumple.

Nos daremos cuenta que de una manera muy aproximada podemos extender el Teorema de Pitágoras al caso en el cual sean semicírculos los que estén sobre los lados del triangulo rectángulo, tal como lo señala Jiménez, 2004, pp 103-117, cuando dice: Manteniendo la línea de pensamiento griego orientada hacia la comparación de figuras, Arquímedes demuestra que cualquier círculo “es igual” (es decir tiene la misma área) que un triángulo rectángulo uno de cuyos catetos es igual al radio y el otro igual a la circunferencia del círculo. En tal sentido, cuando tengamos los semicírculos sobre los lados del triángulo rectángulo podemos aplicarle lo anterior a cada uno, y luego que obtengamos los triángulos rectángulos respectivos usamos la cuadratura del triángulo a cada uno para transformarlos en cuadrados y volvemos a usar la parte primera para ver que se cumple la relación Pitagórica para los semicírculos.

Por su parte, existen otras figuras geométricas curvilíneas como lo son las lúnulas, las cuales cumplen la relación del Teorema de Pitágoras cuando están sobre los lados de un triángulo rectángulo, en ese sentido lo que podemos obtener para cada lúnula son triángulos isósceles que sean de área “igual” al de las lúnula y aplicarle la cuadratura respectiva a cada una de ellas hasta obtener la relación deseada a través de los cuadrados que se forman, los cuales cumple con todo lo mencionado al principio”2.

De esta manera las típicas clases en las cuales se expresa el teorema de Pitágoras como:

“En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos)”.

2 BARRETO G. Julio Cesar. Otras deducciones o extensiones del teorema de Pitágoras a lo largo de la historia, como recurso didáctico

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):

a2 + b2 = c2

Se convertirían en un espacio donde abordemos el teorema de Pitágoras desde una postura geométrica (comparación de áreas) partiendo de:

“El área de un cuadrado situado en la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados situados sobre los lados que contienen el ángulo

recto".

Entonces, C=A+B

Figura 1

Veamos las siguientes formas de triángulos rectangulos. A la izquierda tenemos un triángulo rectángulo escaleno que cumpleuna de las ternas pitágoricas 3,4,5, y al la derecha tenemos un triángulo rectángulo e isósceles con a=b.

Figura 2

Para el triangulo rectángulo de magnitudes 3, 4 y 5 le vamos a dibujar sobre cada lado unos cuadrados de igual tamaño al lado que lo comprende, esto es, tres cuadrados de 3, 4 y 5 unidades de lado, veamos la figura 1. Luego, si dividimos

cada cuadrado en tantos cuadraditos como unidades tenga los cuadrados originales Figura 3., tendremos lo siguiente:

Y nos podemos dar cuenta que la suma de los cuadraditos del cuadrado de lado a mas los cuadraditos del cuadrado de lado bnos dan la cantidad de cuadraditos que esta en el cuadrado de lado c . De donde podemos concluir que se cumple la igualdad:

c2=a2+b2.

Figura 2.

Ya lo probamos que c2=a2+b2, a manera ilustrativa y fácil de llevar al aula. Pero nuestro interés es el trabajo con las áreas. Veamos ahora si el área del cuadrado a más el área del cuadrado b es igual al área del cuadrado c.

Sabemos que el área de un cuadrado esta dada por:

A=L∗L=L2

Para el cuadrado a de lado 4, tenemos:

Aa=4∗4=16

Para el cuadrado b de lado 3, tenemos:

Ab=3∗3=9

Para el cuadrado c de lado 5, tenemos:

Ac=5∗5=25

Veamos si: Ac=Aa+Ab → Ac=16+9=25

Efectivamente el área del cuadrado a más el área del cuadrado b, nos queda el área del cuadrado c

Partamos ahora del triángulo rectángulo isósceles mostrado en la figura 2. parte derecha.

Para pasar luego al principal objetivo que se busca con el desarrollo de la propuesta didáctica basad en el teorema de Pitágoras, y es, formular dicho teorema de la siguiente manera:

“El área de una figura situada en la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de situados sobre los lados que contienen el ángulo recto".

El teorema de Pitágoras.

PARTE I. VERIFICA EL TEOREMA DE PITÁGORAS

1. Dibuja un triángulo rectángulo y un cuadrado cuyo lado sea la sume de los dos catetos.

2. Recorta ocho triángulos rectángulos iguales al dibujado y dos cuadrados también iguales al dibujado.

3. Pega sobre uno de los cuadrados cuatro de los ocho triángulos rectángulos que tienes recortados, exactamente en la posición en que se ven en la figura 2. Colorea la parte de los cuadrados no cubierta por los triángulos. Determina el área de estos:________________________________________.

4. Pega sobre el cuadrado restante los otros cuatro triángulos rectángulos que tienes recortados, en la posición que te muestra la figura 3.

D

A

ca

b

aC

c

B b

a c

ba

Fig. 1. Fig. 2. Fig3.

5. El cuadrilátero ABCD que queda en el interior del cuadrado es otro cuadrado, ¿cómo lo justificas? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Colorea la parte del cuadrado grande que no ha sido cubierta por los cuatro triángulos. Determina el área del cuadrado. -_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. ¿cómo son las superficies coloreadas en uno y otro cuadrado?

__________________________________________________________________________________

8. Escribe el área del cuadrado de lado a en términos del área de los otros dos cuadrados. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. ¿Qué puedes concluir de esta actividad?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

PARTE II. Aplica el teorema de Pitágoras

10. Determina las longitudes de las diagonales de los siguientes cuadrados, y registra estos y otros datos en la tabla 1. Y escribe tus conclusiones.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Tabla 1.

11. ¿Cuántos Triángulos hay? _________________

Nómbralos y clasifícalos Correctamente. _________________________

Formemos comparaciones por cociente entre los lados de los triángulos, tales que cumplan.

AEEH

=

ABBC

=

¿Cómo son estas comparaciones? _______________________

C

G

H

I

Lado (L)

Diagonal (D)

D-L D/L Área

12345

12. Determine el valor del lado y el área de l siguiente polígono.

ACTIVIDAD CON CMAPTOOLS

Por medio del programa Cmaptools se pretende vincular el lenguaje, los conceptos matemáticos y la tecnología.

AB

D E F

b

ACTIVIDAD CON GEOGEBRA

Construir un triángulo rectángulo.

Para comprobar el teorema de Pitagoras construimos un cuadrado sobre el segmento AC .

Elegimos la opción polígono regular, para nuestro caso de cuatro lados, OK como lo muestra la imagen.

Luego se realiza el mismo paso para obtener el cuadrado de cada uno de los catetos.

Finalmente se comprueba el Teorema enunciado de la siguiente forma:

“El área de un cuadrado situado en la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados situados sobre los lados que contienen el ángulo

recto".

Para esto se elige la opción:

Luego se puede formar un debate con el fin de conocer las características del triángulo rectángulo que cada uno construyo, enfocado en conceptos como:

CLASE DE TRIÁNGULO

ÁREA DEL TRIANGULO

PERIMETRO

ÁNGULO