El teorema de Stokes
Transcript of El teorema de Stokes
stokes regiones de green teorema de stokes interpretación
El teorema de Stokes
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
14 de mayo de 2012
stokes regiones de green teorema de stokes interpretación
stokes
gossip
gossipfue presidente de la Royal Society de Inglaterra
fue nombrado Baronet en 1889se graduó con honores en Cambridgefue distinguido con premios y doctorados honoríficos enmuchas universidades
stokes regiones de green teorema de stokes interpretación
stokes
gossip
gossipfue presidente de la Royal Society de Inglaterrafue nombrado Baronet en 1889
se graduó con honores en Cambridgefue distinguido con premios y doctorados honoríficos enmuchas universidades
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gossipfue presidente de la Royal Society de Inglaterrafue nombrado Baronet en 1889se graduó con honores en Cambridge
fue distinguido con premios y doctorados honoríficos enmuchas universidades
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gossipfue presidente de la Royal Society de Inglaterrafue nombrado Baronet en 1889se graduó con honores en Cambridgefue distinguido con premios y doctorados honoríficos enmuchas universidades
stokes regiones de green teorema de stokes interpretación
regiones elementales
regiones elementales
región y elementalD es una región y -elemental si
Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuasΦ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)
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regiones elementales
regiones elementales
región y elementalD es una región y -elemental si
Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuasΦ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)
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regiones elementales
regiones elementales
región y elementalD es una región y -elemental si
Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuas
Φ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)
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regiones elementales
regiones elementales
región y elementalD es una región y -elemental si
Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuasΦ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)
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regiones elementales
regiones elementales
región x-elementalD es una región x-elemental si
Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuasΨ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)
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regiones elementales
regiones elementales
región x-elementalD es una región x-elemental si
Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuasΨ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)
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regiones elementales
regiones elementales
región x-elementalD es una región x-elemental si
Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuas
Ψ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)
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regiones elementales
regiones elementales
región x-elementalD es una región x-elemental si
Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuasΨ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)
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regiones elementales
regiones elementales
región elementalD es región elemental si
1 D es región x-elemental y2 D es región y -elemental
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regiones elementales
regiones elementales
región elementalD es región elemental si
1 D es región x-elemental y
2 D es región y -elemental
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regiones elementales
regiones elementales
región elementalD es región elemental si
1 D es región x-elemental y2 D es región y -elemental
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orientación de las curvas borde
curvas borde
observaciónla curva borde de una región elemental es una curvasimple
(sin autointersecciones)
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orientación de las curvas borde
curvas borde
observaciónla curva borde de una región elemental es una curvasimple(sin autointersecciones)
stokes regiones de green teorema de stokes interpretación
orientación de las curvas borde
orientación de la curva orde
orientación de la curva bordeorientación antihoraria o positiva
stokes regiones de green teorema de stokes interpretación
orientación de las curvas borde
orientación de la curva orde
orientación de la curva bordeorientación antihoraria o positiva
stokes regiones de green teorema de stokes interpretación
orientación de las curvas borde
orientación de la curva orde
orientación de la curva bordeorientación horaria o negativa
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orientación de las curvas borde
orientación de la curva orde
orientación de la curva bordeorientación horaria o negativa
stokes regiones de green teorema de stokes interpretación
orientación de las curvas borde
región de green
región de greenD es una región de Green
si es unión finita de regiones elementales Dn,y ∂D está orientado de forma quecada ∂Dn está orientado en sentido anti-horario
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orientación de las curvas borde
región de green
región de greenD es una región de Greensi es unión finita de regiones elementales Dn,
y ∂D está orientado de forma quecada ∂Dn está orientado en sentido anti-horario
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orientación de las curvas borde
región de green
región de greenD es una región de Greensi es unión finita de regiones elementales Dn,y ∂D está orientado de forma que
cada ∂Dn está orientado en sentido anti-horario
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orientación de las curvas borde
región de green
región de greenD es una región de Greensi es unión finita de regiones elementales Dn,y ∂D está orientado de forma quecada ∂Dn está orientado en sentido anti-horario
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orientación de las curvas borde
región de green
región de green
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orientación de las curvas borde
región de green
región de green
si caminamos a lo largo de ∂D, D queda a la izquierda
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orientación de las curvas borde
región de green
región de green
si caminamos a lo largo de ∂D, D queda a la izquierda
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teorema de stokes
teorema de stokes
teorema de stokesD región de Green
Φ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂DX : S → R3 campo vectorial C1
⇒ ∫∫S
rot X .d~S =
∫∂S
Xdα
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teorema de stokes
teorema de stokes
teorema de stokesD región de GreenΦ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂D
X : S → R3 campo vectorial C1
⇒ ∫∫S
rot X .d~S =
∫∂S
Xdα
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teorema de stokes
teorema de stokesD región de GreenΦ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂DX : S → R3 campo vectorial C1
⇒ ∫∫S
rot X .d~S =
∫∂S
Xdα
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teorema de stokes
teorema de stokes
teorema de stokesD región de GreenΦ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂DX : S → R3 campo vectorial C1
⇒ ∫∫S
rot X .d~S =
∫∂S
Xdα
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teorema de stokes
observación
orientación de ∂S
// cuando se camina a lo largo de ∂S,S queda a la izquierda
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teorema de stokes
observación
superficies sin bordesi S superficie cerrada (sin borde)
entonces ∫∫S
rot Xd~S = 0
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observación
superficies sin bordesi S superficie cerrada (sin borde)entonces ∫∫
Srot Xd~S = 0
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teorema de stokes
demostración
demostraciónharemos la demostración sólo para superficies
z = f (x , y) con f ∈ C2
X = (P,Q,R)
rot X = (Ry −Qz ,Pz − Rx ,Qx − Py )
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demostración
demostraciónharemos la demostración sólo para superficiesz = f (x , y) con f ∈ C2
X = (P,Q,R)
rot X = (Ry −Qz ,Pz − Rx ,Qx − Py )
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demostración
demostraciónharemos la demostración sólo para superficiesz = f (x , y) con f ∈ C2
X = (P,Q,R)
rot X = (Ry −Qz ,Pz − Rx ,Qx − Py )
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demostración
demostraciónharemos la demostración sólo para superficiesz = f (x , y) con f ∈ C2
X = (P,Q,R)
rot X = (Ry −Qz ,Pz − Rx ,Qx − Py )
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teorema de stokes
demostración
demostraciónrecordemos que Φ(x , y) = (x , y , z(x , y))
⇒ n = (−zx ,−zy ,1)∫∫S
rot Xd~S =
∫∫D
rot X .n dS
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demostración
demostraciónrecordemos que Φ(x , y) = (x , y , z(x , y))
⇒ n = (−zx ,−zy ,1)
∫∫S
rot Xd~S =
∫∫D
rot X .n dS
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demostración
demostraciónrecordemos que Φ(x , y) = (x , y , z(x , y))
⇒ n = (−zx ,−zy ,1)∫∫S
rot Xd~S =
∫∫D
rot X .n dS
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demostración
demostraciónentonces∫∫
Srot X d~S =
∫∫D−(Ry−Qz)zx−(Pz−Rx )zy +(Qx−Py )dxdy
por otro lado ∫∂S
Xdα =
∫ b
aPx + Qy + Rz dt
por regla de la cadena
z = zx x + zy y
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demostración
demostraciónentonces∫∫
Srot X d~S =
∫∫D−(Ry−Qz)zx−(Pz−Rx )zy +(Qx−Py )dxdy
por otro lado
∫∂S
Xdα =
∫ b
aPx + Qy + Rz dt
por regla de la cadena
z = zx x + zy y
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demostración
demostraciónentonces∫∫
Srot X d~S =
∫∫D−(Ry−Qz)zx−(Pz−Rx )zy +(Qx−Py )dxdy
por otro lado ∫∂S
Xdα =
∫ b
aPx + Qy + Rz dt
por regla de la cadena
z = zx x + zy y
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demostración
demostraciónentonces∫∫
Srot X d~S =
∫∫D−(Ry−Qz)zx−(Pz−Rx )zy +(Qx−Py )dxdy
por otro lado ∫∂S
Xdα =
∫ b
aPx + Qy + Rz dt
por regla de la cadena
z = zx x + zy y
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demostración
demostraciónreemplazando:∫∂S Xdα =
∫ ba (P + Rzx )x + (Q + Rzy )y dt
=∫∂D(P + Rzx )dx + (Q + Rzy )dy
aplicando teorema de Green
=∫∫
D∂(Q+Rzy )
∂x − ∂(P+Rzx )∂y dxdy
=∫∫
D (Qx + Rx zy + Rzyx )− (Py + Ry zx + Rzxy ) dxdy
=∫∫
S rot X .d ~X
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demostración
demostraciónreemplazando:∫∂S Xdα =
∫ ba (P + Rzx )x + (Q + Rzy )y dt
=∫∂D(P + Rzx )dx + (Q + Rzy )dy
aplicando teorema de Green
=∫∫
D∂(Q+Rzy )
∂x − ∂(P+Rzx )∂y dxdy
=∫∫
D (Qx + Rx zy + Rzyx )− (Py + Ry zx + Rzxy ) dxdy
=∫∫
S rot X .d ~X
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demostración
demostraciónreemplazando:∫∂S Xdα =
∫ ba (P + Rzx )x + (Q + Rzy )y dt
=∫∂D(P + Rzx )dx + (Q + Rzy )dy
aplicando teorema de Green
=∫∫
D∂(Q+Rzy )
∂x − ∂(P+Rzx )∂y dxdy
=∫∫
D (Qx + Rx zy + Rzyx )− (Py + Ry zx + Rzxy ) dxdy
=∫∫
S rot X .d ~X
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demostración
demostraciónreemplazando:∫∂S Xdα =
∫ ba (P + Rzx )x + (Q + Rzy )y dt
=∫∂D(P + Rzx )dx + (Q + Rzy )dy
aplicando teorema de Green
=∫∫
D∂(Q+Rzy )
∂x − ∂(P+Rzx )∂y dxdy
=∫∫
D (Qx + Rx zy + Rzyx )− (Py + Ry zx + Rzxy ) dxdy
=∫∫
S rot X .d ~X
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demostración
demostraciónreemplazando:∫∂S Xdα =
∫ ba (P + Rzx )x + (Q + Rzy )y dt
=∫∂D(P + Rzx )dx + (Q + Rzy )dy
aplicando teorema de Green
=∫∫
D∂(Q+Rzy )
∂x − ∂(P+Rzx )∂y dxdy
=∫∫
D (Qx + Rx zy + Rzyx )− (Py + Ry zx + Rzxy ) dxdy
=∫∫
S rot X .d ~X
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demostración
demostraciónreemplazando:∫∂S Xdα =
∫ ba (P + Rzx )x + (Q + Rzy )y dt
=∫∂D(P + Rzx )dx + (Q + Rzy )dy
aplicando teorema de Green
=∫∫
D∂(Q+Rzy )
∂x − ∂(P+Rzx )∂y dxdy
=∫∫
D (Qx + Rx zy + Rzyx )− (Py + Ry zx + Rzxy ) dxdy
=∫∫
S rot X .d ~X
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ejemplo 1
ejemplo 1X = (yez , xez , xyez)
demostrar que la integral a lo largo de cualquier curvasimple cerrada que bordea una superficie S vale 0∫α Xdα =
∫∫S rot X d~S x Stokes
rot X =
∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zyez xez xyez
∣∣∣∣∣∣
= ~0
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ejemplo 1
ejemplo 1X = (yez , xez , xyez)
demostrar que la integral a lo largo de cualquier curvasimple cerrada que bordea una superficie S vale 0
∫α Xdα =
∫∫S rot X d~S x Stokes
rot X =
∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zyez xez xyez
∣∣∣∣∣∣
= ~0
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ejemplo 1
ejemplo 1X = (yez , xez , xyez)
demostrar que la integral a lo largo de cualquier curvasimple cerrada que bordea una superficie S vale 0∫α Xdα =
∫∫S rot X d~S x Stokes
rot X =
∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zyez xez xyez
∣∣∣∣∣∣
= ~0
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ejemplo 1
ejemplo 1X = (yez , xez , xyez)
demostrar que la integral a lo largo de cualquier curvasimple cerrada que bordea una superficie S vale 0∫α Xdα =
∫∫S rot X d~S x Stokes
rot X =
∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zyez xez xyez
∣∣∣∣∣∣
= ~0
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ejemplo 1
ejemplo 1X = (yez , xez , xyez)
demostrar que la integral a lo largo de cualquier curvasimple cerrada que bordea una superficie S vale 0∫α Xdα =
∫∫S rot X d~S x Stokes
rot X =
∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zyez xez xyez
∣∣∣∣∣∣ = ~0
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ejemplo 1
ejemplo 1X = (yez , xez , xyez)
demostrar que la integral a lo largo de cualquier curvasimple cerrada que bordea una superficie S vale 0∫α Xdα =
∫∫S rot X d~S x Stokes
rot X =
∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zyez xez xyez
∣∣∣∣∣∣ = ~0
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teorema de stokes
ejemplo 2
ejemplo 2
evaluar∫α−y3dx + x3dy − z3dz
donde α es la ∩ del cilindro x2 + y2 = 1 y el planox + y + z = 1la orientación corresponde al sentido antihorario en elplano xy
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ejemplo 2
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evaluar∫α−y3dx + x3dy − z3dz
donde α es la ∩ del cilindro x2 + y2 = 1 y el planox + y + z = 1
la orientación corresponde al sentido antihorario en elplano xy
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ejemplo 2
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evaluar∫α−y3dx + x3dy − z3dz
donde α es la ∩ del cilindro x2 + y2 = 1 y el planox + y + z = 1la orientación corresponde al sentido antihorario en elplano xy
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ejemplo 2
ejemplo 2
∫∫S rot Xd~S = 3
∫∫D(x
2 + y2)dxdy
= 3∫ 1
0
∫ 2π0 r2rdθdr
= 6π∫ 1
0 r3dr
= 3π2
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teorema de stokes
ejemplo 2
ejemplo 2
S dada por z = 1− x − y
sobre
D = {(x , y) : x2 + y2 ≤ 1}
∫∫S rot Xd~S = 3
∫∫D(x
2 + y2)dxdy
= 3∫ 1
0
∫ 2π0 r2rdθdr
= 6π∫ 1
0 r3dr
= 3π2
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ejemplo 2
ejemplo 2
S dada por z = 1− x − ysobre
D = {(x , y) : x2 + y2 ≤ 1}
∫∫S rot Xd~S = 3
∫∫D(x
2 + y2)dxdy
= 3∫ 1
0
∫ 2π0 r2rdθdr
= 6π∫ 1
0 r3dr
= 3π2
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ejemplo 2
ejemplo 2
S dada por z = 1− x − ysobre
D = {(x , y) : x2 + y2 ≤ 1}
∫∫S rot Xd~S = 3
∫∫D(x
2 + y2)dxdy
= 3∫ 1
0
∫ 2π0 r2rdθdr
= 6π∫ 1
0 r3dr
= 3π2
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ejemplo 2
ejemplo 2
∫∫S rot Xd~S = 3
∫∫D(x
2 + y2)dxdy
= 3∫ 1
0
∫ 2π0 r2rdθdr
= 6π∫ 1
0 r3dr
= 3π2
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ejemplo 2
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∫∫S rot Xd~S = 3
∫∫D(x
2 + y2)dxdy
= 3∫ 1
0
∫ 2π0 r2rdθdr
= 6π∫ 1
0 r3dr
= 3π2
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ejemplo 2
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∫∫S rot Xd~S = 3
∫∫D(x
2 + y2)dxdy
= 3∫ 1
0
∫ 2π0 r2rdθdr
= 6π∫ 1
0 r3dr
= 3π2
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ejemplo 2
ejemplo 2
∫∫S rot Xd~S = 3
∫∫D(x
2 + y2)dxdy
= 3∫ 1
0
∫ 2π0 r2rdθdr
= 6π∫ 1
0 r3dr = 3π2
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ejemplo 3
ejemplo 3X = (y ,−x ,exz)
S la superficie de la figuracalcular
∫∫S rot X .d~S
∫∫S rot Xd~S =
∫∂S Xdα x Stokes
∫α Xdα =
∫α ydx − xdy
= −∫ 2π
0 (sin2 t + cos2 t)dt= −2π
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ejemplo 3
ejemplo 3X = (y ,−x ,exz)
S la superficie de la figura
calcular∫∫
S rot X .d~S
∫∫S rot Xd~S =
∫∂S Xdα x Stokes
∫α Xdα =
∫α ydx − xdy
= −∫ 2π
0 (sin2 t + cos2 t)dt= −2π
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ejemplo 3
ejemplo 3X = (y ,−x ,exz)
S la superficie de la figuracalcular
∫∫S rot X .d~S
∫∫S rot Xd~S =
∫∂S Xdα x Stokes
∫α Xdα =
∫α ydx − xdy
= −∫ 2π
0 (sin2 t + cos2 t)dt= −2π
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ejemplo 3
ejemplo 3X = (y ,−x ,exz)
S la superficie de la figuracalcular
∫∫S rot X .d~S
∫∫S rot Xd~S =
∫∂S Xdα x Stokes
∫α Xdα =
∫α ydx − xdy
= −∫ 2π
0 (sin2 t + cos2 t)dt= −2π
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ejemplo 3
ejemplo 3X = (y ,−x ,exz)
S la superficie de la figuracalcular
∫∫S rot X .d~S
∫∫S rot Xd~S =
∫∂S Xdα x Stokes
∫α Xdα =
∫α ydx − xdy
= −∫ 2π
0 (sin2 t + cos2 t)dt= −2π
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ejemplo 3X = (y ,−x ,exz)
S la superficie de la figuracalcular
∫∫S rot X .d~S
∫∫S rot Xd~S =
∫∂S Xdα x Stokes
∫α Xdα =
∫α ydx − xdy
= −∫ 2π
0 (sin2 t + cos2 t)dt
= −2π
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ejemplo 3
ejemplo 3X = (y ,−x ,exz)
S la superficie de la figuracalcular
∫∫S rot X .d~S
∫∫S rot Xd~S =
∫∂S Xdα x Stokes
∫α Xdα =
∫α ydx − xdy
= −∫ 2π
0 (sin2 t + cos2 t)dt= −2π
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interpretación
interpretación física
interpretación físicaX campo de velocidades de un fluido
n vector unitarioSρ disco de centro P y radio ρ perpendicular a n
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interpretación física
interpretación físicaX campo de velocidades de un fluidon vector unitario
Sρ disco de centro P y radio ρ perpendicular a n
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interpretación física
interpretación físicaX campo de velocidades de un fluidon vector unitarioSρ disco de centro P y radio ρ perpendicular a n
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interpretación física
interpretación físicaX campo de velocidades de un fluidon vector unitarioSρ disco de centro P y radio ρ perpendicular a n
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interpretación
interpretación física
interpretación físicapor teorema valor medio:∫∫
Sρ
rot X .ndS = rot X (Q).n.A(Sρ) = rot X (Q).nπρ2
limρ→01πρ2
∫∂Sρ
Xdα = limρ→0∫∫
Sρrot Xd~S
= limρ→0 rot X (Q).n= rot X (P).n
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interpretación física
interpretación físicapor teorema valor medio:∫∫
Sρ
rot X .ndS = rot X (Q).n.A(Sρ) = rot X (Q).nπρ2
limρ→01πρ2
∫∂Sρ
Xdα = limρ→0∫∫
Sρrot Xd~S
= limρ→0 rot X (Q).n= rot X (P).n
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interpretación
interpretación física
interpretación físicapor teorema valor medio:∫∫
Sρ
rot X .ndS = rot X (Q).n.A(Sρ) = rot X (Q).nπρ2
limρ→01πρ2
∫∂Sρ
Xdα = limρ→0∫∫
Sρrot Xd~S
= limρ→0 rot X (Q).n
= rot X (P).n
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interpretación
interpretación física
interpretación físicapor teorema valor medio:∫∫
Sρ
rot X .ndS = rot X (Q).n.A(Sρ) = rot X (Q).nπρ2
limρ→01πρ2
∫∂Sρ
Xdα = limρ→0∫∫
Sρrot Xd~S
= limρ→0 rot X (Q).n= rot X (P).n
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interpretación
interpretación física
interpretación físicaX (P).n es la circulación por unidad de área en P en unasuperficie perpendicular a n
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interpretación
interpretación física
interpretación física
∫C
Xdα > 0
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interpretación
interpretación física
interpretación física
∫C
Xdα < 0
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interpretación
interpretación física
interpretación física
∫C
Xdα = 0
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interpretación
interpretación física
ejemplo 4
X campo de velocidadesde un fluido
la circulación alrededor deC es cero
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interpretación
interpretación física
ejemplo 4
X campo de velocidadesde un fluidola circulación alrededor deC es cero
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interpretación física
ejemplo 4
X campo de velocidadesde un fluido
la circulación alrededor deC es distinta de cero