1

Flujo de Stokes Teora de la Lubricacin

1. Ecuaciones de Movimiento Adimensionalizadas

Se eliminan las dimensiones en las ecuaciones de movimiento para comparar los rdenes de magnitud de los distintos trminos en ellas.

Ecuacin de continuidad para flujo incompresible:

0V = (1)

Ecuacin de Navier-Stokes en forma vectorial para flujo laminar, incompresible e isotrmico ( cte = ):

( ) 2V V V p g Vt

+ = + + (2)

Se utilizarn los siguientes parmetros de escalamiento caractersticos para eliminar las dimensiones en las ecuaciones (1) y (2): longitud caracterstica L , velocidad caracterstica V , frecuencia caracterstica f , diferencia de presin de referencia 20 / 2p p V = y la aceleracin gravitacional g .

Se definen variables y un operador adimensionales en base a los parmetros de escalamiento anteriores:

* * *

* * * g

0

x Vt ft x V

L Vp p gp L

p p g

= = =

= = =

(3)

Las cantidades con asterisco en (3) son adimensionales. De las definiciones de las variables adimensionales anteriores se debe tener en cuenta que el operador tiene dimensiones [1/L], y que la presin adimensional se obtiene a partir de una diferencia de presiones.

Se sustituyen a continuacin en (1) y (2), las cantidades dimensionales en funcin de las respectivas cantidades adimensionales definidas en (3):

( )* *1 0VVL = ( )( ) ( ) ( )

*

* * * * * * *2 *0 2*

1 1 1/

VVVV VV p p p gg VV

L L Lt f

+ = + +

En las ecuaciones anteriores, los parmetros de escalamiento son constantes, pudiendo ser extrados de los operadores:

2

* * 0V VL

= (4)

( )* 2 * * * * * * *2 *0* 2p pV V VVf V V p gg VL Lt L + = + + (5) En la ecuacin (4), despus de dividir ambos miembros por V/L, se obtiene la ecuacin de continuidad adimensional:

* * 0V = (6)

Si la ecuacin (5) se multiplica por 2/ ( )L V , se llega a:

( )* * * * * * * *2 *0* 2 2p pfL V gLV V p g VV VLt V V

+ = + + (7)

Cada trmino entre corchetes en la ecuacin anterior representa a un grupo adimensional:

nmero de Strouhal: tiempo caracterstico del flujo

St perodo de oscilacin

fLV

=

nmero de Euler: 2

diferencia de presionesEu

presin dinmicap

V

=

nmero de Froude: fuerza de inercia

Fr fuerza gravitacional

V

gL=

nmero de Reynolds: fuerza de inercia

Re fuerza viscosa

VL

=

Reemplazando los grupos adimensionales anteriores en (7) se obtiene finalmente la ecuacin de Navier-Stokes adimensional:

[ ] ( ) [ ]* * * * * * * *2 ** 21 1St Eu ReFrV V V p g Vt + = + + (8) Se debe tener en cuenta que el orden de magnitud de las variables adimensionales es la unidad (denotndose como

1 ) si se les eliminan las dimensiones mediante una longitud, velocidad, frecuencia, etc., que sean caractersticas para el flujo en estudio. De esta manera, * *( / ) 1V t , ( )* * * 1V V , * * 1p , * 1g y *2 * 1V . Por lo tanto, la importancia relativa de los trminos en la ecuacin de Navier-Stokes adimensional (7) slo depende de las magnitudes relativas de los parmetros adimensionales St, Eu, Fr, y Re.

3

Si el flujo es estacionario, se cumple que 0f = y el nmero de Strouhal se elimina de la lista de parmetros adimensionales ya que St 0= . De esta forma, el trmino correspondiente a la aceleracin local ( /V t ) en la ecuacin (2) se cancela. Si la frecuencia caracterstica es muy pequea de modo que St

4

2. Flujo a bajo nmero de Reynolds

La aproximacin para flujo a bajo nmero de Reynolds, tambin llamado flujo de Stokes o flujo reptante (creeping flow) requiere que Re

5

La aproximacin para flujo de Stokes en forma dimensional es:

2p V (14)

Tambin se ve que la densidad se ha eliminado como parmetro en la ecuacin de Stokes (14).

La densidad tiene un rol secundario en el flujo de Stokes, ya que slo es necesaria para calcular el nmero de Reynolds. Una vez calculado el mismo, y habiendo determinado que su valor es muy pequeo, no se la utiliza ms ya que no aparece en la ecuacin de Stokes. La densidad tambin aparece en el trmino de presin hidrosttica, pero este efecto es despreciable para flujo altamente viscoso ya que las distancias verticales en este tipo de problemas son medidas generalmente en milmetros o en micrones.

Debe notarse tambin, que para flujo estacionario, el trmino de inercia se anula si no hay aceleracin convectiva, hecho que ocurre, por ejemplo, para flujo totalmente desarrollado en ductos. En estos casos, la aproximacin de flujo de Stokes sigue siendo vlida sin ninguna restriccin en el nmero de Reynolds. Los dos tipos de flujos incompresibles ms comunes que cumplen estas hiptesis son:

Flujo estacionario de Couette: el mecanismo que genera el flujo es el movimiento relativo entre superficies.

Flujo de Poiseuille: flujo estacionario totalmente desarrollado en ductos, donde el mecanismo que genera el flujo es una diferencia de presiones.

Las ecuaciones (1) y (14) son ecuaciones diferenciales parciales lineales, y de esta forma se pueden conseguir soluciones analticas para muchos tipos de problemas. El nico trmino no lineal en las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo incompresible es el trmino convectivo. Las soluciones analticas obtenidas son lineales, por lo que se pueden sumar diferentes tipos de soluciones para obtener la solucin de nuevos flujos. Las presiones en flujos ideales no son aditivas ya que la ecuacin de Bernoulli es cuadrtica en V. Por el contrario, en flujos de Stokes, las presiones estn gobernadas por ecuaciones lineales, 0 /p p V L , y los esfuerzos viscosos tambin (ley de viscosidad de Newton), por lo que la superposicin de flujos es posible. Ya que las fuerzas son simplemente la integracin de los esfuerzos viscosos y de la presiones, la superposicin de fuerzas para flujos de Stokes siempre est permitida.

Los cuatro tipos de flujos bsicos modelados por las ecuaciones de Stokes son: a) Flujo totalmente desarrollado en ductos. b) Flujo alrededor de cuerpos sumergidos (a muy bajo Re) c) Flujo a travs de medios porosos. d) Flujo en ranuras de holgura variable: Teora de la Lubricacin

6

2.1. Flujo estacionario entre una placa fija y otra mvil (Flujo de Couette plano)

Se estudia el caso de flujo laminar, incompresible e isotrmico totalmente desarrollado (el perfil de velocidades no vara con el tiempo) de un fluido newtoniano en la ranura entre dos placas de rea infinita, de modo que el flujo es paralelo a las placas 0v = y plano, es decir para cualquier coordenada z se cumple que 0w = . La placa superior se mueve a velocidad constante V, mientras que la inferior permanece fija, Figura 2. El movimiento del fluido se origina debido a los esfuerzos viscosos (tensiones tangenciales) causadas por el movimiento relativo de las placas; no hay una diferencia o gradiente de presiones aplicado, o sea que / 0p x = . En la direccin vertical la presin vara segn la ley de presin hidrosttica.

Figura 2 - Geometra y perfil de velocidades para flujo de Couette plano.

La ecuacin de continuidad para flujo incompresible es:

0u v wVx y z

= + + =

Como 0v = y 0w = , de la ecuacin anterior se llega a:

0ux

=

(15)

Es decir que la velocidad es slo funcin de la coordenada transversal: ( )u u y= .

La ecuacin de Stokes se reduce a:

22

2 0d uVdy

= = (16)

Se integra dos veces la ecuacin diferencial ordinaria (16) obtenindose:

1 2u c y c= + (17)

Las condiciones de borde del problema son:

(0) 0 ; ( )u u h V= = (18)

7

Se aplican las condiciones de borde (18) para obtener las constantes c1 y c2 en la solucin general (17):

1 2 2

1 2 1

0 0 0

/

u c c c

u c h c V c V h

= + = =

= + = =

Finalmente, se reemplazan las constantes c1 y c2 en (17):

yu V

h=

(19)

El campo de velocidades (19) revela un perfil de velocidades lineal desde 0u = en la placa inferior hasta u V= en la placa superior, ver Figura 3.

Figura 3 Perfil de velocidades lineal para el flujo de Couette entre placas paralelas.

El tensor de tensiones o esfuerzos viscosos en cualquier elemento fluido es:

2 0 0

2 0 0

0 0 02

u u v u w Vx y x z x h

v u v v w Vx y y z y h

w u w v w

x z y z z

+ + = + + =

+ +

(20)

De donde se llega a la expresin del esfuerzo de corte:

xyV

cteh

= = (21)

8

En la Figura 4 se esquematizan los esfuerzos actuantes en un elemento fluido, mostrndose los esfuerzos viscosos positivos.

Figura 4 - Esfuerzos actuantes en un elemento fluido bajo flujo de Couette

El caudal en volumen est dado por:

= V AQ V dA (22)

Entonces, el caudal en volumen por unidad de longitud (l en la direccin z) es:

0( )hVQ u y dy

l= (23)

Reemplazando el perfil de velocidades dado por (19) en la ecuacin (23) e integrando se llega a:

2VQ hVl

= (24)

2.2. Flujo estacionario entre dos placas fijas (Flujo de Poiseuille plano)

Mientras que los flujos de Couette son generados por paredes mviles, los flujos de Poiseuille son creados por gradientes de presiones.

Considere flujo laminar, incompresible e isotrmico de un fluido newtoniano entre dos placas fijas de rea infinita, de modo que el flujo sea paralelo a las placas 0v = y que tambin sea plano, es decir para cualquier coordenada z se cumple que 0w = . Se supone que la altura h entre las placas es constante.

Para entrada

x L> , la velocidad se vuelve puramente axial y vara solamente con la coordenada transversal al movimiento: ( )u u y= . Se dice entonces que el flujo est totalmente desarrollado. En la Figura 5 se muestra un esquema del desarrollo del perfil de velocidades para el flujo de Poiseuille.

9

Figura 5 - Desarrollo del perfil de velocidades para flujo de Poiseuille plano.

La ecuacin de continuidad para flujo incompresible es:

0u v wVx y z

= + + =

Como 0v = y 0w = , de la ecuacin anterior se llega al mismo resultado que para flujo de Couette:

0ux

=

(15)

La velocidad es slo funcin de la coordenada transversal: ( )u u y= .

Para flujo estacionario y totalmente desarrollado, la ecuacin de Navier-Stokes se reduce a la ecuacin de Stokes:

2 p V (14)

Teniendo en cuenta que 0v = y 0w = , se pueden escribir las componentes escalares de la ecuacin (14):

2

2 0 0

= = =

p d u p px y zdy

(25)

De las ecuaciones (25) se ve que para flujo incompresible, estacionario y totalmente desarrollado la presin solamente vara en la direccin del movimiento x.

Como la primera de las ecuaciones (25) debe ser vlida para cualquier coordenada x y, se tiene que:

2

2= =dp d u

ctedx dy

(26)

10

Las condiciones de borde del problema son las condiciones de no deslizamiento en cada placa:

(0) 0 ; ( ) 0= =u u h (27) Se integra la ecuacin diferencial ordinaria (26):

2

12 = + d u dpdy dy c

dxdy (28)

Es decir que:

1 = +du dp y cdy dx

(29)

Integrando (29):

12

1

= + +

du dp cdy y dy dy cdy dx

(30)

O sea que:

2 12

12

= + +dp c

u y y cdx

(31)

Se aplican las condiciones de borde (27) para obtener las constantes c1 y c2 en la solucin general (31):

1 2 2

2 11

0 0 0 0

1 10 2 2

= + + = =

= + = =

u c c c

dp c dpu h h c h

dx dx

Finalmente, se reemplazan las constantes c1 y c2 en (31), obtenindose la expresin del campo de velocidades:

( ) 22212 2

= =

dp h dp y yu y hy

dx dx h h (32)

El perfil de velocidades (32) es parablico, con una velocidad mxima maxu en / 2=y h .

11

El tensor de tensiones o esfuerzos viscosos en un elemento fluido es:

2 0 02

2 0 02

0 0 02

+ +

= + + = + +

u u v u w dp hyx y x z x dx

v u v v w dp hyx y y z y dx

w u w v w

x z y z z

(33)

De donde se llega a la expresin del esfuerzo de corte:

2 =

xydp hydx

(34)

De (34) se observa que el esfuerzo de corte es mximo en las paredes (y=0; y=h) y es nulo en el eje medio (y=h/2).

El caudal en volumen est dado por (22):

= V AQ V dA

Entonces, el caudal en volumen por unidad de longitud (l en la direccin z) es, segn (23):

0( )hVQ u y dy

l=

Reemplazando el perfil de velocidades dado por (32) en la ecuacin (23) e integrando se llega a:

3112

=

VQ p hl x

(35)

Como / p x es constante, la presin vara linealmente con x: 2 1

= =

p p p px L L

(36)

Sustituyendo (36) en (35) se puede escribir el flujo volumtrico por unidad de longitud como:

3

12

=VQ p hl L

(37)

12

2.3. Flujo combinado Couette-Poiseuille entre dos placas

Se estudia ahora flujo laminar, incompresible e isotrmico totalmente desarrollado de un fluido newtoniano en la ranura entre dos placas de rea infinita, de modo que el flujo es paralelo a las placas ( 0v = ) y es plano ( 0w = ). La placa superior se mueve a velocidad constante V, mientras que la inferior permanece fija, es decir que se desarrolla flujo de Couette. Luego, se superpone un flujo generado por un gradiente de presiones / =p x cte

, o sea flujo de Poiseuille, al movimiento de Couette, obtenindose una superposicin de flujos cuya solucin es la suma de las soluciones de los flujos de Couette y Pouseuille por separado. Este principio de superposicin es posible porque las ecuaciones que describen a ambos flujos, que son la ecuacin de continuidad (1) y la ecuacin de Stokes (14), son ecuaciones diferenciales parciales lineales, cuyas soluciones tambin son lineales. En la Figura 6 se esquematiza la geometra para este movimiento.

Figura 6 - Geometra para flujo viscoso entre dos placas infinitas con un gradiente de presiones aplicado constante / p x ; la placa superior se mueve a velocidad constante V y la inferior est fija.

Las condiciones de borde del problema son las mismas que para flujo de Couette:

(0) 0 ; ( )u u h V= = (38)

La solucin del campo de velocidades para flujo de Couette-Poiseuille es la suma de los campos de velocidades de cada flujo:

22

2Couette

Poiseuille

V h dp y yu y

h dx h h

= +

(39)

En la Figura 7 se muestra esquemticamente el perfil de velocidades para esta superposicin de flujos, donde el gradiente de presiones es negativo, / 0p x < .

13

Figura 7 El campo de velocidades para flujo de Couette-Poiseuille es la suma de un campo lineal (flujo de Couette) y de un campo parablico (flujo de Poiseuille).

A travs del anlisis dimensional se llega al siguiente resultado:

2

,

u y h dpfV h V dx

=

(40)

Usando los parmetros adimensionales de la ecuacin (40) se puede escribir la expresin del campo de velocidades en forma adimensional para el flujo combinado de Couette-Poiseuille:

( )* * * * *1 12u y p y y= + (41) donde * /u u V= , * /y y h= y

2

*h dp

pV dx

= es el gradiente de presiones adimensionalizado.

Figura 8 Perfiles de velocidades adimensionales para flujo de Couette-Poiseuille.

14

En la Figura 8 se grafican los perfiles de velocidades adimensionales *u en funcin de *y para diferentes valores de *p .

Se observa en la Figura 8 que si el gradiente de presiones es positivo (flujo hacia la izquierda) y tiene una magnitud lo suficientemente alta, se puede tener reversin de flujo ( * 0u < ) en la parte inferior del canal.

Las condiciones de borde adimensionalizadas para todos los casos son * 0u = en * 0y = y * 1u = en * 1y = .

El tensor de esfuerzos viscosos en un elemento fluido es:

2 0 02

2 0 02

0 0 02

u u v u w V dp hy

x y x z x h dxv u v v w V dp h

yx y y z y h dx

w u w v w

x z y z z

+ + +

= + + = +

+ +

(42)

Llegndose a la expresin del esfuerzo de corte:

2xyV dp hyh dx

= + (43)

El caudal en volumen por unidad de longitud (l en la direccin z) es, segn (23):

0( )hVQ u y dy

l=

Reemplazando el perfil de velocidades dado por (39) en la ecuacin (23) e integrando se llega a:

312 12

VQ h pV hl x

=

(44)

Como / p x es constante, la presin vara linealmente con x: 2 1

= =

p p p px L L

(45)

Sustituyendo (45) en (44) se puede escribir el flujo volumtrico por unidad de longitud como:

3

2 12VQ h p hVl L

= +

(46)