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TABLA DE CONTENIDOS

LA GEOMETRÍA DEL TAXISTA. ___________________________________________________

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Unidad Didáctica. El Teorema de Pitágoras. __________________________________ 7

1. Introducción._________________________________________________________________7

2. Objetivos didácticos.__________________________________________________________8

3. Contenido.__________________________________________________________________8

3.1. Pitágoras y los Pitagóricos._________________________________________________8

3.2. Conocimientos Previos. Concepto de Área.___________________________________103.2.1. Concepto de Área y Propiedades Básicas._________________________________________________10

3.2.2. Áreas de algunas figuras geométricas.____________________________________________________11

3.3. Teorema de Pitágoras. Enunciado y Demostraciones.__________________________12

3.4. Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en las Matemáticas._____________15

3.5. Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en otros campos.________________17

3.6. Recíproco del teorema de Pitágoras.________________________________________18

3.7. Cuadrados mágicos pitagóricos.____________________________________________19

3.8. Aplicación a las raíces cuadradas.__________________________________________19

3.9. Ejercicios para el alumno._________________________________________________20

4. Metodología.________________________________________________________________20

5. Materiales._________________________________________________________________21

6. Evaluación.________________________________________________________________21

7. Bibliografía.________________________________________________________________22

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Aventuras en Geometría David Elias Guardado La Geometría del Taxista

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La Geometría del Taxista Aventuras en Geometría

LA GEOMETRÍA DEL TAXISTA.

Como ejercicio sobre este tema del curso proponemos aquí el modelo de una geometría no

euclídea distinta de la hiperbólica. En esta geometría se verifican todos los axiomas que hemos

expuesto en la sección anterior menos uno. De este modo se está dando una demostración de la

independencia de dicho axioma.

Los puntos del plano serán los puntos del plano ú2 . Las rectas son las rectas euclídeas y la

medida de ángulos en la medida de ángulos euclídea. Sin embargo la forma de medir distancias

es diferente y viene dada por la siguiente fórmula:

Sean P=(a,b) y P'=(a',b') , definimos d(P,P')=a-a'+b-b'.

Esta forma de medir distancias sería la utilizada por un taxista que trabajara en una ciudad

cuyas calles forman una cuadrícula de rectas. A partir de la determinación de la distancia y

medida de ángulos, la definición de puntos y rectas, se pueden definir todos los demás términos:

congruencia, paralelismo, etc. Obsérvese que dado que las rectas y puntos coinciden con los

euclídeos, el quinto axioma de los Elementos es evidente.

El Ejercicio que proponemos es que encuentre el axioma de la geometría euclídea que no

verifica este modelo y por qué.

_SOLUCIÓN_

Durante la solución de este problema propuesto, vamos a ver que el axioma que no se

verifica para la geometría del taxista es el Axioma 11, que dice así:

(A11) (Criterio lado-ángulo-lado de congruencia de triángulos). Si en una

correspondencia entre dos triángulos, dos de los lados de un triángulo son congruentes

con los lados correspondientes del otro, y el ángulo formado por dichos lados es también

congruente con el ángulo correspondiente, entonces la correspondencia dada define una

congruencia entre los dos triángulos.

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Para demostrar que este es el axioma que falla para esta geometría, y que además los demás

sí que funcionan, vamos a analizar los axiomas uno a uno.

Como en la geometría del taxista las rectas y la medida de los ángulos, están definidas de la

misma forma que en la geometría euclídea, está claro que los axiomas (A1), (A2) y (A3)

funcionan. Con respecto al axioma (A4) la definición de distancia para la geometría del taxista

cumple claramente los tres requisitos que se le piden en este axioma. El axioma (A5) también es

claro que se cumple, pues fijando un punto cualquiera en una recta como origen y calculando la

distancia de los demás puntos de la recta a este origen, se puede definir fácilmente una función

biyectiva como la que piden. (Sería distinta a la que se define para la geometría euclídea, pero

esto no es un problema). Los axiomas (A6), (A7), (A8), (A9) y (A10), se verifican claramente ya

que tanto los ángulos como las rectas coinciden con las de la geometría euclídea. El axioma

(A12) se verifica también por la misma razón que los anteriores.

Veamos ahora que es el axioma (A11) el que no se verifica, para ello voy a dar dos triángulos

tales que: dos de los lados de un triángulo son congruentes (esto es tienen la misma medida) que

dos del otro triángulo, y el ángulo que forman estos dos lados es congruente con el ángulo

formado por los dos lados correspondientes en el otro triángulo. No obstante, veremos que el

tercer lado del primer triángulo no es congruente con el tercer lado del otro triángulo, y por tanto

los triángulos no son congruentes.

Defino el primer triángulo a partir de los vértices: P=(0,0), Q=(3,0), R=(0,1) .

Defino el segundo triángulo a partir de los vértices: P'=(2,2), Q'=(4,3), R'=( , ) .

Calculamos las distancias de los lados en el triángulo PQR :

d(P,Q)=3-0+0-0=3

d(P,R)=0-0+1-0=1

d(Q,R)=0-3+1-0=4

Calculamos ahora las distancias de los lados del triángulo P'Q'R' :

d(P',Q')=4-2+3-2=3 que coincide con d(P,Q) .

d(P',R')= -2+ -2=1 con lo que coincide con d(P,R) .

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La Geometría del Taxista Aventuras en Geometría

d(Q',R')= -4+ -3= que no coincide con el valor de d(Q,R)=4 .

Calculamos los ángulos RPQ y R'P'Q' para ver si coinciden:

Evidentemente el ángulo RPQ es 90, y viendo las coordenadas de los vectores y

que son: =(2,1) y =(- , )= .(-1,2) , se ve claro que estos dos

vectores forman un ángulo de 90 grados.

Así que hemos encontrado dos triángulos PQR y P'Q'R' de manera que d(P,Q)=d(P',Q') ,

d(P,R)=d(P',R') , y tal que el ángulo RPQ coincide con el ángulo R'P'Q' , luego cumplen las

hipótesis del axioma (A11). No obstante, como hemos visto que d(Q,R)d(Q',R') , entonces

los dos triángulos no pueden ser congruentes. En conclusión, para la geometría del taxista no se

verifica el axioma (A11) del plano euclídeo.

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El Teorema de Pitágoras Aventuras en Geometría

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

1. INTRODUCCIÓN. Quería empezar comentando el motivo por el cual decido realizar una unidad didáctica

alrededor del Teorema de Pitágoras. Es indudable el uso que dentro y fuera de las matemáticas se

puede, y de hecho, se realiza del teorema de Pitágoras. Dentro de la geometría podemos decir

que es el teorema más usado, tanto desde el punto de vista teórico, como del punto de vista

práctico como herramienta para calcular ángulos, áreas, distancias, y un largo etcétera. También

me gustaría señalar que dentro de la educación secundaria, la geometría tiene un papel

importante, y por tanto el teorema de Pitágoras no es sólo conocido sino también usando

ampliamente por los alumnos.

Para introducir esta unidad didáctica, comentaré mi deseo de abordarla haciendo uso de un

formato formal en el cual entra el comentario de los objetivos, contenido, metodología,

materiales y por último evaluación. Dentro del contenido expondré un comentario y biografía de

Pitágoras y el pitagorismo, además de un pequeño repaso al cálculo de áreas, el enunciado del

teorema de Pitágoras, también incluiré más de una demostración del mismo, algunas

aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas, etc. Los demás puntos de esta unidad didáctica

los orientaré en vista a alumnos de educación secundaria.

También quiero comentar que el tema de este trabajo no es en sí muy original, está claro que

los trabajos acerca del teorema de Pitágoras son innumerables, y sin llegar más lejos en el texto

de este mismo curso, Aventuras en Geometría, ya existe un trabajo dedicado a este mismo tema.

No obstante, aunque se den estos puntos negativos para la realización de esta unidad didáctica,

diré a su favor que son innumerables los matemáticos que han dedicado su esfuerzo y su tiempo

a escribir acerca de este tema, y quizás piense que esta es una buena oportunidad para poner mi

granito de arena.

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Aventuras en Geometría El Teorema de Pitágoras

2. OBJETIVOS DIDÁCTICOS. 1.- Conocer el Teorema de Pitágoras, tanto el enunciado como alguna demostración del

mismo.

2.- Hacer que los alumnos sean capaces de reconocer aquellas aplicaciones que tiene el

teorema de Pitágoras, y sepan aplicarlo correctamente dentro y fuera del aula.

3.- Fomentar en el alumnado un interés claro hacia la geometría y más concretamente hacia el

teorema de Pitágoras con sus posibles aplicaciones.

3. CONTENIDO.

3.1. Pitágoras y los Pitagóricos.EL PITAGORISMO

El nacimiento y la permanencia del pitagorismo es uno de los fenómenos más interesantes en

la historia de la ciencia y de la cultura en general. Surgió, se desarrolló y expandió como un

modo de vida religioso. Tenían una visión del universo como un cosmos (es decir, un todo

ordenado y de acuerdo a leyes asequibles a la razón humana), en contraposición al pensamiento

de la época que veían al universo como un caos. El impulso religioso del pitagorismo conducía a

la búsqueda y contemplación de la armonía intelectual implantada en este universo como

paradigma de conducta humana y como camino y método de evaluación espiritual, en búsqueda

de las raíces y fuentes de la naturaleza.

Nuestra cultura actual, impregnada por el espíritu científico, fue transmitida en sus líneas

generales a través de los siglos desde las mismas raíces pitagóricas. Pero el mundo del siglo VI a.

de C. en el que vivió Pitágoras era muy distinto. Las invasiones persas aproximaron a los griegos

las milenarias culturas orientales con su abigarrado espíritu religioso y su actitud mística y

contemplativa. El espíritu religioso oriental no buscaba, ni busca, su camino hacia la comunión

con lo divino a través de la contemplación racional del universo, sino más bien mediante la

negación de la búsqueda misma de la razón, hacia formas de comunicación en zonas más

internas del espíritu. No obstante, junto con esta vena mística del espíritu, la cultura oriental

había realizado admirables conquistas de la razón, plasmadas, por ejemplo, en los desarrollos

astronómicos y aritméticos de los babilonios más de un milenio antes de que Pitágoras naciese.

El fuerte desarrollo del pitagorismo fue quizás el acierto de Pitágoras para unificar ambas

tendencias, racional y contemplativo-religiosa, al dar forma a lo que llegó a ser mucho más que

una escuela de pensamiento, una forma de vida.

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PITÁGORAS

La figura de Pitágoras nos aparece coloreada y fuertemente fabulada por

quienes nos han ofrecido biografías de él, así lo hicieron Diógenes Laercio y

Porfirio, del siglo III d. de C., Iámblico, del siglo IV. Incluso en el siglo V a.

de C. Herodoto presenta un Pitágoras mítico, medio héroe, medio dios.

También Aristóteles dibuja un Pitágoras en los fragmentos que se conservan

entre las brumas de la leyenda.

Lo que sobre la vida de Pitágoras se sabe con relativa seguridad es lo siguiente. Nació en la

isla de Samos, junto a Mileto, en la primera mitad del siglo VI. Hijo de Menesarco, quizás un

rico comerciante de Samos. Seguramente viajó a Egipto, Fenicia y Babilonia. Volvió a Samos

durante la dictadura de Policrates (538-522). Hacia 529 viajó al sur de Italia y fundó en Crotona

la fraternidad pitagórica. Murió muy anciano en Metaponto.

Se discute algunos datos de su vida como son. Año de nacimiento (600? Eratóstenes, 570?

Aristoxeno). Cronología de sus viajes. Qué sucedió con él cuando los pitagóricos fueron

expulsados de Crotona en 509. Si murió violentamente o no en Metaponto.

Se distinguen tres etapas en su vida: la primera en el mundo griego, la segunda de viajes a

Babilonia y Egipto y la tercera en la Magna Grecia (Sur de Italia), con un intermedio en Samos

entre la segunda y la tercera etapa. Iámblico cuenta que Pitágoras visitó a Tales en Mileto, lo que

coincide cronológicamente y geográficamente por la proximidad de Samos y Mileto. También

pudo conocer allí al filósofo Anaximandro.

Según tradiciones, al volver Pitágoras a Samos se le pidió que enseñase sus ideas a sus

propios conciudadanos. Al parecer les resultó muy abstracto y tuvo poco éxito. Esto, junto con la

opresión de Policrates, le debió conducir a la decisión de emigrar.

En 529 Pitágoras se traslada a Crotona, a donde llegó con un sistema de pensamiento más o

menos perfilado después de su larga experiencia por Oriente y Egipto. La ciudad le pidió que

expusiera sus ideas y, según la tradición, Pitágoras dirigió por separado cuatro grandes discursos

a los jóvenes, al Senado, a las mujeres y a los niños. Al parecer el contenido de estos cuatro

discursos están llenos de recomendaciones morales de gran perfección, derivadas

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fundamentalmente de la necesidad de ajustar la conducta humana a los cánones de armonía y

justeza que se derivan de la naturaleza misma de las cosas e ilustradas con elementos específicos

de la mitología de los habitantes de Crotona. Como consecuencia de este primer contacto surgió,

no sólo en Crotona, sino en toda Italia un gran entusiasmo por Pitágoras.

3.2. Conocimientos Previos. Concepto de Área.

Considero de interés que los alumnos conozcan bien los conceptos de área de una figura

plana, y algunas propiedades básicas. El motivo es entre otras razones para el buen

entendimiento de la primera y segunda demostración del teorema de Pitágoras que expongo en

esta unidad didáctica.

3.2.1. Concepto de Área y Propiedades Básicas. DEFINICIÓN DE ÁREA.

Podemos considerar como una definición de área, a aquella cantidad de superficie que se

encuentra encerrada dentro de una figura geométrica (tomando que esta figura sea cerrada).

PROPIEDADES BÁSICAS DEL ÁREA DE UNA FIGURA.

El área de una figura geométrica no varía, cuando sobre la figura realizamos acciones tales

como cortar y pegar. Gracias a esta propiedad del área se calculan infinidad de áreas de

figuras, como por ejemplo el área del paralelogramo.

Si a una figura le quitamos una porción de área conocida, entonces el área de la figura

resultante será el área de la figura inicial menos el área de la porción quitada. Así conociendo

el área de un triángulo y la de un rectángulo, podemos calcular el área de un trapecio.

La propiedad anterior también se verifica, si envés de quitar una porción se la añades. Así si

a una figura de área conocida, le añades una porción de área también conocida, el área de la

figura resultante será la suma de las áreas.

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3.2.2. Áreas de algunas figuras geométricas. Área del rectángulo.

h

b

Usando la definición de área dada anteriormente, el área del rectángulo como cantidad de

superficie encerrada en muy fácil de calculas, ya que es obvio que la cantidad de superficie es el

producto de la anchura por la altura. Así pues podemos decir con toda seguridad que A=b.h .

Área del paralelogramo.

h

b Fig. 1

h

b Fig. 2

Para calcular el área del paralelogramo (que es aquel cuadrilátero que tiene sus lados

opuestos paralelos) usamos la primera propiedad de las áreas. Así lo que hacemos es: partiendo

de un rectángulo, cortamos un triángulo de la parte izquierda y se lo añadimos en la parte

derecha del rectángulo, quedándome el paralelogramo que buscábamos. Así pues el área del

paralelogramo es A=b.h .

Área del triángulo.

h

b Fig. 1

h

b Fig. 2

Es fácil observar que con dos triángulos iguales, podemos colocarlos de manera inteligente

de forma que conseguiríamos un paralelogramo (Fig. 2). Como sabemos el área del

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paralelogramo, y tenemos que el área de dos triángulos iguales es el área de ese paralelogramo,

concluimos que el área del triángulo es A= .

Área del trapecio.

h

b

B Fig. 1

h

b

bB

B

Fig. 2

Al igual que hemos hecho para conseguir el área del triángulo, con el trapecio nos ocurre

igual, es decir, podemos colocar dos trapecios iguales de manera inteligente de forma que

conseguimos un paralelogramo, en este caso de base B+b y de altera h . Así pues el área del

trapecio es A= .

3.3. Teorema de Pitágoras. Enunciado y Demostraciones.TEOREMA DE PITÁGORAS.

Dado un triángulo recto (es decir, un triángulo donde alguno de sus ángulos es de 90º), donde

a y b son las medidas de los catetos (lados contiguos al vértice de 90º), y h es la medida de la

hipotenusa (lado opuesto al vértice de 90º). Entonces se verifica que h2=a2+b2 .

h

b

a

DEMOSTRACIÓN 1

Aquí expongo una de las demostraciones más sencillas y fáciles de entender que existen

sobre este teorema. Los conceptos y propiedades que se usan para esta demostración son tan

coloquiales que hacen de esta demostración la preferida por cualquier alumno. Además es una

demostración fácilmente realizable recortando y colocando las figuras de los dos cuadrados

adecuadamente, y así hacer que los alumnos observen la veracidad de esta propiedad.

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Como podemos observar los dos cuadrados expuestos en la figura tienen las mismas

dimensiones (a+b) (a+b) así que también tienen la misma área (a+b)2 . Si a estos dos

cuadrados les quitamos la misma porción de área, las figuras resultantes también tendrán la

misma área. Así en el primer cuadrado hemos sombreado la parte que le vamos a quitar, que son

cuatro triángulos iguales, y se ve claramente que el área resultante es h2 , ya que la figura que nos

ha quedado es un cuadrado de lado h . Para el segundo cuadrado también hemos quitado los

cuatro triángulos iguales, no obstante ahora los hemos quitado en una distribución distinta, y nos

ha quedado dos cuadrados uno de lado a y otro de lado b , así que el área de la figura resultante

es a2+b2 . Ahora haciendo uso de la segunda propiedad de las áreas, tenemos que h2=a2+b2 .

DEMOSTRACIÓN 2

Ahora vamos a realizar una demostración del teorema de Pitágoras haciendo uso de un puzzle

de seis piezas. Así las piezas que vamos a usar son, el triángulo rectángulo, los cuadrados de lado

a , b y h , un paralelogramo de lados el cateto menor a y la hipotenusa h , y por último otro

paralelogramo de lados el cateto mayor b y la hipotenusa. Así las piezas son:

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Es fácilmente comprobable que el área de los paralelogramos son a2 para el menor y b2 para

el mayor. Para probar este resultado veamos las dos figuras siguientes:

Se ve claramente como la altura del paralelogramo menor es a , y que la altura del

paralelogramo mayor es b , así pues como el área de un paralelogramo es base por altura,

tenemos que estos paralelogramos tienen áreas a2 y b2 respectivamente.

Ahora vamos a ver con la siguiente figura como el área del cuadrado de lado h coincide con

la suma de las áreas de los paralelogramos.

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Como podemos observar es esta figura la colocación estratégica de los dos paralelogramos,

hacen visible que la suma de sus áreas coincide con el área del cuadrado de lado h . Así pues

tenemos el resultado del teorema de Pitágoras, es decir, h2=a2+b2 .

DEMOSTRACIÓN 3

Me gustaría incluir una demostración del teorema de Pitágoras haciendo uso exclusivo de

mecanismos algebraicos. Para ello expondré el teorema del cateto, aunque no lo demostraré.A

B CH

Teorema del cateto: Sea ABC un triángulo rectángulo sobre su vértice A . Sea H la proyección

(ortogonal) del vértice A sobre el lado BC . Entonces se verifica que:

a) AB2=BH.BC

b) AC2=CH.BC

A partir de este resultado, la demostración del teorema de Pitágoras no es más que un simple

cálculo.

AB2+AC2=BC.(BH+CH)=BC.BC=BC 2 .

3.4. Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en las Matemáticas.

Como ya comenté en la introducción, las aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en

las Matemáticas son innumerables, sobretodo en el campo de la geometría. Mediante este

teorema se pueden calcular áreas tanto de figuras “regulares” como son los polígonos regulares,

hasta áreas de figuras irregulares (siempre que no sean curvas). Sería imposible la resolución de

triángulos rectángulos sin el conocimiento de esta propiedad. En este apartado me gustaría

exponer dos aplicaciones del teorema de Pitágoras en la geometría, como es la definición de las

funciones trigonométricas y el cálculo de áreas de polígonos regulares.

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DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una de las aplicaciones del teorema de Pitágoras más importantes es la definición de las

funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo. Aunque estas también pueden

ser definidas a partir de la circunferencia unidad, es mediante el teorema de Pitágoras cuando

estas cogen más sentido y utilidad.

Al verificarse que h2=a2+b2 tenemos que (a,b) son las coordenadas cartesianas de un

punto perteneciente a una circunferencia centrada en (0,0) y de radio h .

a

b

h

Así si tenemos un triángulo rectángulo como el dibujado arriba, se cumple que:

sen()= cos()= tan()=

sen()= cos()= tan()=

No es coincidencia la relación que existen entre las razones trigonométricas del ángulo y

del ángulo , ya que en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es 90º, así que y

son ángulos complementarios.

La resolución de triángulos rectángulos se hace muy fácil haciendo uso del teorema de

Pitágoras acompañado de las razones trigonométricas de los ángulos.

ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES

Consideremos un polígono regular de n lados, donde la medida de cada lado es l . Para

calcular el área del polígono podemos hacer uso del siguiente procedimiento:

1. Unimos el centro del polígono con sus distintos vértices, de manera que conseguimos n

triángulos iguales. Estos triángulos son isósceles, ya que la distancia del centro a los

vértices son iguales (por ser el polígono regular).

2. La bisectriz del centro del polígono nos dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos

e iguales, donde uno de los catetos mide , y la medida de un ángulo que es ya que es

la mitad del ángulo que forma el centro.

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3. Haciendo uso de la propiedad de Pitágoras y sabiendo que la hipotenusa mide

, podemos calcular la medida del lado que nos falta, que denominaremos d .

4. El área del polígono será entonces , que realizando todos los cálculos es

.cotg( ) .

3.5. Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en otros campos.

Aunque las aplicaciones que voy a exponer a continuación tienen una forma matemática,

quisiera especificar que son aplicaciones prácticas muy útiles en campos tan dispares como la

astronomía, la topografía, etc. El uso del teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas de

un triángulo rectángulo hacen posible el cálculo aproximado de distancias de objetos en el

espacio, la altura de una montaña, etc.

DISTANCIA DE OBJETOS EN EL ESPACIO

Como podemos observar en esta figura podemos calcular la distancia

de un objeto en el espacio, haciendo uso de las propiedades sobre

triángulos. Aunque no se ve muy obvio el uso del teorema de Pitágoras

en este problema, hay que decir que prácticamente en cualquier

problema de triángulos que queramos resolver aparece la propiedad

pitagórica.

El cálculo de la distancia se hace a partir de los datos: ángulo que forman los observatorios

con el otro observatorio y con el objeto, y la distancia que hay entre los dos observatorios. A

partir de estos datos, el problema es resoluble usando las propiedades de triángulos.

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ALTURA DE UNA MONTAÑA O CUALQUIER OBJETO

Es muy fácil el cálculo de la altura de una montaña o cualquier objeto a partir de triángulos

rectángulos, aunque desconozcamos la distancia que hay hasta la base de la montaña. Los datos

que necesitamos son dos ángulos que forme el pico de la montaña con el suelo a distintas

distancias de la montaña, también necesitamos la distancia que se ha recorrido entre las dos

mediciones de los ángulos.

A partir de los ángulos y y conociendo la distancia d podemos calcular la altura a la que está

el objeto.

3.6. Recíproco del teorema de Pitágoras.

Al igual que el teorema de Pitágoras es importante, el recíproco de este teorema también es

razón de estudio de muchos matemáticos. Esencialmente el recíproco del teorema de Pitágoras

dice que si tenemos tres segmentos de forma que sus medidas cumplen a2+b2=h2 , entonces el

triángulo formado a partir de esos segmentos es un triángulo rectángulo.

Ha sido muy estudiado por distintas civilizaciones (egipcia, babilónica, hindú, ...) la

búsqueda de ternas pitagóricas, que son ternas de números que verifican la propiedad pitagórica.

Así los egipcios conocían la terna 3, 4, 5, y a partir de ella podían construir triángulos

rectángulos de cualquier medida (aunque la razón entre sus catetos es fija). Tomando por la

unidad la medida que veamos oportuna podemos construir un triángulo rectángulo de lados 3, 4,

5 veces la unidad. Esto también es un problema experimental que se le puede asignar a alumnos

de los primeros cursos de secundaria y así observar el resultado.

También podemos comentar de este recíproco de la propiedad pitagórica, que si construimos

una semicircunferencia y unimos los dos puntos de la semicircunferencia que tocan al diámetro

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d


con otro punto cualquiera de la semicircunferencia, tenemos por resultado un triángulo

rectángulo. Este resultado es fácilmente comprobable a partir de la ecuación a2+b2=h2 que nos

indica que (a,b) es un punto de la circunferencia de centro (0,0) y radio h .

3.7. Cuadrados mágicos pitagóricos.

Para la construcción de un cuadrado mágico pitagórico, basta con dibujar un triángulo

rectángulo junto con los cuadrados correspondientes a sus catetos e hipotenusa, cuadriculando

estos cuadrados en casillas iguales a la unidad. Dentro de estas cuadriculas colocamos números

que se relacionen verificando una cierta propiedad preestablecida.

Como ejemplo podemos estudiar uno de los cinco cuadrados mágicos que construye Loomis

(1968):

1.- En el cuadrado A, la suma de cualquier fila, columna o diagonal es 125; en el

cuadrado B es 46 y en el C es 147.

2.- La suma de todos los números de B más los de C nos da la suma de los número de A.

Podemos pedirle a los alumnos que construyan cuadrado mágicos como en este ejemplo, o

que estudien las propiedades de otros cuadrados mágicos de Loomis.

3.8. Aplicación a las raíces cuadradas.

Una aplicación más de la propiedad pitagórica es al querer trasladar raíces cuadradas sobre la

recta real. Si construimos un cuadrado de lado la unidad, la diagonal medirá que podemos

trasladar a la recta real sin más que usar el compás. Usando otra vez la propiedad pero ahora

sobre el rectángulo de ancho y de altura la unidad, su diagonal medirá . Reiterando el

proceso indefinidamente podemos colocar sobre la recta real cualquier raíz cuadrada. Véase la

siguiente figura para mayor comprensión:

2 3 524

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3.9. Ejercicios para el alumno.

En esta pequeña lista de ejercicios no he querido incluir problemas típicos como es calcular

la medida un lado de un triángulo rectángulo conociendo las medidas de los dos lados que faltan.

Aunque con ese tipo de problemas es con los que hay que empezar a trabajar con los alumnos,

prefiero exponer problemas que aun siendo sencillos requieran un poco más de dedicación.

1.- Calcula la medida del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 10 cm.

También se pide el área del cuadrado.

2.- Calcular la medida de la diagonal de un rectángulo con lados 3 y 4 centímetros

respectivamente.

3.- Calcular la altura de un triángulo equilátero de 5 cm de lado.

4.- Para sujetar una antena de 13 m de alto, se proyecta colocar tres cables de acero. Si se

desea que el punto de enganche del cable esté a una distancia de 4 m de la base de la antena.

¿Cuántos metros de cable se necesitarán?.

5.- Un explorador requiere conocer la altura de una montaña que se encuentra a una distancia

indeterminada de él. Para ello mide el ángulo que forma el suelo con el pico de la montaña

resultando ser de 60º, avanza en dirección a la montaña 25 metros y hace otra medición del

ángulo que forma el suelo con el pico de la montaña, dándole esta vez 75º. Se pide el cálculo

de la altura de la montaña, y de la distancia a la que se encuentra la base de la montaña

respecto al segundo lugar donde se realizó la medida del ángulo.

4. METODOLOGÍA. Como orientación metodológica importante hay que tener en cuenta que el teorema de

Pitágoras es el primer resultado teórico que debe aprender el alumno cuando se enfrenta al

estudio de los triángulos. Es por ello que es un nuevo concepto para el alumno y por tanto hay

que hacer mucho hincapié en la buena comprensión del teorema. Es muy útil el uso de cartulinas

y tijeras para que el alumno realice la primera demostración del teorema que he expuesto en esta

unidad didáctica.

No hay que negar la importancia que pueda tener el conocimiento de las otras dos

demostraciones del teorema que he expuesto, sobretodo la demostración 3 en la que con una

buena introducción del teorema del cateto (para ello el alumno debe conocer el teorema de

Thales), la demostración del teorema de Pitágoras queda muy sencilla e intuitiva. Sin embargo,

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son los las demostraciones gráficas con las que el alumno adquiera mayor comprensión del

resultado.

No hay que olvidar para el uso de una buena metodología de enseñanza-aprendizaje que aquí

los importantes son los alumnos, así que es de máxima importancia conocer bien el grupo ya que

éste ha de determinar el mejor camino hacia la buena comprensión de los conceptos.

5. MATERIALES. Es muy importante el uso de todos los materiales que podamos incluir para poder facilitar el

proceso de enseñanza-aprendizaje, así a parte de los materiales más comunes como son la

pizarra, el libro de texto y el buen uso de la palabra, para este tema en concreto podemos añadir

materiales como cartulinas y tijeras. Con cartulinas donde indiquen donde se ha de cortar y la

tijeras, es muy fácil hacer más comprensible las dos primeras demostraciones del teorema de

Pitágoras, además del concepto de área que he incluido como conocimientos previos. El alumno

verá por sí mismo como al recortar las cartulinas y colocarlas de manera estratégica las áreas de

las figuras coinciden y por tanto se verifican los resultados que queremos demostrar.

Además el uso de materiales distintos a los comúnmente usados provocan por parte del

alumnado un mayor interés, y hace de la explicación del tema un trabajo ameno y efectivo.

6. EVALUACIÓN. Aunque con la LOGSE queda claro que la evaluación no sólo se debe realizar al alumnado,

sino que también al profesor y al proyecto de enseñanza-aprendizaje, en este apartado

únicamente nombraré los puntos de evaluación para los alumnos.

Los puntos más impotantes de evaluación de los alumnos son:

1. Conocer, comprender y saber hacer uso del concepto de área, sus propiedades básicas.

Además de conocer las áreas de las figuras más comunes.

2. Reconocer los triángulos rectángulos del resto.

3. Conocer el enunciado y demostraciones del teorema de Pitágoras. Además de

comprender y saber usar la propiedad pitagórica.

4. Conocer alguna aplicación práctica del teorema de Pitágoras.

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A parte de estos puntos, el profesor debe evaluar el trabajo diario de los alumnos, además de

incentivar y reconocer el trabajo de éstos, aunque sus resultados no sean los más indicados.

Aunque en este apartado no incluya la evaluación del profesor y el proyecto, no siempre es culpa

del alumno la mala o baja comprensión de los conceptos.

7. BIBLIOGRAFÍA. Alsina, C., Burovés, C., Fortuny, F.M. (1989) Invitación a la didáctica de la Geometría.

Madrid: Síntesis.

Barrantes López, Manuel (1998) La Geometría y la Formación del Profesorado en

primaria y secundaria. Badajoz: Universidad de Extremadura (Servicio de Publicaciones,

Cáceres).

Becerra, V., Martínez R., Pancorbo, L. y Rodríguez, R. (1996) Matemáticas 2. Madrid:

McGraw-Hill.

Colera J., García, J., Gartelu, J. y Oliveira M.J. (1998) Matemáticas Andalucía 3.

Madrid: Grupo Anaya.

De Guzman Ozamiz, Miguel (1986) Catedrático de la Universidad Complutense.

Documentación extraída a través de Internet.

Luengo González, Ricardo (1990) Proporcionalidad Geométrica y Semejanza. Madrid:

Síntesis.

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