El Teorema fundamental del cálculo integral dice que la integral de una función es la inversa de la derivada, es decir, la derivada de la integral de la función es igual a la función.

De este teorema fundamental se puede deducir el segundo teorema fundamental, es decir, la regla de Barrow para calcular integrales definidas como resta de primitivas.

Los dos teoremas fundamentales

Primer teorema

Dada una función integrable en el intervalo cerrado , se define la función

en como , para , si es continua en entonces:

Demostración

Primeramente hay que tener en cuenta que para en :

,

a esta igualdad se le llama el teorema de la media.

Aplicamos directamente la definición de derivada, es decir:

.

pero por el teorema de la media:

, con

entonces:

pero el punto está entre y , entonces si en el límite , es decir:

es decir:

Segundo teorema o regla de Barrow

El segundo teorema o regla de Barrow dice que si es una función primitiva de en , entonces:

Demostración

Sabemos por el teorema primero que es una primitiva de y puesto que también lo es, sólo diferiran en una constante, es decir:

Si hacemos

pero

Si hacemos

pero , entonces nos queda: