ELE-31 Princıpios de Telecomunicacoes

Prof. Manish Sharma

October 26, 2015

5 Modulacao Angular ou exponencial.

Neste capıtulo apresentamos as modulacoes angulares, como gera-las e as consequencias espectrais. Tambemapresentamos metodos de demodulacao e os efeitos que distorcoes e interferencias podem causar.

5.1 Modulacao em Fase e em Frequencia

• Recapitulando, um sinal modulado qualquer pode ser escrito como xc(t) = A(t) · cos(2πf(t) + φ(t)).

• Genericamente, um sinal com envoltoria constante e fase variavel teria a seguinte expressao:

xc(t) = Ac · cos(2πfct+ φ(t)) (1)

• O argumento do cosseno e um angulo, tambem chamado de fase, cujo valor instantaneo na expressaoacima vale:

θc(t) , 2πfct+ φ(t) (2)

• Reescrevendo a expressao acima obtemos:

xc(t) = Ac · cos(θc(t)) = Ac · <{exp(j · φc(t))} (3)

que da origem ao nome modulacao exponencial, que e considerada uma modulacao linear.

• No caso da modulacao em fase (PM-Phase Modulation), o valor de φ(t) vale

φ(t) = φ∆ · x(t), (4)

onde x(t) obedece as convencoes sobre a mensagem adotadas no capıtulo anterior e φ∆ ≤ 180o, para evitarambiguidades. O valor de φ∆ e o maior desvio de fase possıvel.

• Assim, o sinal modulado PM tem o formato:

xPMc (t) = Ac · cos(2πfct+ φ∆ · x(t)) (5)

• O diagrama fasorial deste sinal esta mostrado na figura 1. A velocidade de rotacao do fasor nao e constante.O angulo total e a soma da rotacao 2πfct mais φ(t).

• Assim como a velocidade linear de um objeto e a variacao de posicao de um objeto em uma reta, avelocidade angular e a variacao do angulo. Matematicamente:

f(t) =1

2πω(t) ,

1

2π

dθc(t)

dt= fc +

1

2π

dφ(t)

dt(6)

• A funcao f(t) e a frequencia instantanea de rotacao. Embora a sua unidade seja Hz, o seu valor nao seequivale ao f encontrado no espectro, como veremos em breve.

1

f(t) 2πfct

ϕ(t) A

Figure 1: Diagrama fasorial de um sinal com modulacao FM/PM. Em vermelho a projecao do fasor no eixoreal.

• No caso de modulacao em frequencia (FM-Frequency Modulation), a mensagem esta na frequencia in-stantanea, que vale:

fFM (t) , fc + f∆x(t) (7)

onde f∆ e o maior desvio de frequencia instantanea do sinal e deve ser menor do que fc para que f(t) ≥0,∀t.

• Como para FM a relacao entre fase instantanea e frequencia instantanea e dφ(t)dt = 2πf∆x(t), temos que

a frequencia instantanea pode ser escrita como:

φ(t) = φ(t0) + 2πf∆

∫ t

t0

x(λ)dλ (8)

onde a fase inicial vale φ(t0). Assumiremos por simplicidade que ela vale zero no instante t = 0.

• O sinal modulado e entao:

xFMc (t) = Ac · cos(

2πfct+ 2πf∆

∫ t

0

x(λ)dλ

)(9)

• Se x(t) tiver um nıvel DC diferente de zero, a integral divergira. Na pratica isto equivale a um desvio defrequencia constante que pode sere incorporado a fc.

• As modulacoes PM e FM sao muito parecidas. Uma pode ser obtida a partir da outra com o uso deintegradores ou derivadores, como mostra a tabela 1.

• Em ambos os casos a amplitude do sinal e constante, o que permite afirmar que ST =A2

c

2 F.

• O sinal xc(t) vale zero de forma nao periodica. Se fc for grande o suficiente, a informacao sobre frequenciainstantanea pode ser obtida exclusivamente a partir dos cruzamentos de zero. Esta propriedade serautilizada futuramente na demodulacao de sinais modulados em fase.

2

Modulacao φ(t) f(t)

PM φ∆ · x(t) 12π

dφ(t)dt

FM 2πf∆

∫ t0x(λ)dλ fc + f∆x(t)

Table 1:

• Embora a frequencia instantanea esteja, no caso da modulacao FM, entre fc ± f∆, a banda ocupada emaior do que 2f∆. E possıvel melhorar o desempenho da modulacao FM aumentando o valor de f∆, ateum certo limite.

5.1.1 PM e FM de faixa estreita

• Qualquer sinal em banda passante pode ser escrito como:

xc(t) = xci(t)cos(2πfct)− xcq(t)sin(2πfct) (10)

• Utilizando a serie de Taylor das funcoes seno e cosseno, escrevemos, com base no diagrama fasorialreferenciado em fc:

xci(t) = Accos(φ(t)) = Ac[1− 1

2!φ2(t) + · · ·

]xcq(t) = Acsin(φ(t)) = Ac

[φ(t)− 1

3!φ3(t) + · · ·

] (11)

• Supondo que |φ(t)| << 1 (radiano), temos que xci(t) ≈ Ac e xcq(t) ≈ Acφ(t). A condicao sobre φ(t)caracteriza a modulacao de faixa estreita (narrowband).

• Nestas condicoes:xc(t) ≈ Ac · cos(2πfct)−Acφ(t) · sin(2πfct)

Xc(f) ≈ Ac

2 δ(f − fc) + j2AcΦ(f − fc) para f > 0.

(12)

• Para a modulacao PM, Φ(f) = φ∆X(f). Para FM, Φ(f) = − jf∆X(f)f . Logo, a banda do sinal modulado

sera de aproximadamente 2W , onde W e a banda de x(t).

• Exemplo: quando o sinal de entrada e x(t) = sinc(2Wt), temos que X(f) = 12W Π

(f

2W

). Logo, o espectro

de xc(t) para sinais PM e FM seriam aqueles da figura 2-(a) e (b), respectivamente.

5.1.2 Modulacao tonal.

• E conveniente no caso generico analisar o resultado da modulacao tonal. So e necessario fazer esta analiseuma vez, ao considerarmos que o sinal de entrada e:

x(t) =

{Am · sin(2πfmt) PM

Am · cos(2πfmt) FM(13)

• Ambos os sinais resultariam em φ(t) = β · sin(2πfmt), onde:

β =

{φ∆Am para PM

f∆ · Am

fmpara FM

(14)

• Para que a modulacao seja considerada de faixa estreita, necessitamos que β << 1. Neste caso, o sinalmodulado fica:

xc(t) ≈ Accos(2πfct)−Acβsin(2πfmt) · (sin(2πfc)

= Accos(2πfct) + Acβ2 [cos(2π(fc+ fm)t)− cos(2π(fc− fm)t)]

(15)

cujo espectro e diagrama fasorial estao na figura 3.

3

fc-W

(a) (b)

fc+W

fc

fc-W

fc+W

fc

Figure 2: Espectros resultantes da modulacao (a)-PM e (b)-FM de faixa estreita, quando a mensagem e umasinc.

• Um fasor com frequencia relativa negativa e que garante que a envoltoria do sinal e constante.

• No caso generico para qualquer β, o sinal modulado e:

xc(t) = Ac[cos(φ(t)) · cos(2πfct)− sin(φ(t)) · sin(2πfct)] (16)

• Embora xc(t) nao seja periodico em t, tanto cos(φ(t)) quanto sin(φ(t)) sao periodicos, pois, por exemplo,cos(φ(t)) = cos(β · sin(2πfmt)). Logo, eles possuem podem ser escritos como uma serie de Fourier, dadapor:

cos(β · sin(2πfmt)) = J0(β) +∞∑

n par

2 · J0(β) · cos(2πnfmt)

sin(β · sin(2πfmt)) =

∞∑n ımpar

2 · J0(β) · sin(2πnfmt)

(17)

onde Jn(β) e a funcao de Bessel do primeiro tipo e ordem n, cuja definicao e:

Jn(β) ,1

2π

∫ π

−πexp[j(β · sin(λ)− nλ)]dλ (18)

• Substituindo estes valores em xc(t) chegamos na conclusao que o sinal modulado contem, alem da porta-dora, um numero infinito de senoides separadas igualmente de fm.

• Ao representarmos o espectro unilateral, as frequencias negativas devem ser rebatidas.

• A princıpio, a banda de transmissao de um sinal tonal e infinita.

• Amplitudes das frequencias fc + n · fm, n 6= 0, dependem das funcoes de Bessel, cujas principais pro-priedades sao:

4

fc f

fc+W

fc-W

(a)

𝐴𝑐𝛽

2

𝐴𝑐𝛽

2

𝐴(𝑡)

fm

-fm

(b)

𝐴𝑐

𝐴𝑐𝛽

2

Figure 3: (a)-Espectro aproximado da modulacao tonal e (b)-diagrama fasorial correspondente, referenciadoem fc.

1. A amplitude da portadora depende de J0(β). Consequentemente, depende da mensagem transmitida.Ha valores de β tal que J0(β) = 0.

2. O numero de linhas laterais com amplitudes relevantes (acima de um certo valor) depende de β.Quando β << 1, apenas J0 e J1 sao relevantes, o que confirma a analise anterior. Com β maior,Jn(β) sera relevante para um valor de n maior.

3. Quanto maior o valor de β, maior a banda que contem senoides com amplitude relevante.

• Podemos desenhar Jn(β) em funcao de β, para varios n, como mostrado na figura 4-(a) e (b)-em funcaode n

β . Uma interpretacao das figuras e a seguinte:

– Jn(β) em funcao de nβ e semelhante a uma envoltoria espectral das bandas laterais. Ao multiplicarmos

o eixo horizontal por βfm obtemos a amplitude dos sinais nas frequencias fc + nfm.

– Jn(β) decai monotonicamente para nβ > 1, e |Jn(β)| << 1 para n

β >> 1

• Em FM, e possıvel manter o valor de Am · f∆ e ao mesmo temo aumentar o valor de β ao diminuir fm,pois β = Am·f∆

fm. Isto permite manipular a escolha de β, mantendo o maior desvio em frequencia.

5.1.3 Analise Fasorial

• Voltando ao sinal de faixa estreita e modulacao tonal, temos que o sinal modulado e:

xc(t) ≈ Accos(2πfct)−Acβsin(2πfmt) · (sin(2πfc)) (19)

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1

J n(

)

n = 0

n = 1

n = 2

n = 5

n = 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

n-

J n(

)

= 1

= 2

= 5

= 10

Figure 4: Duas visualizacoes das funcoes de Bessel.

onde φ(t) = βsin(2πfmt). A amplitude e fase deste sinal podem ser aproximadas1:

A(t) =√A2c + (βsin(2πfmt))2

≈ Ac

[1 +

β2

4− β2

4cos(4πfmt)

]φ(t) = arctan

[Acβsin(2πfmt)

Ac

]≈ β · sin(2πfmt)

(20)

• Embora a fase tenha o valor desejado, a amplitude nao. Ela deveria ser constante mas nao e.

• Para corrigir a distorcao em amplitude, acrescentamos termos em fc ± 2fm, o que causaria distorcao nafase.

• Para corrigir esta nova distorcao na fase, adicionarıamos senoides em fc± 3fm, o que novamente causariadistorcao em amplitude(menor do que a distorcao original), e assim suscetivamente.

• Logo, para haver nenhuma distorcao em fase e em amplitude ao mesmo tempo, precisamos adicionartermos em fc ± nfm indefinidamente.

• Os termos de ordem ımpar causam modulacao em frequencia por gerar o termo em quadratura com aportadora, enquanto que os termos de ordem par corrigem a distorcao em amplitude por estarem em fasecom a portadora.

5.2 Banda de transmissao e distorcao

• Em geral, a banda de transmissao que contem todo o sinal e infinita, mesmo que a banda do sinaltransmitido seja finita.

1Aproximamos√

1 + x ≈ 1 + 12x ,primeiros dois termos da serie de Taylor, e arctan(x) ≈ x.

6

• Na pratica, sistemas FM possuem banda finita e funcionam bem, mesmo que isto resulte em uma pequenadistorcao causada pela eliminacao de parte do espectro ideal.

• Deve-se analisar a relacao distorcao/banda ocupada e escolher um valor de banda ocupada que resulteem uma distorcao razoavel.

5.2.1 Estimativa de Banda de Transmissao

• Em geral, a amplitude do espectro cai quanto mais distante de fc, isto e, quanto maior |f − fc|.

• A partir de algum valor de |f − fc|, a amplitude do espectro pode ser considerada insignificante. Osignificado de significancia e variavel e depende do sistema.

• Ha resultados empıricos.

• Retornando a figura Jn(β) × nβ , observamos que o valor de Jn(β) cresce rapido quando |nβ | << 1, espe-

cialmente se β >> 1.

• Logo, |Jn(β)| e significante se |n| << β, isto e, o conteudo espectral significante esta entre os ındices ±β.

• Para obter o equivalente em frequencia, lembramos que na modulacao FM, temos que β = Am · f∆

fm. Logo:

W = n · fm = β · fm = Amf∆

fm· fm = Am · f∆ (21)

isto e, a banda de um sinal FM seria de 2Am · f∆, centralizada em fc.

• Esta conclusao coincide com a intuicao que a energia de um sinal FM estaria na frequencia instantanea,e esta varia entre fc ±Am · f∆.

• Por outro lado, se J0(β) >> Jn 6=0(β)∀n, entao todas as linhas laterais sao relativamente pequenos emrelacao a linha em fc. Isto acontece se β << 1.

• Em um extremo, a conclusao erronea seria de que devemos transmitir somente o termo em fc, ou seja,uma unica senoide cuja frequencia nao varia no tempo. Devemos manter pelo menos os dois primeirostermos (em fc − fm e fc + fm). Logo, para β pequeno, a banda do sinal e aproximadamente de 2fm.

• Em ambos os casos de β, a alteracao de fm da modulacao tonal altera linearmente a banda ocupada. Se umsinal nao for tonal, aproximamos fm pela maior frequencia existente no sinal2. Uma interpretacao possıvele que desta forma estamos calculando a banda ”‘instantanea”’ do sinal modulado quando a frequencia”‘instantanea”’ da mensagem vale fm e que fm < W , a banda da mensagem.

• Qualitativamente podemos definir o espectro significante de outra maneira: considerando o valores de ntal que |Jn(β)| > ε, onde 0.01 < ε < 0.1, dependendo da aplicacao.

• Isto e, se existe M tal que |JM (β)| > ε e |JM+1(β)| < ε, o espectro teria 2M + 1 linhas significativas nototal.

• A banda do sinal pode genericamente ser escrita como:

B = 2 ·Mε(β) · fm (22)

onde Mε(β) e uma funcao de β, parametrizada por ε. O formato desta funcao esta na figura 5. Ela podeser aproximada por M(β) ≈ β + 2.

• Empiricamente, ε = 0.01 e conservador, enquanto que ε = 0.1 pode ser aceitavel mas causa distorcaoperceptıvel.

2Esta aproximacao considera, por exemplo, que a modulacao de um sinal FM composto por duas senoides ocuparia a banda2Am · fmax, onde fmax e a frequencia da senoide mais rapida, ignorando a nao linearidade existente nessa modulacao

7

Figure 5: Formato da funcao Mε(β) para ε = 0.01 e ε = 0.1 (linhas cheias) e aproximacao(linha tracejada).

• O valor de M(β) depende de β que, por sua vez, e inversamente proporcional a fm. Por outro lado, B daequacao acima depende linearmente de fm. Logo, a maior banda ”‘instantanea”’ ocupada por um sinaldepende de alguma forma de fm < W . O seu valor maximo seria a banda de fato do sinal modulado.Usando a aproximacao para M(β), chegamos a :

B ≈ 2(β + 2) · fm = 2 ·(Amf∆)

fm+

)· fm = 2(Amf∆ + 2fm) (23)

• Limitando pela nossa convencao sobre mensagens os valores de Am ≤ 1 e fm < W , concluımos que omaior valor de B ocorre quando Am = 1 e fm = W . Logo:

BFMT = maxB = 2(f∆ + 2W ), se β > 2 (24)

• Isto acontece com o valor β∗ = f∆

W , que nao e o maior de β, mas sim o valor que maximiza a banda.

• Qualquer sinal suave com Am < 1 e fm < W necessitara de uma banda menor.

• Para um mensagem x(t) com banda W e razoavelmente suave, a banda de transmissao seria a definidaacima, pois a frequencia ”‘instantanea”’ do sinal variaria lentamente, assim como a sua integral.

• Esta analise ignora a nao linearidade da modulacao exponencial.

• Pare resolver de forma parcial este problema, definimos a razao de desvio, tambem conhecido como ındicede modulacao:

D ,f∆

W(25)

• O conhecimento de uma funcao do tipo M(D) permitiria definir a banda de transmissao como BT =2M(D) ·W . Entretanto, nao ha como definir M(D).

8

• Para valores extremos de D temos que a banda de transmissao vale:

BT =

{2DW = 2f∆ D >> 1

2W D << 1 (modulacao de faixa estreita)(26)

• Estes resultados podem ser combinados em uma unica expressao que assintoticamente assume os valoresacima:

BT ≈ 2(f∆ +W ) = 2(D + 1)W, (27)

que e chamada de regra de Carson.

• A regra de Carson e uma boa estimativa de banda para D << 2 e D >> 10. Entretanto, na regiao2 < D < 20, a regra de Carson subestima a banda necessaria, empiricamente.

• Uma aproximacao melhor na pratica e usar a seguinte formula:

BT ≈ 2(f∆ + 2W ) = 2(D + 2)W (28)

• Para modulacao de faixa estreita, a regra de Carson superestima a banda necessaria, pois D + 1 > 1.

• As estimativas para banda de FM sao validas para o caso PM utilizando φ∆ no lugar de D. Assim:

BT = 2M(φ∆)W ≈ 2(φ∆ + 1)W (29)

• Caso as mensagens a serem transmitidas possuem descontinuidades no tempo, a frequencia instantaneados mesmos nao varia lentamente. As aproximacoes acima nao seriam validas e seria necessario porexemplo medir a banda de transmissao ou obter alguma expressao analıtica que permita a determinacaoda banda.

• Exemplo: FM comercial

– Por lei, f∆ = 75kHz.

– o sinal de entrada e um sinal de audio com conteudo espectral relevante entre 30Hz e 15kHz. Logo,W = 15kHz.

– Pelas contas acima: D = f∆

W = 5.

– Pela regra de Carson, BT ≈ 2(5 + 1)W = 180kHz.

– Pela regra modificada: BT ≈ 2(5 = 2)W = 210kHz.

– Na pratica, usa-se BT = 200Khz.

– A utilizacao de uma modulacao tonal com fm = 15kHz e com parametros acima resultaria em β = 5e (pela figura) M(β) ≈ 7. A banda de transmissao seria de 210kHz.

– Se fm = 5kHz, o valor de β seria maior, β = 15 e M(15) ≈ 15. Entretanto, a banda seria de 150kHz,menor do que o valor anterior

5.2.2 Distorcao linear

• Nesta secao mostraremos como a modulacao FM e robusta a distorcao linear causada por um canal.

• O problema pode ser modulado como um canal com entrada xc(t), resposta H(f) e saıda yc(t), onde:

xc(t) = Ac<{exp(2πfct+ φ(t)} (30)

• Em banda base equivalente terıamos o sinal:

xlp(t) =1

2exp(jφ(t)) (31)

9

• Sabemos tambem que no domınio da frequencia:

Ylp(f) = H(f + fc) · u(f + fc) ·Xlp(f), (32)

o que resulta no tempo emylp(t) = F [Ylp(f)] (33)

• Em banda passante terıamos entao

yc(t) = 2<{ylp(t) · exp(j2πf + ct)} (34)

• Ha problemas: operacoes Xlp(f) = F{xlp(t)} e ylp(t) = F [Ylp(f)] sao complicadas e exigem analisenumerica. Casos particulares podem ser analisados.

• Por exemplo, o sistema da figura 6 com resposta em amplitude e em fase linear teria a seguinte transfor-mada de Fourier:

Hlp(f) = H(f + fc) · u(f + fc) =

(K0 +

K1

fcf

)· exp[j(−2πtofc − 2πt1f)], (35)

resultando em:

Ylp(f) = K0exp(−j2πfcto)[Xlp(f) · exp(−j2πt1f)] +K1

j2πfcexp(−j2πfct) · [(j2πf) ·Xlp(f) · exp(−j2πt1f)]

(36)

fc

f

arg[H(f)]=exp(-j2πft1)

Linear com

coeficiente 𝐾1

𝑓1

-2πft0

K0

Figure 6: Resposta em frequencia de H(f).

• Aparecem os termos:

– exp(−j2πfct0)→ atraso da portadora;

– exp(−j2πft1)→ atraso de grupo (linear em f);

– j2πf ·Xlp(f)→ derivada de xlp(t) em relacao ao tempo.

10

• Com estas associacoes, conseguimos escrever a TF inversa de Ylp(f):

ylp(t) = K0 exp(−j2πfct0) · xlp(t− t1) +K1

j2πfcexp(−j2πfct0)

dx(t− t1)

dt(37)

• A derivada de x(t) vale:

dx(t−t1)dt =

d

dt

{1

2Ac · exp[jφ(t− t1)]

}=j

2Ac

(dφ(t− t1)

dt

)exp(jφ(t− t1))

(38)

• Substituindo tudo na equacao de ylp(t) chegamos a3:

ylp(t) = Kd exp[−j2πfct0]·(

1

2Acexp(jφ(t− t1))

)+

K1

j2πfcexp[−j2πfct0]

j

2Ac

(dφ(t− t1)

dt

)exp(jφ(t−t1))

(39)

• Este sinal em banda passante equivale a:

yc(t) = A(t)cos[2πfc(t− t0) + φ(t− t1)] (40)

onde:

A(t) = Ac

[Kd +

K1

2πfc

dφ(t− t1)

dt

](41)

• Para sinais FM, temos a relacao dφ(t−t1)dt 2πf∆x(t). Neste caso:

A(t) = Ac

[Kd +K1

f∆

fcx(t)

](42)

• Pela ultima equacao percebe-se que, quando o sinal FM passa por um sistema com a resposta em frequenciadefinida, o sinal resultante sera, alem de modulado em frequencia, tambem modulado em amplitude.

• Este processo e chamado de conversao FM-AM.Um detector de envoltoria poderia ser utilizado pararecuperar a mensagem, pois este detector e insensıvel a variacoes na frequencia da portadora de modulacoesAM.

• A modulacao em amplitude teria ındice d emodulacao µ = K1f∆

Kdfc.

• Nao ha maiores problemas neste metodo a nao ser que a distorcao causada pelo sistema cause distorcaode fase do sinal, que e onde esta a informacao.

5.2.3 Distorcao nao linear e limitadores

• Distorcao em amplitude pode causar conversao FM-AM.

• Caso indesejada, esta distorcao pode ser eliminada traves de um elemento nao linear controlada seguidade alguma filtragem.

• Para esta analise, usaremos o sinal vin(t) = A(t) ·cos(θc(t)), onde A(t) e a amplitude e θc(t) = 2πfct+φ(t)e a fase.

• Este sinal passa por um dispositivo nao linear sem memoria, gerando um sinal vout(t). A relacao entreentrada e saıda deste dispositivo e dada por uma funcao T [·]. A ausencia de memoria quer dizer quevout(t = t∗) = T [vin(t = t∗)], isto e, a saıda no instante t∗ depende somente do valor de entrada noinstante t∗.

3Mantemos o j para mostrar que ele se cancelara

11

• A funcao vin(t) nao e necessariamente periodica em t, mas e periodica em θc(t) com perıodo 2π.

• Logo, vout(t) tambem e uma funcao periodica de θc(t) com perıodo 2π, o que nos permite escrever a suaserie de Fourier (em relacao a θc(t)) como4”’:

vout(t) =

∞∑n=1

|2an| · cos(nθc + arg(an))

an =1

2π

∫2π

T [vin(θc)]exp(−jnθc)dθc(43)

• Se a amplitude de T [vin(t)] varia com o tempo, os coeficientes an tambem variarao. Por outro lado, seesta amplitude nao varia com o tempo, os coeficientes serao constantes. Neste caso, o sinal de saıda e:

vout(t) = |2a1|cos(2πfct+ φ(t) + arg(a1)) + |2a2|cos(4πfct+ 2φ(t) + arg(a1)) + · · · (44)

• Pela expressao acima percebe-se que a distorcao nao linear gera modulacoes FM adicionais em harmonicosda frequencia central, com amplitudes constantes |2an| e modulacao em fase por nφ(t), mas uma faseconstante.

• Se estas modulacoes nao se sobreporem significantemente no espectro, o primeiro termo do somatorioacima poderia ser isolado utilizando um filtro passa faixas centrado em fc.

• Um elemento nao linear que tornaria a amplitude constante seria um limitador ideal, tambem conhecidocomo clipper. A relacao entre entrada e saıda e, em funcao de θc, e:

vout =

{v0 − π

2 < φ < π2

−v0π2 < φ < 3π

2

(45)

• Nesta situacao, os valores dos coeficientes sao:

an =

2v0

nπ n = 1,5,9,· · ·−2v0

nπ n = 3,7,11,· · ·0 n = 2,4,6,· · ·

(46)

• O resultado e o sinal:

vout(t) =4v0

πcos(2πfct+ φ(t))− 4v0

3πcos(6πfct+ 2φ(t)) + · · · (47)

• Mesmo filtrando, o primeiro termo contem mais do que 80% da potencia do sinal F.

• Amplificadores nao lineares podem, pelo meso raciocınio, serem utilizados para gerar sinais FM comgrande eficiencia em potencia.

• O mesmo metodo tambem pode ser utilizado para corrigir pequenas variacoes na amplitude do sinal nomomento da recepcao.

5.3 Geracao e deteccao de sinais FM

• O componente chave para geracao de sinais FM e um VCO - Voltage Controlled Oscillator. Versoesmodernas equivalentes sao DCO - Digitally Controlled Oscillator.

• Em um VCO, o sinal de saıda e uma senoide cuja frequencia varia instantaneamente com o nıvel do sinalde entrada. Pode haver um termo constante, de modo que f(t) = fc + k · x(t), onde x(t) e o nıvel deentrada e k e uma constante.

12

(a) (b)

(c) (d)

FM PM

Mo

du

lador

Dem

odula

dor

VCO 𝑑

𝑑𝑡 VCO x(t) xc(t) x(t) xc(t)

𝑑

𝑑𝑡 ENV xc(t) x(t)

𝑑

𝑑𝑡 ENV xc(t) xc(t)

𝑑

𝑑𝑡

Figure 7: Modulador e demodulador para sinais FM e PM

• Utilizando um VCO, os moduladores FM e PM teriam diagrama de blocos da figura 7-(a) e (b), respec-tivamente.

• Ha tres tipos uteis de demoduladores AM:

– Conversor FM-AM

– Discriminador de variacao de fase

– Detector de cruzamentos de zero.

5.3.1 Conversor FM-AM

• Um detector de envoltoria pode ser utilizado para detectar sinais FM desde que haja uma conversaoFM-AM.

• Como visto nas secoes anteriores, um sistema cuja resposta em frequencia tenha modulo linear emfrequencia pode causar esta conversao.

• Outros dispositivos podem realizar esta operacao, desde que de alguma forma a derivada do sinal apareca.

• Assim, se xc(t) = Ac · cos(θc(t)), temos:

dx(t)

dt= −Ac dθc(t)

dt · sin(θc(t))

= 2πAc[fc + f∆ · x(t)] · sin(θc(t)± 180o)(48)

• Como [fc+f∆ ·x(t)] ≥ 1] sempre, nao ha inversao de fase do sinal e a envoltoria e proporcional a mensagem.

• A derivada pode alternativamente implementada por um circuito sintonizado. No tempo discreto, aderivada deve ser aproximada por equacoes de diferencas.

• Um diagrama que utiliza um detector de envoltoria para recuperar a mensagem esta mostrado na figura8.

4Omitimos t em θc(t) para facilitar o entendimento da periodicidade de vout(t) em relacao a θc(t).

13

Limitador FPF 𝑑

𝑑𝑡 ENV

Remove

DC xc(t) KDx(t)

Figure 8: Detector de envoltoria precedido de corretor de distorcao em amplitude

5.3.2 Discriminador de variacao de fase

• Em vez de utilizar um circuito cuja saıda varia linearmente com a fase, podemos utilizar um discriminadorde variacao de fase.

• Para t1 pequeno, a derivada de um sinal pode ser aproximada como:

dv(t)

dt≈ 1

t1[v(t)− v(t− t1)] (49)

• Para FM, temos:dφ(t)

dt= 2πf∆x(t)

φ(t)− φ(t− t1) ≈ t1 ·dφ(t)

dt= 2πf∆t1 · x(t)

(50)

, isto e, a diferenca de fase em dois instantes proximos e aproximadamente proporcional a mensagem.

• Um atraso pode ser obtido atraves de uma linha de atraso. Utilizando a aproximacao sin(x) ≈ x para xpequeno, podemos utilizar o diagrama da figura 9.

5.3.3 Detector de cruzamentos de zero

• Um detector de cruzamentos de zero esta apresentado na figura 10. Os elementos deste circuito sao:

– Um limitador, cuja saıda e uma onda retangular com frequencia variavel.

– Um circuito monoestavel, que tem dois estados: ativo e inativo. Quando o sinal de entrada destecircuito cruza o zero no sentido negativo/positivo, o circuito fica ativo por um curto perıodo detempo, retornando ao estado inativo. Assim, a cada cruzamento de zero no sentido indicado, ocircuito monoestavel emite um pulso retangular curto com largura τ e amplitude A.

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Limitador FPF

Desvio de fase

FPB xc(t) KDx(t) X cos(2πfct+ϕ(t))

sin(2πfct+ϕ(t))

Figure 9: Demodulador utilizando discriminador de fase.

– Um integrador janelado, cuja saıda vale a integral do sinal de entrada entre os instantes t − T e t.Funciona como um contador de quantos pulsos foram emitidos pelo circuito monoestavel nos ultimosT segundos.

– Um eliminador de nıvel DC

• A ideia do detector de cruzamento de zero e que, se W << 1T << fc, o intervalo entre cruzamentos de

zero sera praticamente constante durante varios pulsos. Isto e, 1f(t) permanece praticamente constante

durante T segundos.

• Nesta janela de tempo, teremos nT ≈ T · f(t) cruzamentos de zero no intervalo, que serao contados pelointegrador janelado, resultado em:

1

T

∫ t

t−Tv(λ)dλ =

1

ntAτ ≈ Aτf(t) (51)

• Apos eliminacao do valor medio fc, obtemos a saıda yD(t) ≈ KD · f∆ · x(t), onde KD e uma constante dedeteccao.

• Detectores comerciais apresentam erro de demodulacao menor do que 0.1% para valores de fc entre 1Hze 10MHz.

• Utilizando um divisor por L (que emite um pulso a cada L pulsos recebidos), a faixa de operacao (e oerro) de um detector aumenta por L.

• A vantagem deste tipo de detector e que eles sao facilmente implementaveis em circuitos digitais.

5.4 Exercıcios

Questoes 1 2 3 4 5 7 9 12 13Problemas: 5.1.1 5.1.4 5.1.8 5.1.12 5.1.15 5.1.17 5.2.1 5.2.3 5.2.5 5.2.8 5.2.9

5.2.16 5.3.10

15

Limitador Circuito

Monoestável

1

𝑇 𝑡

𝑡−𝑇

Remove DC xc(t) KDfΔx(t)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xc(t)

sgn(xc(t))

Pulsos

Figure 10: Detector de cruzamentos de zero.

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