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Electricidad y calor

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©2007 Departamento de FísicaUniversidad de Sonora

Temas

3. Gases ideales y estados termodinámicos.

i. Concepto y características del gas ideal. ii. Ley de Boyle, Ley de Charles, Ley de Gay-Lussac

e hipótesis de Avogadro. iii. Ecuación de estado del gas ideal pV = nRT y su

aplicación en la determinación de los diferentes estados termodinámicos y su representación grafica de presión vs. volumen.

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Una sustancia se considera gascuando las fuerzas interatómicas (o intermoleculares) entre los distintos átomos (o moléculas) que la forman son tan pequeñas que la sustancia no adopta, ni forma, ni volumen fijo, tendiendo a expandirse todo lo posible para ocupar el recipiente que lo contiene.

Gases

Refiriéndose a los gases, las condiciones normales de presión y temperatura (CNPT) para la determinación de sus propiedades son, por acuerdo internacional: 0ºC (273.15K) y 1 atm (ó 105 Pa, como recomienda la International Union of Pure and Applied Chemistry, IUPAC), con la salvedad de que los medidores de gasto volumétrico se calibran a 25ºC.

Es importante mencionar que un gas es una sustancia que se encuentra en ese estado a temperatura y presión normales, mientras que “vapor” es la forma gaseosa de cualquier sustancia que normalmente es líquida o sólida a condiciones normales.

En condiciones normales de presión y temperatura (CNPT) existen elementos que son gaseosos como los del grupo 8A, (las moléculas de) O2, N2, H2, F2 y Cl2.

El O2 es esencial para la vida.H2S y HCN son venenos mortales.CO, NO2, O3, y SO2, son tóxicos.El He, Ar y Ne son químicamente inertes.

Gases

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Los gases ejercen presión sobre cualquier superficie con la que entren en contacto, dado que las moléculas gaseosas están en constante movimiento y chocan con la superficie del recipiente que los contienen.

GasesPresión de un Gas

Los gases ejercen presión sobre cualquier superficie con la que entren en contacto, dado que las moléculas gaseosas están en constante movimiento y chocan con la superficie del recipiente que los contienen.

Gases ideales y Ecuación de estado

Una vez revisadas algunas ideas básicas sobre los gases, veamos qué es un gas ideal.

Se define un gas ideal como aquel en el que todas las colisiones entre los constituyentes (átomos y moléculas) son perfectamente elásticos y en el cual no hay fuerzas atractivas intermoleculares. Este concepto implica que las moléculas del gas no interactúan excepto en las colisiones, y que el volumen molecular es despreciable comparado con el volumen del recipiente.

Un gas real se puede considerar como ideal si la interacción entre sus moléculas es despreciable, lo cual se logra manteniéndolo a una presión baja.

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Gases ideales y Ecuación de estado

Para estudiar un gas de masa m, confinado en un recipiente de volumen V a una presión p y temperatura T, es importante conocer la relación entre estas cantidades.

En general, esta relación conocida como Ecuación de estado es bastante complicada; sin embargo, para el caso de un gas ideal es muy simple y se puede encontrar experimentalmente.

Antes de construir la ecuación de estado, revisemos tres leyes empíricas que se observa son satisfechas por los gases (de baja presión).

En 1662, el irlandés Robert Boyle(1627-1691) enuncia la hoy conocida como Ley de Boyle-Mariotte*, que establece:

“Cuando el gas se mantiene a temperatura constante, su presión es inversamente proporcional a su volumen”.

P1V1 = P2V2

Leyes empíricas de los gases: Ley de Boyle

* En 1660, el francés Edme Mariotte (1620-1684) emprendió investigaciones sobre las deformaciones elásticas de los sólidos e, independientemente de su colega Robert Boyle, enunció una ley relacionada con la compresibilidad de los gases. En su tratado De la naturaleza del aire (1676) formuló la ley de compresibilidad de los gases: "a temperatura constante, el volumen de un gas varía en razón inversa a su presión".

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Leyes empíricas de los gases: Ley de Charles

En 1787, el francés Jacques Alexandre César Charles (1746-1823) enuncia la hoy conocida como ley de Charles, que establece:

“Cuando la presión del gas se mantiene constante, su volumen es directamente proporcional a su temperatura”.

V1/T1 = V2/T2

En 1802, el francés Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) enuncia la hoy conocida como Ley de Gay-Lussac, que establece:

“Cuando el gas se mantiene en un recipiente a volumen constante, la presión experimentada es directamente proporcional a su temperatura”.

P1/T1 = P2/T2

Leyes empíricas de los gases: Ley de Gay-Lussac

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Leyes empíricas de los gases: Ley general e hipótesis de Avogadro.

La unificación de estas tres leyes da lugar a lo que se llama ley general del estado gaseoso, a saber

constantepVT

=

donde p es la presión, V es el volumen y T es la temperatura.

Un gas ideal se modela como un gas de esferas duras sin volumen y que solo interaccionan mediante choques perfectamente elásticos.

• La energía interna de un gas es la energía cinética total de las moléculas

• Todo cambio de energía interna va acompañado de un cambio en la temperatura

Leyes empíricas de los gases: Ley general e hipótesis de Avogadro.

En 1811, el italiano Amedeo Avogadro (1776-1856) establece la llamada hipótesis de Avogadro: “A presión y temperatura constantes, el volumen de un gas es directamente proporcional al número de moles del gas presente”, lo que se puede escribir como

constanteVn=

donde n es el número de moles y V es el volumen. Es importante mencionar que este resultado es independiente de su naturaleza química y características físicas

Esta constante se llama número de Avogadro (NA) y tiene un valor de 6.02214x1023mol-1.

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Gases ideales y Ecuación de estado

Con la anterior definición, la ecuación de estado de un gas ideal se escribe como

En el estudio de los gases una cantidad muy importante es el número de moles n, y que se define como el cociente entre la masa m del gas y su correspondiente masa molar M, es decir

donde p es la presión en pascales, V es el volumen en m3, n es número de moles, R es la constante universal de los gases y T es la temperatura en K.

mnM

=

pV nRT= 8.3143 /R J mol K= ⋅

Gases ideales y Ecuación de estado

En ocasiones, la ecuación de estado del gas ideal se escribe en términos del número de moléculas N en lugar del número de moles n, en tal caso se tiene

donde p es la presión en Pascales, V es el volumen en m3, N es número de moléculas, kB es la constante de Boltzmann y T es la temperatura en Kelvins.

BpV Nk T= 231.38065 10 /Bk x J K−=

Finalmente, es importante señalar que a las cantidades p, V y T se les llama variables termodinámicas y nos permiten caracterizar el estado de un gas, de manera análoga al papel que juegan en mecánica: la posición, la velocidad y la aceleración.

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pV nRT=

Número de moles

Constante de los gases

8.3143 / º0.08214 / º

R J mol KR atm l mol K== ⋅

A BR N k=

Número de AvogadroConstante de Boltzmann

231.38065 10 /Bk J K−= ×23 16.02214 10AN mol−= ×

Ecuación de estado del gas ideal: Resumen

Presión

Volumen

Temperatura

mnM

=

Ecuación de estado y diagrama p-V

Para terminar, introduciremos una herramienta muy útil en termodinámica: el diagrama p-V, empleado para estudiar sistemas termodinámicos, como los gases ideales.

De la ecuación de estado del gas ideal podemos escribir

nRTpV

=

Si fijamos el valor de la temperatura T (pV=constante), podemos graficar la expresión anterior en un sistema de coordenadas p vs. V, resultando lo que se conoce como diagrama p-V.

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Ecuación de estado y diagrama p-V

La trayectoria seguida por un gas (o sistema) en un diagrama pV, al pasar de un estado inicial (i) a un estado final (f) representa un proceso termodinámico. En el ejemplo recién mostrado, el proceso seguido por el gas recibe el nombre de isotérmico, ya que la temperatura permanecióconstante.

Dependiendo de la variable de estado que permanece sin cambio, podemos hablar de procesos:

• isotérmicos (ΔT = 0);

• isobáricos (Δp = 0);

• isocóricos (ΔV = 0); y

• adiabáticos (ΔQ = 0).

Estado inicial (i)

Estado final (f)

Ecuación de estado y diagrama p-V

Los diferentes procesos termodinámicos pueden ser representados de manera muy precisa en un diagrama pV.

A continuación se muestran diagramas característicos de cada tipo de proceso termodinámico.

isotérmicos (ΔT = 0) Ley de Boyle

isobáricos (Δp = 0) Ley de Charles

isocóricos (ΔV = 0) Ley de Gay-Lussac

adiabático (ΔQ = 0)

Para terminar, observa que mientras la isoterma es una hipérbola, debido a que cuando la temperatura es constante p es función de (1/V), la adiabática NO lo es.

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Gases ideales: Ejercicios.

a) De la ecuación de estado, podemos escribir

b) Para conocer el número de moléculas, podemos usar la relación existente entre el número de moles n y el número de Avogadro NA, a saber

Gases ideales: Ejercicios.

Aplicando la ecuación de estado, y considerando que todo el He pasa a los N globos (manteniendo la temperatura constante), podemos escribir

donde hemos considerado que el volumen de un globo es

De esta expresión despejamos el número de globos N, es decir

= 884.1941

Por lo que podemos inflar 884 balones y nos queda un poco de He sin usar.

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Gases ideales: Ejercicios.

(a) En esta parte tenemos un proceso isocórico (mismo volumen)si aplicamos la Ley de Gay-Lussac, podemos despejar la temperatura final T2

(b) En esta parte tenemos un proceso, por ejemplo, como el mostrado si aplicamos la Ley general obtenemos para T2

p2= 18atm

p1=6atm

V1

p

V

T1

T2

p1

V2 (= 2V1)

p2 (= 2p1)

V1

p

V

T1

T2

Gases ideales: Tarea.

(c) Con los datos presentados, ¿podrías calcular el volumen inicial del gas V1? En caso afirmativo, hazlo; de lo contrario, ¿qué dato hace falta?

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Gases ideales: Tarea (solución).

(c) Con los datos presentados, ¿podrías calcular el volumen inicial del gas V1?

Si, usando la ecuación de estado podemos despejar el volumen

nRTVp

=(1 )(0.08214 / )(300 ) 4.107

6mol atm l mol K K l

atm⋅ ⋅

= =

El volumen de un mol de oxígeno a una presión de 6.00atm y 27ºC (300K) de temperatura es 4.107 litros.

Gases ideales: Tarea (solución).

Considerando a la burbuja como un gas ideal, podemos aplicar la ecuación general, de donde despejamos el volumen V2

1 1 22

1 2

PV TVT P

=( ) 1 2

1

atm

atm

P gh V TT Pρ+

=Aquí hemos usado la Ley de Pascal para calcular las presiones p1 y p2.

Numéricamente( )( )( )

( )( )

3 2 3

2

101,300 (1025 )(9.806 )(25.0 ) 1.00 293.15278.15 101,300

Pa kg m m s m cm KV

K Pa+

=

32 3.6684V cm=

de tal forma que el volumen final de la burbuja es

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Esta última trata de explicar las propiedades de los gases, tales como la existencia de la presión, temperatura ó su volumen, considerando su composición molecular y su movimiento.

Teoría cinética de los gasesAntes de 1908 no se aceptaba de manera general la teoría atómica a pesar de la existencia de evidencias físicas y químicas, como por ejemplo:

• Tabla periódica de los elementos

• Leyes de la química (Ley de Dalton, etc.)

• Pesos moleculares y atómicos

• Teoría cinética de los gases y del calor

Con lo anterior, y hasta entonces, fue aceptada universalmente la teoría atómica de la materia.

236.023 10AN = ×

Sin embargo, con la teoría de Einstein, para el movimiento browniano, Perrin en 1908 fue capaz de determinar de manera experimental el número de Avogadro.

Teoría cinética de los gases

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1. Un gas ideal consta de partículas que siguen un movimiento aleatorio y que obedecen las leyes de la mecánica clásica.

2. El número total de moléculas es muy grande.

3. El volumen ocupado por las moléculas es una fracción muy pequeña del que ocupa el gas.

4. La única fuerza que actúa sobre las moléculas es la debida a las colisiones, ya sean con otras moléculas o con las paredes del contenedor.

5. Todas las colisiones son elásticas y de muy corta duración.

Teoría cinética de los gases: Bases

( )Masa de cada molécula:

Velocidad de cada molécula: , ,x y z

m

v v v v=

2A 1A

L

••

•

•

••

•

•

•

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2 2c B

m vE N Nk T= =

Energía cinética

Teoría cinética de los gases: Resultados

Presión:

2

2

2 13 2

13

Np m vV

Np m vV

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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Teoría cinética de los gases: ResultadosTeorema de equipartición de la energía.

Establece que “la energía (interna) U de un sistema en equilibrio térmico se divide en cantidades iguales para cada grado de libertad ( f )”.

Lo anterior permite establecer que por cada grado de libertad, en un sistema formado por N moléculas, se tiene una contribución dada por (1/2)NKBT a su energía interna. Es importante mencionar que, además de los grados de libertad traslacionales, también hacen su contribución los correspondientes a rotaciones y vibraciones de las moléculas.

2 2Bf fU Nk T nRT= =

gas monoatómico 3gas diatómico 5

gas poliatómico 6

fff

→ =⎧⎪ → =⎨⎪ → =⎩

considere que

Para un gas ideal la energía interna depende sólo de la temperatura del gas (y del número de moles).

Teoría cinética de los gases: ResultadosUn ejercicio[21S10] Un recipiente de 5.00 litros contiene gas nitrógeno a 27.00C y 3.00atm. Encuentre (a) el número de moles, (b) la energía cinética traslacional total de las moléculas del gas, y (c) la energía cinética promedio por molécula.

(b) Usando la Ecuación de estado del gas ideal y la expresión para la presión tenemos

Por otro lado, la energía cinética total se puede escribir como

(a) Usando la ecuación de estado del gas ideal, el número de moles es(3.00 )(5.00 ) 0.6084

(0.08214 / )(300.15 )pV atm ltn molesRT atm lt mol K K

= = =⋅ ⋅

así que

(c) Usando la definición de energía cinética y el teorema de equipartición de la energía tenemos