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MecMecáánica y fluidosnica y fluidos

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©©2007 Departamento de F2007 Departamento de FíísicasicaUniversidad de SonoraUniversidad de Sonora

DinDináámica de Fluidosmica de Fluidos

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TemarioTemario7. Din7. Dináámica de fluidosmica de fluidos

DinDináámica de fluidos (2.5 semanas)mica de fluidos (2.5 semanas)1.1. CaracterCaracteríísticas de los fluidos ideales y viscosossticas de los fluidos ideales y viscosos2.2. Concepto de gasto o flujo volumConcepto de gasto o flujo voluméétrico y su conservacitrico y su conservacióónn3.3. Flujo de masa y ecuaciFlujo de masa y ecuacióón de continuidadn de continuidad4.4. EcuaciEcuacióón de Bernoulli para fluidos no viscososn de Bernoulli para fluidos no viscosos5.5. PresiPresióón en fluidos no viscosos en movimiento a travn en fluidos no viscosos en movimiento a travéés de tubers de tuberííasas6.6. AplicaciAplicacióón de la ecuacin de la ecuacióón de Bernoullin de Bernoulli

Medidor de Medidor de VenturiVenturiVentura de vacVentura de vacíío y sus aplicacioneso y sus aplicacionesVelocidad de salida de un lVelocidad de salida de un lííquido por un orificio en un recipiente quido por un orificio en un recipiente con diferentes condiciones geomcon diferentes condiciones geoméétricastricasElevaciElevacióón de aviones y otros ejemplosn de aviones y otros ejemplos

7.7. La viscosidad de las sustancias y sus caracterLa viscosidad de las sustancias y sus caracteríísticassticasComportamiento de viscosidad con temperatura Comportamiento de viscosidad con temperatura

TemarioTemarioContinuaciContinuacióón Dinn Dináámica de fluidosmica de fluidos

DinDináámica de fluidos (2.5 semanas)mica de fluidos (2.5 semanas)8.8. Ley de Ley de HagenHagen--Poiseuille para flujo laminarPoiseuille para flujo laminar

9.9. Perfil de velocidad en rPerfil de velocidad en réégimen laminargimen laminar

10.10. NNúúmero de mero de ReynoldsReynolds y regimenes de flujoy regimenes de flujo

11.11. Estudio de objetos moviEstudio de objetos moviééndose en un fluido viscoso en reposondose en un fluido viscoso en reposo

Ley de Ley de StokesStokes

Velocidad terminalVelocidad terminal

SedimentaciSedimentacióón en centrifugasn en centrifugas

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1. 1. CaracterCaracteríísticas de los fluidos ideales y viscosossticas de los fluidos ideales y viscosos

Fluido idealFluido ideal

1.1. Flujo estacionarioFlujo estacionario:: Cada punto del fluido no varia en funciCada punto del fluido no varia en funcióón n del tiempo.del tiempo.

2.2. IncompresibleIncompresible (su densidad no puede cambiar): Los l(su densidad no puede cambiar): Los lííquidos quidos generalmente son incompresibles, aunque tambigeneralmente son incompresibles, aunque tambiéén puede n puede tratarse a los gases como incompresibles, si las diferencias de tratarse a los gases como incompresibles, si las diferencias de presipresióón no son muy grandesn no son muy grandes

3.3. Fluido no viscosoFluido no viscoso:: Es un fluido NO viscoso, cuando la fricciEs un fluido NO viscoso, cuando la friccióón n interna es nula o despreciable. Un objeto desplazinterna es nula o despreciable. Un objeto desplazáándose en un ndose en un fluido no viscoso no presenta retardo por fuerzas viscosas.fluido no viscoso no presenta retardo por fuerzas viscosas.

4.4. Irrotacional:Irrotacional: Un fluido es irrotacional si no posee velocidad Un fluido es irrotacional si no posee velocidad angular. Imaginemos una pequeangular. Imaginemos una pequeñña rueda de paletas sumergida a rueda de paletas sumergida en un len un lííquido que fluye. Si la rueda de paleta se desplaza sin quido que fluye. Si la rueda de paleta se desplaza sin girar el fluido es irrotacional, en caso contrario es rotacionalgirar el fluido es irrotacional, en caso contrario es rotacional..


Al estudiar la dinAl estudiar la dináámica de fluidos, se supondrmica de fluidos, se supondráá que todos los fluidos que todos los fluidos en movimiento exhiben un flujo laminar.en movimiento exhiben un flujo laminar.

El flujo laminar es el movimiento de un fluido en el que toda El flujo laminar es el movimiento de un fluido en el que toda partpartíícula del mismo sigue la misma trayectoria (al pasar por un cula del mismo sigue la misma trayectoria (al pasar por un punto en partpunto en partíículas) que la seguida por las partculas) que la seguida por las partíículas anteriores.culas anteriores.

Flujo laminar Flujo laminar Flujo turbulento Flujo turbulento

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El flujo turbulento puede visualizarse como un torbellino, en elEl flujo turbulento puede visualizarse como un torbellino, en elcual, la trayectoria que sigue un punto en el fluido no es predecual, la trayectoria que sigue un punto en el fluido no es predecible. cible. Pudiendo formarse en el interior del fluido remolinos. Como el qPudiendo formarse en el interior del fluido remolinos. Como el que ue aparece en la figura.aparece en la figura.

En este curso no nos enfocaremos en este tipo de flujos, debido En este curso no nos enfocaremos en este tipo de flujos, debido a su a su complejidad fcomplejidad fíísica y matemsica y matemáática, quedando para cursos elevados.tica, quedando para cursos elevados.


LLííneas de corrienteneas de corriente

Los flujos que trataremos Los flujos que trataremos son la zona correspondiente son la zona correspondiente a la regia la regióón mn máás prs próóxima al xima al tubo.tubo.

La trayectoria que toma una partLa trayectoria que toma una partíícula cula de un fluido es denominada lde un fluido es denominada líínea de nea de flujo.flujo.La velocidad de la partLa velocidad de la partíícula siempre es cula siempre es tangencial a las ltangencial a las lííneas de flujo.neas de flujo.Dos lDos lííneas de flujo NUNCA se cruzan, neas de flujo NUNCA se cruzan, si esto ocurre, una partsi esto ocurre, una partíícula de fluido cula de fluido podrpodríía seguir por cualquiera de las dos, a seguir por cualquiera de las dos, y el flujo sery el flujo seríía no estacionarioa no estacionarioUn conjunto de lUn conjunto de lííneas de flujo forman neas de flujo forman un tubo de flujo.un tubo de flujo.

RepresentaciRepresentacióón de n de las llas lííneas de flujo.neas de flujo.

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22. Concepto de gasto o flujo volum. Concepto de gasto o flujo voluméétrico y trico y su conservacisu conservacióónn

1 1 2 2 .Av A v cte= =

EL fluido de la parte baja de la imagen EL fluido de la parte baja de la imagen que se encuentra en el tubo, se desplaza que se encuentra en el tubo, se desplaza en un en un ΔΔtt, un , un ΔΔxx11=v=v1 1 ΔΔttAA11 es el es el áárea de la seccirea de la seccióón transversal en n transversal en esta regiesta regióón, entonces la masa que se n, entonces la masa que se desplaza es desplaza es ΔΔmm11= A= A11vv1 1 ΔΔxx11 ==ρρ11AA11vv11 ΔΔttPara la parte superior se tiene de Para la parte superior se tiene de manera similar, manera similar, AA22, y la masa , y la masa ΔΔmm22= A= A22vv2 2 ΔΔxx22 ==ρρ22AA22vv22 ΔΔttPor la conservaciPor la conservacióón de la masan de la masaΔΔmm11= = ΔΔmm22 o o ρρ11AA11vv11 == ρρ22AA22vv22

Se le conoce como ecuaciSe le conoce como ecuacióón de n de continuidadcontinuidadSi la densidad es constante Si la densidad es constante ρρ, se tiene , se tiene entoncesentonces Se denomina a la constante,Se denomina a la constante,

RazRazóón de flujo, gasto o flujo n de flujo, gasto o flujo de volumen de volumen

Una seUna seññora esta regando el jardora esta regando el jardíín y le tapa n y le tapa con el dedo a la manguera, dejando una con el dedo a la manguera, dejando una abertura de aproximadamente 1/3 del abertura de aproximadamente 1/3 del áárea rea original. original. ¿¿SaldrSaldráá mmáás rs ráápido el agua pido el agua tapando la boca de la manguera con el tapando la boca de la manguera con el dedo o sin tapar? dedo o sin tapar?

Si en la tele nos dicen que normalmente Si en la tele nos dicen que normalmente de la llave salen 20de la llave salen 20 litros por minutos, y litros por minutos, y la manguera es de aproximadamente de la manguera es de aproximadamente de 2cm. de di2cm. de diáámetro. La velocidad entonces metro. La velocidad entonces puede ser determinada utilizando la ley puede ser determinada utilizando la ley del gasto.del gasto.

Ejemplo de GASTOEjemplo de GASTO

Respuesta: Respuesta:

2

2 2

1 1

d vd v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 2 2 .Av A v cte Q= = =

2 21 2

1 2 .2 2d dv v cte Qπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dondedonde

despejandodespejando

Sabemos que dSabemos que d11=3d=3d22 y ademy ademáás ques que1lt = 1dm1lt = 1dm33 =(0.1m)=(0.1m)33, as, asíí se tiene quese tiene que20lt =20(0.1m)20lt =20(0.1m)33 cada 60 seg. Ascada 60 seg. Asíívv11=(20lt/60seg)/A=(20lt/60seg)/A11

=(20*=(20*(0.1m)(0.1m)33//60seg60seg)/()/(π∗(0π∗(0.01m).01m)22))AdemAdemáás sabemos que s sabemos que vv22=9v=9v11

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4. 4. EcuaciEcuacióón de Bernoulli para fluidos no n de Bernoulli para fluidos no viscososviscosos

Daniel BernoulliDaniel BernoulliFFíísico y matemsico y matemáático suizo, nacitico suizo, nacióó el 8 de el 8 de

Febrero de 1700. Hizo importantes Febrero de 1700. Hizo importantes aportaciones en aportaciones en hidrodinhidrodináámicamica. Su trabajo m. Su trabajo máás s importante trata sobre el estudio teimportante trata sobre el estudio teóórico rico experimental de fluidos tanto en equilibrio experimental de fluidos tanto en equilibrio como en movimiento. Su mcomo en movimiento. Su mááxima obra, llamado xima obra, llamado hoy en dhoy en díía a Principio de BernoulliPrincipio de Bernoulli, versa sobre la , versa sobre la descripcidescripcióón de fluidos desplazn de fluidos desplazáándose al ndose al interior de un tubo. Su obra esta basada en una interior de un tubo. Su obra esta basada en una descripcidescripcióón utilizando el principio de n utilizando el principio de conservaciconservacióón de la energn de la energíía.a.

4. 4. EcuaciEcuacióón de Bernoulli para fluidos no viscososn de Bernoulli para fluidos no viscosos

Cuando un fluido pasa a travCuando un fluido pasa a travéés de un tubo donde los extremos s de un tubo donde los extremos estestáán a diferente altura y tienen diferente n a diferente altura y tienen diferente áárea transversal, la rea transversal, la presipresióón del fluido varia.n del fluido varia.Daniel Bernoulli fue el primero en relacionar la presiDaniel Bernoulli fue el primero en relacionar la presióón con la n con la velocidad del fluido, y elevacivelocidad del fluido, y elevacióón, utilizando la conservacin, utilizando la conservacióón de la n de la energenergíía.a.

Punto 2Punto 2

Punto 1Punto 1

Suposiciones de BernoulliSuposiciones de BernoulliEl fluido es incompresible, El fluido es incompresible,

irrotacional, y no viscoso, irrotacional, y no viscoso, ademademáás fluye de manera s fluye de manera estacionaria.estacionaria.El El áárea en los extremos del tubo rea en los extremos del tubo son Ason A11 (punto 1) y A(punto 1) y A22 (punto 2) (punto 2) respectivamente y se encuentran respectivamente y se encuentran a una elevacia una elevacióón respecto al plano n respecto al plano horizontal yhorizontal y11 y yy y22. . La velocidad de entrada y salida La velocidad de entrada y salida son vson v11 (punto 1) y v(punto 1) y v2 2 (punto 2) (punto 2)

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ContinuaciContinuacióón 1n 1

1 1 1 1 1 1 1W F x P A x P V= Δ = = Δ

En un En un ΔΔtt, se aplica una fuerza F, se aplica una fuerza F11 sobre el sobre el fluido en Pfluido en P11, es decir sobre la secci, es decir sobre la seccióón n transversal Atransversal A11. Esto hace que se efect. Esto hace que se efectúúe un e un trabajo para poder desplazar el fluido un trabajo para poder desplazar el fluido un ΔΔxx11. . Dando como resultado Dando como resultado

Punto 2Punto 2

Punto 1Punto 1

2 2 2 2 2W P A x P V= − = Δ

donde donde ΔΔV es el volumen de la regiV es el volumen de la regióón n sombreada en el punto 1. sombreada en el punto 1.

De manera similar para el punto 2, el trabajo realizado sobre elDe manera similar para el punto 2, el trabajo realizado sobre el fluido en a fluido en a travtravéés del punto 1 en un tiempo s del punto 1 en un tiempo ΔΔtt, es igual al volumen que pasa por el , es igual al volumen que pasa por el punto 2.punto 2.El trabajo en punto 2 esta dado porEl trabajo en punto 2 esta dado por

Los volLos volúúmenes en los puntos 1 y 2 son iguales.menes en los puntos 1 y 2 son iguales.El trabajo es negativo debido a que la fuerza en el segmento va El trabajo es negativo debido a que la fuerza en el segmento va hacia la izquierdahacia la izquierdaY se desplaza hacia la derecha. Y se desplaza hacia la derecha.


( )1 1 2W P P V= − Δ

2 22 1

1 12 2

K mv mvΔ = −

AsAsíí el trabajo neto llevado a cabo sobre el el trabajo neto llevado a cabo sobre el segmento, por estas dos fuerzas en el segmento, por estas dos fuerzas en el intervalo intervalo ΔΔtt esta dado poresta dado por

Punto 2Punto 2

Punto 1Punto 1

parte de este trabajo se transforma en parte de este trabajo se transforma en energenergíía cina cinéética y parte en energtica y parte en energíía a potencial gravitacional. potencial gravitacional.

El cambio de energEl cambio de energíía cina cinéética en el intervalo de tiempo tica en el intervalo de tiempo ΔΔtt, se da como un , se da como un cambio en la velocidad al pasar de vcambio en la velocidad al pasar de v11 a va v22. Esto es debido a que se considera que . Esto es debido a que se considera que la masa permanece constante, porque el volumen permanece constala masa permanece constante, porque el volumen permanece constante.nte.La forma del cambio de energLa forma del cambio de energíía cina cinéética esta dada por: tica esta dada por:

El cambio en la energEl cambio en la energíía potencial gravitacional, se da por cambios en la elevacia potencial gravitacional, se da por cambios en la elevacióón n (cambio de y(cambio de y11 a ya y22) de una porci) de una porcióón del fluido en el intervalo de tiempo n del fluido en el intervalo de tiempo ΔΔtt..

2 1U mgy mgyΔ = −

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( ) ( )2 21 2 2 1 2 1

1 12 2

P P v v gy gyρ ρ ρ ρ⎛ ⎞− = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

W K U= Δ + Δ

( ) ( )2 21 2 2 1 2 1

1 12 2

P P V mv mv mg y y⎛ ⎞− = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

El trabajo total llevado a cabo por el fluido El trabajo total llevado a cabo por el fluido sobre la regisobre la regióón sombreada es igual a la n sombreada es igual a la energenergíía meca mecáánicanica

Punto 2Punto 2

Punto 1Punto 1

Sustituyendo los tSustituyendo los téérminos de las energrminos de las energíías as da como resultadoda como resultado

Si dividimos entre V y definiendo aSi dividimos entre V y definiendo a ρρ=m/V, tenemos=m/V, tenemos

Reagrupando tReagrupando téérminosrminos

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

P v gy P v gyρ ρ ρ ρ+ + = + +

Esta es la ecuaciEsta es la ecuacióón de Bernoulli para un n de Bernoulli para un fluido idealfluido ideal


La expresiLa expresióón de Bernoulli para un fluido n de Bernoulli para un fluido ideal, es expresada comideal, es expresada comúúnmente como:nmente como:

Punto 2Punto 2

Punto 1Punto 1

AsAsíí tambitambiéén podemos decir que cuando la altura aumenta n podemos decir que cuando la altura aumenta la presila presióón disminuye.n disminuye.

21 .2

P v gy cteρ ρ+ + =

Esta expresiEsta expresióón indica:n indica:

Si la velocidad aumenta la presiSi la velocidad aumenta la presióón disminuye n disminuye

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6. 6. AplicaciAplicacióón de la ecuacin de la ecuacióón de Bernoullin de Bernoulli

a) Aplicacia) Aplicacióón a hidrostn a hidrostááticatica

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2


Consideremos el caso para la expresiConsideremos el caso para la expresióón de n de de Bernoulli en el cual se tiene que las de Bernoulli en el cual se tiene que las velocidades vvelocidades v11=v=v22=0=0

1 2 2 1P P gy gyρ ρ− = −

P gyρ=

Sustituyendo, las velocidades y reagrupandoSustituyendo, las velocidades y reagrupando

Definiendo y=yDefiniendo y=y22--yy11

ExpresiExpresióón para la hidrostn para la hidrostááticatica


b) Teorema de b) Teorema de TorricelliTorricelli

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2


Consideremos el caso de un lConsideremos el caso de un lííquido de quido de densidad densidad ρρ, encerrado en un tanque. En la , encerrado en un tanque. En la parte inferior y a una altura yparte inferior y a una altura y11 del fondo tiene del fondo tiene un agujero de un agujero de áárea Area A11, que da al exterior. El , que da al exterior. El áárea del agujero es mucho mrea del agujero es mucho máás peques pequeñño que o que el el áárea Area A22 del tanque. El aire en el tanque por del tanque. El aire en el tanque por encima del lencima del lííquido se encuentra a una quido se encuentra a una presipresióón P. n P. ¿¿CuCuáál serl seráá la velocidad de salida la velocidad de salida del liquido por el agujero, si el nivel del del liquido por el agujero, si el nivel del liquido es h? liquido es h?

Respuesta: Respuesta:

Partiendo de la expresiPartiendo de la expresióón de Bernoulli,n de Bernoulli,

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b) Cont. Teorema de b) Cont. Teorema de TorricelliTorricelli

21 1 2

12oP v gy P gyρ ρ ρ+ + = +

Como AComo A2 2 >> A1 y utilizando le expresi>> A1 y utilizando le expresióón para el gaston para el gasto

1 1 2 2 2. 0A v A v cte v= = → =

Y PY P11=Presi=Presióón atmosfn atmosféérica, Prica, P22=P. Sustituyendo en la =P. Sustituyendo en la ecuaciecuacióón de Bernoulli,n de Bernoulli,

Reagrupando y haciendo h=yReagrupando y haciendo h=y22--yy11

( )1

22oP P

v ghρ−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )21 o

o

Psi P P v

ρ→ =

b) Cont. Teorema de b) Cont. Teorema de TorricelliTorricelli

Si el tanque no esta tapado, se tiene entonces que la Si el tanque no esta tapado, se tiene entonces que la presipresióón P=n P=PoPo, as, asíí la expresila expresióón de la velocidad se ve n de la velocidad se ve modificada por la siguiente expresimodificada por la siguiente expresióónn

La velocidad no depende de la densidad del fluido. La velocidad no depende de la densidad del fluido.

1 2v gh=

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c) Tubo de c) Tubo de VenturiVenturi

2 21 1 2 2

1 12 2

P v P vρ ρ+ = +

Consiste en un tubo horizontal en donde Consiste en un tubo horizontal en donde estrechamiento en una de las partes de un estrechamiento en una de las partes de un tubo es producido. La estrangulacitubo es producido. La estrangulacióón del n del tubo se da de manera gradual. De esta tubo se da de manera gradual. De esta manera se evita la produccimanera se evita la produccióón de remolinos y n de remolinos y queda asegurado un rqueda asegurado un réégimen estacionario. gimen estacionario.

Respuesta: Respuesta: Se tiene que ySe tiene que y11=y=y22, en la expresi, en la expresióón de Bernoulli, n de Bernoulli,

De la ecuaciDe la ecuacióón de continuidadn de continuidad

21 1 2 2 1 2

1

AAv A v v vA

= → =


c) Continuacic) Continuacióón Tubo de n Tubo de VenturiVenturi

222

1 2 2 21

1 12 2

AP v P vA

ρ ρ⎛ ⎞

+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Reagrupando se tieneReagrupando se tiene

Sustituyendo en la expresiSustituyendo en la expresióón de energn de energíías, se tieneas, se tiene

22 22

1 2 2 21

1 12 2

AP P v vA

ρ ρ⎛ ⎞

− + = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

1 22 1 2 2

1 2

2 P Pv A

A Aρ−

=−

Despejando vDespejando v22

Como AComo A11 >A>A22, entonces v, entonces v22>v>v1 1

indicando que Pindicando que P11>P>P22

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d) Trayectoria de una pelota en rotacid) Trayectoria de una pelota en rotacióónn

Al lanzar una pelota girando y siguiendo Al lanzar una pelota girando y siguiendo una trayectoria horizontal y recta, esta una trayectoria horizontal y recta, esta arrastra consigo una pequearrastra consigo una pequeñña capa de aire a capa de aire que la rodea.que la rodea.

Entonces se puede ver como si la pelota Entonces se puede ver como si la pelota estuviera inmestuviera inmóóvil y el aire se desplazara vil y el aire se desplazara con la misma velocidad que lo hace la con la misma velocidad que lo hace la pelota (velocidad relativa).pelota (velocidad relativa).



Si consideramos que la pelota gira en el Si consideramos que la pelota gira en el sentido de las manecillas del reloj y se sentido de las manecillas del reloj y se desplaza hacia la izquierda. Se tiene desplaza hacia la izquierda. Se tiene entonces: entonces: Las lLas lííneas de flujo se distorsionanneas de flujo se distorsionanLa velocidad en la parte superior es La velocidad en la parte superior es mayor que en la parte inferior de la mayor que en la parte inferior de la pelota. pelota. Utilizando la expresiUtilizando la expresióón de Bernoulli, esto n de Bernoulli, esto implica que la presiimplica que la presióón arriba es menor n arriba es menor que en la parte de abajo.que en la parte de abajo.

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La pelota se desplaza hacia la parte La pelota se desplaza hacia la parte superior debido a la diferencia de superior debido a la diferencia de presiones que siente.presiones que siente.

Menor vMayor P

Mayor vMenor P



Ya con esto podemos lanzar bolas de tipo:Ya con esto podemos lanzar bolas de tipo:Curvas y Curvas y ““ScrewballsScrewballs””

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Ejemplo 1Ejemplo 1

1 1

1 1

0.5 / , 3 ,0, 0.1

v m s P atmy d m= == =

RespuestaRespuesta

Por una casa circula agua a travPor una casa circula agua a travéés de un sistema de calefaccis de un sistema de calefaccióón. Si se bombea a una n. Si se bombea a una velocidad de 0.5m/s por una tubervelocidad de 0.5m/s por una tuberíía de .1m de dia de .1m de diáámetro situada en el smetro situada en el sóótano con una tano con una presipresióón de 3atm., n de 3atm., ¿¿cucuáál serl seráá la velocidad de circulacila velocidad de circulacióón y la presin y la presióón en una tubern en una tuberíía a de .06m de dide .06m de diáámetro situada en el segundo piso a 5mts mmetro situada en el segundo piso a 5mts máás arriba?s arriba?

La tuberLa tuberíía en el sa en el sóótano:tano: La tuberLa tuberíía en el sa en el sóótano:tano:

2 2

2 2

? / , ? ,5 , 0.06

v m s P atmy m d m= == =


ContinuaciContinuacióón Ejemplo 1n Ejemplo 11

1 1 2 2 2 12

AA v A v v vA

⎛ ⎞= → = ⎜ ⎟

⎝ ⎠EcuaciEcuacióón de continuidadn de continuidad

Sustituyendo en la ecuaciSustituyendo en la ecuacióón de Bernoullin de Bernoulli

2 2.5P atm=

22 1

1 1 1 2 1 22

1 12 2

AP v gy P v gyA

ρ ρ ρ ρ⎛ ⎞

+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Sustituyendo los valores para cada uno de los tSustituyendo los valores para cada uno de los téérminos nos queda:rminos nos queda:

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7. 7. La viscosidad de las sustancias y sus caracterLa viscosidad de las sustancias y sus caracteríísticassticas

1 2 .P P cte= =

Bernoulli dice que si una sustancia, digamos agua, Bernoulli dice que si una sustancia, digamos agua, circula por una tubercircula por una tuberíía o manguera que se encuentre a o manguera que se encuentre de manera horizontal a la misma altura y ademde manera horizontal a la misma altura y ademáás el s el didiáámetro de la tubermetro de la tuberíía no varia no variéé, entonces la , entonces la presipresióón del n del fluidofluido no variano varia

En la prEn la prááctica SI VARIA. La razctica SI VARIA. La razóón la vamos a tratar a continuacin la vamos a tratar a continuacióónn

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2



La variaciLa variacióón en la presin en la presióón es debido a fuerzas de n es debido a fuerzas de frenado o frenado o ““friccifriccióónn”” que existen entre las diferentes que existen entre las diferentes capas que componen el fluido. Este rozamiento es capas que componen el fluido. Este rozamiento es interno al material, y de ninguna manera se esta interno al material, y de ninguna manera se esta considerando la fricciconsiderando la friccióón entre el fluido y la tubern entre el fluido y la tuberíía a por la que circula.por la que circula.

Consideraremos una tuberConsideraremos una tuberíía circular, en donde las capas del fluido que a circular, en donde las capas del fluido que estestáán en contacto con el tubo, se encuentran a velocidad cero (en ren en contacto con el tubo, se encuentran a velocidad cero (en reposo) .poso) .

La expresiLa expresióón de Bernoulli nos indica que la presin de Bernoulli nos indica que la presióón en las capas mn en las capas máás s internas es menor que las capas minternas es menor que las capas máás externas. Debido a la diferencia de s externas. Debido a la diferencia de velocidad que existe. velocidad que existe.

1 2 .P P P cte RΔ = − = La resistencia al flujo, R, depende de la La resistencia al flujo, R, depende de la longitud del tubo longitud del tubo

Las capas de fluido forman cLas capas de fluido forman cíírculos concrculos concééntricos de la forma de la tuberntricos de la forma de la tuberíía.a.La velocidad de la capa central es mayor, respecto a las capas mLa velocidad de la capa central es mayor, respecto a las capas máás externass externas

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La resistencia al flujo, o viscosidad depende de muchos La resistencia al flujo, o viscosidad depende de muchos parparáámetros fisicoqumetros fisicoquíímicos.micos.

Primeramente consideremos que la viscosidad del Primeramente consideremos que la viscosidad del material no depende de la temperatura, concentracimaterial no depende de la temperatura, concentracióón, etc.n, etc.

La manera mLa manera máás sencilla de determinar la dependencia y s sencilla de determinar la dependencia y valor de la resistencia es :valor de la resistencia es :

Consideremos dos placas planas y paralelas entre las Consideremos dos placas planas y paralelas entre las cuales se coloca la muestra o fluido al que se le quiera cuales se coloca la muestra o fluido al que se le quiera determinar el valor de la viscosidad (resistencia al flujo).determinar el valor de la viscosidad (resistencia al flujo).

A la placa superior se le aplica una fuerza constante y A la placa superior se le aplica una fuerza constante y paralela a la placa, mientras que la placa inferior paralela a la placa, mientras que la placa inferior permanece inmpermanece inmóóvilvil

Supondremos que el fluido se desplaza en capas, cada Supondremos que el fluido se desplaza en capas, cada una con velocidad constante.una con velocidad constante.


Las capa del fluido en contacto con las placas se Las capa del fluido en contacto con las placas se desplazan con la misma velocidad que las placasdesplazan con la misma velocidad que las placas

Supondremos que el perfil con el que se desplazan entre Supondremos que el perfil con el que se desplazan entre si las diferentes capas de fluido posee una forma lineal. si las diferentes capas de fluido posee una forma lineal.

vAFz

η=

Las unidades de la viscosidad Las unidades de la viscosidad ηη son:son:

1 . 101 0.01Pa s PcP P

==

2 ./

Nm Pa sm m s

=2 ( )

/dina P poise

cm s=

MKS CGSMKS CGS

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7. 7. Valores de la viscosidad para algunos fluidosValores de la viscosidad para algunos fluidos

La viscosidad disminuye a medida que la temperatura aumentaLa viscosidad disminuye a medida que la temperatura aumenta

¿¿QuQuéé otro tipos de materiales?otro tipos de materiales?

Pinturas y RecubrimientosPinturas y Recubrimientos

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8. 8. Ley de Ley de HagenHagen--Poiseuille para flujo laminarPoiseuille para flujo laminar

4

8 LRrηπ

=

Para un fluido incomprensible circulando por una tuberPara un fluido incomprensible circulando por una tuberíía a de seccide seccióón transversal circular, la resistencia al flujo se n transversal circular, la resistencia al flujo se expresa comoexpresa como

1 2 4

8 LP P P Crηπ

Δ = − =

De la expresiones anteriores podemos concluir que:De la expresiones anteriores podemos concluir que:

Si la viscosidad aumenta, la caSi la viscosidad aumenta, la caíída de presida de presióón aumentan aumentaSi aumenta la longitud del tubo, es mayor la caSi aumenta la longitud del tubo, es mayor la caíída de presida de presióónnLa caLa caíída de presida de presióón depende fuertemente con el radio del tubo.n depende fuertemente con el radio del tubo.

9. 9. Perfil de velocidad en rPerfil de velocidad en réégimen laminargimen laminar

En la prEn la prááctica los perfiles con los que viaja un elemento de volumen a trctica los perfiles con los que viaja un elemento de volumen a travavéés de unas de unatubertuberíía vara varíían dependiendo diversos factores como son: viscosidad del fluidoan dependiendo diversos factores como son: viscosidad del fluido,,Velocidad del fluido, longitud del fluido, entre otros. Velocidad del fluido, longitud del fluido, entre otros.

Algunos de los perfiles mAlgunos de los perfiles máás comunes vienen a ser: s comunes vienen a ser:

El perfil plano de velocidad caracterizan a los fluidos en un iEl perfil plano de velocidad caracterizan a los fluidos en un instante de tiemponstante de tiempoEl perfil parabEl perfil parabóólico viene a ser observado una vez que la velocidad y la viscosilico viene a ser observado una vez que la velocidad y la viscosidad deldad del

Fluido no son muy grandesFluido no son muy grandesEste Este úúltimo perfil de velocidades es tomado para representar a un fluiltimo perfil de velocidades es tomado para representar a un fluido turbulento.do turbulento.

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10. 10. NNúúmero de mero de ReynoldsReynolds y regimenes de flujoy regimenes de flujo

La experiencia indica que hay una combinaciLa experiencia indica que hay una combinacióón de cuatro factores quen de cuatro factores quedeterminan cuando el rdeterminan cuando el réégimen de un fluido viscoso a travgimen de un fluido viscoso a travéés de un tubos de un tuboes es laminarlaminar o o turbulentoturbulento..

RvDN ρη

=

Estas combinaciones se denomina Estas combinaciones se denomina nnúúmero de mero de ReynoldsReynolds, N, NRR, y se define, y se definemediante la expresimediante la expresióón n

ρρ = densidad del fluido= densidad del fluidov = velocidad mediav = velocidad mediaηη = coeficiente de viscosidad= coeficiente de viscosidadD = diD = diáámetro del tubometro del tubo

La velocidad real no es la misma La velocidad real no es la misma en toda la seccien toda la seccióón del tubo.n del tubo.

La velocidad media se define comoLa velocidad media se define comola velocidad uniforme que resultarla velocidad uniforme que resultarííaapara la misma salida de lpara la misma salida de lííquido por quido por unidad de tiempo.unidad de tiempo.

10. 10. NNúúmero de mero de ReynoldsReynolds y regimenes de flujoy regimenes de flujo

El nEl núúmero de mero de ReynoldsReynolds es un nes un núúmero abstracto, es decir, su valor nummero abstracto, es decir, su valor numééricoricoes el mismo en cualquier sistema de unidadeses el mismo en cualquier sistema de unidades

RvDN ρη

=

Para un nPara un núúmero de mero de ReynoldsReynolds entre 0 y 2000 es un rentre 0 y 2000 es un réégimen laminagimen laminaNNRR > 3000 r> 3000 réégimen turbulentogimen turbulento

EjemploEjemplo

Cual es el nCual es el núúmero de mero de ReynoldsReynolds para el agua a 20C circula por una para el agua a 20C circula por una tuberiatuberiaDe 1cm de diDe 1cm de diáámetro a una velocidad de 10cm/s.metro a una velocidad de 10cm/s.

SustituyendoSustituyendo NNRR=1000=1000

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NNúúmero de mero de ReynoldsReynolds


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Aire caliente que sube Aire caliente que sube de una lde una láámpara de mpara de alcoholalcohol

Humo de un Humo de un cigarrocigarro

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