Electromagnetismo

Universidad Andrs Bello

Electromagnetismo

Luis Alvarez Thon

Edicin 2014

FMF-241

L U I S A LVA R E Z THON

E L E C T ROMAGN E T I SMOFM F - 2 4 1 ( 2 0 1 4 )

D E PA R TAMENTO D E C I E N C I A S F S I C A SU N I V E R S I DAD ANDR S B E L L O

2014 Luis Alvarez Thon

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.en_US.

Contenido

1. Matemticas del curso 91.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Operadores vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3. Integrales especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4. Teoremas integrales importantes . . . . . . . . . . . . . . 321.5. Coordenadas curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6. Operadores en coordenadas curvilneas . . . . . . . . . . . 38

2. Electrosttica 432.1. Carga elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3. Principio de Superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4. Campo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5. Distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . 582.6. Flujo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.7. La ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.8. Aplicaciones de la ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 84

3. El potencial electrosttico 933.1. Significado fsico del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2. Potencial elctrico de cargas puntuales . . . . . . . . . . . 953.3. Potencial elctrico de distribuciones continuas de carga . . 963.4. Energa potencial electrosttica . . . . . . . . . . . . . . . 973.5. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.6. Clculo del potencial por integracin . . . . . . . . . . . . 1013.7. Las ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . 1043.8. Conexin entre el campo elctrico, el potencial elctrico y

la densidad de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.9. El momento dipolar elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.10. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.11. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.12. Dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4. Corriente elctrica 1414.1. Corriente elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2. Densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3. Ecuacin de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.4. La ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.5. Conexin de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.6. Dielctricos imperfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.7. Densidad de corriente en rgimen permanente . . . . . . . 1534.8. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.9. El mtodo de las mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6 luis alvarez thon

4.10. La ley de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5. Magnetismo 1635.1. Campo magnticos y fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2. Fuerza magntica sobre un conductor con corriente . . . . 1645.3. Torque sobre una espira con corriente . . . . . . . . . . . 1685.4. La ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.5. Propiedades del campo magntico en el espacio libre . . . 1745.6. La ley de Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.7. Propiedades magnticas de la materia . . . . . . . . . . . 1815.8. Intensidad de campo magntico . . . . . . . . . . . . . . 1825.9. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.10. Flujo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.11. Induccin electromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.12. Inductancia e inductancia mutua . . . . . . . . . . . . . . 1925.13. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

ndice alfabtico 201

IntroduccinEstos son apuntes complementarios para el curso de Electromagne-

tismo (FMF241) y estn basados en varios libros de texto y otras fuentesde informacin. Si bien existe una buena cantidad de excelentes libros detexto, a veces el alumno se ve sobrepasado por la gran cantidad de infor-macin y no sabe distinguir lo que es ms relevante. Estos apuntes siguen,en estricto rigor, el orden de materias que aparecen en el syllabus delcurso.

Debo recalcar que el objetivo de estos apuntes no es reemplazar losexcelentes libros de texto disponibles en la biblioteca, sino que tienencomo objetivo guiar al alumno a consultar esos textos. La bibliografatentativa es la siguiente:

Fundamentos de electromagnetismo para ingeniera David K. ChengEdit. Addison-Wesley Longman

Fundamentos de la Teora Electromagntica Reitz/Milford/Christy Addison-Wesley Iberoamericana

Teora Electromagntica Hayt/Buck Edit. Mc Graw Hill

Electromagnetismo M. Furman

Electricidad y Magnetismo Berkeley Physics Course- Volumen 2 Edit.Revert

Fsica Universitaria Sears - Zemansky - Young Edit. Pearson

El primer capitulo del curso es opcional y tiene como objetivo refrescar yreforzar los conocimientos de matemticas que se necesitan en este curso.

CAPTULO1Matemticas del curso

En un curso de esta categora se asume que el estudiante tiene lapreparacin adecuada en clculo integral y diferencial, clculo vectorialy en el manejo de sistemas de coordenadas curvilneas. En el transcursode las materias, nos encontraremos que las leyes del electromagnetismosern expresadas mediante integrales de lnea, integrales de superficie,ecuaciones y operadores diferenciales, y operadores vectoriales.

Usted se puede preguntar porqu he incluido este captulo de ma-temticas si ya ustedes han pasado por cursos avanzados de lgebra yclculo. El problema es que las matemticas y la fsica se ensean enforma independiente y a veces existe una desconexin entre ellas. Perolas matemticas es el lenguaje natural de la fsica y fueron desarrolladaspara describir y resolver problemas de la vida real. La experiencia de losprofesores de fsica es que los prerrequisitos matemticos no son suficien-tes y que los alumnos necesitan ms experiencia en usar las matemticaseficientemente y en poseer una intuicin acerca de los procesos fsicos.

Este captulo no pretende ser un curso de Mtodos Matemticosde la Fsica sino que tiene como objetivo cubrir, en forma especfica, lastcnicas y mtodos justos y necesarios para resolver problemas avanzadosde electromagnetismo.

1.1 VectoresMuchas cantidades en fsica e ingeniera son tratadas como vectores

porque tienen asociadas un magnitud y una direccin; la velocidad, fuer- Vector: magnitud y direccinEscalar: magnitudza, momentum angular, campo elctrico o magntico son algunos ejem-

plos de vectores. En cambio cantidades tales como tiempo, temperaturao densidad slo tienen magnitud y son llamadas escalares.

Esto quiere decir que un vector es todo aquello que tiene magnitudy direccin? Bueno, hay que reconocer que esta definicin no es lams correcta pues usted podra preguntarse: acaso un auto tienemagnitud y direccin?, eso convierte a un auto en un vector?. Unmatemtico dira: un vector es un elemento de un espacio vectorial.

En trminos simples, un espacio vectorial en un conjunto de co-sas para las cuales se ha definido la operacin de adicin y tambinla operacin de multiplicacin por un escalar.

Un vector puede ser representado grficamente mediante una flechay un largo proporcional a su magnitud. Adems los vectores pueden ser

10 electromagnetismo fmf-241 (2014)

representados en dos o tres dimensiones.1 Si dos o ms vectores tienen 1 Por simplicidad vamos a dibujarlos endos dimensiones por el momento.la misma direccin y magnitud entonces son iguales (ver figura 1.1). No

hay diferencia donde empieza la cola del vector, aunque por convenienciase prefiere localizarla en el origen de coordenadas.

Figura 1.1: Todos los vectores de la fi-gura son iguales porque tienen la mis-ma direccin y largo.

Simblicamente un vector se representa por medio de una letra conuna flecha arriba, ~A y el largo (magnitud) como A =

~A.En la mayora de los libros de texto, un vector ~A se representa conel smbolo en negrita A y la magnitud mediante A. Por lo tanto, enlos libros de texto, hay que tener cuidado de no confundir A con A.

1.1.1 Operaciones con vectoresEn esta representacin grfica, la adicin de vectores2 2 La adicin de dos vectores solo tiene

sentido fsico si ellos son de la mismaclase, por ejemplo si ambos son fuerzasactuando en dos o tres dimensiones.

~C = ~A+ ~B

consiste en colocar la cola del vector ~B en la punta del vector ~A. Elvector ~C es entonces representado por una flecha dibujada desde la coladel vector ~A hasta la punta del vector ~B. Esta forma de sumar vectoresse llama regla del tringulo. (Fig. 1.2).

Figura 1.2: Adicin de dos vectoresmostrando la relacin de conmutacin.

La figura 1.2 tambin muestra la regla del paralelogramo que consisteen trasladar los dos vectores hasta formar un paralelogramo de tal maneraque el vector resultante ser aquel formado por la diagonal que parte delas dos colas hasta el punto donde se encuentran las dos puntas. Adems,esto demuestra grficamente que la adicin de vectores es conmutativa,es decir ~A+ ~B = ~B + ~A.

La generalizacin de este procedimiento para la adicin de tres o msvectores es clara y conduce a la propiedad de asociatividad de la adicin(ver figura 1.3), por ejemplo

~A+ ( ~B + ~C) = ( ~A+ ~B) + ~C

La sustraccin de dos vectores es muy similar a la adicin (ver figura1.4), es decir,

~A ~B = ~A+ ( ~B)donde ~B es un vector de igual magnitud pero en direccin exactamenteopuesta al vector ~B. La sustraccin de dos vectores iguales, ~A+ ( ~A),da como resultado el vector nulo ~0, el cual tiene magnitud cero y no tieneasociada ninguna direccin.

matemticas del curso 11

Figura 1.3: Adicin de tres vectoresmostrando la propiedad de asociativi-dad.

Figura 1.4: Sustraccin de dos vectores.


Figura 1.5: Multiplicacin del vector ~Apor un escalar ( > 0).

La multiplicacin de un vector por un escalar da como resultado unvector en la misma direccin que el original pero de una magnitud pro-porcional (ver figura 1.5). La multiplicacin por un escalar es asociativa,conmutativa y distributiva con respecto a la adicin. Para vectores arbi-trarios ~A y ~B y escalares arbitrarios y se cumple

() ~A = ( ~A) = ( ~A)

( ~A+ ~B) = ~A+ ~B

(+ ) ~A = ~A+ ~A

1.1.2 Vectores base y componentesLos vectores en dos dimensiones pueden ser representados como pares

ordenados de nmeros reales (a, b) y que obedecen ciertas reglas queveremos ms adelante.3 Los nmeros a y b son llamados componentes 3 Reglas de un espacio vectorial.del vector. El vector ~A = (a, b) puede ser representado geomtricamentemediante una flecha que va desde el origen hasta el punto (a, b).

Figura 1.6: Las componentes del vector~A son la proyecciones en los ejes coor-denados.

La extensin a tres dimensiones es directa. Un vector ~A puede serrepresentado mediante tres nmeros Ax,Ay y Az (ver figura 1.7)

~A = (Ax,Ay,Az)

Aunque ~A podra representar cualquier cantidad vectorial (momen-tum, campo elctrico, etc.), existe un cantidad vectorial, el desplazamien-to desde el origen de coordenadas al punto (x, y, z), es denotado por elsmbolo especial ~r. Entonces tenemos la eleccin de referirnos al despla-zamiento ya sea como el vector ~r o las las coordenadas del punto final(x, y, z):4 4 Este vector tambin se llama vector

posicin.~r (x, y, z)

Figura 1.7: En tres dimensiones, lascomponentes cartesianas del vector ~Ason la proyecciones en los ejes coorde-nados.

En esta etapa es conveniente introducir vectores unitarios5 a lo largo 5 Vectores de magnitud o largo 1.de cada uno de los ejes coordenados. Estos vectores se denotan i, j yk apuntando a lo largo de los ejes cartesianos x, y y z respectivamente(ver figura 1.8). Sea ~A = (Ax,Ay,Az) entonces Axi es un vector con


magnitud igual a |Ax| en la direccin x. Un vector ~A puede ser entoncesescrito como una suma de tres vectores, cada uno paralelo a un eje decoordenadas diferente (ver figura 1.9):

Figura 1.8: Los vectores unitarios,i, j, k, de un sistema de coordenadascartesianas tridimensionales.

~A = Axi+Ay j +Az k

Esto significa que estos vectores unitarios sirven como una base, oun conjunto completo de vectores en el espacio Euclidiano. Es decircualquier vector puede ser expresado como una combinacin linealde ellos. Los vectores base se pueden escribir tambin como

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)

Figura 1.9: Los vectores unitarios,i, j, k, de un sistema de coordenadascartesianas tridimensionales. El vector~A es la suma vectorial de los tres vec-tores a lo largo de los ejes coordenados.

Podemos considerar la adicin y sustraccin de vectores en trminosde sus componentes. La adicin de dos vectores ~A y ~B se encuentrasimplemente sumando sus componentes, o sea

~A+ ~B = Axi+Ay j +Az k+Bxi+By j +Bz k

= (Ax +Bx)i+ (Ay +By)j + (Az +Bz)k

y la sustraccin:

~A ~B = Axi+Ay j +Az k (Bxi+By j +Bz k)= (Ax Bx)i+ (Ay By)j + (Az Bz)k

cuidado!: No sumar magnitudes de vectores.Si un vector es la suma de dos vectores, la magnitud del vector

suma no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectoresoriginales. Por ejemplo, la magnitud del vector 3 i es 3 y la magnituddel vector 2 i es 2, !pero la magnitud del vector (3 i) + (2 i) = ies 1, no 5!.


1.1.3 Igualdad de vectoresEn la figura 1.1 describimos grficamente la igualdad de vectores. Aho-

ra que podemos definir un vector en forma analtica, podemos decir queun vector es igual a otro vector si y solo si todas las respectivas compo-nentes de los vectores son iguales. Es decir si ~A = Axi+ Ay j + Az k y~B = Bxi+By j +Bz k, entonces ~A = ~B si

Ax = Bx y Ay = By y Az = Bz

1.1.4 Magnitud de un vector en trminos de sus compo-nentes

La magnitud ~A de un vector ~A se puede inferir de la figura 1.9

~A = A =A2x +A2y +A2zUn vector nulo ~A = 0 significa que todas sus componentes son nulas

Ax = Ay = Az = 0, por lo tanto su magnitud es cero.

1.1.5 El vector unitarioComo ya se explic, los vectores i, j y k tienen magnitud la unidad.

Sin embargo, estos no son los nicos vectores unitarios. Es a veces tilencontrar un vector unitario que tenga una direccin especificada. Su-pongamos que queremos encontrar un vector unitario en la direccin delvector ~A. Esto es muy simple, el vector unitario (A) se obtiene dividiendoel vector por su magnitud:

A =~A

A2x +A2y +A2z=

~A ~APor definicin, un vector unitario tiene magnitud 1 y no tiene unidades.

Supongamos que r es un vector unitario con direccin de 36.0 (sen-tido antihorario, desde la direccin +x en el plano xy). El hecho de queun vector unitario tenga magnitud 1 y sin unidades, significa que si unomultiplica un vector unitario por un escalar, el vector resultante tieneuna magnitud igual al valor del escalar y con las mismas unidades. Porejemplo, si multiplicamos el vector r por 5.0m/s, obtenemos un vec-tor velocidad (5.0m/s) r que tiene una magnitud de 5.0m/s y apuntaen la misma direccin que r. Entonces en este caso (5.0m/s) r significa(5.0m/s) haciendo un ngulo de 36.0 con el eje x.

1.1.6 Un vector no tiene signoConsideremos el vector

~v = (8 106 i+ 0 j,2 107 k)m/s

Es este vector positivo, negativo o cero?. Ninguna de las descripcioneses apropiada. La componente x de este vector en positiva, la componente


y es cero y la componente z es negativa. Los vectores no son positivos,negativos o cero. Sus componentes pueden tener signo, pero esto no sig-nifica nada cuando consideramos el vector como un todo. Por otro lado,la magnitud de un vector |~v| es siempre positiva.

1.1.7 Cambio en una cantidad: la letra griega Frecuentemente necesitaremos calcular el cambio en una cantidad. Por

ejemplo, podremos desear saber el cambio de la posicin de un objetoen movimiento o el cambio de sus velocidad durante cierto intervalo detiempo. la letra griega (la d por diferencia) es usada para denotar elcambio en una cantidad ya sea escalar o vectorial. Por ejemplo cuando laaltura de un nio cambia de 1.1m hasta 1.2m, el cambio es h = +0.1m,es un cambio positivo. Si el saldo de su cuenta bancaria pasa de $150000a $130000, la variacin es negativa (saldo) = $20000.

Para el caso vectorial, ponemos como ejemplo los vectores de posicin

~r1 = 3 i 2 j y ~r2 = 5 i+ 2 j

el cambio de ~r1 a ~r2 se denota como ~r = ~r2 ~r1~r = (5 i+ 2 j) (3 i 2 j) = 2 i+ 4 j

es decir hay una variacin de +2m en la direccin x y una variacin de+4m en la direccin y.

La cantidad ~r = ~r2~r1 tambin representa el vector posicin relati-vo, es decir la posicin de un objeto relativo a otro. En la figura 1.10 elobjeto 1 est en la posicin ~r1 y el objeto 2 en la posicin ~r2. Queremosconocer las componentes del vector que apunta de desde el objeto 1 alobjeto 2. Este es el vector ~r = ~r2 ~r1. Notar que la forma es siemprefinal menos inicial.

Figura 1.10: Vector posicin relativo,~r2 ~r1.

1.1.8 Multiplicacin de vectoresPodemos definir el producto punto o producto escalar entre dos vec-

tores ~A y ~B como Producto escalar


~A ~B = ~B ~A = AB cos donde A y B son las longitudes de ~A y ~B, y es el ngulo formado porlos dos vectores. De acuerdo a esta definicin los productos punto de losvectores unitarios i, j y k son

i i = j j = k k = 1

i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0as se puede demostrar fcilmente que

~A ~B = (Axi+Ay j +Az k) (Bxi+By j +Bz k)= AxBx +AyBy +AzBz

Esta es una expresin muy til para encontrar el ngulo entre dos vecto-res:

cos =~A ~BAB

Alternativamente, la magnitud de un vector tambin se puede definircomo

A =~A ~A

Hemos definido el producto punto de dos vectores, el cual es una canti-dad escalar. Hay otra definicin muy til del producto entre dos vectorescuyo resultado es un vector. Definimos el producto cruz o producto vec-torial de ~A y ~B Producto vectorial

~A ~B = AB sin ndonde es el ngulo (< 180) entre ~A y ~B y n es un vector unitarioperpendicular al plano formado por los dos vectores. Como consecuencian es perpendicular a ~A y a ~B y es paralelo a ~A ~B. La direccin de nes la misma que el avance de un tornillo de rosca derecha si ~A es rotadohacia ~B. En la figura 1.11 se muestran dos formas de usuales de ilustrarel producto cruz: regla de la mano derecha y regla del tornillo de roscaderecha.

Ya que sin = 0 si = 0, tenemos que para vectores paralelos ~A ~B =0 y en especial ~A ~A = 0. Tambin se cumple que

~A ~B = ~B ~A

Si nos referimos a la figura 1.8 podemos aplicar las dos propiedades an-teriores a los vectores unitarios i, j y k:

i i = j j = k k = 0

i j = k j i =ki k = j k i = jj k = i k j =i

Tambin existe una ley distributiva

~A ( ~B + ~C) = ~A ~B + ~A ~C


Figura 1.11: El producto cruz ilustradode dos maneras: regla de la mano dere-cha y regla del tornillo de rosca derecha.El vector unitario n es perpendicular a~A y a ~B y es paralelo a ~A ~B.

El producto cruz de ~A y ~B en trminos de i, j y k est dado por:6 6 Este es un buen ejercicio.

~A ~B = (Axi+Ay j +Az k) (Bxi+By j +Bz k)= (AyBz AzBy)i+ (AzBx AxBz)j + (AxBy AyBx)k

Esto se puede escribir en forma ms compacta mediante el determinante

~A ~B =

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

errores comunes en multiplicacin vectorial:

1. El producto punto de dos vectores es un escalar y no un vector

2. El producto cruz de dos vectores en un vector y no un escalar.

1.1.9 Operaciones ilegales con vectoresAunque el lgebra vectorial es similar a las operaciones ordinarias de

los escalares, hay ciertas operaciones que no son legales (y carentes designificado) para vectores:

Un vector no puede ser igual a un escalar.

Un vector no puede ser sumado o restado de un escalar.

Un vector no puede estar en el denominador de una expresin. Esdecir no se puede dividir por un vector (sin embargo se puede dividirun vector por un escalar).


Figura 1.12: Operaciones vectorialesprohibidas.

1.1.10 Componentes de un vector en una direccinHemos puesto este tpico en una seccin aparte para enfatizar la im-

portancia de encontrar la componente de un vector en una direccin de-terminada. Por ejemplo si tomamos el vector ~A = Axi + Ay j + Az k,entonces la componente escalar de este vector en la direccin i es obvia-mente Ax, lo que es equivalente a efectuar el producto punto

~A i =(Axi+Ay j +Az k

) i = Ax

Esta componente no es otra cosa que la proyeccin de vector ~A sobre eleje x (ver figura 1.7). En el caso general, la proyeccin del vector ~A en ladireccin de un vector unitario u

~A u = ~A |u| cos

donde es el ngulo entre los dos vectores. Puesto que u es un vectorunitario, |u| = 1, entonces

(a)

(b)

Figura 1.13: (a) La componente escalarde ~A en la direccin del vector unitariou es ~A u. (b) La componente vectorialde ~A en la direccin del vector unitariou es ( ~A u)u.

~A u = ~A cos

Si nos referimos a la figura 1.13 vemos claramente que ~A cos es la

proyeccin del vector ~A en la direccin u. Podemos distinguir dos proyec-ciones: la proyeccin escalar, ~A u y la proyeccin vectorial, ( ~A u)u, enla direccin u.


1.1.11 Campos vectoriales y escalaresDurante el curso vamos a trabajar con conceptos tales como campo

elctrico, campo magntico, densidad de corriente, etc. Todos ellos soncampos vectoriales. Un campo vectorial en el espacio de dos (o tres)dimensiones, es una funcin ~F que asigna a cada punto (x, y) (o (x, y, z))un vector en dos (o tres) dimensiones dado por ~F (x, y) (o ~F (x, y, z)). Esposible que esto no parezca tener sentido, pero la mayora de la gente yaha visto, por ejemplo, un esquema de las lneas de campo magntico dela tierra (ver figura 1.14).

N

S

Figura 1.14: Las lneas del campo mag-ntico terrestre.

La notacin estndar para la funcin ~F es,

~F (x, y) = P (x, y)i+Q(x, y)j

~F (x, y, z) = P (x, y, z)i+Q(x, y, z)j +R(x, y, z)k

Por ejemplo, en la figura 1.15 se muestran los campos vectoriales:

~F (x, y) = yi+ xj y ~F (x, y) = cos(x2 + y)i+ (1+ x y2)j

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

- 2 - 1 0 1 2

- 2

- 1

0

1

2

~F (x, y) = yi+xj ~F (x, y) = cos(x2+ y)i+(1+xy2)j

Figura 1.15: Las lneas de campo parados campos vectoriales en dos dimen-siones.

Por otro lado, la figura 1.16 ilustra un ejemplo en tres dimensiones co-rrespondiente a un campo con simetra radial:

~F (x, y, z) = ~r = xi+ yj + zk

- 2

0

2

- 2

0

2

- 2

0

2

Figura 1.16: Las lneas del campo vec-torial radial ~F (x, y) = xi+ yj + zk.

Un campo escalar es un nombre elegante para una funcin del espacio,es decir, una funcin que asocia un nmero real con cada posicin en unespacio. En otras palabras es una funcin que tiene diferente valor en ca-da punto de un espacio, por ejemplo, en tres dimensiones = (x, y, z).Formalmente, escalar es una palabra usada para distinguir el campo deun campo vectorial. Ejemplos simples de campos escalares incluyen lapresin, P (x, y, z), en cada punto de un fluido o la distribucin de tem-peratura, T (x, y, z), a travs de un material.

La representacin grfica de P (x, y, z) o T (x, y, z) no es posible debidoa que no podemos dibujar una funcin en cuatro dimensiones, pero spodemos dibujar un campo escalar del tipo z = f(x, y). Hay dos formasde representar un campo escalar del tipo z = f(x, y). Una forma esdibujando en tres dimensiones (diagrama de contorno) y la otra en dos


dimensiones mediante curvas de nivel, cuya forma algebraica es f(x, y) =k para todos los valores posibles de k.

La figura 1.17 ilustra un ejemplo donde se ha dibujado una montaaen tres dimensiones y las curvas de nivel en dos dimensiones.

Representacinen relieve

Representacin encurvas de nivel

Figura 1.17: Representacin de unacampo escalar (altura de la superficiede la montaa) en 3D y curvas de nivelen 2D. Cada curva de nivel es del tipo

f (x, y) = k

con k = 0, 20, 40, 60, 80.

Un ejemplo ms matemtico sera considerar la funcin paraboloidehiperblico

z = (x, y) = x2 y2

cuyas grficas en 3D y curvas de nivel, se muestran en la figura 1.18.

Figura 1.18: Representacin del campoescalar (x, y) = x2 y2. A la izquier-da la grfica en 3D y a la derecha lascurvas de nivel.


1.1.12 Funciones vectoriales en tres dimensionesAnteriormente definimos el vector posicin, como un vector que va

desde el origen de coordenadas hasta un punto dado (x, y, z)

~r = xi+ yj + zk

Ahora, si el punto (x, y, z) se mueve en el transcurso del tiempo, entonces~r(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k es una funcin vectorial del tiempo. La fun-cin ~r(t) traza una curva en el espacio cuando t vara. Podemos denotarun punto en el espacio como ~r(x, y, z) = ~r(x(t), y(t), z(t)) = ~r(t). Lavelocidad del punto se obtiene por diferenciacin vectorial

~v(t) = ~r(t) =dx

dti+

dy

dtj +

dz

dtk

Una aplicacin interesante es la segunda ley de Newton

md2~r

dt2= ~F (x, y, z)

EJEMPLO 1.1

La fuerza que acta sobre una partcula de carga q movindose a una velocidad ~v en un campo magntico ~Bes ~F = q~v ~B. Determinar la ecuacin de movimiento de la partcula si ~B = Bk, donde B es una constante.Solucin: No necesitamos saber lo que es una carga o un campo magntico para resolver este problema. Lasegunda ley de Newton dice

md2~r

dt2= m

d~v

dt= ~F

md~v

dt= q~v ~B

ahora necesitamos calcular ~v ~B sabiendo que ~v = vxi+ vy j + vz k y ~B = Bk

~v ~B =

i j k

vx vy vz

0 0 B

= vyBi vxBj + 0kas la ecuacin de movimiento queda

m

(dvxdt

i+dvydtj +

dvzdtk

)= q(vyBi vxBj)

de esta manera obtenemos tres ecuaciones diferenciales acopladas

mdvxdt

= qvyB mdvydt

= qvxB mdvzdt

= 0 (?)

primero se resuelve para ~v(t) y luego para ~r(t). Usted puede comprobar que las expresiones siguientes sonsoluciones de ()

x(t) = a cos qBtm

x(t) = a sin qBtm

z(t) = bt

donde a y b son constantes que dependen de los valores iniciales de ~r(t) y ~v(t). Esta trayectoria correspondea una hlice con velocidad uniforme en la direccin z.


1.1.13 Diferencial de un vectorEn la seccin anterior vimos que para obtener la velocidad a partir

de vector posicin tenemos que tomar las derivadas de cada componente.Al igual que en el caso de funciones escalares, tambin podemos definirel diferencial de un vector. Supongamos que el vector ~A depende de unavariable u, entonces la derivada de ~A respecto a u es

d ~A

du=dAxdu

i+dAydu

j +dAzdu

k

En esto usamos la nocin de que un pequeo cambio ~A en el vector ~A(u)es el resultado de un pequeo cambio u. De aqu definimos el diferencialde ~A como7 7 Notar que d ~A es tambin un vector.

d ~A =d ~A

dudu

Un ejemplo es el cambio infinitesimal del vector posicin de una partculaen un tiempo infinitesimal dt

d~r =d~r

dtdt = ~vdt

Si el vector ~A depende de ms de una variable, digamos u, v , escribi-mos ~A = ~A(u, v). Entonces

d ~A = ~A

udu+

~A

vdv

1.2 Operadores vectorialesMs adelante nos encontraremos campos vectoriales y escalares conti-

nuos y nos veremos en la necesidad de considerar sus derivadas y tam-bin la integracin de cantidades (campos) a lo largo de lineas, sobresuperficies y a travs de volmenes en el campo. En esta seccin nos con-centraremos en la definicin de operadores diferenciales vectoriales y suspropiedades.

1.2.1 Gradiente de un campo escalarConsideremos una sala donde la temperatura puede variar de un lugara otro (por ejemplo a lado de una ventana la temperatura puede sermenor). Es decir, la temperatura en la sala depender de las coordenadas(x, y, z). Como la temperatura es un escalar, la expresamos como:

T = T (x, y, z)

Ahora si deseamos saber como vara la temperatura ante un cambio infi-nitesimal de la posicin (x, y, z) escribimos el diferencial de T

dT =T

xdx+

T

ydy+

T

zdz

y notemos que esta expresin se puede escribir como el producto puntode vectores


dT =

(T

xi+

T

yj +

T

zk

) (dxi+ dyj + dzk) (?)

El trmino dxi+dyj+dzk no es otra cosa que d~r, el vector que representaun incremento o desplazamiento desde (x, y, z) a (x + dx, y + dy, z +dz). El otro trmino del segundo miembro de (?) es el gradiente de latemperatura y es representado por el smbolo T . Entonces podemosescribir (?) como

dT = T d~rUsando la definicin de producto punto, lo anterior tambin se puedeescribir como

dT = |T | |d~r| cos Ahora, si fijamos la magnitud de d~r en algn valor especfico (por ejemplo,en uno) entonces el mayor valor que puede tomar dT es cuando T yd~r son paralelos (cos = 1). Esto nos dice que la direccin del vectorgradiente representa la direccin del incremento ms rpido (mximapendiente) de la temperatura. Adicionalmente, la magnitud del gradiente,|T |, es el incremento ms rpido en la direccin de mxima pendiente.

El gradiente aparece frecuentemente en aplicaciones fsicas. En me-cnica clsica, si V (x, y, z) representa la energa potencial, entonces elcampo de fuerza correspondiente est dado por

~F (x, y, z) = V (x, y, z)

En electricidad y magnetismo (este curso) veremos que si V (x, y, z) repre-senta el potencial electrosttico, entonces la intensidad del campo elc-trico correspondiente est dado por

~E(x, y, z) = V (x, y, z)

En el caso general de una funcin f(x, y, z) el gradiente en coordenadascartesianas es El gradiente es un vector, es por eso

que algunos libros de texto se escribe~f para enfatizar su naturaleza.f(x, y, z) = fx i+

f

yj +

f

zk

f es un vector que expresa como vara la funcin f en la proximidadde un punto. Por supuesto que debemos asumir que f(x, y, z) es diferen-ciable, de lo contrario f no existira.

Si omitimos la funcin f , podemos definir el operador nabla Gradiente como el operador nabla .

= xi+

yj +

zk

que aplicado a una funcin f no da f .El vector gradiente tiene dos interpretaciones geomtricas importantes:

C A SO 1: Consideremos dos puntos P yQ sobre una superficie f(x, y, z) =C, con C constante tal como muestra la figura 1.19. Los dos puntos estna una distancia d~r uno del otro. Al movernos del punto P al Q no haycambios en f (df = 0), pues f(P ) = P (Q) = C. Entonces tenemos que

df = f d~r = 0


Para que esto ocurra debe tenerse que f debe ser perpendicular a d~r.En otras palabras, f es un vector normal a la superficie f(x, y, z) = Cen cada punto.

Figura 1.19: El vector gradiente es per-pendicular a la superficie f (x, y, z) = Ccuando el vector d~r est sobre la super-ficie.

CA SO 2: Si ahora permitimos que d~r nos lleve desde la superficie C1hasta la superficie adyacente C2 (ver figura 1.20), tenemos que la variacinde f es

df = C1 C2 = C = f d~r

Figura 1.20: El vector gradiente.

Si mantenemos fijo el valor de df

|d~r| = df|f | cos y entonces se ve que |d~r| toma un valor mnimo (camino ms corto)cuando nos movemos en forma paralela a f (cos = 1).Por otro lado, para un valor fijo de |d~r|

df = |f | |d~r| cos


el cambio en la funcin escalar f es maximizado al elegir d~r paralelo af (ver el caso anterior de la temperatura T ). Es decir f es el mximovalor que podra tomar df .

Esto identifica a f como un vector que tiene la direccin del mximoincremento de f .

Finalmente, para reforzar el caso 2 con otro ejemplo, podemos fijarnosen la figura 1.21a donde se ha representado, en 3D, una funcin de dosvariables f(x, y). El sentido del vectorf en un punto es el sentido en quedebemos movernos a partir del punto para hallar el incremento ms rpidode la funcin f . Si colocramos una bolita en el punto donde calculamosel gradiente, entonces la bolita tendra mxima velocidad en la direccinnegativa de f . En la figura 1.21b representa mediante vectores en elplano xy el gradiente de f . En especial, en el punto (x1, y1), la superficiese eleva bruscamente.

Direccin de lamxima pendiente

(a) (b)

Figura 1.21: La funcin escalar f (x, y)est representada por la superficie en3D en (a). En (b) se representa la fun-cin vectorial f .


1.2.2 Divergencia de un campo vectorial

Para un campo vectorial ~A(x, y, z), la divergencia ( ~A) est definidapor8 8 En algunos libros de texto tambin se

usa div ~A ~A = Ax

x+Ayy

+Azz

donde Ax,Ay y Az son las componentes de ~A. Claramente ~A, es uncampo escalar. Cualquier campo vectorial para lo cual ~A = 0 se diceque es solenoidal.

Por el momento pospondremos la interpretacin fsica rigurosa de ladivergencia. Solo diremos que la divergencia puede ser considerada co-mo una medida cuantitativa de cuanto un campo vectorial diverge (sedifunde o desparrama) o converge en un punto dado. Por ejemplo lafigura 1.22 ilustra el signo de la divergencia dependiendo de la formadel campo vectorial ~E. Cuando ~E > 0 en algn punto, estamos enpresencia de una fuente o manantial9 desde donde el campo vectorial ra- 9 Por ejemplo una fuente de fluido en el

interior de un volumen.dia hacia el exterior. Si ~E < 0 estamos en presencia de un sumideropues el campo converge hacia dicho punto. Si ~E = 0 en campo noconverge ni diverge (no hay manantiales ni sumideros).

Figura 1.22: Interpretacin geomtricadel signo de la divergencia.

Un campo vectorial con divergencia nula (solenoidal) significa que laslneas de campo no convergen ni divergen en ningn punto; no puedentener extremos localizados. Grficamente las lineas solo pueden sercerradas, o ir del infinito al infinito (ver figura 1.22), o dar vueltassobre s mismas, sin llegar a cerrarse. Por ejemplo el campo ~F (x, y) =yi+ xj (ver figura 1.15) es solenoidal pues ~F = 0 y adems laslneas de campo describen circunferencias en torno al eje z.

En la seccin anterior definimos el operador gradiente como

= xi+

yj +

zk

entonces la divergencia se puede definir en forma alternativa como el


producto punto entre ~ y el vector ~A

~A =(

xi+

yj +

zk

) (Axi+Ay j +Az k)

=Axx

+Ayy

+Azz

Hay dos ejemplos interesantes a considerar. El primero es la divergenciadel vector posicin

~r =(

xi+

yj +

zk

) (xi+ yj + zk)

=x

x+y

y+z

z= 3

Otro ejemplo es la divergencia de un campo central ~rf(r) donde r =x2 + y2 + z2

(~rf(r)) = x

[xf(r)] +

y[yf(r)] +

z[zf(r)]

= 3f(r) + x2

r

df

dr+y2

r

df

dr+z2

r

df

dr

= 3f(r) + r dfdr

1.2.3 Rotor de un campo vectorialSiguiendo con la misma lgica de operadores, podemos efectuar el pro-

ducto cruz entre el operador y un campo escalar ~A. As definimos otraoperacin llamada rotor (o rotacional)10 10 En algunos libros de texto tambin

se usa rot ~A

~A =(

xi+

yj +

zk

) (Axi+Ay j +Az k)

=

(Azy Ay

z

)i+

(Axz Az

x

)j +

(Ayx Ax

y

)k

lo cual se puede colocar en forma de determinante

~A =

i j kx

y

z

Ax Ay Az

El rotor asociado a un campo vectorial ~A es otro campo vectorial, y porlo tanto el rotor calculado en un punto da como resultado un vector.El rotor es un operador vectorial () que muestra la tendencia de uncampo vectorial a inducir rotacin alrededor de un punto.

Si el rotor de un campo vectorial (por ejemplo un fluido) es cero en unpunto significa que el campo vectorial (fluido) no tiene rotaciones en esepunto (campo irrotacional), es decir no tiene circulacin, turbulencia oremolinos. En cambio si el rotor es distinto de cero significa que el campotiene circulacin o remolinos. La figura 1.23 ilustra los dos casos para uncampo vectorial representado por un fluido.


Figura 1.23: A la izquierda el fluido(campo vectorial) es un campo irrota-cional pues no tiene remolinos, por lotanto la pelota no rota y solo se tras-lada. A la derecha el fluido tiene circu-lacin (rotor distinto de cero) que haceque la pelota rote.

Ms adelante veremos que el campo elctrico radiado por una cargapuntual q positiva es radial (ver figura 1.24) y se expresa como

~E = keq

r2r

donde r es un vector unitario que apunta en forma radial. Claramentelas lineas de campo no tienen circulacin por lo tanto el campo elctricodebe ser irrotacional, ~E = 0. En efecto

~E = (keq

r2r)= ke

q

r2 r = ke q

r2

(~r

r

)= ke

q

r2 ~r

recordemos que el rotor acta solo sobre el vector ~r, entonces ~E = 0pues

~r =

i j kx

y

z

x y z

= 0

Figura 1.24: Lineas de campo elctricode una carga puntual positiva. Las li-neas no tienen circulacin, por lo tantoeste campo es irrotacional.

1.2.4 El LaplacianoQue pasa si hacemos el producto punto entre dos operadores ?

= 2 =(

xi+

yj +

zk

)(

xi+

yj +

zk

)=

(

xi

)(

xi

)+

(

yj

)(

yj

)+

(

zk

)(

zk

)=

2

x2+

2

y2+

2

z2= 2

De aqu surge la definicin de Laplaciano de un campo escalar (x, y, z)11 11 Es la divergencia del gradiente,2 = ()

2 = 2

x2+2

y2+2

z2

Este operador ser de gran importancia en este curso, donde necesita-remos encontrar el potencial electrosttico, V (una funcin escalar) pormedio de una ecuacin diferencial. Por ejemplo la ecuacin diferencialsiguiente se llama ecuacin de Poisson

2V = 0


donde es la densidad de carga (una funcin escalar). Por otro lado, laecuacin siguiente se llama ecuacin de Laplace

2V = 0

aparece en muchas ramas de la fsica.

1.3 Integrales especialesEn los prximos captulos nos vamos a encontrar con campos escalares

que varan en el espacio. tambin necesitaremos con frecuencia considerarla integracin de estos campos a lo largo de lneas , sobre superficies ya travs de volmenes. En general, el integrando puede tener naturalezaescalar o vectorial, pero la evaluacin de esas integrales se ver reducidaa una o ms integrales escalares. En el caso de integrales de superficie yvolumen, la evaluacin implica integrales dobles o triples.

1.3.1 Integrales de lneaLas integrales de lnea pueden tener la siguiente forma

C

d~r,

C

~A d~r,

C

~A d~r

donde es un campo escalar, ~A es un campo vectorial y d~r un vectorde desplazamiento infinitesimal. Las tres integrales tienen carcter vec-torial, escalar y vectorial respectivamente. Como veremos ms adelante,las integrales del tipo

C~A d~r son las de mayor uso en electromagne-

tismo.12 La evaluacin de la integral se hace a lo largo de una trayec- 12 Cuando la curva de integracin es ce-rrada escribimos el smbolo

C~A d~rtoria o curva C. En coordenadas cartesianas ~A = Axi + Ay j + Az k y

d~r = dxi+ dyj + dzk, entonces13 13 Tambin acostumbra a usar el sm-bolo d~l en vez de d~r.

C

~A d~r =

C

(Axi+Ay j +Az k

) (dxi+ dyj + dzk)

=

C

(Axdx+Aydy+Azdz)

=

C

Axdx+

C

Aydy+

C

Azdz

Es decir, tenemos la evaluacin de tres integrales normales. Un proce-dimiento similar se aplica para los otros tipos de integrales.

Un campo vectorial ~A se dice que es conservativo si existe un campoescalar tal que Campo conservativo.

~A = De aqu se deriva el teorema fundamental para gradientes, el cual expresaque14 14 Otra forma de escribir esto es

b

aC

() d~r = (b)(a)b

aC

~A d~r = (b)(a)


es decir, dado que existe un potencial escalar que genera ~A, entoncesel valor de la integral de lnea es dado por el valor de la funcin escalaren los puntos a y b. Esto implica dos cosas

1. baC

~A d~r es independiente del camino C tomado desde a hasta b,pues su valor depende de la diferencia (b)(a).

2. baC

~A d~r = 0 para una trayectoria cerrada,15 en otras palabras 15 La circulacin es la integral alrede-dor de una curva cerrada.(b)(a) = 0 pues el punto a y el punto b son coincidentes.

EJEMPLO 1.2: Trabajo efectuado por una fuerza

La fuerza ejercida sobre un cuerpo est dada por ~F = yi+ x~j. Calcular el trabajo efectuado al ir desde elorigen hasta el punto (1, 1).Solucin: Aqu necesitamos calcular la integral

W =

(1,1)

(0,0)

~F d~r =(1,1)

(0,0)

(yi+ x~j) (dxi+ dyj) =(1,1)

(0,0)

(ydx+ xdy)

Separando las dos integrales, obtenemos

W = 1

0

ydx+

1

0

xdy

La primera integral no puede ser evaluada hasta que especifiquemos como vara y en funcin de x. Lo mismopara la otra integral. Entonces elegimos un camino de integracin (0, 0) (1, 0) (1, 1)

W = 1

0

0dx+1

0

1dy = 1

puesto que y = 0 a lo largo del primer segmento del camino y x = 1 a lo largo del segundo segmento. Siahora elegimos otro camino, (1, 0) (0, 1) (1, 1), entonces

W = 1

0

1dx+1

0

0dy = 1

y comprobamos que en este caso el trabajo depende de la trayectoria (~F es no conservativo).

1.3.2 Integrales de superficieEste es otro tipo de integrales que aparecen con mucha frecuencia. Las

ms comunes son

S

d~S,

S

~A d~S,

S

~A d~S

Todas estas integrales se toman sobre una superficie S, la cual puedeser abierta o cerrada, y son por lo general, integrales dobles. Siguiendo la


notacin de integrales de lnea, para superficies cerradas se usa el smboloS .El diferencial vectorial d~S representa un elemento de rea vectorial de

la superficie S. El elemento se define perpendicular a la superficie y a vecesse escribe como d~S = ndS donde n es un vector unitario perpendicular ala superficie en la posicin del elemento y dS es la magnitud (escalar) ded~S (ver figura 1.25). La superficie cerrada en 1.25-a encierra un volumenV mientras que la superficie abierta en 1.25-b genera un permetro C.

(a) (b)

Figura 1.25: (a) Una superficie cerraday (b) una superficie abierta. En cadacaso se muestra un vector normal a lasuperficie d~S = ndS, el cual forma unngulo con el campo vectorial ~A en elpunto.

Nuevamente las integrales de superficie ms comunes son las del tipoA =

S~A d~S. A este tipo de integrales se les llama integrales de flujo y

las encontraremos ms adelante cuando veamos campo elctrico y campomagntico.

Una manera alternativa de definir la divergencia de un campo vec-torial es usar las integrales de flujo. La divergencia de un campo vectorial~A en un punto, se define como el flujo neto de salida de ~A por unidad devolumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero. Es deciren cualquier punto P

~A = lmV0

(1V

S

~A d~S)

(Forma integral de la divergencia)

Anlogamente, puede demostrarse que los otro operadores vectoriales (ro-tor y gradiente) se pueden definir como

~A = lmV0

(1V

Sd~S ~A

)(Forma integral del rotor)

= lmV0

(1V

Sd~S

)(Forma integral del gradiente)

En cada caso, V es un pequeo volumen que encierra el punto P y S esla superficie que rodea a ese volumen.


1.3.3 Integrales de volumenEstas integrales son ms simples de calcular, ya que el elemento de

volumen dV es una cantidad escalar. En coordenadas cartesianas dv =dxdydz16 16 En algunos libros de texto nos encon-

traremos con las notaciones d3r d3xpara el elemento de volumen.

V

~Adv = i

VAxdv+ j

VAydv+ k

VAzdv

La cual se ha reducido a calcular tres integrales de volumen escalares.

1.4 Teoremas integrales importantes

1.4.1 El teorema de la divergenciaSupongamos que V representa un volumen en el espacio de tres dimen-

siones, S la superficie que encierra ese volumen, y ~A un campo vectorial.El teorema de la divergencia establece que17 17 Tambin conocido como teorema de

Gauss.V( ~A)dv =

S

~A d~S

El teorema de la divergencia puede ser usado para relacionar integralesde volumen e integrales de superficie para cierto tipo de integrandos.

1.4.2 El teorema de StokesEste es un teorema fundamental para rotores

S( ~A) d~S =

C

~A d~r

Aqu el rotor es sobre una superficie abierta y C es la curva o perme-tro que rodea la superficie. Este teorema puede ser usado para evaluarintegrales de superficie de la forma

S( ~A) d~S como integrales de

linea y vice versa. La curva C es recorrida en la direccin con respectoa la normal, n de acuerdo a la regla de la mano derecha (o la regla deltornillo), ver figura 1.26.

Figura 1.26: La curva cerrada C es elcontorno que rodea de la superficie S.La direccin del vector normal es deter-minada por la regla de la mano derecha(o tornillo), es decir los dedos apuntasen la direccin de circulacin y el pulgarapunta en direccin del vector normal.


1.5 Coordenadas curvilneasEn problemas de electromagnetismo, nos encontraremos muy frecuen-

temente con geometras que contengan cilindros o esferas. La geometradel sistema de coordenadas cartesianas no es el ms adecuada para tratargeometras esfricas y cilndricas. En especial, si hay simetras asociadascon el problema tal como una invariancia con un ngulo o distancia desdeun punto dado, se pueden obtener simplificaciones considerables en losclculo si se usan otros sistemas de coordenadas.

Las coordenadas curvilneas son sistemas de coordenadas en el espacioEuclidiano donde las lneas pueden ser curvas. Estas coordenadas puedenser obtenidas a partir del sistema de coordenadas Cartesiano medianteuna transformacin que es invertible (un mapeo 1-1) en cada punto. Estossignifica que podemos convertir un punto dado en coordenadas Cartesia-nas a un sistema curvilneo y vice versa.

1.5.1 Coordenadas cartesianasMs adelante nos encontraremos con problemas donde hay que calcular

integrales expresadas en diferentes sistemas de coordenadas. Necesitare-mos expresar cantidades infinitesimales tales como elementos de lnea,rea y volumen. En el sistema cartesiano esto es simple.

Figura 1.27: Vector de desplazamientoentre dos puntos.

Consideremos un pequeo desplazamiento entre los puntos P1 y P2 (verfigura 1.27). este vector puede ser descompuesto y obtener el elementoinfinitesimal (o diferencial) de lnea:

d~s = dxi+ dyj + dzk

El elemento infinitesimal de volumen es simple. En la figura 1.27 te-nemos un cubo con aristas de longitud dx, dy y dz

Figura 1.28: Elemento de volumen encoordenadas Cartesianas.

d3r = dV = dxdydz

Para el elemento infinitesimal de rea (o superficie) tenemos tres op-ciones correspondientes a tres planos

Figura 1.29: Elemento de rea en coor-denadas Cartesianas. El vector d ~A esperpendicular a la cara y de magnituddA = dxdx

dA = dydz dA = dxdy dA = dxdz

Los elementos de rea son en realidad vectores donde la direccin delvector d ~A es perpendicular al plano definido por el rea. El vector reaes elegido apuntando hacia afuera desde una superficie cerrada. Entoncespara los tres casos anteriores escribimos

d ~A = dydzi d ~A = dxdyk d ~A = dxdzj

En general, la magnitud de d ~A representa el rea y a veces escribimos

d ~A = dA n

donde n es un vector perpendicular a la superficie de rea dA.


1.5.2 Coordenadas esfricasEn vez de localizar un punto en el espacio mediante coordenadas carte-sianas, podemos usar coordenadas esfricas r, y . De la figura 1.30se desprende que la relacin entre los dos sistemas de coordenadas estdada por

x = r sin cosy = r sin sinz = r cos

Figura 1.30: Una representacin de unsistema de coordenadas esfricas. Unpunto es especificado por las coordena-das esfricas r, y .

Desafortunadamente, la convencin de los smbolos y , usada aqu,es revertida en algunos libros de texto. Eso no significa que alguienest equivocado, simplemente puede resultar confuso y conducir aerrores. En algunos libros el ngulo (cenit) que forma r con eje z sedenota por . Tambin es frecuente encontrar que el smbolo r secambia por , y los smbolos y se usan en vez de .

Este sistema de coordenadas es llamado sistema de coordenadas esfricasporque la grfica de la ecuacin r = c = constante es una esfera de radioc centrada en el origen.

Las restricciones para r, y son

0 pi 0 2pi 0 r


j = sin sinr+ cos sin+ cos

k = cos r sin Los cantidades infinitesimales en coordenadas esfricas son un poco

ms complicadas. De la figura 1.32 se puede ver que el elemento infinite-simal (diferencial) de rea es

dA = r2 sin dd

El vector diferencial de rea resulta de considerar un vector perpendiculara la superficie esfrica. Ese vector es r

d ~A = r2 sin ddr

Similarmente (figura 1.32) el elemento infinitesimal de volumen es sim-plemente dV = (dA)dr

dV = r2 sin dddr

Finalmente el elemento infinitesimal de lnea resulta de sumar los vec-tores drr, r sin d y rd

d~s = drr+ r sin d+ rd

Figura 1.32: Una construccin geom-trica del elemento diferencial de rea yvolumen en coordenadas esfricas.


1.5.3 Coordenadas cilndricasUn punto en coordenadas cilndricas se especifica mediante tres coor-

denadas (r,, z).18 Con referencia la figura 1.33 podemos ver que 18 Tambin es usual utilizar el smbolo en vez de r.

x = r cosy = r sinz = z

Figura 1.33: Una representacin de unsistema de coordenadas cilndricas. Unpunto es especificado por las coordena-das cilndricas r, y z.

Este sistema de coordenadas es llamado sistema de coordenadas cilndri-cas porque la grfica de la ecuacin r = c = constante es una cilindro deradio c centrado en el origen.

Las restricciones para ,r y z son

0 2pi 0 r


d ~A = rddrk

Similarmente (figura 1.35) el elemento infinitesimal de volumen es sim-plemente dV = (dA)dr

dV = rddzdr

Finalmente el elemento infinitesimal de lnea resulta de sumar los vec-tores drr, rd y zk

d~s = drr+ rd+ zk

Figura 1.35: Una construccin geom-trica del elemento diferencial de rea yvolumen en coordenadas cilndricas.

1.5.4 Coordenadas polaresNo hay nada nuevo en estas coordenadas pues se trata de las mismas

coordenadas cilndricas pero el plano xy (z = 0), es decir se pueden usarlas mismas relaciones de las coordenadas cilndricas, pero sin considerarla tercera componente. Un punto en el plano est determinado por doscoordenadas (r,).

1.5.5 Resumen de elementos diferenciales

d~s d ~A dV

Cartesianas dx i+ dy j + dz k dxdy k; dxdz j; dydz i dxdydz

Cilndricas dr r+ rd + dz k rddz r; rddr k rddzdr

Esfricas dr r+ r sin d + rd r2 sin dd r r2 sin dddr


1.6 Operadores en coordenadas curvilneasEn la seccin 1.2 definimos lo operadores escalares y vectoriales en

coordenadas Cartesianas. Ahora veremos la forma que tienen estos ope-radores en coordenadas esfricas y cilndricas.

Gradiente (grad )

= i x

+ j

y+ k

zCoordenadas cartesianas

Se aplica a un campo escalar F (x, y,x) y lo convierte en el vectorF (x, y,x)

F = i Fx

+ jF

y+ k

F

z

= r r

+ 1r

+ z

zCoordenadas cilndricas

Se aplica a un campo escalar F (r,, z) y lo convierte en el vectorF (r,, z)

F = r Fr

+ 1r

F

+ k

F

z

= r r

+ 1r

+

1r sin

Coordenadas esfricas

Se aplica a un campo escalar F (r, ,) y lo convierte en el vectorF (r, ,)

F = r Fr

+ 1r

F

+

1r sin

F

Divergencia (div )Este operador se puede interpretar como el producto punto entre y~A

~A =(i

x+ j

y+ k

z

) (iAx + jAy + kAz)

Convierte el campo vectorial ~A(x, y, z) en un escalar ~A(x, y, z)

~A = Axx

+Ayy

+Azz

Coordenadas cartesianas


~A = 1r

(rAr)

r+

1r

A

+Azz

Coordenadas cilndricas

~A = 1r2

r(r2Ar) +

1r sin

(sin A) +

1r sin

A

Coordenadas esfricas

Laplaciano (2)Se puede definir como el producto punto de dos operadores nabla

=(

xi+

yj +

zk

)

(

xi+

yj +

zk

)

=

x

x+

y

y+

z

z=

2

x2+

2

y2+

2

z2= 2

2 = 2

x2+

2

y2+

2

z2C

Convierte el campo escalar F (x, y, z) en un escalar 2F (x, y, z)

2F = 2F

x2+2F

y2+2F

z2

2 = 1r

r

(r

r

)+

1r2

2

2+

2

z2Coordenadas cilndricas

Convierte el campo escalar F (r,, z) en un escalar 2F (r,, z)

2F = 1r

r

(rF

r

)+

1r22F

2+2F

z2

2 = 1r2

r

(r2

r

)+

1r2 sin

(sin

)+

1r2 sin2

2

2Coordenadas esfricas

Convierte el campo escalar F (r, ,) en un escalar 2F (r, ,)

2F = 1r2

r

(r2F

r

)+

1r2 sin

(sin F

)+

1r2 sin2

2F

2


Rotor ()Este operador se puede interpretar como el producto cruz entre y ~A

~A =(

xi+

yj +

zk

) (Axi+Ay j +Az k)

=

(Azy Ay

z

)i+

(Axz Az

x

)j +

(Ayx Ax

y

)k

el cual se puede colocar en forma de determinante

~A =

i j k

x

y

z

Ax Ay Az

Coordenadas cartesianas


PROBLEMAS1.1 Dados los puntos M (1, 2, 1),N(3,3, 0) y P (2,3,4). Encontrar (a) ~RMN ; (b) ~RMN + ~RMP ; (c)|~rM |; (d) RMP ; (e) |2~rP 3~rN |Sol.: (a) 4i 5j k; (b) 3i 10j 6k; (c) 2.45; (d) 0.14i 0.7j 0.7k; (e) 15.561.2 Encontrar el ngulo entre los vectores: ~a = i+ 2j + 3k y ~b = 2i+ 3~j + 4kSol.: 0.12 rad

1.3 Mostrar que los siguientes vectores forman los lados de un triangulo rectngulo:

~A = 2i j + k ~B = i 3j 5k ~C = 3i 4j 4k

1.4 Un campo vectorial ~S es expresado en coordenadas rectangulares como

~S(x, y, z) = 125(x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2

[(x 1)i+ (y 2)j + (z + 1)k]

(a) Evaluar ~S en P (2, 4, 3). (b) Determinar un vector unitario que de la direccin de ~S en P . (c) Especificar lasuperficie f(x, y, z) cuando

~S = 1.Sol.: (a) 5.95i+ 11.90j + 23.8k; (b) 0.218i+ 0.436j + 0.873k; (c)

(x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2 = 125

1.5 Considere el campo vectorial ~G = yi 2.5xj + 3k y el punto Q(4, 5, 2). Encontrar (a) ~G(~rQ) (~G en Q);(b) la componente escalar de ~G(~rQ) en la direccin ~a = 13 (2i+ j 2k); (c) la componente vectorial de ~G(~rQ)en la direccin ~a; (d) el ngulo entre ~G(~rQ) y ~a.Sol.: (a) ~G(~rQ) = 5i 10j + 3~k; (b) 2; (c) 1.333i 0.667j + 1.333k; (d) 99.91.6 Los tres vrtices de un triangulo estn localizados en A(6,1, 2), B(2, 3,4) y C(3, 1, 5). Encontrar:(a) ~RAB ~RAC ; (b) Un vector unitario perpendicular al plano del triangulo.Sol.: (a) 24i+ 78j + 20k; (b) 0.286i+ 0.928j + 0.238k

1.7 Demuestre qued

dt(~u ~v) = d~u

dt ~v+ ~u d~v

dt

1.8 El potencial electrosttico producido por el momento dipolar ~ localizado en el origen y dirigido a lo largodel eje x est dado por

V (x, y, z) = x(x2 + y2 + z2)3/2

(x, y, z 6= 0)

Encontrar la expresin de campo elctrico asociado a este potencial.Sol.: ~E = i

[3x2

(x2+y2+z2)5/2

(x2+y2+z2)3/2

]+ j

[3xy

(x2+y2+z2)5/2

]+ k

[3xz

(x2+y2+z2)5/2

]

1.9 Calcular la integral de lnea de la funcin vectorial ~v = y2i+ 2x(y+ 1)j desde el punto (1, 1, 0) al punto(2, 2, 0), a lo largo de las trayectorias: (a) (1, 1, 0) (2, 1, 0) (2, 2, 0) y (b) (1, 1, 0) (2, 2, 0)Sol.: (a) 11; (b) 10

CAPTULO2Electrosttica

Era muy conocido por los antiguos griegos que al frotar un trozo dembar se electrificaba al ser frotado con piel y a la vez poda atraerpequeos objetos. De hecho la palabra "electricidad" viene del vocabloGriego mbar (elektron).

En tiempos modernos, estamos acostumbrados a tratar con el trminoelectricidad. Las fuerzas elctricas son las que sostienen el mundo mate-rial. Estas fuerzas enlazan los electrones y ncleos para formar tomos,a su vez los tomos son enlazados a otros tomos para formar molculas.

El objetivo de la electrosttica es estudiar las fuerzas y otros efectosque se producen entre los cuerpos que poseen carga elctrica en reposo,adems de los campos elctricos que no cambian en el tiempo.

2.1 Carga elctricaQu es la carga elctrica?

Lo que podemos decir es que hay dos tipos de carga, las cuales se designancomo positiva (+) y negativa (). Cuando frotamos una varilla de vidriocontra un pedazo de seda, la varilla de vidrio queda electrificada ocargada y llamamos a esa carga positiva. Ahora si frotamos una varillade goma contra un pedazo de piel, entonces la varilla queda con carganegativa (Fig. 1.1).

Goma

Piel de gato

VidrioSeda

Figura 2.1: La varilla de goma quedacargada negativamente al ser frotadacon piel. La varilla de vidrio queda car-gada positivamente al ser frotada conseda.

Tambin se puede comprobar experimentalmente (Figura 2.2) que car-gas iguales se repelen y cargas distintas se atraen.

Pero cual es el origen la carga elctrica?

La materia est constituida de tomos. Cada tomo consiste de un ncleo,que contiene protones y neutrones, y este ncleo est rodeado por un


Goma

Goma

Vidrio

Goma

(a) (b)

Figura 2.2: Comprobacin de que car-gas iguales se atraen y cargas distintasse repelen.

cierto nmero de electrones. La figura 2.3 muestra esquemticamente untomo de Litio (Li). En el lado izquierdo est el tomo de litio neutro(carga cero), que consiste en un ncleo de tres protones (+) y cuatroneutrones (carga cero), y tres electrones (-) movindose alrededor delncleo. En el medio est el mismo tomo con un electrn de menos, porlo tanto, el ion litio (Li+) tendr una carga neta de +1e. En el ladoderecho se ha agregado un electrn al tomo y tendremos el ion (Li)con una carga en exceso de 1e.

Figura 2.3: Esquema de un tomo de li-tio neutro Li y los iones Li y Li+. Loselectrones no tienen trayectorias defini-das as que las curvas azules en la fi-gura slo tienen carcter esquemtico.Sea positivo, done un electrn.

La fuerza de repulsin o atraccin entre dos cuerpos cargados depende-r de la cantidad neta de carga que posean. Por carga neta se entiendela carga en exceso (positiva o negativa) que un cuerpo posee comparadocon el mismo cuerpo neutro.

Carga positiva Carga neutra Carga negativa

Figura 2.4: Un cuerpo neutro poseela misma cantidad de cargas negativasque positivas. En un cuerpo con unacarga neta, alguno de los dos tipos decargas est en exceso.

electrosttica 45

2.1.1 Cuantizacin de la cargaLos experimentos demuestran adems que la carga est cuantizada.

Esto quiere decir que la carga viene en mltiplos enteros de una cargaelemental (e). Por ejemplo si un cuerpo tiene una carga neta Q, entoncesnecesariamente se cumple que

Q = Ne

donde N = 1, 2, 3, es un nmero entero y e es la carga fundamental,que tiene un valor de 1.602 1019C. Donde la unidad de carga es lla-mada Coulomb (C). Esto quiere decir que no puede haber una carga ms Coulomb (C) es la unidad de carga.pequea que 1.602 1019C.

Notar que la unidad de carga elctrica (1 Coulomb) es una cantidadextremadamente grande, ya que son necesarios 6 1018 electronespara completar una carga de 1.0C. Por ejemplo, si dos cargas deun Coulomb cada una estn separadas un metro, entonces aplicandola ley de Coulomb, la fuerza de repulsin es aproximadamente 9109N. Esto es alrededor de un milln de toneladas!.

Para darse una idea del tamao de las partculas que constituyen untomo, se muestran en la tabla, las masas de los electrones, protones yneutrones junto con sus respectivas cargas.

Partcula Masa (kg) Carga (C)

electrn 9.11 1031 1.602 1019 (e)protn 1.673 1027 +1.602 1019 (+e)neutrn 1.675 1027 0

Tabla 2.1: Masas y cargas de las part-culas que forman un tomo.

EJEMPLO 2.1: Carga de electronesCual es la carga total de 75.0 kg de electrones?Solucin: La masa de un electrn es 9.11 1031 kg, de tal manera que una masa M = 75.0 kg contiene

N =M

me=

75 kg9.11 1031 kg = 8.3 10

31electrones

La carga de de un electrn es e = 1.602 1019 C, por lo tanto la carga de N electrones es

Q = N(e) = 8.3 1031 (1.602 1019C) = 1.32 1013C

2.1.2 Ley de conservacin de la cargaEsta ley establece que la carga neta de un sistema aislado permanece

constante.Si un sistema parte con un nmero igual de cargas positivas y nega-

tivas, no se puede hacer nada para crear un exceso de carga negativa opositiva en el sistema a menos que traigamos una carga desde afuera del


sistema (o quitar alguna carga del sistema). De la misma forma, si al-gn sistema parte con una cierta carga neta (+ o -), por ejemplo +100e,el sistema tendr siempre +100e, a menos que se le permita al sistemainteractuar con el exterior.

2.1.3 Tipos de materialesLas fuerzas entre dos objetos cargados pueden ser muy grandes. La

mayora de los objetos son elctricamente neutros; tienen igual cantidadde cargas positivas que negativas.

Los metales son buenos conductores de carga elctrica, mientras quelos plsticos, madera, y goma no lo son (se les llama aislantes). La cargano fluye muy fcilmente en los aislantes comparado con los metales.

Los materiales estn divididos en tres categoras, dependiendo cuanfcilmente permitan el flujo de carga (ej. electrones) a los largo de ellos.Estos son: Tipos de materiales.

Conductores - por ejemplo los metales.

Semiconductores - el silicio es un buen ejemplo.

Aisladores - por ejemplo: goma, madera, plstico.

2.1.4 Modos de cargar un objetoHay tres maneras de cargar un objeto. Estas son:

1. Por friccin: esto es til para cargar aisladores.

2. Por conduccin: es til para cargar metales y otros conductores. Si unobjeto cargado toca a un conductor, una cantidad de carga ser trans-ferida entre el objeto y el conductor, de tal manera que el conductorquedar cargado con el mismo signo que la carga del objeto.

3. Por induccin: tambin es til para cargar metales y otros conductores.La figura de abajo muestra un ejemplo de como cargar una esferametlica por el mtodo de induccin:

(a) (b) (c)

(d) (e)

Tierra

Figura 2.5: (a) Una esfera conductoray aislada. (b) Se acerca una barra car-gada negativamente y las cargas en laesfera se polarizan, pero la esfera siguesiendo neutra. (c) Se conecta un cable atierra y las cargas negativas fluyen ha-cia la tierra. (d) Se desconecta el cabley la esfera queda cargada positivamen-te y la tierra negativamente. (d) Se ale-ja la barra y las cargas positivas en laesfera se distribuyen uniformemente ensu superficie.

electrosttica 47

2.2 Ley de CoulombCharles Coulomb (17361806) se las arregl para medir las magnitudes delas fuerzas elctricas entre dos objetos cargados. Coulomb confirm quela magnitud de la fuerza elctrica entre dos pequeas esferas cargadas esproporcional al inverso del cuadrado de la distancia de separacin r, esdecir

F 1/r2

si las cargas son q1 y q2, entonces la magnitud de la fuerza est dada por:Figura 2.6: La fuerza de atraccin entredos cargas depende de la separacin delas dos cargas.

F = ke|q1| |q2|r2

donde ke es llamada la constante de Coulomb:

ke = 8.9875 109N.m2/C2

tambin esta constante se puede expresar como

ke =1

4pi0

donde 0 = 8.85421012C2/N.m2 es la permitividad del espaciovaco.

La ley de Coulomb es vlida cuando dos objetos cargados actancomo cargas puntuales. Una esfera conductora cargada interactacon otro objeto cargado como si toda la carga estuviera concentradaen el centro de la esfera.

Ahora, sabemos que la fuerza es un vector, as que la forma correctade formular la ley de Coulomb en forma vectorial es1 1 El vector r12 apunta de 1 a 2 y

el smbolo ~F12 significa fuerza 1 sobre2, pero en otros libros de texto la fuer-za sobre la carga q2 tambin se escribesimplemente ~F2.

~F12 = keq1q2r2

r12

Segn la figura 2.7-(a), r12 es un vector unitario que apunta desde lacarga q1 a la q2 y ~F12 es la fuerza sobre la carga q2 debido a la carga q1.Puesto que esta fuerza debe obedecer al la tercera ley de Newton entoncesdebe cumplirse que ~F12 = ~F21

~F12 = keq1q2r2

r12 = ~F21(a) (b)

Figura 2.7: Repulsin y atraccin dedos cargas. El vector unitario r12 apun-ta en la direccin de la fuerza que ejerceq1 sobre q2. En ambos casos se cumplela tercera ley de Newton ~F12 = ~F21.

En otros libros de texto la forma vectorial de la ley de Coulomb es comosigue: si ~r1 es el vector posicin de la carga q1 y ~r2 es el vector posicinde la carga q2, entonces las distancia entre las cargas est dada por elmdulo del vector ~r12 = ~r2 ~r1 (ver figura 2.8), as la fuerza de la cargaq1 sobre la q2 es

~F12 = keq1q2r212

r12


la escribimos~F12 = ke

q1q2r212

~r12r12

donde hemos reemplazado el vector unitario2 r12 por ~r12r12 y r12 = |~r12| = 2 Recordar que para obtener un vectorunitario que apunte en la direccin de~A, debemos dividir ese vector por sumdulo, es decir A = ~A|A|

|~r2 ~r1|. As podemos expresar la fuerza en diferentes formas:

~F12 = keq1q2

|~r2 ~r1|2~r12

|~r2 ~r1| = keq1q2

|~r2 ~r1|3~r12 = keq1q2

~r2 ~r1|~r2 ~r1|3

Adoptamos la expresin siguiente por ser la ms usada:

~F12 = keq1q2~r2 ~r1|~r2 ~r1|3

(2.1)

Figura 2.8: La posicin de las cargas enfuncin de los vectores de posicin.

pregunta:Quin descubri la ley de Coulomb?

respuesta:Sorpresa! NO fue Charles Coulomb; fue Henry Cavendish!. Henry

Cavendish (17311810) fue un cientfico brillante, pero tambin era muyretrado, solitario, misgino y excntrico. Tambin fue el primero en de-terminar el valor de la constante de gravitacin universal (G). El des-cubri que el agua es un compuesto molecular y no un elemento (comose pensaba). El tambin determin la ley de fuerzas para cargas elctri-cas (F = kq1q2/R2). Sin embargo, Cavendish raramente publicaba sushallazgos. As que aos ms tarde, fue Coulomb quien recibi todos loscrditos al descubrir la ley de fuerza elctrica.

electrosttica 49

EJEMPLO 2.2

Fuerza sobre la carga 2

Las cargas y coordenadas de dos partculas fijasen el plano xy son: q1 = +3.0C, x1 = 3.5 cm,y1 = 0.5 cm, y q2 = 4.0C, x2 = 2.0 cm,y2 = 1.5 cm. Encontrar la magnitud y direccinde la fuerza electrosttica sobre q2.Solucin: De acuerdo al esquema, claramente q2ser atrada por q1. Primeramente, encontramosla distancia entre los dos puntos:

r =(x2 x1)2 + (y2 y1)2

=(2.0 3.5)2 + (1.5 0.50)2

= 5.59 cm=5.59102m

luego encontramos la magnitud de la fuerza sobre q2

F = ke|q1| |q2|r2

=

(8.9 109 N.m

2

C2

)(3.0 106C)(4.0 106C)

(5.59 102m)2 = 34N

Puesto que q2 es atrada por q1, la direccin de la fuerza es la misma que el vector ~r que apunta de q2 haciaq1. Ese vector es:

~r = ~r21 = (x1 x2)i+ (y1 y2)j = (5.5 cm)i+ (1.0 cm)jy su direccin (ngulo formado con el eje x):

= arctan(1.0+5.5

)= 10.3

La fuerza en forma vectorial se escribe:

~F = F r21 = 34N (5.5)i+ (1.0)j5.59 = (33.45i 6.08j) N

otra forma: Habiendo calculado la magnitudde la fuerza, es ms fcil obtener el vector fuerzaconsiderando el ngulo de la figura. Sabemosque la fuerza va en la direccin de ~r21, entoncesexpresamos ~F en funcin de sus componentes:

~F = F cos iF sin~j

Notar que hemos colocado un signo menos en lacomponente y de la fuerza porque eso lo sabemos


de la figura. A partir del grfico obtenemos

~F = 34 5.55.59 i 341.05.59 j

= (33.45i 6.08j) N

Notar que en la solucin hemos usado los valores absolutos de las cargas y la direccin de la fuerza lahemos determinado a mano. Puesto que nos estn pidiendo ~F12, podemos resolver este problema enforma alternativa usando

~F12 = keq1q2r3

~r12

Primero obtenemos ~r12

~r12 = (5.5 cm)i+ (1.0 cm)j = (5.5 102m)i+ (1.0 102m)j

Adems r3 = (5.59 102m)3 = 1.746 104m3 entonces

~F12 =

(8.9 109 N.m

2

C2

)(3.0 106C)(4.0 106C)

1.746 104m3(5.5 102m i+ 1.0 102m j)

= 33.5 i 6.1 j

Aqu hemos dejado que las matemticas funcionen, pues hemos usado las cargas con sus respectivossignos y no hemos hecho ninguna consideracin acerca de la direccin de la fuerza.

EJEMPLO 2.3Dos esferas pequeas cargadas tienen una carga total combinada de 5.0 105C. Si las esferas se repelencon una fuerza electrosttica de 1.0N, cuando las esferas estn a una distancia de separacin de 2.0m, Cuales la carga de cada esfera?Solucin: Sean q1 y q2 las dos cargas. La condicin dada es que la carga combinada (suma) sea

q1 + q2 = 5.0105C (?)

de la ecuacinF12 = ke

q1q2r2

q1q2 = F12r2

ke

q1q2 =(1.0N)(2.0m)2

8.9 109 N.m2C2= 4.449 1010C2

Combinado esta expresin con (?) obtenemos

q21 (5.0105C)q1 + 4.449 1010C2 = 0

Esta es una ecuacin de segundo grado en q1

q1 = 5.0105 (5.0105) 4(4.449 1010)

2 =

3.84105C1.16105CLa solucin para q2 sale de (?)

q2 = 5.0105C q1

electrosttica 51

Tenemos dos valores para q1. Probamos con q1 = 3.84105C

q2 = 5.0105C 3.84105C = 1.16C

y con q1 = 1.16105Cq2 = 5.0105C 1.16105C = 3.84C

Ambos son las misma solucin. La respuesta es que las cargas son 1.16C y 3.84C.

EJEMPLO 2.4Una cierta carga Q es dividida en dos partes q y (Q q), las cuales estn separadas por una cierta distancia.Cual debe ser el valor de q en trminos de Q para que la fuerza de repulsin sea mxima entre las doscargas?Solucin: Si suponemos que la distancia entre las dos cargas es r entonces la magnitud de la fuerza es:

F = ke|q| |Q q|

r2

sabemos que q y Q tienen el mismo signo, as que podemos omitir los valores absolutos y asegurarnos de queF sea positiva

F = keq(Q q)

r2= ke

qQ q2r2

para encontrar el valor de q que hace mxima esta repulsin derivamos F con respecto a q e igualamos acero:

dF

dq= ke

Q 2qr2

= 0

ecuacin que tiene como solucin q = Q/2. Es decir, la mxima repulsin es cuando dividimos Q por lamitad.


2.3 Principio de SuperposicinQue pasa si tenemos muchas cargas y queremos calcular al fuerza

ejercida sobre una de ellas debido al resto de las cargas?La ley de Coulomb se aplica a cada par de cargas puntuales. Cuando

dos o ms cargas estn presentes, la fuerza neta sobre cualquiera de lascargas es simplemente la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre esacarga por el resto de las cargas. Por ejemplo si tenemos 3 cargas, la fuerzaresultante (~F3) sobre la carga q3 debido a q1 y q2 ser La fuerza sobre q3 es la suma de las

otras dos cargas sobre ella.

~F3 = ~F13 + ~F23

En general si tenemos N cargas, entonces la fuerza sobre i-sima cargadebido al resto de las cargas es3 3 La expresin j 6= i significa sumar so-

bre todos los valores de j excepto cuan-do j = i.

~Fi = keqi

Nj 6=i

qj

r2jirji = keqi

Nj 6=i

qj

r3ji~rji

Otra forma de expresar lo anterior es en funcin de las posiciones de lascargas

~Fi = keqi

Nj 6=i

qj~ri ~rj~ri ~rj3

EJEMPLO 2.5

Tres cargas estn configuradas de acuerdo a la figura. Encontrar al fuerzasobre la carga q3 asumiendo que q1 = 6.0 106C, q2 = q1 = 6.0106C, q3 = +3.0 106C y a = 2.0 101m.Solucin: Usando el principio de superposicin, la fuerza sobre q3 es

~F3 = ~F13 + ~F23 = ke

(q1q3r213

r13 +q2q3r223

r23

)la tarea complicada aqu es encontrar los vectores unitarios r13 y r23.De acuerdo a la figura, el vector ~r13 apunta desde la carga q1 hacia lacarga q3:

~r13 =

2a cos i+

2a sin j

as, si dividimos este vector por su mdulo (

2a) obtenemos el vector unitario r13

r13 = cos i+ sin j =

22 (i+ j)

puesto que cos = sin =22 . El vector r23 es ms fcil, pues ste apunta en la direccin positiva de x:

r23 = i

As la fuerza total es:~F3 = ke

q1q3r213

2

2 (i+ j) + keq2q3r223

i

electrosttica 53

y sabiendo que r13 =

2a y r23 = a, obtendremos finalmente:

~F3 =keq1q3(

2a)2

2

2 (i+ j) +keq2q3a2

i =keq1q3a2

2

4 (i+ j) +keq2q3a2

i

Si reemplazamos los valores numricos, obtendremos ~F3 (en unidades de Newton):

~F3 = 2.615i+ 1.429j

La magnitud de ~F3 es(2.615)2 + 1.4292 3.0N.

Una forma alternativa de resolver este problema es primero calcular las magnitudes de cada una de laslas fuerzas F = ke |Q1||Q2|r2 y luego calcular sus componentes.

EJEMPLO 2.6

Ahora un problema ms difcil. En la figura se muestran dos cargas positivas+q y una carga negativa Q que puede moverse libremente y que se encuentrainicialmente en reposo. Si las dos cargas q estn fijas:a) Determinar el periodo de movimiento de la carga Q.Solucin: puesto que las dos cargas positivas atraen a Q, esta carga se des-plazar a lo largo del eje x. Una vez que pase hacia el lado negativo, volvera ser atrada hacia el lado positivo, y as sucesivamente, de manera que Qcomenzar a moverse de una lado para otro describiendo un movimiento osci-latorio.

La magnitud de la fuerza ejercida por una de las cargas q sobre Q ser

FqQ = keqQ

r2

donde r =x2 + (d/2)2. Puesto que por simetra la fuerza resultante, debido a las dos cargas q, ser en la

direccin horizontal, debemos entonces calcular la componente horizontal de FqQ

Fx = FqQ cos = keqQ

r2cos

donde es el ngulo entre la lnea qQ y el eje horizontal, es decir cos = xr =x

x2+(d/2)2

Fx = keqQ

r2x

r= ke

qQ

x2 + (d/2)2x

x2 + (d/2)2= ke

qQx

(x2 + (d/2)2)3/2

pero, en la expresin anterior Fx es la fuerza debido a una sola carga, por lo tanto, la magnitud de la fuerzatotal sobre Q ser el doble

2keqQx

(x2 + (d/2)2)3/2

Ahora, para describir el movimiento de Q, usamos la segunda ley de Newton (F = ma = md2xdt2 )

2keqQx

(x2 + (d/2)2)3/2= md

2x

dt2

donde m es la masa de Q y se ha introducido el signo () debido que la fuerza sobre la carga Q actacomo restauradora (como en un resorte). Lamentablemente esta es una ecuacin diferencial difcil de resolver,


pero podemos hacer una aproximacin razonable si suponemos que x es pequeo comparado con d (x d),entonces

(x2 + (d/2)2

)3/2 es aproximadamente igual (0+(d/2)2)3/2 = (d/2)3, por lo tanto podemos escribir16keqQx

d3= md

2x

dt2 d

2x

dt2+

16keqQxmd3

= 0

Si definimos 2 = 16keqQmd3 , nuestra ecuacin queda:

d2x

dt2+ 2x = 0

Esta es la ecuacin de movimiento de un oscilador armnico, cuya solucin se conoce y el periodo T = 2pi/

T =2pi

=pi

2

md3

keqQ

b) Cual ser la rapidez de Q cuando est en el punto medio de las dos cargas q, si inicialmente es soltadaa una distancia a d desde el centro?Solucin: La rapidez ser mxima en el punto medio de oscilacin y est dada por

vmax = A

donde A es la amplitud mxima que en este caso es a

vmax = a =

16keqQmd3

a = 4akeqQ

md3

electrosttica 55

2.4 Campo elctricoLa presencia de una carga elctrica produce una fuerza sobre todas las

otras cargas presentes. La fuerza elctrica produce una accin a distan-cia; los objetos cargados pueden influenciar a otros sin tocarlos.

Figura 2.9: La presencia de una cargaproduce perturbaciones a su alrededor.

Viendo la figura 2.9, la ley de Coulomb nos permite calcular la fuerzaejercida por la carga q2 sobre la q1. Si acercamos la carga q2 hacia q1entonces la magnitud de la fuerza sobre q1 se incrementar. Sin embargo,este cambio no ocurre instantneamente (ninguna seal se puede propagarms rpidamente que la luz). La cargas ejercen una fuerza sobre las otrasmediante perturbaciones que ellas generan en el espacio que las rodean.Estas perturbaciones se llaman campos elctricos. Cada objeto cargadogenera un campo elctrico que influencia el espacio alrededor.

Figura 2.10: Una carga de prueba q0 enpresencia del campo elctrico generadopor la carga Q.

El campo elctrico ~E generado por una carga Q puede ser medido po-niendo una carga de prueba q0 en alguna posicin (ver figura 2.10). La car-ga de prueba sentir una fuerza elctrica de magnitud F = keq0Q/r2.Entonces se define el campo elctrico ~E a una distancia r de la carga Qcomo

~E ~F

q0Definicin de campo elctrico.

2.4.1 Campo elctrico de cargas puntualesQueremos encontrar el campo elctrico ejercido por una carga puntual

positiva q. Como en la figuras 2.11 y 2.12, si ponemos una carga de pruebaq0 a una distancia r de q, la fuerza sobre q0 es

~F = keqq0r2r

(a) (b)

Figura 2.11: Si q > 0, la carga de prue-ba ser repelida y en el punto P habrun campo elctrico en la misma direc-cin que ~F .

(a) (b)

Figura 2.12: Si q < 0, la carga de prue-ba ser atrada y en el punto P habrun campo elctrico en la misma direc-cin que ~F .

entonces, de acuerdo a la definicin, ~E = ~F/q0


~E = keq

r2r

Es ms conveniente escribir la formula anterior en funcin de radiosvectores. Si tenemos una carga qi con radio vector ~ri el campo elctricogenerado por qi en la posicin ~r es:

~E(~r) = keqi~r ~ri|~r ~ri|3

La unidad de campo elctrico debera ser fuerza por unidad de carga(N/C), pero por razones que se explicarn ms adelante la unidad elegidaes V/m (Volt/metro).

En la definicin anterior se supone que las cargas que generan elcampo permanecen fijas en su posicin cuando se acerca la carga deprueba q0. Para evitar perturbaciones a estas cargas, se usan cargasde prueba muy pequeas. De hecho, ~E se puede definir en formaoperacional:

~E = lmq00

~F

q0

El principio de superposicin tambin es aplicable al campo elctrico.Dado un conjunto de cargas puntuales q1,q2,q3 . . . qN , el campo elctricoen un punto P de espacio localizado a distancias r1,r2,r3 . . . rN de lascargas, est dado por:

~E = ~E1 + ~E2 + ~E3 + ~EN =Ni=1

~Ei = ke

Ni=1

qir2iri

De forma similar a como se defini en la ecuacin 2.1, ahora si tenemosN cargas q1,q2,q3 . . . qN con vectores posicin ~r1,~r2,~r3 . . . ~rN entonces elcampo elctrico ~E en un punto situado en ~r ser

~E = ke

Ni=1

qi~r ~ri|~r ~ri|3

(2.2)

2.4.2 Lineas de fuerza de cargas puntuales

Figura 2.13: Lneas de fuerza para losdos tipos de cargas puntuales.

Para representar la naturaleza vectorial del campo elctrico, es convenien-te tratar de visualizarlo mediante lineas de fuerza de campo elctrico. Envez de dibujar una infinidad de flechas de vectores en el espacio que ro-dea a la carga, es quizs ms til dibujar un patrn de algunas lneas queparten de la carga y se extienden hasta el infinito. Estas lneas, tambinllamadas lineas de campo elctrico, apuntan en la direccin que acelerarauna carga de prueba positiva colocada en esa lnea.

electrosttica 57

Es decir, las lneas se alejan desde una carga positiva y se acercanhacia una carga negativa. Un diagrama como el anterior podra incluirun infinito nmero de lneas, pero por razones de visualizacin se limitael nmero de ellas.

Hay dos reglas para las lneas de campo:

1. La direccin del campo elctrico es, en todas partes, tangente a laslneas de campo y van en el sentido de las flechas en las lneas.

Figura 2.14: La densidad de lneas esuna indicacin de la magnitud del cam-po elctrico.

2. La magnitud del campo es proporcional al nmero de lneas de cam-po por unidad de rea que pasan a travs de una pequea superficienormal a las lneas. En el caso de las cargas puntuales, la magnituddel campo elctrico es mayor cerca de la carga (hay mayor densidadde lneas). La figura 2.14 muestra un ejemplo donde un campo elctri-co penetra dos superficies. La magnitud del campo elctrico es mayoren la superficie A (hay mayor densidad de lneas por unidad de reaatravesando la superficie) que en la B.

En la figura 2.15 se muestra una carga puntual y donde se ve que magni-tud del campo elctrico disminuye con la distancia y tambin se ve quela cantidad de lneas de campo que atraviesan la misma rea disminuye.

Figura 2.15: La magnitud del campoelctrico disminuye en la proporcin1/r2 con la distancia r. La densidad delneas que atraviesan una misma reatambin disminuye .

Las lineas de campo correspondientes a dos cargas puntuales idnticasse muestran en la figura 2.16. A la izquierda se muestran dos cargaspositivas y a la derecha una carga positiva y otra negativa:

Figura 2.16: Lneas de campo de doscargas puntuales.


Finalmente la figura 2.17 muestra una carga puntual y las lneas decampo elctrico en presencia de tres conductores (ver seccin 3.10). Losconductores (neutros) se polarizan y como consecuencia se producen li-neas de campo elctrico debido a los conductores.

+

+++ + + + + +

+ + +

+

+

+

++

+ + + + +++

Figura 2.17: Lneas de campo de unacarga puntual en presencia de tresconductores. La configuracin produceadems una polarizacin electrostticaen los conductores, los que a su vez ge-neran campos elctricos.

De acuerdo a la regla 2, el campo elctrico es tangente a las lneas decampo (Fig. 2.18) y sabiendo cuales son las componentes de ~E en todo elespacio, podramos obtener la ecuaciones, z = f(x, y), que describen lascurvas, sabiendo que la condicin es:

Figura 2.18: El campo ~E en cualquierpunto es tangente a las lneas de campo.

dy

dx=EyEx

EJEMPLO 2.7Encontrar la ecuacin de la streamline que pasa a travs del punto P (1, 4,2), si el campo est dado por:~E = 8xy i+ 4x

2

y2 j

Solucin: sabemos que dydx =EyEx

, es decir

dy

dx=EyEx

=4x2y2

8xy= x2y

o sea 2ydy = xdx la cual se integra:y2

2 = x2

2 +C

la constante se encuentra con la condicin que la curva debe pasar por P (1, 4,2), dando como resultadoC = 33/2, as la ecuacin resulta ser una elipse:

2y2 + x2 = 33

2.5 Distribuciones continuas de cargaHasta el momento hemos vivido en el maravilloso mundo de las car-

gas puntuales (o distribuciones discretas de cargas). Como ya sabemos lacarga est siempre cuantizada, donde la cantidad ms pequea de cargaes 1.602 1019C. El espacio total cubierto por cualquier carga es muypequeo comparado con la distancia entre dos cargas. Hasta el momento

electrosttica 59

hemos idealizado la situacin y hemos supuesto que la carga puntual ocu-pa la extensin de un punto (volumen cero). Sin embargo en la realidadlos cuerpos cargados ocupan un volumen finito y no pueden ser conside-rados como un punto.

Figura 2.19: Campo elctrico en P ge-nerado por una carga puntual en unadistribucin continua de carga.

En una distribucin de carga continua, todas las cargas estn muyprximas las unas a las otras. Supongamos que tenemos un volumencomo en la figura 2.19 y queremos calcular ~E en el punto P exterior.Tomamos un elemento de volumen V con carga q, entonces el campoen el punto P debido a esta pequea carga es:

~E = keqr2r

donde r es la distancia desde el elemento de carga q al punto P . Ahora,si nos imaginamos que dividimos el volumen total en muchos cubitosde volumen V , el campo en P ser aproximadamente igual a la sumade pequeas contribuciones:

~E ke qi

r2iri

para una distribucin continua debemos hacer qi 0 (qi dq)

~E = ke lmqi0

qir2i

ri = ke

dq

r2r

~E = ke

dq

r2r

2.5.1 Densidades de cargaEn la prctica es conveniente describir la distribucin de cargas en

funcin de densidades de carga , pues la carga puede estar distribuida enuna lnea, superficie o volumen.

Densidad volumtrica de carga = lmV0 qVCm3

Densidad superficial de carga = lmS0 qSCm2

Densidad lineal de carga = lml0 qlCm

En el caso de que, por ejemplo, sea uniforme

=q

V

donde q es la carga total y V el volumen total de la distribucin.

La forma analtica de las distribuciones de carga se pueden usar paraencontrar la carga total. Por ejemplo, puesto que dq = dV , se integra yse obtiene

q =

VdV


aqu es variable, as que no puede salir fuera de la integral. Similarmente,para una distribucin superficial y una lineal:

q =

SdS q =

Ldl

As el campo elctrico puede escribirse, por ejemplo, en funcin de

~E = ke

volr

r2dv

Mediante vectores de posicin, r = ~r~r|~r~r| y r2 = |~r ~r|2, entonces la

expresin anterior queda:

~E(~r) = ke

vol(~r)dv

~r ~r|~r ~r|3

EJEMPLO 2.8

Encontrar la carga total contendida en el cilindro de la figura, sa-biendo que la densidad de carga est dada por (z, r) = 5.0 106e105rz C/m2, es decir, la densidad volumtrica depende de lacoordenada z y de la distancia, r, desde el eje del cilindro.Solucin: estrictamente Q viene dado por:

Q =

cilindro

dV

Puesto que la simetra es cilndrica, es conveniente usar coordenadascilndricas. El elemento de volumen (en coordenadas cilndricas) esdV = rdrddz

Q =

(z, r)rdrddz =

0.04

0.02

2pi

0

0.01

0

5.0 106e105rzrdrddz

donde hemos puesto los lmites de integracin de acuerdo al tamao del cilindro (en metros). Notar que(r, z) no depende de . Si integramos en nos queda un factor de 2pi

Q =

0.04

0.02

0.01

0

105pie105rzrdrddz

al integrar ahora con respecto a z queda

Q =

0.01

0

(105pi105r

e105rz

rdr)z=0.04z=0.02

=

0.01

0

1010pi(e2000r e4000r)dr

Q = 1010pi(e2000r

2000 e4000r

400)0.010 0.0785 pC

donde pC indica pico-Coulomb. 1pC = 1012C.

electrosttica 61

EJEMPLO 2.9Una distribucin continua de carga es definida como = (x2 + y2 + z2)5/2 de distribuye en la regin

Electromagnetismo

Documents

Transcript of Electromagnetismo