Tarea Unidades I, II y III. Tarea para EP11. Si es el vector posición de un punto del espacio (x,y,z), pruebe las formulas siguientes:

( es un vector cte)

2. Se tiene un campo vectorial = (V/m)

a) Aplique la ley de Gauss en forma diferencial para determinar la función de densidad de carga volumétrica que constituye la fuente de este campo.b) Demuestre que el campo eléctrico definido es un campo electrostático, o sea,

posee carácter conservativo. (irrotacional). La constante C es positiva.

3. En una región del espacio existe una distribución de carga de densidad volumétrica cte en un volumen cilíndrico muy largo de radio “a”. A esta distribución de carga le es inherente un CE.

Si: [V/m] para ,

[V/m] para ,

siendo una constante positiva.

Considere K=0.01V, a = 0.002 m,

a) ¿Será éste un campo electrostático?b) Aplique la ley de Gauss en forma integral para determinar la función de densidad de carga

volumétrica = , que constituye la fuente de este campo. R/

Gradiente de potencial, Laplaciano.4. En una región del espacio el potencial decrece 2Vm-1 en la dirección del eje x y decrece 1Vm-1

en la dirección del eje y. Halle el vector intensidad de CE y dibuje las líneas de fuerza correspondientes. Represente las líneas equipotenciales en el plano xy.

5. En una región del espacio, el potencial electrostático viene dado por:

, “x”, “y” ,”z” están en metros

a) Halle la expresión del vector E. R/ b) Halle el flujo de E a través de una superficie esférica de radio “a” con centro en el origen.

Halle la carga neta encerrada en dicha superficie. R/ Vm

C

c) Sugiera una distribución de carga a la cual le sea inherente un campo electrostático de este tipo. R/ C/m3

6. El potencial en una región es donde r está en metros y la

constante (de valor 10) en Vm.

a) Halle la expresión del vector . R/

b) Halle el valor de la carga neta encerrada dentro de una superficie esférica de radio r con centro en el origen. Encuentre la carga neta encerrada por dicha superficie. R/

c) Diga la forma de las superficies equipotenciales. Dibuje 3 líneas equipotenciales con los valores de v correspondientes. Dibuje las líneas de fuerza.

d) Halle el trabajo realizado por el campo eléctrico al trasladar una carga desde r=1m a

r=2m. R/

7. En una región del espacio, el potencial electrostático viene dado por:

, donde r está en metrosa) Halle la expresión del vector intensidad de campo eléctrico E. Dibuje

las líneas de fuerza. R/

b) Aplique la ley de Gauss en forma diferencial y encuentre la densidad de carga libre (C/m3) a la cual le sea inherente el campo electrostático mencionado. Considere que la permitividad eléctrica en

la región es la del vacío . R/

c) Halle el flujo de E a través de una superficie esférica con centro en el origen de radio r, y la

carga neta encerrada por la superficie. R/

8. Halle la expresión de E y de V entre dos planos cargados, muy grandes, paralelos, separados una distancia d=10mm, si se sabe que una de ellos tiene un potencial V1=0 V y el otro V2=10V.

R/ , perpendicular a los planos y dirigido de mayor a menor potencial. Suponiendo el eje x perpendicular a los planos y dirigido desde V1 a V2, entonces:

9. En una región del espacio existe un campo electrostático en el cual se cumple:

¿Cuál es la expresión del vector intensidad de campo eléctrico que caracteriza la región

mencionada? Halle el vector en (0,0); (5,0); (0,3) y (5,3)

R/

10. la distribución de potencial en una región es con K positiva.

a) Halle el vector . R/

b) Determine la carga neta encerrada en una esfera de radio “a” con centro en el origen. R/

11. Se tiene un CE donde las líneas equipotenciales son las que se muestran.

a) Dibuje las líneas de fuerza. b) Escriba una expresión para V(x)c) A partir de los valores de los potenciales calcule la magnitud

del vector intensidad de campo eléctrico en los puntos intermedios entre las líneas equipotenciales señaladas, y represente el vector E.

Carga eléctrica, E y V de cargas puntuales y de cargas distribuidas. Fuerza de Coulomb12. Un rayo promedio puede acarrear una carga total de 30 C. ¿Cuántos electrones representan a

esta carga eléctrica?

13. La figura muestra dos cargas q1 y q2, separadas por una distancia d. a) Encuentre el valor de la fuerza eléctrica que actúa sobre q1. Suponga

que q1=q2=21.3 y d=1.52m. b) Una tercera carga q3=21.3 se agrega formando con las otras un

triángulo equilátero como el de la figura. Determine la fuerza sobre q1.

14. Dos cargas fijas, de q1=+1.07 y q2=-3.28 , tienen una separación de 61.8cm. a) ¿Dónde debe colocarse una tercera carga de modo que no actúe sobre ella ninguna fuerza neta? b) Halle la posición sobre el eje de cargas donde el potencial eléctrico se hace cero.

15. a) Halle el vector intensidad de campo eléctrico debido a un dipolo eléctrico con magnitud de momento dipolar p=3.56x10-29 Cm, en un punto a 25.4 nm de distancia a lo largo del eje bisector. Considere d=1.2nm R/

b) Halle el potencial eléctrico en dicho punto. c) Halle la

densidad de energía en el punto. . d) Determine la

fuerza ejercida por el dipolo sobre una partícula con carga q0=3x10-8C colocada en P. R/

16. Considere que en el ejemplo anterior las dos cargas son positivas e iguales a q y separadas una distancia d.

a) Demuestre que la magnitud del vector intensidad de campo eléctrico a una distancia z desde el

centro del sistema de dos cargas a lo largo del eje bisector con z >> d, está dado por:

b) Determine el potencial eléctrico en el punto P

17. Considere un dipolo eléctrico con magnitud de momento dipolar p=3.56x10-29 Cm y con una distancia entre cargas de d=1.2nm.

a) Halle el vector intensidad de campo eléctrico en un punto sobre el eje del dipolo a una distancia “y=0.8 m” del centro del dipolo

b) Determine el potencial electroestático en dicho punto.

R/ =1.25N/C =5.0x10-7V

18. Demuestre que un dipolo con momento bipolar en un campo eléctrico uniforme

experimenta un torque respecto a un eje que pasa por el centro del dipolo y

perpendicular al dipolo:

19. a) Halle la energía de interacción eléctrica entre un dipolo eléctrico y un

campo eléctrico uniforme . b) Determine el torque respecto al centro

del dipolo. c) Halle la fuerza resultante ejercida por el campo eléctrico sobre el dipolo. R/

20. Una barra aislante de longitud L tiene una carga Q distribuida uniformemente. Determine la intensidad de CE en el punto P ubicado sobre el eje de barra a una distancia “a” del extremo de la barra. Halle el potencial

eléctrico en el punto. R/

21. Una barra aislante de longitud L tiene una carga distribuida uniformemente con densidad lineal de carga . Determine la intensidad de CE E en el punto P ubicado sobre el eje bisector de la barra a una distancia “y” del centro de la barra. Halle el potencial eléctrico V en el punto P. Considere que v en el infinito es cero.

R/

22. Una carga Q está uniformemente distribuida en un anillo circular de radio a. Encuentre al vector intensidad de campo CE E en el eje perpendicular al anillo a una distancia z del centro. Halle el potencial eléctrico en el punto.

R/

23. Sea un campo eléctrico uniforme siendo la magnitud de la intensidad de CE . Encuentre la diferencia de potencial entre dos puntos separados una distancia d = 100 mm, en los casos señalados como A, B y C

24. Para el dipolo eléctrico con cargas Q y –Q y distancia d entre cargas, hallar la expresión del potencial eléctrico V para cualquier punto del espacio que rodea al dipolo muy alejado del dipolo (r >> d). Considere como origen de coordenadas el centro del dipolo. Encuentre el vector E para puntos alejados del dipolo, en coordenadas polares. (Ver teoría). Considere:

Carácter conservativo del Campo Electrostático25. Según la línea de fuerza mostrada en la figura, ¿qué signo tiene la

diferencia VB-VA?

26. De las distribuciones de líneas de fuerza que aparecen en la figura:a) ¿Cuáles incumplen la ley de Gauss?b) ¿Cuáles incumplen el carácter conservativo del campo electrostático?c) ¿Cuáles pueden caracterizar un campo electrostático?

Ley de Gauss27. Determine el flujo del

vector intensidad de campo electrostático a través de las superficies cerradas S1, S2 y S3 que se muestran en la figura.

28. Discuta la afirmación siguiente: Siempre que se

cumple que hay cargas eléctricas dentro de la superficie y que el vector es nulo para todo punto de la superficie.

29. ¿Cuánto vale el flujo a través de una superficie que encierre un

dipolo? ¿Depende el resultado de la forma de la superficie? ¿Puede inferirse que es cero para algún punto de la superficie?

30. En la ley de Gauss, ¿el vector E es inherente solamente a la carga encerrada por la superficie? Explique su respuesta.

31. Una partícula con carga q0 se encuentra en el vacío dentro de una superficie cúbica de arista a. a) ¿Cuánto vale el flujo del vector a través de dicha superficie? Analice cómo se modifica su respuesta si:b) la partícula cambia de posición dentro del cuboc) se duplican los lados del cubod) se cambia el cubo por una esferae) se coloca además un dipolo dentro del cubof) se saca la partícula fuera del cuboSi se rodea la partícula por un cascarón conductor neutro, g) ¿Cuál es el valor de la carga que se induce en cada superficie del cascarón,

la interior y la exterior? 32. Determine el flujo del vector intensidad de campo electrostático E y del

vector desplazamiento D a través de las superficies cerradas S1, S2 , S3 y S4

que se muestran en la figura. Suponga que y (10

ptos)

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Simetría esférica33. Un cuerpo esférico no conductor de radio R tiene carga uniformemente

distribuida en todo su volumen con densidad . Determine: a) El flujo del vector intensidad de campo electroestático a través de dos superficies esféricas (imaginarias) concéntricas con la esfera cargada, pero de radios a < R y b > R respectivamente. b) La expresión del vector intensidad de campo eléctrico para r<R y r>R. c) La diferencia de potencial Vb-Va.

Considere que la distribución de carga se encuentra en el vacío.

34. Una carga positiva Q está uniformemente distribuida en una región esférica de radio R, que se encuentra en el vacío. a) Aplicando la ley de Gauss encuentre el vector densidad de flujo eléctrico D y el

vector intensidad de campo eléctrico E en toda la región r<R y r>Rb) Halle la función V(r) si el potencial de referencia es V( ) = 0c) Haga las gráficas de D vs r y V vs r.

35. Una carga positiva Q está uniformemente distribuida en un cascarón esférico (no conductor) de radio interior R1 y radio exterior R2, que se encuentra en el vacío.

a) Aplicando la ley de Gauss en forma integral, encuentre el vector densidad de flujo eléctrico D y el vector intensidad E en toda la región r < R1, R1 < r < R2, r > R2

b) Halle el diferencia de potencial entre un punto de radio a < R1 y un punto de radio b > R2, c) Haga la gráfica de D vs r.

36. Una esfera conductora de radio “a” contiene una carga +Q, y está rodeada por un cascarón conductor neutro de radios interior “b” y exterior “c”. a) ¿Cuál es la carga neta en la superficie interna del cascarón? b) Se coloca otra carga q fuera del cascarón con r>c, ¿Cuál es ahora la carga neta en la superficie interior del cascarón? c) Si q se mueve a una posición entre el cascarón y la esfera, con a<r<b, ¿cuál es la carga neta en la superficie interna del cascarón?

37. La figura muestra una carga +q dispuesta en una esfera conductora de radio “a” y situada en el centro de una esfera hueca conductora de radio interior b y radio exterior c. El cascarón esférico contiene una carga neta –q. Halle la expresión del vector intensidad de campo eléctrico en los puntos: a) dentro de la esfera (r<a) conductora, b) en el espacio vacío entre la esfera sólida y la hueca a<r<b, c) dentro de la esfera conductora hueca b<r<c, d) fuera de la esfera hueca r>c, e) ¿cuáles cargas aparecen en las superficies interna y externa de la esfera hueca? f) Halle la diferencia de potencial entre un punto interior con r1<a y un punto exterior con r2>c. g) Determine la energía eléctrica almacenada en la región comprendida en la región interior a<r<b.Considere q=2x10-8C, a=0.2m, b=0.4m, c=0.42m

38. Considere el sistema del problema anterior compuesto por una carga +q localizada en una esfera conductora de radio “a” y situada en el centro de un cascarón conductor de radio interior b y radio exterior c, con carga neta +2q. a) ¿qué carga qb aparece en la superficie interna del cascarón? b) ¿qué carga qc aparece en la superficie externa del cascarón?

Simetría plana39. Un plano muy grande conductor está cargado uniformemente con densidad superficial

de carga . a) Halle la magnitud del vector D y la del vector E para cualquier punto exterior al plano en funciones de la distancia al plano. b) Determine la diferencia de potencial entre dos puntos ubicados a 5 y 10 cm del plano. c) Grafique la función D vs x. d) Determine la carga de una partícula que se mantiene en equilibrio al ser colgada de un hilo muy ligero, si la masa de la partícula es 1mg y el ángulo de desviación del hilo es 30º.

40. Dos placas metálicas grandes paralelas de área A están cargadas uniformemente con densidades de carga + y respectivamente. El espacio entre las placas está al vacío. Determine los vectores densidad de flujo eléctrico D y la intensidad de campo eléctrico E en los puntos: a) a la izquierda de las láminas, b) entre ellas, c) a la derecha de las láminas. d) Determine la diferencia de potencial entre las placas, si la distancia entre ellas es d. e) Halle la capacidad del capacitor así formado. f) Determine la energía almacenada en el capacitor.

41. Entre dos planos muy grandes paralelos, cargados con + y - separados una distancia d se coloca paralelamente una lámina conductora plana neutra de espesor b<d. a) Determine el vector intensidad de campo eléctrico en toda la región y las densidades de carga inducidas en las caras de lámina. b) Determine la diferencia de potencial entre las placas. c) Determine la capacidad del capacitor así formado.

42. Dos planos muy grandes (yz) paralelos conductores, uno con x=0 y potencial V=0 y el otro en x=d con potencial Vo. El espacio entre ellos esta vacío. Utilice la ecuación de Laplace para hallar V(x) y E(x) en la región entre los planos. 0 < x < d.

Simetría cilíndrica

43. Halle los vectores densidad de flujo D e intensidad de CE E de un hilo conductor muy largo, cargado positivamente con una densidad lineal de carga + . Halle la diferencia de potencial electrostático Vb-Va entre dos puntos con radios b>a. Construya las superficies equipotenciales y dibuje las líneas de fuerza.

44. Un alambre recto delgado muy largo, tiene una densidad lineal de carga de carga negativa fija. El alambre se rodea de un cilindro uniforme de carga positiva, de R= 1.50 cm de radio, coaxial con el alambre. La densidad volumétrica de carga del cilindro no conductor es y se escoge de modo que la intensidad de CE para r>R sea cero. Calcule la densidad de carga positiva requerida.

Cable coaxial45. Un cilindro conductor muy largo de longitud L de radio a, con

densidad de carga + está rodeado por un tubo cilíndrico coaxial al cilindro, también de longitud L muy largo, con densidad de carga -2 y de radio b. Determine el vector densidad de flujo D y el vector intensidad de campo eléctrico E en los puntos: a) fuera del tubo conductor r>b, b) en la región entre el cilindro y el tubo a<r<b, c) dentro del cilindro r<a, e) halle la diferencia de potencial entre el cilindro y el tubo.

46. Un cilindro y un tubo muy largos, coaxiales, de radios R1 y R2

respectivamente. El cilindro interior no es un conductor y tiene una distribución de cargas fijas constante. El tubo es muy delgado y posee una densidad . Halle la diferencia de potencial entre los puntos A y B a distancias rA y rB del eje de los cilindros.

UNIDAD III Dieléctricos

47. Demuestre que:

48. La estructura de la molécula de agua está representada en la figura. La distancia entre los núcleos de hidrógeno y el de oxígeno es b=0.3x10-10m. Calcule el valor del momento de dipolo de esta molécula. La carga del electrón es e=1.6x10-19 CR/ p=6x10-30 Cm

49. En la figura se muestra un casquete esférico de dieléctrico de radios R1 y R2 y permitividad relativa . En el centro del casquete se encuentra una partícula cargada de carga . Determine: a) El valor del flujo del vector E sobre la superficie

imaginaria S1 mostrada:_________. b) El valor del flujo del vector E sobre la superficie

imaginaria S2 mostrada_________. c) El valor del flujo del vector D sobre la superficie

imaginaria S1 mostrada_________. d) El valor del flujo del vector D sobre la superficie

imaginaria S2 mostrada_________.

50. En la figura se muestra un casquete esférico dieléctrico de radios R1 y R2 y permitividad relativa . En el centro del casquete se encuentra una partícula cargada de carga +qo. Determine:e) El flujo del vector E sobre la superficie imaginaria irregular S mostrada.f) La expresión del módulo de los vectores dentro y fuera del

dieléctrico.g) Dibuje las gráficas de E vs r y D contra r.

51. Un cilindro conductor muy largo de radio a se encuentra cargado con densidad de carga + . Rodeando al cilindro hay un tubo conductor de

radios b y c descargado (neutro) coaxial con el cilindro. El espacio entre el cilindro y el tubo (entre a y b) se encuentra ocupado por un dieléctrico de permitividad relativa .

a) Determine la densidad de carga superficial en las superficies interior y exterior del tubo.

b) Determine el módulo de los vectores en todo el espacio.c) Haga las gráficas de E contra r, D contra r y P contra r.d) Halle la capacidad por unidad de longitud del capacitor formado con el cilindro y el tubo.

52. Un cilindro conductor muy largo de radio R1 y un tubo conductor muy delgado de radio R2

coaxial al cilindro, están cargados uniformemente con densidades de carga + y + respectivamente. Si todo el volumen entre el cilindro y el tubo se encuentra ocupado por una sustancia dieléctrica de permitividad relativa , determine:

a) La diferencia de potencial VB-VA, donde el punto B tiene un radio b > R2 y el punto A tiene un radio R1 < a < R2.

b) La expresión del potencial para r > R2. Considere conocido el potencial sobre el cilindro exterior Vo.

53. Se tiene un cable coaxial de radios a, b y c muy largo de longitud L (a, b, c <<<L). El cilindro conductor de radio “a” está cargado con densidad de carga . El tubo conductor delgado de radio b está cargado con -2 . El espacio entre radios a y b está ocupado por un dieléctrico de

permitividad relativa .

a) Halle los vectores , y en el dieléctrico.b) Demuestre que la capacitancia por unidad de longitud del capacitor formado es:

c) Halle la energía por unidad de longitud almacenada en el capacitor54. Un capacitor plano de placas muy grandes está cargado con densidades de carga y .

Todo el volumen interior está ocupado por un dieléctrico de espesor d=7.5mm y permitividad relativa er=5. El área de las placas del capacitor es At=10-3m2. Desprecie los efectos de bordes.

a) Aplique la ley de Gauss y las relaciones entre los vectores de CE para obtener las expresiones de los vectores en el dieléctrico.

b) A partir de demuestre que la expresión para la capacitancia

es: . Determine el valor de C.

c) Determine la expresión y el valor de la energía almacenada en el capacitor. Asuma que

Considere:

55. Una lámina de dieléctrico de permitividad relativa =5, es colocada perpendicular a un campo eléctrico uniforme de densidad de flujo D= 1Cm-2con las caras perpendiculares a D. El volumen del dieléctrico es Vol=0.1m3 y está uniformemente polarizada.

a) Halle el vector de polarización en el dieléctrico. b) Determine el momento bipolar total de la lámina.

56. Entre dos planos “muy grandes” paralelos de área , cargados con densidad de carga

superficial + y - , separados una distancia se coloca paralelamente una lámina conductora

neutra de espesor . La región con está al vacío, y en la región con , hay

un dieléctrico de permitividad eléctrica relativa .

Desprecie los efectos de borde. Dibuje las cargas inducidas en las superficies del conductor de ancho b y en las superficies del dieléctrico.a) Aplique la ley de Gauss en forma integral y determine la intensidad de

campo eléctrico E para y para b) Utilice la relación integral entre V y E y determine la diferencia de

potencial entre las placas (de 0 a d). c) Demuestre que la capacidad del capacitor así formado es:

57. Un capacitor plano está cargado con una diferencia de potencial entre placas de 100V. Todo el volumen interior está ocupado por dos dieléctricos en serie de espesores d1=3 mm y d2=7mm y de permitividades relativas er1=3 y er2=5. El área de las placas del capacitor es A=10-3m2. Determine:

d) El módulo de los vectores en cada dieléctrico (verifique las condiciones de frontera)

e) La capacitancia del capacitor.f) La diferencia de energía almacenada en el capacitor con dieléctricos y sin ellos.g) Determine la energía en el capacitor.

58. Un capacitor plano tiene una carga q=5x10-10C y un área de placas de A=10-3m2. La distancia entre placas es de d=5mm y se coloca vidrio entre ellas con permitividad relativa e r=6 hasta la mitad del capacitor, la otra mitad esta al vacío.

a) Determine el vector desplazamiento eléctrico en toda la región dentro del capacitorb) Determine el vector intensidad de campo eléctrico en el dieléctrico y en el aire.c) Halle la diferencia de potencial entre las placas.d) Determine la capacidad del capacitor.

59. Dentro de un capacitor plano con q=5x10-10C, de placas cuadradas de lado 5cm, separadas 12mm se han colocado dos láminas dieléctricos de permitividades relativas er1 =2 y er2=6 y espesores iguales. Determine:

a) El módulo de los vectores en cada dieléctrico.b) La capacitancia del capacitor.60. El vector intensidad de campo eléctrico E en el aire por encima de una

región donde hay un dieléctrico de permitividad =5, forma 30º respecto a la normal a la frontera de dicha región.

A) Determine el ángulo que el vector intensidad de campo eléctrico forma respecto a la normal; en la zona del dieléctrico. B) Halle el vector desplazamiento en cada región.61. Tres láminas planas de dieléctricos diferentes con =2,3,4

respectivamente están pegadas entre si. Si el vector intensidad de campo eléctrico en el aire forma 30º con la normal al primer dieléctrico con =2, encuentre los ángulos que forma E con las normales en cada dieléctrico.

62. Se tiene una línea de carga Q, finita, de longitud 2a, rodeada de un dieléctrico de permitividad . La línea yace a lo largo del eje z con extremos en a y –a., con extremos en a y –a.

a) Determine la magnitud del vector intensidad de campo eléctrico en el punto P situado a una distancia r perpendicular a la línea sobre el eje bisector de la línea:

R/

b) Se añaden al sistema dos cargas puntuales Q1=1pC y Q2=-10pC ubicadas como se indica en la figura. Determine el potencial eléctrico en el punto P del sistema formado por la línea de carga y por las dos cargas añadidas, si r=a=1m y Q=20pC.

63. Se tiene una línea infinita de carga con una densidad de carga , que está rodeada de un

dieléctrico de permitividad .a) Determine las expresiones para hallar el módulo del vector desplazamiento D y el módulo del

vector intensidad de CE E en función de la distancia a la línea. b) Determine la expresión para la diferencia de potencial entre dos puntos a distancias r1 y r2 de

la línea.

64. Se tiene una línea de transmisión coaxial formada por un cilindro conductor de radio a y un tubo conductor de radio interior b y exterior c. El espacio entre los conductores está ocupado por un dieléctrico de permitividad . Se aplica una diferencia de potencial fija entre los dos conductores Va-Vb=Vo.

a) Demuestre que la expresión para hallar la densidad lineal de carga del cilindro interior es

65. Se tiene una línea bifilar de transmisión formada por dos conductores cilíndricos infinitos de radio r pequeño, cargados con una con densidad de carga y la otra - respectivamente. La distancia entre los alambres es 2h. El potencial de referencia V0=0 se toma como el del plano paralelo a los conductores, que es equidistante a los mismos. Se conoce que las líneas equipotenciales en el plano transversal a los conductores son circunferencias de radio R, con centros ubicados a una distancia H del punto equidistante a ambos conductores y que se relacionan con el valor de potencial V (inherente a ambos conductores) de las líneas a través de la siguiente ecuación:

Halle la capacidad por unidad de longitud de la línea de

transmisión. R/

66. Suponga en el problema anterior que la línea de transmisión está formada por un solo alambre infinito de radio r, y la tierra como plano de potencial de referencia con V=0, paralelo al alambre. Determine la capacitancia por unidad de longitud de esta linea de transmisión. R/