Electrónica

y

Circuitos Digitales Tercer Semestre Único

Docencia en Informática

Miguel Antonio Miranda Chonata

Algebra booleana George Boole

George Boole (1815-1864), lógico y matemático británico, elaboró el álgebra de Boole. En

gran medida autodidacta, Boole fue nombrado profesor de matemáticas en el Queen's

College de Cork en Irlanda (hoy el University College) en 1849. En 1854, escribió

Investigación sobre las leyes del pensamiento, en donde describe un sistema algebraico

que más tarde se conoció como el álgebra de Boole. En él, las proposiciones lógicas se

indican por símbolos y pueden relacionarse mediante operadores matemáticos abstractos

que corresponden a las leyes de la lógica. El álgebra de Boole es fundamental en el estudio

de las matemáticas puras y en el diseño de los modernos ordenadores o computadoras.

Álgebra de Boole

Álgebra de Boole, rama de las matemáticas con propiedades y reglas similares, aunque diferentes, al álgebra ordinaria. Es útil,

entre otras cosas, para la lógica y para la teoría de conjuntos.

Formalmente, el álgebra de Boole es un sistema matemático compuesto por un conjunto de elementos, llamado

habitualmente B, junto a dos operaciones binarias, que se pueden escribir con los símbolos Å y Ä. Estas operaciones están

definidas en el conjunto B y satisfacen los siguientes axiomas:

1. Ambas operaciones son asociativas. Esto es, cualesquiera que sean los elementos x, y, z de B, se cumple que

2. Ambas operaciones son conmutativas. Esto es, para cualquier pareja de elementos x, y del conjunto B, se cumple que

3. Cada una de las operaciones Å y Ä es distributiva con respecto a la otra. Esto es, para tres elementos cualesquiera x, y, z

del conjunto B, se cumple que

y que

4. En el conjunto B existe un elemento neutro bien definido para cada una de las operaciones Å y Ä. Estos elementos se

representan habitualmente con los símbolos 0 y 1, son distintos y tienen la propiedad de que

Para cualquier elemento x del conjunto B.

5. A cada elemento x del conjunto B le corresponde otro elemento llamado complementario de x, que normalmente se

representa con el símbolo x′. El elemento x′ cumple las siguientes propiedades con respecto a las dos operaciones Å y

Ä: x Å x′ = 0 x Ä x′ = 1Esta estructura recibe este nombre en honor al matemático inglés George Boole, que la describió

en 1854 en su obra Investigación sobre las leyes del pensamiento.

Las dos operaciones Å y Ä se pueden representar con otra pareja cualquiera de símbolos; +, Ú y È se utilizan a veces en vez de

Å; ×, ^, Ç, ·, en vez de Ä.

Veamos un ejemplo de un álgebra de Boole. Sea X un conjunto de elementos y sea P(X) el conjunto de todos los posibles

subconjuntos del conjunto X. P(X) se denomina normalmente conjunto de las partes del conjunto X. P(X) junto con la unión (È)

y la intersección (Ç) de conjuntos forma un álgebra de Boole. En realidad, cualquier álgebra de Boole se puede representar

como un álgebra de conjuntos (véase Teoría de conjuntos).

Dada la simetría de los axiomas con respecto a las dos operaciones y sus respectivos elementos neutros, se puede demostrar el

llamado principio de dualidad, que afirma que cualquier proposición algebraica verdadera deducible a partir de los axiomas del

álgebra de Boole es también verdadera si se intercambian las operaciones Å y Ä y los elementos neutros 1 y 0 en la

proposición. Dos de los muchos teoremas que se pueden deducir a partir de los axiomas del álgebra de Boole y que son de gran

importancia son las leyes de Morgan, que dicen que (x Å y)′ = x′ Ä y′y que (x Ä y)′ = x′ Å y′Los elementos que forman el

conjunto B de un álgebra de Boole pueden ser objetos abstractos o cosas concretas como números, proposiciones, conjuntos o

redes eléctricas. En el desarrollo original de Boole, los elementos de su álgebra eran una colección de proposiciones, o

simplemente oraciones gramaticales con la propiedad de ser verdaderas o falsas. Las operaciones eran, esencialmente, la

disyunción y la conjunción, que se escriben con los símbolos Ú y ^ respectivamente. Si x e y representan dos proposiciones,

entonces la expresión x Ú y (leída 'x o y') es verdadera si y sólo si o x o y o ambas son verdaderas. La proposición x ^ y (leída 'x e

y') es verdadera si y sólo si ambas son verdaderas. En esta álgebra de Boole, el complementario de un elemento o proposición

es simplemente la negación de la proposición.

Un álgebra de Boole de proposiciones y una de conjuntos están muy relacionadas. Por ejemplo, sea p la afirmación 'la bola es

azul', y sea P el conjunto de todos los elementos para los que la proposición es verdadera, es decir, el conjunto de las bolas

azules. P es el conjunto verdad de la proposición p. De esta manera, si P y Q son los conjuntos verdad de las proposiciones p y

q, entonces el conjunto verdad de la proposición p Ú q es claramente P È Q y para p ^ q el conjunto verdad es P Ç Q.

El álgebra de Boole tiene muchas aplicaciones prácticas en las ciencias físicas, especialmente en la informática y en la

electrónica. A continuación se expone un ejemplo del uso del álgebra de Boole en la teoría de circuitos electrónicos. Sean p y q

dos proposiciones, es decir, oraciones afirmativas que son o verdaderas o falsas (pero no las dos cosas al mismo tiempo). Si

cada una de las proposiciones p y q se asocia con un interruptor que está cerrado si la afirmación es verdadera y abierto si es

falsa, entonces la proposición p ^ q se representa en el circuito conectando los interruptores en serie. La corriente circulará por

este circuito si y sólo si ambos interruptores están cerrados, esto es, si ambas p y q son verdaderas. De la misma manera, otro

circuito se puede usar para representar p Ú q. En este caso los interruptores tienen que estar conectados en paralelo, con lo

que la corriente circula si o p o q o ambas son verdaderas (interruptores cerrados). Proposiciones más complejas darán lugar a

circuitos más complicados.

El álgebra de Boole y los sistemas de numeración binarios vistos hasta ahora constituyen la base matemática para construir los

sistemas digitales.

El álgebra de Boole es una estructura algebraica que relaciona las operaciones lógicas O, Y, NO.

A partir de estas operaciones lógicas sencillas, se pueden obtener otras más complejas que dan lugar a las funciones lógicas.

Por otra parte, hay que tener en cuenta que los valores que se trabajan en el álgebra de Boole son de tipo binario.

En el álgebra de Boole existen tres operaciones lógicas: suma, multiplicación y complementación o inversión. Sus postulados

son los siguientes:

Además de los postulados, se definen una serie de propiedades para sus operaciones, que son las siguientes:

• Propiedad conmutativa:

• Propiedad asociativa:

• Propiedad distributiva:

Por último, para la simplificación de circuitos digitales, además de estas propiedades resultan fundamentales las leyes de De

Morgan:

• Primera ley de De Morgan:

• Segunda ley de De Morgan:

Función lógica

Se denomina función lógica a toda expresión algebraica formada por variables binarias que se relacionan mediante las

operaciones básicas del álgebra de Boole. Una función lógica podría ser por ejemplo la siguiente:

Tabla de verdad de una función lógica.

Puertas lógicas.

En el álgebra convencional es habitual ayudarse de representaciones gráficas para formular y resolver expresiones. El tipo de

representación que se utiliza para el mismo fi n en el álgebra de Boole son las tablas de verdad.

Tabla de verdad

La tabla de verdad es una representación gráfi ca de todos los valores que puede tomar la función lógica para cada una de las

posibles combinaciones de las variables de entrada. Es un cuadro formado por tantas columnas como variables tenga la función

más la de la propia función, y tantas fi las como combinaciones binarias sea posible construir.

El número de combinaciones posibles es 2n, siendo n el número de variables.

Así, si tenemos dos variables (a, b) tendremos: 22 = 4 combinaciones binarias (00, 01, 10, 11), etc.

Puertas lógicas

Las puertas lógicas son pequeños circuitos digitales integrados cuyo funcionamiento se adapta a las operaciones y postulados

del álgebra de Boole. Las más importantes se muestran en la siguiente tabla:

Lafigura 4-50 muestra el cruce de una autopista principal con un camino de accesosecundario. Se colocan sensores de detección de vehícul os a lo la rgo de

los carri les C y D(camino principal) y en los carriles A y B (camino de acceso). Las salidas del sensor sonBAJAS (0) cuando no pasa ningún vehículo y ALTAS (1)

cuandopasa algún vehículo. Elsemáforo del crucero se controlará de acuerdo con la siguiente lógica:1.El semáforo E -O estará en luz verde siempre que los

carri les C y D están ocupados. 2 . E l s e m á f o r o E - O e s t a r á e n l u z v e r d e s i e m p r e q u e y a s e a C o D e s t é n o c u p a d o s p e r o A y B no lo estén.3.El

semáforo N-S estará en luz verde siempre que los carri les A y B están ocupadospero C y D no lo están.4.El semáforo N-S también estará en luz verde cuando

A o B están ocupados en tantoque C y D no lo están.5.El semáforo E -O estará en luz verde cuando no haya vehículos transi tando.Uti lizando las salidas del

sensor A, B, C y D como entradas, diseñe un circuitológico para controlar el semáforo. Debe haber dos salidas N -S y E-O, que pasen a ALTOcuando la luz

correspondiente se pone verde. Simplifique el circuito lo más que sea posibley muestre todos los pasos.

Resuelva los siguientes ejercicios 1. Utilizando las leyes de De Morgan, obtener una expresión en forma de sumas de productos para las siguientes funciones:

a) F ( x y )( x y z ) (xyx)+xz+(yxy)+yz xy+xz+xy+yz (xy+xy)+(xz+yz) xy+z(x+y)

b) F (xy xz)(x yz) (xyx)+(xzx)+(xyyz)+(xzyz) xy+xz+xyz+xyz (xy+xz)+(xyz+xyz) x(y+z)+(xyz)

2. Aplicando las leyes de De Morgan, obtener el complemento de las siguientes funciones

a) f (x y)( yz x y) (xyz)+(xxy)+(yyz)+(xyy) xyz+xy+yz+xy (xy+xy)+(xyz+yz) xy+yz(x+1) xy+yz y(x+z)

b) g y(x z) y(xz xz) y(x+z)+y(xz) y(x+z+xz) y(x+z(1+x)) y(x+z)

c) h x y(x z)( yz x y) (xyx+xyz)(yz+xy) (xy+xyz)(yz+xy) xy(1+z)(yz+xy) xy(yz+xy) xyy(z+y) xy(z+y) xyz+xyy xyz+xy xy(z+1) xy

3. Verificar, mediante manipulaciones algebraicas adecuadas, las siguientes igualdades, justificando cada uno de los pasos haciendo referencia a un postulado o a un teorema.

a) (x y xy)(x y)xy 0 Agrupo para transformar en 1 mediante ley de acotación (x+y(1+x)) (xxy+yxy) Según ley de idenpotencia a*a=a; entonces (x+y(1)) (xy+xy) Según ley de idenpotenciaa+a=a; entonces (x+y) (xy) Multiplicamos (xxy+yxy) Según ley de idenpotencia a*a=a; entonces

(xy+xy) Según ley de idenpotenciaa+a=a; entonces (xy)

b) (x y x y)(xy xz yz) xy x yz Agrupo para transformar en 1 mediante ley de acotación

(x+y(1+x)) (xy xz yz) = xy +xyz

(x+y(1)) (xy xz yz) = xy +xyz

(x+y) (xy xz yz) = xy +xyz

(xy(x+y) xz(x+y) yz(x+y)) = xy +xyz

(xxy+yxy) (xzx+yxz) (yzx+yyz) = xy +xyz

(xy +xy) (zx+yxz) (yzx+yz) = xy +xyz

(xy) (zx+yxz) (yzx+yz) = xy +xyz

xy zx+(yxz yzx)+yz = xy +xyz

xy zx+ yzx+yz = xy +xyz xy + zx(1+x)+yz =xy +xyz xy + zx + yz = xy + xyz xy + z(x +y) = xy +xyz

4. Simplificar la siguiente función lógica por métodos algebraicos

f(A, B,C,D) A (B C) B D A (C D) B (C B) A AB+AC+BD+(AC+AD)(BC+BB).A AB+AC+BD+(AC+AD)(ABC+ABB) AB+AC+BD+(ACABC+ADABB)(ACABB+ADABC) AB+AC+BD+ABC +ABD+ABC +ABCD (AB+ABC)+AC+(BD+ABD)+(ABC +ABCD) AB(1+ C)+AC+BD(1+ A)+ABC(1+ D) AB(1)+AC+BD(1)+ABC(1) AB+AC+BD+ABC (AB + ABC)+AC+BD AB(1+C)+AC+BD AB+AC+BD (AB+AC)+BD A(B+C)+BD 5. Obtener la tabla de verdad que corresponde a las siguientes funciones de conmutación expresadas algebraicamente:

a) F xy xz yz X(Y+Z)+YZ

X Y Z Y+Z X(Y+Z) YZ X(Y+Z)+YZ

1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1

1 0 1 1 1 0 1

1 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1 1

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

b) G (x z)(y z) XY +XZ+YZ+ZZ XY +XZ+YZ+Z XY +XZ+(YZ+Z) XY+XZ+Z(Y+1) XY+XZ+Z XY+(XZ+Z) XY+Z(X+1) XY+Z

X Y Z XY XY+Z

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 0 0 0

0 1 1 0 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

0 0 0 0 0

6. Para cada una de las funciones dadas a continuación, dibujar un circuito con puertas AND, OR Y NOT que la sintetice:

A) F xyz y(xz z)

X

Y

Z

b) G (x y z)(x yz)

X

Y

Z

H (x y xz)(x yz)

X

Y

Z

7. Para cada circuito obtener un circuito equivalente con el mínimo número de puerta8s lógicas:

A) IMPOSIBLE HACER????? NO SE PUEDE, HACER UN OR DE SI

MISMO? PARECE FALTAR ALGO EN ESE CIRCUITO B) (X+Y) +X ES IGUAL A (X+Y)+X (X+X)+Y X+Y X Y