ELECTROSTÁTICA

CARGA ELÉCTRICA

Es la manifestación que se presenta en la materia cuando esta es atraída o repelida por un cuerpo que ha perdido o adquirido electrones. Cuando los adquiere, se dice que es eléctricamente negativo y cuando los pierde es eléctricamente positivo.

LEY DE CARGA ELÉCTRICA

Las cargas del mismo signo se repelen y las de signo contrario se atraen.

UNIDAD DE CARGA

La carga eléctrica neta de un objeto se representa por q y el una cantidad escalar que puede ser positiva o negativa.La carga eléctrica se mide en Coulombs1 C = 6 x 1018 electrones1 e = 1.602 x 10 -19 C

LEY DE COULOMB

La fuerza eléctrica ejercida por un cuerpo cargado sobre otro depende directamente del producto de sus magnitudes e inversamente proporcional del cuadrado de su separación.

F a │q1││q2│ r 2

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

En el sistema internacional, la constante de proporcionalidad K se expresa de la siguiente manera:

K = 1/ 4pe0

e0 = 8.85418781762 x 10 -12 C2 / N m2

FINALMENTE

F = k │q1││q2│ r 2

PROBLEMA 1

El núcleo de un átomo de hierro tiene un radio aproximado de 4 x 10 -15 mts y contiene 26 protones. ¿Qué fuerza electrostática de repulsión opera entre dos protones del núcleo si se hallan a una distancia de un radio?

FORMA VECTORIAL

AL SER UNA FUERZA, LA LEY DE COULOMB SE PUEDE REPRESENTAR MEDIANTE VECTORES, YA QUE TIENE MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO.

PROBLEMA 2

Determine la la fuerza electrostática que se ejerce sobre la carga q1 = - 1.2 mC, q2 = 3.7 mC, q3 = -2.3 mC, r1,2 = 15 cm, r1,3 =10 cm, q = 32º.

PROBLEMA 3

Dos bolas pequeñas y similares de masa m se cuelgan de hilos de seda de longitud L y portan la misma carga q. Suponga que q es tan pequeño que tan q pueder ser reemplazado por sen q a) Con esta aproximación, pruebe, que en el estado de equilibrio

X = (q2 L/ 2peo mg) 1/3

Donde x es la distancia entre las dos bolas.

PROBLEMA 3

PROBLEMA 3

Si L = 122 cm, m = 11.2 g y x= 4.70 cm, ¿Cual es el valor de q?

CAMPO ELÉCTRICO

Está asociado a un grupo de cargas que ejercen una fuerza sobre una carga puntual positiva qo.

E = F/qo (N/C)

PROBLEMA 4

Un electrón colocado cerca de un cuerpo cargado experimenta una fuerza en la dirección +y de magnitud 3.60 x 10 -8 N.a) ¿Cuál es el campo eléctrico en ese lugar?b) ¿Qué fuerza ejercería el mismo cuerpo

cargado sobre una partícula alfa ( q = 2e) puesto en el sitio ocupado antes por el electrón?

CAMPO ELÉCTRICO DE CARGAS PUNTUALES

F = k qo │q│/ r2

E = F/qo = k │q│/ r2

Et = S E n

ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

DU = - ò F dr = Ub – Ua = k

q1q2(1/rb-1/ra)a

b

PROBLEMA 5

Dos protones en el núcleo de un átomo de 238U están separados por una distancia de 6 fm ¿Cuál es la energía potencial relacionada con la fuerza eléctrica que opera entra las partículas?

Problema 6

Dado el sistema de cargas mostrado, donde r12 = r13 = r23 = 12 cm y q1 = +q, q2 = -4q y q3 = 2q ( q=150 C) ¿Cuál es la energía potencial del sistema? Considere U = 0 cuando una distancia infinita separa las cargas.

POTENCIAL ELÉCTRICO

Es la diferencia de la energía potencial eléctrica por unidad de carga de prueba.

DV = D U/q0 (J/C) 1 VOLT = 1 J/ 1C

Vb – Va = (Ub – Ua)/q0

POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO ELÉCTRICO

DV = - ò E dr cos(q)

DV = Vb – Va = (- ò F ·dr)/q0 = - ò E ·dr

Problema 7

En la siguiente figura, una carga de prueba q0 se desplaza por un campo eléctrico uniforme E, desde a hasta b en la trayectoria abc. Determine la diferencia de potencial entre a y b

La ley de Gauss

• La ley de Gauss constituye una de las leyes fundamentales de la Teoría Electromagnética.

• Se trata de una relación entre la carga encerrada en una superficie y el flujo de su campo eléctrico, a través de la misma.

• Constituye un medio para obtener expresiones de campos eléctricos, con suficientes condiciones de simetría.

EnunciadoEl flujo de campo eléctrico a través de cualesquier superficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga neta encerrada, por la misma, entre la constante e0.

encqE 0 encqAdE

0

Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?

• Sólo es útil para situaciones donde hay mucha simetría.

• Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección.

• Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).

Guía para aplicar la Ley de Gauss• Identificar al campo eléctrico y representarlo con líneas de campo.

– En los casos de cargas estáticas en sólidos, el campo eléctrico tiene dirección perpendicular a la superficie.

• Seleccionar superficie gaussiana acorde a la simetría.– Que pase por los puntos donde se desea conocer la magnitud de E– Que sea cerrada.– Que E sea constante en los puntos de la superficie.– Que E sea paralelo a la superficie en las partes donde no es constante.

• La integral lleva directo a una expresión algebráica que contiene E.• Calcular la carga encerrada por la superficie.

– En ocasiones será necesario calcularla a partir de alguna densidad de carga.• Aplicar la ley de Gauss.

Superficies esfericas Gaussianas

a) carga puntual positiva

Flujo Positivo

a) carga puntual negativa

Flujo Negativo

Campo Eléctrico de una carga puntual

r

EdA

q

Considere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio r será:

0

0

2

24/

4

rqE

qrEdAEd

AE

Campo eléctrico de una carga puntual

encqEdAAdE 00

qdAE 0

qrE 20 4 2

04

1

r

qE

Un conductor aislado cargado

Si un exceso de cargas es colocado en un conductor aislado, esa cantidad de carga se moverá completamente a la superficie del conductor. Nada del exceso de carga se encontrara dentro del cuerpo del conductor.

Ejemplo de aplicación de la ley de Gauss

Una Linea Recta e Infinita de Carga • Lo de infinita es importante porque es lo que nos permite decir que todos los puntos en los lados de nuestra superficie Gaussiana cilíndrica (en amarillo) tienen la misma magnitud de E. En la práctica, por supuesto, no existen lineas infinitas pero el resultado que obtengamos será una buena aproximación al caso de puntos que quedan cerca de una linea de carga finita.

• En una situación como esta con un punto y una linea, la única dirección definida por la realidad física es la dirección radial (coordenadas cilíndricas). E tiene que ser en esa dirección.

• Nuestra superficie Gaussiana tiene lados y dos tapas. En las tapas E no es constante pero es perpendicular a E así que la integral sobre las tapas es cero y la integral sobre los lados es

• Ese resultado es siempre igual para toda simetría cilíndrica.

Como siempre, la solución al problema particular se reduce a determinar la carga dentro de la superficie. En este caso resulta ser λh donde λ es la densidad lineal de carga. Así que la ecuación de la ley de Gauss se convierte en este problema en y resolviendo

por E obtenemos o sea el campo disminuye con la primera potencia de r no con la

segunda. Esto quizás no debe extrañarnos ya que tenemos una carga mucho más grande que una carga puntiforme.

Para el caso de una linea de longitud L con carga total Q, entonces λ = Q / L y nuestro resultado es correcto sólo para puntos donde r << L y que quedan lejos de los extremos de la linea.

Aplicación de la ley de Gauss, simetría cilíndrica

)2(0cos)2(

cos

rhErhE

EA

encq0

hrhE 20

rE

02

Para una línea infinita, con densidad lineal de carga uniforme, el campo eléctrico en cualquier punto p, es perpendicular a la línea de carga y de magnitud:

rE

02

Donde r es la distancia perpendicular de la línea de carga al punto.

Aplicación de la Ley de Gauss Simetría Plana

La única dirección especificada por la situación física es la dirección perpendicular al plano. Por tanto, ésta tiene que ser la dirección de E.

Puntos que quedan en planos paralelos están equidistantes al plano y tienen un campo E de la misma magnitud

La superficie Gaussiana que usamos tiene tapas que son dos de esos planos paralelos. El flujo a través de la superficie Gaussiana es cero. Los flujos a través de las dos tapas son iguales.

00

12

E

Dos placas conductoras:

Ejemplo

CAPACITORES

Definición de un capacitor

Conocidos también como condensadores son dispositivos electrónicos que permiten almacenar energía eléctrica. En un circuito pueden estar asociados en serie paralelo o mixto, tal como lo hacen las resistencias.

Capacitor cilíndrico

Diseño de un capacitor

Está formado por dos conductores, denominan placas, muy cercanos entre si. Entre ellas se coloca un dieléctrico que permite aislar las placas entre si. La figura muestra un esquema de un capacitor de placas paralelas, aislado, en este caso, por aire. Existen otros dieléctricos tales como vidrio, papel humedecido con parafina etc.

d

Diseño de un capacitor, la botella de Leyden

• Es un condensador cilíndrico, tiene por armaduras hojas metálicas que envuelven el recipiente de vidrio (dieléctrico) por fuera y por dentro.

• Ocupa un volumen grande y tiene relativamente poca capacidad.

Vidrio

Hojas metálicas

(llamado botella de Leyden, por la ciudad holandesa donde primero se construyó)

Diseño de un capacitor

• Se pueden construir condensadores de gran capacitancia y poco volumen usando como armaduras hojas metálicas, separadas por un dieléctrico (generalmente papel parafinado), y enrollado, tal como muestra la figura.

Aluminio

Dieléctrico

Simbología de un capacitor

Tal como acontece con los componentes de un circuito, los capacitores poseen su propia representación. Esta es la que indica la figura siguiente.

Funcionamiento de un capacitor proceso de carga

Se conecta el capacitor inicialmente descargado, a una batería o fuente de poder, una placa al polo negativo y la otra al positivo, respetando la polaridad del capacitor y la batería. (positivo con positivo y negativo

con negativo).

Generalmente el polo negativo del capacitor es más corto ( es usual que venga señalado en el cuerpo del capacitor)

+ _

Funcionamiento de un capacitor proceso de carga

En esta situación la batería extrae electrones desde una placa, la que finalmente adquiere una carga +Q , y los deposita en la otra que gana una carga –Q. El capacitor queda entonces con carga Q. Para ello se hace referencia al módulo de la carga que adquiere una de las placas.

+Q -Q

La carga neta del capacitor es cero

Funcionamiento de un capacitor proceso de carga

La transferencia de carga va aumentando hasta un límite en el cual la diferencia de potencial entre las placas del capacitor se iguala con la que posee la batería. Esta condición es la que limita el almacenamiento de energía (carga eléctrica) en el capacitor

+Q -Q

V (volt)

V (volt)

Funcionamiento de un capacitor proceso de carga

Si se cambia la fuente de poder por otra que posea más voltaje entre sus polos, entonces el capacitor junto con acumular más energía en forma de carga eléctrica, aumenta su voltaje terminal, de tal modo que el cuociente Q/V se mantiene constante. Este cuociente se denomina capacitancia y es característico de cada capacitor:

V

QC

Si Q se mide en coulomb y V en volt, entonces C se mide

en Faradios (F)

Una capacitancia igual a 1F = 1C/V es una unidad muy grande. Se acostumbra a usar submúltiplos como el microfaradio (F) = 110-6 F o picofaradio (pF) = 110-12 F

Funcionamiento de un capacitor proceso de carga

Se puede demostrar usando la ley de Gauss (contenido que escapa de los objetivos de este curso) que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es:

d

AC 0

0 : permitividad del espacio libre entre las placas (aire o vacío). Esta constante se relaciona con la constante de Coulomb a través de 0 = 1/ 4K y por tanto posee un valor igual a 8,8510-12 C2/Nm2

Área entre placas

Separación entre placas

Funcionamiento de un capacitor proceso de carga

• Como la longitud “L” de las placas conductoras en comparación con la distancia “d” que las separa, es muchísimo mayor, dentro del capacitor se forma un campo electrostático uniforme.

Bajo estas condiciones el campoPosee un valor que depende del

Voltaje entre las placas y la Separación entre las mismas, es decir:

d

VE 0

0

E0

Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico

Como se vio, la capacitancia de un capacitor depende del área de las placas y la separación entre ellas, pero también puede aumentarse si además entre las armaduras de él se coloca un dieléctrico o aislador. El dieléctrico se afecta por el campo eléctrico del capacitor, ocasionando que aquel se polarice, como indica la figura.

Ep

Dieléctrico

E0

Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico

Esto provoca que en el dieléctrico se forme un campo Ep en dirección opuesta al que genera el capacitor. Por consiguiente el campo neto es la suma de ambos: E T = E0 -E p . En este proceso la carga Q acumulada en las placas no se afecta

ET = E0 -EP

Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico

Recuerde que V0 = E0d. Como la diferencia de potencial es función del campo dentro del capacitor y de la separación entre las placas se obtiene que, la nueva diferencia de potencial disminuye, esto es: V= ET d, porque el campo disminuye. Es decir que: V V0 .

La nueva capacitancia es C = Q/ V

13V 9VSin dieléctrico Con dieléctrico

C0 Q C Q

Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico

Se demuestra que V = V0 / kd donde kd 1. Luego la capacitancia puede expresarse como:

C = K d Q / V0

Es decir, C = k d C0. A su vez esta ecuación puede escribirse en término del área de las placas y de la distabcia d entre ellas, tal como sigue:

d

AkC d 0

K d se conoce como la constante del dieléctrico

Funcionamiento de un capacitor, con dieléctrico

Para variar la capacidad de un condensador, se pueden poner materiales con distintas constantes dieléctricas entre sus placas. La constante dieléctrica del vació es 1; la de un conductor perfecto sería infinita.

Otra utilidad de los dieléctricos, y especialmente los sólidos, es que permiten colocar las placas muy cerca sin peligro de que se toquen y se descarguen, lo cual permite aumentar aún más la capacitancia del condensador.

Energía en un capacitor

Cuando un condensador se descarga, se produce un flujo de cargas desde la placa negativa a la positiva hasta que se igualen las cargas y desaparezca la diferencia de potencial. El transporte de esas cargas , implica un trabajo eléctrico y por tanto la transformación de energía eléctrica. La expresión general para la energía almacenada en un capacitor es:

2

VQU c

2

2VCU c

C

QU c 2

2

Q : carga acumulada, C: capacitancia , V: diferencia de potencial entre las placas

De acuerdo a los datos

Puede expresarse también así

Constante dieléctricas de algunos materiales

Material Constante Material Constante Vacío 1 Caucho 6,7 Aire 1,00059 Nylon 3,4 Baquelita 4,9 Papel 3,7 Cuarzo 3,78 Titanio 233 Vidrio pyrex

5,6 Agua 80

Poliestireno 2,56 aceite 2,5 Teflón 2,1

Ejemplo

1.- Se conecta un capacitor a una batería de 300V. Suponga que la carga transferida a las placas del capacitor es 1,2 10-3 C. Determine la capacitancia cuando el dieléctrico usado es aire.

Resp. Aplicando C = Q/V

C = 410-6 F = 4F

Habitualmente V se escribe como V y vice-versa

Ejemplo

2.- Suponga que se mantiene el capacitor conectado a la batería de la pregunta anterior. Se separan las placas una distancia el doble de la inicial. ¿ Cuál será el valor del voltaje entre las placas del capacitor?

Resp. No cambia pues las placas siguen conectadas a la misma diferencia de potencial de la batería. Esto e independiente de la separación de las placas.

Ejemplo

3.- Con las condiciones del problema anterior determine la capacitancia .

Resp. C = FF

22

4

Ejemplo

4.-Para el mismo problema anterior determine la carga entre las placas.

Resp. Aplicando Q = C V Q = 2 10-6 ( F) 300 (V)

Q = 610-4 C

Obs.

A pesar que el voltaje en el capacitor se mantuvo, la carga acumulada disminuye debido que la capacitancia del mismo disminuyó a la mitad producto de la nueva separación entre las placas del mismo

Ejemplo

5.- Determinar el área de las placas de un capacitor de placas paralelas de 1 F, sabiendo que ellas estás separadas 1 mm.

0 = 8,8510-12 C2/ Nm2

d = 110-3 m

C = 1 F

2812

3

0

1011085,8

1011m

dCA

Esto corresponde a un cuadrado de 10 Km por lado. Por eso los capacitores de uso común son del orden del picofaradio (110-12 F)

Ejemplo

7.- Un condensador plano cargado pero desconectado de la batería tiene una capacidad de 9 F y entre sus armaduras hay una diferencia de potencial de 200 V. ¿ Qué energía se liberará en la descarga del capacitor?

Resp. U c = Q V/2

Q = C V = 1,810-3 C

UC = 0,18 j

Ejemplo

8.- Respecto del problema anterior. Determinar la energía que se almacenará en el capacitor cuando la distancia entre las placas se triplique:

Resp.

La carga no sufre alteración de modo de Q = 1,810-3C. Como la capacitancia del condensador es inversamente proporcional a la distancia entre las placas C= C0/3= 310-6 F. Además V= Q/C = 600V. Por lo tanto la nueva energía UC = 0,54 j

Ejemplo

9.- Con relación al problema anterior, ¿cuál es el trabajo realizado para separa las placas del condensador?

Resp.

El trabajo realizado se transfirió al capacitor por ello aumentó su energía. De acuerdo con el principio de conservación de la energía:

W = E= Uc- U0c= 0,54-0,18=0,36J

Tipos de capacitores

Existen diversos condensadores, algunos denominados polarizados, variables, pasante electrolítico, ajustable etc. En esta unidad se ha centrado el estudio en los Condensadores no polarizados. Cada tipo posee su propia simbología.

Simbología para diversos capacitores

Algunas equivalencias

La carga acumulada se mide en Coulomb (C) y el potencial en volt (V). Luego la unidad de medida en el sistema S.I. para la capacitancia es el : C/V. Que se denomina Farad o Faradio (F). Por ser una unidad más bien grande se utiliza otras submúltiplos como :

Nano faradio: nF = 110-9 F

Micro faradio: F = 110-6 F

Pico faradio: pF = 110-12 F

Mili faradio: mF = 110-3 F

Capacitores en serie y paralelo

Considérese primero el efecto de un grupo de capacitores conectados a lo largo de una sola trayectoria, Una conexión de este tipo, en donde la placa positiva de un capacitor se conecta a la placa negativa de otro, se llama conexión en serie.  La batería mantiene una diferencia de potencial V entre la placa positiva C1 y la placa negativa C3, con una transferencia de electrones de una a otra.  La carga no puede pasar entre las placas del capacitor ; en consecuencia, toda la carga contenida dentro del paralelogramo punteado, Fig. 3.3., es carga inducida.  Por esta razón, la carga en cada capacitor es idéntica.  Se escribe:

Q=Q1=Q2=Q3

Capacitores en serie y paralelo

Capacitores en serie y paralelo

Los tres capacitores pueden reemplazarse por una capacitancia equivalente C, sin que varíe el efecto externo.  A continuación se deduce una expresión que sirve para calcular la capacitancia equivalente para esta conexión en serie.  Puesto que la diferencia de potencial entre A y B es independiente de la trayectoria, el voltaje de la batería debe ser igual a la suma de las caídas de potencial a través de cada capacitor.

V=V1+V2+V3

Capacitores en serie y paralelo

Si se recuerda que la capacitancia C se define por la razón Q/V, la ecuación se convierte:

Para una conexión en serie, Q=Q1=Q2=Q3  así, que si se divide entre la carga, se obtiene :

1  = 1  +  1  +   1 Ce   C1    C2    C3

Capacitores en serie y paralelo

Ahora bien, considérese un grupo de capacitores conectados de tal modo que la carga pueda distribuirse entre dos o más conductores.  Cuando varios capacitores están conectados directamente a la misma fuente de potencial, se dice que ellos están conectados en paralelo.

Capacitores en paralelo

Capacitores en paralelo

De la definición de capacitancia,, la carga en un capacitor conectado en paralelo es :

Q1=C1V1     Q2=C22V2                  Q3=C3V3

La carga total Q es igual a la suma de las cargas individuales

Q=Q1 =Q2+Q3

La capacitancia equivalente a todo el circuito es Q=CV, así que la ecuación se transforma en CV= C1V1  + 

C22V2  +  C3V3

Para una conexión en paralelo,

V =V1=V2=V3

Ya que todos los capacitores están conectados a la misma diferencia de potencial.  Por tanto, al dividir ambos miembros de la ecuación

CV = C1V1 +C2V2 +C3V3  entre el voltaje se obtiene

C = C1 +C2 +C3            Conexión en paralelo

EJEMPLO

A)  Encuéntrese la capacitancia equivalente del circuito mostrado  en la figura. B)  Determínese la carga en cada capacitor.

c).  Cuál es la diferencia de potencial entre las placas del capacitor de 4µF.