Elementos básicos de la Geometría

La estructura deductiva de la Geometría parte de tres conceptos básicos no definidos que son el punto, la línea y el plano. Son conceptos de los llamados primitivos.

Punto

Concepto geométrico no definido que carece de longitud, anchura y espesor; su idea puede sugerirse por la huella que deja un lápiz bien afilado en el papel.

Línea

Concepto geométrico no definido que posee longitud pero carece de anchura y espesor.

Plano

Concepto geométrico no definido. Una superficie como la de una pared o la de un piso, etc. nos sugiere la idea de un plano. Generalmente se designa con una sola letra o por tres de sus puntos no alineados. La Geometría plana estudia las propiedades de las figuras que tienen todos sus puntos sobre una superficie plana.

Investigar los siguientes conceptos:

Puntos colineales, Puntos coplanares, Rectas paralelas, Segmento de recta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , Punto medio, Semirrecta o rayo, Ángulo, Semiplano, Polígono, Arco, Curva, Superficie, Sólido, Axioma, Definición, Postulado, Corolario, Teorema.

Plano

Concepto geométrico no definido. Una superficie como la de una pared o la de un piso, etc. nos sugiere la idea de un plano. Generalmente se designa con una sola letra o por tres de sus puntos no alineados. La geometría plana estudia las propiedades de las figuras que tienen todos sus puntos sobre una superficie plana.

Puntos colineales

Puntos que están sobre una misma recta.

Puntos coplanares

Puntos que se encuentran sobre un mismo plano.

Rectas paralelas

Son aquellas rectas que están en el mismo plano pero no se intersecan.

Rectas concurrentes

Son tres o más rectas que tienen un punto en común.

Segmento de recta 𝑨𝑩̅̅ ̅̅

Si tenemos una recta 𝐴𝐵 ⃡ , entonces la parte de la recta comprendida entre los puntos A y B inclusive se llama segmento de recta AB y se denota por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Punto medio

Un punto B es el punto medio del segmento de recta 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ si AB = BC; es decir, si B divide al segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ en dos partes de igual longitud.

Semirrecta o rayo 𝑨𝑩

Si A y B son dos puntos de una recta r, entonces el conjunto de todos los puntos que contiene A y

todos los que están del mismo lado de A que B se llama rayo de A hacia B y se denota 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Basándote en el esquema siguiente, contesta las preguntas que se plantean a continuación, para lo

cual es necesario que midas con transportador los ángulos que se forman.

Q'

A < 1 < 2 B

< 4 < 3

C < 5 < 6 D

< 8 < 7

Q

a. ¿Cuáles son los ángulos internos?

b. ¿Cuáles son los ángulos externos?

c. ¿Cuáles son los ángulos alternos internos?

d. ¿Cuáles son los ángulos alternos externos?

e. ¿Cuáles son los ángulos correspondientes?

f. ¿Cuáles son los ángulos conjugados internos y conjugados externos?

1. Obtén el valor correspondiente a cada uno de los espacios faltantes de la siguiente tabla de

relación entre los sistemas sexagesimal y circular. Te recomendamos que te apoyes en el trazo de

una circunferencia con radio de tres unidades para que te sea más fácil localizar la longitud del arco

de circunferencia del sistema circular y compararla de forma directa con la medida en grados,

minutos y segundos que marcará el transportador cuando unas mediante una línea la marca del

nuevo punto en la circunferencia con el centro.

Sistema circular Sistema sexagesimal Sistema circular Sistema sexagesimal

3¶/4 1 800°

75° 2¶/3

9¶/4 19¶/6

2. Observa la siguiente figura y establece la relación que guardan cada una de las parejas de ángulos

indicadas.

B

C 1 2 A

O

3 4 5

E

D

a. < 1 y < 5 b. < 1 y < 4 c. < COE y < 2 d. < 4 y < 5 e. < 1 y < 2

f. < 2 y < EOA

3. Relaciona correctamente las siguientes columnas.

a. Ángulo complementario a 34° ( ) Ángulo obtuso

b. Ángulos opuestos por el vértice ( ) 30°

c. Ángulos suplementarios ( ) 56°

d. Nombre dado a los ángulos menores de 90° ( ) Ángulo perigonal

e. Tienen un lado común entre dos lados no comunes ( ) 54°

f. Ángulo mayor de 90° y menor de 180° ( ) 25°

g. Suplemento de 126° ( ) Ángulos adyacentes

h. Si (2x – 10°) y (3x + 40°) son ángulos adyacentes, ¿cuál es el

valor de x? ( ) Son iguales

i. Si (3x – 20°) y (x + 30°) son ángulos opuestos por el vértice,

¿cuál es el valor de x? ( ) Ángulo agudo

j. Ángulo de 360° ( ) Ángulos consecutivos

4. Encuentra el valor de cada uno de los ángulos indicados en cada una de las siguientes figuras.

A B

O

5x - 34°

D C

30° + x

3x + 20°

5.

5x - 30°

3x + 20°

A B

C

2x + 70°

6. Explica que está mal en los datos que aparecen en cada una de las siguientes figuras.

a. b.

82°

148°

100° 42°

7. Encuentra la medida de los ángulos que se muestran en términos de x (sin medirlos) y anótala en

cada una de las figuras.

a. b. c.

2x

2x x 2x x

x

3x

8. Convierte en sistema sexagesimal.

a. 345.12° b. 32.78° c. 15.472° d. 126.13° e. 245.88° f. 13.66°

9. Convierte en sistema decimal.

a. 94° 22’ 48’’ b. 12.5° 247’ c. 13° 21’ 10’’ d. 170° 98’ 77’’

e. 99° 57’ 120’’ f. 13° 189’ 77’’

10. Efectúa las operaciones en sistema sexagesimal.

a. 45° 19’ 5’’ + 8° 12’ 33’’ b. 15° 1’ 43’’ + 34° 16’ 48’’ c. 31° 5’ 10’’ – 18° 21’ 20’’

d. 340° 2’ 40’’ – 180° 28’ 50’’

11. Exprese en grados los siguientes ángulos.

a. 𝜋

6,

11𝜋

6,

4𝜋

3,

5𝜋

3,

3𝜋

4,

5𝜋

4,

5𝜋

2,

𝜋

32,

𝜋

16,

𝜋

8,

𝜋

4,

𝜋

2,

3𝜋

2,

9𝜋

2, −𝜋, −

𝜋

2, −

𝜋

3, −

2𝜋

3, −2𝜋, −

5𝜋

4𝑟𝑎𝑑, −

𝜋

4,

2

5𝜋

2 rad, 4 rad, 6 rad, 9 rad.

12. Convierta en radianes los siguientes ángulos.

a. 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, 270°, 300°, 360°, - 45°, - 75°, - 135°, - 225°, -

120°, - 150°, - 240°, - 330°, - 390°, - 450°

13. Encuentra el valor de los ángulos señalados.

H R Q

50° + 2m 70° + m

I G S P

O

7x - 70°O

30° - 2x

Aplica tu conocimiento

Teorema de Pitágoras, Ley de senos y Ley de cosenos.

Teorema de Pitágoras

I.- Sean a y b los catetos y c, la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

a. Calcula la medida de b. Considera que 𝑎 = 8 𝑦 𝑐 = 10.

b. Calcula la medida de c. Considera que 𝑎 =3

5 𝑦 𝑏 =

4

5.

c. Calcula la medida de a. Considera que 𝑐 = 8.1 𝑦 𝑏 = 3.1.

Ley de Senos y Cosenos

Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo de acuerdo con los datos proporcionados.

b a

A c B

C

1. < 𝐵 = 57° 20′, < 𝐶 = 43° 39′, 𝑏 = 18

2. < 𝐴 = 85° 45′, < 𝐵 = 26° 31′, 𝑐 = 43.6

3. 𝑎 = 5, < 𝐴 = 32° , 𝑏 = 8

4. 𝑎 = 15, 𝑏 = 16, 𝑐 = 26

5. 𝑎 = 28, 𝑐 = 32, < 𝐵 = 76°

1) Resuelve correctamente cada uno de los ejercicios

a. Traza y calcula el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 11, 13 y 15 cm.

b. Explica por qué un triángulo equilátero no puede ser rectángulo.

c. Construye un triángulo que tenga un lado de 9 cm y los ángulos adyacentes de 45° y 70°.

d. Traza un triángulo rectángulo escaleno.

e. Traza un triángulo isósceles en el que los ángulos midan 30° y los lados opuestos a los

ángulos iguales 7 cm.

f. ¿Cuánto mide el ángulo exterior a cualquiera de los ángulos internos de un triángulo

equilátero?

g. Dos de los ángulos de un triángulo miden 50° y 70° respectivamente, ¿cuánto mide el

tercer ángulo?

Por sus lados Por sus ángulos

Equilátero

Tiene un ángulo recto

Tiene dos lados

iguales

Acutángulo

Tiene tres lados

desiguales

Tiene un ángulo

obtuso

Segundo Parcial

Semana del 17 al 20 de marzo de 2020.

1. Actividad 1. Observen y escuchen los videos para que puedan contestar preguntas planteadas en la Actividad 2. Título de los videos: ¿Qué es un radián?, Sistema Sexagesimal y Sistema Centesimal. ¿Qué es un radián? https://www.youtube.com/watch?v=L5GNg9a_gSc Sistema Sexagesimal https://www.youtube.com/watch?v=gDcJhAzIHqk Sistema Centesimal https://www.youtube.com/watch?v=ro5ajH1DQM8

Aquí es observar y

escuchar los videos

2. La actividad 2 que consiste en contestar preguntas en su libro de texto (páginas 28, 29, 30 y 31) y resolver los ejercicios de las mismas páginas pero en la libreta ya que en el libro no hay espacio suficiente. Tomen foto tanto a su libro como a su libreta y esas serán sus evidencias.

Semana del 23 al 27 de marzo de 2020.

Geometría y Trigonometría

Lunes 23 de marzo de 2020.

Nota: Es muy importante que lleven a cabo las siguientes actividades en el orden que se muestra.

Actividad 1: Observar y escuchar el siguiente video sobre la Clasificación de los triángulos según

sus lados y según sus ángulos.

https://www.youtube.com/watch?v=7-YGUl8tLeQ&t=94s

Actividad 2: Observar y escuchar el siguiente video sobre la Construcción de triángulos según sus

lados y según sus ángulos.

https://www.youtube.com/watch?v=9PEANW6JDjs

Actividad 3: Contestar la página 38 de su libro de texto. En los incisos del ejercicio 1 midan con su

regla los lados de los triángulos ahí trazados para que los clasifiquen correctamente. En los incisos

del ejercicio 2 en caso de tener duda de si un ángulo es de 90° utilicen su transportador o una de las

escuadras como auxiliar. Los ejercicios 3 y 4 de esta página realícenlos en su libreta con las medidas

que mencionan en el ejercicio ya que en el libro no hay suficiente espacio. No llevar a cabo la

Actividad de reto.

Actividad 4: Observar y escuchar el siguiente video sobre las propiedades de los ángulos de un

triángulo.

https://www.youtube.com/watch?v=KDPRW_rFVek&t=28s

Actividad 5: En la página 39 contesten las preguntas que ahí se nos presentan acerca del ejercicio

del triángulo ahí trazado. Para este ejercicio van a aplicar la propiedad número 3 plasmado en la

página 40. Al obtener el valor de la variable x la sustituyen en: 4x, 3x y 15x-60 para que sepan el

valor de los ángulos y tracen el triángulo en su libreta con los valores obtenidos los cuales serán los

valores reales (quizá no quede igual al triángulo trazado en la página de su libro, ya que ese triángulo

es oblicuángulo pero el que tracemos con los datos que obtuvimos a través de nuestros cálculos sea

un triángulo obtusángulo o rectángulo).

Actividad 6: Contestar las preguntas (incluyendo la actividad de reto) y realizar los ejercicios de la

página 42 y 43 de su libro de texto. Copien todas las preguntas de ambas páginas a su libreta y ahí

las contestan, lo mismo con los ejercicios ya que en su libro no hay suficiente espacio. No van a

utilizar GeoGebra sino su estuche de geometría completo y su libreta. Trazar un triángulo por cada

uno de los ejercicios. Son 4 ejercicios entonces trazan en su libreta los 4 triángulos (en cada página

de su libreta tracen 2 triángulos, la medida que sea pero con la medida de los ángulos que

obtuvieron en sus cálculos).

Con su respectiva portada. Todas estas actividades con una sola portada.

Semana del 30 de marzo al 03 de abril de 2020.

ACTIVIDAD 1 Observar y escuchar los siguientes videos

Video: ¿Qué es un polígono? https://www.youtube.com/watch?v=-suHvhrijfA

Video: Polígonos en la vida diaria. https://www.youtube.com/watch?v=GPVtzwAoL1g

Llevar a cabo un resumen de lo visto y escuchado en ambos videos.

Actividad 2

Dibuja un mapa conceptual con las clases y los elementos de un polígono.

Actividad 3

1. Indica cuáles polígonos son convexos y cuáles no.

a. b. c. d.

e. f. g.

2. Indica cuáles polígonos son regulares y cuáles no.

a. b. c.

d. e. f. g.

Suma de ángulos internos

Es necesario trazar las diagonales que tengan por extremos un vértice y así determinar cuántos

triángulos lo dividen; se busca la relación con el triángulo, por ser el polígono de menor número de

lados y que sus ángulos interiores suman dos rectos (180°).

La relación que existe entre el número de lados y los triángulos formados por sus diagonales en un

polígono, es:

“Número de triángulos de un polígono es igual al número de lados del polígono disminuido en dos

unidades”.

= n – 2 Siendo n el número de lados de cualquier polígono.

Ejemplos:

3

2

1

5 lados, 3 triángulos

Teorema. “La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual al producto de dos ángulos

rectos (2R = 180°) por el número de lados (n) del polígono, menos dos”

S<i = 2R (n – 2)

S<i = 180° (n – 2)

Corolario. “El valor de un ángulo interior (<i) de un polígono regular es igual a la suma de los

ángulos interiores (S<i), dividido entre el número de lados (n) de dicho polígono”

< 𝑖 = 180 (𝑛−2)

𝑛 =

𝑆<𝑖

𝑛

Teorema (Suma de ángulos exteriores). La suma de los ángulos exteriores (S <e) de todo

polígono es igual a cuatro rectos (4R = 360°).

S <e = 4R

S <e = 360°

Corolario. El valor de un ángulo exterior (<e) de un polígono regular, es igual a la suma de los

ángulos exteriores (S <e), dividido entre el número de lados (n) de dicho polígono.

< 𝑒 = 4𝑅

𝑛 =

360°

𝑛 =

𝑆<𝑒

𝑛

Teorema Número de diagonales. El número de diagonales (d) que pueden trazarse desde un

vértice es igual al número de lados (n) del polígono, menos tres.

d = n – 3

Teorema. Si n es el número de lados del polígono, el número total de diagonales (D) que pueden

trazarse desde todos los vértices del polígono, está dada por:

𝐷 = 𝑛 (𝑛−3)

2 =

𝑛𝑑

2

Actividad 4 Contesta las siguientes preguntas.

1) Hallar la suma de los ángulos interiores de un pentágono.

2) ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es de 1260°?

3) Hallar el valor de un ángulo interior de un hexágono regular.

4) Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 135°.

5) Hallar la suma de los ángulos exteriores de un heptágono.

6) Hallar el valor de un ángulo exterior de un decágono.

7) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior es de 120°?

8) Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un octágono.

9) ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar seis diagonales desde un vértice?

10) Calcular el número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 20 lados.

11) ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en total?

12) ¿Cuál es el nombre del polígono que tiene el doble de diagonales que lados?

Actividad 5 Aplica tu conocimiento

1) Cuántos triángulos pueden trazarse en los siguientes polígonos:

a. Cuatro lados b. Hexágono c. Nueve lados d. Pentadecágono

e. 25 lados

2) Hallar la suma de los ángulos internos de los siguientes polígonos:

a. Triángulo b. Heptágono c. Decágono d. Trece lados

e. 17 lados f. 22 lados

3) ¿Cuáles son los polígonos cuya suma de ángulos interiores es:

a. 1800° b. 360° c. 720° d. 1980° e. 2880° f. 7020°

4) Halla el valor de un ángulo interior de los siguientes polígonos:

a. Pentágono b. Octágono c. Dodecágono d. 18 lados

e. 24 lados f. 30 lados

5) Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide:

a. 120° b. 157.5° c. 108° d. 60° e. 90° f. 165°

6) Hallar el valor de un ángulo exterior de los siguientes polígonos:

a. 7 lados b. 11 lados c. 17 lados d. 21 lados e. 27 lados

7) Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en los siguientes

polígonos:

a. Triángulo b. Heptágono c. Undecágono d. Pentadecágono

e. Octágono f. 16 lados

8) ¿Cuáles son los polígonos en el que se pueden trazar las siguientes diagonales:

a. Ocho diagonales b. Once diagonales c. 14 diagonales

d. 17 diagonales e. 23 diagonales f. 35 diagonales

9) Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en los siguientes polígonos:

a. 9 lados b. 13 lados c. 16 lados d. 22 lados e. 33 lados

10) Hallar el polígono en el cual se pueden trazar las siguientes diagonales en total:

a. 12 diagonales b. 20 diagonales c. 26 diagonales d. 30 diagonales

e. 42 diagonales f. 66 diagonales

11) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior es de:

a. 90° b. 45° c. 150° d. 60° e. 75° f. 135°

12) La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a cuatro veces la suma de los

ángulos exteriores de dicho polígono, ¿de qué polígono se trata?

13) La suma de los ángulos exteriores de un polígono regular es igual a la suma de los ángulos

interiores de dicho polígono, ¿cuántos lados tiene?

Actividad 6 Aplica tu conocimiento

1) Halla los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD, si: <A = (x-5)°, <B = (x+20)°, <C = (2x-45)°

y <D = (2x-30)°.

2) Si ABCD es un paralelogramo, encuentra x, y.

B C

(2y-18)° (3x-5)°

(4x-30)°

A D

3) Si el cuadrilátero de la figura, es un paralelogramo, hallar x, y.

AE = x + 2y BE = x

EC = 15 DE = 3y

B C

E

A D

4) Encuentra los valores de x, y en el siguiente paralelogramo.

B 2y - 2 C

2x 8

A 3x D

5) Si ABCD es un paralelogramo, encuentra la longitud de sus lados.

B C

x + 9 3x + 5

A 2x + 3 D

6) Si la figura representa el rectángulo ABCD, encuentra BD si:

AE = 4x + 12y y CE = 2x + 48

B C

E

A D

Actividad 7 Aplica tu conocimiento

Aplica tu conocimiento

1) Calcular el perímetro de un rectángulo que mide 87.5 m de base y 45 m de altura.

2) Calcular el ancho de un rectángulo si su perímetro es 100 m y su largo mide 32.5 m.

3) Calcular el perímetro de un rombo que mide 65 cm por lado.

4) Calcular el lado de un rombo si su perímetro es de 65 m.

5) Calcular el perímetro de un trapecio cuyos lados miden 5.75 m, 3.5 m, 1.85 m y 2.3 m.

6) Calcular el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 75 cm y 52 cm, y cada uno de

los lados iguales mide 39 cm.

7) Calcular el perímetro de un trapecio rectángulo si sus bases miden 13 m y 10 m, y los lados no

paralelos miden 4 m y 5 m.

8) Calcular el perímetro de un polígono regular de cinco lados que mide 5 m por lado.

9) Calcular el perímetro de un dodecágono regular de 0.30 m por lado.

10) Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 2.5 m y 1.75 m.

11) Calcular el área de un pentágono regular que mide 2.5 m por lado y 1.72 m de apotema.

12) Calcular el lado de un hexágono regular que tiene 16.2 m2 de área y su apotema mide 2.16 m.

13) Calcular la apotema de un octágono regular que tiene 0.3168 m2 de área y su lado mide 3 m.

Actividad 8 Aplica tu conocimiento

1) Halla el área del trapecio si B = 25 cm, b = 15 cm y h = 7 cm.

2) El área de un trapecio es de 40 cm2. Si su base mide 13 cm y 7 cm respectivamente,

determina su altura.

3) Hallar el área del trapecio isósceles ABCD, si b' = 17 pulg, l = 10 pulg y h = 7 pulg.

l

b

b'

h

4) El área de un rombo es de 675 pulg2. Si sus diagonales están a la razón de 3:2, encuentra la

longitud de sus diagonales.

5) Sea la figura un rombo, con diagonal BD = 30 cm y AB = 17, encuentre el área del rombo.

B C

E

A D

6) El área de un rombo es de 96 cm2, si una de sus diagonales mide 12 cm, encuentra:

a. La longitud de la otra diagonal.

b. La longitud de sus lados.

Fórmulas para la actividad 4:

En todas las fórmulas siguientes n es el número de lados del polígono (regular).

∆ = 𝑛 − 2 Número de triángulos en un polígono regular.

S<i = 180° (n – 2) Suma de todos los ángulos interiores de un polígono regular.

< 𝑖 = 180 (𝑛−2)

𝑛 La medida de uno de los ángulos interiores de un polígono regular.

S <e = 360° La suma de todos los ángulos exteriores de cualquier polígono regular.

< 𝑒 = 360°

𝑛 La medida de uno de los ángulos exteriores de un polígono regular (todos

los ángulos exteriores de un polígono regular tienen la misma medida,

por ejemplo cada uno de los ángulos exteriores de un hexágono miden

60°)

d = n – 3 Número de diagonales que se pueden trazar desde uno de los vértices

de un polígono regular.

𝐷 = 𝑛 (𝑛−3)

2 Número de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices de

un polígono regular.

Tercer Parcial

Conceptos trigonométricos básicos

Semana del 20 al 24 de abril de 2020

1. Identifica el cateto adyacente y el cateto opuesto de cada ángulo agudo señalado en los

siguientes triángulos.

c b

a

5

4

3

1

1

1 2

1 2

2. Encuentra las funciones trigonométricas para los ángulos , 𝑦 del ejercicio anterior.

3. Obtén el lado o el ángulo indicado en cada triángulo rectángulo.

Para el segundo triángulo 𝑠𝑒𝑛 = 3

5 y para despejar el ángulo : = sin−1 (

3

5) y

para obtener en la calculadora 𝐬𝐢𝐧−𝟏 oprimen la tecla Shift y después la tecla sin: (seno

en inglés).

En la pantalla de la calculadora se vería: sin−1(3 ÷ 5) Finalmente oprimen la tecla de

igual.

c 2

x

70°

3 5

3

4

x

4

60°

x 9

8

4. Demuestra que: Para las cuatro demostraciones utilice la figura del

triángulo mostrado en este mismo ejercicio.

a. 𝑡𝑎𝑛2 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2

b. 𝑐𝑜𝑡2 + 1 = 𝑐𝑠𝑐2

c. cot = cos 𝛼

𝑠𝑒𝑛 𝛼

d. 𝑠𝑒𝑛2 + 𝑐𝑜𝑠2 = 1

c b

a

5. 𝑠𝑒𝑛 = 2

3. 𝑂𝑏𝑡é𝑛 cos , tan , cot , sec 𝑦 csc

NOTA: Tanto el Teorema de Pitágoras como las funciones trigonométricas solo se

pueden aplicar en triángulos rectángulos.

6. Usando las siguientes figuras, obtén los valores de cot , sec , 𝑦 csc cuando mide

45°, 30° y 60°.

1

45°1 2

30° 1

60°

1

2

3

2

7. ¿Cómo son 𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos ; tan 𝑦 cot ; sec 𝑦 csc , en el ejercicio 1, figura 1?

c b

a

8. Pirámide de Keops. Es la mayor de las pirámides construidas en Egipto. Su base es un

cuadrado que mide 230 m por lado.

Si sus caras tienen una inclinación de 52° respecto a su base, ¿qué altura alcanza la Gran

Pirámide?

9. Inclinación de la Torre de Pisa. Obtén la altura y el ángulo de inclinación de la Torre de

Pisa, sabiendo que su longitud es de 55.84 m y que su extremo superior se separa 9.7 m

de la vertical. Anotar los procedimientos.

Sistemas de medición sexagesimal y circular

Semana del 27 de abril al 1° de mayo de 2020

Actividad 1

En los ejercicios 1 a 5 convierte cada ángulo en radianes.

1. 0°

2. 45°

3. 36°

4. − 20°

5. 9.3°

En los ejercicios 6 a 10 expresa cada ángulo en grados.

6. 𝜋

2

7. – 𝜋

8. 2 𝜋

3

9. 3

10. 2 𝜋

7

Definición de las funciones trigonométricas en coordenadas rectangulares (plano

cartesiano).

Semana del 4 al 8 de mayo de 2020

Actividad 1

Resuelve los siguientes ejercicios (Recuerden que las razones trigonométricas do dos ángulos

coterminales son iguales).

1. 𝑠𝑒𝑛(−45°) =

2. cos(−30°) =

3. tan (− 𝜋

3) =

4. csc(− 30°) =

5. sec(−60°) =

6. 𝑐𝑜𝑡 (− 𝜋

4) =

7. 𝑠𝑒𝑛(−90°) =

8. 𝑐𝑜𝑠 (− 3𝜋

4) =

9. csc (− 3𝜋

2) =

10. 𝑐𝑜𝑡 (−3𝜋

4) =

Actividad 2 Aplique su conocimiento

Resuelva los siguientes ejercicios

1. Determinar las funciones trigonométricas del ángulo " ", sabiendo que guarda relación

con los siguientes puntos dados.

a) A(6, 7) b) B(- 4, 5) c) C(6, - 3) d) D(2, - 5) e) E(-3, -1)

f) F(-5, -7) g) G(-6, 2)

2. Dados los valores de funciones trigonométricas de un ángulo, determinar en qué

cuadrantes del sistema coordenado se les ubica y el valor de las demás funciones

trigonométricas.

a) 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 6

13 b) tan 𝐵 = −

5

4 c) csc 𝑐 = 2 d) cos 𝐴 =

3

7

e) cot 𝐵 = −3 f) sec 𝐶 = −√17

4 g) cot 𝐴 = −3√5

h) cos 𝐵 = 28

31 i) 𝑠𝑒𝑛 𝐶 = −

7

15

Gráficas de las Funciones Trigonométricas.

Semana del 11 al 15 de mayo de 2020

https://www.youtube.com/watch?v=Vsjgyh15Blw

Observar el video y hacer un resumen sobre el mismo.

Observar el siguiente video para que grafiquen en su libreta de cuadrícula las funciones

trigonométricas seno, coseno y tangente. Grafiquen máximo 2 gráficas por página.

https://www.youtube.com/watch?v=UVYkmw16mE8

Observar el siguiente video para que grafiquen en su libreta de cuadrícula las funciones

trigonométricas cotangente, secante y cosecante. Grafiquen máximo 2 gráficas por página.

https://www.youtube.com/watch?v=nVcaZrE-xvw

Aparte de las gráficas van a anotar también las tablas como las que aparecen en los videos. Las

siguientes figuras tómenlas como base, como una guía.

Función seno

Función coseno

Función tangente

Función cotangente

Función secante

Función cosecante

Semana del 18 al 22 de mayo de 2020

Identidades trigonométricas

Actividades de Apertura

1. Identifica otras razones que sean recíprocas y encuentra una expresión para la identidad

que definen.

2. Utiliza las identidades anteriores para calcular los siguientes valores de funciones

trigonométricas de ángulos medidos en grados.

a) sec 20° b) cot 70° c) csc 75° d) sec 50°

Definición de las funciones trigonométricas en coordenadas rectangulares (plano

cartesiano).

Semana del 18 al 22 de mayo de 2020

Llena los espacios en blanco en la siguiente tabla, siguiendo la definición de las funciones

trigonométricas y la figura del triángulo previo.

𝒔𝒆𝒏 𝑨 = 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍 < 𝑨

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂=

𝒂

𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝑩 =

𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍 < 𝑩

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂=

𝒃

𝒄

𝒄𝒐𝒔 𝑨 = 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍 < 𝑨

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂=

𝒂

𝒄 𝑐𝑜𝑠 𝐵 =

𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 < 𝐵

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=

𝒕𝒂𝒏 𝑨 = 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍 < 𝑨

𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒍 < 𝑨=

𝒂

𝒄 𝑡𝑎𝑛 𝐵 =

𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙<𝐵

𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙<𝐵 =

𝑏

𝑎

𝒄𝒐𝒕 𝑨 = 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍 < 𝑨

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 =

𝒃

𝒂 𝑐𝑜𝑡 𝐵 =

𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 < 𝐵

𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 < 𝐵 =

𝑎

𝑏

𝒔𝒆𝒏 𝑨 = 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒍 < 𝑨=

𝒄

𝒃 𝑠𝑒𝑐 𝐵 =

𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 < 𝐵

𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 < 𝐵 =

𝑎

𝑏

𝒄𝒔𝒄 𝑨 = 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍 < 𝑨

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 =

𝒄

𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝑩 =

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍<𝑩=

𝒃

𝒄

Relaciones entre funciones recíprocas

𝒔𝒆𝒏 𝑨 = 𝟏

𝐜𝐬𝐜 𝑨 𝐜𝐬𝐜 𝑨 =

𝟏

𝒔𝒆𝒏 𝑨

𝐜𝐨𝐬 𝑨 = 𝟏

𝐬𝐞𝐜𝑨 𝐬𝐞𝐜 𝑨 =

𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝑨

𝐭𝐚𝐧 𝑨 = 𝟏

𝐜𝐨𝐭 𝑨 𝐜𝐨𝐭 𝑨 =

𝟏

𝐭𝐚𝐧 𝑨

Relaciones en forma de cociente

𝐭𝐚𝐧 𝑨 =𝒔𝒆𝒏 𝑨

𝐜𝐨𝐬 𝑨 𝐜𝐨𝐭 𝑨 =

𝐜𝐨𝐬 𝑨

𝒔𝒆𝒏 𝑨

Relaciones Pitagóricas

𝒔𝒆𝒏𝟐𝑨 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝑨 = 𝟏

𝒕𝒂𝒏𝟐𝑨 + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝑨

𝒄𝒐𝒕𝟐𝑨 + 𝟏 = 𝒄𝒔𝒄𝟐𝑨

Actividad 1

Escribe todas las funciones trigonométricas en términos de:

a) cos b) tan c) cot d) sec e) csc

Actividad 2

Utiliza las identidades para calcular lo que se te solicita a continuación:

a. Cot 40°

b. Si el seno de A = 0.7420, ¿cuál es la csc A?

c. Si tan A = 2, ¿cuál es la cot A?

d. Si tan A = 2, ¿cuál es el seno de A?

Semana del 25 al 29 de mayo de 2020

Tema: Comprobación de identidades trigonométricas

Identidad fundamental Formas equivalentes

Recíprocas

𝒔𝒆𝒏 𝜽 =𝟏

𝐜𝐬𝐜 𝜽 csc =

1

𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 csc = 1

𝐜𝐨𝐬 𝜽 =𝟏

𝐬𝐞𝐜 𝜽

cos sec = 1

𝐭𝐚𝐧 𝜽 =𝟏

𝐜𝐨𝐭 𝜽 cot =

1

tan

Cocientes

𝐭𝐚𝐧 𝜽 =𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝑠𝑒𝑛 = cos tan

𝐜𝐨𝐭 𝜽 =𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝒔𝒆𝒏 𝜽

Pitagóricas

𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟏 𝑐𝑜𝑠2 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2

𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽 𝑡𝑎𝑛2 = 𝑠𝑒𝑐2 − 1

𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝟐𝜽 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽

Actividad 1

Demuestra que las ecuaciones que se indican son identidades.

1. 𝑠𝑒𝑛 𝐴 sec 𝐴 = tan 𝐴

2. cos csc = cot

3. sec cot = csc

4. (sec 𝜔 − tan 𝜔)(csc 𝜔 + 1) = cot 𝜔

5. tan 𝜃

cot𝜃= 𝑡𝑎𝑛2

6. 1

𝑠𝑒𝑛 𝜑 cos 𝜑= tan + cot

7. cos 𝜃 tan 𝜃+𝑠𝑒𝑛 𝜃

tan 𝜃= 2 cos