Elementos de relatividad general · El espacio de Einstein no esta´ mas´ prox´ imo a la realidad...

Elementosde

relatividad general

Alonso Sepulveda S.

Instituto de FısicaUniversidad de Antioquia

Medellın, julio 2014Revisado: noviembre 2015

El espacio de Einsteinno esta mas proximo a la realidad

que un cielo de Van Gogh.La gloria de la ciencia no estaen una verdad “mas absoluta”

que la verdad de Bach o Tolstoi,sino en el acto de la creacion misma.Los descubrimientos de los cientıficosimponen su propio orden en el caos,

como el compositor o el pintor imponeel suyo; un orden que se refiere siempre

a aspectos limitados de la realidad,influido por el marco

de referencia del observador,que difiere de un perıodo a otro,

de la misma manera queun desnudo de Rembrandt

difiere de un desnudo de Manet.

Arthur Koestler

Indice general

Prologo VI

1. Geometrıa diferencial 2

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Coordenadas curvilıneas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Base original y recıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Teorıa de transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Formas multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1. Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2. Dıadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. El operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Geodesicas en N dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.1. Sımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7. Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.1. Diferencial covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7.2. Derivacion covariante de un producto y de un tensor . . . . . 291.7.3. La conexion afın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.4. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.5. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.7.6. Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8. Tensor de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8.1. Tensor de Ricci-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.8.2. Tensor de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.9. Densidad tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.9.1. Aplicaciones de la densidad tensorial . . . . . . . . . . . . . . 441.9.2. Derivada covariante de densidades tensoriales . . . . . . . . . 45

1.10. Miscelanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iii

iv/ Relatividad general

2. Gravitacion 54

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2. Teorıa newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.1. Ley de Newton de la gravitacion . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.2. Masa inercial y gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.3. Transformaciones galileanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3. Los principios de la relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4. Gravitacion y metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4.1. El campo de mareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.2. Sistema rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.3. Coordenadas geodesicas y caıda libre . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5. Ecuaciones de campo en el espacio libre . . . . . . . . . . . . . . . . 722.6. Tensor de materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.7. La ecuacion de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.7.1. Lımite newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.8. La constante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.9. Ley de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.10. Invarianza gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.10.1. Condicion de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.10.2. Condiciones coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.11. Campo debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.11.1. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.11.2. Ondas metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.11.3. Ondas electromagneticas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.11.4. Ondas gravitacionales planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.12. Calculos basados en el elemento de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . 972.12.1. El elemento de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.12.2. Clasificacion de los 4-vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.12.3. La 4-velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.12.4. Teorema 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.12.5. Teorema 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.12.6. Simultaneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.12.7. Tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.12.8. Efecto Doppler gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.12.9. Constantes de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.12.10.Geodesicas y mınima accion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.13. Solucion de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.13.1. El elemento de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.13.2. Los sımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.13.3. Componentes del tensor de Ricci-Einstein . . . . . . . . . . . 1102.13.4. La metrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Indice general /v

2.13.5. Teorema de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.13.6. Componentes del tensor de Riemann-Christoffel . . . . . . . . 1132.13.7. Componentes fısicas del tensor de Riemann-Christoffel . . . . 114

2.14. El principio de equivalenciay la solucion de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.15. Orbitas en un campo de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.15.1. Solucion newtoniana al problema de Kepler . . . . . . . . . . 1192.15.2. Precesion del perihelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.15.3. Deflexion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.15.4. Caıda libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.15.5. El radio de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.16. La gravitacion y los sistemas fısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.17. El problema variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.17.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.17.2. La accion gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.17.3. Mınima accion gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342.17.4. Momento-energıa de la gravitacion . . . . . . . . . . . . . . . 1372.17.5. La formulacion de Palatini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.18. Anexo: el vector de Laplace-Runge-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3. Cosmologıa relativista 1463.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.2. Espacios de curvatura constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.2.1. Espacio bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.2.2. Espacio tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.3. Coordenadas gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.4. La metrica cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.5. Ley de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.5.1. La expansion del espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.6. Modelos cosmologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.6.1. Modelos estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.6.2. Modelos dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Bibliografıa 168

Indice alfabetico 170

Prologo

La teorıa general de la relatividad −propuesta por Einstein en su forma final el25 de noviembre de 1915 en una comunicacion a la Academia Prusiana de Ciencias−es una ampliacion y continuacion natural de la teorıa especial, en el sentido de quecomienza buscando una generalizacion de la nocion de relatividad del movimien-to, concebida inicialmente en 1905 solo para el movimiento uniforme. En los anossucesivos la busqueda de Einstein se orienta hacia la extension de la relatividad alos sistemas de referencia acelerados. Siguiendo este camino descubre en 1907 laidentidad de los efectos fısicos en campos gravitacionales uniformes y sistemas dereferencia que se mueven respecto a uno inercial con aceleracion constante. Apareceaquı el principio de equivalencia.

El analisis de las consecuencias que de el provienen le condujeron en 1913 −conla asistencia de su amigo Marcel Grossmann− a la idea de la gravitacion como unfenomeno asociado a la estructura del espacio-tiempo. Este nuevo concepto geome-trico habıa sido introducido en 1908 por Hermann Minkowski en el contexto de larelatividad especial y trajo a la luz un nuevo absoluto inmodificable, el escenario delos fenomenos fısicos. La nocion que entra a comandar la construccion de la nuevateorıa es la de metrica de un espacio de Riemann de cuatro dimensiones. En estemomento Einstein ha comprendido que la construccion de una teorıa general derelatividad exige a la vez la proposicion de una nueva teorıa de la gravitacion enla que las acciones gravitacionales deberıan propagarse con velocidad finita. Surgeası, en un intervalo que va desde 1907 a 1915, una de las teorıas con mas esteticaconstruıda en todos los tiempos.

La relatividad general tiene una amplia aplicacion a nivel cosmologico; en ella sefundamenta, ademas, la descripcion de muy diversos fenomenos astrofısicos: defle-xion gravitacional de la luz, agujeros negros, lentes gravitacionales, efecto Doppler,orbitas planetarias, ondas de gravitacion, entre ellos.

Este texto −surgido de cursos sobre el tema dictados por el autor en la Uni-versidad de Antioquia y en la II Escuela Nacional de Fısica Teorica en Pereira,1982− pretende ser un programa mınimo y consistente de relatividad general, para1 semestre. Esto significa que introduce, para comenzar, las nociones fundamentalesde los espacios de Riemann: coordenadas curvilıneas generales, transformaciones decoordenadas, tensores de Riemann y de Ricci-Einstein; avanza introduciendo losprincipios de equivalencia y covarianza general, las ecuaciones de Einstein para elcampo gravitacional, las ondas gravitacionales, entre otros, y culmina con el estudiode espacios de diferentes curvaturas y los modelos cosmologicos mas simples.

**********************************Bernhard Riemann (1826-1866). Tomado de http://commons.wikimedia.org

1

Geometrıa diferencial

1.1. Introduccion

La relatividad general es una teorıa sobre el espacio y el tiempo. Fue precedidapor la relatividad especial, teorıa que permitio entender que el tiempo y las trescoordenadas del espacio son parte −como descubrio Minkowski− de un espacio-tiempo de 4 dimensiones que es el escenario de los fenomenos fısicos.

Resulta logico por ello que una presentacion de los fundamentos de la relatividadgeneral comience por introducir temas geometricos, en particular sistemas de coor-denadas, a partir de los cuales es posible definir puntos en espacios N dimensionales;uno de estos espacios podrıa describir el espacio-tiempo.

Ninguna mencion sera hecha en este capıtulo a la posibilidad de que la estructurade estos espacios, o de alguno de ellos, este conectada con la existencia del mundomaterial que la fısica pretende describir. Por ello una idea simple anima el comienzode esta exposicion: proponer la nocion de coordenadas curvilıneas no ortogonalesen 3D, extensible sin dificultad a espacios multidimensionales, sin asumir que elespacio N dimensional es euclidiano, ni que las coordenadas cartesianas tienen algunprivilegio. Conviene entonces acentuar que en cada punto del N-espacio es posibleconstruir una red coordenada, lo que no supone un conocimiento de la estructurafısica del espacio. Vale decir que la presentacion que sigue se inicia desde un divorciode principio entre la geometrıa y la fısica. Ningun argumento fısico inspirara laconstruccion matematica aquı presentada. Por ello este capıtulo bien puede hacerparte de un texto de geometrıa pura, de geometrıa diferencial. No seran pertinentes,ni necesarios por ahora los comentarios a las sugerencias de Leibniz o de Mach acercade que el mundo de los fenomenos esta inevitablemente asociado a un espacio y untiempo determinados por el contenido material del mundo, punto de vista desde elcual cualquier discusion sobre la geometrıa fısica y la posibilidad de una medida dedistancias y tiempos, habrıa de incluir el universo material entero.

2

1. Geometrıa diferencial /3

En este sentido este no es un capıtulo sobre geometrıa fısica sino sobre geometrıamatematica, sin compromiso alguno con la experiencia. Es un capıtulo completa-mente aseptico, no contaminado con la presencia del mundo. Como se vera luegoesta inicial asepsia tiene una consecuencia epistemologica fundamental que no esposible soslayar y que es una de las debilidades de la teorıa de Einstein y de todaslas teorıas modernas sobre el espacio y el tiempo, pues si una discusion sobre elmundo de la materia comienza con una disquisicion abstracta que no la involucra,entonces toda elaboracion teorica posterior carecera del elemento esencial que a ello refiera. La “imagen del mundo” que de aquı provenga sera entonces, a su pesar,la base de un conocimiento incompleto sobre el universo real.

En cierto sentido, entonces, las paginas que siguen, resultado de la geometrıapura, seran, respecto al conocimiento del mundo material, una especie de metafısica,de fundamento sin sustrato, no una parte de la fısica. Como se vera en el capıtulo2, la relatividad especial y general, las mejores teorıas de nuestra epoca sobre elespacio y el tiempo, comenzaron por asumirlos como una estructura que precede almundo fenomenico.

La nocion matematica de espacio comienza su camino a partir de la creacionde la geometrıa analıtica, disciplina que, con Descartes, algebrizo el espacio e hizoposible la descripcion del movimiento a partir del calculo diferencial. La nocion dedistancia entre dos puntos resulto ser tanto un objeto de la geometrıa algebraicacomo del calculo diferencial.

Se trata aquı, dicho otra vez, de ampliar las nociones cartesianas, introduciendolas coordenadas curvilıneas N dimensionales. El desarrollo permitira mostrar, intro-duciendo una notacion conveniente, que es posible escribir ecuaciones cuya formageneral es la misma para todos los sistemas coordenados curvilıneos en el N-espacio.La disciplina que permite esta invarianza es el calculo tensorial, una forma elegantey poderosa de lograr esa sublimacion algebraica de la geometrıa que es la geometrıade Riemann, una estructura que −reinventando a Euclides− permitio una nuevadescripcion del mundo.

El proyecto de escribir leyes invariantes es interesante, importante y de altaestetica, pues la fısica pretende fabricar leyes del mundo que sean validas en todoslos sistemas de coordenadas o de referencia. Con estas ideas Einstein hizo su obrade arte, la relatividad general.

De acuerdo con lo dicho, lo que aquı se expondra sera una teorıa de espacios geo-metricos, no de espacios fısicos, pues en lo que sigue, y a pesar de que los geometrasocasionalmente pensaron en el mundo fısico, ningun argumento surgido del mundode los fenomenos impondra condicion alguna sobre la construccion de estos espacios.

La relatividad general utiliza la teorıa geometrica aquı descrita, asumiendolacomo una teorıa fısica sobre el espacio (en nuestro caso el espacio-tiempo), segun lacual su estructura depende de la materia, aunque el espacio persiste aun en ausenciade ella.

4/ Relatividad general

Conviene, para finalizar, hacer una reflexion sobre temas newtonianos. La so-lucion a la ley de Gauss para la gravitacion en el interior de un cascaron esfericode masa muestra que el campo de gravitacion es nulo, vale decir que el potencialgravitacional es constante en un espacio y tiempo que ya estaban presentes, al igualque estaba presente la posibilidad de los infinitos sistemas inerciales. Puede sugerir-se, sin embargo, alterando el orden de las ideas, que los sistemas inerciales estanasociados a potenciales gravitacionales constantes generados por las grandes masaslejanas y que la ilusion de Newton es que el espacio y el tiempo estaban antes deellas y que no era necesario fısicamente el cascaron. Segun esto, podrıa pensarse queNewton supuso la existencia previa del espacio y el tiempo en el interior del cas-caron cosmico que nos rodea sin sospechar que la estructura del espacio y el tiempopodrıa deberse por entero a la masa circundante. Es decir que Newton describe elproblema a la inversa; primero asume el espacio y tiempo absolutos y luego descu-bre que en el interior del cascaron esferico que es el universo que nos circunda hayun potencial gravitacional constante. Esto significa que el espacio y el tiempo sonontologicamente diferentes del mundo y no lo implican. En estas lıneas se mueve lateorıa geometrica sin mundo que sigue a continuacion. Como se vera, la nocion semasa no aparece en parte alguna en este primer capıtulo.

1.2. Coordenadas curvilıneas generales

Los sistemas coordenados son invenciones destinadas a etiquetar los puntos del espa-cio. El numero y la forma de los sistemas coordenados son en principio infinitos. Elorigen de la nocion se encuentra en las coordenadas cartesianas en dos dimensiones,construccion que extendida a las tres direcciones del espacio euclidiano permitio eldesarrollo de la cinematica newtoniana. Los sistemas de coordenadas no han de serpor necesidad rectilıneos, ni ortogonales, ni tridimensionales. Es por ello convenien-te comenzar por introducir coordenadas curvilıneas generales en el espacio 3D ygeneralizar luego a N dimensiones.

1.2.1. Base original y recıproca

Sean ui, con i = 1, 2, 3, tres funciones escalares continuas, independientes yunivaluadas, correspondientes a tres superficies en el espacio tridimensional, cuyainterseccion determina un punto. Un punto en el espacio 3D se identifica con latripleta (u1, u2, u3), y a (u1, u2, u3) le corresponde un punto (figura 1.1).

El elemento diferencial de lınea se expresa como:

dr =3∑

i=1

∂r

∂uidui =

3∑

i=1

ai dui. (1.1)


u1 u1

u2

u2

u3

u3

a1

a1 a2

a2

a3 a3

Figura 1.1: Coordenadas curvilıneas generales

Las cantidades ai, definidas como ai = ∂r/∂ui, son vectores independientesasociados a cada punto del espacio, por lo que pueden ser considerados como unabase; son tangentes a las curvas ui que son coordenadas generales, curvilıneas, noortogonales y no coplanares.

En este texto utilizaremos la convencion suma:1. A menos que se indique explıcitamente lo contrario, ındices repetidos, uno

sub y otro super, indican suma sobre la dimension del espacio. Esto permite ignorarel sımbolo de sumatoria. Ası,

∑aibi = aibi. A los ındices repetidos se les llama

tambien ındices mudos, pues no dan informacion acerca del caracter tensorial de lasecuaciones.

2. Una pareja de ındices repetidos puede reemplazarse por otra pareja diferentede ındices repetidos. Ası:

dr = ai dui =

∂r

∂uidui =

∂r

∂ujduj .

Como se sigue de los dos ultimos terminos, un superındice en el denominadorequivale a un subındice en el numerador. Se vera despues por que una pareja deındices repetidos constara siempre de uno super y otro sub.

Ahora bien, sean ai los vectores de la base original, asociados a ui, y ai losvectores de la base recıproca, asociados a ui. Los vectores ai y ai coinciden endireccion si la base ai es ortogonal. Los vectores base recıprocos se definen como:

a1 =a2 × a3

a1 · a2 × a3, a2 =

a3 × a1

a1 · a2 × a3, a3 =

a1 × a2

a1 · a2 × a3. (1.2)

Notese que ai y ai coinciden en direccion si la base ai es ortogonal. Se concluyefacilmente que:

ai · aj = δi··j


El sımbolo δi··j se conoce como delta de Kronecker, en el que un ındice es supery el otro sub, y que se define como δi··j = 0 si i = j, δi··i = 1 (sin suma sobre i).

Si el sistema coordenado (a1,a2,a3) es de mano derecha, lo sera tambien (a1,a2,a3).De (1.2) es cierto, ademas, que:

a1 · a2 × a3 = (a1 · a2 × a3)−1.

Las definiciones (1.2) para ai son validas solo en 3D; para un espacio N-dimensionalse asume como definicion de base recıproca la relacion:

ai · aj = δi··j i, j = 1, 2, ...N. (1.3)

Lo que sigue sera valido paraN dimensiones. Teniendo en cuenta que el productoescalar es conmutativo, de (1.3) se sigue que:

ai · aj = δi··j = aj · ai = δ·ij· ≡ δij . (1.4)

Como se ve, los deltas de Kronecker tienen una simetrıa horizontal, segun la cual,y sin alterar los valores, el ındice superior puede desplazarse a derecha (o izquierda)mientras el inferior se desplaza a izquierda (o derecha). Por esto, puede escribirseδij , sin importar si i esta a la izquierda o derecha de j. Lo que sı debe conservarsees la posicion arriba-abajo. Debido a la simetrıa horizontal, se dice que la delta deKronecker es simetrica.

En el sistema recıproco el elemento diferencial de lınea se escribe: dr = aidui yse postula que dr es el mismo en la base original y en la recıproca, tal que:

dr = aidui = ajduj . (1.5)

Multiplicando escalarmente por ak:

ak · aidui = ak · ajduj . (1.6)

Definiendo los coeficientes metricos (o metrica) como:

gkj = ak · aj = gjk . (1.7)

puede escribirse (1.6) en la forma:

δki dui = gkjduj , por lo cual : duk = gkjduj .

En la ultima ecuacion, gkj puede considerarse como un operador que toma elsubındice j de duj , lo sube y lo convierte en k.


Reemplazando dui = gijduj en (1.5) se obtiene: aigijduj = ajduj , de donde,cancelando duj debido a que son diferenciales linealmente independientes, se sigue:

aj = gjiai. (1.8)

Tambien, multiplicando escalarmente (1.5) por ak se obtiene, analogamente:

duk = gkidui y ai = gija

j con ak · ai = gki. (1.9)

El coeficiente metrico gki puede considerarse como un operador que baja el ındicei de dui y lo convierte en k.

De la segunda de las ecuaciones (1.9), multiplicando escalarmente por ak sesigue: ak · ai = gijak · aj equivalente a:

gijgjk = δki (1.10)

Lo anterior significa que las matrices gij y gkj son recıprocas. De (1.7) se sigue:|a1|2 = g11, de donde

|a1| =√

g11 , tambien |a2| =√g22 y |a3| =

√g33, (1.11)

de modo que la base {ai} no esta normalizada a la unidad. Tampoco la base {ai}.Tambien de (1.7) con k = 2, j = 3 se obtiene el coseno del angulo entre la pareja

(a2,a3):

cos(a2,a3) =g23

|a2||a3|=

g23√

g22g33.

Como a1 = e1|a1| = e1√g11, con |e1| = 1, etc,

|a1 · a2 × a3| = |e1 · e2 × e3|√g11g22g33 =

√g11g22g33

= |a1 · a2 × a3|−1 = 1/√

g11g22g33. (1.12)

El elemento de lınea en direccion a1 es dl1 = dr · a1 = ai · a1dui = gi1dui. Elintervalo es la distancia infinitesimal entre dos puntos en el N -espacio:

ds2 = dr·dr = (aidui) · (ajduj) = gijdu

iduj

= (aidui) · (ajduj) = δijdu

iduj = duidui

= (aidui) · (ajduj) = gijduiduj .

El escalar ds2 es invariante bajo escogencia de la base (original o recıproca), loque es consecuencia de la invarianza de dr.

La importancia del tensor metrico gij esta en que −como veremos− todas laspropiedades metricas de un espacio N dimensional estan determinadas por el. A esteespacio se le llama tambien continuo metrico N dimensional o espacio de RiemannN dimensional. La funcion gij es el campo tensorial fundamental en la teorıa de lagravitacion de Einstein.


Ejercicio:En coordenadas cartesianas ds2 = (dx)2+(dy)2+(dz)2 por lo que g11 = g22 =g33 = 1, g12 = g23 = g31 = 0. Esto es: gij = gij = δij , por lo cual ai = ai,dxi = dxi, |ai| = |gii| = 1: el sistema original y el recıproco coinciden, nosiendo entonces necesaria la diferencia entre sub y super ındices.Con base en los coeficientes metricos cartesianos pueden calcularse los gij encualquier otro sistema coordenado si se asume la invarianza de ds2 bajo latransformacion coordenada de una base cartesiana a otra curvilınea ai:

ds2 =3

∑

k=1

dxkdxk = gijduiduj =

∂xk

∂ui

∂xk

∂ujduiduj

= δlkdxkdxl = gij

∂ui

∂xk

∂uj

∂xldxkdxl.

En consecuencia, eliminando duiduj en la primera lınea:

gij =∂xk

∂ui

∂xk

∂uj, (1.13)

y eliminando dxkdxl en la segunda lınea:

δlk = gij∂ui

∂xk

∂uj

∂xl. (1.14)

Considerese como ejemplo especıfico el paso de coordenadas cartesianas(x1, x2, x3) = (x, y, z), a esfericas (u1, u2, u3) = (r, θ,ϕ). Como se sabe laregla de transformacion es:

x = r sen θ cosϕ, y = r sen θ senϕ, z = r cos θ.

Entonces, de (1.13):

g11 =∂x

∂r

∂x

∂r+

∂y

∂r

∂y

∂r+

∂z

∂r

∂z

∂r= 1,

g22 =∂x

∂θ

∂x

∂θ+

∂y

∂θ

∂y

∂θ+

∂z

∂θ

∂z

∂θ= r2,

g33 =∂x

∂ϕ

∂x

∂ϕ+

∂y

∂ϕ

∂y

∂ϕ+

∂z

∂ϕ

∂z

∂ϕ= r2 sen 2θ.

Puede demostrarse que gij = 0 para i = j, tal que:

{gij} =

⎛

⎝

1 0 00 r2 00 0 r2 sen 2θ

⎞

⎠ .

Ası, ds2 = gijduiduj = dr2 + r2dθ2 + r2 sen 2θ dϕ2. Ademas, de gijgjk = δik yutilizando los gij que se acaban de calcular se obtiene:

{gij} =

⎛

⎝

1 0 00 1/r2 00 0 1/r2 sen 2θ

⎞

⎠ ,

con gij = 0 si i = j.


Puesto que dr = aidui =∑

3

i=1ei√gii dui =

∑

3

i=1eidli, con |ei| = 1, el

elemento de lınea en direccion ai es dli =√gii dui (sin suma), por lo que, en

coordenadas esfericas: dl1 = dlr = dr, dl2 = dlθ = r dθ, dl3 = dlϕ = r sen θ dϕ.De las expresiones ai = gijaj y con a′

i = {ar,aθ,aϕ} = {er, r eθ, r sen θ eϕ} y

ai = {ı, j, k}, se obtiene:

er = sen θ cosϕ+ j sen θ senϕ+ k cos θ,

eθ = cos θ cosϕ+ j cos θ senϕ− k sen θ,

er = − sen θ + j cosϕ.

1.2.2. Teorıa de transformacion

El vector dr = aidui = ajduj es el primer ejemplo de lo que es una forma lineal.Un vector es una forma lineal en los vectores de la base ai. Como un postulado

basico, un vector es invariante bajo transformacion de coordenadas; esto es, al pasarde una base (antigua) ai a otra (nueva) bi un vector permanece invariante, aunqueno los vectores de la base ni las componentes.

Sean las coordenadas ui, vj asociadas a los vectores de la base ai,bj respecti-vamente, pertenecientes a sistemas coordenados U y V (antiguo y nuevo). En elantiguo: ui,ai, ui,ai; en el nuevo: vi,bi, vi,bi.

Para que sea posible la transformacion U ←→ V debe existir una relacion entrelas coordenadas, esto es ui = ui(vj), o:

dui =∂ui

∂vjdvj , (1.15)

y tambien, vj = vj(ui), equivalente a:

dvj =∂vj

∂uidui. (1.16)

La invarianza de dr bajo el cambio U ←→ V se expresa como:

dr = aidui = bjdv

j = aidui = bjdvj .

Reemplazando (1.15) en dr se obtiene:

bj = ai∂ui

∂vj. (1.17)

Reemplazando (1.16) en dr se obtiene:

ai = bj∂vj

∂ui. (1.18)


Ahora, substituyendo los ındices i en (1.16) por k y reemplazando dvj de estaecuacion en (1.15) se sigue:

dui =∂ui

∂vj∂vj

∂ukduk, y como dui ≡ δikduk, entonces:

∂ui

∂vj∂vj

∂uk= δik y es demostrable que:

∂vj

∂ui

∂ui

∂vk= δjk. (1.19)

La conexion entre los diferenciales coordenados de las bases recıprocas se obtieneen la forma siguiente: de aidui = bjdvj , multiplicando escalarmente por ak:

duk = bl∂vl

∂uk· bjdvj = δjl

∂vl

∂ukdvj =

∂vj

∂ukdvj , de donde:

duk =∂vj

∂ukdvj . (1.20)

Tambien, de aidui = bjdvj , multiplicando escalarmente por bk se sigue:

dvk =∂ui

∂vkdui. (1.21)

Reemplazando las relaciones entre dvj y duk en aidui = bjdvj se obtiene:

ai = bj ∂ui

∂vj, y bj = ai

∂vj

∂ui. (1.22)

Las cantidades invariantes (dr, ds2, etc) no tienen ındices flotantes, solo ındicesrepetidos, uno sub y el otro super.

1.2.2.1. Cambio de notacion

En esta seccion se propone un cambio de notacion para estar mas de acuerdocon las convenciones usuales de los textos. La nueva notacion x y x′ de ningun modose refiere a coordenadas cartesianas: xi, xi y x′i, x′

i son coordenadas generales. Seproponen, entonces, los siguientes cambios:

U −→ S V −→ S′

ui −→ xi vj −→ x′j

ui −→ xi vj −→ x′j

ai −→ ai bj −→ a′j

ai −→ ai bj −→ a′j


En consecuencia, las reglas de transformacion son ahora:

dxi = gijdxj dx′i = g′ijdx′j ,

dxi = gij dxj dx′

i = g′ijdx′j ,

dx′i =∂x′i

∂xjdxj dx′

i =∂xj

∂x′idxj ,

dxi =∂xi

∂x′jdx′j dxi =

∂x′j

∂xidx′

j , (1.23)

ai = a′j∂xi

∂x′jai = a′j

∂x′j

∂xi,

a′i = aj∂x′i

∂xja′i = aj

∂xj

∂x′i.

Tambien es cierto que:

dr = aidui = bjdv

j = aidui = bjdvj ,

ds2 = gijdxidxj = gijdxidxj = dxidxi

= g′ijdx′idx′j = g′ijdx′

idx′j = dx′idx′

i. (1.24)

Por convencion, los superındices se llamaran contravariantes; T ij es completa-mente contravariante. Los subındices se llamaran covariantes; Tij es completamentecovariante. T i.

.j es mixto. Con el uso de gij o gij pueden convertirse ındices contra-

variantes en covariantes y recıprocamente; por ejemplo: T ij = gikT .jk. .

1.3. Formas multilineales

Hasta ahora se han introducido vectores base y diferenciales coordenados en lossistemas original y recıproco. El elemento infinitesimal de distancia dr se expresacomo una combinacion lineal de vectores de la base. Se define un vector A como unacombinacion lineal A = aiAi, en la que Ai son las componentes contravariantes delvector. Tambien A = aiAi, donde Ai son las componentes covariantes del vector.En general, las componentes de un vector son funciones de las coordenadas. Deeste modo, las componentes Ai(r) y Ai(r) pueden utilizarse para describir lo queen fısica se conoce como componentes de un campo vectorial. Estas componentesestan sujetas a las mismas reglas de transformacion (1.23) que los diferencialescoordenados. Ası pues:

A′i =∂x′i

∂xjAj A′

i =∂xj

∂x′iAj (1.25)

Ai =∂xi

∂x′jA′j Ai =

∂x′j

∂xiA′

j . (1.26)


Los vectores, o formas lineales, son invariantes bajo transformacion coordenaday bajo cambio del sistema original al recıproco, esto es:

A = aiAi = A′ = a′iA

′i = aiAi = a′iA′i.

Ahora bien, una forma de introducir formas bilineales es a traves del productodiadico de dos vectores A y B definido como:

AB = (aiAi)(ajB

j) = aiajAiBj .

La cantidad T = AB es una dıada con componentes T ij = AiBj .

1.3.1. Productos

a. El producto punto (o escalar) entre dos vectores A y B produce un escalar:

A ·B = gijAiBj = gijAiBj = AiBi = AiB

i.

b. El producto cruz entre A y B en 3D produce un vector:

A×B = ai × ajAiBj = ak|a1 · a2 × a3|ϵijkA

iBj = ak√g11g22g33 ϵijkA

iBj .

Se ha tenido en cuenta la ecuacion (1.2) escrita en la forma:

ai × aj = |a1 · a2 × a3| ϵijkak,

donde ϵijk

es el sımbolo de Levi-Civita, antisimetrico en cada pareja de ındicescontiguos y con ϵ

123= 1.

c. El producto diadico AB entre los vectores A y B es un tercer tipo de opera-cion; no produce ni un escalar ni un vector, sino una base bilineal aiaj .

1.3.2. Dıadas

En forma general, la cantidad T = aiajT ij es una forma bilineal o dıada o tensorde 2◦ orden, cantidad que es invariante bajo transformacion coordenada, esto es:T = T′, o tambien:

T = aiajTij = T

′ = a′ka′lT

′kl. (1.27)

Es facil comprobar que las siguientes formas son equivalentes:

T = aiajTij = aiajT·ji· = aia

jT i··j = aiajT

ij .

Los puntos, como en T ·ji· , se colocan en los lugares vacıos para mantener memoria

de las posiciones de los ındices. Con la practica seran suprimidos.


Aplicando a (1.27) las reglas (1.23) para ai y aj escritas en la forma:

ai = a′k∂x′k

∂xi, aj = a′l

∂x′l

∂xj,

se obtiene la regla de transformacion de las componentes de un tensor de segundoorden doblemente contravariante:

T ′kl =∂x′k

∂xi

∂x′l

∂xjT ij . (1.28)

Aplicando a (1.27) la regla inversa de transformacion se obtiene:

T ij =∂xi

∂x′k

∂xj

∂x′kT ′kl. (1.29)

Tambien, de T = T′ = aiajT i·

·j = a′ka′lT ′k·

·l se obtiene la regla de transformacionde la forma mixta T i·

·j :

T ′k·· l =

∂x′k

∂xi

∂xj

∂x′lT i··j . (1.30)


T ′kl =

∂xi

∂x′k

∂xj

∂x′lTij .

1.3.3. Tensores

Generalizando, un tensor de orden (o rango) r es una funcion r-lineal expresableen los vectores base, cuyos coeficientes son, en general, funcion de las coordenadas.El tensor es un invariante bajo transformacion de coordenadas; esto es:

M = aiajak . . .Mijk··· = a′la

′ma′n . . .M

′lmn···

La regla de transformacion de las componentes de un tensor de rango r comple-tamente contravariante es:

T ′ijk··· =∂x′i

∂xl

∂x′j

∂xm

∂x′k

∂xn· · ·T lmn··· (1.31)

recıprocamente:

T lmn··· =∂xl

∂x′i

∂xm

∂x′j

∂xn

∂x′k· · ·T ′ijk··· (1.32)

En particular:• Un escalar es una forma 0-lineal, o tensor de orden 0: Φ′ = Φ.


• Un vector es una forma 1-lineal o tensor de orden 1:

A′i =∂x′i

∂xlAl.

• Un tensor de segundo orden es una forma 2-lineal o tensor de orden 2:

T ′ij =∂x′i

∂xl

∂x′j

∂xmT lm.

Un tensor de orden 0,1,2,3, etc. en un espacio N-dimensional tiene, respectiva-mente, 1, N,N2, N3 etc. componentes. No es solo el numero de componentes lo quedefine un tensor sino, ante todo, la regla de transformacion de sus componentes.

Un tensor de segundo orden es simetrico si: T ij = T ji. Multiplicando por gik seobtiene:

T ·jk· = T j·

·k . (1.33)

Tambien, multiplicando por gji se sigue: Tki = Tik.Por definicion, un tensor de segundo orden es antisimetrico si: T ij = −T ji, que

equivale a Tij = −Tji, o tambien:

T ·jk· = −T

j··k . (1.34)

Observese que las dos anteriores definiciones implican un “movimiento” hori-zontal de los ındices.

Ejercicios:a. Demostrar que la delta de Kronecker δkl tiene el mismo valor en todos lossistemas coordenados.Reemplazando T i·

· j = δij y T ′k·· l = δ′kl en (1.30) se sigue:

T ′k·· l = δ′kl =

∂x′k

∂xi

∂xj

∂x′lδij =

∂x′k

∂xi

∂xi

∂x′l= δkl ;

por tanto: δkl = δ′kl . La delta de Kronecker es un tensor isotropico.b. Demostrar que gij es un tensor de segundo orden.Reemplazando dxi y dxj de (1.23) en ds2 = gij dxidxj = g′kldx

′kdx′l se sigue:

g′kl =∂xi

∂x′k

∂xj

∂x′lgij . (1.35)

Esta es, efectivamente, la regla de transformacion de un tensor de segundoorden. El tensor gij contiene toda la informacion sobre la estructura del espacioN-dimensional.

1.4. Algebra tensorial

a. La suma o resta de tensores se define solo entre los que tengan el mismo rangoy su resultado es un tensor del mismo rango. Los tensores a sumar o restar deben


tener la misma estructura de ındices. Es decir, solo tensores con los mismos ındicessuperior e inferior pueden sumarse para formar tensores. Por ejemplo:

T = A+ B = aiajAij + aiajB

ij = aiaj(Aij +Bij) = T ij .

b. Producto externo: sean A = aiAi y B = ajakBjk; su producto externo es:

T = AB = aiajakAiBjk = aiajakT

ijk.

El tensor obtenido del producto externo de dos tensores de rangos r y s tienerango r+s. Ha de observarse que el producto externo es, en general, no conmutativo,incluso entre tensores del mismo rango.

c. El producto escalar simple (o producto interno) de dos tensores F = aiajF ij

y G = alamanGlmn se define como:

F ·G = aiaj · alamanFijGlmn,

donde aj · al = gjl es el producto escalar entre los dos vectores contiguos. Al reem-plazar se obtiene:

F ·G = aiamanFi··l G

lmn.

El resultado del producto escalar simple de dos tensores de rangos r y s es untensor de rango r + s− 2.

d. El producto escalar doble de los tensores F y G se define como:

F : G = aiaj : alamanFijGlmn

= (aj · al)(ai · am)anFijGlmn = gjlgimanF

ijGlmn = anFijG· ·n

ji ·

Como se ve, el producto se realiza desde dentro hacia afuera: primero los quecontienen j y l, luego los que contienen i y m. El doble producto escalar genera untensor de rango r + s− 4. Puede tambien definirse el producto escalar triple, etc.

El producto externo de F = aiajF ij y G = alamanGlmn da lugar a un tensorcon componentes F ijGlmn. El producto escalar simple genera F i ·

· l Glmn y el doble da

lugar a F ijG· ·nji · . Observese la aparicion de ındices repetidos, operacion que resulta

de lo que se conoce como contraccion de ındices. Cada vez que hay contraccion elrango del tensor disminuye en 2. En F ijkGjkn hay producto doble de dos tensores,por tanto hay contraccion doble. El tensor resultante es de rango 3+3–2–2=2 y esde la forma Ai ·

·n.e. La division entre vectores A/B no esta definida, ya que en principio no esta

definida la cantidad 1/ai.f. El tensor identidad o unidad se define como I = aiajgij = aiajgij = aiai =

aiajδji = aia

i = aiajδij . El producto escalar simple de I con cualquier vector repro-

duce el vector:I ·A = A · I = A.


g. Regla del cociente. Puede demostrarse que si en la expresion AiBjk = Ci · ··jk se

sabe que Ai es un vector y Ci · ··jk es tensor de tercer rango, entonces Bjk es tensor

de segundo rango.

1.5. El operador gradiente

Un campo escalar es una funcion Φ(xi) de las coordenadas xi del espacio N -dimensional. Su diferencial se escribe:

dΦ =∂Φ

∂xidxi.

De dr = ajdxj , por multiplicacion escalar con ai, se sigue:

ai · dr = ai · ajdxj = dxi.

Reemplazando dxi en la expresion para dΦ:

dΦ =∂Φ

∂xiai · dr =

(ai∂Φ

∂xi

)· dr ≡∇Φ · dr.

Se ha definido aquı el operador gradiente en la forma:

∇ = ai∂

∂xi. (1.36)

El gradiente es un operador vectorial invariante, puesto que:

∇ = ai∂

∂xi=

(∂xi

∂x′ja′j)(

∂x′k

∂xi

∂

∂x′k

)

= a′j∂xi

∂x′j

∂x′k

∂xi

∂

∂x′k= a′jδkj

∂

∂x′k= a′k

∂

∂x′k= ∇

′.

De la regla para derivadas parciales:

∂

∂xi=∂x′k

∂xi

∂

∂x′k

ası ∂/∂xi transforma como las componentes de un vector covariante, ec. (1.26):

Ai =∂x′k

∂xiA′

k;

en consecuencia, introduciendo la notacion: ∂i = ∂/∂xi se sigue:

∂i =∂x′k

∂xi∂′k. (1.37)

En ∂i = ∂/∂xi ha de notarse que un superındice en el denominador equivale aun subındice en el numerador. En ocasiones puede necesitarse ∂i; se le define como∂i = gij∂j ; observese sin embargo que ∂iΦ = gij∂jΦ = ∂j(gijΦ).


1.6. Geodesicas en N dimensiones

La distancia infinitesimal entre dos puntos puede calcularse de (1.24) conocidoel coeficiente gµν que, en general, depende del sistema de coordenadas escogido yde las coordenadas del punto. A partir de los diferenciales ds es posible evaluar ladistancia extrema entre dos puntos cualesquiera A y B. En un espacio euclidiano2D o 3D es la recta usual, sobre una esfera es un arco del ecuador o de un meridiano.

En general, ¿como evaluar la distancia extrema (la mas corta o la mas larga)entre dos puntos en un espacio del que, en algun sistema coordenado, se conocensus coeficientes metricos? Vale decir ¿como se extremaliza la integral

∫ds?

Este problema es soluble en forma general desde el calculo de variaciones, el que,en general, pretende extremalizar integrales del tipo:

∫f(y(x), y(x), x) dx (1.38)

donde y = y(x) es la curva que extremaliza la integral. Este problema conduce a laecuacion de Euler, la que aplicada a la dinamica da lugar a la ecuacion de Lagrange.

Es importante anotar que la solucion de este problema no permite saber si elespacio del problema es o no curvo. Es conocido que la lınea mas corta en el planoes la recta, pero si el plano se enrolla para formar un cilindro, la recta previaeuclidiana, transformada ahora en curva, es tambien la distancia mas corta entrelos mismos dos puntos de la superficie cilındrica. Por lo demas, si sobre un plano sedibujan triangulos o cırculos, las relaciones de la geometrıa euclidiana se mantienenen el cilindro obtenido del plano, lo que sugiere que la superficie de un cilindrono es intrınsecamente curva. Algo diferente es dibujar triangulos o cırculos sobrela superficie de una esfera. Sobre ella no se satisfacen las reglas de la geometrıaeuclidiana, luego tal superficie es intrınsecamente curva.

El problema variacional que aquı se propone no aspira a resolver el tema de lacurvatura de los espacios, sino solo −dada la metrica− a escribir la ecuacion de latrayectoria extrema. El problema de la curvatura sera estudiado en la seccion 1.8.

Sean dos puntos A y B en el espacio N -dimensional, sea l la longitud de algunacurva que los conecta y ds un elemento diferencial de la curva. Entonces:

l =

∫ B

Ads. (1.39)

Si la curva es una extremal, esto es, si δl = δ∫ BA ds = 0 (donde δ indica una

variacion) entonces la curva se llamara geodesica. Es la lınea mas corta, o mas larga,entre A y B. El plan de la presente seccion es el de encontrar la ecuacion diferencialsatisfecha por una geodesica.

Con este fin se propone, ante todo, el siguiente problema general:


Si f es una funcion dependiente de xi(s) y xi ≡ dxi(s)/ds, es decir: f =f(xi(s), xi), ¿cual ha de ser la ecuacion diferencial de la curva parametrica xi =xi(s), tal que:

δF = δ

∫ B

Af(xi(s), xi(s)) ds = 0 ? (1.40)

Siguiendo los desarrollos de la seccion 2.2 del libro de H. Goldstein, que permitendemostrar −en particular− que la variacion y la integracion conmutan, δ

∫=∫δ,

y tambien la derivada y la variacion, dds (δx

i) = δ dds (x

i), es posible escribir:

δF = δ

∫ B

Af(xi(s), xi(s)) ds =

∫ B

Aδf(xi(s), xi(s)) ds

=

∫ B

A

[∂f

∂xiδxi +

∂f

∂xiδxi

]ds =

∫ B

A

[∂f

∂xiδxi +

∂f

∂xi

d

ds(δxi)

]ds

=

∫ B

A

[∂f

∂xiδxi +

d

ds

(∂f

∂xiδxi

)−

d

ds

(∂f

∂xi

)δxi

]ds

=

∫ B

A

[∂f

∂xi−

d

ds

(∂f

∂xi

)]δxi ds+

∫ B

A

d

ds

(∂f

∂xiδxi

)ds

=

∫ B

A

[∂f

∂xi−

d

ds

(∂f

∂xi

)]δxi ds+

∂f

∂xiδxi∣∣BA.

A

B

δxi

x

s

Figura 1.2: En el proceso de variacion los extremos A yB de la curva permanecen fijos

Se asume que en el proceso de variacion los extremos A y B de la curva perma-necen fijos (figura 1.2), por lo cual δxi|B = δxi|A = 0, tal que:

δF =

∫ B

A

[∂f

∂xi−

d

ds

(∂f

∂xi

)]δxi ds = 0.


Para δxi arbitrario, la condicion δF = 0 permite obtener la ecuacion de Euler:

d

ds

(∂f

∂xi

)−∂f

∂xi= 0 . (1.41)

Esta expresion tiene multiples aplicaciones en matematicas y fısica. Permiteresolver el problema de la tautocrona, consistente en encontrar la curva a lo largode la cual debe descender un cuerpo en un campo gravitacional para que el tiempodel recorrido sea un mınimo. Este problema, de hecho, fue el que dio lugar al calculovariacional. La ecuacion (1.41) permite resolver el siguiente problema: considere lasuperficie de revolucion generada por una curva y(x) alrededor del eje horizontal x;¿cual y(x) da la mınima area?

Otro problema, ahora en optica: en un medio con ındice de refraccion n = n(r)el camino recorrido por la luz obedece el Principio de Fermat, de acuerdo con elcual el tiempo invertido es mınimo; ¿cual es la ecuacion de la trayectoria?

Si la ecuacion (1.41) se amplıa para permitir restricciones pueden resolverseproblemas como los siguientes: entre todas las curvas cerradas de longitud L la dearea maxima es la circunferencia. La esfera es la figura solida de revolucion que, parauna superficie total dada, tiene el maximo volumen. Dada una cuerda de longitudL fija suspendida en sus extremos en un campo gravitacional, ¿cual es la curva queminimiza la energıa potencial?

Ejercicios:

1. En el plano euclidiano es cierto que:

l =

∫

√

(dx)2 + (dy)2 =

∫

√

1 + (dy/dx)2 dx

=

∫

√

1 + y2 dx =

∫

F (y, y, x) dx,

de modo que la ecuacion de Euler-Lagrange toma la forma:

d

dx

(

∂f

∂y

)

−∂f

∂y= 0, por lo cual:

d

dx

( y√

1 + y2

)

= 0,

de donde se obtiene y =constante, que corresponde a la recta euclidiana y =ax+ b.

2. En una superficie esferica de radio r:

f =√

r2dθ2 + r2 sen 2θ dϕ2 = r√

1 + sen 2θ ϕ2 dθ,


con ϕ = dϕ/dθ. En este caso l =∫

f dϕ. Reemplazando en la ecuacion deEuler-Lagrange

d

dθ

(

∂f

∂ϕ

)

−∂f

∂ϕ= 0, se obtiene:

ϕ sen 2θ√

1 + ϕ2 sen 2θ= C, o tambien: ϕ =

C

sen 2θ√

1− C2/ sen 2θ.

Utilizando las identidades sen 2θ = 1/(1 + cot2 θ) y d(cot θ) = −1/ sen 2θ,escribimos:

dϕ = −C d(cot θ)

√

(1− C2)− C2 cot2 θ.

Con el cambio de variables u√1− C2 = C cot θ se sigue:

dϕ = −du

√1− u2

= −dα,

donde, ademas, u = cosα. Ası pues: ϕ = −α+ C′, de donde:

ϕ = − cos−1 u = − cos−1

(

C cot θ√1− C2

+ C′

)

. Ası pues:

C cot θ =√

1− C2 cos(ϕ− C′) =√

1− C2[cosϕ cosC′ + senϕ senC′],

multiplicando por r sen θ obtenemos:

Ca cos θ =√

1− C2[a sen θ cosϕ cosC′ + a sen θ senϕ senC′],

y como x = a sen θ cosϕ, y = a sen θ senϕ, z = a cos θ, escribimos:

x cosC′ + y senC′ − Cz/√

1− C2 = 0,

que es la ecuacion de un plano que pasa por el origen coordenado (0, 0, 0).Como la curva buscada se ubica en la superficie esferica es entonces un arcode cırculo maximo.

Ahora bien, pretendemos en esta seccion extremalizar l en (1.39), es decir, hacer:

δl = δ

∫ B

Ads = 0.

Puesto que ds2 = gijdxidxj , entonces:

1 = gijdxi

ds

dxj

ds= gij x

ixj , por tanto:

δ

∫ B

Ads = δ

∫ B

A1 · ds = δ

∫ B

A

(gij x

ixj)ds = δ

∫ B

Af ds,


donde f = gij xixj . Con este valor de f reemplazado en (1.41) se obtiene la ecuacionde la geodesica. Basta evaluar separadamente las cantidades:

∂f

∂xky

d

ds

(∂f

∂xk

); se sigue, entonces:

∂f

∂xk=

∂gij∂xk

xixj (1.42)

∂f

∂xk=

∂

∂xk(gij x

ixj) = gij [δikx

j + δjkxi]

= gkj xj + gikx

i = gkj xj + gkj x

j = 2gkj xj

de donde se sigue:

d

ds

(∂f

∂xk

)= 2

d

ds(gkj x

j) = 2

(gkj

dxj

ds+

dgkjds

xj

)

= 2gkj xj + 2

∂gkj∂xi

xixj

= 2gkj xj +

(∂gkj∂xi

+∂gki∂xj

)xixj . (1.43)

Reemplazando (1.42) y (1.43) en (1.41) puede escribirse:

gkj xj +

1

2

(∂gkj∂xi

+∂gki∂xj

−∂gij∂xk

)xixj = 0. (1.44)

[Ha de notarse que gkj xj = xk.] Multiplicando por gkl aparece en el primertermino gklgkj = δlj lo que conduce a:

xl +gkl

2

(∂gkj∂xi

+∂gki∂xj

−∂gij∂xk

)xixj = 0. (1.45)

La anterior es la ecuacion diferencial de la geodesica. En el N -espacio esta ecua-cion equivale a N ecuaciones diferenciales de segundo orden. Cuando se integre daralas ecuaciones parametricas, en terminos de s, de la geodesica. Sera necesario pro-veer 2N constantes de integracion, que pueden ser las coordenadas de los puntosextremos A y B, o las coordenadas de un punto y la tangente xi en ese punto.

1.6.1. Sımbolos de Christoffel

El parentesis (incluido el factor 1/2) que aparece en (1.45) estara a menudopresente en la geometrıa diferencial; se le asigna el sımbolo [ij, k]:

[ij, k] =1

2

(∂gkj∂xi

+∂gki∂xj

−∂gij∂xk

). (1.46)


y se conoce como sımbolo de Christoffel de primera clase. Se define, ademas, elsımbolo de Christoffel de segunda clase como:

{ l

ij

}= gkl[ij, k]. (1.47)

Con esta definicion la ecuacion de la geodesica se escribe:

xl +{ l

ij

}xixj = 0 . (1.48)

Dada la simetrıa en ij de los sımbolos de Christoffel, en (1.46) hay solo N(N +1)/2 combinaciones posibles entre estos dos ındices, como si fueran los elementos deuna matriz simetrica; y como el ındice k tiene N opciones, resulta que el numerode componentes distintas es N2(N + 1)/2.

Conviene anotar que en el espacio euclidiano tridimensional y en coordenadascartesianas es cierto que gij = δij , tal que ambos sımbolos de Christoffel son cero,por lo que xl = 0, cuya solucion parametrica es la lınea recta euclidiana xl = als+bl.Las cantidades al y bl son constantes de integracion. Si bl = xl

0 corresponde a lascooordenadas de un punto sobre la recta, entonces, eliminando s, con (x1, x2, x3) =(x, y, z) y (a1, a2, a3) = (a, b, c) se obtiene la tıpica ecuacion de la recta:

x− x0

a=

y − y0b

=z − z0

c= s.

1.6.1.1. Propiedades de los sımbolos de Christoffel

a. Simetrıa en ij: [ij, k] = [ji, k].

b. Simetrıa en ij:{ l

ij

}={ l

ji

}.

c. De (1.47) multiplicando por glm se sigue:

[ij,m] = glm{ l

ij

}. (1.49)

d. De (1.49) se concluye que:

[ij, k] + [kj, i] =∂gki∂xj

.

e. De la ecuacion anterior es facil demostrar que:

gkl{ l

ij

}+ gli

{ l

kj

}=∂gki∂xj

. (1.50)


f. Multiplicando la anterior por gkn y con gkn∂gki/∂xj = −gki∂gkn/∂xj , resulta:

−gki∂gkn

∂xj= δnl

{ l

ij

}+ gkngli

{ l

kj

},

y multiplicando por gmi :

−∂gmn

∂xj= gmk

{ n

kj

}+ gkn

{ m

kj

}.

g. Multiplicando (1.50) por gik se obtiene:

{ i

ij

}=

1

2gki

∂gki∂xj

. (1.51)

h. Ahora bien, en la condicion gjkgki = δij el factor gki puede interpretarse como

el inverso matricial de gjk. Esto es:

gki =∆ki

|g|, (1.52)

donde |g| es el determinante de la metrica y ∆ki es la matriz de cofactores.Puesto que el determinante puede escribirse |g| = ∆11g11 +∆12g12 + · · · , escierto que:

∂|g|∂g12

= ∆12, o en general:∂|g|∂gik

= ∆ik. (1.53)

Eliminando ∆ik entre (1.52) y (1.53) se obtiene:

∂|g|∂gik

= |g|gki,

y de esta ecuacion reemplazando gki en (1.51):

{ l

lj

}=

1

2|g|∂|g|∂gik

∂gik∂xj

=1

2|g|∂|g|∂xj

=1√

|g|∂√|g|

∂xj=

∂

∂xjln√

|g|. (1.54)

o tambien:√

|g|,j =√|g|{ l

lj

}, |g|,j = 2|g|

{ l

lj

}. (1.55)

La identidad (1.54) sera util en la evaluacion de la divergencia de un tensor.Si |g| es negativo, el radical se escribe

√−|g|.


1.6.1.2. Los sımbolos de Christoffel no son tensores

La ecuacion de la geodesica fue obtenida de una forma tal que la hace valida paratodos los sistemas de coordenadas. Es por tanto invariante bajo transformacion decoordenadas. En consecuencia, en los sistemas coordenados S y S′ puede escribirse:

xi +{ i

jk

}xj xj = 0 , x′i +

{ i

jk

}′x′j x′k = 0. (1.56)

Si de la segunda se pretende obtener la primera, en el camino se obtendra la reglade transformacion de los sımbolos de Christoffel. Ante todo conviene demostrar quexi es un vector y que xi no lo es. Para xi :

x′i =dx′i

ds=∂x′i

∂xα

dxα

ds=∂x′i

∂xαxα, (1.57)

coincidente con la regla de transformacion (1.23) de un vector. Sin embargo, parala doble derivada xi:

x′i =d2xi

ds2=

d

ds

(∂x′i

∂xαxα

)=

d

ds

(∂x′i

∂xα

)xα +

∂x′i

∂xαxα

=∂

∂xβ

(∂x′i

∂xα

)xβ xα +

∂x′i

∂xαxα =

∂2x′i

∂xβ∂xαxβ xα +

∂x′i

∂xαxα. (1.58)

La cantidad xi no se transforma como un vector; solo lo harıa si el termino inho-mogeneo (el que contiene xβ xα) no existiera, lo que solo ocurre si la transformaciones lineal. Puesto que se trata aquı de transformaciones generales, entonces xi no esvector. En consecuencia, el segundo termino en la ecuacion (1.56) de la geodesicatampoco lo es. Substituyendo x′i, x′j y x′k de (1.57) y (1.58) en la ecuacion de lageodesica en S′ se sigue:

∂2x′i

∂xβ∂xαxβ xα +

∂x′i

∂xαxα +

{ i

jk

}′ ∂x′j

∂xαx′α ∂x

′k

∂xβx′β = 0.

Multiplicando por ∂xσ/∂x′i se obtiene:

xσ +

({ i

jk

}′ ∂x′j

∂xα

∂x′k

∂xβ

∂xσ

∂x′i+

∂2x′i

∂xβ∂xα

∂xσ

∂x′i

)xαxβ = 0 , es decir :

xσ +{ σ

αβ

}xαxβ = 0,

que es la ecuacion de la geodesica en el sistema coordenado S, si el sımbolo deCristoffel de segunda clase se transforma como:

{ σ

αβ

}={ i

jk

}′ ∂x′j

∂xα

∂x′k

∂xβ

∂xσ

∂x′i+

∂2x′i

∂xβ∂xα

∂xσ

∂x′i. (1.59)


El ultimo termino, el que contiene la segunda derivada, hace que{ σ

αβ

}no se

transforme como un tensor de tercer orden. Es importante tener en cuenta que laregla de transformacion de un tensor es tal que si en un sistema coordenado todaslas componentes del tensor son cero, tambien lo seran en cualquier otro sistemacoordenado. Esto no ocurre con

{ σ

αβ

}, ni con xi, ya que sus reglas de transformacion

son inhomogeneas, es decir, no contienen un tensor en cada sumando.Si se hubiese partido de la ecuacion de la geodesica en S para llegar a la corres-

pondiente en S′ se hubiera obtenido la regla recıproca:

{ σ

αβ

}′={ i

jk

} ∂xj

∂x′α

∂xk

∂x′β

∂x′σ

∂xi+

∂2xi

∂x′β∂x′α

∂x′σ

∂xi. (1.60)

Si −con el debido cambio de ındices− se reemplaza el sımbolo de Christoffel de(1.59) en (1.60) puede demostrarse que:

∂x′σ

∂xi

∂2xi

∂x′α∂x′β+

∂xi

∂x′α

∂xj

∂x′β

∂2x′σ

∂xi∂xj= 0. (1.61)

Esta ecuacion puede escribirse:

∂x′σ

∂xi

∂2xi

∂x′α∂x′β+

∂xi

∂x′β

∂2x′σ

∂x′α∂xi= 0.

y equivale a:∂

∂x′α

(∂x′σ

∂xi

∂xi

∂x′β

)=

∂

∂x′αδσβ = 0,

lo que significa que la derivada parcial de δσβ es cero, ası pues: la delta de Kronec-ker tiene el mismo valor en todos los sistemas coordenados. Sus elementos puedenconsiderarse como las componentes de la matriz identidad.

La identidad (1.61) puede utilizarse para escribir la regla de transformacion(1.60) en la forma equivalente:

{ σ

αβ

}′={ i

jk

} ∂xj

∂x′α

∂xk

∂x′β

∂x′σ

∂xi−

∂2x′σ

∂xi∂xj

∂xi

∂x′α

∂xj

∂x′β.

Ahora bien, la variacion de un sımbolo de Christoffel se transforma como untensor de tercer orden puesto que, partiendo de (1.59):

δ{ σ

αβ

}=∂x′j

∂xα

∂x′k

∂xβ

∂xσ

∂x′iδ{ i

jk

}′, (1.62)

ya que la variacion involucra solo al tensor, no al sistema coordenado. Esta propiedadsera util en la formulacion covariante de la seccion 2.19.4.


1.7. Derivada covariante

La regla de transformacion de un vector covariante es:

A′i =

∂xα

∂x′iAα; derivando respecto a x′j se sigue:

∂A′i

∂x′j=

∂Aα

∂x′j

∂xα

∂x′i+Aα

∂2xα

∂x′i∂x′j(1.63)

=∂Aα

∂xk

∂xk

∂x′j

∂xα

∂x′i+Aα

∂2xα

∂x′i∂x′j. (1.64)

En consecuencia ∂A′i/∂x

′j no se transforma como un tensor de segundo orden.La derivada parcial de un vector no es un tensor de segundo orden. Por esta razon,en lo que sigue, se generaliza la derivada de modo que la nueva derivada de unvector (a la que se llamara derivada covariante) se transforme como un tensor desegundo orden, y que −en general− la derivada de un tensor de orden n genere untensor de orden n+1. Con este fin, de la regla de transformacion (1.60) del sımbolode Christoffel:

{ l

ij

}′={ ρ

στ

}∂x′l

∂xρ

∂xσ

∂x′i

∂xτ

∂x′j+

∂2xm

∂x′i∂x′j

∂x′l

∂xm,

multiplicando por ∂xα/∂x′l se obtiene:

∂2xα

∂x′i∂x′j=∂xα

∂x′l

{ l

ij

}′ −∂xσ

∂x′i

∂xτ

∂x′j

{ α

στ

};

reemplazando esta segunda derivada en (1.64):

∂A′i

∂x′j=∂Aα

∂xk

∂xk

∂x′j

∂xα

∂x′i+Aα

[∂xα

∂x′l

{ l

ij

}′ −∂xσ

∂x′i

∂xτ

∂x′j

{ α

στ

}];

reorganizando, y con un apropiado cambio de ındices repetidos en el ultimo termino,se sigue:

∂A′i

∂x′j−Aα

∂xα

∂x′l

{ l

ij

}′=∂xα

∂x′i

∂xk

∂x′j

[∂Aα

∂xk−Am

{ m

αk

}].

Puesto que el segundo termino de la izquierda es A′l

{ l

ij

}′la anterior ecuacion puede

escribirse: [∂A′

i

∂x′j−A′

l

{ l

ij

}′]=∂xα

∂x′i

∂xk

∂x′j

[∂Aα

∂xk−Am

{ m

αk

}],

tal que, simbolicamente:

[ ]′ij =∂xα

∂x′i

∂xk

∂x′j[ ]αk. (1.65)


El corchete que se acaba de definir se transforma como un tensor de segundoorden y es la generalizacion covariante de la derivada parcial. Ası pues,

∂Aα

∂xk−Am

{ m

αk

}

es la derivada covariante del vector Aα respecto a xk. Introduciendo la notacionAα,k = ∂Aα/∂xk para la derivada parcial y Aα;k para la derivada covariante, setiene entonces:

Aα;k = Aα,k −Am

{ m

αk

}. (1.66)

En el espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas{ m

αk

}= 0 por lo que en tal

caso no hay diferencia entre derivada parcial y derivada covariante: Aα;k = Aα,k.En cualquier otro sistema coordenado en el espacio euclidiano no todos los

{ m

αk

}se

anulan.La ecuacion (1.65) es equivalente a la forma estandar de la regla de transforma-

cion de un tensor de segundo orden:

A′i;j =

∂xα

∂x′i

∂xk

∂x′jAα;k. (1.67)

Un procedimiento similar realizado derivando un vector contravariante conducea la regla:

A′i;j =

∂x′i

∂xα

∂xβ

∂x′jAα

;β , (1.68)

donde la derivada covariante de un vector contravariante se define en la forma:

Ai;β = Ai

,β +Aα{ i

αβ

}. (1.69)

1.7.1. Diferencial covariante

Multiplicando (1.67) por dx′j :

A′i;jdx

′j =∂xα

∂x′i

∂xk

∂x′jAα;kdx

′j =∂xα

∂x′i

∂xk

∂x′jAα;k

(∂x′j

∂xldxl

)

=∂xα

∂x′iAα;kdx

k. (1.70)

dAi = Ai,jdxj = (∂Ai/∂xj)dxj es el diferencial ordinario, mientras que DAα =Aα;kdxk es el diferencial covariante. Entonces, de (1.66) y (1.70):

DA′i = dA′

i −A′α

{ α

ij

}′dx′j =

∂xα

∂x′iDAα. (1.71)


Los tres primeros terminos definen el diferencial covariante, en tanto que el primeroy el ultimo proveen su regla de transformacion. El diferencial DAα (pero no dAα) setransforma como un vector. En Ai;j la derivacion se realiza respecto a un superındicej en el denominador, que corresponde a un sub-j en el numerador; por esta razon,y porque su regla de transformacion es la de un tensor, a esta derivada se la llamacovariante. Al diferencial DAi se le llama covariante, ante todo porque su regla detransformacion es la de un vector.

Puede demostrarse que la regla de transformacion del diferencial covariante deun vector contravariante es:

DA′i =∂x′i

∂xjDAj .

Ası pues, suprimiendo primas en (1.71):

DAi = dAi −{ k

ij

}Ak dx

j y DAi = dAi +{ i

jk

}Aj dxk. (1.72)

De aca es facil concluir que:

DAi = dAi +{ i

jk

}Aj dxk =

[∂Ai

∂xk+{ i

jk

}Aj

]dxk = Ai

;kdxk. (1.73)

En general, para un campo tensorial Aij··· se cumple que DAij··· = Aij···;kdx

k.De las anteriores expresiones puede evaluarse el diferencial covariante a lo largo

de una curva parametrizada por su longitud s. De (1.72), dividiendo por Ds (quees igual a ds):

DAi

Ds=

dAi

ds−{ k

ij

}Ak

dxj

dsy

DAi

Ds=

dAi

ds+{ i

jk

}Aj dx

k

ds. (1.74)

En el espacio euclidiano una lınea recta se caracteriza por la propiedad de queun vector A tangente a ella no cambia cuando se le desplaza paralelamente, esto esdA = 0. Esta regla de transporte paralelo puede usarse para definir la recta gene-ralizada, es decir, la geodesica en un espacio N -dimensional. De acuerdo con estaregla un vector es trasladado paralelamente a sı mismo a lo largo de una curva siDAi/Ds = 0; esto es, si su diferencial covariante a lo largo de la curva es cero; enconsecuencia, de (1.74):

dAi

ds+{ i

jk

}Aj dx

k

ds= 0.

La ecuacion de la geodesica puede obtenerse con facilidad si se toma en cuentaque el vector Ai mas simple asociado a cualquier curva es su tangente, escrita comoAi = dxi/ds = xi. La pregunta por la geodesica tiene entonces el siguiente tono:¿cual es la curva cuya tangente tiene diferencial covariante nulo? La respuesta seconsigue reemplazando la tangente xi en la anterior ecuacion:

dxi

ds+{ i

jk

}dxj

ds

dxk

ds= 0,


coincidente con la ecuacion de la geodesica (1.48).

1.7.2. Derivacion covariante de un producto y de un tensor

Ante todo, no es difıcil demostrar que la derivada covariante de una suma es lasuma de las derivadas covariantes.

La derivacion parcial de un producto satisface la regla de Leibniz:

(AiBj),k = Ai,kBj +AiBj,k.

La derivacion covariante puede definirse en una forma analoga:

(AiBj);k = Ai;kBj +AiBj;k.

Reemplazando (1.66) y (1.69) en la anterior ecuacion es directo concluir que:

(AiBj);k = (AiBj),k + (AαBj){ i

αk

}− (AiBα)

{ α

jk

}.

Este resultado permite definir la derivada covariante de un tensor mixto. Enefecto, si T i

j = AiBj se sigue:

T ij ;k = T i

j,k + Tαj

{ i

αk

}− T i

α

{ α

jk

}. (1.75)

De un modo analogo, desarrollando las derivadas covariantes (AiBj);k, (AiBj);ky (AiBj);k puede demostrarse que:

T ij;k = T ij

,k + T iα{ j

αk

}+ Tαj

{ i

αk

},

Tij;k = Tij,k − Tiα

{ α

jk

}− Tαj

{ α

ik

}, (1.76)

T ji ;k = T j

i ,k − T jβ

{ β

ik

}+ T β

i

{ j

βk

}.

A partir de lo anterior es posible extender la derivacion covariante a tensoresde rango arbitrario, teniendo en cuenta que cada ındice de un tensor se transformaindependientemente. La regla es como sigue: la derivada covariante respecto a σde un tensor T i...

k... es la derivada parcial T i...k...,σ mas –para cada ındice contra-

variante i– un{ i

aσ

}multiplicado por el tensor con i reemplazado por a, quedando

inalterados los restantes ındices del tensor; o menos, para cada ındice covariantek un

{ m

kσ

}multiplicado por el tensor con k reemplazado por m, los demas ındices

permaneciendo sin cambio. Por ejemplo:

T ijkl;σ = T ij

kl,σ + T ajkl

{ i

aσ

}+ T ib

kl

{ j

bσ

}− T ij

cl

{ c

kσ

}− T ij

kd

{ d

lσ

}. (1.77)


1.7.2.1. Lema de Ricci

La derivada covariante del tensor metrico es cero.De la segunda de las ecuaciones (1.76) con Tij = gij se sigue:

gij;k = gij ,k + giα{ α

jk

}− gαj

{ α

ik

};

de la propiedad e de los sımbolos de Christoffel (seccion 1.6.1.1) se sigue que:

gij;k = 0. (1.78)

Es decir, bajo derivacion covariante gij es una constante, aunque en general

gij,k = 0. Tambien, de (gijgjk);l = (δki );l = 0 se sigue gjk;l = 0.Como consecuencia gijAl,m = (gijAl),m pero gijAl;m = (gijAl);m.

1.7.3. La conexion afın

En un espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas dos vectores en puntosdiferentes del espacio, xi y xi + dxi, son iguales si sus componentes cartesianas enambos puntos son iguales.

Por ejemplo, dos fuerzas pueden ser iguales aunque se apliquen en puntos dis-tintos. Por extension, un campo vectorial A en un espacio euclidiano es constante sisus componentes cartesianas son las mismas en cada punto. Si las componentes soniguales, tambien lo sera el modulo del vector. En el caso general no euclidiano ni lascomponentes ni los modulos son iguales, pues la metrica depende de la posicion.

En espacios no euclidianos es necesario definir el trasplante de un vector de unpunto a otro cercano para poder comparar las componentes del vector en los dospuntos. Esto hace posible no solo revisar la nocion de campo constante, sino tambienconstruir la resta entre vectores que define el diferencial. Resultara que la definicionde campo vectorial constante en terminos de la constancia de sus componentes noes aplicable en espacios generales.

En lo que sigue se quiere definir la constancia de un vector de modo independien-te del sistema de coordenadas, y tal que se reduzca a la usual definicion euclidiana.La forma mas simple es partir de un sistema coordenado cartesiano en un espacioeuclidiano, donde para un campo vectorial constante es cierto que dAi = 0, y pasara un sistema coordenado curvilıneo. Ası, de:

A′i =∂x′i

∂xjAj ,

cuando se pasa de xi a xi + dxi, a lo largo de una curva parametrizada con s, se


obtiene:

dA′i

ds=

d

ds

(∂x′i

∂xjAj

)=

∂2x′i

∂xk∂xj

dxk

dsAj

=∂2x′i

∂xk∂xj

(∂xk

∂x′m

dx′m

ds

)(∂xj

∂x′nA′n

)=

(∂2x′i

∂xk∂xj

∂xk

∂x′m

∂xj

∂x′n

)dx′m

dsA′n

= Γ′ imn

dx′m

dsA′n.

El ultimo parentesis define Γ′ imn. Ası, la constancia de las componentes de un

vector en S (dAi = 0) implica dA′n = 0 en S′, pues en general Γ′ imn = 0, excepto

para transformaciones lineales.En general, e independientemente de su procedencia, se define (suprimiendo

‘primas’) el cambio de las componentes de un vector bajo trasplante de xi a xi+dxi

de la siguiente manera:

dAi = Γ imndx

mAn . (1.79)

Esta expresion se llamara ley de trasplante vectorial, y los coeficientes Γ imn seran

funciones no restringidas a que en el S original dAi = 0. La funcion Γ imn se llama

conexion afın. Un continuo donde esta regla se aplica se llama un espacio afın. Hade observarse que en (1.79) no es necesario utilizar la nocion de metrica, vale decirque Γ j

kl es caracterıstico de un espacio afın y que no es una nocion metrica.Se exigira que la ecuacion (1.79) sea invariante bajo transformaciones generales

de coordenadas y que si Ai(x) es un vector, tambien lo sea Ai(x+ dx). Esto traerarestricciones sobre la regla de transformacion de Γ i

mn.La ley de trasplante en un sistema de coordenadas curvilıneo es tal que el vector

trasplantado se escribe:

Ai(x+ dx) = Ai(x) + Γ imndx

mAn (1.80)

y la condicion de invarianza de (1.80) exige que en otro S′:

A′i(x′ + dx′) = A′i(x′) + Γ′ imndx

′mA′n. (1.81)

Ademas, las reglas de transformacion de Ai(x) y Ai(x+ dx) son:

A′i(x′) =

(∂x′i

∂xj

)

x

Aj(x) y A′i(x′ + dx′) =

(∂x′i

∂xj

)

x+dx

Aj(x+ dx). (1.82)

Ası, de (1.78), expandiendo el parentesis en serie de Taylor, y usando (1.81):

A′i(x′ + dx′) = A′i(x′) + Γ′ imndx

′mA′n

= (Aj(x) + Γ jkldx

kAl)

(∂x′i

∂xj+

∂2x′i

∂xj∂xpdxp + · · ·

);


de donde se sigue, despreciando diferenciales de segundo orden:

Γ′ imndx

′mA′n = Γ jkldx

kAl ∂x′i

∂xj+

∂2x′i

∂xj∂xpdxpAj

= Γ jkl

∂xk

∂x′m

∂xl

∂x′n

∂x′i

∂xjdx′mA′n +

∂2x′i

∂xj∂xp

∂xp

∂x′m

∂xj

∂x′ndx′mA′n;

se obtiene, entonces, la regla de transformacion de la conexion afın:

Γ′ imn = Γ j

kl

∂xk

∂x′m

∂xl

∂x′n

∂x′i

∂xj+

∂2x′i

∂xj∂xp

∂xp

∂x′m

∂xj

∂x′n, (1.83)

que indica que Γ jkl no es un tensor y que la regla es la misma para

{ j

kl

}. Aunque

nada en el desarrollo anterior exige que la conexion afın sea simetrica, se asumiraen lo sucesivo que lo es.

De (1.83) se sigue que, si Γ jkl es simetrico en kl en un cierto S, lo sera en todos los

demas. Esto es, la simetrıa de la conexion afın es invariante bajo transformacionesgenerales. Es posible demostrar (ver Adler, pag. 47) que si Γ j

kl no es simetrico en kl

entonces no existen coordenadas geodesicas (aquellas donde los Γ jkl son cero en un

punto. Vease seccion 1.10 numeral c.). Puede tambien demostrarse (ver Adler pag.48) que la condicion necesaria y suficiente para que existan sistemas de coordenadasen los que las componentes de un vector no cambien bajo trasplante es que Γ j

kl seasimetrico.

La conexion entre Γ jkl y gij puede establecerse si sobre (1.79) se impone la condi-

cion de que el producto escalar entre dos vectores sea invariante bajo el transplante.Entonces, por derivacion del producto escalar y reemplazando (1.79) se sigue:

d

ds

(gijA

iBj)

=∂gij∂xk

dxk

dsAiBj + gij

[Ai dB

j

ds+

dAi

dsBj

]

= gij,kdxk

dsAiBj + gij

[AiΓ j

kl

dxk

dsBl + Γ i

kldxk

dsAlBj

]

=[glm,k + gljΓ

jkm + gimΓ i

kl

] dxk

dsAlBm = 0, por tanto:

glm,k + gliΓikm + gimΓ i

kl = 0; (1.84)

por cambio cıclico de ındices es tambien cierto que:

gmk,l + gmiΓilk + gikΓ

ilm = 0, (1.85)

gkl,m + gkiΓiml + gilΓ

imk = 0, (1.86)

de (1.84), (1.85), (1.86) se obtiene finalmente:

{ i

jk

}= −Γ i

jk. (1.87)


Si no se impone la condicion de invarianza bajo el trasplante sobre el productoescalar, no se cumple (1.87). Esto ocurre en la geometrıa de Weyl, que es unageneralizacion de la geometrıa de Riemann en la que el producto escalar de dosvectores tiene una ley de trasplante de la forma:

Ai(x+ dx)Bi(x+ dx) = (1 + ϕj dxj)Ai(x)B

i(x),

donde ϕj es un campo vectorial nuevo (ver tambien Adler, seccion 15.2). Esta geo-metrıa fue la base de la primera teorıa unificada de la gravitacion y el electromag-netismo, propuesta por Weyl en 1918. En ella ϕj es el 4-potencial electrodinamico.

Notas:

a. Conviene volver −desde un punto de vista mas cercano al calculo diferencial−sobre el hecho de que el diferencial de un vector no se transforma como un vector.Considerese el campo vectorial Ai en los puntos xk y xk + dxk, en los que el vectortoma los valores Ai(x) y Ai(x+ dx), como se muestra en la figura 1.3. Si se cambiaa un nuevo sistema de coordenadas, el vector se transforma segun las reglas:

A′i(x′) =

(∂x′i

∂xj

)

x

Aj(x) y A′i(x′ + dx′) =

(∂x′i

∂xj

)

x+dx

Aj(x+ dx). (1.88)

Ai(x) Ai(x+ dx)

Ai(x+ dx)

xj

xj + dxj

Figura 1.3: Trasplante de un vector para definir el diferencial covariante

En cada sistema coordenado el vector se evalua en dos puntos distintos. Es facilcomprobar que la resta A′i(x′ + dx′)−A′i(x) no se transforma como un vector. Larazon esencial es que los vectores se han restado en dos puntos distintos, donde lasreglas de transformacion son distintas. Lo que se necesita para que el resultado seaun vector es restar los vectores en el mismo punto. Por tanto se requiere ante todotrasladar Aj desde x hasta x+ dx, para obtener el vector trasplantado Ai(x+ dx).A continuacion pueden entonces restarse, en el mismo punto los vectores Ai(x+dx)y Ai(x+ dx). Esta resta es un vector.


El vector trasplantado es:

Ai(x+ dx) = Ai(x) +Ak(x)Γ ikj dx

j . (1.89)

Expandiendo Ai(x+ dx) en serie de Taylor se obtiene, para la resta:

Ai(x+ dx)− Ai(x+ dx) =

(Ai(x) +

∂Ai

∂xjdxj

)−(Ai(x) +Ak(x)Γ i

kj dxj)

=

(∂Ai

∂xj−Ak(x)Γ i

kj

)dxj .

Esta resta es un diferencial covariante que es un vector y que se escribe DAi(x).Por tanto, con (1.87):

DAi(x) =

(∂Ai

∂xj−Ak(x)Γ i

kj

)dxj =

(∂Ai

∂xj+Ak(x)

{ i

kj

})dxj .

b. Finalmente, conviene retornar a la nocion de derivacion, considerando estavez el comportamiento del vector completo A = ajAj , no solo de sus componentesAj . Derivando respecto a s, que es el parametro de la curva:

dA

ds= aj

dAj

ds+

dajds

Aj .

Como se ve, el cambio en el vector proviene de la variacion intrınseca de lascomponentes Aj y del cambio de magnitud y direccion de los vectores de la baseaj . Reemplazando dAj de (1.72):

dA

ds= aj

dAj

ds+

dajds

Aj = aj

[DAj

Ds−{ j

lk

}Al dx

k

ds

]+

dalds

Al

= ajDAj

Ds+Al

[dalds− aj

{ j

lk

}dxk

ds

]= aj

DAj

Ds+AjDaj

Ds. (1.90)

Es decir:dA

ds=

D

Ds(ajA

j).

De modo que la derivada ordinaria del vector completo es identica a su derivadacovariante. Bajo trasplante paralelo dA = DAj = Daj = 0, de modo que de (1.90)los cambios daj y dAj , en un vector de la base y en la componente de un vector,bajo trasplante son:

dal = aj{ j

lk

}dxk y dAj = −

{ j

lk

}Aldxk


c. Si se modifica la ultima ecuacion escribiendo:

dAj = −{ j

lk

}Aldxk + φj ldx

l,

se sigue, dividiendo por ds y con Al = xl:

xj +{ j

lk

}xldxk − φj lx

l = 0,

coincidente con la trayectoria de una partıcula cargada en un campo electromagneti-co si φj l es el tensor de campo electromagnetico. ¿Que implicaciones tiene estamodificacion?

1.7.4. Divergencia

• La divergencia covariante de un vector contravariante puede calcularse apartir de (1.69), mediante la contraccion de los ındices i y β:

Ai;i = Ai

,i +Aα{ i

αi

}.

Reemplazando (1.54) en el ultimo termino se obtiene:

Ai;i = Ai

,i +{ i

αi

}Aα = Ai

,i +Aα

√|g|

∂√

|g|∂xα

= Ai,i +

Ai

√|g|

∂√

|g|∂xi

=1√

|g|

[√

|g|∂Ai

∂xi+Ai ∂

√|g|

∂xi

]

,

que se sintetiza en:

Ai;i =

1√

|g|∂

∂xi(√|g|Ai) . (1.91)

Facilmente se demuestra que Ai;i es un invariante escalar; en efecto, de la regla

de transformacion (1.68) con i = j :

A′i;i =

∂x′i

∂xα

∂xβ

∂x′iAα

;β = δβαAα;β = (δβαA

α);β = Aα;α.

Ahora bien, el teorema de la divergencia tiene la forma:∫

Ai;i

√|g| d4x =

∫∂i(Ai)d4x =

∫ √|g|Ai dσi. (1.92)

La cantidad dτ =√

|g| d4x es el diferencial de 4-volumen y es un escalar.


• La divergencia de un tensor de segundo orden, doblemente contravariante,se evalua de la primera de las ecuaciones (1.76) con j = k:

T ij;j = T ij

,j + T iα{ j

αj

}− Tαj

{ i

αj

}.

Tomando en cuenta (1.54) se sigue:

T ij;j =

1√

|g|∂

∂xj(|√

|g|T ij) + Tαj{ i

αj

}.

Si el tensor es antisimetrico: Tαj = −T jα y como{ i

αj

}={ i

jα

}resulta que

Tαj{ i

αj

}es identicamente cero, de modo que :

T ij;j =

1√

|g|∂

∂xj(|√

|g|T ij).

• La derivada covariante de un escalar coincide con su derivada parcial. Estoes, si Φ′ = Φ, entonces:

∂Φ′

∂x′i=

∂Φ

∂xj

∂xj

∂x′io tambien: Φ′

,i =∂xj

∂x′iΦ,j ,

que es la regla de transformacion de un vector covariante. Ası pues, Φ;j = Φ,j .

1.7.5. Rotacional

El rotacional de un vector covariante Ai se define como (RotA)ij = Ai;j −Aj;i,siendo, por tanto, un tensor antisimetrico de segundo orden. Reemplazando (1.66):

(RotA)ij = Ai;j −Aj;i =(Ai,j −Aα

{ α

ij

})−(Aj,i −Aα

{ α

ji

})= Ai,j −Aj,i.

El rotacional se realiza solo sobre componentes covariantes de un vector. Ademas,si Ai = Φ,i entonces:

Rot gradΦ = Ai,j −Aj,i = Φ,ij − Φ,ji = 0.

Puede tambien demostrarse que Div RotA = 0

1.7.6. Laplaciano

Si en (1.91) se hace Ai = gijΦ,j se obtiene el Laplaciano de la funcion escalarΦ, esto es:

Ai;i =

1√

|g|∂

∂xi(√|g|gijΦ,j) . (1.93)


1.8. Tensor de Riemann-Christoffel

Dado un N-espacio con metrica gij conocida ¿como obtener informacion quepermita saber si la ecuacion de la lınea que conecta dos puntos corresponde a unarecta en un espacio euclidiano? Es sabido que la ecuacion de una recta en un espacioeuclidiano puede tomar formas tan complejas en algun sistema de coordenadas quesea difıcil reconocer en ella la recta.

Dicho de otro modo ¿como reconocer un espacio donde en principio no existela recta euclidiana? “En principio” quiere decir: descontando la presencia de unacurvatura aparente como en el cilindro o el cono; es decir ¿como saber si un espacioes intrınsecamente no euclidiano?

La geometrıa diferencial tiene para ello una respuesta elaborada por Riemann amitad del siglo XIX, basada en la definicion de un tensor de curvatura que permitesaber si un espacio es o no euclidiano, independientemente del sistema de coordena-das especıfico. Es un logro sin igual para la geometrıa y ademas provee los criteriosde los que Einstein parte para elaborar su teorıa del espacio-tiempo curvado por lamateria.

Los teoremas usuales del calculo diferencial aseguran que la doble derivacionparcial de una funcion de las coordenadas es conmutativa, es decir Ai

,jk = Ai,kj .

La existencia y la continuidad de Ai,jk y Ai

,kj son suficientes para que sean iguales.Aquı nos importa saber si la conmutacion se aplica tambien a la doble derivacioncovariante.

Si en (1.75) se hace T ij = Bi

;j y usando primero (1.75) y luego (1.69) se obtiene:

T ij;k = (Bi

;j);k = (Bi;j),k + (Bα

;j){ i

αk

}− (Bi

;α){ α

jk

}

=(Bi

,j +Bβ{ i

βj

})

,k+(Bα

,j +Bβ{ α

βj

}){ i

αk

}−(Bi

,α +Bβ{ i

βα

}){ α

jk

}.

Realizando la derivacion indicada en k, en el ultimo renglon, se sigue:

(Bij );k = Bi

;jk = Bi,jk +Bβ

,k

{ i

βj

}+Bβ

{ i

βj

},k+Bα

,j

{ i

αk

}

+ Bβ{ α

βj

}{ i

αk

}−Bi

,α

{ α

jk

}−Bβ

{ i

βα

}{ α

jk

}.

Intercambiando j y k en la expresion anterior y restandolas:

Bi;jk −Bi

;kj = Bβ[{ i

βj

},k−{ i

βk

},j+{ α

βj

}{ i

αk

}−{ α

βk

}{ i

αj

}]

= BβRiβjk. (1.94)

La doble derivacion covariante, en consecuencia, no es conmutativa. De acuerdocon la regla del cociente, aplicada a (1.94), Ri

βjk es un tensor de cuarto orden; se


le conoce como tensor de Riemann-Christoffel y se define mediante la expresion:

Riβjk =

{ i

βj

},k−{ i

βk

},j+{ α

βj

}{ i

αk

}−{ α

βk

}{ i

αj

}. (1.95)

En un sistema de coordenadas cartesiano (gij = δij) todas las derivadas del ten-sor metrico son nulas, por lo que tambien lo son todos los sımbolos de Christoffel.En consecuencia todas las componentes del tensor de Riemann-Christoffel son nulasen un espacio euclidiano, que es el unico que admite un sistema de coordenadascartesiano en todo el espacio. Todas las componentes de este tensor seran cero encualquier otro sistema coordenado obtenido del cartesiano mediante una transfor-

macion y la derivacion covariante sera conmutativa en todos ellos. Puesto que{ i

jk

}

no es un tensor, si todas sus componentes son cero en coordenadas cartesianas enun espacio euclidiano, no todas lo seran en otros sistemas coordenados en el mismoespacio. La condicion necesaria y suficiente para que un espacio sea euclidiano esRi

βjk = 0. El siguiente teorema resume lo anterior:“Si para un cierto espacio las componentes del tensor metrico gij asociados a un

sistema de coordenadas dado son tales que los sımbolos de Christoffel{ i

jk

}pueden

expandirse en serie de Taylor alrededor de un punto, entonces la condicion necesariay suficiente para que el espacio sea intrınsecamente plano en alguna region vecinaal punto es que el tensor de Riemann-Christoffel se anule en la region que contieneel punto.”(Craig, pag 317).

Puede demostrarse (ver Weinberg, pag. 133) que Rijkl es el unico tensor quepuede construirse con gij y sus primeras y segundas derivadas que es lineal en lasegunda derivada.

Si al menos algunas Riβjk son diferentes de cero en algun sistema coordenado,

se dira que el espacio es curvo. En este caso no es posible una transformacionde coordenadas que permita pasar a un sistema cartesiano; Ri

βjk es, entonces, untensor que revela la curvatura intrınseca del espacio N -dimensional.

Ası pues, la ecuacion de campo que describe un espacio plano, euclidiano, encualquier sistema de coordenadas, es:

Riβjk = 0. (1.96)

El tensor de Riemann-Christoffel completamente covariante se define como:

Rαβjk = gαiRiβjk.

Este tensor satisface las siguientes condiciones (vease Adler, seccion 5.3):

• Antisimetrıa en cada una de las parejas αβ y jk:

Rαβjk = −Rβαjk = −Rαβkj = Rβαkj . (1.97)


• Simetrıa bajo intercambio de la primera y segunda pareja de ındices:

Rαβjk = Rjkαβ . (1.98)

• Condicion cıclica para los tres ultimos ındices:

Rαβjk +Rαjkβ +Rαkβj = 0. (1.99)

Observese que α es el primer ındice en cada uno de los sumandos.• Identidad de Bianchi:

Rαβjk;γ +Rαβkγ;j +Rαβγj;k = 0 . (1.100)

Observese que la posicion de αβ en cada uno de los sumandos de la identidadde Bianchi aparece inmodificada y que el orden de los ındices γjk es cıclico.

El numero de componentes de Rαβjk puede calcularse con facilidad: los dosprimeros ındices son antisimetricos de modo que dan lugar a (N2 − N)/2 combi-naciones distintas, si N es la dimension del espacio. Lo mismo ocurre con los dosultimos ındices. En consecuencia, reducidos los dos primeros a un solo ındice a conel anterior numero de valores, y los dos finales a un ındice b con el mismo numerode posibilidades (b = a), el tensor de Riemann se reduce a una matriz cuadradasimetrica de dimension a× a = [(N2 −N)/2]× [(N2 −N)/2]. Ası pues, el numerode elementos independientes es N(N − 1)(N2 −N + 2)/8.

Pero ademas, para N ≥ 3, Rαβjk satisface N(N − 1)(N − 2)(N − 3)/4! con-diciones cıclicas (1.99), lo que disminuye a N2(N2 − 1)/12 el numero de compo-nentes independientes. La ecuacion (1.100) no es una condicion sobre el tensor deRiemann-Christoffel sino sobre sus derivadas y por ello no se incluye en la anteriorcontabilidad.

Para ilustrar la razon por la cual la doble derivacion covariante no es conmutativapodemos tomar en cuenta que cuando se traslada diferencialmente una funcion, laoperacion se realiza a lo largo de una geodesica. Esto significa que para trasladardiferencialmente una funcion dos veces, con un diferencial dxi y luego otro dxj , coni = j, el resultado depende del orden de la operacion. Esto se ilustra en forma claraen la superficie de una esfera, en la que la operacion que comienza en el punto O dalugar a dos funciones distintas en los puntos B y D, si se siguen los caminos OAB uOCD (correspondientes a porciones de cırculo maximo), en vez de una sola funcionfinal. Este resultado se debe a la curvatura intrınseca de la superficie esferica. Enel caso de un plano, los dos caminos dan lugar a una figura cuadrada (cerrada), loque indica que el resultado de la traslacion por los dos caminos es el mismo.


B

A

O

C

D

Figura 1.4: La doble derivacion covariante no es conmutativa

1.8.1. Tensor de Ricci-Einstein

Se obtiene como resultado de la siguiente contraccion del tensor de Riemann-Christoffel:

Rβδ = Riβiδ. (1.101)

Explıcitamente:

Rβδ ={ α

βα

},δ−{ α

βδ

},α

+{ α

τδ

}{ τ

βα

}−{ α

τα

}{ τ

βδ

}. (1.102)

El tensor de Ricci-Einstein es simetrico: Rβδ = Rδβ .El escalar de curvatura se define como:

R = gβδRβδ = Rββ = R β

β . (1.103)

El tensor de Ricci-Einstein puede visualizarse como una matriz cuadrada N×Nsimetrica. Los elementos distintos son (N2 +N)/2. En el espacio-tiempo son 10.

1.8.1.1. Variacion del tensor de Ricci-Einstein

Presentamos ahora un resultado muy interesante, util en la formulacion cova-riante del problema variacional en relatividad general (seccion 6.20). La variaciondel tensor Ri

βjk de la ecuacion (1.95) tiene la forma:

δRiβjk = δ

{ i

βj

},k− δ{ i

βk

},j+{ α

βj

}δ{ i

αk

}+ δ{ α

βj

}{ i

αk

}(1.104)

−{ α

βk

}δ{ i

αj

}− δ{ α

βk

}{ i

αj

}. (1.105)


Puesto que, segun (1.62), la variacion de un sımbolo de Christoffel es un tensor, escierto que —segun (1.77)— su variacion se escribe:

(δ{ i

βj

})

;k=(δ{ i

βj

})

,k+ δ{ α

βj

}{ i

αk

}− δ{ i

αj

}{ α

βk

}− δ{ i

βα

}{ α

jk

}, y:(1.106)

(δ{ i

βk

})

;j=(δ{ i

βk

})

,j+ δ{ α

βk

}{ i

αj

}− δ{ i

αk

}{ α

βj

}− δ{ i

βα

}{ α

kj

}, .(1.107)

Teniendo en cuenta la simetrıa de los sımbolos de Christoffel, la resta de (1.106)y (1.107) da lugar a los terminos que aparecen a la derecha de (1.104), de modoque:

δRiβjk =

(δ{ i

βj

})

;k−(δ{ i

βk

})

;j(1.108)

Por contraccion de los ındices i, j se obtiene la identidad de Palatini:

δRβk =(δ{ i

βi

})

;k−(δ{ i

βk

})

;i(1.109)

1.8.1.2. Superficies curvas

Para N = 2 es directo ver que hay un solo elemento distinto del tensor deRiemann-Christoffel: R1212. Es facil demostrar que el tensor de Riemann-Christoffelse escribe en este caso como:

RRC = aiajakalRijkl = (a1a2 − a2a1)(a1a2 − a2a1)R

1212.

El tensor de Ricci-Einstein, obtenido de Rβδ = Riβiδ, tiene la forma:

RRE = (g11a2a2 − g12a2a1 − g21a1a2 + g22a1a1)R1212.

y el escalar de curvatura es:

R = (g11a2 · a2 − g12a2 · a1 − g21a1 · a2 + g22a1 · a1)R1212 = 2(g11g22 − g212)R1212.

El desarrollo siguiente se restringe a superficies en las que existen coordenadascurvilıneas ortogonales, es decir, donde g12 = g12 = 0, g11 = 1/g11, g22 = 1/g22.Puede demostrarse que:

{ 1

11

}=

g11,12g11

,{ 1

12

}=

g11,22g11

,{ 1

22

}= −

g22,12g11

,

{ 2

11

}= −

g11,22g22

,{ 2

12

}=

g22,12g22

,{ 2

22

}=

g22,22g22

,


y en consecuencia:

R1212 =g112

[(g11,2g11

)

,2

+

(g22,1g11

)

,1

]

+1

4

[(g11,2)2

g11−

(g22,1)2

g22+

g11,1g22,1g11

−g22,2g11,2

g22

]

=1

4

[2(g11,22 + g22,11)−

(g11,2)2

g11−

(g22,1)2

g22−

g11,1g22,1g11

−g22,2g11,2

g22

],

R11 =R1212

g22, R22 =

R1212

g11, R = 2

R1212

g11g22.

Para una superficie esferica de radio a con coordenadas angulares (u1, u2) =(θ,ϕ), es cierto que dl2 = a2(dθ2+ sen 2θ dϕ2), por lo cual g11 = a2 y g22 = a2 sen 2θ,de donde se sigue que R1212 = −a2 sen 2θ, R11 = −1, R22 = − sen 2θ y R = −2/a2.La curvatura gaussiana de la superficie se define como K = −R/2, por lo queK = 1/a2.

Para una superficie cilındrica de radio a con coordenadas (u1, u2) = (ϕ, z), ypuesto que dl2 = a2dϕ2 + dz2, se sigue que g11 = a2 y g22 = 1, de donde R1212 = 0,R11 = R22 = R = 0. La curvatura intrınseca es nula. Vale decir que la geometrıasobre la superficie de un cilindro es euclidiana.

1.8.2. Tensor de Einstein

De la identidad de Bianchi (1.100), multiplicando por gαj , teniendo en cuentaque gαj;m = 0 y la antisimetrıa en γj del ultimo termino en la identidad de Bianchi,se sigue:

(gαjRαβjk);γ + (gαjRαβkγ);j − (gαjRαβjγ);k = 0.

El primer y tercer parentesis corresponden al tensor de Ricci-Einstein, de modoque se obtiene:

Rβk;γ +Rjβkγ;j −Rβγ;k = 0

y multiplicando por gβk:

(gβkRβk);γ + (gβkRjβkγ);j − (gβkRβγ);k = 0, esto es:

R;γ +Rjkkγ;j −Rk

γ;k = 0; ademas: (1.110)

Rjkkγ;j = −R

kjkγ;j = −R

jγ;j = −R

kγ;k, por lo cual (1.110) toma la forma :

R;γ − 2Rkγ;k = 0; multiplicando porgγβ :


Rkβ;k −

1

2(gkβR);k = 0 o:

(Rkβ −

1

2gkβR

)

;k

= 0.

En consecuencia, el tensor de Einstein, definido como:

Gkβ = Rkβ −1

2gkβR . (1.111)

tiene divergencia covariante nula:

Gkβ;k = 0 . (1.112)

1.9. Densidad tensorial

La definicion de tensor permite una generalizacion hacia la nocion de densidadtensorial. Para motivarla puede recordarse que la regla (1.35) de transformacion degij puede expresarse en la forma:

g′kl =∂xi

∂x′kgij

∂xj

∂x′l.

En forma matricial: g′ = JgJ , donde J es la matriz con elementos ∂xi/∂x′k y J sutraspuesta. Tomando el determinante y teniendo en cuenta que |J | = |J |:

|g′| =∣∣∣∣∂x

∂x′

∣∣∣∣2

|g| =∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣−2

|g|, o tambien: (1.113)

|g| =∣∣∣∣∂x

∂x′

∣∣∣∣−2

|g′| =∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣2

|g′|.

Se ha tenido en cuenta que de la expresion:

∂xi

∂x′j

∂xj

∂x′l= δil se sigue:

∣∣∣∣∂x

∂x′

∣∣∣∣

∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣ = 1.

En consecuencia, el determinante (1.113) del tensor metrico no es un escalar, sinoque sigue una regla de transformacion que contiene J . Por definicion, una densidadescalar de peso −2 es la que transforma como |g| en (1.113). En forma mas general,una densidad escalar Φ de peso W se transforma como:

Φ′ =

∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣W

Φ =

(|g||g′|

)W/2

Φ. (1.114)


En general, una densidad tensorial Tαβγ··· de peso W se transforma de acuerdocon la regla:

T ′µνσ··· =

∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣W ∂x′µ

∂xα

∂x′ν

∂xβ

∂x′σ

∂xγ· · ·Tαβγ··· (1.115)

Resulta ası que un tensor ordinario es una densidad tensorial de peso cero.Teniendo en cuenta (1.113), la anterior definicion puede escribirse:

T ′µνσ··· =

(|g||g′|

)W/2 ∂x′µ

∂xα

∂x′ν

∂xβ

∂x′σ

∂xγ· · ·Tαβγ··· (1.116)

o tambien:

[|g′|W/2T ′µνσ···] =∂x′µ

∂xα

∂x′ν

∂xβ

∂x′σ

∂xγ· · · [|g|W/2Tαβγ···]

De modo que: Si Tαβγ··· es una densidad tensorial de peso W , entonces gW/2Tαβγ···

es un tensor de peso cero. Las reglas de suma, producto, contraccion, etc, sondirectamente extensibles a densidades tensoriales.

1.9.1. Aplicaciones de la densidad tensorial

• El sımbolo de Levi-Civita tiene tantos ındices como la dimension del espacioy es completamente antisimetrico. El desarrollo siguiente se propone para un 4-espacio aunque los resultados tienen validez en el N -espacio. Se asumira que estesımbolo tiene la siguiente regla de transformacion:

ϵ′µνσρ = b∂x′µ

∂xα

∂x′ν

∂xβ

∂x′σ

∂xγ

∂x′ρ

∂xδϵαβγδ = b

∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣ ϵµνσρ.

El ultimo termino proviene de la definicion del determinante en 4 dimensiones deuna matriz A con elementos aµν en teminos del sımbolo de Levi-Civita:

|A|ϵµνσρ = ϵαβγδaµαaνβa

σγa

ρδ.

Para que este sımbolo sea isotropico, esto es: ϵ′µνσρ = ϵµνσρ, es necesario queb|∂x′/∂x| = 1, es decir, b = |∂x′/∂x|−1 =

√|g′|/|g|, de acuerdo con (1.113). Ası, la

ecuacion toma la forma:(ϵ′µνσρ√

|g′|

)

=∂x′µ

∂xα

∂x′ν

∂xβ

∂x′σ

∂xγ

∂x′ρ

∂xδ

(ϵαβγδ√

|g|

)

,

resulta, entonces, que ϵαβγδ es una densidad tensorial de peso −1 y ϵαβγδ/√

|g| esun tensor de peso cero.


Puede definirse ϵαβγδ

= gαagβbgγcgδd ϵabcd donde ϵαβγδ es una densidad tensorial

de peso 1 y√|g|ϵabcd es un tensor de peso cero.

• El volumen N -dimensional se define como:

dV = ϵijk···daidbjdck · · ·

donde dai son las componentes de la primera arista, dbj de la segunda, etc, en elsistema coordenado S. En el sistema coordenado S′:

dV ′ = ϵ′ijk···da′idb′jdc′k · · ·

=

∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣∂xa

∂x′i

∂xb

∂x′j

∂xc

∂x′k· · ·

∂x′i

∂xl

∂x′j

∂xm

∂x′k

∂xn· · · ϵabc···da′ldb′mdc′n · · ·

=

∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣ ϵlmn···da′ldb′mdc′n · · · =

∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣ dV =√

|g|/|g′|dV.

Por lo tanto el invariante de volumen (escalar) es√|g′|dV ′ =

√|g|dV . El volumen

dV es una densidad escalar de orden 1.• El teorema de Gauss (o teorema de la divergencia) para un tensor Ai··· en el

N -espacio es: ∫ √|g|Ai···

;i dV =

∫ √|g|Ai···dσi.

donde dσi es el elemento diferencial de superficie, una cantidad (N−1)-dimensional.Para un campo vectorial Ai, en acuerdo con (1.91), el teorema de la divergencia

toma la forma:∫ √

|g|Ai;j dV =

∫ (√|g|Ai

)

,idV =

∫ √|g|Aidσi.

1.9.2. Derivada covariante de densidades tensoriales

De acuerdo con (1.114), si Φ es una densidad escalar de pesoW , entonces Φ|g|W/2

es un escalar. Por tanto:

(Φ|g|W/2),i = Φ,i|g|W/2 + Φ|g|W/2,i = Φ,i|g|W/2 +WΦ|g|W/2−1|g|,i

=[Φ,i +WΦ

{ l

il

}]|g|W/2 = |g|W/2Φ;i ,

donde se ha utilizado (1.55). Entonces:

Φ i = Φ,i +WΦ{ l

il

}


De un modo analogo, si T σ es una densidad vectorial contravariante de pesoW , entonces T σ|g|W/2 es un vector contravariante de peso cero. Por derivacioncovariante, de acuerdo con la regla (1.69) se sigue:

(T σ|g|W/2);ρ = (T σ|g|W/2),ρ + Tα|g|W/2){ σ

αρ

}

= |g|W/2[T σ,ρ +WT σ

{ l

ρl

}+ Tα

{ σ

αρ

}] = |g|W/2T σ

;ρ,

y por tanto:

T σ;ρ = T σ

,ρ + Tα{ σ

αρ

}+WT σ

{ l

ρl

}

Si los tensores de la ecuacion (1.76) fuesen mas bien densidades tensoriales depeso W , para obtener sus derivadas covariantes respecto a k, bastarıa adicionar a

la derecha, respectivamente: WT ij{ l

kl

}, WTij

{ l

kl

}y WT j

i

{ l

kl

}.

1.10. Miscelanea

a. La transformacion entre sistemas cartesianos es lineal.

En sistemas cartesianos los coeficientes metricos son constantes, por tanto lossımbolos de Christoffel son nulos. En la regla (1.59) esto implica que:

∂2x′i

∂xα∂xβ= 0,

cuya solucion es lineal: x′i = ai + bijxj .

b. La derivada covariante del determinante |g| es cero.

De acuerdo con (1.113), |g| es una densidad escalar de peso −2; ası, de (??) conΦ = |g| y W = −2:

|g|;i = |g|,i − 2|g|{ l

li

},

y esta cantidad es cero de acuerdo con (1.54).

c. Coordenadas geodesicas

Supongase que en un cierto sistema coordenado S los sımbolos de Christoffelson diferentes de cero en todo el espacio. ¿Existe algun S′ donde estos sımbolossean cero en un punto x′i = pi? Sı. Lo que no es posible es que sean cero en todo elespacio, si este es curvo.

Para demostrarlo consideremos como regla de transformacion entre S y S′ lasiguiente expansion hasta segundo orden:

x′i = pi + (xi − qi) +1

2aiαβ(x

α − qα)(xβ − qβ). (1.117)


El punto xi = qi en S corresponde a x′i = pi en S′. La constante aiαβ es simetricaen los ındices αβ.

Derivando (1.117) respecto a xj y evaluando en xi = qi se obtiene:(∂x′i

∂xj

)

q

= δij . (1.118)

Derivando (1.117) respecto a x′j :

δij =∂xi

∂x′j+ aiαβ(x

α − qα)∂xβ

∂x′j. (1.119)

Evaluando (1.119) en xi = qi:(∂xi

∂x′j

)

q

= δij . (1.120)

Derivando (1.119) respecto a x′k:

0 =∂2xi

∂x′j∂x′k+ aiαβ

[(xα − qα)

∂2xβ

∂x′j∂x′k+∂xβ

∂x′j

∂xα

∂x′k

]. (1.121)

Evaluando (1.121) en xi = qi:(

∂2xi

∂x′j∂x′k

)

q

+ aiαβ

(∂xβ

∂x′j

)

q

(∂xα

∂x′k

)

q

= 0;

utilizando (1.120) se sigue que:

aijk = −(

∂2xi

∂x′j∂x′k

)

q

. (1.122)

Ahora bien, la regla de transformacion (1.60) de los sımbolos de Christoffelevaluada en el punto xi = qi en S (correspondiente a x′i = pi en S′), y con la ayudade (1.118), (1.120) y (1.122), da lugar a:

{ i

jk

}′p={ i

jk

}q− aijk.

Ası, si{ i

jk

}q= 0, es siempre posible encontrar una transformacion coordenada

tal que{ i

jk

}′psea cero. Basta con escoger aijk =

{ i

jk

}q.

La regla de transformacion (1.117) es entonces:

xi = pi + (xi − qi) +1

2

{ i

αβ

}q(xα − qα)(xβ − qβ). (1.123)


El sistema de coordenadas donde todos los{ i

jk

}′pson cero en un punto se llama

geodesico. Notese que, de (1.31), se concluye que en tal punto xi = qi no cambia elvalor de las componentes de ningun tensor: (Tijk···)q = (T ′

ijk···)p.

d. Componentes fısicas de tensores

En este apartado no se utiliza la convencion suma para ındices repetidos.De acuerdo con (1.11) los vectores de la base ai tienen la propiedad |ai| =

√gii,

de modo que los vectores ai ni son unitarios, ni tienen todos las mismas dimensiones(en coordenadas esfericas, por ejemplo, g11 = 1, g22 = r2, g33 = r2 sen 2θ); estotrae como consecuencia que las componentes covariantes y contravariantes de unvector no tienen todas las mismas dimensiones, es decir, no son dimensionalmentehomogeneas.

Cuando se piensa en aplicaciones fısicas del analisis tensorial conviene introducirvectores unitarios ei en la forma ai = ei|ai| = ei

√gii donde |ei| = 1. De este modo

el vector A puede expandirse en la forma: A =∑

i aiAi =

∑i ei√giiAi =

∑i eiAi;

las cantidades Ai, a las que se llamaran componentes fısicas tienen todas las mismasdimensiones como es lo usual, por ejemplo, en la teorıa de campos vectoriales. Enla ultima expresion, las componentes fısicas se definen como Ai =

√giiAi. En una

forma analoga, para un tensor contravariante de segundo orden

T =∑

ij

aiajTij =

∑

ij

eiej√giigjj T

ij =∑

ij

eiej Tij ,

donde Tij =√giigjj T ij son las componentes fısicas del tensor. Ha de observarse que

las componentes fısicas de vectores y tensores pueden calcularse en la base originalai utilizando las componentes contravariantes, de modo que las componentes fısicas“residen” en este caso en la base original. Las componentes fısicas en la base originalpueden expresarse tambien en terminos de componentes covariantes; por ejemplo

Ai =√giiA

i =∑

j

√giig

ijAj .

Los ındices de las componentes fısicas, aunque se escriban como subındices, no tienenvalor covariante ni contravariante, pues la definicion de componentes fısicas rompela covarianza de la teorıa. Por convencion se usaran subındices para las componentesfısicas de vectores y tensores.

Las componentes fısicas pueden tambien definirse en la base recıproca unitariaei. En este caso y para un tensor de segundo orden se escribe:

T =∑

ij

aiajTij =∑

ij

eiej√

giigjj Tij =∑

ij

eiej Tij ,


con las componentes fısicas en la base recıproca definidas como:

Tij =√giigjj Tij

Si el sistema coordenado es ortogonal, las bases unitarias original y recıprocacoinciden, esto es ei = ei, y es cierto que Tij = Tij . (Otros detalles en Weinberg,pag. 108 y McConnell, pag. 304.)

En lo que sigue se realiza una aplicacion del analisis tensorial a coordenadascurvilıneas ortogonales en espacios euclidianos en 3D. Es cierto, entonces, que gij =0 para i = j. Sea gii = h2

i , por lo que de (1.10) puede escribirse giigii = 1; se concluye

que gii = 1/h2i . Los coeficientes hi se conocen como factores de escala. Teniendo

en cuenta que√|g| = √g11g22g33 = h1h2h3 = h, el gradiente, la divergencia, y el

laplaciano pueden obtenerse respectivamente de (1.36),(1.91) y (1.93).

• Gradiente. De la ecuacion (1.36):

∇Φ =∑

i

ai∂Φ

∂xi=∑

ij

gij√gjj ej

∂Φ

∂xi,

y como el sistema coordenado es ortogonal puede escribirse:

∇Φ =∑

i

gii√gii ei

∂Φ

∂xi=∑

i

ei√gii

∂Φ

∂xi=∑

i

ei

hi

∂Φ

∂xi.

• Divergencia. De la ecuacion (1.91):

Ai,i = DivA =

1

h

∑

i

∂

∂xi

(h

hiAi

)= ∇ ·A.

• Laplaciano. De la ecuacion (1.93):

∇2Φ =1

h

∑

i

∂

∂xi

(h

h2i

∂Φ

∂xi

).

El elemento diferencial de volumen se escribe

dV =√|g| dx1 dx2 dx3 = h dx1 dx2 dx3

e. Desviacion geodesica

¿Si δxi representa la distancia entre dos puntos infinitesimalmente cercanos, cuales la aceleracion relativa entre estos dos puntos?


Ante todo, de (1.74) con Ai = DBi/Ds se sigue:

D2Bi

Ds2=

D

Ds

(DBi

Ds

)=

d

ds

(DBi

Ds

)+

DBj

Ds

{ i

jk

}dxk

ds

=d

ds

(dBi

ds+{ i

jk

}Bj dx

k

ds

)+

(dBj

ds+{ j

lm

}Bl dx

m

ds

){ i

jk

}dxk

ds.

Efectuando las derivaciones indicadas, haciendo uso de la ecuacion de la geodesicapara eliminar d2xk/ds2, factorizando y utilizando la definicion (1.95):

Rimjl =

{ i

mj

},l−{ i

ml

},j+{ i

kl

}{ k

jm

}−{ i

kj

}{ k

lm

}

se obtiene la segunda derivada covariante de Bi a lo largo de una geodesica:

D2Bi

Ds2=

d2Bi

ds2+Ri

mjlxlxmBj +

[{ i

mk

},jxmBj + 2

{ i

mk

}dBm

ds

]xk. (1.124)

Si se consideran dos geodesicas cercanas separadas δxi, entonces, con Bi = δxi

en la ecuacion de la geodesica:

d2δxi

ds2= δ

d2xi

ds2= δ[−

{ i

mk

}xmxk]

= −{ i

mk

},jδxj xmxk − 2

{ i

mk

} d

dsδxmxk,

y reemplazando en (1.124):

D2δxi

Ds2= Ri

mjlxmxlδxj ; (1.125)

Fısicamente, δxi corresponde a la separacion relativa entre dos partıculas que semueven libremente a lo largo de dos geodesicas infinitesimalmente cercanas, y se leconoce como desviacion geodesica. D2δxi/Ds2 es la aceleracion covariante relativa.

En el caso particular de un espacio euclidiano, es cierto que Rimjl = 0, por lo

que D2δxi/Ds2 = 0. En coordenadas cartesianas:

D2δxi

Ds2=

d2δxi

ds2= 0,

de donde, por integracion: δxi = ai + bis.Ası, la distancia entre dos puntos ubicados en geodesicas cercanas en un espacio

plano aumenta linealmente con s, o permanece constante si bi = 0. Esta conclusionconcuerda con la ley de inercia si se considera s como el tiempo. Pero una pareja


cercana de partıculas en movimiento geodesico exhibe una aceleracion relativa querevela la curvatura del espacio, si Ri

mjl = 0.

f. Gravitacion y geometrıa de Riemann

Los siguientes argumentos, bastante simples en su enunciado, permiten esta-blecer un puente entre la gravitacion newtoniana y la curvatura de un espacio deRiemann.

Supongase que xµ, con µ = 0, 1, 2, 3, son las coordenadas de un punto materialen el espacio-tiempo de la relatividad especial. Esto es: xµ = (ct, x, y, z). Para bajasvelocidades es cierto que xα = dxα/ds = dxα/c dτ ≃ (1, 0, 0, 0), siendo τ el tiempopropio. Ası, para dos partıculas que caen libremente pueden hacerse, en (1.125), lassiguientes aproximaciones:

D2δxν

Ds2= Rν

αησxαxσδxη ≃ Rν

0η0δxη = Rν

0l0δxl;

se ha asumido que los ındices griegos van de 0 a 3, que los latinos van de 1 a3, que 0 es el ındice temporal y que Rν

000 = 0, lo que supone que el tensor deRiemann-Christoffel es independiente del tiempo.

Entonces, con s = cτ la aceleracion relativa toma la forma:

D2δxi

Dτ2= c2Ri

0l0δxl (1.126)

Aunque una partıcula este en reposo en un sistema en caıda libre, un par de partıcu-las no interactuantes que caen libremente exhibe un movimiento relativo que revelala presencia de un campo gravitacional para un observador que cae con una de ellas.Esta conclusion no invalida el principio de equivalencia (seccion 2.3), de acuerdo conel cual, el campo de gravedad desaparece para un observador en caıda libre, ya queen este caso las dos partıculas no ocupan el mismo punto; ademas, el efecto parauna pareja de masas es despreciable cuando la separacion δxµ entre ellas es muchomenor que las dimensiones tıpicas del campo. A campos de este tipo se les llamacampos de mareas.

La ecuacion (1.126) tiene su analoga en mecanica clasica: considerense dospartıculas que caen en un campo de gravedad g. Su aceleracion relativa es:

d2δxi

dt2= gi(x+ δx)− gi(x) ≃

∂gi

∂xlδxl. (1.127)

Comparando (1.126) con (1.127) puede establecerse la correspondencia:

Ri0l0 ←→

1

c2∂gi

∂xl, (1.128)


o, con gi = −∂φ/∂xi, donde φ es el potencial gravitacional:

Ri0l0 ←→ −

1

c2∂2φ

∂xi∂xl.

Por contraccion de i y l:

−1

c2∇2φ←→ Ri

0i0 = R00, (1.129)

de modo que el laplaciano del potencial gravitacional newtoniano puede asociarsea la componente 00 del tensor de Ricci-Einstein. Esta conclusion sugiere la posi-bilidad de una teorıa geometrica de la gravitacion y sera explorada en el proximocapıtulo. La ecuacion (1.129) anticipa, en sıntesis, que la gravitacion es un fenomenogeometrico.

**********************************Albert Einstein (1879-1955). Tomado de http://commons.wikimedia.org

2

Gravitacion

2.1. Introduccion

De acuerdo con Newton, el espacio fısico es euclidiano y la trayectoria inerciales rectilınea y recorrida con movimiento uniforme. La trayectoria inercial la realizacualquier cuerpo−o mas bien su centro de masa, si el cuerpo es extenso− en ausenciade fuerzas.

Segun Kepler los planetas se mueven alrededor del Sol en orbitas elıpticas, porlo cual, segun Newton, siendo curva su trayectoria, alguna fuerza −que seguramenteproviene del Sol− altera su movimiento inercial.

Esto significa que la aceptacion por Newton de la geometrıa de Euclides, consu recta inercial que es la lınea mas corta entre dos puntos, exige asumir que elSol ejerce una fuerza sobre los planetas, ya que en la epoca de Newton no hayalternativas a la geometrıa; hay solo una, la euclidiana. Y el principio de razonsuficiente no ve como, en ausencia de acciones, el movimiento de un cuerpo entredos puntos pueda ser algo diferente a la lınea mas simple, la recta euclidiana.

En un mundo euclidiano, si el movimiento inercial es el mas simple y ademas uni-co, entonces debe ser rectilıneo. Resulta ası una conclusion sorprendente: la nocionde fuerza gravitacional surge de un prejuicio matematico sobre la estructura fısicadel mundo; si el mundo es euclidiano y los planetas se mueven en forma curvilınea,entonces el Sol actua sobre los planetas, razonamiento que solo es posible poner enduda con el surgimiento de las nuevas geometrıas, las que permiten asegurar quela geometrıa de Euclides no es solo una rama de la geometrıa sino una rama de lafısica, porque en ella se basa la idea de Newton de la gravitacion. Que el espaciotenga una estructura euclidiana es una afirmacion fısica.

En la teorıa de Einstein el Sol no actua sobre los planetas sino sobre el espacio-tiempo.

Como revelara Einstein, basta con renunciar a la geometrıa de Euclides para ver

54

2. Gravitacion /55

con claridad que la gravedad como fuerza no fue un descubrimiento sino una inven-cion, y que es suficiente acceder a geometrıas mas amplias, como la de Riemann,para caer en cuenta de que la gravedad es un fenomeno geometrico. Con esta nuevaidea la gravitacion entro en otra esfera de comprension.

2.2. Teorıa newtoniana

En las siguientes subsecciones se exponen los fundamentos de la teorıa newto-niana de la gravitacion, las nociones de masa inercial y gravitacional y la teorıa detransformacion galileana entre sistemas inerciales y acelerados.

2.2.1. Ley de Newton de la gravitacion

En la tercera parte del libro de 1687 Principios matematicos de la filosofıa na-tural Newton propone su teorıa de la gravitacion universal, de acuerdo con la cualcualquier pareja de cuerpos, de tamanos mucho menores que la distancia que lossepara −en principio puntuales−, y de masas m1 y m2 se atraen en una formaproporcional al producto de las masas e inversa al cuadrado de la distancia entresus centros. Para ser mas precisos, la fuerza que una masa puntual m1 ejerce sobreotra puntual m2 tiene la forma (figura 2.1a):

F1→2 = −Gmg

1mg2(r2 − r1)

|r2 − r1|3. (2.1)

El origen de coordenadas en la figura 2.1a esta en reposo en un sistema de referen-cia inercial. La constante G, asociada al nombre de Cavendish quien la midio porprimera vez en 1798 usando una balanza de su propia invencion tiene, en unidadesMKS, un valor de 6,673× 10−11Nm2/kg2.

En la ley de gravitacion se ha escrito mg1 y mg

2 en vez de m1 y m2 puesto quela masa introducida por Newton en su teorıa de la gravitacion no corresponde a lamasa inercial que aparece en la segunda ley del movimiento F = ma. Mientras lamasa inercial se asocia al comportamiento de un cuerpo bajo la accion de fuerzas,la masa gravitacional corresponde a la medida de la capacidad de ese cuerpo paraatraer gravitacionalmente a otros. Dicho en otra forma, la resistencia que un cuerpopresenta a la aceleracion nada tiene en comun con su carga gravitacional. Sobre estepunto se haran en la subseccion siguiente algunas consideraciones.

Ahora bien, la fuerza gravitacional que una distribucion volumetrica de masa dedensidad ρ(r′) ejerce sobre una masa puntual m localizada en r es (figura 2.1b):

FM→m = −Gmg

∫

M

dMg(r′)(r− r′)

|r− r′|3= −Gmg

∫

V

ρ(r′)(r− r′)

|r− r′|3dV ′.


••

mM

r

r− r′

r′

O

dM•m

!

r

r− r′

r′

Oa b

Figura 2.1: Fuerzas gravitacionales, a. entre masas puntuales, b. entreuna masa puntual m y una distribucion volumetrica

Teniendo en cuenta que:

∇

(1

|r− r′|

)= −

r− r′

|r− r′|3

puede escribirse:

FM→m = Gmg

∫

Vρ(r′)∇

(1

|r− r′|

)dV ′

= −mg∇

[−G

∫

V

ρ(r′)

|r− r′|dV ′

]= −mg

∇G,

donde se ha definido el potencial gravitacional de la masa M en la forma:

G = −G∫

V

ρ(r′)

|r− r′|dV ′. (2.2)

El cociente Fm→m/m define el campo gravitacional de M :

g(r) = −∇G(r) = −G∫

M

ρ(r′)(r− r′)

|r− r′|3dV ′. (2.3)

Tambien:FM→m = −mg

∇G = mgg. (2.4)

Ahora bien, volviendo a (2.2), tomando su laplaciano:

∇2G(r) = −G∇2

∫

V

ρ(r′)

|r− r′|dV ′ = −G

∫

Vρ(r′)∇2

(1

|r− r′|

)dV ′, y como:

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ(r− r′),

2. Gravitacion /57

donde δ(r− r′) es la delta de Dirac, es cierto que:

∇2G(r) = 4πG

∫

Vρ(r′)δ(r− r′) dV ′ = 4πGρ(r),

de donde se sigue que en el interior de las masas el potencial gravitacional satisfacela ecuacion de Poisson:

∇2G(r) = 4πGρ(r) (2.5)

y en el exterior satisface la ecuacion de Laplace, ∇2G(r) = 0.De otro lado, tomando la divergencia de (2.3):

∇ · g(r) = −∇ ·∇G(r) = −∇2G(r) = −4πGρ(r), (2.6)

que es la ley de Gauss para el campo g(r). Finalmente, el rotacional de (2.3) permiteasegurar que el campo gravitacional es conservativo:

∇× g = 0, (2.7)

ya que, utilizando el teorema de Stokes, es posible escribir:∮

g · dl = 0,

que cumple la definicion de un campo conservativo.Es importante tener en cuenta que el campo gravitacional newtoniano es de

accion a distancia, es decir tiene una velocidad de propagacion infinita. Esto pue-de entenderse con claridad si en vez de la ecuacion de Poisson (2.5) se escribe laecuacion de ondas:

∇2G(r, t)−1

v2∂2G(r, t)∂t2

= 4πGρ(r, t).

Esta ecuacion se reduce, en efecto, a la ecuacion de Poisson si v →∞, lo que revelaque cuando ρ cambia con el tiempo, el campo cambia instantaneamente en todoslos puntos del espacio lejanos o cercanos. Esta conclusion esta en desacuerdo conuno de los resultados de la relatividad especial, el que impone una velocidad finita ala propagacion de senales, por lo que se hace necesario escribir una nueva ecuacionpara el campo gravitacional que incluya su propagacion con velocidad finita.

La teorıa de Newton no incluye entidad fısica alguna en el espacio que separados cuerpos gravitantes, a diferencia −por ejemplo− de la teorıa de Maxwell en laque el campo electromagnetico es el que transmite la interaccion entre dos cargas.Es decir, el espacio entre dos masas esta vacıo y sin embargo dos masas separadasinteractuan.


2.2.2. Masa inercial y gravitacional

De acuerdo con la ecuacion newtoniana (2.4), la fuerza sobre una partıcula demasa m cuando se situa en el campo gravitacional g de otra masa M es:

F = mgg.

mg es la masa gravitacional de la partıcula de prueba y g esta dado por (2.3). Sila masa de prueba se deja en libertad se movera de acuerdo a la segunda ley deNewton:

F = mia.

Esta ecuacion describe la respuesta inercial de la masa m. Igualando las dos ultimasecuaciones puede calcularse la aceleracion de caıda libre:

a =mg

mig = −

mg

mi∇G.

Los experimentos realizados por Galileo, Newton, Eotvos, entre otros, y que hanlogrado una exactitud mayor de una parte en 1011, demuestran que la aceleracionde caıda libre es independiente de la masa de la partıcula de prueba, por lo queel cociente mg/mi es una constante universal, independiente del tipo de materialy de su ubicacion en el campo. Puesto que las dos cantidades en el cociente sonmasas conviene escoger un mismo patron para ambas, aunque no sea absolutamentenecesario. La escogencia mas simple es medir ambas masas en kilogramos, lo queconduce entonces a afirmar que la aceleracion de caıda libre es igual a la intensidaddel campo de gravedad en el punto donde se realiza el experimento; ası pues laaceleracion de caıda libre es local. Sobre la superficie terrestre y a nivel del martiene un valor de 9.8m/s2.

Lo anterior indica que, despues de adoptar el mismo patron para ambas masas,los valores numericos de la masa inercial y gravitacional del mismo cuerpo sonidenticos. Sin embargo ambos conceptos son distintos. Este problema permaneciosin mayor claridad que la que aquı se ha hecho, hasta la proposicion por Einsteinen 1911 del principio de equivalencia.

Dada la identidad numerica entre los dos tipos de masas, en lo sucesivo se hablarasolo de masa m, suprimiendo los superındices que las caracterizaron en esta seccion.

2.2.3. Transformaciones galileanas

Un sistema de referencia inercial es aquel donde, en ausencia de fuerzas, uncuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilıneo y uniforme, y donde, enpresencia de fuerzas aplicadas sobre el el cuerpo se mueve de acuerdo con la segundaley de Newton.

2. Gravitacion /59

Todos los sistemas de referencia en movimiento uniforme respecto a un sistemainercial son inerciales. Todos los que respecto a uno inercial se muevan acelerada-mente son no inerciales; en estos un cuerpo en ausencia de fuerzas se mueve conaceleracion. Si se quiere mantener la validez de la segunda ley de Newton en lossistemas no inerciales es necesario definir un nuevo tipo de fuerzas, no debidas ainfluencias fısicas identificables, sino al movimiento acelerado del sistema de refe-rencia. Por esta razon se las llama fuerzas ficticias o inerciales.

En el caso de aceleracion rectilınea del sistema de referencia la fuerza ficticia seescribe Ff = −ma, donde a es la aceleracion lineal del sistema de referencia; en lossistemas rotantes con velocidad angular ω la aceleracion tiene tres componentes,centrıfuga, Coriolis y una asociada a la variacion temporal de la velocidad angular;ası:

F = −ma = m

(−ω × (ω × r) + 2v × ω −

∂

∂t(ω × v)

).

Las siguientes consideraciones se referiran solo a aceleracion rectilınea constante.

S S′

Rr

r′

a0

• P

Figura 2.2: S es un sistema inercial, S′ tiene aceleracionconstante a0 respecto a S

Considerese un sistema inercial S respecto al cual se mueve otro sistema S′ conaceleracion constante a

0. Segun la figura 2.2 es cierto que las posiciones de una

partıcula P observadas desde S y S′ estan conectadas por la expresion:

r = r′ +R = r′ + v0t+

1

2a

0t2.

Por derivacion temporal se sigue la regla galileana de adicion de velocidades, dondev y v′ son las velocidades de la partıcula en S y S′, y v0 la velocidad inicial medidaen S:

v = v′ + v0+ a

0t;

derivando nuevamente se obtiene la regla de transformacion de la aceleracion:

a = a′ + a0. (2.8)


Si en S la partıcula experimenta una fuerza F entonces F = ma. Si el observadoren el sistema acelerado asume valida la segunda ley de Newton entonces F′ = ma′.Ası pues, reemplazando en (2.8):

F = F′ +ma0, (2.9)

que es la regla que permite comparar las fuerzas en un sistema inercial y otroacelerado.

Considerense ahora las dos siguientes situaciones:A. Si en el sistema inercial la partıcula no experimenta fuerza alguna entonces

F = ma = 0 por lo cual permanece en reposo o en movimiento rectilıneo y uniforme.Entonces, de (2.9):

F′ = −ma0, o tambien : a′ = −a

0.

En consecuencia y como se esperaba, el movimiento de la partıcula, visto desdeS′, sera acelerado; la causa de la aceleracion es la fuerza ficticia−ma

0. En S′ ocurrira

que cuerpos no interactuantes de diversas masas, dejados en libertad, se mueventodos con la misma aceleracion independientemente de su masa, una conclusionexperimental analoga a la discutida en la seccion 2.2.2 para campos de gravitacion.

Parece, ası, que en los sistemas no inerciales puede hablarse de un campo defuerzas ficticias o campo de aceleracion que es, desde el punto de vista mecanico,equivalente a un campo gravitacional de lıneas paralelas existente en un sistemainercial.

B. Si en el sistema inercial hay un campo gravitacional estatico de lıneas parale-las, como el que con alta aproximacion existe en un laboratorio terrestre y una masam, puede afirmarse que F = mg y como F = ma entonces a = g. Como se ha visto,esto corresponde al resultado obtenido por Galileo: todos los cuerpos en un campode gravedad estatico y uniforme caen con la misma aceleracion, independientementede su masa.

Ahora bien, supongase que una caja del tamano de un laboratorio terrestre caelibremente en este campo gravitacional, con todo lo que hay en su interior (figura2.3). De (2.9) se sigue que para la masa m es cierto que:

mg = F′ +ma0.

La fuerza observada desde el sistema S′ es:

F′ = m(g − a0)

Puesto que para el laboratorio en caıda libre a0= g, se concluye que F′ = 0,

lo que significa: 1. que el sistema S′ es inercial, 2. que un campo gravitacional delıneas paralelas se anula para un observador que cae libremente en el, 3. que S y S′

son ambos inerciales a pesar de que uno de ellos esta acelerado.

2. Gravitacion /61

Si dos sistemas de referencia estan relativamente acelerados y uno es inercial,el otro no lo sera. Pero si en uno de ellos hay un campo gravitacional de lıneasparalelas y el otro cae libremente, ambos seran inerciales.

S S′

a0 = g

Figura 2.3: S′ es un sistema de referencia en caıda libreen un campo de gravedad g de lıneas paralelas existente enel sistema de referencia S

Este es un resultado singular que entrelaza los sistemas de referencia con lasfuerzas ficticias y de gravitacion.

El observador S′ en el caso A considera que el movimiento acelerado de cuerposen su sistema de referencia es debido a fuerzas ficticias, aunque tambien S′ puedepensar que esta en reposo en un sistema inercial y que en el ha aparecido un campode gravitacion de lıneas paralelas. De otro lado, el observador S en el caso B constataque hay en su sistema inercial un campo gravitacional de lıneas paralelas, perotambien puede afirmar que en su sistema no hay campo gravitacional alguno sinoque se encuentra en un sistema acelerado respecto a la Tierra.

Ahora bien, de acuerdo con el libro de Fock, citado en la bibliografıa, la trans-formacion entre un sistema inercial S y otro S′ con aceleracion g tiene la forma:

x′ = x cosh(gt/c) +c2

g[cosh(gt/c)− 1]

t′ =c

gsenh (gt/c) +

x

csenh (gt/c)

y′ = y, z′ = z

Estas expresiones se reducen en el lımite gt/c≪ 1 a las relaciones galileanas:

x′ = x+1

2gt2

y′ = y, z′ = z, t = t


2.3. Los principios de la relatividad general

Dejando partıculas en libertad no puede distinguirse entre un sistema uniforme-mente acelerado sin gravitacion y uno inercial con campo gravitacional estatico delıneas paralelas. Mecanicamente son indistinguibles.

Segun Einstein, la distincion no puede hacerse de modo alguno, ni mecanico,ni optico, ni de otras formas. Es decir que el campo de fuerzas ficticias que existeen el interior de un sistema de referencia con aceleracion constante es identico aun campo gravitacional estatico de lıneas paralelas. Esta es una primera forma delprincipio de equivalencia, que revela la razon profunda de la igualdad entre masasinercial y gravitacional; estas masas son identicas no solo numerica sino tambienconceptualmente dada la indistinguibilidad entre fuerzas ficticias y gravitacionales,al menos −repitamos− para campos gravitacionales de lıneas paralelas.

El valor heurıstico del principio de equivalencia puede apreciarse en el siguientecaso: un observador inercial (en un referencial donde no hay campo de gravitacion)puede verificar que un rayo de luz se mueve rectilıneamente. Un observador aceleradorespecto al anterior puede constatar que la trayectoria de la luz es curvilınea; y comoel interior de un sistema acelerado es identico a un campo gravitacional resultara quela luz sigue una trayectoria curva en un campo de gravitacion. En general sera cierto,segun el principio de equivalencia, que los fenomenos afectados por la aceleracion loseran de igual modo por la gravitacion. Como veremos, el principio de equivalenciapasa por la identificacion de los campos de fuerzas ficticios y los gravitacionales,la identidad de las masas inercial y gravitacional y va −como lo veremos−hasta eldescubrimiento del caracter geometrico de estos campos, anticipado al final de laseccion 1.10 numeral f.

Es cierto que los campos gravitacionales no son en general de lıneas paralelas.El campo gravitacional de una masa esferica homogenea tiene lıneas radiales queconvergen a su centro, aunque en un entorno pequeno este campo es, practicamente,de lıneas paralelas como lo revela el trabajo usual en un laboratorio fijo en lasuperficie terrestre. Por ello hay que refinar el principio de equivalencia para afirmarque la indistinguibilidad entre campos de fuerzas ficticias y de gravitacion tieneun caracter local. Esto permite involucrar campos de gravitacion generales, lo queequivale a afirmar, como en el caso B de la seccion 2.2.2, que el campo gravitacionales anulable localmente cayendo libremente en el. Estrictamente, como lo veremos, elcampo de gravedad g es anulable en un punto, no en una region amplia. Puede asıdecirse que en cada punto de un campo gravitacional existe un sistema de referenciaen caıda libre donde, en una region diferencial, todas las leyes fısicas tienen la formaenunciada por la relatividad especial. Tal region diferencial es lo suficientementepequena para que se puedan despreciar las variaciones espacio-temporales del campode gravedad.

Segun lo anterior, si el campo de gravedad depende de r o de t, no se le puede

2. Gravitacion /63

eliminar completamente cayendo en el. Ası, por ejemplo, cuando se cae en el camporadial terrestre, una gran parte de el desaparece pero quedan pequenas componenteshorizontales que hacen que los cuerpos en caıda libre se acerquen. Puede demos-trarse que la fuerza gravitacional remanente corresponde al gradiente del campo degravedad g. Se le conoce como campo de mareas, vease la seccion 2.4.1. De hecho, elgradiente del campo de gravitacion lunar es el responsable de las mareas terrestres.Vease tambien la seccion 1.10 numeral f.

En el sistema en caıda libre, que no es otro que el sistema geodesico de la seccion1.10 numeral c., las primeras derivadas de gij se anulan en un punto, pero no lassegundas derivadas. Esto significa que en un referencial en caıda libre se anulanen un punto los sımbolos de Christoffel analogos al campo g (vease, por ejemplo,ecuacion (2.19) pero no el tensor de Riemann.

Ha de notarse que cuando hay campos gravitacionales de lıneas paralelas la cla-sificacion de los sistemas de referencia en inerciales y acelerados no es simple; seanula localmente un campo de gravitacion cayendo en el y se genera uno de lıneasparalelas por aceleracion. ¿Quien esta en reposo? La respuesta es simple: todos pue-den asumirse en reposo, si introducen campos de fuerzas ficticias apropiados. Valedecir que no es afirmable, sin mas, que los sistemas no inerciales estan absoluta-mente acelerados; esto sugiere pasar a un nuevo nivel de la idea de relatividad delmovimiento. No solo el movimiento uniforme es relativo, tambien el acelerado; es-to sugiere expresar las leyes fısicas en una forma matematica que sea valida paratodos los observadores independientemente de su movimiento, ya sea uniforme oacelerado. Esta sugerencia se hace explıcita en el principio de covarianza generalque exige que las ecuaciones fısicas sean escritas en forma tensorial invariante, valedecir que han de ser validas bajo transformaciones generales entre sistemas de re-ferencia, independientemente de su estado de movimiento. Como consecuencia delprincipio de equivalencia, los campos gravitacionales son de la familia de los siste-mas acelerados y las leyes que los describen son invariantes bajo transformacionesgenerales de coordenadas. Resultara finalmente que las leyes fısicas que involucranla gravitacion y las acciones inerciales son parte de la geometrıa.

Ası pues, Einstein propone los siguientes dos principios como base de su relati-vidad general:

Principio de equivalencia. En cada punto en un campo gravitacional arbi-trario es posible escoger un sistema de referencia donde el campo se anule en unpunto.

No hay, en general, transformaciones entre sistemas de referencia que anulenglobalmente el campo de gravitacion.

Principio de covarianza. Las leyes fısicas han de tener la misma forma ma-tematica para todos los observadores.

Puesto que los sistemas de referencia en movimiento arbitrario estan conecta-dos por transformaciones (en general no lineales) y como estas dan lugar a fuerzas


ficticias, equivalentes a fuerzas gravitacionales, entonces una teorıa general de rela-tividad del movimiento ha de ser a la vez una teorıa de la gravitacion.

Vease tambien el arıculo de Ohanian citado en la bibliografıa.

2.4. Gravitacion y metrica

En esta seccion se pretende demostrar que el movimiento de una partıcula enun campo de gravitacion independiente del tiempo puede describirse utilizando undiferencial de lınea en un espacio-tiempo no minkowskiano con su correspondienteecuacion de la geodesica, y sin utilizar el concepto “fuerza gravitacional”. La con-vencion sobre ındices utilizada en esta seccion es como sigue: los griegos van de 0 a3, los latinos de 1 a 3. Los ındices de 1 a 3 indican componentes espaciales, el ındicecero es temporal. Esta es la notacion usual en la relatividad especial.

En el espacio-tiempo de la relatividad especial el intervalo se escribe:

ds2 = ηµνdxµdxν = c2(dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2,

donde ηµν = diag(1,−1,−1,−1, ), xµ = (x0, x1, x2, x3) = (ct, x, y, z); ηµν es lametrica de Minkowski.

En espacios curvos el cuadrado del elemento diferencial de lınea tiene la forma:

ds2 = gµνdxµdxν .

Las medidas geometricas y topograficas realizadas a diario en el entorno terres-tre revelan que con muy buena aproximacion el espacio es euclidiano y el tiempotranscurre de modo uniforme, por lo que el caracter curvo del espacio-tiempo puededescribirse como una perturbacion del espacio de Minkowski:

gµν = ηµν + ϵγµν . (2.10)

En esta expresion γµν es una cantidad pequena, lo que hace que el ultimo sumandosea una perturbacion, y ϵ (cuyo valor es 1) indica que ϵγµν es una perturbacion deprimer orden; ϵ2 indica una perturbacion de segundo orden. La funcion γµν describela distorsion de la euclidianidad del espacio y del flujo uniforme del tiempo. Puestoque gµνgνσ = δσµ se sigue, a primer orden en perturbaciones, que:

gµν = ηµν − ϵγµν . (2.11)

Puesto que se trata de elaborar un argumento simple, se asumira que el campometrico, es decir, la no euclidianidad, es independiente del tiempo, lo que significaque las derivadas temporales parciales de las diversas cantidades son nulas.

El elemento de lınea es entonces:

ds2 = gµνdxµdxν = (ηµν + ϵγµν)dx

µdxν .

2. Gravitacion /65

Con x0 = ct, vi = dxi/dt, y βi = vi/c, se sigue, separando en espacio y tiempola ecuacion anterior, que:

(ds/dt)2 = c2 − v2 + ϵγ00c2 + 2ϵγ0iv

ic+ ϵγijvivj

= c2[1− β2 + ϵγ00 + 2ϵγ0iβi + ϵγijβ

iβj ].

Para bajas velocidades y baja distorsion de la euclidianidad son despreciablesterminos de segundo orden (ϵ2,β2, ϵβi,βiβj) y superiores, por lo cual:

(ds/dt)2 ≃ c2(1 + ϵγ00). (2.12)

Ahora bien, una geodesica en el espacio-tiempo se describe con:

xµ +{ µ

νσ

}xν xσ = 0 (2.13)

{ µ

νσ

}contiene derivadas de la metrica, luego es proporcional a ϵ; ademas, ex-

pandiendo ν y σ, y con x0 = dx0/ds = c dt/ds = 1/√1 + ϵγ00, xi = dxi/ds =

dxi/c dt√1 + ϵγ00 = vi/c

√1 + ϵγ00, se sigue:

{ µ

νσ

}xν xσ = 2

{ µ

0i

}x0xi +

{ µ

00

}x0x0 +

{ µ

ij

}xixj

={ µ

00

}x0x0 ≃

{ µ

00

} 1

1 + ϵγ00.

El ultimo renglon se obtiene al desechar cantidades de segundo orden o mas alto ycon x0 = ct. Al reemplazar en la ecuacion de la geodesica se sigue:

d2xµ

ds2+

{ µ

00

}

1 + ϵγ00= 0.

Reemplazando (ds)2 de (2.12):

d2xµ

dt2+ c2

{ µ

00

}= 0. (2.14)

Con µ = 1 en (2.14) se obtienen las componentes espaciales que describen la ace-leracion de una partıcula en el campo de Christoffel:

{ i

00

}=

1

2giσ[00,σ] =

1

2(ηiσ − ϵγiσ)(2g0σ,0 − g00,σ) = −

ϵ

2ηiσγ00,σ =

ϵ

2

∂γ00∂xi

.

Se ha tenido en cuenta que g0σ,0 = 0. Al reemplazar en (2.14), con µ = i, y escribirel resultado en forma vectorial se llega a:

r = −∇(c2ϵ

2γ00). (2.15)


Este ultimo resultado da la aceleracion experimentada por una partıcula en mo-vimiento en un espacio-tiempo levemente curvo. De acuerdo con la teorıa newtonia-na de la gravitacion, la aceleracion experimentada por una partıcula en movimientoen un campo de potencial gravitacional G es:

r = g = −∇G. (2.16)

Por comparacion de (2.15) y (2.16) puede anticiparse que el potencial gravitacio-nal esta asociado a la geometrıa, vale decir que el potencial gravitacional puedeinterpretarse como un potencial metrico:

ϵγ00 =2Gc2

, en consecuencia: (2.17)

g00 = η00 + ϵγ00 = 1 +2Gc2

, (2.18)

con lo cual el sımbolo de Christoffel{ i

00

}toma la forma:

{ i

00

}=ϵ

2

∂γ00∂xi

=1

c2∂G∂xi

= −gic2

. (2.19)

Para campos cuasi-euclidianos y bajas velocidades la unica componente diferentede ±1 que persiste del tensor metrico es g00, por lo que:

gµν = ηµν + ϵγµν = ηµν +2Gc2δµ0δν0. (2.20)

De acuerdo con (2.18) el potencial gravitacional newtoniano equivale a g00. Enconsecuencia gµν puede ser llamado potencial metrico. Y lo que en la teorıa newto-

niana se conoce como campo de gravedad gi es aquı el campo de Christoffel{ i

00

}.

El campo gi, al igual que{ i

00

}, que no es un tensor, puede ser anulado al menos

en un punto mediante una transformacion de coordenadas en el espacio-tiempo quepermita pasar a un sistema geodesico (vease seccion 1.10 numeral c).

Queda entonces por obtener una cantidad que sea un tensor y que describa elcampo de gravitacion. Como se vera, esta cantidad es el tensor de Riemann. Si laidentificacion entre potencial gravitacional y potencial metrico propuesta por (2.18)es correcta dependera de las ecuaciones del campo de gravitacion, es decir, de si enprimera aproximacion γ00 satisface la misma ecuacion que G en la teorıa de Newton,esto es, si ∇2γ00 ∝ ρ.

Ası pues, ignorando terminos de segundo orden, la ecuacion de la geodesica,que describe la cinematica en el espacio-tiempo no-minkowskiano, equivale a laecuacion de Newton de movimiento en un campo gravitacional, es decir equivale auna dinamica en un espacio euclidiano, si G = ϵc2γ00/2.

2. Gravitacion /67

Puede concluirse de lo anterior que gµν tiene un caracter dual, pues sus 10componentes independientes pueden verse como los elementos del tensor metricoque determinan el elemento de lınea, pero tambien como los potenciales gravita-cionales de la teorıa de Einstein, a los que se ha llamado potenciales metricos. Laprimera version se centra en la geometrıa del espacio-tiempo, mientras la segundalo hace en la estructura geometrica de la gravitacion y en la forma como la metricadetermina el movimiento de las partıculas.

Con facilidad puede probarse que si µ = 0 la ecuacion (2.14) se satisface identi-camente. En primer lugar porque, con x0 = ct:

d2x0

dt2=

d2(ct)

dt2= 0,

y en segundo lugar porque:

{ 0

00

}=

1

2g0σ[00,σ] =

1

2g00[00, 0] = 0,

ya que las derivadas temporales de g00 que aparecen en [00, 0] son cero.

2.4.1. El campo de mareas

La Tierra es atraıda gravitacionalmente por la Luna, y recıprocamente. Conel proposito de estudiar el campo se mareas provocado en la Tierra por la Lunase asume que la Tierra y la Luna tienen forma esferica y por simplicidad no seconsidera la rotacion terrestre.

m r

R

dM

r′ θ

Figura 2.4: Geometrıa para el estudio de las mareas

Debido a la gravitacion lunar el centro de masa de la Tierra se acelera hacia laLuna; tal aceleracion centrıpeta tiene la forma (figura 2.4):

a =F

M= −

Gm

R2R,


donde R es unitario. M y m son respectivamente las masas de la Tierra y la Luna.Debido a su aceleracion la Tierra no es un sistema inercial. En ella un observadorexperimenta fuerzas ficticias en direccion de −R.

Un elemento de masa terrestre dM , visto desde un sistema de referencia asociadoa la Tierra, experimenta dos fuerzas, la gravitacion de la luna y la fuerza ficticia,tal que la gravedad efectiva es de la forma:

gef = g(r)− a = Gm(−

r

r2+

R

R2

).

En r = R resulta gef = 0, por lo que el centro de masa terrestre, que cae librementeen el campo de gravedad de la Luna, es un sistema inercial.

Dadas las formas de los sumandos en el parentesis anterior puede escribirse:

gef = g(r)− g(R). (2.21)

Expandiendo g(r) en serie de Taylor alrededor de R se sigue:

g(r) = g(R) + (r−R) · (∇g(r))r=R + · · ·

Reemplazando en (2.21) y teniendo en cuenta que r′ = r−R:

g(r) = r′ · (∇g(r))r=R + · · · (2.22)

•

TIERRA

LUNA

Figura 2.5: Accion del campo de mareas sobre la superficie terrestre

Las mareas, descritas por la ecuacion 2.22, son debidas no al campo g de gravi-tacion de la Luna en la posicion de la Tierra, sino a su gradiente. En forma explıcita,despreciando terminos de orden superior en r′ y con la notacion de la figura 2.4:

gef (r) = r′ · (∇g(r))r=R = −Gmr′ · (∇(r/r3

))r=R

= −Gmr′

R5· [R2

I− 3RR] =Gmr′

R3[3R cos θ − r′].

2. Gravitacion /69

De acuerdo con esta ecuacion hay dos mareas altas diarias, una en la cara te-rrestre que da a la Luna (θ = π) y otra en la opuesta (θ = 0), ver figura 2.5. Enefecto, en θ = 0 con R = r′:

g =Gmr′

R3[3R− R] = 2

Gmr′

R3R,

y en θ = π, con r′ = −R:

g =Gmr′

R3[−3R− R] = 2

Gmr′

R3(−R).

Observese que la intensidad del campo de mareas es proporcional a 1/R3.El gradiente de g contiene terminos de la forma ∂gi/∂xj cantidad que de acuerdo

con (1.128) esta asociada a la componente Ri0l0 del tensor de Riemann. En la teorıa

de Einstein el tensor de Riemann Rµνσρ−vale decir, la generalizacion del campo demareas− describe el campo de gravitacion.

2.4.2. Sistema rotante

De acuerdo con el principio de equivalencia los campos de fuerzas ficticias sonfısicamente equivalentes a campos gravitacionales. En particular, entonces, los mo-vimientos de partıculas en los campos de fuerzas centrıfugas y de Coriolis presentesen un sistema rotante podrıan describirse como un movimiento geodesico, vale de-cir inercial, en un campo metrico asociado a la rotacion del sistema de referencia.Conviene por ello realizar una transformacion de un sistema inercial a uno rotantecon el proposito inicial de evaluar la metrica en el sistema rotante.

En el sistema inercial S el elemento de lınea en las coordenadas cilındricas(r,ϕ, z) se escribe:

ds2 = c2dt2 − (dr2 + r2dϕ2 + dz2).

Considerese ahora un sistema S′ en rotacion alrededor del eje z con velocidadangular constante ω. La transformacion de S a S′ puede realizarse utilizando r′ =r,ϕ′ = ϕ + ωt y z′ = z. Reemplazando en el elemento de lınea, asumido como uninvariante, se obtiene:

ds2 = c2(1− ω2r2/c2

)dt2 − dr2 − r2dϕ′2 − 2ωr2dϕ′ dt− dz2, (2.23)

de modo que los elementos no nulos de la metrica en el sistema rotante son:

g00 = 1−ω2r2/c2 , g11 = −1 , g22 = −r2 , g33 = −1 , g02 = −ωr2/c. (2.24)

Debido a los terminos que contienen ω la geometrıa es no euclidiana. Las ecuacio-nes de movimiento de una partıcula en tal geometrıa pueden obtenerse del principiovariacional:

δ

∫f ds = 0,


del cual se obtiene la ecuacion de Euler-Lagrange:

d

ds

(∂f

∂xµ

)−

∂f

∂xµ= 0. (2.25)

Ignorando las ‘primas’ la funcion f se obtiene de (2.23) dividiendo por ds2:

f = c2(1− ω2r2/c2

)(x0)2 − r2 − r2ϕ2 − 2ωr2ϕ x0/c− z2.

Reemplazando f en (2.25) para µ = 1, 2, 3, 0 se obtienen, respectivamente:

r −ω2r

c2(x0)2 − rϕ2 − 2

ωr

cϕx0 = 0, (2.26)

ϕ+2

rrϕ+ 2

ω

crrx0 +

ω

cx0 = 0, (2.27)

z = 0, (2.28)(1−

ω2r2

c2

)x0 − 2

ω2r

c2rx0 − 2

ωr

crϕ−

ωr2

cϕ = 0, (2.29)

Reemplazando ϕ de (2.27) en (2.29) se obtiene:

x0 = 0, (2.30)

de donde x0 = cte = 1. Reemplazando este ultimo valor en (2.26) y (2.27) seobtienen las ecuaciones:

r −ω2r

c2− rϕ2 − 2

ωr

cϕ = 0, (2.31)

ϕ+2

rrϕ+ 2

ω

crr = 0. (2.32)

Comparando las ecuaciones (2.28), (2.30), (2.31) y (2.32) con (2.13) se obtienenlos siguientes sımbolos de Christoffel no nulos:

{ 1

00

}= −

ω2r

c2,{ 1

22

}= −r ,

{ 1

20

}= −

ωr

c,{ 2

12

}=

1

r,{ 2

01

}=ωr

c. (2.33)

Ahora bien, con ds = c dτ , (2.31) y (2.32) dan lugar a las ecuaciones de movi-miento radial y angular de una partıcula libre en el sistema rotante:

d2r

dτ2− r

(dϕ

dτ

)= ω2r + 2ωr

dϕ

dτ, (2.34)

rd2ϕ

dτ2+ 2

dr

dτ

dϕ

dτ= −2ω

dr

dτ. (2.35)

2. Gravitacion /71

Estas expresiones coinciden con las que la mecanica clasica provee para el mo-vimiento de partıculas en un sistema de referencia rotante (Goldstein, pag. 177).Los terminos a la izquierda de la igualdad corresponden a las aceleraciones radial yangular, mientras los de la derecha corresponden al efecto de las fuerzas centrıfugay de Coriolis. La version que aquı se ha propuesto considera que el movimiento enel sistema rotante es geodesico, inercial. No hay fuerzas ficticias, sino movimientolibre en una geometrıa no euclidiana. El campo de fuerzas ficticias equivale a uncampo de gravitacion.

Todos los elementos del tensor de Riemann Rµνσρ son cero en el sistema inercialy es directo probar, utilizando (2.33) que tambien son cero en el sistema rotante,como se espera, pues Rµνσρ es un tensor. Esto prueba que el espacio-tiempo en S′

es plano, aunque el espacio 3D sea curvo y el tiempo sea inhomogeneo.En lo que sigue se renunciara a la idea de que la gravitacion es una fuerza; se

adoptara la idea de que es un fenomeno asociado a la no euclidianidad del espacio y ala no uniformidad del flujo del tiempo. La gravitacion es entonces mas un fenomenogeometrico que uno mecanico. Renunciar a la idea de fuerza gravitacional exige,segun lo visto atras, acudir a la geometrıa de Riemann. En particular, la ecuacionde la geodesica en el espacio-tiempo se adoptara como la ecuacion que describeel movimiento inercial (vease la seccion 2.9). La geodesica en el espacio-tiempo esla forma matematica de la ley generalizada de inercia, de acuerdo con la cual uncuerpo que se deja en libertad en un espacio-tiempo curvo se mueve inercialmente,a lo largo de una geodesica. Queda entonces por descubrir una ecuacion de campoque describa la forma como el espacio-tiempo de Minkowski logra convertirse en unespacio-tiempo curvo.

2.4.3. Coordenadas geodesicas y caıda libre

Dentro de las aproximaciones utilizadas en la seccion anterior (campo debily bajas velocidades) las coordenadas geodesicas, que son aquellas en las que lossımbolos de Christoffel se anulan en un punto, pueden ser calculadas con facilidad.De acuerdo a (1.123), aplicada al espacio-tiempo:

xν = pν + (xν − qν) +1

2

{ ν

σρ

}(x,y,z)

(xσ − qσ)(xρ − qρ).

Teniendo en cuenta (2.20) y que G = gz es el potencial gravitacional cercano ala superficie terrestre, puede probarse que los unicos sımbolos de Christoffel [µν, ρ]diferentes de cero en un punto (x, y, z), en un sistema de referencia asociado a lasuperficie terrestre, son:

[03, 0] =dGdz

1

c2=

g

c2, de donde

{ 0

03

}=

g

c2y

[00, 3] = −dGdz

1

c2= −

g

c2, de donde

{ 0

03

}=

g

c2.


Para ν = 0 la regla de transformacion es:

t′ = t′0 + (t− t0) +g

c2(t− t0)(z − z0),

y el tercer termino de la derecha es despreciable en la aproximacion presente, porlo que t′ − t′0 = t− t0, como es cierto en la fısica newtoniana.

Para ν = 3 es cierto que:

z′ = z′0 + z − z0 +g

2(t− t0)

2, ası pues:

∆z′ = ∆z +g

2(∆t)2.

Para ν = 1 y ν = 2 se obtiene: ∆x′ = ∆x y ∆y′ = ∆y. En consecuencia, el sistemade referencia geodesico, donde se anulan en un punto los sımbolos de Christoffel (ypor tanto el campo newtoniano de gravitacion g), es aquel que cae libremente. Engeneral, g no puede eliminarse en una region finita por escogencia de algun sistemacoordenado en 4D.

2.5. Ecuaciones de campo en el espacio libre

Las nuevas ecuaciones del campo gravitacional, concebido como campo metrico,no como campo de fuerzas:

• deben ser escritas en forma tensorial. De este modo son validas bajo trans-formaciones generales,

• deben contener derivadas de gµν de segundo orden, pues han de contener comolımite de campo debil la ecuacion de Poisson,

• en ausencia de materia han de admitir como solucion la metrica de Minkowskiηµν = diag(1,−1,−1,−1). Esto significa que el espacio-tiempo de la relatividadespecial es la solucion mas simple de las ecuaciones del campo metrico,

• han de contener terminos no lineales en gµν o sus derivadas. El argumentoque soporta esta exigencia es como sigue: el campo de gravitacion newtoniano esgenerado por masas, por lo cual de acuerdo a la relatividad especial la masa-energıaen cualquiera de sus formas es fuente de gravitacion. En cada volumen del espacio,alrededor o en el interior de los cuerpos hay un contenido de energıa gravitacionalque a su vez genera mas campo gravitacional. Ası, el campo gravitacional es partede su propia fuente. Esto hace que las ecuaciones de campo deban ser no lineales.

En el espacio-tiempo plano, cuya metrica es la de Minkowski, el tensor de Rie-mann es cero. Es decir, Rµ

νσρ = 0 es la ecuacion que describe un espacio de Min-kowski. La ecuacion que describe un espacio tiempo curvo, es decir un campo gra-vitacional, ha de ser alguna generalizacion de esta ecuacion. Hay que debilitar la

2. Gravitacion /73

condicion de espacio tiempo plano, Rµνσρ = 0, permitiendo −por ejemplo− que

algunas de las componentes del tensor de Riemann no se anulen.Una sugerencia viene de la ecuacion de Laplace ∇2G = 0 que segun (2.18) puede

escribirse como∑3

i=1 g00,ii = 0, lo que insinua una contraccion de ındices. Veasetambien (1.129), donde explıcitamente aparece R00. Puede entonces proponerse,como lo hizo Einstein, el anulamiento del tensor de Ricci-Einstein como la ecuacionde campo en el espacio libre:

Rµν = 0

Como se sabe, el tensor de Ricci-Einstein viene de una contraccion del tensor deRiemann: Rµν = Rρ

µρν . Ha de observarse que Rρµσν = 0 implica Rµν = 0, tal

que esta ultima tambien tiene el espacio-tiempo plano como una de sus soluciones;pero Rµν = 0 no implica necesariamente un espacio tiempo plano, pues no exigeel anulamiento de todos los Rρ

µσν . Esto es, Rµν = 0 puede tener como solucion unespacio-tiempo curvo. Es en este sentido que la condicion de espacio-tiempo planose ha debilitado.

Ası, la ecuacion del campo metrico en el espacio libre tiene la forma:

Rµν ={ α

µα

},ν−{ α

µν

},α

+{ α

τν

}{ τ

µα

}−{ α

τα

}{ τ

µν

}= 0. (2.36)

Esta ecuacion admite la metrica de Minkowski gµν = ηµν como solucion, lo quese debe a que en este caso los sımbolos de Christoffel son identicamente cero. Laecuacion (2.36) contiene derivadas de segundo orden del tensor metrico, contenidasen las derivadas de los sımbolos de Christoffel; los dos ultimos sumandos contienenel tensor metrico en forma no lineal. Se demostrara luego que de (2.36) se obtienela ecuacion de Laplace como aproximacion de campo debil.

La ecuacion de espacio libre puede escribirse en una forma mas convenienteteniendo en cuenta que del tensor de Einstein (1.111) escrito en la forma:

Gµν = Rµ

ν −1

2δµνR,

se sigue, por contraccion de los ındices µν y con δµµ = 4: G = R− 12 4R = −R

tal que:

Gµν = Rµν +1

2gµνG.

Ası pues, si Rµν = 0 entonces R = 0 y por tanto Gµν = 0. Recıprocamente, siGµν = 0 entonces G = 0 y por tanto Rµν = 0. En consecuencia, Rµν = 0 en (2.36)es equivalente a:

Gµν = 0 . (2.37)

La ecuacion (2.37) describe la estructura del espacio-tiempo en el espacio vacıo,esto es, en el exterior de las masas y en particular afirma que en un universo sin


materia el espacio-tiempo existe como un absoluto y su metrica es la de Minkowski.El espacio-tiempo preexiste a la materia. Esta conclusion esta en claro desacuerdocon las ideas que en su momento fueron expresadas por Leibniz y Mach de acuerdocon las cuales solo hay espacio y tiempo si existe la materia. Este desacuerdo per-sistira a lo largo de todos los desarrollos siguientes y dara lugar a una teorıa dualsobre el espacio-tiempo como sera claro en las secciones que siguen.

Ahora bien, si (2.37) es aplicable en los lugares donde no hay materia, ¿cuales la estructura del espacio-tiempo en presencia de materia? Dicho de otro modo,¿como afecta la materia a la geometrıa?

Segun Newton, las masas generan fuerzas gravitacionales; en terminos del po-tencial gravitacional esto se expresa con la ecuacion de Poisson (2.5).

De otro lado, de acuerdo con los resultados de la relatividad especial hay unaconexion entre masa y energıa. La masa m de un cuerpo equivale a una energıa dereposo mc2 y cualquier adicion de energıa a un cuerpo aumenta su masa. Aceptadala equivalencia masa-energıa es necesario imponer en la teorıa de Einstein la condi-cion de que la estructura geometrica del espacio-tiempo depende de su contenido deenergıa. Esto significa que no solo las masas en su acepcion corriente sino cualquierforma de energıa, y en particular los campos, contribuyen a deformar el espaciode Minkowski. La nocion de materia incluye masas, campos de cualquier tipo ycualquier otra forma de energıa, como el calor, la presion o los esfuerzos.

En el exterior de la materia Gµν = 0 y este tensor es simetrico. Si se aspira a unageneralizacion de la ecuacion de Poisson, a la derecha de Gµν en (2.37) es necesarioreemplazar el cero por un tensor simetrico de segundo orden Tµν que describa elcontenido de materia del espacio. Puesto que, segun (1.112) la divergencia covariantedel tensor de Ricci-Einstein Gµν es cero, tambien debera ser cero la divergencia delque se llamara tensor de materia, esto es Tµν

;ν = 0. ¿Como escribir, entonces, Tµν

para partıculas, para fluidos, para campos electromagneticos?

2.6. Tensor de materia

a. Considerese un caso simple: un fluido en movimiento libre, no viscoso, y enel que −por simplicidad− las partes no interactuan entre sı. El fluido se especificaen la hidrodinamica relativista mediante las siguientes cantidades:

• La densidad volumetrica de masa ρ0 en el punto xµ, corresponde a la densidadmedida por un observador en reposo respecto a un elemento de volumen de fluidolocalizado en ese punto. Se le llama densidad propia y es un campo escalar, valedecir que ρ0 no cambia bajo transformacion a otro sistema de referencia.

• uµ correspondiente a la 4-velocidad de un elemento de fluido. Es un campovectorial de la forma:

uµ =dxµ

ds,

2. Gravitacion /75

donde ds es un elemento diferencial de lınea en el espacio-tiempo. Puesto que

(ds)2 = gµνdxµdxν ,

y dividiendo por (ds)2 se sigue gµνuµuν = 1 o tambien uµuµ = 1.El tensor de segundo orden mas simple que puede formarse con estas dos canti-

dades es:Tµν = ρ0u

µuν . (2.38)

Este tensor tiene unidades de densidad volumetrica de masa y se conoce comotensor de momento-energıa del fluido. Sus componentes pueden ser analizadas enuna forma simple si el estudio se restringe a la relatividad especial, donde ds2 =c2dt2 − dl2 = c2dt2(1− β2) = c2dt2/γ2. Se sigue que dt/ds = γ/c. Ası,

• con u0 = dx0/ds = γ:

T 00 = ρ0u0u0 = ρ0

dx0

ds

dx0

ds= ρ0γ

2 = ρ,

de modo que la componente 00 del tensor contiene la densidad ρ del fluido enmovimiento que, a diferencia de ρ0, cambia con la velocidad y representa la densidadvolumetrica de energıa E del fluido medida en unidades de masa/volumen:

T 00 =Ec2

= ρ,

por lo cual E = ρc2.• Ademas, con u0 = γ, vi = dxi/dt y ui = dxi/ds = γvi/c:

T i0 = ρ0uiu0 = ρ0

dxi

ds

dx0

ds= ρ0

vi

cγ2 = ρ

vi

c.

Las tres componentes T i0 representan la densidad de flujo de energıa expresada porel vector de Poynting S, de componentes Si:

T i0 =Si

c3.

• Finalmente:

T ij = ρ0uiuj = ρ0

vivj

c2γ2 = ρ

vivj

c2,

representa la densidad de flujo de momento lineal.¿A que corresponde la divergencia covariante nula de Tµν? En relatividad es-

pecial (donde gµν = ηµν) tal operacion se reduce a Tµν,ν = 0 y corresponde a la

conservacion del momento-energıa del fluido, que a la vez incluye su ecuacion demovimiento. En efecto, de (2.38) se sigue:

Tµν,ν = (ρ0u

νuµ),ν = (ρ0uν),νu

µ + ρ0uνuµ

,ν = 0. (2.39)


Multiplicando por uµ y con uµuµ = 1 (de donde uµ,νuµ = 0) se obtiene:

(ρ0uν),ν = 0, (2.40)

de modo que reemplazando (2.40) en (2.39):

Tµν,ν = ρ0u

νuµ,νu

µ = 0.

Con ui = γvi/c yu0 = γ, la ultima expresion conduce a las dos ecuaciones:

v ·∇γ +∂γ

∂t= 0 , v ·∇(γv) +

∂

∂t(γv) = 0. (2.41)

Desarrollando las derivadas de la segunda ecuacion y reemplazando en ella la pri-mera se obtiene:

v ·∇v +∂v

∂t= 0. (2.42)

Esta expresion corresponde a la ecuacion de movimiento de un fluıdo en ausenciade fuerzas.

La ecuacion de continuidad (2.40) se expande como:

∇ ·(ρv

γ

)+∂

∂t

(ρ

γ

)= 0.

que en vista de la primera de las ecuaciones (2.41) se transforma en:

∇ · (ρv) +∂ρ

∂t= 0, (2.43)

que es la forma estandar de la conservacion de la masa.Ha de observarse que, con γ = (1 − v2/c2)−1/2, la primera de las ecuaciones

(2.41) conduce a:

v ·[v ·∇v +

∂v

∂t

]= 0,

que se satisface identicamente, de acuerdo con (2.42).La derivada euleriana de una funcion Q(r, t) escalar, vectorial o diadica, es:

DQ

Dt=∂Q

∂t+∑

i

∂Q

∂xi

dxi

dt=∂Q

∂t+ v ·∇Q. (2.44)

Si Q = v se obtiene de (2.42) y (2.44):

Dv

Dt= 0,

2. Gravitacion /77

que es la ley de inercia para una porcion de fluido. En presencia de fuerzas:

ρDv

Dt= f . (2.45)

Si la fuerza es debida a la presion, es decir si f = −∇P , hay un tensor de esfuerzosnewtonianos de la forma T ij

P = P δij , con T 00P = 0 y T i0

P = 0 y cuya generalizacioncovariante permite escribir el tensor momento-energıa del fluido en la forma:

Tµν = ρ0uµuν +

P

c2(uµuν − gµν) = ρ0u

µuν + TµνP = T νµ . (2.46)

El tensor de presion TµνP = P (uµuν − gµν/c2 ha sido construido con P , uµ y

gµν de modo tal que genere las ecuaciones no relativistas correctas y se reduzca aT i0P = 0, T 00

P = 0 y T ijP = P δij en el lımite newtoniano.

A bajas velocidades T 00 ≃ ρ0, T ij ≃ (ρ0vivj + P δij)/c2 y ρDv/Dt = −∇P , ode (2.45):

ρ∂v

∂t+ ρv · (∇v) +∇P = 0,

que es la ecuacion de Euler. Esta es no solo es la ecuacion de movimiento sinotambien la expresion de conservacion del momento lineal del fluido; lo dicho tomauna forma clara si con la ayuda de (2.43) la anterior ecuacion se escribe:

∂

∂t(ρv) +∇ · [ρvv + IP ] = 0,

que tiene la forma de una ley de conservacion, la correspondiente al momento lineal.b. De otro lado, el tensor momento-energıa para el campo electromagnetico tiene

la forma (ver Jackson, ec. 12.113):

Tµν = −1

4πc2

[φµσφνσ −

1

4gµνφρσφ

ρσ

], (2.47)

donde φi0 = Ei y φij = −Bk (cıclico) establecen la conexion entre el tensor anti-simetrico de campo electromagnetico φµν y las componentes Ei y Bi de los camposelectrico y magnetico. Es cierto que Tµν

,ν = 0, en ausencia de partıculas cargadas,es decir si la ecuacion de Maxwell de fuentes se reduce a φµν,ν = 0.

Para un fluido en presencia de fuerzas (2.39) ha de reemplazarse por:

Tµν,ν = −

Kµ

c2, (2.48)

donde Kµ es la densidad volumetrica de 4-fuerza.c. En general, toda forma de momento-energıa debe estar incluida en el tensor

Tµν , excepto la gravitacion, pues a la manera de Einstein la gravedad no es un


campo en el espacio-tiempo, es el espacio-tiempo. En relatividad especial la sumade todos los Tµν debe satisfacer la condicion:

Tµν,ν = 0,

equivalente a la conservacion del momento-energıa total. Esto significa que cadauna de las fuerzas externas conservativas Kµ tiene asociado un tensor Tµν .

2.7. La ecuacion de Einstein

El 25 de noviembre de 1915 en el seminario dirigido por Hilbert en la Universidadde Gottinga, Einstein presento la forma final de la ecuacion que expresa como lamateria gobierna la estructura del espacio-tiempo, como le confiere un caracterriemaniano. Tal ecuacion conecta el tensor de Einstein Gµν con el tensor de materia:

Gµν = KTµν (2.49)

En forma del todo equivalente, y de acuerdo con (1.111) puede escribirse:

Rµν −1

2gµνR = KTµν . (2.50)

Esta ecuacion habıa sido obtenida unos dıas antes por Hilbert utilizando elprincipio de mınima accion (ver seccion 2.16).

• El valor de K, la constante de gravitacion de Einstein, puede ser calculadotomando el lımite newtoniano de (2.49).

• Tanto Gµν como Tµν son tensores simetricos.• En ausencia o en el exterior de materia la ecuacion se reduce a Gµν = 0, que

permite como solucion particular la metrica de Minkowski, aunque tambien admitemetricas no minkowskianas.

• Puesto que Gµν;ν = 0, segun (1.112), se sigue que Tµν

;ν = 0. En la relatividadespecial la condicion Tµν

,ν = 0 representa la conservacion del momento-energıa. Peroen la forma covariante general Tµν

;ν = 0 no se refiere a una ley de conservacion(vease tambien la seccion 2.16.3). Lo que Tµν

;ν = 0 representa es la ecuacion demovimiento de un elemento de masa inmerso en el campo metrico.

• La ecuacion (2.49) contiene terminos no lineales y segundas derivadas de gµν .• Se reduce a la ecuacion de Poisson en el lımite newtoniano, como demostra-

remos.Esta ecuacion, enganosa como ninguna por su concision y su estetica, encierra

detalles hermosos. En principio, dada la simetrıa de los tensores que la conforman,son 10 ecuaciones con las que se describira el campo de gravitacion como un campometrico. Contiene 10 potenciales metricos gµν . En contraste, la ecuacion de Poisson

2. Gravitacion /79

para la gravitacion newtoniana contiene un solo potencial gravitacional escalar Gque es la primera aproximacion del potencial metrico g00. En efecto, como se veraen la seccion siguiente, el mundo gravitacional cotidiano, incluida la caıda de lamanzana de Newton y el movimiento de la luna y los planetas puede describirse conmuy buena aproximacion utilizando el potencial g00.

Los potenciales gµν son la base de la nueva teorıa de la gravitacion; con ellos seconstruyen los sımbolos de Christoffel, correspondientes en la fısica newtoniana alas componentes de la aceleracion de gravedad, aunque en la teorıa de Einstein sunumero sube a 40. En primera aproximacion sobreviven tres sımbolos de Christoffel.Estos sımbolos, como se demostro en la seccion 1.6.12 no son tensores, por lo quepueden anularse localmente, caracterıstica conocida de la aceleracion de gravedad,que desaparece en los laboratorios en caıda libre. El campo de gravedad de Einstein,un objeto tensorial de 20 componentes distintas, es el tensor de Riemann-Christoffel;es el quien porta la informacion sobre la curvatura del espacio-tiempo.

La ecuacion que rige el campo de gravitacion es no lineal, es decir, la materiadeforma el espacio-tiempo en una forma tal que la gravitacion producida por ellagenera mas gravitacion, lo que no ocurre con el campo electromagnetico EB. Laexplicacion es que mientras el campo EB, producido por cargas electricas y porsu movimiento, no tiene carga, el campo gravitacional tiene energıa y la energıagravita; es ella la que deforma el espacio-tiempo. Una vez deformado el espacio-tiempo por alguna masa, la densidad de energıa del campo de gravedad es a su vezfuente de gravitacion.

A su izquierda, la ecuacion de Einstein (2.49) dice como es la geometrıa delespacio-tiempo, a su derecha contiene la materia que genera el caracter no minkows-kiano del espacio-tiempo. Si el termino de la derecha es nulo entonces la ecuaciondescribe la geometrıa 4D por fuera de las distribuciones de masa; si es diferente decero la describe en el interior. En cualquiera de los dos casos la geometrıa es nominkowskiana, es decir, el espacio-tiempo es curvo. Sin embargo la ecuacion incluyeun caso extremo, un universo sin materia, vacıo; en tal caso la solucion es un espaciode Minkowski. Esto significa, como se anticipo en el capıtulo 1 que hay un fondoespacio-temporal por el que la materia no responde y que la precede. El espaciode Minkowski es previo al mundo material, de un modo enteramente analogo acomo el espacio y el tiempo newtonianos preceden ontologicamente a la materia.En sıntesis, entonces, la materia solo distorsiona el caracter minkowskiano originaly preexistente del espacio-tiempo. Esto hace que la teorıa de Einstein introduzcauna concepcion dual del espacio-tiempo.

2.7.1. Lımite newtoniano

La fısica newtoniana permite hacer descripciones bastante precisas de los fe-nomenos mecanicos a nivel cotidiano; su validez sin embargo esta restringida a


movimientos con baja velocidad, es decir aquellos donde v/c≪ 1. La teorıa newto-niana de la gravitacion −por su parte− fue lo bastante precisa como para predecirla existencia del planeta Neptuno.

Por otra parte, era conocido desde el siglo XIX que Mercurio presentaba unmovimiento de precesion del perihelio no descriptible con exactitud en el contextode la gravitacion newtoniana. Una de las formas en que se intento remediar estadeficiencia fue cambiando la potencia en la ley de gravitacion de 2 a 2,00000016,solucion que por su falta de elegancia y su caracter artificioso no convencio en sumomento.

El principio de correspondencia enunciado por Bohr sugiere que cualquier teorıaque pretenda reemplazar, ampliar o mejorar a una anterior debe contenerla en algunlımite apropiado, aunque esto no suponga que la estructura conceptual de la antiguateorıa sea una forma reducida o ingenua recuperable desde la nueva. De este modola relatividad especial se reduce a la estructura matematica de la fısica newtonianaen el lımite de bajas velocidades v/c≪ 1.

Ahora bien, en las situaciones ordinarias encontradas en los fenomenos gravi-tacionales no solo las velocidades son bastante pequenas en comparacion con la dela luz sino, ademas, los campos de gravitacion son lo suficientemente debiles parahacer que la geometrıa del mundo cotidiano sea casi euclidiana. Puede entoncesasumirse que la metrica en el entorno del sistema solar difiere de ηµν en una pequenacantidad, lo que equivale a asumir que la ecuacion de Einstein puede ser resueltaperturbativamente. Ası:

gµν = ηµν + ϵγµν , de donde gµν = ηµν − ϵγµν ,

como se hizo en la seccion 2.4.Multiplicando (2.50) por gµν , con δµµ = 4, se obtiene R = −KT , con T = Tµ

µ , loque permite escribir (2.50) en la forma equivalente:

Rµν = K

(Tµν −

1

2gµνT

). (2.51)

En forma explıcita:

Rµν ={ σ

µσ

},ν−{ σ

µν

},σ+{ ρ

µσ

}{ σ

ρν

}−{ ρ

µν

}{ σ

ρσ

}= K

(Tµν −

1

2T

).

Con gµν = ηµν + ϵγµν es cierto que{ µ

νσ

}en su aproximacion mas baja es de

orden ϵ, por tanto{ ρ

µσ

}{ σ

ρν

}es de orden ϵ2. Desechando terminos de segundo orden

y mas alto, se sigue que:

Rµν ≃{ σ

µσ

},ν−{ σ

µν

},σ.

2. Gravitacion /81

Si se considera la metrica independiente del tiempo, entonces:

R00 = −{ σ

00

},σ

= −{ i

00

},i= −

3∑

i=1

(1

2ϵγ00

)

,ii

= −ϵ

2∇2γ00.

Con la ayuda de (2.17) se concluye que:

R00 = −1

c2∇2G. (2.52)

La anterior es la aproximacion de campo debil a la componente 00 de (2.51).El termino derecho de la componente 00 de (2.51) se evaluara para una ma-

sa en reposo; con dx0 = c dt y ds = c dt√1 + ϵγ00 ≃ c dt de (2.12), se sigue

uν = (dx0/ds, 0, 0, 0) ≃ (1, 0, 0, 0)). De uνuν = gµνuµuν = g00(u0)2 = 1, de donde(u0)2 = (g00)−1 = g00 ≃ 1 + ϵγ00 ≃ 1. Ası:

T00 = ρ0(u0)2 ≃ ρ0 y T = Tµ

µ = gµνTµν = g00T00 ≃ g00(ρ0g00) ≃ ρ0.

Por tanto:

K

(T00 −

1

2g00T

)≃

1

2Kρ0. (2.53)

tal que reemplazando (2.52) y (2.53) en (2.51) se obtiene una ecuacion de Poisson:

∇2G = −1

2Kρ0c

2 (2.54)

Puesto que esta ecuacion ha de coincidir con la ecuacion (2.5) para el potencialgravitacional newtoniano, entonces K = −8πG/c2.

En unidades MKS la constante K de Einstein tiene el valor 1.86×10−26 m/kg.La ecuacion (2.49) tiene entonces la forma:

Gµν = −8πG

c2Tµν (2.55)

equivalentemente: Rµν − 12gµνR = − 8πG

c2 Tµν , o tambien, de acuerdo con (2.51):

Rµν = −8πG

c2

(Tµν −

1

2gµνT

)(2.56)

Es importante notar que de acuerdo con (2.55) la fuente del campo Gµν es Tµν ,mientras de acuerdo con (2.56) la fuente del campo Rµν es Tµν − 1

2gµνT . El tensorRµν , es el responsable de la curvatura del espacio-tiempo, pues es el que determinael escalar de curvatura R en cada punto y en cada instante.


2.8. La constante cosmologica

Teniendo en cuenta que segun (1.78) la derivada covariante de gµν es cero, puedeadicionarse a la ecuacion de Einstein (2.55) el termino Λgµν :

Gµν + Λgµν = −8πG

c2Tµν . (2.57)

Tomando la derivada covariante de gσµGµν respecto a σ se sigue, como antes, queT σ

ν;σ = 0.La cantidad Λ, conocida como constante cosmologica, con unidades de m−2, fue

introducida por Einstein en 1917 con el proposito de lograr un modelo estacionariodel universo, pues en ese momento suponıa –como todo el mundo en su epoca– quevisto a gran escala, es decir cosmologicamente, el universo no presenta variaciontemporal alguna.

El termino cosmologico Λgµν puede entenderse como energıa del vacıo. Estainterpretacion surge de escribir (2.57) en la forma:

Gµν = −8πG

c2

(Tµν +

Λc2

8πGgµν

)= −

8πG

c2(Tµν + T v

µν) = −8πG

c2Tµν . (2.58)

Escrito en esta forma, T vµν = (Λc2/8πG) gµν es un tensor de momento-energıa

no asociado con la materia sino con el espacio vacıo. El tensor Tµν es fuente del

campo Gµν , del mismo modo que Tµν − 12gµν T es fuente del campo Rµν . Puede

tambien escribirse:

Rµν = −8πG

c2

(Tµν −

1

2gµν T

). (2.59)

En el lımite newtoniano la adicion del termino cosmologico Λgµν modifica la

ecuacion de Poisson. Teniendo en cuenta que R00 es proporcional a T00 − 12g00T ,

que T00 − 12g00T ≃ ρ0/2 y que de las ecuaciones:

T vv00 ≃

Λc2

8πGy

T v = T vµµ = gµνT v

µν = 4Λc2

8πG, se sigue:

T vv00 −

1

2g00T

v ≃ −Λc2

8πG;

puede concluirse que:

∇2G = 4πG

(ρ0 −

Λc2

4πG

),

2. Gravitacion /83

por lo que el vacıo tiene una densidad de masa efectiva:

ρef = −Λc2

8πG, (2.60)

que es negativa si Λ es positiva. La solucion mas simple para el potencial, no diver-gente en el infinito, correspondiente a una masa puntual M , tiene la forma:

G = −GM

r−

Λc2

6r2.

Sobre una partıcula de masa m actua entonces, segun la ecuacion (2.4), unafuerza gravitacional:

F = −m∇G =

(mΛc2

3r −

GmM

r3

)r,

de modo que, ademas de la fuerza gravitacional newtoniana, atractiva, hay unafuerza cosmica adicional repulsiva si Λ > 0, y atractiva si Λ < 0. La constantecosmologica ha de ser un numero bastante pequeno para que no tenga influencia enla cinematica del sistema solar. La astrofısica de galaxias, de cumulos globulares yde lentes gravitacionales pone un lımite al valor de la constante cosmologica (verOhanian-Ruffini, pag. 389): Λ < 4× 10−35cm−2.

Conviene anotar que de acuerdo con la expresion para el tensor momento energıadel vacıo, T v

µν = (Λc2/8πG) gµν , este tiene una presion negativa. Esto puede versecon facilidad si se escribe el tensor en un sistema inercial, caso en el cual T v

µν =(Λc2/8πG) ηµν , de modo que Tij = P δij = (Λc2/8πG)ηij = −(Λc2/8πG)δij .

Einstein escribio: “Si se hubiese conocido la expansion de Hubble en la epocade la creacion de la teorıa general de la relatividad, jamas se hubiese introducido eltermino cosmologico”.

Sin embargo, la constante cosmologica ha sido reintroducida para intentar darcuenta de la expansion acelerada del universo descubierta al final del siglo XX.

2.9. Ley de inercia

En ausencia de fuerzas un punto material se mueve en lınea recta con velocidadconstante respecto a un sistema de referencia −segun Mach− fijado por la distri-bucion de la materia en el universo; este es un sistema inercial. Siguiendo a Mach,es la materia del universo la que determina una geometrıa euclidiana responsablede que un punto material libre se mueva inercialmente. Este mismo movimiento,de acuerdo con Einstein, observado desde un sistema de referencia acelerado siguesiendo inercial; y en acuerdo con el principio de equivalencia, el movimiento en un


campo de gravitacion es tambien inercial. En ambos casos se trata de movimientoinercial en un espacio-tiempo curvo.

En relatividad general la ley de inercia, vale decir, la ecuacion de la geodesica,es una consecuencia de la ecuacion del campo metrico. Es decir, la ecuacion decampo determina el movimiento de las partıculas de prueba. Este comportamientono ocurre en la teorıa newtoniana de la gravitacion, ni en la teorıa maxwellianadel campo electromagnetico, pues de las ecuaciones de Maxwell no se deduce laecuacion de fuerza de Lorentz.

En la teorıa de Einstein si el tensor Tµν contiene solo materia de densidad propiaρ0, en forma de polvo de presion nula, entonces:

Gµν;ν = Tµν

;ν = (ρ0uµuν);ν = (ρ0u

ν);νuµ + ρ0u

νuµ;ν

= (ρ0uν);νu

µ + ρ0Duµ

Ds= 0. (2.61)

En la segunda lınea se ha tenido en cuenta la conexion dada por (1.73), divididapor Ds, entre el diferencial covariante y la derivada covariante: Duµ = uµ

;νdxν .

Ahora, tomando la derivada covariante del producto uµuµ = 1, se sigue:

Duµ

Dsuµ = 0. (2.62)

Esto significa que, al multiplicar (2.61) por uµ, el ultimo sumando se anula, y enconsecuencia:

(ρ0uν);νu

µuµ = (ρ0uν);ν = 0.

De acuerdo con la ultima ecuacion ρ0uν , que puede interpretarse como densidadde momento-energıa, es una cantidad conservada. Al reemplazar este resultado en(2.61) se concluye que:

Duµ

Ds= 0, (2.63)

que, segun (1.73) con Aµ = uµ equivale a:

duµ

ds+{ µ

νσ

}uν dxσ

ds= 0, (2.64)

que es la ecuacion de la geodesica (2.13). Ası pues, un elemento de masa en mo-vimiento en un campo metrico se mueve segun la regla de inercia (2.63). Esto es,en presencia de gravitacion −vale decir, en un espacio-tiempo deformado por lamateria− una partıcula se mueve libremente: la gravitacion no es una fuerza, es unfenomeno metrico.

En el espacio-tiempo de Minkowski la expresion Tµν;ν = 0 es interpretable como

una ley de conservacion. En tal caso es posible utilizar un sistema coordenado4D en el que los sımbolos de Christoffel se anulan en todos los puntos. En un

2. Gravitacion /85

espacio-tiempo curvo, en contraste, este interactua con el Tµν de los otros camposde modo que puede esperarse que solo una cierta combinacion de Tµν y del tensormomento-energıa del campo de gravitacion se conserve. Estas consideraciones serandesarrolladas en la seccion 2.16.3.

De acuerdo con Einstein, “ la unidad de la inercia y la gravitacion esta expre-sada formalmente por el hecho de que todo el primer miembro de (2.64) tiene uncaracter tensorial (respecto a cualquier transformacion de coordenadas), pero losdos terminos de dicho miembro considerados separadamente no tienen tal caracter.Analogamente a lo que sucede en las ecuaciones de Newton, el primer termino de-berıa considerarse como la expresion de la inercia y el segundo como la expresionde la gravitacion.”

Si hay fuerzas presentes sobre una partıcula de masam, la segunda ley de Newtontoma la forma:

D

Ds(muµ) = Kµ. (2.65)

Si −en particular− un corpusculo de masa m y carga q se mueve en un espaciode Riemann bajo la accion de un campo electromagnetico φµν , entonces la segundaley de Newton de movimiento se escribe:

D

Ds(muµ) = qφµνuν .

Al multiplicar por uµ y como φµνuνuµ = 0, se sigue que (2.62) se cumpleidenticamente.

En forma general: Tµν = ρ0uµuν+T ′µν donde T ′µν representa el tensor momento-energıa asociado a todas la fuerzas que actuen sobre un fluido de densidad ρ0 en susistema propio, exceptuando la gravitacion. No hay un tensor Tµν para la gravita-cion pues esta no es una fuerza, aunque como se vera en la seccion 2.16.3 es posibleconstruir un seudo-tensor. La expresion Tµν

;ν = 0 se escribe:

Tµν;ν = (ρ0u

µuν);ν + T ′µν;ν = 0.

Si Kµ es la densidad volumetrica de fuerza, asociada a T ′µν segun la expresion:

Kµ = −T ′µν;ν ,

la segunda ley de Newton toma la forma:

ρ0Duµ

Ds= Kµ.

2.10. Invarianza gauge

En esta seccion se introduce la recalibracion en las teorıas de Maxwell y Eins-tein, que da lugar a la condicion de Lorentz en electrodinamica y a las condicionescoordenadas en relatividad general.


2.10.1. Condicion de Lorentz

Como estudio previo consideremos el caso electrodinamico en relatividad es-pecial. La conexion entre el tensor de campo electromagnetico φµν y el 4-vectorpotencial Aν tiene la forma:

φµν = ∂µAν − ∂νAµ. (2.66)

De esta expresion se sigue que el campo φµν es invariante bajo la siguiente recali-bracion del 4-potencial:

A′µ = Aµ + ∂µη. (2.67)

De la ecuacion de Maxwell para fuentes, ∂µφµν = 4πJν , reemplazando (2.66) seobtiene la siguiente forma de la ecuacion de ondas para potenciales:

!2Aν − ∂ν(∂µAµ) = 4πJν , (2.68)

donde !2 ≡ ∂µ∂µ es el D’Alembertiano. Aν en (2.67) tiene una indeterminacion en∂νη, que puede removerse escogiendo una recalibracion particular. Es usual asumirla condicion covariante:

∂µAµ = 0, (2.69)

conocida como gauge de Lorentz. De este modo, dada una solucion Aµ, con ∂µAµ =0, puede construirse otra A′µ = Aµ + ∂µη tal que ∂µA′µ = 0. Ası:

∂µA′µ = ∂µA

µ +!2η = 0. (2.70)

Puede siempre obtenerse un A′µ que satisfaga ∂µA′µ = 0 si η es escogido demodo tal que !2η = ∂µAµ. Por tanto, es siempre posible escribir (2.68) en la forma:

!2Aν = 4πJν . (2.71)

La condicion de Lorentz restringida corresponde a !2η = 0 en (2.70), es decir a∂µA′µ = ∂µAµ = 0.

2.10.2. Condiciones coordenadas

Ahora bien, en la teorıa de gravitacion la expresion Gµν = KTµν consta de 10ecuaciones, dada la simetrıa de los tensores de Einstein y de materia. Son ecuacionesdiferenciales no lineales para los coeficientes metricos gµν . Estas 10 ecuaciones estanligadas por las 4 condiciones Gµν

;ν = 0, lo que hace que haya solo 6 ecuacionesde campo independientes con 10 incognitas. Hay entonces 4 grados de libertad quecorresponden al hecho de que si gµν es solucion tambien lo sera otro g′µν obtenido poruna transformacion coordenada general xµ → x′µ. Esta transformacion involucra 4funciones arbitrarias x′µ = x′µ(xν).

2. Gravitacion /87

Para eliminar la ambiguedad en la metrica se adopta un sistema de coordenadasparticular, imponiendo 4 condiciones coordenadas. La escogencia de De Donder(1921) y Lanczos (1923) es:

gµν{ λ

µν

}= 0,

cantidad definida como Γλ. Estas 4 condiciones coordenadas no tienen forma cova-riante, pues

{ λ

µν

}no es un tensor.

Puede demostrarse que es siempre posible escoger un sistema de coordenadas enel que esta condicion se cumpla. En efecto, de la regla de transformacion (1.6.1.2):

{ λ

µν

}′={ α

βγ

} ∂xλ

∂x′α

∂xβ

∂x′µ

∂x′γ

∂xν+

∂2x′λ

∂xσ∂xρ

∂xρ

∂x′ν

∂xσ

∂x′µ,

multiplicando a la izquierda por g′µν y a la derecha por ∂x′µ

∂xσ∂x′ν

∂xρ gσρ (ambosterminos son iguales) se obtiene:

Γ′λ =∂x′λ

∂xρΓρ + gρσ

∂2x′λ

∂xσ∂xρ,

tal que, si Γρ = 0, puede encontrarse un sistema coordenado x′µ en el que Γ′λ = 0,

si la regla de transformacion satisface: ∂x′λ

∂xρ Γρ = −gρσ ∂2x′λ

∂xσ∂xρ .La condicion coordenada puede expresarse en una forma mas conveniente. Ante

todo:

Γλ = gµν{ λ

µν

}=

1

2gµνgλσ[µν,σ] = 0. (2.72)

Reemplazando (1.46), teniendo en cuenta que gµνgλσgνσ,µ = gνµgλσgµσ,ν y quegµνgµν,σ = 2(

√|g|),σ/

√|g|, podemos escribir:

Γλ = gλσ[

gµνgµσ,ν −1√

|g|(√

|g|),σ

]

= gλσ[

(gµνgµσ),ν − gµσgµν

,ν1√

|g|(√

|g|),σ

]

= gλσ[

(δνσ,ν),ν − gµσgµν

,ν1√|g|

(√

|g|),σ

]

=1√

|g|

(√|g|gλν

)

,ν.

En consecuencia, Γλ = 0 equivale a(√

|g|gλν)

,ν= 0. El nombre de armonica

para esta condicion proviene de que si Γλ = 0, la solucion a la ecuacion de Laplacepara una funcion escalar sera una funcion armonica. En efecto, de (1.93) se sigue:

!2φ =

1√

|g|

[(√

|g|gνλ),νφ,λ +√|g|gνλφ,λν

]=

1√

|g|[−Γλφ,λ + gνλφ,λν

],


de modo que si Γλ = 0 entonces:

!2φ =

1√

|g|gνλφ,λν .

Notese que el lado derecho de esta ecuacion es el laplaciano no covariante. La metricade Minkowski gµν = ηµν satisface trivialmente la condicion Γλ = 0, es decir, lascoordenadas del espacio-tiempo de Minkowski son armonicas. En forma mas general,en un sistema de coordenadas armonicas las xµ son soluciones de la ecuacion !2φ =0 y las cantidades Γλ se anulan.

2.11. Campo debil

En la presente seccion se obtiene la aproximacion lineal del tensor de Ricci-Einstein que conduce a la existencia de ondas gravitacionales y se estudian losestados de polarizacion de ondas electromagneticas y gravitacionales. La secciontermina con el estudio del movimiento de partıculas en un campo gravitacionalondulante.

2.11.1. Linealizacion

Para una metrica poco alejada de la minkowskiana es valido asumir, de acuerdocon (2.10) y (2.11), la siguiente expansion perturbativa:

gµν = ηµν + ϵγµν y gµν = ηµν − ϵγµν . (2.73)

Teniendo en cuenta que en (1.102) los productos de sımbolos de Christoffel sondel orden de ϵ2, y por tanto despreciables en primera aproximacion, puede escribirse:

Rνρ ={ µ

νµ

},ρ−{ µ

νρ

},µ

= ηµν{[νµ,α],ρ − [νρ,α],µ},

donde se ha hecho la aproximacion: gµα[νµ,α] ≃ ηµα[νµ,α], puesto que [νµ,α] esde orden ϵ. Se sigue:

Rνρ =ϵ

2{γαα,νρ − γ α

να, ρ − γ αρα,ν +!

2γνρ}

=ϵ

2

{

−(γ ανα, −

1

2γαα,ν

)

, ρ

−(γ αρα, −

1

2γαα,ρ

)

, ν

+!2γνρ

}

.(2.74)

En la anterior ecuacion se han subido ındices con ηµα, no con gµα. Ademas:

K

(Tνρ −

1

2gνρT

)≃ K

(Tνρ −

1

2ηνρT

).

2. Gravitacion /89

Reemplazando las dos ultimas expresiones en la ecuacion de Einstein (2.51):

ϵ

2

{

−(γ ανα, −

1

2γαα,ν

)

, ρ

−(γ αρα, −

1

2γαα,ρ

)

, ν

+!2γνρ

}

≃ K

(Tνρ −

1

2ηνρT

).

(2.75)La ecuacion de Einstein ha perdido su covarianza general. Habiendo desechado

los terminos no lineales, es ahora la ecuacion linealizada del campo de gravitacion.La solucion que esta ecuacion provee para γµν no es unica puesto que pueden to-

davıa realizarse transformaciones de coordenadas en el espacio-tiempo. Estas trans-formaciones deberan ser infinitesimales ya que transformaciones finitas equivalen ala introduccion de campos ficticios finitos, equivalentes a campos gravitacionales,que alteran el caracter perturbativo de (2.73). La transformacion mas general quemantiene debil el campo es:

xµ → xµ + ϵµ(x),

donde ϵµ(x) es infinitesimal. Se sigue entonces que:

∂x′µ

∂xσ= δµσ + ϵµ,σ, por lo cual:

g′µν =∂x′µ

∂xσ

∂x′ν

∂ρgσρ = (δµσ + ϵµ,σ)(δ

νρ + ϵν,ρ)(η

σρ − ϵγσρ)

≃ gµν + ϵµ,ν + ϵν,µ. (2.76)

Reemplazando (2.73) se concluye que:

ϵγ′µν = ϵγµν − ϵµ,ν − ϵν,µ. (2.77)

Esta transformacion mantiene invariante la ecuacion linealizada del campo metrico.

2.11.2. Ondas metricas

Utilizando (2.73) en la condicion coordenada (2.72) puede escribirse:

(ηµν − ϵγµν)(ηλσ − ϵγλσ)[γµσ,ν + γνσ,µ − γµν,σ] = 0,

de donde se sigue, a primer orden en ϵ, que:

γνλ,ν −1

2γνν,λ = 0. (2.78)

A partir de esta ecuacion es facil ver que los dos parentesis al lado izquierdo de(2.75) son nulos tal que esta expresion se convierte en una ecuacion de ondas parala metrica γνρ;esto es !2(ϵγνρ) = 2KSνρ, o tambien:

!2gνρ = 2KSνρ, (2.79)


donde Sνρ = Tνρ − 12ηνρT describe las fuentes del campo.

Ası pues, la metrica gνρ para campo debil satisface la ecuacion de ondas, siendoc su velocidad de propagacion.

La solucion a la ecuacion de ondas para una fuente localizada en espacio-tiempocon fronteras lejanas es:

gνρ(x) =K

2π

∫Sνρ(r′, t− |r− r′|/c)

|r− r′|dV ′.

A esta puede anadırsele la solucion a la ecuacion homogenea. Como se sigue de estaecuacion, aun en primera aproximacion la estructura del campo de gravitacion deEinstein difiere de la newtoniana. No solo porque el potencial gravitacional no esun escalar sino un tensor, sino tambien porque el campo metrico se propaga a lavelocidad de la luz. La teorıa newtoniana se reproduce con g00.

Ahora bien, en el exterior, o en ausencia de fuentes, es cierto que !2gνρ = 0, demodo que, aparentemente, la metrica del espacio-tiempo ondula y su ondulacion sepropaga a la misma velocidad que la luz en el vacıo, al menos cuando el alejamientode la metrica minkowskiana es pequeno. Hay que tener en cuenta, sin embargo, quegνρ esta asociado, por la condicion de recalibracion (2.78) a un cierto sistema coor-denado, de modo que la ecuacion (2.79) no es invariante bajo una transformaciongeneral de coordenadas; esto implica entonces que tal vez gνρ pueda reducirse en al-gunos casos a la metrica de Minkowski, lo que demostrarıa que no se trata entoncesde un espacio-tiempo ondulante, de una onda gravitacional genuina, sino solo de un“fenomeno matematico” asociado a una particular escogencia de coordenadas.

Las cantidades γνρ y gνρ dependen del gauge escogido, es decir, de la condicioncoordenada, lo que no ocurre con Rµ

νσρ. En la aproximacion de campo debil:

Rµνσρ =

{ µ

νσ

},ρ−{ µ

νρ

},σ

=ϵ

2{γµσ,νρ − γ µ

νσ, ρ − γ µρσ,ν + γ µ

νρ,σ }.

Tomando el D’Alembertiano y recordando que !2gνρ = 0 en espacio libre, puedeconcluirse que:

!2Rµ

νσρ = 0. (2.80)

De modo que el tensor de Riemann-Christoffel, que provee un criterio absoluto parala existencia de un espacio-tiempo curvo −vale decir de un campo gravitacional−satisface la ecuacion de ondas. No hay que confiar en una metrica que ondule, puesbien podrıa la ondulacion anularse con un simple cambio de sistema coordenadoen el espacio-tiempo, es decir con una recalibracion. Por esto, si al menos algunascomponentes de Rµ

νσρ son diferentes de cero y satisfacen (2.80) entonces la ondade espacio-tiempo (la onda gravitacional) es un objeto fısico. En un espacio-tiempoplano como el de Minkowski no hay ondas gravitacionales en ningun sistema dereferencia.

2. Gravitacion /91

2.11.3. Ondas electromagneticas planas

Antes de realizar un estudio detallado de las ondas gravitacionales, convieneestudiar las ondas electromagneticas planas. De acuerdo con la seccion 2.10.1, en elgauge de Lorentz (∂µAµ = 0) la ecuacion de ondas para potenciales en el exteriorde fuentes o en ausencia de cargas y corrientes se escribe: !2Aν = 0. Este es uncampo de radiacion. Reemplazando la solucion de onda plana Aν = aνeikσx

σ

en(2.69) y (2.71) con Jν = 0 se obtiene, respectivamente:

kνaν = 0 y kνk

ν = 0.

En principio hay 4 componentes aν . La condicion kνaν = 0 hace que solo tressean independientes. Pero puede probarse que despues de una transformacion gaugerestringida quedan solo dos independientes. En efecto, sea la recalibracion A′

ν =Aν + ∂νη, con η = η0eikσx

σ

, que satisface !2η = 0. Resulta entonces:

A′ν = (aν + ikνη0)e

ikσxσ

= a′νeikσx

σ

. (2.81)

En particular, considerese una onda plana que viaja en direccion z. Esto eskµ = (k0, 0, 0, k) o kµ = (k0, 0, 0,−k). Como kµkµ = 0 se sigue k0 = k0 = k. Deotro lado, de kνaν = 0 y kνa′ν = 0 se sigue: a0 = −a3 y a′0 = −a′3. Y puesto quea′ν = aν + ikνη0, es cierto que:

a′0 = a0 + ikη0, a′3 = a3 − ikη0,

a′1 = a1 y a′2 = a2,

como η0 es arbitrario puede escogerse η0 = a3/ik, con lo cual: a′3 = a′0 = 0, a′1 = a1y a′2 = a2. Esto muestra que a1 y a2 no son modificados por la transformacion gaugerestringida y solo ellos portan significado fısico; corresponden a la amplitud de unaonda transversa. La onda longitudinal asociada a a3 no tiene sentido fısico, pues eseliminable por recalibracion, la que permite escoger a′3 = 0.

Entonces, de (2.81):

A′ν = (aν + ikνη0)e

ikσxσ

= (aν + kν a3/k) eikσx

σ

; en componentes:

A′0 = (a0 + a3)e

ikσxσ

= 0,

A′1 = a1e

ikσxσ

,

A′2 = a2e

ikσxσ

,

A′3 = (a3 − a3)e

ikσxσ

= 0.

La componente A′1 se convierte en A′

2 por rotacion de 90◦ alrededor del eje z.Una rotacion por un angulo θ alrededor de la direccion de propagacion transforma


los ejes en la forma: x′ = x cos θ + y sen θ y y′ = −x sen θ + y cos θ. Si se define elvector de polarizacion circular e± en la forma: e± = e1 ∓ e2, donde e1 y e2 van alo largo de los ejes x y y, bajo rotacion se convierte en:

e′± = e±iθe±, (2.82)

mientras e3 se mantiene inalterado bajo la rotacion: e′3 = e3.En forma general, si una funcion de onda ψ se transforma bajo rotacion por un

angulo θ −alrededor de la direccion de propagacion− en la forma:

ψ′ = eihθψ,

se dice que la onda tiene helicidad h. Ası, las ondas electromagneticas pueden des-componerse en partes con helicidades ±1 y 0. Solo las de helicidad ±1 son signifi-cativas fısicamente, las de helicidad cero son eliminables por recalibracion.

2.11.3.1. Onda potencial ficticia

Como consecuencia de lo anterior se sigue que la onda de potencial Aν = aνeikσxσ

con aν = (a0, 0, 0, a3) y kν = (k0, 0, 0, k3) es anulable por transformacion gauge. Valedecir que asociada a esta onda no hay un campo electromagnetico. En efecto, de(2.81) con η0 = −a0/ik0 se sigue A′ν = 0.

2.11.4. Ondas gravitacionales planas

La ecuacion de ondas libres de espacio-tiempo, en la aproximacion de campodebil, es !2γµν = 0 y la condicion coordenada se escribe 2γµν,µ−γµµ,ν = 0. Para una

onda gravitacional plana γµν = aµνeikσxσ

, con aµν = aνµ. Se sigue, reemplazandoen las dos anteriores:

kµkµ = 0 y 2kµa

µν − kνa

µµ = 0. (2.83)

Hay en principio 10 componentes de aµν ; la condicion coordenada provee 4condiciones entre ellas, de modo que quedan 6 independientes que se reducen a 2por transformacion gauge.

Sea entonces la transformacion de coordenadas x′µ = xµ + ϵµ(x); la metrica esentonces, de acuerdo con (2.73) y haciendo ϵ = 1: γ′µν = γµν − ϵµ,ν − ϵν,µ. Si seescoge ϵµ = aµeikσx

σ

, que satisface !2ϵµ = 0 se obtiene:

ϵγ′µν = (aµν − iaµkν − iaνkµ)eikσxσ

= a′µνeikσxσ

,

que satisface !2γ′µν = 0. Se sigue:

a′µν = aµν − i(aµkν + aνkµ), (2.84)

2. Gravitacion /93

o tambien:a′µν = aµν − i(aµkν + kµaν); (2.85)

reemplazando aµν de (2.85) en la condicion coordenada (2.83) se obtiene:

2kµ(a′µν + iaµkν + ikµaν)− kν(a

′µµ + 2iaµkµ) = 0, que da lugar a:

2kµa′µν − kνa

′µµ = 0, (2.86)

expresion que tiene la forma (2.83), con primas.Para una onda que viaja en direccion z es cierto que kµ = (k0, 0, 0, k) y k0 = k0 =

k, de modo que reemplazando en (2.83) escrita como 2kµηµσaσν − kνηµσaσµ = 0 sesigue, para ν =0,1,2,3, respectivamente y con aµµ = a00 − a11 − a22 − a33:

2a00 + 2a30 = ηµσaµσ −2a30 − 2a33 = ηµσaµσa10 = −a31 a20 = −a32

.

restando las dos primeras se obtiene 2a03 = −a33 − a00, y reemplazando en laprimera se concluye que a22 = −a11.

Ası, los cuatro coeficientes ai0 y a22 se expresan en funcion de los demas, quedan-do hasta ahora 6 independientes. Una recalibracion especıfica basada en la escogen-cia de algunos valores de aν reduce este numero a dos. Basta escribir explıcitamente(2.84), despues de bajar los subındices:

a′11 = a11 a′00 = a00 − 2ia0k0a′12 = a12 a′13 = a13 + ia1k0a′23 = a23 + ia2k0 a′33 = a33 + 2ia3k0a′22 = −a11 a′10 = 0a′20 = 0 a′30 = 0

Es facil verificar que los 4 coeficientes a′00, a′13, a

′23 y a′33 se anulan si se escogen

a0 = a00/2ik0 y ai = −ai3/ik0. En sıntesis, despues de la transformacion sondiferentes de cero solo a′11, a

′12(= a′21) y a′22(= −a11 = a′11), que son entonces

los unicos que tienen significado fısico, pues son invariantes bajo la transformaciongauge. Hay solo dos coeficientes diferentes: a′11 y a′12. Entonces, los elementos de lametrica g′µν = ηµν + γ′µν(z, t) de una onda plana de espacio-tiempo son:

{g′µν(z, t)} =

⎛

⎜⎜⎝

0 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

⎞

⎟⎟⎠+

⎛

⎜⎜⎝

1 0 0 00 a′11 a′12 00 a′12 −a′11 00 0 0 0

⎞

⎟⎟⎠ eik(ct−z)

Observese que las componentes de la metrica que tienen ındices temporales,(g00, g0i), no ondulan. La parte espacial de la anterior ecuacion puede escribirsecomo la dıada:

G = −I+ [γ11e1e1 + γ12e1e2 + γ21e2e1 + γ22e2e2]eik(ct−z),


y como γ22 = −γ11 y γ21 = γ12 :

G = −I+ [γ11(e1e1 − e2e2) + γ12(e1e2 + e2e1)]eik(ct−z).

Si se definen γ+= γ11 − iγ12 y γ

−= γ11 + iγ12, se sigue:

G = −I+ [γ+e

+e

++ γ

−e

−e

−]eik(ct−z),

donde e±

= e1 ± ie2. Utilizando (2.82) es facil ver que e±e

±se transforma de

acuerdo a la regla:e′

±e′

±= e

±e

±e∓2iθ,

lo que implica que una onda gravitacional tiene helicidad ±2. Las demas componen-tes, que tienen helicidades ±1 y 0, se han eliminado por transformacion coordenada.Se dice entonces que las ondas de gravedad tienen spin 2.

2.11.4.1. Elemento de lınea ondulante

El elemento diferencial de lınea en un campo metrico debil tiene la forma:

ds2 = gµνdxµdxν = (ηµν + ϵγµν)dx

µdxν .

Si el campo metrico ondula y la onda viaja en direccion z, entonces, en acuerdo conla subseccion anterior:

ds2 = c2dt2 − dx2(1− ϵγ11)− dy2(1 + ϵγ11)− dz2 + 2ϵγ12dx dy.

En este elemento de lınea se observa que los coeficientes γij ondulan pero no loselementos diferenciales de coordenadas. Vale decir, que la red coordenada es estaticay que el cambio en ds se debe al cambio con el tiempo de los coeficientes gµν .

Dos casos importantes pueden ser analizados aquı:

• Si γ12 = 0 entonces: ds2 = c2dt2 − dx2(1− ϵγ11)− dy2(1 + ϵγ11)− dz2.

• Si γ11 = 0 entonces: ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 + 2ϵγ12dx dy.

Si se impone sobre el segundo ds la transformacion: x = x′ cos θ − y′ sen θ,y = x′ sen θ + y′ cos θ, se puede probar con facilidad que, si θ = 45◦, entonces:

ds2 = c2dt2 − dx2(1− ϵγ12)− dy2(1 + ϵγ12)− dz2.

que tiene la forma del primer ds. Ambos ds coinciden si las amplitudes γ11 y γ12son iguales. Esto significa que una onda gravitacional tiene simetrıa de 45◦ bajorotacion respecto a la direccion de propagacion z (veanse las figuras 2.6 y 2.7).

2. Gravitacion /95

• • • • • • • • • •

• • • • •

• • • • •

•

•

•

••

••

•

• • •

• • •• • • • • •

• • •

+

×

a

b

Figura 2.6: Ciclo completo de deformaciones experimentadas por un anillo departıculas en reposo cuando es alcanzado perpendicularmente por una onda gra-vitacional plana, para a. polarizacion +, b, polarizacion ×

a b

Figura 2.7: Campo de mareas para una onda gravitacional en el modo + con a.ωt = 0, b. ωt = π/2. El modo × se obtiene girando las anteriores graficas 45o

2.11.4.2. Movimiento de una partıcula de prueba

Supongase ahora que una partıcula de prueba se coloca en el campo de una ondametrica que viaja en z. Teniendo en cuenta que solo γ11(= γ22) y γ12 son diferentesde cero, es directo evaluar la geodesica. De (2.13):

xµ +{ µ

νσ

}xν xσ = 0. (2.87)

y en el lımite de bajas velocidades se sigue, para µ = 0 y µ = i, respectivamente:

x0 + 2{ 0

νσ

}xν xσ = 0 y

xi + 2{ i

νσ

}xν xσ = 0;

con γ0µ,σ = γσµ,0 = 0, se sigue:{ i

0σ

}= 1

2γi,

σ 0. Los demas sımbolos de Christoffel


son cero. Ası pues x0 = 0, de donde x0 = 1, y:

xi + γ iσ ,0x

σ = xi + γ ij ,0x

j = 0,

y como xj = dxj/ds ≃ dxj/c dt = vj/c y xj ≃ aj/c2 se sigue entonces quela aceleracion aj de la partıcula de prueba es: aj = −cγ i

j ,0vj = c ηikγjk,0 vj . Encomponentes:

a3 = 0

a1 =

(∂γ11∂t

v1 +∂γ12∂t

v2)

=

(∂γ11∂t

e1 +∂γ12∂t

e2

)· v

a2 =

(∂γ12∂t

v1 −∂γ11∂t

v2)

=

(∂γ12∂t

e1 −∂γ11∂t

e2

)· v.

En forma vectorial:

a = e1a1 + e2a2 =

[∂γ11∂t

(e1e1 − e2e2) +∂γ12∂t

(e1e2 + e2e1)

]· v

=

[∂γ11∂t

E1 +∂γ12∂t

E2

]· v.

E1 y E2 son dıadas de polarizacion lineal; satisfacen E1 : E2 = 0. Hay dos estadosde polarizacion lineal independientes. De otro lado, E

+= e

+e

+y E

−= e

−e

−son

dıadas de polarizacion circular. Es cierto que E+= E1+iE2 y E

−= E1−iE2 = E∗

+.

2.11.4.3. Ondas gravitacionales genuinas y ficticias

Para la onda gravitacional plana de la seccion 2.11.4 es interesante estudiar laposibilidad de la existencia de una transformacion x′µ = xµ + ϵµ(x) que conviertala metrica en la de Minkowski. Lo que se pretende con este ensayo es saber sies posible anular un campo gravitacional debil ondulante con una transformacioncoordenada debil; dicho de otro modo, se quiere que una fuerza “ficticia” anule unagravitacional, lo que, en principio y al menos localmente, es factible de acuerdo conel principio de equivalencia.

Si en (2.76) el coeficiente metrico g′µν en el nuevo sistema es minkowskiano(g′µν = ηµν), mientras la metrica en el sistema original es ondulatoria (gµν =ηµν − aµνeikσx

σ

), se obtiene:

aµνeikσxσ

= ϵµ,ν + ϵν,µ,

lo que indica que ϵµ ondula, esto es, ϵµ = aµeikσxσ

. Ası pues, la condicion que debesatisfacerse para que una onda gravitacional plana sea convertible en metrica deMinkowski es:

aµν = i(aµkν + aνkµ), (2.88)

2. Gravitacion /97

que equivale a (2.84) con a′µν = 0. Las ondas gravitacionales anulables por trans-formaciones coordenadas son ficticias, las no anulables son genuinas.

Ejemplos:a. La onda analizada en la seccion 2.11.4 con componentes no nulas a11 =−a22, a12 = a21 y que viaja en direccion z, no satisface la condicion (2.88), demodo que es una onda gravitacional genuina, no eliminable por transformacion.Esto puede verse mas claro si se calcula el tensor de Riemann para la onda enel lımite de campo debil. Resulta que:

Rµνσρ = −

1

2[a µ

σ kνkρ − aνσkµkρ − a µ

ρ kνkσ + aνρkµkσ ]e

ikσxσ,

de donde, en particular:

R0120 =

1

2a12k

0k0eikσxσ

y R3120 =

1

2a12k

3k0eikσxσ

.

Puesto que Rµνσρ es un tensor, y por lo menos algunas de sus componentes

son diferentes de cero, no existe un sistema coordenado en 4D donde todassus componentes se anulen. En consecuencia el campo metrico de esta onda escurvo y ondula. Es una onda gravitacional genuina.b. Para una onda que viaja a lo largo del eje z es cierto que kµ = (k, 0, 0, k).Si aµ = (a, 0, 0, a), entonces, reemplazando en (2.88) se obtiene:

{aµν} =

⎛

⎜

⎜

⎝

a00 0 0 a03

0 0 0 00 0 0 0a30 0 0 a00

⎞

⎟

⎟

⎠

.

Puesto que se satisface (2.88) es posible una transformacion que aplane lametrica. Esta transformacion es: x′µ = xµ + aµeikσxσ

. Como se ve, la on-dulacion de la metrica ha sido cancelada pasando a coordenadas ondulantes.Facilmente se comprueba que en el nuevo sistema Rµ

νσρ = 0. La onda que hasido analizada es ficticia, eliminable por tanto, como los campos ficticios, poruna transformacion coordenada en 4D. Esta onda es el analogo gravitacionalde la onda electromagnetica ficticia estudiada en la subseccion 2.11.3.1.

2.12. Calculos basados en el elemento de lınea

En las siguientes subsecciones diversos calculos son realizados utilizando solo elelemento de lınea sin el auxilio de la ecuacion de Einstein para el campo metrico.

2.12.1. El elemento de lınea

El elemento de lınea en el espacio-tiempo puede expandirse en sus componentesespaciales, temporal y espacio-temporales; un simple reagrupamiento permite aislar


la coordenada temporal y definir el elemento de lınea espacial. Ası:

ds2 = g00(dx0) + 2gi0dx

idx0 + gij dxidxj

= g00

[(dx0)2 +

2gi0g00

dxidx0

]+ gij dx

idxj

= g00

[dx0 +

gi0g00

dxi

]2+

(gij −

gi0gj0g00

)dxidxj .

Si se define un nuevo diferencial temporal dx∗0, nuevos coeficientes metricosespaciales g∗ij y el elemento de lınea espacial dl en la forma:

dx∗0 = dx0 +gi0g00

dxi,

g∗ij = gij −gi0gj0g00

, (2.89)

dl2 = −g∗ij dxidxj ,

el elemento de lınea puede escribirse:

ds2 = g00(dx∗0)2 + g∗ijdx

idxj = g00(dx∗0)2 − dl2. (2.90)

La velocidad 3D se define en la forma:

vi =c√g00

dxi

dx∗0o vi = gijv

j =cgij√g00

dxi

dx∗0. (2.91)

Ha de notarse con cuidado que la definicion de velocidad tridimensional contienedx∗0 y no la coordenada temporal original dx0, y tambien a g00; esto hace que ladefinicion no sea covariante, aunque se reduce a la definicion usual de la cinematicanewtoniana para campos debiles. El elemento ds2 en (2.90) se escribe ahora:

ds2 = g00(dx∗0)2

[1 +

g∗ijg00

dxi

dx∗0

dxj

dx∗0

]= g00(dx

∗0)2[1 + g∗ij

vivj

c2

].

Se tendra en cuenta a continuacion que 1+(g∗ijvi)vj/c2 = 1+vjvj/c2 = 1−v2/c2,

donde el signo “menos” anticipa el hecho de que el corchete debe reducirse a 1−v2/c2en el lımite de bajas velocidades, pues g∗ij se reduce a −δij ; entonces:

ds2 = g00(dx∗0)2

[1−

v2

c2

]=

g00γ2

(dx∗0)2. (2.92)

En lo anterior, se ha definido γ = (1 − v2/c2)−1/2. De (2.92) se concluye que,para la luz, ds = 0 equivale a v = c. Este ultimo resultado depende crucialmente dela definicion (2.91).

2. Gravitacion /99

2.12.2. Clasificacion de los 4-vectores

En perfecta analogıa con la descomposicion del elemento de lınea realizada enla seccion anterior es cierto que:

A2 = gµνAµAν = g00(A

∗0)2 + g∗ijAiAj , donde:

A∗0 = A0 +gi0g00

Ai y g∗ij = gij −gi0gj0g00

.

Un 4-vector se llama luminoide si A2 = 0, caso en el cual sus partes espacial ytemporal son iguales: g00(A∗0)2 = −g∗ijAiAj

Se llama espacialoide si A2 < 0. En este caso g00(A∗0)2 < g∗ijAiAj y puede

encontrarse un sistema de coordenadas en 4D donde A∗0 = 0, reduciendose ası el4-vector a su parte espacial.

Y se llama temporaloide si g00(A∗0)2 > g∗ijAiAj ; existe un sistema de coorde-

nadas en 4D en el que el 4-vector se reduce a su parte temporal, es decir, dondedxi = 0.

2.12.3. La 4-velocidad

La velocidad de un punto en el espacio-tiempo curvo se define como:

uν = xν =dxν

ds=

γ√g00

dxν

dx∗0,

donde se ha tenido en cuenta la forma de ds dada por (2.92); tambien: uν = gνµuµ.Las componentes espaciales y temporal de la 4-velocidad son:

ui = xi =γ√g00

dxi

dx∗0=

vi

cγ, (2.93)

u0 = x0 =γ√g00

dx0

dx∗0=

(dx∗0 −

gi0g00

dxi

)γ√g00

1

dx∗0

= γ

(1√g00−

vi

c

gi0g00

). (2.94)

Ası pues, en componentes, la 4-velocidad se escribe:

uν = γ

[1√g00−

vi

c

gi0g00

,v

c

].

Partiendo de uν = gνµuµ es directo concluir que:

uν = γ

[√g00 ,

gi0√g00

+ g∗ijvj

c

].


Facilmente se comprueba que uνuν = 1.

2.12.4. Teorema 1:

Para los coeficientes g∗ij y gjk (vease ecuacion (2.89)) es cierto que: g∗ijgjk = δki .

En efecto, de gµνgνσ = δσµ se sigue, con µ,σ = i, k y µ,σ = 0, k, respectivamente:

giνgνk = gi0g

0k + gijgjk = δki ,

g0νgνk = g00g

0k + g0jgjk = 0.

De la segunda ecuacion: g0k = −g0jgjk/g00, y reemplazando en la primera sesigue, haciendo uso de (2.89):

gjk[gij −

gi0gj0g00

]= gjkg∗ij = δki .

2.12.5. Teorema 2:

Mediante la redefinicion de la coordenada temporal propuesta en (2.89) es siem-pre posible pasar de S a un sistema de referencia S∗ donde g∗i0 = 0.

Se demuestra a continuacion que las siguientes relaciones corresponden a unatransformacion de coordenadas en 4-D:

dx∗0 = dx0 +gi0g00

dxi,

dx∗i = dxi,

g∗00 = g00, (2.95)

g∗ij = gij −gi0gj0g00

,

g∗i0 = 0.

De la regla de transformacion entre los sistemas S y S∗:

dx∗µ =∂x∗µ

∂xνdxν se sigue:

dx∗0 =∂x∗0

∂x0dx0 +

∂x∗0

∂xidxi y

dx∗i =∂x∗i

∂x0dx0 +

∂x∗i

∂xjdxj .

Comparando con las dos primeras ecuaciones (2.95) se obtiene:

∂x∗0

∂x0= 1 ,

∂x∗0

∂xi=

gi0g00

,∂x∗i

∂x0= 0 ,

∂x∗i

∂xj= δij .

2. Gravitacion /101

Si en verdad estos son los coeficientes de la transformacion entonces de ellosdeben obtenerse las tres ultimas ecuaciones de (2.95). Ası pues, de la regla detransformacion para los coeficientes metricos:

gµν =∂x∗σ

∂xµ

∂x∗ρ

∂xνg∗σρ puede concluirse que:

g00 = g∗00,

g0i =gi0g00

g∗00 + g∗0i = g0i + g∗0i , por lo cual: g∗0i = 0,

gij =gi0gj0g00

+ g∗ij , de donde: g∗ij = gij −gi0gj0g00

.

coincidentes con las tres ultimas ecuaciones de (2.95), lo que demuestra que la redefi-nicion propuesta para el diferencial temporal, con dx∗i = dxi, es una transformacioncoordenada en 4D.

2.12.6. Simultaneidad

De acuerdo con la transformacion de Lorentz, para un intervalo temporal medidoen dos sistemas de referencia S y S′ en movimiento relativo uniforme, es cierto que:

∆t′ =1

√1− v2/c2

(∆t−

v∆x

c2

).

Si la simultaneidad de dos eventos se define como separacion temporal nula entreellos, de esta expresion puede concluirse que dos eventos que son simultaneos enS (∆t = 0) no lo son en S′, pues ∆t′ = −(v∆x/c2)/

√1− v2/c2. En relatividad

especial la simultaneidad no es una nocion invariante.En relatividad general −por definicion− de dos eventos que ocurren en puntos di-

ferentes del espacio y en el mismo sistema de referencia, se dice que son simultaneossi dx∗0 = 0, esto es, de la primera ecuacion en (2.89), si

dx0 = −gi0g00

dxi.

Para justificar esta definicion basta observar que en el elemento de lınea (2.90)los dos extremos de una varilla espacial han de ser determinados simultaneamentepara obtener su longitud dl. Ası, el intervalo es puramente espacial (ds2 = −dl2) sidx∗0 = 0.

La distancia infinitesimal entre dos puntos espaciales, determinados simultanea-mente, se define consecuentemente como:

dl2 = −g∗ijdxidxj = −(gij −

gi0gj0g00

)dxidxj .


g∗ij es la metrica del espacio, gµν es la metrica del espacio-tiempo; la metrica g∗ijpermite obtener las caracterısticas de la geometrıa espacial. De ella puede concluirsela euclidianidad o curvatura del espacio fısico tridimensional.

Una aplicacion interesante se refiere al sistema rotante de la seccion 2.4.2. Uti-lizando la metrica (2.24) es posible reescribir el elemento de lınea en la forma:

ds2 =(1− ω2r2/c2

)dt∗2 −

(dr2 + dz2 +

r2dϕ2

1− ω2r2/c2

)=(1− ω2r2/c2

)dt∗2 − dl2,

donde, de la ecuacion (2.95):

dt∗ = dt−ωr2dϕ

c2(1− ω2r2/c2).

Del elemento de lınea se sigue que la longitud de una circunferencia en el sistemarotante es:

C =

∫dlϕ =

∫rdϕ

√1− ω2r2/c2

=2πr

√1− ω2r2/c2

,

y su diametro es D = 2r, de modo que:

C

D=

π√

1− ω2r2/c2> π,

lo que significa que la geometrıa del espacio 3D en un sistema rotante es hiperbolica.En este disco rotante la suma de los angulos de un triangulo es menor de 180◦.

El tensor de Riemann para el espacio 3D es:

R∗ijkl =

{ i

jk

}∗,l−{ i

jl

}∗,k+{ m

jk

}∗{ i

ml

}∗−{ m

jl

}∗{ i

mk

}∗, de donde:

{ i

jk

}∗= g∗im[jk,m]∗ =

1

2g∗im(g∗jm,k + g∗km,j − g∗jk,m).

A partir de R∗ijkl puede evaluarse R∗

jk = R∗ijil y R∗ = g∗jkjk R∗

jk. El numero de

componentes distintas de R∗ijkl es n

2(n2 − 1)/12 = 6, donde n = 3.Aunque un espacio-tiempo sea plano, es posible que la geometrıa del espacio

3D sea curva. Es lo que ocurre con el sistema rotante. En el espacio de Minkowskitodas las componentes del tensor de Riemann Rµ

νσρ son cero, y permanecen cerocuando se realiza una transformacion a un sistema rotante, en el cual, sin embargo,la geometrıa espacial es curva, esto es R∗i

jkl = 0.De la expresion variacional:

δ

∫dl = δ

∫g∗ijdx

idxj = 0,

se obtiene la ecuacion de las geodesicas en un subespacio 3D del espacio-tiempo,constituido por puntos simultaneos:

xi +{ i

jk

}∗xj xk = 0.

2. Gravitacion /103

2.12.7. Tiempo propio

En relatividad general no hay restriccion sobre la escogencia de sistema de coor-denadas, por lo cual conviene preguntarse sobre la relacion entre coordenadas, dis-tancia y tiempo. El elemento de lınea provee la separacion espacio-temporal coorde-nada entre dos eventos separados infinitesimalmente. Si estos eventos, para ciertoobservador, tienen lugar en el mismo punto del espacio (dxi = 0), entonces el inter-valo ds da el tiempo propio. Ası, entre dos puntos cuya separacion espacial es nula,y de acuerdo con (2.90) y la primera de las ecuaciones (2.89), el elemento de lıneatoma la forma:

ds2 = g00(dx∗0)2 = g00(dx

0)2 = c2dτ2,

de modo que el intervalo de tiempo propio dτ es:

dτ =1

c

√g00 dx

0. (2.96)

dx0 puede interpretarse facilmente si se piensa en relojes colocados en lugares lejanosa las masas, donde se espera que la metrica sea cercana a la de Minkowski (g00 = 1).Esto es: dτ = dx0/c, de modo que el tiempo coordenado dx0 es el tiempo propiomedido por observadores lejos de las masas gravitantes.

2.12.8. Efecto Doppler gravitacional

De acuerdo con la teorıa, ds2 es invariante local bajo transformaciones coorde-nadas en el espacio-tiempo. Tambien lo es, en consecuencia, el tiempo propio. Ladependencia de dτ respecto a la posicion se encuentra en el g00 de (2.96). En con-traste, dx0 tiene un significado independiente de la posicion espacial como se vedel papel de variables independientes que juegan las coordenadas xµ al describir elcontinuo espacio-temporal. Ası pues, en puntos diferentes en el mismo sistema coor-denado, ds(1) y ds(2) no son iguales puesto que, para el mismo dx0, el coeficienteg00 depende de la localizacion. Ası como dos arcos de la misma abertura dθ tienendiferente medida si el radio es diferente, ası dτ(1) = dτ(2) para el mismo dx0. Lamedida de arcos de la misma abertura depende de su radio.

Ası pues, de dτ(1) =√

g00(1) dx0 y dτ(2) =√

g00(2) dx0 se sigue:

dτ(1)

dτ(2)=

√g00(1)√g00(2)

. (2.97)

Si dτ es el intervalo entre el “tic” y el “tac” de un reloj, entonces su frecuenciase define como ν = 1/dτ , con lo cual:

ν(2)

ν(1)=

dτ(1)

dτ(2)=

√g00(1)

g00(2), y ası :


ν(2) = ν(1)

√g00(1)

g00(2). (2.98)

Esta frecuencia bien puede corresponder a la de ondas luminosas, caso en el cualse genera el efecto Doppler gravitacional.

Ejemplos:1. Un rayo de luz viaja desde la superficie de una estrella de radio R hasta unobservador terrestre (vease figura 2.8). Sea ν(2) la frecuencia detectada en lasuperficie terrestre y ν(1) la emitida; de (2.18) se sigue:

g00(1) ≃ 1 +2Gc2

= 1−2GM

c2R,

y se asume que g00(2) ≃ 1, pues el campo terrestre es muy debil en comparacioncon el de la estrella; de (2.98) puede escribirse:

ν(2) = ν(1)

√

1−2GM

c2R≃ ν(1)

[

1−GM

c2R

]

.

Ası, ν(2) < ν(1), lo que implica que hay un corrimiento al rojo en la luzdetectada. En el caso de la companera densa de Sirio el valor medido delcambio fraccional en la longitud de onda es ∆λ/λ ≃ 6× 10−6, coincidente conla prevision de la relatividad general.2. Un rayo de luz “cae” en el campo gravitacional terrestre, considerado cons-tante, desde una altura h respecto a la superficie. Con g00(1) ≃ 1 + 2G/c2 =1 + 2gh/c2 y g00(2) = 1, se sigue de (2.98):

ν(2) = ν(1)

√

1 +2gh

c2≃ ν(1)

[

1 +gh

c2

]

;

Mν(1)

ν(2)

Figura 2.8: Un rayo de luz viaja desde la superficie de una estrellahacia un observador lejano. A medida que viaja su longitud de ondaaumenta

2. Gravitacion /105

de acuerdo con este resultado, la frecuencia de la luz aumenta a medida quecae en el campo gravitacional. El cambio fraccional en la frecuencia de la luzrecibida es:

ν(2)− ν(1)

ν(1)=

∆ν

ν=

gh

c2.

El experimento fue realizado en 1960 por Pound y Rebka lanzando un rayode luz desde una altura de 22.6 metros. La prediccion de la teorıa es ∆ν/ν =2,46× 10−15, mientras el valor experimental resulto ser (2,57± 0,26)× 10−15,en excelente acuerdo con la prediccion de la teorıa: 1,04% de aproximacion.En este caso el efecto Doppler gravitacional puede describirse en una formasimple utilizando el siguiente argumento: un foton de energıa hν cae hacia latierra recorriendo una altura H = H1 − H2. La conservacion de la energıa seescribe:

m1gH1 + hν1 = m2gH2 + hν2.

y puesto que la masa equivalente del foton es m = E/c2 = hν/c2, se obtiene:

hν1c2

gH1 + hν1 =hν2c2

gH2 + hν2.

Factorizando las frecuencias y despejando ν2 se obtiene como aproximacion:

ν2 = ν1

(

1 +gH

c2

)

> ν1.

En consecuencia, el foton que cae utiliza su energıa potencial para aumentar sufrecuencia. Si el foton se lanza hacia arriba en el campo, su frecuencia disminuyemientras gana energıa potencial gravitacional.

2.12.9. Constantes de movimiento

Segun la seccion 1.6 el problema variacional para una funcion f(xµ, xµ, s), dondeel elemento de lınea ds provee la variable de integracion tiene la forma:

δ

∫f(xµ(s), xµ(s), s) ds = 0, (2.99)

de donde se obtiene la ecuacion de Euler:

d

ds

(∂f

∂xµ

)−

∂f

∂xµ= 0. (2.100)

De esta ecuacion se deduce la ecuacion (1.48) de la geodesica. Si en (2.100) sereemplaza

f =mc

2gµν x

µxν

donde m, es la masa de una partıcula de prueba, se obtiene la ecuacion:

d

ds(mcgµν x

ν)−mc

2gνσ,µx

ν xσ = 0. (2.101)


Por definicion, el 4-vector momento canonico covariante es:

pµ = mcgµν xν , (2.102)

de modo que (2.101) se escribe:

dpµds

=mc

2gνσ,µx

ν xσ, (2.103)

que es la ecuacion de movimiento para la partıcula m en el campo metrico gνσ.Si alguna de las componentes del tensor metrico no depende de la coordenadaµ, entonces el momento canonico asociado a esa coordenada es una constante delmovimiento.

De (2.102), con µ = i, la componente espacial del 4-momento canonico es:

pi = mcgiν xν = mc(gi0x

0 + gij xj).

Reemplazando (2.93) y (2.94) y reorganizando terminos:

pi = mcγ

[(gij −

gi0gj0g00

)vj

c+

gi0√g00

].

Como se demostro en el teorema 2 de la seccion 2.12.4, es siempre posible pasara un sistema coordenado en el que gi0 se anula, tal que, por transformacion puedesiempre obtenerse pi = mγgijvj de la que se obtiene la conocida expresion de larelatividad especial si gij = −ηij = −δij . Es cierto entonces que pi = −mγvi ypi = mγvi.

De (2.102), con µ = 0, la componente temporal del 4-momento canonico seescribe:

p 0 = mcg0ν xν = mc(g00x

0 + g0ixi) = mcg00x

∗0,

donde se ha utilizado la primera de las ecuaciones (2.89). Reemplazando (2.93) y(2.94) y cancelando un par de terminos se obtiene:

p 0 = mcγ√g00.

En el espacio de Minkowski se reduce a p 0 = mcγ coincidente con la expresionE/c, de modo que:

E = p 0c = mc2γ√g00. (2.104)

Para campo debil, con g00 ≃ 1 + 2G/c2 y expandiendo en binomio:

E ≃ mc2

√1 + 2G/c21− v2/c2

≃ mc21 + G/c2√

1− v2/c2,

2. Gravitacion /107

y para campos debiles y bajas velocidades y expandiendo el otro binomio:

E = mc2(1 + G/c2)(1 + v2/2c2) ≃ mc2 +1

2mv2 +mG,

correspondiente a la energıa total de una partıcula de masa m en un campo de gra-vitacion. La energıa contiene la contribucion de reposo mc2. De (2.103) se concluyeque si la metrica no depende del tiempo la energıa (2.104) es una constante delmovimiento.

Puede demostrarse que:

p2 = gµσpµpσ = gµσ(mcgµν xν)(mcgσρx

ρ)

= m2c2 = g00E2/c2 + 2g0iEpi/c+ gijpipj ,

que en relatividad especial se reduce a:

E2 = p2c2 +m2c4.

Como p2 > 0, puede encontrarse un sistema de referencia donde pi = 0.

2.12.10. Geodesicas y mınima accion

De (2.92) se sigue que en el lımite de campos debiles y bajas velocidades:

ds = dx∗0

√g00γ≃ dx∗0

(1 +

2Gc2

)1/2(1−

v2

c2

)1/2

≃ dx∗0

(1 +

Gc2

)(1−

v2

2c2

)

≃ dx∗0

(1−

v2

2c2+

Gc2

)=

dx∗0

mc2

[mc2 −

(1

2mv2 −mG

)]

=dx∗0

mc2[mc2 − (Ec − Ep)] =

dx∗0

mc2[mc2 − L].

donde L es el lagrangiano clasico. Puesto que siempre es posible lograr que gi0 = 0por una transformacion coordenada, se sigue que dx∗0 ≃ dx0 = c dt, por lo que:

δ

∫ds = 0 es equivalente a δ

∫Ldt = 0.

De este modo, el principio variacional que da lugar a las geodesicas en relatividadgeneral es equivalente al principio de mınima accion en la mecanica newtoniana queda lugar a la ecuacion de movimiento en un campo de gravitacion.


2.13. Solucion de Schwarzschild

En las siguientes secciones se explora la solucion de Schwarzschild a las ecuacio-nes de Einstein y sus aplicaciones mas simples como el movimiento planetario consu nuevo efecto de precesion del perihelio, y la deflexion gravitacional de la luz.

Karl Schwarzschild (1837-1916) presento su solucion en una carta a Einstein del22 de diciembre de 1915, escrita mientras servıa en el ejercito aleman −asignadoal frente ruso− durante la primera guerra mundial. Murio al ano siguiente el 11 demayo.

Sobre su solucion escribio Einstein a Schrodinger: “No espere que se pudieraformular la solucion exacta del problema en forma tan simple”.

2.13.1. El elemento de lınea

En vista de la no linealidad de las ecuaciones de Einstein, encontrar sus solu-ciones no es un trabajo simple. Aun hoy −casi 100 anos despues− el estudio de lassoluciones es un tema abierto.

El primer y mas simple problema de la teorıa newtoniana de la gravitacion esel calculo del campo gravitacional de una masa puntual. En la teorıa de Einsteinel problema equivalente es el del calculo del campo metrico alrededor de una masapuntual. En esta seccion se estudia la metrica asociada a una masa puntual o alexterior de un cuerpo de simetrıa esferica en reposo en el origen coordenado. Dadala simetrıa, conviene escoger coordenadas espaciales esfericas. Ası: xµ = (ct, r, θ,ϕ).Las siguientes restricciones sobre la metrica son consecuencia de las simetrıas espa-cial y temporal:

• Hay invarianza bajo inversion temporal, es decir, bajo la operacion dt→ −dt.Como consecuencia, en ds2 solo puede aparecer dt2, y no dt dr, dt dθ o dt dϕ.Por tanto gi0 = 0. Que la metrica sea estatica significa en general gi0 = 0.En una metrica estacionaria, la correspondiente por ejemplo a un sistemarotante, no hay invarianza bajo dt→ −dt, ni bajo dϕ→ −dϕ.

• Como la situacion es estatica, g00 y gij son independientes del tiempo.

• Por la simetrıa esferica hay invarianza bajo θ → π − θ (y por tanto bajodθ → −dθ), por lo que no aparecen dr dθ y dθ dϕ. Ası: g12 = g23 = 0 y lametrica no depende de θ.

• Por la simetrıa esferica hay invarianza bajo ϕ→ −ϕ (y por tanto bajo dϕ→−dϕ), lo que hace que desaparezcan dr dϕ y dθ dϕ. Por tanto g13 = g23 = 0 yla metrica no depende de ϕ.

2. Gravitacion /109

El elemento de lınea se escribe, entonces:

ds2 = g00(r)(dx0)2 + g11dr

2 + g22dθ2 + g33 dϕ

2,

o, adoptando el mejor parecido con las coordenadas esfericas:

ds2 = g00(r)(dx0)2 − [B(r)dr2 + C(r)r2dθ2 +D(r)r2 sen 2θ dϕ2].

Un elemento diferencial de arco meridiano es ds2 = −C(r)r2dθ2 y sobre elecuador (θ = π/2) un arco diferencial es ds2 = −D(r)r2dϕ2. Puesto que el ecuadores intercambiable con un arco meridiano, es cierto que para arcos de igual tamanoangular, dθ = dϕ, se sigue C = D. Por tanto:

ds2 = g00(dx0)2 −B(r)dr2 − C(r)r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2).

Conviene ahora redefinir la derivada radial de modo que Cr2 = r2, de donde sesigue:

dr = dr

(r

2√C

dC

dr+√C

).

Si se define:

B =B

C

(r

2C

dC

dr+ 1

)−2

y g00 = A(r)

el elemento de lınea toma la forma:

ds2 = A(r)c2 dt2 − B(r)dr2 + r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2)

Como A y B son positivos puede escribirse:

A(r) = eν(r) y B(r) = eλ(r)

con lo cual, prescindiendo del sımbolo ˇ sobre r, puede escribirse:

ds2 = c2eν(r) dt2 − eλ(r)dr2 + r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2). (2.105)

La anterior es la forma mas simple que adopta el elemento de lınea estatico y consimetrıa esferica. Como se ha visto, el espacio-tiempo en ausencia de materia tienela metrica de Minkowski gµν = ηµν . La presencia de la masa puntual distorsiona elespacio-tiempo en los alrededores de la masa y la distorsion es cada vez mas tenue amayores distancias, de modo que a distancias muy grandes la metrica es del tipo deMinkowski. La imposicion de esta condicion acentua obviamente la distancia entreEinstein y Mach, puesto que la condicion que se impone a continuacion asegura queel espacio-tiempo minkowskiano preexiste a la materia. Ası, para r →∞:

lımr→∞

A −→ 1 y lımr→∞

B −→ 1 por lo cual:

lımr→∞

ν(r) −→ 0 y lımr→∞

λ(r) −→ 0. (2.106)


2.13.2. Los sımbolos de Christoffel

Aunque los sımbolos de Christoffel pueden evaluarse a partir de los coeficientesmetricos presentes en (2.105), una forma mas directa es identificarlos comparando laecuacion de Euler con la ecuacion de la geodesica. Es decir, el problema variacionalpara la geodesica tiene la forma:

δ

∫ds = δ

∫ (ds

ds

)2

ds = δ

∫f ds

= δ

∫[eν(r) (x0)2 − eλ(r)r2 + r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2)] ds,

donde f = (ds/ds)2 viene de (2.105) y satisface la ecuacion de Euler (2.100), de laque se sigue:

• Con µ = 0: x0 + ν′rx0 = 0 , donde ν′ ≡ dν/dr.Comparando con la componente µ = 0 de la ecuacion de la geodesica (1.48):

x0 +{ 0

νσ

}xν xσ = 0 se sigue:

{ 0

10

}={ 0

01

}=ν′

2.

• Con µ = 1 en (2.100):

r +λ′r2

2+

eν−λ

2ν′(x0)2 − re−λ(θ2 + sen 2θ ϕ2) = 0 , con λ′ ≡ dλ/dr,

comparando con la componente µ = 0 de (2.88) se sigue:

{ 1

11

}=λ′

2,{ 1

00

}=

eν−λ

2ν′ ,

{ 1

22

}= −re−λ ,

{ 1

33

}= −r sen 2θ e−λ.

• Con µ = 2: θ2 + 2rθ/r − sen θ cos θ ϕ2 = 0,de donde, comparando con la geodesica para µ = 2 se concluye:

{ 2

12

}=

1

r,{ 2

33

}= − sen θ cos θ.

• Con µ = 3: ϕ+ 2rϕ/r + 2 cot θ θ ϕ = 0 , de donde:

{ 3

13

}=

1

r,{ 3

23

}= cot θ.

2.13.3. Componentes del tensor de Ricci-Einstein

Ahora bien, los elementos del tensor de Ricci-Einstein, calculados a partir de(1.102) para el entorno de una masa puntual son Rµν = 0. Ası,

2. Gravitacion /111

• de R00 = 0 se sigue: ν′′ + ν′2

2 −λ′ν′

2 + 2ν′

r = 0,

• de R11 = 0 se sigue: ν′′ + ν′2

2 −λ′ν′

2 −2λ′

r = 0.

Las dos anteriores son ecuaciones diferenciales acopladadas para ν y λ. Restan-dolas se obtiene ν′ + λ′ = 0, de donde ν + λ = cte. Puesto que para r → ∞, losvalores de ν y λ tienden a cero segun (2.106) se sigue que ν = −λ. Substituyendoen la ecuacion para R00 se obtiene:

λ′′ − λ′2 +2λ′

r, equivalente a

d2

dr2(re−λ) = 0 , de donde:

d

dr(re−λ) = E = cte; (2.107)

• de R22 = 0 se sigue:

− csc2 θ + (re−λ),1 − 2e−λ + cot2 θ +

(ν′

2+λ′

2+

2

r

)re−λ = 0,

que da lugar a:

−1 + (re−λ),1 +1

2(ν′ + λ′)re−λ = −1 + (re−λ),1 = 0 , por lo cual:

d

dr(re−λ) = 1 = E , en acuerdo con (2.107).

Entonces: re−λ = r − α, donde α es una constante de integracion. Ası pues:

e−λ = eν = 1−α

r; (2.108)

• de R33 = 0 se sigue:

sen 2θ[(re−λ),1 − 1] +1

2(ν′ + λ′)r sen 2θ e−λ = 0,

que se satisface identicamente si se toman en cuenta (2.107) y (2.108). Es directocomprobar que Rµν = 0 para µ = ν. De este modo quedan conocidos los elementosdel tensor de Ricci-Einstein.

2.13.4. La metrica de Schwarzschild

En consecuencia, el elemento de lınea de Schwarzschild es:

ds2 =(1−

α

r

)c2dt2 −

(1−

α

r

)−1dr2 − r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2). (2.109)


La constante α puede evaluarse teniendo en cuenta que g00 = eν = 1 − α/r yque en la aproximacion de campo debil g00 = 1+ 2G/c2 = 1− 2GM/c2r, donde Mes la masa de la partıcula puntual. Se obtiene entonces

α =2GM

c2. (2.110)

Utilizando este valor, la metrica de Schwarzschild, para el espacio-tiempo cur-vado por una masa puntual M toma la forma:

ds2 =

(1−

2GM

c2r

)c2dt2 −

(1−

2GM

c2r

)−1

dr2 − r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2) (2.111)

Es claro que el elemento de lınea se reduce al de Minkowski si r →∞; tambiensi M = 0, que es la unica masa del problema. El coeficiente α se conoce como radiode Schwarzschild, en el que la metrica parece tener una singularidad. Para el Solα =2,96 km, radio que queda muy en el interior de su superficie, donde esta solucionno es valida.

Si se piensa en el efecto metrico del Sol (M =1,9×1030kg) a la distancia a la quese encuentra la Tierra (r=1,5×1011m) se obtiene α/r = 2× 10−8, lo que indica queel espacio alrededor del Sol es bastante plano, de modo que las coordenadas r, θ,ϕusadas aquı, no se distinguen apreciablemente de sus valores euclidianos. Tambienel tiempo es bastante uniforme. Esto significa que las variaciones de gµν respecto asus valores euclidianos son pequenas desde el punto de vista metrico, a pesar de locual son importantes desde el punto de vista gravitacional.

El factor 2 × 10−8, a pesar de su pequenez, es responsable del movimiento delos planetas, de la deflexion de la luz y del efecto Doppler gravitacional.

Es interesante evaluar el lımite newtoniano de los sımbolos de Christoffel. De(2.19) se sabe que los sımbolos

{ i

00

}estan asociados a las componentes gi del campo

de gravitacion newtoniano; ası pues:

g1 = −c2{ 1

00

}= −

c2

2eν−λν′ = −

αc2

2r2

(1−

α

r

)= −

GM

r2

(1−

2GM

c2r

),

g2 = −c2{ 2

00

}= 0 , g3 = −c2

{ 3

00

}= 0.

En consecuencia, el campo de gravitacion newtoniano g toma la forma:

g = −GM

r2

(1−

2GM

c2r

)r = −

GM

r2r+

2

r3

(GM

c2

)2

r.

Esto significa que en la aproximacion de campo debil es suficiente anadir alcampo newtoniano del tipo 1/r2 un nuevo campo repulsivo proporcional a 1/r3.Este ultimo es suficiente para describir la llamada precesion anomala del periheliode Mercurio, como se demuestra en el problema 14 del capıtulo 3 del libro deGoldstein referenciado en la bibliografıa.

2. Gravitacion /113

Problema: Demuestre que en presencia del termino cosmologico el elementode lınea toma la forma:

ds2 =

(

1−2GM

c2r−

Λr2

3

)

c2dt2−(

1−2GM

c2r−

Λr2

3

)−1

dr2−r2(dθ2+sen 2θ dϕ2).

Notese que en este caso la metrica no se reduce asintoticamente en el infinitoa la metrica de Minkowski.

2.13.5. Teorema de Birkhoff

El enunciado de este teorema es como sigue: “Un campo gravitacional de simetrıacentral en el vacıo debe ser independiente del tiempo.”

La distribucion de masa puede ser estatica como una masa puntual o como elexterior de una masa esferica cuya densidad sea funcion solo radial. Pero puedehaber movimiento radial, como contraccion, expansion u oscilacion. En cualquierade estos casos el campo es central y estatico.

En consecuencia, una masa esfericamente pulsante puede producir campo gra-vitacional pulsante en su interior, pero no sale radiacion hacia el espacio vacıo.

Este resultado esta ligado a la naturaleza de la interaccion gravitacional. Comose vera mas tarde, las ondas gravitacionales son transversas, por lo que una ondagravitacional generada por una masa esferica oscilante radialmente −lo que mantie-ne la simetrıa esferica− romperıa la simetrıa; en consecuencia un cuerpo pulsantede simetrıa esferica no puede emitir radiacion gravitacional.

El teorema de Birkhoff aplicado al caso de un cascaron esferico hueco asegura quela constante α en (2.110) tiene un valor cero, pues de otro modo habrıa en r = 0 unasingularidad. En consecuencia, el espacio-tiempo en el interior del cascaron de masaM es minkowskiano, mientras en el exterior esta regido por (2.111). Este resultado,conocido en la gravitacion newtoniana, asegura que en el interior del cascaron elpotencial gravitacional es constante, es decir, el campo gravitacional es nulo.

El teorema de Birkhoff es local, es decir, no depende de condiciones en r →∞,de modo que la metrica en el interior del cascaron es ηµν aun si el radio del cascaronse extiende hasta convertirse en el universo entero.

2.13.6. Componentes del tensor de Riemann-Christoffel

El siguiente resultado puede obtenerse3 sin dificultad:

R0101 = −2R3

131 = −2R2121 = α (1− α/r)−3 ,

R0202 = −

1

2R3

232 = α/2r,

R0303 = R1

313 = −1

2R2

323 = α/2r sen 2θ,

R1010 = −2R2

020 = −2R3030 = (α/r3) (1− α/r) .

El que existan componentes no nulas del tensor de Riemann indica que se tratade un espacio-tiempo intrınsecamente curvo. Puesto que es un tensor, no hay sistema


coordenado en el que el espacio-tiempo sea plano. De otro lado, de la forma (2.109)del elemento de lınea y de la forma de las componentes del tensor de Riemann sesigue que hay singularidades, es decir infinitos, en r = α y r = 0. Sin embargoes necesario preguntar si en verdad son singularidades fısicas o si solo tienen quever con la escogencia especıfica del sistema coordenado. Para dilucidar este puntoconviene estudiar las componentes fısicas del tensor de Riemann.

2.13.7. Componentes fısicas del tensor de Riemann-Christoffel

Las que se han estudiado hasta ahora son componentes con ındices covariantesy contravariantes, vale decir, componentes tensoriales. Las componentes fısicas seevaluan teniendo en cuenta lo propuesto en el numeral d de la seccion 1.9, de acuerdoa lo cual, y suspendiendo la convencion suma sobre ındices repetidos, el tensor deRiemann-Christoffel en la base original puede escribirse:

R =∑

µνσρ

aµaνaσaρRµνσρ =

∑

µνσρ

eµeν eσeρ√gµµgννgσσgρρ Rµνσρ

=∑

µνσρ

eµeν eσeρRµνσρ, (2.112)

donde Rµνσρ =√gµµgννgσσgρρ Rµνσρ son las componentes fısicas en la base origi-

nal. Ası pues, teniendo en cuenta que Rµνσρ = gµαRανσρ, las componentes fısicas

del tensor de Riemann en la base original son:

R0101 = −1

2R0202 =

1

2R0303 =

1

2R1212 = −

1

2R1313 =

α

r3. (2.113)

Es tambien cierto que en la base recıproca:

R0101 = −1

2R0202 =

1

2R0303 =

1

2R1212 = −

1

2R1313 =

α

r3.

Las coordenadas de Schwarszchild son ortogonales por lo cual, como se ha visto,Rµνσρ = Rµνσρ.

En consecuencia el campo de Riemann fısico presenta singularidad solo en r = 0.Una conclusion identica puede lograrse escogiendo otros sistemas de coordenadas,resultando que solo aparecen infinitos en r = 0. Puede asegurarse entonces quelas “verdaderas” propiedades del espacio-tiempo estan dadas por las componentesfısicas del tensor de Riemann que son las que proveen las componentes del campode gravitacion que pueden medirse. Solo las singularidades de estos son reales, esdecir, certificables por todos los observadores.

Una observacion adicional: los vectores de la base aµ utilizados en (2.112) noson unitarios como los eµ, (en efecto aµ = eµ

√gµµ) lo que significa que las sin-

gularidades en las componentes tensoriales estan asociadas con las singularidades

2. Gravitacion /115

en los vectores de la base aµ, con las que se combinan para dar las singularidades

genuinas del objeto tensorial R que se revelan en Rµνσρ. Esto es lo que de mododirecto hacen las componentes fısicas que, trabajando con vectores de la base eµsin singularidades, concentran estas en las componentes medibles.

2.14. El principio de equivalencia

y la solucion de Schwarzschild

Esta seccion esta basada en el artıculo de Moreau y Neutze citado en la biblio-grafıa al final del libro.

El elemento de lınea de Schwarzschild puede ser expresada en un sistema decoordenadas desplazado desplazado respecto a r = 0 que permite, en una pequenaregion, escribirla en dos partes: una que corresponde al elemento de lınea en unsistema uniformemente acelerado en un espacio-tiempo plano y otra que contienecurvatura y esta relacionado a una desviacion geodesica.

El elemento de lınea de Schwarzschild (2.111) puede escribirse en la forma:

ds2 =

(1−

2m

r

)c2dt2 −

(1−

2m

r

)−1

dr2 − r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2), (2.114)

dondem = GM/c2 es la masa geometrica. Sobre este elemento diferencial realicemosuna transformacion de coordenadas hacia un sistema de coordenadas rectangularcon el origen desplazado una distancia R respecto al centro de la masa puntual, ycon el eje z apuntando en direccion radial. Ası:

x = r sen θ cosϕ, y = r sen θ senϕ, z = r cos θ −R. (2.115)

De estas ecuaciones, despejando r se obtiene:

r =√

x2 + y2 + (z +R)2, (2.116)

cuyo diferencial tiene la forma:

dr2 =

[1 +

2z

R+

x2 + y2 + z2

R2

]−1 [x2

R2dx2 +

y2

R2dy2

+(1 +

z

R

)2dz2 +

2xy

R2dx dy +

2x

R

(1 +

z

R

)dx dz

+2y

R

(1 +

z

R

)dy dz. (2.117)


r2(dθ2 + sen 2θdϕ2) = dx2 + dy2 + dz2 − dr2, (2.118)


donde el termino dr2 esta dado por (2.117). Realizamos la substitucion de (2.116),(2.117), (2.118) en (2.114); nos interesaremos en una pequena region alrededor delorigen del nuevo sistema coordenado, y con la aproximacion |xi/R|≪ 1, i = 1, 2, 3,que nos permite despreciar terminos de segundo orden; no asumiremos, sin embargo,que el campo es debil. Se obtiene entonces:

ds2 =

(1−

2m

R+

2mz

R2

)c2dt2 − dx2 − dy2

−(1−

2m

R+

2mz

R2

)−1

dz2

−4m

R

(1−

2m

R+

2mz

R2

)−1 ( xR

dx dz +y

Rdy dz

). (2.119)

El anterior es el elemento de lınea en el nuevo sistema de coordenadas, a primerorden en |xi/R| ≪ 1. Debemos, ahora, escribir el elemento de lınea en un sistemade referencia con aceleracion uniforme en el espacio-tiempo plano. La aceleracionde caıda libre se escribe:

d2r

dτ2= −

GM

R2, (2.120)

correspondiente a un elemento de lınea:

ds2 = c2dτ2 = α(z)2c2dt2 − dx2 − dy2 − β(z)2dz2. (2.121)

donde las funciones α(z) y β(z) han de evaluarse exigiendo que se cumpla la ecuacion(2.120). Del elemento de lınea (2.121) se obtiene la ecuacion de la geodesica:

d2z

dτ2= −

c2

αβ2

dα

dz−[1

α

dα

dz+

1

β

dβ

dz

](dz

dτ

)2

, (2.122)

cuya compatibilidad con (2.120) requiere que se cumplan las dos condiciones:

1

α

dα

dz=

mβ2

R2,

1

α

dα

dz+

1

β

β

dz= 0. (2.123)

Estas dos ecuaciones proveen la solucion para α y β:

α2 = β−2 = k +2mz

R2; (2.124)

en la anterior ecuacion k es una constante de integracion. Por substitucion de (2.124)en (2.121) se obtiene:

ds2 =

(k +

2mz

R2

)c2dt2 − dx2 − dy2 −

(k +

2mz

R2

)−1

dz2. (2.125)

2. Gravitacion /117

Si k = 1 − 2m/R la anterior solucion corresponde a los dos primeros renglonesde la ecuacion (2.119). Ası, reemplazando este valor de k en (2.125) se obiene:

ds2 =

(1−

2m

R+

2mz

R2

)c2dt2 − dx2 − dy2 −

(1−

2m

R+

2mz

R2

)−1

dz2.

Esta es la parte del elemento de lınea de Schwarzschild que corresponde a unsistema acelerado; el tensor de Riemann asociado a este elemento de lınea es cero, loque corresponde en efecto a espacio-tiempo plano. La parte restante en la ecuacion(2.119) tiene tensor de Riemann no nulo y esta relacionado a desviacion geodesica.Este es un termino de marea. Uno de los elementos del tensor de Riemann es comosigue:

R0101 = −

4m2

R4

[1−

2m

R+

2mz

R2

].

La forma del elemento de lınea (2.119) es una muestra de como el principio deequivalencia esta incorporado a la relatividad general.

2.15. Orbitas en un campo de Schwarzschild

La trayectoria que una partıcula de prueba describe en un campo de Schwarsz-child puede calcularse partiendo de la ecuacion de la geodesica o de la ecuacion deEuler (2.100) aplicada a la funcion f definida por:

f = 1 = eν(r) (x0)2 − eλ(r)r2 + r2(θ2 + sen 2θ ϕ2). (2.126)

Para x0, θ, ϕ, respectivamente, se sigue:

• dds

[(1− α/r) t

]= 0, con α = 2GM/c2, de donde:

(1− α/r)t = cte = l . (2.127)

Escribiendo la expresion anterior como (1− α/r) x∗0 = cl, pues en esta metri-ca dx0 = dx∗0, y reemplazando (2.104) resulta la siguiente conexion entre l yE:

cl =E

mc2, (2.128)

de modo que la ecuacion para µ = 0 corresponde a la conservacion de laenergıa de una partıcula en un campo de Schwarszchild.


• dds (r

2θ)− r2 sen θ cos θ ϕ2 = 0, equivalente a:

r2θ + 2rrθ − r2 sen θ cos θ ϕ2 = 0. (2.129)

De esta ecuacion se sigue que si en algun momento en θ = π/2 ocurre queθ = 0, entonces θ = 0 para cualquier ϕ y ϕ, de modo que el plano θ = π/2 semantiene invariable. Este es el plano de la orbita.

• dds (r

2 sen 2θ ϕ) = 0, de donde se sigue la conservacion del momento angularpor unidad de masa:

r2 sen 2θ ϕ = cte = h . (2.130)

• Para la coordenada r, en vez de la ecuacion de Euler conviene utilizar (2.126)con x0 = ct, de modo que reemplazando en ella (2.127) y (2.130) con θ = π/2y θ = 0 se sigue:

1 =c2l2 − r2

1− α/r−

h2

r2. (2.131)

Se tiene, entonces, el siguiente conjunto de ecuaciones:

(1− α/r) t = l , r2ϕ = h , 1 =c2l2 − r2

1− α/r−

h2

r2, (2.132)

a partir de las cuales se obtiene la ecuacion r = r(ϕ) de las orbitas. De:

r′ =dr

dϕ=

dr/ds

dϕ/ds=

r

ϕ= r

r2

h,

de donde se sigue: r = hr′/r2. Reemplazando este valor de r en la tercera de lasecuaciones (2.132) se obtiene:

1−α

r= c2l2 −

h2r′2

r2−

h2

r2

(1−

α

r

);

introduciendo la nueva variable u = 1/r, de donde r′ = dr/dϕ = −u′/u2, la anteriorecuacion toma la forma:

h2u′2 = c2l2 − 1 + αu− h2u2(1− αu).

Derivando esta ecuacion respecto a ϕ y factorizando:

u′(2u′′ −

α

h2+ 2u− 3αu2

)= 0. (2.133)

2. Gravitacion /119

Esta ecuacion tiene dos soluciones posibles. La primera de ellas, u′ = 0, corres-ponde a u0 = 1/r0 = cte, que describe una orbita circular. Una partıcula de pruebapuede describir cırculos en un campo de Schwarszchild alrededor de la masa central.Tambien cırculos anulan el parentesis en la anterior ecuacion con u′′ = 0; basta que:

3

2αu2 − u+

α

2h2= 0

cuya solucion es:

u =1

r=

1

3α

[

1±√

1 +3α2

h2

]

= cte.

Puesto que r > 0 solo es valida la raiz positiva. En consecuencia, para cada valorde h (momento angular por unidad de masa) hay una orbita circular permitida.

Una segunda solucion a (2.133) corresponde a:

u′′ + u =α

2h2+

3

2αu2 (2.134)

Una forma, ligeramente diferente, de esta ecuacion puede encontrarse en el tra-tamiento newtoniano del problema gravitacional, por lo que es pertinente revisareste ultimo.

2.15.1. Solucion newtoniana al problema de Kepler

El movimiento de los planetas alrededor del Sol puede describirse partiendo delsiguiente lagrangiano para un potencial central V (r):

L =1

2mv2 − V (r) =

1

2m(r2 + r2θ2 + r2 sen 2θ ϕ2)− V (r),

donde r = dr/dt, etc. De acuerdo con la ecuacion de Euler-Lagrange:

d

dt

(∂L

∂xi

)−∂L

∂xi= 0,

con (x1, x2, x3) = (r, θ,ϕ) se sigue:

• Para θ: ddt

(mr2θ

)−mr2 sen θ cos θ ϕ2 = 0 , que equivale a:

r2θ + 2rrθ − r2 sen θ cos θ ϕ2 = 0.

Por un argumento identico al empleado en la subseccion anterior se sigue quesi en θ = π/2 ocurre que θ = 0, esto implica θ = 0. En consecuencia, el planode la orbita se mantiene invariable.


• Para ϕ: ddt (mr2 sen 2θ ϕ) = 0,

de donde se obtiene la conservacion del momento angular por unidad de masa,r2 sen 2θ ϕ = H = cte. Puesto que θ = π/2, se sigue que:

H = r2ϕ. (2.135)

• Para r, con θ = π/2, θ = 0 se sigue:

m(r − rϕ2) = −∂V

∂r.

Reemplazando ϕ = H/r2, y multiplicando por r, se obtiene:

d

dt

(1

2mr2 +

mH2

2r2+ V

)= 0,

de donde se obtiene una de las integrales de movimiento, correspondiente a laenergıa total E de la partıcula de prueba:

E =1

2mr2 +

mH2

2r2+ V. (2.136)

Que en verdad esta es la energıa puede comprobarse reemplazando H de(2.135); se obtiene la expresion estandar:

E =1

2m(r2 + r2ϕ2) + V =

1

2mv2 + V.

Ahora bien, la ecuacion diferencial de la orbita puede obtenerse de (2.136) re-emplazando, como en la subseccion anterior r = Hr′/r2 y luego r = 1/u conr′ = −u′/u2, con lo cual:

u′2 + u2 −2E

mH+

2V

mH2.

Por derivacion de esta ecuacion respecto a ϕ se obtienen dos soluciones: u = cte y:

u′′ + u+1

mH2

dV

du= 0. (2.137)

En el caso del campo gravitacional newtoniano la energıa potencial es V =GmM/r, de modo que (2.137) toma la forma:

u′′ + u = GM/H2 . (2.138)

2. Gravitacion /121

que es la ecuacion de la orbita. Esta ecuacion puede escribirse como:

(u−GM/H2)′′ + (u−GM/H2) = 0 , cuya solucion es:

u−GM

H2= a cos(ϕ+ δ).

Si se asume que ϕ = 0 corresponde al valor maximo de u, el resultado final esque la orbita es una conica dada por:

1

r=

GM

H2+ a cosϕ .

Ası pues, un cuerpo que se mueve en las cercanıas del Sol describe una conica. Enparticular, la trayectoria de los planetas es elıptica.

2.15.2. Precesion del perihelio

El potencial newtoniano G = −GM/r describe con bastante precision el mo-vimiento planetario, excepto por una discrepancia conocida desde el siglo XIX,consistente en una porcion de la precesion de Mercurio no descriptible con el poten-cial newtoniano original. Diversos fueron los intentos de describir esta “precesionanomala”. Como se vera en esta seccion, el efecto es facilmente explicable desde elpunto de vista de Einstein.

El termino α/2h2 en (2.134), de acuerdo con (2.110) es igual a GM/c4h2 y es elanalogo del termino GM/H2 en (2.138). Un calculo simple muestra que en la apro-ximacion newtoniana son coincidentes. En efecto, (2.132) se escribe h = r2dϕ/ds, enaproximacion de orden cero ds ≃ c dt, y como segun (2.135) H = r2dϕ/dt se sigueque h ≃ H/c. Esta aproximacion hace entonces identicos los primeros terminos de laderecha de (2.134) y (2.138). La diferencia entre las dos ecuaciones radica entoncesen el termino extra en (2.134).

Conviene ahora comparar los terminos de la derecha en (2.134); el cociente entreellos es:

3αu2/2

α/2h2= 3u2h2 , y

h ≃r2

c

dϕ

dt=

r

c

(rdϕ

dt

)=

r

cvt,

donde vt es la velocidad tangencial del cuerpo de prueba; se sigue entonces que3u2h2/c2 ≃ 3v2t /c

2.En particular, para Mercurio, que es el planeta mas veloz, esta fraccion tiene un

valor de 7.7×10−8, lo que revela que el segundo termino a la derecha de (2.134) esbastante mas pequeno que el que lo precede. En consecuencia, es posible resolver


(2.134) considerando 32αu

2 como una perturbacion. En ausencia de este termino laorbita es una conica.

Aplicada a este problema, la teorıa de perturbaciones sugiere considerar u0 comola solucion al problema no perturbado, vale decir como solucion a la ecuacion (2.134)excluyendo el ultimo termino. Ha de escribirse entonces, como solucion:

u = u0 + ϵv, (2.139)

donde ϵ tiene valor 1, y v es una funcion desconocida que solo afecta en primerorden de perturbacion. El coeficiente ϵ tiene la mision de distinguir entre los diversosordenes de la perturbacion. Ası, (2.134) puede escribirse:

u′′ + u =α

2h2+

3

2ϵαu2.

En forma concisa:u′′ + u = A+ ϵCu2, (2.140)

con A = α/2h2 y C = 3α/2. Reemplazando (2.139) en (2.140) se obtiene:

u′′0 + ϵv′′ + u0 + ϵv = A+ ϵC(u2

0 + ϵ2v2 + 2u0ϵv),

desechando terminos en ϵ2 y ϵ3 y reagrupando se sigue:

u′′0 + u0 −A+ ϵ(v′′ + v − Cu2

0) = 0.

A orden cero la ecuacion es:

u′′0 + u0 −A = 0. (2.141)

A primer orden de perturbacion la ecuacion es cierto que:

v′′ + v − Cu20 = 0. (2.142)

La solucion a (2.141), coincidente en su forma con (2.138), es:

u0 = A+B cosϕ, (2.143)

si u0 asume su valor maximo en ϕ = 0. Reemplazando la solucion para u0 en (2.142):

v′′ + v = C[A2 +B2 cos2 ϕ+ 2AB cosϕ]

= C

[A2 +

B2

2+

B2

2cos 2ϕ+ 2AB cosϕ

],

cuya solucion es:

v = C

[A2 +

B2

2+ABϕ senϕ−

B2

6cos 2ϕ

].

2. Gravitacion /123

En consecuencia la solucion completa tiene la forma:

u = u0 + ϵv = A+B cosϕ+ ϵC

[A2 +

B2

2+ABϕ senϕ−

B2

6cos 2ϕ

].

Puesto que B(cosϕ+ACϵϕ senϕ) ≃ B cos(ϕ−ACϵϕ), la solucion puede apro-ximarse a:

u =1

r= A+B cos[(1− ϵAC)ϕ] + ϵC

[A2 +

B2

2−

B2

6cos 2ϕ

].

El corchete que acompana a ϵ genera perturbaciones periodicas que no cambianla posicion del afelio y el perihelio. Demostraremos que el termino B cos[(1−ϵAC)ϕ]genera la precesion del perihelio. En primer lugar, el perihelio corresponde a rmınimo, lo que implica cos[(1− ϵAC)ϕ] maximo, correspondiente a (1− ϵAC)ϕ =2πn, con n entero. Ası:

ϕ =2πn

1− ϵAC≃ 2πn(1 + ϵAC) = ϕn,

tal que dos perihelios consecutivos estan separados un angulo:

∆ϕ = ϕn+1 − ϕn = 2π(n+ 1)(1 + ϵAC)− 2πn(1 + ϵAC) = 2π(1 + ϵAC),

cantidad que es mayor que 2π. Esto significa que la precesion del perihelio se realizaen la misma direccion que el recorrido del planeta en su orbita. El exceso sobre2π es ∆ϕ − 2π = δϕ = 2πϵAC. Puesto que ϵAC = 3G2M2/c2h2, se sigue que laprecesion del perihelio, por cada revolucion, tiene un valor de:

δϕ = 2π

(3G2M2

c4h2

). (2.144)

La teorıa newtoniana da un valor ∆ϕN=5557,62±0,20′′ por siglo para la pre-

cesion de Mercurio, de la cual 5025′′ se deben al movimiento de la tierra y 532′′

a perturbaciones debidas a los otros planetas, ante todo Venus, Tierra y Jupiter.La precesion observada es ∆φo=5600,73±0,41′′. Restando las precesiones calcula-da y observada se obtiene 43,11±0,45′′ por siglo. La relatividad general, utilizando(2.144), y teniendo en cuenta que Mercurio realiza 415 revoluciones por siglo, predicepara este planeta una precesion de 43,03′′ de arco por siglo.

Para Venus la precesion calculada por la relatividad general es de 8,6′′ por siglo,mientras la observada es 8,4± 4,8′′. Para la Tierra la predicha es 3,8′′ mientrasla observada es 5,0± 1,2′′. Para el asteroide Icaro la predicha y la observada son,respectivamente, 10,3′′ y 9,8± 0,8′′. Como se ve, estos corrimientos son descritoscon muy buena precision por la relatividad general.

Vease tambien el Anexo al final del capıtulo.


2.15.3. Deflexion de la luz

Una notable prediccion de Einstein en 1915 concierne al movimiento de la luzen un campo metrico. De acuerdo con la relatividad especial el elemento de lıneatiene la forma:

ds2 = ηµνdxµdxν . (2.145)

Para un rayo de luz, es decir para partıculas de masa cero el elemento de lıneaes nulo, tal que la luz recorre tanta distancia en el espacio como en el tiempo. Deacuerdo con la relatividad general la forma (2.145) es valida en un sistema en caıdalibre en un campo de gravedad, y basta reemplazar ηµν por gµν para tener su versioncovariante. Por lo mismo, ds = 0 conserva en relatividad general su validez parapartıculas de masa cero, como tambien se sigue de (2.92).

Ocurre, sin embargo, que en el caso de la luz no es posible utilizar el principiovariacional para las geodesicas en la forma (2.99) debido al anulamiento de ds, porlo que se propone:

δ

∫gµν

dxµ

dq

dxν

dqdq = 0. (2.146)

La forma mas simple de definir el nuevo parametro q es ds = mdq, siendo m lamasa de la partıcula de prueba. Resulta ası que para partıculas de masa diferentede cero el diferencial dq en (2.146) es enteramente equivalente al elemento de lıneads, y para la luz, aunque m y ds son nulos no lo es dq. Este es el parametro que seusara para estudiar la trayectoria de la luz en un campo de Schwarszchild. El desa-rrollo que comienza en (2.146), usando la metrica de Schwarszchild, es formalmenteel mismo de la seccion 2.4.1 con t = dt/dq, ϕ = dϕ/dq. El calculo permite concluir,como antes, que la orbita se situa sobre un plano invariable (que puede escogersecomo θ = π/2) y que:

(1−

α

r

)t = cte = l , r2ϕ = cte = h ,

(1−

α

r

)c2t2 − r2

(1−

α

r

)−1− r2ϕ2 = 0.

(2.147)

Reemplazando las dos primeras en la tercera, y con r′ = r/ϕ = r2r/h2, se sigue:

c2 l2 − h2u′2 − h2u2 + h2αu3 = 0.

Por derivacion respecto a ϕ:

u

(u′′ + u−

3

2αu2

)= 0 .

Una primera solucion, como antes es u = u0 = cte, correspondiente a una orbitacircular. Esta circunferencia anula el parentesis si u0 = 2/3α, de modo que la luz

2. Gravitacion /125

puede orbitar una masa puntual M en cırculos de radio r0 = 3α/2. Pero tambienel parentesis admite orbitas no circulares si:

u′′ + u =3

2αu2.

El termino a la derecha de la igualdad es mucho menor que el segundo de laizquierda. Esto es (3αu2/2)/(u) = 3αu/2 cantidad que para el caso del Sol es muchomenor que 1. Ası, el termino de la derecha puede tratarse como una perturbacion.Puede escribirse entonces:

u = u0 + ϵv, (2.148)

que sera reemplazada enu′′ + u− ϵCu2 = 0

con C = 3α/2. El coeficiente ϵ tiene valor 1 y es un indicador del orden de laperturbacion. Ası:

u′′0 + u0 + ϵ(v′′ + v − Cu2

0) = 0.

A orden cero la ecuacion tiene la forma u′′0 + u0 = 0 y su solucion es

u0 = u∗0 sen (ϕ− ϕ0) =

1

r∗0sen (ϕ− ϕ0) = 1/r0,

de donde r∗0 = r0 sen (ϕ− ϕ0) = cte.

El valor mınimo de r0 se consigue en ϕ = π/2 si ϕ0 = 0, de modo que r0 senϕ = r∗0 ,con u∗

0 = 1/r∗0 . La figura 2.9 muestra que la trayectoria a orden cero es una rectahorizontal, es decir que no hay deflexion.

A primer orden en perturbaciones: v′′ + v = Cu20. Reemplazando u0 se obtiene:

v′′ + v = Cu∗0 sen

2ϕ =C

2u∗0(1− cos 2ϕ),

cuya solucion es:

v =Cu∗2

0

2

(1 +

1

3cos 2ϕ

).

Como ϵ = 1 la solucion u = u0 + v es, entonces (figura 2.10):

u =1

r=

1

r∗0senϕ+

C

2r∗20

(1 +

1

3cos 2ϕ

). (2.149)

Esta ecuacion es bastante cercana a la recta horizontal de la figura 2.9. Lasasıntotas, correspondientes a r → ∞, deben ser cercanas a 0 y π y son simetricasalrededor del eje vertical en la figura 2.10. Si δ es un pequeno angulo ϕ medido


r∗0

ϕx

y

LUZr0

Figura 2.9: Diagrama para movimiento de la luz con deflexion nula, co-rrespondiente a aproximacion de orden cero en la ecuacion de la geodesica

respecto a la horizontal, y con cos δ ≃ 1 y sen δ ≃ δ la ecuacion (2.149), conr →∞, da lugar a:

0 ≃ δ +2C

3r∗0,

de donde δ ≃ −2C/3r∗0 . El signo “menos” significa que el angulo se mide por debajodel eje x, luego la luz (trayectoria punteada en la figura 2.10) se curva hacia abajo.La simetrıa de la figura implica que la diferencia angular entre el rayo incidente i yel deflectado d en la figura 2.10 es ∆ = 2δ, esto es, que ∆ = 4C/3r∗0 , o tambien:

∆ =4GM

c2r∗0.

Para un rayo de luz que pasa rasante a la superficie del Sol (r∗0 es el radio solar)y en segundos de arco:

∆ = 1,75′′.

Dos expediciones fueron organizadas en 1919, por Arthur Eddington y FrankW. Dyson, para estudiar desde Brasil y Nueva Guinea el eclipse total de Sol del29 de mayo. La deflexion, calculada para luz rasante al disco solar (r∗0 = Rsol)fue de 1,98±0,16 y 1,16±0,40. Las medidas de deflexion de luz de quasares estancomprendidas entre 1,57±0,08” y 1,87±0,3”.

A pesar de mas de 50 anos de observaciones los errores en las medidas siguensiendo tan altos como al principio. Resultados mas precisos han sido logrados conmicroondas, caso en el cual es suficiente con esperar que una radiofuente pase cercaal limbo solar.

2. Gravitacion /127

2δ

r∗0

ϕx

y

δδ

LUZ

id

a b

Figura 2.10: Asıntotas para deflexion de la luz. b es la asıntota de ladireccion de incidencia i de la luz, mientras a es la asıntota de la direcciond de alejamiento de la luz.

2.15.4. Caıda libre

La tercera ecuacion (2.132), reemplazando l de la primera, y con x0∗ = x0 parael campo de Schwarszchild, puede escribirse:

1 =(1−

α

r

)(x∗0)2 − r2

(1−

α

r

)−1−

h2

r2.

Si se reemplaza x∗0 de (2.104) y ϕ = h/r2 se sigue:

r2 =E2

m2c4−(1−

α

r

)(1−

h

r

2). (2.150)

Si un cuerpo cae en el campo de Schwarszchild desde el reposo en r0 > α, ypuesto que h = 0, se tendra, de (2.150), con E = mc2(1− α/r0):

r2 = α

(1

r−

1

r 0

),

de modo que la partıcula comienza su movimiento desde el reposo, aumentando suvelocidad mientras se acerca a la masa central; atraviesa la esfera de Schwarszchildr = α con una velocidad r2 = 1− α/r0, y se dirige hacia el origen coordenado.

Si la partıcula comienza su movimiento desde el interior de la esfera r = α,resultara que r2 es mayor que cero solo si r < α para todo r, en otras palabras si lapartıcula se dirige al centro. Ası, un cuerpo no puede salir del interior de la esferade Schwarzschild, la que segun lo anterior se comporta como un agujero negro.


2.15.5. El radio de Schwarzschild

El elemento de lınea (2.111) tiene singularidades en r = α y r = 0. Sin embargoel calculo de las componentes fısicas del tensor de Riemann-Christoffel expresadasen (2.113) demuestran que la unica singularidad fısica es r = 0.

Aunque el campo de Schwarzschild es perfectamente regular, excepto para r = 0,no obstante presenta propiedades notables en las cercanıas de r = α. En (2.97),dτ(1) y dτ(2) son intervalos de tiempo propio medidos por observadores en reposoen los puntos r1 y r2. Supongase que r2 →∞, de modo que:

dτ(2) = dτ(1)

√g00(2)

g00(1)=

dτ(1)√

1− α/r,

lo que indica que a un intervalo de tiempo propio dτ(1) le corresponde un intervalode tiempo propio dτ(2) tanto mayor cuanto mas cerca este r1 de α: cuando r1 → α,dτ(2) → ∞. Por lo tanto, las velocidades de las partıculas de prueba, medidaspor observadores en reposo en r2 son tanto mas pequenas cuanto mas cerca seencuentren al radio de Schwarszchild. Esto es cierto incluso para la luz, que “sequeda quieta” en el radio r = α. En consecuencia, ninguna partıcula puede escapardel radio de Schwarszchild. Recıprocamente, para un observador cercano al radiode Schwarzschild todas las partıculas que se le acerquen desde puntos lejanos semueven con velocidades tanto mas cercanas a la de la luz cuanto mas cerca a r = αse encuentren, y a cada intervalo de tiempo propio dτ(2) correspondera un intervalodτ(1) tanto menor cuanto mas cerca se encuentre r1 a α.

En terminos de (2.98), un rayo de luz emitida por una fuente cercana a r = αtendra una frecuencia menor para un observador lejano, es decir, que la luz experi-menta un corrimiento al rojo. En este sentido la superficie r = α es de corrimientoinfinito al rojo. Recıprocamente, un observador cercano al radio r = α encontraraque la luz que viene de lejos experimenta corrimiento al azul, hasta el punto de serinfinito si el observador esta en reposo en r = α.

El radio de una estrella ordinaria es muchas veces mayor que α. Sin embargo esposible por colapso gravitacional, a partir de estrellas supermasivas, la formacionde objetos en los que su masa entera queda en el interior de la superficie r = α.Ellos son los agujeros negros.

A continuacion se muestran la masa, el radio y el radio de Sschwarzschild (Rs)para algunos cuerpos.

Objeto Masa Radio Rs

Sol 1, 98×1030 kg 6,96×105 km 2, 94 km,Tierra 5, 98×1024 kg 6, 37×103 km 8, 86mm,Proton 1, 67×10−27 kg −−− 2, 48×10−54 m.

2. Gravitacion /129

2.16. La gravitacion y los sistemas fısicos

Supongase un sistema fısico en ausencia de gravitacion, del cual se conocen susecuaciones basicas en forma tensorial. Vale decir que las ecuaciones que lo describencontienen los tensores de la relatividad especial. Puesto que el principio de covarian-za exige escribir las ecuaciones en forma tensorial general, es decir, invariante bajotransformaciones generales de coordenadas, entonces los tensores deberan reempla-zarse por tensores generales y las derivadas parciales por derivadas covariantes; losındices tensoriales se subiran con gµν en vez de ηµν . Este procedimiento equivalea conocer las ecuaciones del sistema fısico en un pequeno entorno de un sistemageodesico, donde vale la relatividad especial, y a reemplazarlas por ecuaciones cova-riantes generales. Los tensores generales deberan reducirse a sus formas conocidasen relatividad especial cuando se evaluen en un sistema geodesico o en un espacio-tiempo plano. Esta es la forma de introducir la gravitacion en los sistemas fısicos.

Como un ejemplo simple de escritura de ecuaciones en forma covariante generalconsiderese el campo electromagnetico. Ante todo recuerdese que en relatividadespecial las ecuaciones de Maxwell tienen la forma:

φµν,µ =4π

cJν

φνρ,µ + φµ,ν,ρ + φρµ,ν = 0,

con φi0 = Ei y φij = −Bk (cıclico). El campo electromagnetico φµν puede obtenersedel potencial electrodinamico Aµ mediante la regla:

φµν = Aν,µ −Aµ,ν

Estas ecuaciones son invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Para obtenerlas ecuaciones de Maxwell en un campo de gravitacion basta exigir que sean inva-riantes bajo transformaciones generales de coordenadas. Sin embargo hay muchasmaneras de generalizar estas ecuaciones, como por ejemplo:

φµν;µ =4π

cJν , (2.151)

φµν;µ + aRνρ;σφ

σρ =4π

cJν ,

φµν;µ + bR λνµρ φµρλ =

4π

cJν + eRµνJµ,

donde a, b y e son constantes. Las dos ultimas ecuaciones se reducen a la primeraen un espacio de Minkowski. Las tres generalizaciones de la ecuacion de fuentes noson equivalentes, y la correcta debe ser escogida experimentalmente, lo que no essimple pues los coeficientes a, b y e han de ser muy pequenos como lo indica lavalidez demostrada de las ecuaciones de Maxwell.


Desde un punto de vista teorico lo mejor que puede hacerse es optar por unprincipio de simplicidad, como lo sugiere la navaja de Ockham. Tal principio podrıatomar la forma siguiente:

En un espacio-tiempo curvo los campos no gravitacionales se acoplan a la metri-ca, no al tensor de Riemann-Christoffel, ni a sus contracciones.

Esto implica que en las anteriores ecuaciones a, b y e son nulos, y en consecuenciala generalizacion mas simple de las ecuaciones de Maxwell se obtiene reemplazandola derivada parcial por la covariante y ηµν por gµν . Ası pues, en espacios curvos:

φµν;µ =4π

cJν ,

φνρ;µ + φµν;ρ + φρµ;ν = 0,

φµν = Aν;µ −Aµ;ν .

Otro ejemplo simple es la conversion de la ley de conservacion del momento-energıa que en relatividad especial tiene la forma Tµν

,ν = 0, y que en relatividadgeneral se escribe Tµν

;ν = 0. En un sistema geodesico la ley de inercia se escribedxν/ds = 0 y en coordenadas generales toma la forma Dxν/Ds = 0 = dxν/ds +{ ν

σρ

}xσxρ, donde D indica un diferencial covariante.

Para una partıcula de masa m sometida a una fuerza de densidad volumetricafν , la segunda ley de Newton toma la forma:

fν = mDxν

Ds.

Problema:La ley de Gauss para el campo electromagnetico en relatividad general tienela forma 2.151. Expresada en terminos de la derivada ordinaria es:

1√g

∂

∂xµ(√gφµν) =

4π

cJν .

Hagala especıfica para campo debil; deseche terminos en 1/c4; utilice φi0 =Ei,φ12 = B3,g = −∇φ, y demuestre que las leyes de Gauss y Ampere-Maxwell se escriben:

∇ ·E−1

c2g ·E = 4πρ

∇×B−1

c2g ×B =

4π

cJ+

1

c

∂E

∂t.

2.17. El problema variacional

En esta seccion se desarrolla el problema variacional gravitacional. Se presentaprimero la formulacion no covariante de Landau, que permite obtener la ecuacion

2. Gravitacion /131

de Einstein y el seudotensor momento-energıa gravitacional, y luego la eleganteformulacion de Palatini.

2.17.1. Preliminares

La densidad escalar de curvatura, en la que se basa el problema variacional enrelatividad general, se define en la forma R =

√−|g|R =

√−|g|gµνRµν , donde R es

el escalar de curvatura y |g| es el determinante del tensor metrico. El signo ‘menos’dentro del radical logra que la raız cuadrada sea real, ya que la signatura de gµν es(1,−1,−1,−1). Ası:

R =√−|g|gµνRµν =

√−|g|gµν

[{ σ

µσ

},ν−{ σ

µν

},σ+{ ρ

µσ

}{ σ

νρ

}−{ ρ

µν

}{ σ

σρ

}]

=√−|g|gµν

[{ σ

µσ

},ν−{ σ

µν

},σ

]+√−|g|gµν

[{ ρ

µσ

}{ σ

νρ

}−{ ρ

µν

}{ σ

σρ

}]

=√−|g|gµν

[{ σ

µσ

},ν−{ σ

µν

},σ

]− L,

donde se ha definido L en la forma:

L =√−|g|gµν

[−{ ρ

µσ

}{ σ

νρ

}+{ ρ

µν

}{ σ

σρ

}]. (2.152)

La funcion L no es una densidad escalar (pues no tiene las propiedades correctasde transformacion), como sı lo es R, pero es mas conveniente ya que no contienesegundas derivadas de gµν , y tiene una forma analoga al lagrangiano de la dinamica,pues en (2.152) gµν tiene el papel de las coordenadas, mientras las derivadas queaparecen en

{ σ

σρ

}tienen el papel de velocidades y aparecen al cuadrado.

Entonces, R puede escribirse:

R =

{[√−|g|gµν

{ σ

µσ

}]

,ν−[√−|g|gµν

{ σ

µν

}]

,σ

}

+

{−{ σ

µσ

} [√−|g|gµν

]

,ν+{ σ

µν

} [√−|g|gµν

]

,σ

}− L

= {C}+ {B}− L.

El corchete superior es {B}, el inferior es {C}. En lo que sigue tomamos encuenta las identidades:

gµν;α = gµν,α +{ µ

αβ

}gβν +

{ ν

αβ

}gµβ = 0, de donde:

gµν,α = −{ µ

αβ

}gβν −

{ ν

αβ

}gµβ ; tambien: (2.153)

√−|g|

{ β

αβ

}= (√−|g|),α, y (2.154)

√−|g|

{ α

µν

}gµν = (

√−|g|gαν),ν . (2.155)


Realizando las derivaciones en ν y σ en el corchete {B} y reemplazando lasderivadas de gµν y

√−|g| se sigue:

{B} = 2√−|g|gµν

[{ σ

µν

}{ ρ

σρ

}−{ σ

ρν

}{ ρ

σµ

}]= 2L ; ası:

R = {C}+ {B}− L = {C}+ L

=[√−|g|gµν

{ σ

µσ

}]

,ν−[√−|g|gµσ

{ ν

µσ

}]

,ν+ L

= Eν,ν − F ν

,ν + L. (2.156)

Integrando en el 4-volumen y teniendo en cuenta el teorema de la divergencia:

∫R d4x =

∫L d4x+

∫[Eν

,ν − F ν,ν ] d

4x =

∫L d4x+

∫[Eν − F ν ] dσν . (2.157)

La integral de hipersuperficie dσα se anula si la integral se extiende sobre todoel espacio-tiempo, tal que: ∫

R d4x =

∫L d4x. (2.158)

2.17.2. La accion gravitacional

La variacion de la integral de accion para el campo gravitacional, de acuerdocon (2.158), se escribe en la forma:

δSg = δ

∫R d4x = δ

∫R√−|g| d4x = δ

∫L d4x. (2.159)

donde R y√−|g| d4x son funciones escalares, y por tanto Sg es un escalar. La varia-

cion δ sera realizada teniendo en cuenta que δgµν y δgµν,σ se anulan en la fronteradel volumen 4D; tal frontera es un volumen 3D con 4-vectores de hipersuperficiedσµ. Ahora bien, reorganizando (2.152) puede escribirse:

L =√−|g|gµν

[{ ρ

µν

}{ σ

σρ

}−{ ρ

µσ

}{ σ

νρ

}]= U − V. (2.160)

Hemos de calcular δU y δV , definidos en la ecuacion anterior. Para evaluar δU ,cambiando ρ por α y σ por β:

δU = δ({ α

µν

}{ β

αβ

}gµν√−|g|

)={ α

µν

}δ({ β

αβ

}gµν√−|g|

)+{ β

αβ

}gµν√−|g|δ

{ α

µν

}

={ α

µν

}δ(gµν√−|g|,α

)+{ β

αβ

}δ({ α

µν

}gµν√−|g|

)−{ β

αβ

}{ α

µν

}δ(gµν

√−|g|)

={ α

µν

}δ(gµν√−|g|,α

)−{ β

αβ

}δ(gαν√−|g|

)

,ν−{ β

αβ

}{ α

µν

}δ(gµν

√−|g|).

2. Gravitacion /133

Para pasar del primer renglon al segundo se ha utilizado la identidad (2.154), y parapasar del segundo al tercero la identidad (2.155).

Ahora bien, para evaluar δV de (2.160), cambiamos σ por α y ρ por β:

δV = δ({ β

µα

}{ α

νβ

}gµν√−|g|

)=(δ{ β

µα

}){ α

νβ

}gµν√−|g|+

{ β

µα

}δ({ α

νβ

}gµν√−|g|

)

=(δ{ β

µα

}){ α

νβ

}gµν√−|g|+

(δ{ α

νβ

}){ β

µα

}gµν√−|g|+

{ β

µα

}{ α

νβ

}δ(gµν

√−|g|)

=(δ{ β

µα

}){ α

νβ

}gµν√−|g|+

(δ{ β

µα

}){ α

νβ

}gµν√−|g|+

{ β

µα

}{ α

νβ

}δ(gµν

√−|g|)

= 2(δ{ β

µα

}){ α

νβ

}gµν√−|g|+

{ β

µα

}{ α

νβ

}δ(gµν

√−|g|).

El segundo sumando de la primera lınea, por cambio de ındices repetidos, se haconvertido en el segundo de la segunda lınea, que es igual al primero de la segunda.Se sigue:

δV = 2[δ({ β

µα

}gµν√−|g|

){ α

νβ

}−{ β

µα

}{ α

νβ

}δ(gµν

√−|g|)

]

+{ β

µα

}{ α

νβ

}δ(gµν

√−|g|)

= 2δ({ β

µα

}gµν√−|g|

){ α

νβ

}−{ β

µα

}{ α

νβ

}δ(gµν

√−|g|).

El primer termino a la derecha de la igualdad es:

δ({ β

µα

}gµν√−|g|

){ α

νβ

}=

1

2δ(gβσ[µα,σ]gµν

√−|g|

){ α

νβ

}

=1

2δ[(gβσgµσ,αg

µν + gβσgασ,µgµν − gβσgµα,σg

µν)√−|g|]

{ α

νβ

}

=1

2δ[gβσgµσ,αg

µν√−|g|]

{ α

νβ

}=

1

2δ[gβσ((gµνgµσ),α − gµσg

µν,α)√−|g|]

{ α

νβ

}

= −1

2δ[gβσgµσg

µν,α

√−|g|]

{ α

νβ

}= −

1

2δ(gβν,α

√−|g|)

{ α

νβ

}.

En el segundo renglon los dos ultimos terminos son identicos, como puede de-mostrarse por intercambio de ındices mudos. Entonces:

δV = −{ α

νβ

}δ(gβν,α

√−|g|)−

{ β

µα

}{ α

νβ

}δ(gµν

√−|g|)

−{ α

νµ

}δ(gµν,α

√−|g|)−

{ β

µα

}{ α

νβ

}δ(gµν

√−|g|).


En consecuencia:

δL = δU − δV=

{ α

µν

}δ(gµν

√−|g|,α)−

{ β

αβ

}δ(gαν

√−|g|),ν)−

{ β

αβ

}{ α

µν

}δ(gµν

√−|g|)

+{ α

νµ

}δ(gµν,α

√−|g|) +

{ β

µα

}{ α

νβ

}δ(gµν

√−|g|)

=({ α

µν

}−{ β

µβ

}δαν

)δ(gµν

√−|g|),α

+({ α

νβ

}{ β

µα

}−{ β

αβ

}{ α

µν

})δ(gµν

√−|g|). (2.161)

El cuarto renglon puede escribirse:

[({ α

µν

}−{ β

µβ

}δαν

)δ(gµν

√−|g|)

]

,α−({ α

µν

}−{ β

µβ

}δαν

)

,αδ(gµν

√−|g|),

por lo que:

δL =[({ α

µν

}−{ β

µβ

}δαν

)δ(gµν

√−|g|)

]

,α

+[{ β

µβ

},ν−{ α

µν

},α

+{ α

νβ

}{ β

µα

}−{ β

αβ

}{ α

µν

}]δ(gµν

√−|g|)

=[({ α

µν

}−{ β

µβ

}δαν

)δ(gµν

√−|g|)

]

,α+Rµνδ(g

µν√−|g|),

donde se ha introducido la definicion (1.102) del tensor de Ricci-Einstein.

2.17.3. Mınima accion gravitacional

Entonces, reemplazando en (2.159), y teniendo en cuenta que la integral de [ ],αen el 4-volumen es nula, se obtiene:

δSg = δ

∫L d4x =

∫δL d4x =

∫Rµνδ(g

µν√−|g|) d4x

=

∫Rµν

[√−|g|δgµν + gµνδ

√−|g|

]d4x. (2.162)

La variacion δ√−|g| se obtiene del siguiente modo: de (1.51) y (1.54) multipli-

cando por δxα:

gσρ∂gσρ∂xα

δxα = gσρδgσρ = −gσρδgσρ =∂

∂xαln(−|g|) δxα

= δ ln(−|g|) =1

(−|g|)δ(−|g|),

2. Gravitacion /135

de donde: δ(−|g|) = |g| gσρδgσρ y por tanto:

δ√−|g| =

1

2√−|g|

δ(−|g|) = −1

2

√−|g| gσρ δgσρ. (2.163)

Ası pues, de (2.162):

δSg =

∫Rµν

[√−|g|δgµν −

1

2gµν√−|g|gσρδgσρ

]d4x

=

∫ √−|g|

[Rµν −

1

2Rgµν

]δgµν d4x

=

∫ √−|g|Gµν δg

µν d4x, (2.164)

donde Gµν , de acuerdo con (1.111), es el tensor de Einstein. Si no hay otros campos,y si la variacion de la accion es nula (δSg = 0) se obtiene la ecuacion de Einstein:

Gµν = 0.

Si hay otros campos cuya accion se representa por Sc puede escribirse:

Sc = −K∫

Q√−|g| d4x (2.165)

donde Q es una funcion de los otros campos. En este caso la variacion de la acciontotal es:

δS = δ(Sg + Sc) = δ

∫[R−KQ]

√−|g| d4x = 0. (2.166)

La variacion de la accion gravitacional esta dada por (2.164), mientras la varia-cion de la accion de los demas campos es:

δSc = −K∫ [

∂(√−|g|Q)

∂gµνδgµν +

∂(√−|g|Q)

∂gµν,αδgµν,α

]

d4x

= −K∫⎡

⎣∂(√−|g|Q)

∂gµνδgµν −

(∂(√−|g|Q)

∂gµν,α

)

,α

δgµν

⎤

⎦ d4x.

La diferencia entre el primer y segundo renglon es un termino de la forma ( ),αcuya integral en d4x se anula, de modo que de (2.164) y (2.166):

δS =

∫⎡

⎣√−|g|Gµν −K

⎛

⎝∂(√−|g|Q)

∂gµν−

(∂(√−|g|Q)

∂gµν,α

)

,α

⎞

⎠

⎤

⎦ δgµν d4x = 0.


Si el parentesis que acompana a K se escribe como:

∂(√−|g|Q)

∂gµν−

(∂(√−|g|Q)

∂gµν,α

)

,α

=√−|g|Aµν , (2.167)

la integral de accion toma la forma:

δ(Sg + Sc) =

∫[Gµν −KAµν ]

√−|g| δgµν d4x = 0,

de la que se sigue la ecuacion del campo metrico:

Gµν = KAµν .

En forma mas general, si la accion se escribe:

δS = δ

∫[R+ Λ−KQ]

√−|g| d4x = 0,

donde Λ es una constante, se obtiene la ecuacion del campo metrico con constantecosmologica:

Gµν + Λgµν = KAµν .

Excepto por la aparicion de Aµν definido por (2.167) en vez del tensor momento-energıa Tµν , esta es la ecuacion de Einstein (2.57). En lo que sigue se demuestra que,en el caso del campo electromagnetico, Aµν es el tensor Tµν , aunque la igualdades valida en general. En tal caso Q en (2.165), el lagrangiano del campo electro-magnetico puro, es decir, sin el termino de interaccion −AµJµ/c2, es:

Q = −1

8πc2φµνφ

µν = −1

8πc2φµνφαβ g

µαgνβ .

Si se consideran φµν ,φαβ independientes de gµν , entonces, reemplazando Q en(2.167), con:

∂√−|g|

∂gσρ= −

1

2

√−|g| gσρ que se obtiene de (2.163), se sigue:

Aσρ = −1

4πc2

[φ βσ φρβ −

1

4φµνφ

µνgσρ

]= Tσρ, (2.168)

donde Tσρ es el tensor momento-energıa del campo electromagnetico (2.47).Ası pues, en general, la ecuacion de Einstein tiene la forma:

Gµν + Λgµν = KTµν .

2. Gravitacion /137

2.17.4. Momento-energıa de la gravitacion

De acuerdo a la ecuacion de Einstein (2.49), la derivada covariante del tensormomento energıa es nula, esto es:

T νµ ;ν = T ν

µ ,ν − T νµ

{ β

νβ

}− T β

α

{ α

µβ

}

= T νµ ,ν − T ν

µ1

√−|g|

(√−|g|),ν − T β

α

{ α

µβ

}

=1

√−|g|

(√−|g|T ν

µ ),ν − T βα

{ α

µβ

}

=1

√−|g|

(√−|g|T ν

µ ),ν −1

2gβσ,µT

σβ = 0.

Reemplazando T σρ = Gσρ/K de la ecuacion de Einstein:

(√−|g|T ν

µ ),ν −1

2Kgβσ,µ

√−|g|Gσβ = 0. (2.169)

¿Es posible escribir el segundo sumando de esta ecuacion como una divergencia?Con este proposito, de (2.152) se ve que L = L(gµν , gµν,σ), de modo que:

δ

∫L d4x =

∫ [∂L∂gµν

δgµν +∂L∂gµν,α

δgµν,α

]d4x

=

∫ [∂L∂gµν

δgµν +

(∂L∂gµν,α

δgµν)

,α

−(

∂L∂gµν,α

)

,α

δgµν]

d4x.

El termino intermedio, el que contiene la derivada en α, da lugar a una integralde hipersuperficie, la que se anula pues sobre ella la variacion de gµν y su derivadaes cero, por tanto:

δ

∫L d4x =

∫ [∂L∂gµν

−(

∂L∂gµν,α

)

,α

]

δgµν d4x. (2.170)

Reemplazando (2.164) y (2.170) en la variacion de (2.157), y teniendo en cuentael anulamiento de las integrales de hipersuperficie en (2.157) se obtiene una expre-sion para Gµν en terminos de L:

∫ [√−|g|Gµν −

∂L∂gµν

+

(∂L∂gµν,α

)

,α

]

δgµν d4x = 0.

Si la accion es solo la del campo gravitacional, entonces, dado que la variacionδgµν es arbitraria aunque infinitesimal, puede concluirse que:

√−|g|Gµν =

∂L∂gµν

−(

∂L∂gµν,α

)

,α

.


Con un ligero cambio de ındices repetidos y multiplicando por gσν,µ puede escribirse:

√−|g|gσν,µGσν = gσν,µ

∂L∂gσν

−(gσν,µ

∂L∂gσν,α

)

,α

+∂L∂gσν,α

gσν,µα

= −(gσν,µ

∂L∂gσν,α

)

,α

+ L,µ =

[Lδαµ − gσν,µ

∂L∂gσν,α

]

,α

.(2.171)

Pero tambien:√−|g|gσν,µGσν =

√−|g|gσν,µ gασ gβνGαβ = −

√−|g|gσνgαµ,σ gβνGαβ

= −√−|g|gασ,µGασ = −

√−|g|gβσ,µGβσ. (2.172)

Entonces, de (2.171) y (2.172):

−√−|g|gβσ,µGβσ =

[Lδαµ − gσν,µ

∂L∂gσν,α

]

,α

,

y reemplazando en (2.169):

[√−|g|T α

µ +1

2K

(Lδαµ − gσν,µ

∂L∂gσν,α

)]

,α

= 0,

que puede escribirse como:[√−|g|(T α

µ + t αµ )]

,α= 0, (2.173)

donde se ha definido:

√−|g|t α

µ =1

2K


∂L∂gσν,α

). (2.174)

Ası pues, se ha logrado expresar (2.169) en la forma (2.173) como una cantidadcon divergencia nula. La cantidad t α

µ se conoce como pseudo-tensor momento-energıa del campo de gravitacion. Este nombre viene en primer lugar del hecho deque la cantidad L definida en (2.152) y que aparece en (2.174) no es estrictamenteun escalar, y de que el segundo sumando en (2.174) no se transforma como un tensorde segundo orden; es decir, desde el punto de vista matematico t α

µ no es un tensor,como sı lo es T α

µ . Hay que observar que L se anula en un punto de un sistemageodesico, tal que en tal punto t α

µ = 0. Puesto que esta cantidad no es un tensor,carece de sentido preguntar por la localizacion de la energıa del campo gravitacional.Basta pensar en que de acuerdo con un observador situado en las cercanıas de lasuperficie terrestre una masa que cae libremente tiene energıa cinetica y potencial,

2. Gravitacion /139

pero no tiene ninguna de las dos para un observador en caıda libre. Es decir, laconservacion de la energıa en un campo gravitacional no es un concepto covariante.

La ecuacion (2.173) es una ley de conservacion en el sentido ordinario, lo queimplica la conservacion del momento-energıa de la materia mas el campo gravita-cional. Ası pues, puede decirse que el campo gravitacional porta momento-energıa,solo que, como t ν

µ no es un tensor general, su identificacion con el momento-energıadel campo gravitacional no es un procedimiento invariante, es decir, independientedel sistema de coordenadas 4D. Este resultado era de esperarse pues el principio deequivalencia asegura que el campo de gravitacion puede eliminarse al menos en unpunto en un sistema en caıda libre. Puesto que t α

µ acompana a T αµ resulta que el

campo gravitacional contribuye a su propia fuente, lo que es la raız fısica de la nolinealidad de las ecuaciones de Einstein.

Por integracion de (2.173) sobre el 4-volumen:∫

[√−|g|(T α

µ + t αµ )],α d4x =

∫

σ2

√−|g|(T α

µ + t αµ ) dσα2

−∫

σ1

√−|g|(T α

µ ) + t αµ ) dσα1

= Pµ(2)− Pµ(1) , donde:

Pµ =

∫ √−|g|(T α

µ + t αµ ) dσα

es el 4-pseudo vector de momento-energıa. Cuando el “volumen” dσν tiende a infi-nito, puede asumirse que la integral provee el momento-energıa total, si la integralconverge y si el flujo a traves de la superficie bidimensional cerrada tiende a ce-ro. De este modo se obtiene una expresion definida y conservada para el 4-vectormomento-energıa.

2.17.4.1. Forma explıcita de t αµ

De (2.174) puede escribirse:

√−|g|t α

µ =1

2K


∂L∂gσν,α

)=

1

2K

(Lδαµ − qn,µ

∂L∂qn,α

)

=1

2K

(Lδαµ −Qm,µ

∂L∂Qm,α

). (2.175)

En la primera lınea, en vez de gσν se ha introducido la notacion qn. La sumasobre n de 1 a 10 equivale a la suma sobre los ındices σν. En la segunda lınea Qm

es una funcion arbitraria de qm. La validez del segundo renglon se demuestra ası:

Qm,σ =∂Qm

∂xσ=∂Qm

∂qnqn,σ , de donde

∂Qm,σ

∂qn,ν=∂Qm

∂qnδνσ , entonces:


∂L∂qn,ν

=∂L

∂Qm,σ

∂Qm,σ

∂qn,ν=

∂L∂Qm,σ

∂Qm

∂qnδνσ =

∂L∂Qm,ν

∂Qm

∂qn, ası pues:

∂L∂qn,ν

qn,µ =∂L

∂Qm,ν

∂Qm

∂qnqn,µ =

∂L∂Qm,ν

Qm,µ,

como se querıa demostrar.Ahora bien, de (2.161) escogiendo Qm =

√−|g|gσν :

δL =({ α

σν

}−{ β

σβ

}δαν

)δ(gσν

√−|g|),α

+({ α

νβ

}{ β

µα

}−{ β

αβ

}{ α

µν

})δ(gµν

√−|g|)

=({ α

σν

}−{ β

σβ

}δαν

)δQm,α +

({ α

νβ

}{ β

µα

}−{ β

αβ

}{ α

µν

})δQm,

de donde se sigue:

∂L∂Qm,ρ

=({ α

σν

}−{ β

σβ

}δαν

) ∂Qm,α

∂Qm,ρ=({ α

σν

}−{ β

σβ

}δαν

)δρα

={ ρ

σν

}−{ β

σβ

}δρν .

Ası, con un ligero cambio de ındices:

∂L∂Qm,α

={ α

ρν

}−{ β

σβ

}δαν ;

reemplazando en (2.175) junto con L de (2.152), se obtiene finalmente la formaexplıcita del pseudotensor momento-energıa del campo gravitacional:

t αµ =

1

2K

[δαµg

βν(−{ ρ

βσ

}{ σ

νρ

}+{ ρ

βν

}{ σ

σρ

})−({ α

σν

}−{ β

σβ

}δαν

)gσν,µ

].

Es obvio, que esta cantidad se anula en un sistema geodesico.

2.17.5. La formulacion de Palatini

Los desarrollos de la seccion 2.17.1, conocidos como formulacion de Landau, queconducen a la ecuacion de Einstein del campo metrico y a la definicion del seudoten-sor momento-energıa gravitacional, tienen la caracterıstica de no ser explıcitamentecovariantes, ya que, en particular, la ecuacion (2.152) no es estrictamente un seu-doescalar.

En esta seccion presentamos una formulacion elegante, concisa respecto a la dela seccion 2.17.1, y explıcitamente covariante. Partimos de la variacion de la accion

2. Gravitacion /141

gravitacional:

δSg = δ

∫ √−|g|Rd4x =

∫ [δ√−|g|R+

√−|g|δR

]d4x

=

∫ [δ√−|g|R+

√−|g|

(δRαβg

αβ +Rαβδgαβ)]

d4x ,

donde hemos tenido en cuenta que R = Rαβgαβ . Utilizando (2.163) puede escribirse:

δ√−|g| = −

1

2gαβδg

αβ , se sigue:

δSg =

∫ √−|g|

[(Rαβ −

1

2gαβR

)δgαβ + δRαβg

αβ

]d4x .

Utilizando la definicion (1.111) del tensor de Einstein Gαβ y la identidad dePalatini (1.109), puede escribirse:

δSg =

∫ [√−|g|Gαβδg

αβ +√−|g|

(δ{ σ

ασ

};β− δ{ σ

αβ

};σ

)gαβ]d4x .

De la expresion BA;ν = (AB);ν − AB;ν se sigue que la segunda integral setransforma en:∫ √

−|g|[(δ{ σ

ασ

}gαβ);β−(δ{ σ

αβ

}gαβ)

;σ

]d4x

−∫ √

−|g|[δ{ σ

ασ

}gαβ;β − δ

{ σ

αβ

}gαβ;σ

]d4x .

De acuerdo con el teorema de Gauss (1.92) da lugar a integrales de hipersu-perficie que se anulan pues se asume que en ellas la variacion de los sımbolos deChristoffel se anula. Queda ası:

δSg =

∫ √−|g|

[Gαβδg

αβ −(δ{ σ

ασ

}gαβ;β − δ

{ σ

αβ

}gαβ;σ

)]d4x .

En vez de expresar la variacion de los sımbolos de Christoffel como variacionesde la metrica, δgσρ, la formulacion de Palatini asume que

{ α

βγ

}y gµν son campos in-

dependientes y se varıan por separado. La conexion entre ambos se deduce medianteeste procedimiento. Ası, las variaciones independientes y la condicion δSg = 0 danlugar, en el vacıo, a:

Gαβ = 0 , gαβ;σ = 0 .

La primera de estas es la ecuacion de Einstein en el vacıo y la segunda, queequivale a (1.78), implica de acuerdo con (1.47) y (1.46) que:

{ µ

νσ

}=

1

2gµρ [gνρ,σ + gσρ,ν − gνσ,ρ] .


En presencia de otros campos (cuya accion se presenta en (2.165)), e incluyendoel termino cosmologico Λ, la accion total toma la forma:

δS = δ(Sg + SQ + SΛ) = δ

∫ √−|g| [R−KQ− 2Λ] d4x .

Los desarrollos de la seccion 2.19.3, aplicables aquı, no modifican el terminoasociado a la variacion de

{ α

βγ

}, dando lugar a:

Gαβ − gαβΛ = KTαβ , gαβ;σ = 0.

La primera ecuacion es la de Einstein, con Tαβ dado por (2.167) con Aαβ = Tαβ ,que en el caso del campo electromagnetico se expresa por (2.168).

2.18. Anexo: el vector de Laplace-Runge-Lenz

En las lıneas que siguen presentamos una version vectorial newtoniana del calculode las trayectorias que siguen las partıculas que obedecen a una fuerza central. Enel curso de la argumentacion definiremos el vector de Laplace-Runge-Lenz que,adicionalmente, provee una forma hermosa y compacta de estudiar la precesion delperihelio.

Para comenzar, de la expresion para el momento angular L = r×p, por deriva-cion temporal se sigue:

L = r× p+ r× p = r× (mr) + r× F = r× F .

Si la fuerza es central (F ∝ r) entonces L = 0, lo que implica que el momentoangular L permanece constante y que, en consecuencia, el plano de la orbita es fijo.

Evaluemos ahora F× L asumiendo para la fuerza central la forma F = f(r)r:

F× L = p× L = f(r)r

r× (r× p)

=m

rf(r)[(r · r)r− r2r] =

m

rf(r)[(rr)r− r2r]

= −mf(r)r2d

dt

(rr

)= −mf(r)r2

dr

dt. (2.176)

Si la fuerza central es de inverso cuadrado, f(r) = −k/r2, entonces:

p× L = −mkdr

dt=

d

dt(p× L) , por lo cual:

d

dt(p× L−mkr) =

d

dt(mkA) = 0

2. Gravitacion /143

de modo que el vector A (de Laplace-Runge-Lenz) es constante para una fuerza deinverso cuadrado. Hemos definido:

mkA = p× L−mkr . (2.177)

De aca se deduce que A ·L = 0, de modo que A esta en el plano de la orbita, ytambien:

mkA · r = mkA cos θ = r · (p× L)−mkr ,

donde la pareja (r, θ) define un sistema de coordenadas polares. Se sigue que:

mkA cos θ = r · (p× L)−mkr

= L · (r× p)−mkr = L2 −mkr ,

de donde:1

r=

mk

L2(1 +A cos θ) ,

que corresponde a la ecuacion de una conica. Este es el conocido resultado newto-niano para fuerzas de inverso cuadrado.

r

θ

Fd

P

Q

i x

Figura 2.11: Las conicas se definen mediante la condicionFR/RQ = ϵ, donde ϵ es la excentricidad. De la figura sesigue que r/(d− r cos θ) = ϵ que equivale a la ecuacion dela conica 1/r = (1/ϵd)(1 + ϵ cos θ)

De la forma general de las conicas:

1

r=

1

ϵd(1 + ϵ cos θ) ,

asociada a la figura 2.11 se sigue que la partıcula m se mueve en una conica en la queϵ = A es la excentricidad y la distancia d esta dada por d = L2/mkϵ. Ası pues, el


modulo del vector de Laplace-Runge-Lenz definido en (2.177) es la excentricidad. Ladireccion del vector constante A puede conocerse evaluando (2.177) en el momentoen que la partıcula pasa por el punto P de la figura 2.11. Se concluye que A =i(pL/mk − 1) que apunta desde el foco F hacia el perihelio P .

Ahora bien, volviendo a la forma general de la fuerza central F = f(r)r, de laecuacion (2.176):

p× L = −mf(r)dr

dt,

y de (2.177), derivando temporalmente:

mkA = p× L−mkdr

dt= −m

dr

dt

(f(r)r2 + k

);

puesto que drdt = der

dt = eθ se sigue

A =eθ

k

(f(r)r2 + k

),

de modo que el vector A precesa, es decir, la orbita tiene un movimiento de giro endireccion eθ si f(r) = −k/rn, con = 2. Obtenemos ası la precesion del perihelio P .

**********************************Edwin Hubble (1889-1953). Tomado de http://www.edwinhubble.com/

3

Cosmologıa relativista

3.1. Introduccion

La relatividad general es una teorıa que describe la gravitacion como un feno-meno geometrico en el que el espacio-tiempo es una entidad cuya estructura estadeterminada por la materia. A su vez, el espacio-tiempo determina el movimientode los cuerpos que en el se ubican. El espacio-tiempo es un escenario cambiante,es parte de la accion del mundo. Es un campo dinamico. Y puesto que el espacioy el tiempo han de ser elementos basicos en la descripcion del mundo a todos losniveles, entonces la nueva dinamica de la geometrıa ha de gobernar tambien elmundo cosmologico, la totalidad del universo.

Esto significa que las mas antiguas preguntas de la cosmologıa podrıan plantearsedesde la relatividad general con una nueva perspectiva.

La cosmologıa es una disciplina bastante antigua que esta animada por unaambicion de totalidad. No le importan a ella los detalles del mundo, es decir, ladescripcion de los fenomenos particulares que revelan la diversidad de lo sensible.Puesto que solo preguntas ambiciosas son el objeto de su indagacion resulta serentonces la hermana gemela de la metafısica y la hermana menor de la ontologıa.Su ambicion no es el ser sino los fenomenos; basa su accion en el pensamientomatematico y en su adhesion a la observacion.

¿Hasta donde se extiende el universo visible? Es decir ¿hay lımite alguno enel espacio y el tiempo? ¿Cual es su estructura? ¿Han tenido ellos algun origen, osimplemente persisten desde siempre? ¿Son accesibles al esfuerzo del pensamientoabstracto, o exigen otro metodo para su comprension? ¿El espacio y el tiempomismos, supuesto sustrato de lo fenomenico, son susceptibles al rigor del metodocientıfico?

Hubo una cosmologıa aristotelica, hubo una incipiente cosmologıa matematicanewtoniana que no alcanzo profundidad. La fısica de Einstein es, en este sentido, una

146

3. Cosmologıa relativista /147

novedad. Es cosmologıa cientıfica. Anuncia que el espacio y el tiempo son compren-sibles desde una mirada matematica. Mirada vigilada por las exigencias de precisionque vienen del metodo, intencion animada por imagenes controladas por peticionesde rigor y por afanes filosoficos de unidad, impelida por las sutiles imposicionesque la estetica hace al pensamiento cientıfico, constrenida por el compromiso conlo empırico que a cada paso le evita caer en la pura abstraccion, en la ensonacionsin soporte o en los profundos y a veces inoficiosos y esteriles laberintos de la razonpura.

Ciertamente la cosmologıa es un acto de la imaginacion, solo que debe ellaresponder por el orden interno de los hechos observados; y ante la ocasional ausenciade datos empıricos debe responder –al menos– con la coherencia y la simplicidadde sus principios, pues el pensamiento preciso sobre el mundo quiere describirlo conarmonıa, encontrar en su acontecer lo mas parecido a un plan racional.

La cosmologıa relativista es un sueno de la limitada razon humana que matema-tiza el mundo. El primer modelo cosmologico moderno, el descrito por Einstein comouniverso estatico, es ya una revelacion de lımites, pues en su base, casi sicologica,anida la idea ingenua de un universo inalterado en el tiempo, de un universo eterno.La introduccion por Einstein de la constante cosmologica, enteramente compatiblecon la relatividad general, fue la concrecion matematica de una idea milenaria: na-da hay nuevo bajo el Sol. Poco tiempo despues, el descubrimiento de Hubble dela recesion de las galaxias y el surgimiento de los modelos relativistas dinamicosllevarıan a la idea del origen del universo.

La cosmologıa −que no aspira a describir los detalles− supone que en promediocada punto del universo es equivalente a cualquier otro, que el universo, en suma, eshomogeneo, y que, mirado al menos desde algun sistema de referencia particular, esel mismo en todas las direcciones; es decir, es tambien isotropico. La implementacionen la teorıa de Einstein de esta idea estetica y de simplicidad toma el nombre deprincipio cosmologico, a partir del cual es posible plantear la forma mas simple dela metrica del cosmos, la que se asocia a los nombres de Robertson y Walker. De ellasurge una de las mas hermosas ideas de la cosmologıa moderna, la que sugiere que larecesion de las galaxias descubierta por Hubble, puede describirse diciendo que lasgalaxias en verdad no se alejan, que permanecen fijas en sus coordenadas; solo quecomo la metrica cosmologica cambia con el tiempo genera la ilusion observacionalde la expansion del universo. Las galaxias no se mueven en el promedio del universo,es el espacio el que cambia: la expansion del universo, en realidad, es expansion delespacio.

Las sistematicas observaciones astronomicas de Hubble permitieron probar quela luz que viene de las galaxias es tanto mas roja cuanto mayor es su distancia. Siel corrimiento hacia el rojo se interpreta como un efecto del movimiento, vale decir,como un efecto Doppler, entonces el universo se expande. Solo que segun la versioncosmologica de la relatividad general el corrimiento Doppler puede entenderse como


el resultado de una dilatacion de la metrica sin cambio de coordenadas.Partiendo de la metrica cosmologica es posible disenar modelos del universo.

Desde el modelo estatico de Einstein, hasta otros que incluyen o ignoran la cons-tante cosmologica y en los que el espacio se expande indefinidamente o se expandepara luego contraerse, dependiendo de la constante de curvatura k que se introduceusando los modelos elementales con los que comienza este capıtulo.

Los modelos aquı presentados tienen un rasgo comun: la materia cosmologicano responde por la existencia del espacio-tiempo. En un universo desprovisto demateria persiste el espacio-tiempo de Minkowski, lo que muestra que la relatividadgeneral no implementa las ideas de Leibniz o Mach. Ni la relatividad general, nila cosmologıa de Einstein confirman que la estructura del espacio-tiempo se debepor entero a la materia: ni a las masas locales, ni a la materia cosmica que generala metrica cosmologica. Es una teorıa donde el espacio-tiempo precede al mundomaterial, y goza por tanto del mismo caracter de absoluto que en la fısica de Newtontienen el espacio y el tiempo.

3.2. Espacios de curvatura constante

3.2.1. Espacio bidimensional

¿Que forma tiene el elemento de lınea en un espacio tridimensional euclidianoque satisface la condicion x2 + y2 + z2 = a2?

La ecuacion x2+y2+z2 = a2 describe la superficie de una esfera. Por derivacion:

2z dz = −d(x2 + y2) , es decir: dz = −d(x2 + y2)

2(a2 − x2 − y2)1/2.

Reemplazando dz en la expresion para el elemento de lınea dl2 = dx2+dy2+dz2

se sigue:

dl2 = dx2 + dy2 +[d(x2 + y2)]2

4(a2 − x2 − y2). (3.1)

Puesto que la superficie es esferica conviene cambiar a las nuevas coordenadasx = a sen θ cosϕ y y = a sen θ senϕ, con lo cual (3.1) se convierte en:

dl2 = a2[ sen 2θ dϕ2 + cos2 θ dθ2] +[d(a2 sen 2θ)]2

4(a2 − a2 sen 2θ),

de donde se obtiene:dl2 = a2[dθ2 + sen 2θ dϕ2], (3.2)

que corresponde al elemento de lınea sobre una esfera, un subespacio 2D de curva-tura constante positiva.


La curvatura de un espacio 2D es positiva si las curvaturas evaluadas sobredos direcciones perpendiculares van en la misma direccion; en el caso de la esfera,la convexidad a lo largo de dos cırculos maximos perpendiculares va hacia afuera.La superficie de una esfera es un espacio 2D curvo, pues sobre ella no se cumplenlas reglas de la geometrıa euclidiana; por ejemplo, la suma de los angulos de untriangulo dibujado sobre la esfera es mayor de 180◦ y la relacion entre circunferenciay diametro es menor que π.

Notese que en (3.2) solo aparecen dos dimensiones. La tercera, la radial, no esexplıcita; aparece solo mediante a2, el radio de la esfera.

Con (u1, u2) = (θ,ϕ), g11 = a2 y g22 = a2 sen 2θ, la distancia a lo largo de u1 esl1 =

∫ √g11 dθ = a θ, y su valor maximo es πa; a lo largo de u2 es l2 =

∫ √g22 dϕ =

aϕ sen θ. Una circunferencia dibujada sobre la esfera, con centro en θ = 0, mide2πa sen θ, de modo que la relacion circunferencia/diametro es (2πa sen θ)/(2aθ) =( sen θ/θ)π = π < π. El area total de la superficie esferica es finita e igual a A =∫ √

g11g22 dθ dϕ = a2∫

sen θ dθ dϕ = 4πa2.El elemento de lınea (3.1), con a, b, c = 1, 2 y con convencion suma sobre ındices

repetidos, puede escribirse:

dl2 = dxadxa +[d(xaxa)]2

4(a2 − xcxc)= dxadxb

[δab +

xaxb

a2 − xcxc

]= g∗abdxadxb,

expresion en la que g∗ab es la metrica sobre la superficie esferica expresada en coor-denadas cartesianas.

3.2.2. Espacio tridimensional

3.2.2.1. Espacio 3D de curvatura positiva

Dado un espacio euclidiano 4D, ¿cual es el elemento de lınea que satisface lacondicion:

x21 + x2

2 + x23 + x2

4 = xixi + x4x4 = a2, (3.3)

con i = 1, 2, 3 y convencion suma? Por analogıa con el caso 2D, y dado que laecuacion anterior es la de una esfera en 4D, este espacio es de curvatura constantepositiva. Se trata entonces de un espacio 3D esferico sumergido en un espacio 4Deuclidiano. De (3.3) se sigue: xi dxi + x4 dx4 = 0, de donde dx4 = −xi dxi/(a2 −xkxk)1/2. Reemplazando dx4 en la expresion para el elemento de lınea en 4D:

dl2 = dxidxi + dx4dx4 = dxidxi +xixjdxidxj

(a2 − xkxk)

= dxidxj

[δij +

xixj

a2 − xkxk

]= g∗ijdxidxj .


Con x1 = r sen θ cosϕ, x2 = r sen θ senϕ, x3 = r cos θ el elemento de lınea puedetambien escribirse:

dl2 = dr2 + r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2) +[d(r2)]2

4(a2 − r2),

que conduce al elemento de lınea para un espacio 3D esferico:

dl2 =dr2

1− r2/a2+ r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2). (3.4)

Observese que no hay referencia directa a la cuarta dimension (x4), la que apa-rece solo en el radio a de la hiperesfera. (3.4) describe el espacio interior r < a, porlo que r puede reparametrizarse en la forma r = a senχ, de donde se sigue que r = 0corresponde a χ = 0 y r = a a χ = π/2. En las coordenadas angulares (χ, θ,ϕ) elelemento de lınea se escribe, entonces:

dl2 = a2[dχ2 + sen 2χ(dθ2 + sen 2θ dϕ2)]. (3.5)

Por lo cual gχχ = a2, gθθ = a2 sen 2χ, gϕϕ = a2 sen 2χ sen 2θ. Es facil comprobarque la ecuacion (3.3) se satisface si, ademas, se escribe x4 = a cosχ.

Se llaman coordenadas isotropicas (ρ, θ,ϕ) aquellas en las que dl2 es proporcionalal elemento de lınea euclidiano. Esto es:

dl2 = λ(ρ)[dρ2 + ρ2dθ2 + ρ2 sen 2θ dϕ2]. (3.6)

Igualando (3.4) y (3.6) se obtienen las dos ecuaciones:

dr√

1− r2/a2=√λ(ρ) dρ y λ(ρ)ρ2 = r2,

de donde, dr/√

1− r2/a2 = r/ρ; integrando en r y ρ se obtiene:

ln

[a+ a

√1− r2/a2

rρ/ρ0

]

= 0

es decir, r = 2aρ/ρ0(1 + ρ2/ρ20), de donde:

λ(ρ) =4a2

ρ20(1 + ρ2/ρ20)2.

Si para ρ→ 0 y r → 0 se sigue que λ→ 1, se obtiene ρ0 → 2a. En consecuencia:

λ(ρ) =1

(1 + ρ2/4a2)2.


El elemento de lınea isotropico se escribe, entonces:

dl2 =1

(1 + ρ2/4a2)2[dρ2 + ρ2dθ2 + ρ2 sen 2θ dϕ2] =

dσ2

(1 + ρ2/4a2),

donde dσ es el elemento euclidiano de lınea en 3D expresado en las coordenadas(ρ, θ,ϕ). Una variable radial adimensional u puede definirse como ρ = au, lo quepermite escribir:

dl2 =a2

(1 + u2/4)2)2[du2 + u2dθ2 + u2 sen 2θ dϕ2] =

a2dσ2

(1 + u2/4)2, (3.7)

donde ahora dσ es el elemento de lınea adimensional en 3D.La distancia que puede recorrerse en direccion radial es:

D =

∫ r

0

√grr dr =

∫ r

0

dr√

1− r2/a2= a sen−1(r/a)

=

∫√gχχ dχ = a

∫ χ

0dχ = aχ = a sen−1(r/a).

Avanzando en direccion radial, la distancia maxima que puede recorrerse corres-ponde a la coordenada r = a, esto es Dmax = aπ/2. Si se continua viajando en r,no se ira mas lejos, sino que se retornara al punto de partida. Este espacio 3D espor tanto finito, y ası como la superficie de una esfera, no tiene lımites.

El volumen total de este espacio 3D esferico es:

V =

∫√gχχgθθgϕϕ dχ dθ dϕ = a3

∫ 2π

0

∫ π

0

∫ π/2

0sen 2χ sen θ dχ dθ dϕ = π2a3

En este espacio el valor del cociente entre la medida de una circunferencia en lasuperficie (θ,ϕ) y el diametro es:

rπ

a sen−1(r/a)= π.

3.2.2.2. Espacio 3D de curvatura negativa

Para un espacio 3D de curvatura constante negativa las formulas correspondien-tes se obtienen de (3.4) cambiando a por ia:

dl2 =dr2

1 + r2/a2+ r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2).

Introduciendo en vez de r la variable χ definida por r = a senhχ, puede escribirse,para r > 0:

dl2 = a2[dχ2 + senh 2χ(dθ2 + sen 2θ dϕ2)]. (3.8)

Es facil verificar que la distancia en direccion radial es D = a senh−1(r/a), demodo que para este espacio el volumen total es infinito.


3.2.2.3. Sıntesis

En forma compacta los tres casos anteriores se expresan:

dl2 =dr2

1− kr2/a2+ r2(dθ2 + sen 2θ dϕ2) =

dσ2

(1 + kρ2/4a2)2. (3.9)

Para k = 1 el espacio 3D es esferico y de curvatura constante positiva; este casofue estudiado por Riemann. Para k = 0 el espacio es euclidiano, y para k = −1es pseudoesferico, de curvatura constante negativa, y fue estudiado por Bolyai yLobachevski.

En el caso bidimensional una superficie de curvatura constante positiva es la deun balon. La superficie de un elipsoide tiene curvatura positiva no constante. Noexiste, sin embargo en el espacio 3D una superficie de curvatura constante negativa;lo que mas puede parecersele es la superficie de una silla de montar (que es unaporcion de un cilindro hiperbolico), la que sin embargo tiene curvatura variable.

3.3. Coordenadas gaussianas

La nocion de simultaneidad, que implica la idea de un conjunto de puntos enel espacio 3D con la misma coordenada x∗0 (ver seccion 2.14), no es una nocioninvariante. Como se vera en esta seccion, tal nocion puede generalizarse al conceptode “superficie espacialoide”.

Por definicion, una superficie espacialoide es un continuo espacial 3D del espacio-tiempo construido de tal modo que la separacion entre cualquier dos puntos en eles espacialoide, esto es ds2 < 0. En la figura 3.1a la superficie σ es espacialoide,el 4-vector nσ es temporaloide y tσ es espacialoide. Esto significa que tσtσ < 0 ynσnσ > 0. Estos 4-vectores son ortogonales: nσtσ = 0. En los puntos a y b de la figura3.1a se muestran tambien dos conos de luz. La figura 3.1b muestra dos superficiesS y S′, espacialoides, correspondientes a tiempos x0 y x0 + dx0. A traves de cadapunto P en S puede trazarse una geodesica perpendicular a S que se extiende hastacortar S′ en P ′. Los puntos P y P ′ tienen las mismas coordenadas espaciales, esdecir, son el mismo punto del espacio en tiempos infinitesimalmente separados.

Por definicion, en un sistema de coordenadas gaussianas dx0 es la longitud delarco PP ′, esto es ds = dx0, y las coordenadas espaciales se trazan sobre superficiesespacialoides.

A lo largo de la geodesica ds2 = g00(dx0)2 = (dx0)2, por lo cual: g00 = 1. Unaforma de satisfacer la condicion nσtσ = 0 es escribir nσ = (1,0) y tσ = (0,a). Asıpues:

nσtσ = gσνtσnν = g00t

0n0 + gi0tin0 + g0it

0ni + gijtinj = 0,


σ

ab

nσ

tα

P ′(x0 + dx0, xi)

P (x0, xi)

a b

Figura 3.1: a. El 4-vector nσ normal a la superficie espacialoide es temporaloide y el tangen-cial tα es espacialoide. b. Dos superficies espacialoides cercanas con las mismas coordenadasespaciales

de donde se concluye que gi0 = 0. Ası, hasta ahora, el elemento de lınea toma laforma: ds2 = (dx0)2 + gijdxidxj .

Ahora bien, de la ecuacion de la geodesica (2.87) con µ = i y a lo largo de x0,esto es, con xi = xi = 0:

{ i

00

}dx0

ds

dx0

ds= 0

por lo cual{ i

00

}= 0, de donde se sigue: [00, i] = 0. De aquı se sigue g0i = cte, y

como g0i = 0 sobre S, entonces g0i = 0 en todos los puntos del espacio-tiempo. Ası,para todo el espacio-tiempo es posible escribir el elemento de lınea en coordenadasgaussianas:

ds2 = (dx0)2 + gijdxidxj . (3.10)

Estas coordenadas separan espacio y tiempo e introducen un tiempo universalaunque no covariante.

3.4. La metrica cosmologica

La cuestion de si el universo en conjunto es euclidiano o no, fue muy discu-tida desde el punto de vista geometrico antes del desarrollo de la teorıa dela relatividad, pero con la aparicion de esta el problema ha entrado en unanueva etapa, pues de acuerdo con la teorıa, las propiedades geometricas de loscuerpos no son independientes de la distribucion de las masas, sino que, por elcontrario, dependen de ella.

Einstein

En el primer cuarto del siglo XX la observacion indicaba que la distribucionde materia a gran escala es homogenea e isotropica. Aceptando que la estructurageometrica del espacio-tiempo esta condicionada por ella es aceptable postular que


a escala cosmologica el espacio-tiempo es tambien homogeneo e isotropico. Este seconoce como el principio cosmologico.

Puede elegirse un tiempo cosmico tal que en cada instante la metrica espacialsea la misma en todo punto y direccion. Existe entonces un sistema de referenciadesde el cual el universo aparece homogeneo e isotropico. Desde otros sistemas dereferencia estas simetrıas se ocultan, como en un sistema en movimiento respectoal primero. Este sistema privilegiado se conoce como sistema acompanante, y es unsistema referencial en reposo en cada instante respecto a la materia en ese punto,esta unido a lo que se llamara el fluido cosmologico y viaja con el. Ası, la redcoordenada es arrastrada por el fluido cosmico.

Segun la condicion de isotropıa espacial las coordenadas deben aparecer comodσ2 = dx2 + dy2 + dz2 o su equivalente esferico, es decir:

ds2 = (dx0)2 − dl2 = (dx0)2 − eG(x0,r)dσ2

Debido a la isotropıa, el coeficiente G(x0, r) no tiene dependencia angular. Debidoa la homogeneidad todos los puntos son equivalentes. En cualquier dos puntos lafısica es la misma y lo unico en que pueden diferir es la escala. Ası, el cociente entredos longitudes medidas en dos puntos diferentes debe ser constante en el tiempo,esto es:

dl1dl2

= f(r1, r2) =eG(x0,r1)

eG(x0,r2)= eF (r1,r2),

donde G(x0, r1) = G(x0, r2) + F (r1, r2). Para que esto sea cierto G(x0, r) ha decontener aditivamente funciones de x0 y r: G(x0, r) = g(x0) + f(r), por lo cualF (r1, r2) = f(r1)− f(r2). El elemento de lınea se escribe ahora:

ds2 = (dx0)2 − eg(x0)+f(r)dσ2, (3.11)

y sera conveniente usar coordenadas esfericas.Los sımbolos de Christoffel pueden evaluarse a partir de:

δ

∫ds = δ

∫[(x0)2 − eG(r2 + r2θ2 + r2 sen 2θ ϕ2)]ds = 0.

Realizando el problema variacional y comparando con la ecuacion de la geodesica seobtiene

{ µ

νσ

}en terminos de f(r) y g(x0). Pueden luego evaluarse Rµν y R (vease

la seccion 12.3 del libro de Adler). Con f ′ = df/dr y g′ = dg/dx0 la ecuacion deEinstein (2.57) que incluye la constante cosmologica escrita como:

−8πG

c2Tµ

ν = Gµν + Λδµν ,


toma la forma explıcita:

• −8πG

c2T 0

0 = G00 + Λ =

[e−G

(f ′′ +

f ′2

4+

2f ′

r

)−

3

4g′2]+ Λ (3.12)

• −8πG

c2T 1

1 = G11 + Λ =

[e−G

(f ′2

4+

f ′

r

)− g′′ −

3

4g′2]+ Λ (3.13)

• −8πG

c2T 2

2 = −8πG

c2T 3

3 = G22 + Λ = G3

3 + Λ

=

[e−G

(f ′′

2+

f ′

2r

)− g′′ −

3

4g′2]+ Λ (3.14)

• −8πG

c2Tµ

ν = 0 para µ = ν. (3.15)

Debido a la isotropıa espacial, las componentes espaciales de Gµν y Tµ

ν no debencambiar bajo rotacion de coordenadas. Ası, de la regla de transformacion:

T ′ij = ai kajlT

kl,

escrita en forma matricial como T′ = ATA, y con AA = I (transformacion ortogo-nal), se sigue que T′ = T si T es diagonal (T = αI), con lo cual:

T′ = ATA = αAIA = αI.

Ası, con = T 11 = T 2

2 = T 33, reemplazando en la resta de (3.13) y (3.14):

f ′′ −1

2f ′2 −

1

rf ′ = 0, (3.16)

de donde f ′ = ar ef/2. Por integracion:

ef =b2

[1− (ab/4)r2]2

con a y b constantes. El elemento de lınea (3.11) es ahora:

ds2 = (dx0)2 − eg(x0)+f(r)dσ2 = (dx0)2 −

b2eg(x0)

[1− (ab/4)r2]2dσ2.

El coeficiente ab puede reemplazarse por otro de dimension inversa a la longitud:ab = −k/r20, con k = 0,±1. De modo que el elemento de lınea en coordenadas espa-ciales isotropicas, que toman en cuenta la isotropıa de las componentes espacialesdel tensor momento-energıa tiene la forma:

ds2 = (dx0)2 −b2eg(x

0)

[1 + kr2/4r20]2dσ2. (3.17)


Cambiando a la coordenada adimensional u = r/r0, el elemento de lınea espacialse escribe:

dσ2 = r20[du2 + u2(dθ2 + sen 2θ dϕ2)] = r20 dχ

2,

y con x0 = ct y la definicion del factor de escala R2(t) = b2r20 eg(x0), (3.17) toma la

forma conocida como metrica de Robertson-Walker, propuesta en 1935:

ds2 = c2dt2 −R2(t)

[1 + ku2/4]2dχ2 . (3.18)

En el sistema acompanante la materia esta en reposo, lo que significa que lascoordenadas de cada elemento del fluido cosmico son fijas en el tiempo; sin embargo,debido al factor R(t) que afecta la metrica, la distancia espacial entre dos puntos esfuncion del tiempo. Como se vera luego −despues del estudio de la recesion de lasgalaxias descubierto por Hubble− R(t) es una funcion creciente del tiempo, con loque la expansion del universo es interpretable como expansion del espacio.

Es facil comprobar que los elementos espaciales del tensor de Ricci-Einstein sonindependientes de la posicion, como lo exige la homogeneidad e isotropıa del espacio.En efecto, de (3.13) - (3.15):

G11 = G2

2 = G33 = e−f

(1

4f ′2 +

1

rf ′

)e−g − g′′ −

3

4g′2, (3.19)

y como f ′′ − 12f

′2 − 1rf

′ = 0, segun (3.16), se sigue en la anterior:

1

4f ′2 +

1

rf ′ =

1

2f ′′ +

1

2rf ′ =

a

bef , de donde:

e−f

(1

4f ′2 +

1

rf ′

)=

a

b= cte.

La ultima ecuacion permite escribir (3.19) en la forma:

G11 = G2

2 = G33 =

a

be−g − g′′ −

3

4g′2 = −

1

R2

[k +

1

c2(2RR′′ + r′2)

],

que solo depende del tiempo, como se querıa demostrar.Puede probarse que la metrica de Robertson-Walker corresponde a un sistema

acompanante. Para esto basta verificar de (3.18) que{ i

00

}= 0; en consecuencia, si

xi = 0 en algun instante:

xi +{ i

00

}x0x0 = 0,

de donde se sigue que en cada instante la aceleracion es nula: xi = 0. Esto significaque el fluido viaja con la red coordenada.


3.5. Ley de Hubble

Las observaciones realizadas en los anos 20 del siglo pasado por Edwin Hubblerevelaron que hay un corrimiento al rojo de la luz que viene de las galaxias y queeste es tanto mayor cuanta mayor es la distancia L a la que se encuentran. Eldezplazamiento al rojo, medido como el cambio fraccional en la longitud de onda,tiene la forma:

∆λ

λ∝ L.

En forma de una igualdad:∆λ

λ= H

L

c,

conocida como ley de Hubble. H se conoce como constante de Hubble; su inversoH−1, conocido como tiempo de Hubble tiene un valor cercano a (5.6± 0.6)×1017 seg,o en anos: (1.8± 0.2)×1010. Es usual definir el parametro de corrimiento al rojo zcomo:

z =∆λ

λ, (3.20)

tal que la ley de Hubble es tambien:

cz = HL. (3.21)

Si el corrimiento al rojo se interpreta como efecto Doppler debido al alejamientode las galaxias, entonces, en aproximacion no relativista β ≪ 1:

λ′ = λ

√1 + β

1− β≃ λ

(1 +

β

2

)(1 +

β

2

)≃ λ(1 + β), de donde:

∆λ

λ≃λ′ − λλ

=v

c= H

L

c, por lo cual:

v = LH

3.5.1. La expansion del espacio

De la metrica de Robertson-Walker (3.18) es posible demostrar que existe uncorrimiento en la frecuencia de la luz emitida por objetos distantes, aunque suscoordenadas permanezcan sin cambio con el tiempo. Tal corrimiento se debe a lapresencia del factor R(t).

En la figura 3.2 se muestra una galaxia E desde la que viaja una senal luminosaemitida en el instante te, senal que alcanza al observador O en el instante to, conto > te. Las coordenadas de la galaxia y el observador permanecen invariables, esto


tote• •

Figura 3.2: La luz emitida por una galaxia en E es recibida por un observador O

es, se mueven junto con el fluido cosmico. Puesto que la senal que viaja entre elloses luminosa es cierto que ds = 0. Ası, de (3.18):

c2dt2 =R2(t)

[1 + ku2/4]2dχ2 = R2(t) dσ2

dσ es una distancia coordenada adimensional definida como dχ/(1 + ku2/4), que esindependiente del tiempo, mientras R(t) dσ es una distancia fısica, dependiente deltiempo. Esto significa que la red coordenada espacial permanece inalterada pero ladistancia fıısica puede cambiar dependiendo del valor de la metrica R(t). Por tanto:

σ = c

∫ to

te

dt

R(t), (3.22)

que corresponde a la distancia coordenada entre emision y recepcion de la senalluminosa, permanece inalterada en el tiempo. Esto trae la consecuencia de que laluz emitida en el instante te+∆te y recibida en te+∆te recorre la misma distanciacoordenada:

σ = c

∫ to+∆to

te+∆te

dt

R(t). (3.23)

De (3.23) restando (3.22) y puesto que:∫ to+∆to

te+∆te

=

∫ to

te

+

∫ to+∆to

to

−∫ te+∆te

te

,

puede escribirse:∫ to+∆to

te+∆te

dt

R(t)−∫ to

te

dt

R(t)= 0 =

∫ to+∆to

t0

dt

R(t)−∫ te+∆te

te

dt

R(t).

Como las integrales se realizan sobre un intervalo diferencial ∆t es cierto que:

∆t0R(t0)

=∆teR(te)

.

Si el intervalo temporal es el que separa dos maximos de una onda monocromati-ca, entonces la frecuencia es ν = 1/∆t, de modo que:

νeνo

=1/∆te1/∆to

=Ro

Re=λoλe

,


con R(t0) = R0, R(te) = Re. Ası pues, con la definicion de z dada en (3.20):

z =∆λ

λ=λo − λeλe

, de modo que:

z =Ro

Re− 1. (3.24)

La observacion de Hubble revela que hay corrimiento al rojo de la luz de lasgalaxias, esto es λo > λe, lo que implica Ro > Re. Puesto que R(t) es un terminometrico, esto significa que las distancias fısicas entre cada pareja de puntos aumen-tan con el tiempo, aunque las galaxias mantengan invariables sus coordenadas. Asıpues, la recesion de las galaxias puede interpretarse en relatividad general comoexpansion del espacio.

Ahora bien, el factor 1/R(t) que aparece en (3.22) y (3.24) puede expandirse enuna serie de Taylor alrededor de R0:

1

R(t)=

1

Ro+ (t− to)

[d

dt

(1

R

)]

to

+1

2(t− to)

2

[d2

dt2

(1

R

)]

to

+ · · ·

=1

Ro−(c(t− to)

Ro

)R′

o

cRo+

1

c2

(c(t− to)

Ro

)2(R′o2

Ro−

R′′o

2

)+ · · · .(3.25)

Esta expansion es convergente para c(t− to)/Ro ≪ 1. Dos calculos simples sonentonces posibles:

A. Reemplazando (3.25) en (3.22) e integrando se obtiene:

σ =c(to − te)

Ro+

cR′o(te − to)2

2R2o

+ · · · = h+R′

oh2

2c+ · · · , (3.26)

donde se ha definido: h = c(to − te)/Ro que es una cantidad mayor que cero. Ası,en primera aproximacion es cierto que:

σ ≃ h. (3.27)

B. De otro lado, si se hace t = te en (3.25) y se reemplaza en (3.24), haciendouso de la definicion de h, se obtiene:

z =R′

oh

c+

Roh2

c2

(R′

o2

Ro−

R′′o

2

)+ · · · (3.28)

y con h ≃ σ de (3.27):

cz = R′oσ +

1

2cR′

o2σ2(1 + qo) + · · · (3.29)


El factor qo se conoce como parametro de desaceleracion y ha sido definido en(3.29) la forma:

qo = −R′′

oRo

R′o2. (3.30)

En primera aproximacion, y como L = R0σ la ecuacion (3.29) reproduce la leyde Hubble (3.21):

cz ≃ R′oσ =

R′o

Ro(Roσ) =

R′o

RoL = HL.

si se define la “constante” de Hubble en la forma:

H =R′

o

Ro. (3.31)

En general, R′ es una funcion del tiempo como lo es R, tal que H no es unaconstante. El valor de H escrito como R′

o/Ro esta evaluado en el instante de ob-servacion, vale decir, en el universo actual. Ası pues, segun (3.29), la ley de Hubbleadmite una forma mas general que incluye la desaceleracion de las galaxias, efectoque newtonianamente es atribuible a la gravitacion del universo sobre sı mismo.Entonces:

cz ≃ HL+1

2c

R′o2L2

R2o

(1 + qo) = HL+H2L2

2c(1 + qo) = HL

[1 +

HL

2c(1 + qo)

].

De la definicion (3.31) facilmente puede probarse que:

d

dt

(1

H

)= 1 + q0 y que, por tanto cz ≃ HL

[1 +

HL

2c

d

dt

(1

H

)].

3.6. Modelos cosmologicos

De acuerdo con el principio cosmologico, la presion y la densidad del fluidocosmico dependen del tiempo, pero no de la posicion. En el sistema acompanantees cierto que x0 = 1, xi = ui = 0, tal que de (2.46) con g00 = 1 y u0 = u0 se sigue:

Tµν =

⎛

⎜⎜⎝

ρ 0 0 00 −P/c2 0 00 0 −P/c2 00 0 0 −P/c2

⎞

⎟⎟⎠ .

Insertando las componentes de este tensor, y los valores de f y g dados por:

ef =b2

[1 + kr2/4r20]2, eg =

R2(t)

b2r20


y tomando en cuenta que, de acuerdo con (3.16), las ecuaciones (3.12)-(3.14) sereducen a solo una, podemos expresar (3.11)-(3.14) como la pareja:

8πG

c2ρ = −Λ+

[3k

R2+

3R′2

c2R2

](3.32)

8πG

c2P

c2= Λ−

[k

R2+

R′2

c2R2+

2R′′

c2R

], (3.33)

donde R′ = dR/dt, R′′ = d2R/dt2. Combinando las dos anteriores ecuaciones en laforma (3.32)+3(3.33) y (3.32)+(3.33) se sigue:

4πG

c2

(ρ+

3P

c2

)= Λ−

3R′′

c2R(3.34)

4πG

c2

(ρ+

P

c2

)=

k

R2−

R′2 −RR′′

c2R2=

k

R2−

1

c2d

dt

(R′

R

). (3.35)

Eliminando el ultimo termino de (3.35) con el que se obtiene derivando (3.32)respecto al tiempo, puede escribirse:

d

dt

(ρR3

)+

P

c2dR3

dt= 0 , que equivale a: (3.36)

dR

R+

dρ

3[ρ+ P/c2]= 0. (3.37)

Esta ecuacion puede resolverse si se provee la ecuacion de estado P = P (ρ);puede entonces obtenerse ρ = ρ(R). Dos casos simples son como sigue:

A. Gas cosmologico de presion nula. Con P = 0 en (3.36) se sigue: ρR3 = cte.

B. Gas ideal isotermico: P = αρ, de donde: ρR3(1+α/c2) = cte.

De las anteriores consideraciones surgen diversos modelos.

3.6.1. Modelos estaticos

En estos casos ρ,P y R son independientes del tiempo, por lo cual, en particularno contienen corrimiento al rojo. Las ecuaciones (3.32) a (3.35) toman la forma:

8πG

c2ρ = −Λ+

3k

R2, (3.38)

8πG

c2P

c2= Λ−

k

R2, (3.39)

8πG

c2

(ρ+

3P

c2

)= Λ, (3.40)

8πG

c2

(ρ+

P

c2

)=

k

R2. (3.41)


3.6.1.1. A. El universo de Minkowski

Si Λ = 0, en (3.40) se sigue: ρ + 3P/c2 = 0. Puesto que ρ ≥ 0 y P ≥ 0 seconcluye que ρ = P = 0, y en consecuencia, de (3.41): k = 0. Este es un universovacıo, plano en el espacio y uniforme en el tiempo. En este universo es valida larelatividad especial. Como se ve, la relatividad general admite el espacio-tiempopuro, sin materia.

3.6.1.2. B. El universo de Einstein

Este modelo fue propuesto por Einstein en 1917, anos antes del descubrimien-to de Hubble, y esta fundamentado en su creencia, en esos anos, en un universoestacionario. Esto precisamente fue lo que motivo la introduccion de la constantecosmologica. De (3.38) y (3.39), con ρ > 0 y P > 0:

−Λ+3k

R2> 0 y Λ−

k

R2> 0 , de donde:

k

R2< Λ <

3k

R2,

de modo que Λ es proporcional al inverso del “radio” al cuadrado del universo,lo que asegura que la constante cosmologica ha de ser sumamente pequena y noimportante a nivel del sistema solar.

De (3.41) se sigue que:

R2 =kc2

4πG(ρ+ P/c2),

cantidad que es mayor que cero, luego k = 1. Este, entonces, es un universo esferico,finito e ilimitado. Como ρ≫ P/c2 es cierto que el radio del universo de Einstein es:

R ≃ c/√

4πGρ,

que da un numero cercano a 1026m.

3.6.2. Modelos dinamicos

En los modelos que siguen ρ, P y R dependen del tiempo.

3.6.2.1. A. Sin constante cosmologica

De (3.32) con Λ = 0:

ρ−3R′2

8πGR2=

3kc2

8πGR2. (3.42)


Si esta expresion se evalua en el universo presente, con densidad ρ0 y R′0/R0 = H

se obtiene:

ρ0 −3H2

8πG= k

(3c2

8πGR20

), (3.43)

que puede escribirse:

ρ0 = ρC+ k

(3c2

8πGR20

), donde: (3.44)

ρC=

3H2

8πG(3.45)

define la densidad crıtica, valor cercano a (2,1± 0,5)× 10−29gr/cm3.De (3.34) con Λ = 0:

4πG

c2

(ρ+

3P

c2

)= −

3R′′

c2R. (3.46)

Puesto que ρ > 0 y P > 0 es cierto que R′′ < 0, lo que significa que haydesaceleracion, que se debe a la atraccion que el universo ejerce sobre sı mismo.Ademas, como aproximacion, la presion puede suponerse muy debil (P/c2 ≪ ρ);eliminando ρ entre (3.42) y (3.46):

2R′′R+R′2 + kc2 = 0, (3.47)

que puede escribirse como (RR′2)′ + kR′c2 = 0 y cuya integral es:

R′2 =D0 − kR

Rc2. (3.48)

De (3.47), con R′′ < 0, y de (3.42) reemplazando R′2 de (3.48) puede concluirseque D0 > 0:

R′′ = −kc2 +R′2

2R= −

D0 c2

2R2< 0. (3.49)

De (3.46) y (3.49) con P/c2 ≃ 0:

R′′ = −4πG

3ρR = −

D0 c2

2R2, (3.50)

de donde se concluye que ρR3 es constante:

D0 =2G

c2

(4π

3ρR3

)

A continuacion se analizan los tres casos posibles para k.


A1. Espacio 3D esferico

Un espacio 3D esferico corresponde al caso k = 1, en el cual, de (3.48):

√RdR√

D0 −R= c dt.

Introduciendo el cambio de variable R = D0 sen 2τ(t) e integrando se obtienen lasecuaciones parametricas de una cicloide:

ct =D0

2(2τ − sen 2τ)

R =D0

2(1− cos 2τ).

Esta ecuacion se representa en la figura 3.3, de acuerdo con la cual se trata de ununiverso que comienza su expansion desde R = 0 en τ = t = 0; alcanza su maximoradio Rm = D0 en t = D0π/2c y luego se contrae hasta alcanzar un radio cero ent = D0π/c. Se le llama “universo cerrado”. En los calculos anteriores el instantet = 0 no puede sin embargo considerarse correctamente descrito pues se ha supuestoP = 0 en todo t, lo que no es cierto para t→ 0.

R(t)

D0

t = τ = 0 t = D0π/c

t

Figura 3.3: Cambio con el tiempo del radio del universo en un modelo esferico

Reemplazando R′2 y R′′ de (3.48) y (3.50) en (3.30) se obtiene

R = Rm

(1−

1

2q

). (3.51)

Los valores extremos de R que son 0 y Rm corresponden a valores extremos deq iguales a 1/2 e ∞, de modo que en este modelo q > 1/2. Reemplazando R′ de(3.48) en H = R′/R y utilizando el valor obtenido de D0 en (3.51) se obtiene elradio actual del universo en el modelo esferico:

R0 =c

H(2q0 − 1).


Con q0 = 1,0 ± 0,5 y H−1 = (5,6 ± 0,6) × 1017seg se obtiene R0 ≃ 1026 m. Reem-plazando k = 1 en (3.44):

ρ0 = ρC+

3c2

8πGR2.

De modo que en un universo esferico la densidad promedia es mayor que la crıtica,lo que tambien se concluye de (3.50), (3.30) y la definicion de H:

q0 =1

2

ρ0ρ

C

. (3.52)

Puesto que q0 > 1/2 se sigue que ρ0 > ρC.

A2. Modelo de Friedmann

Para este modelo, propuesto en 1922, k = 0, tal que segun (3.48): R′2 = D0c2/R,cuya integracion conduce a:

R3/2 =3

2D0ct+ C.

Si R = 0 en t = 0 sera cierto entonces que:

R = At2/3, (3.53)

con A = (3c√D0/2)2/3. Este modelo, representado en la figura 3.4, corresponde a

un universo euclidiano en expansion continua a partir de un origen explosivo, comoen el caso k = 1. Es un “universo abierto”. De (3.48) y (3.50) se obtiene q0 = 1/2;y de (3.52): ρ0 = ρ

C.

A3. Espacio 3D pseudoesferico

Corresponde a k = −1. De (3.48):

R′2 =D0 +R

Rc2,

cantidad que es mayor que cero, lo que implica una expasion continua sin fase decontraccion como en el caso k = 1. Es tambien un “universo abierto”. Escogiendoel cambio de variable R = D0 senh 2τ la solucion a la ecuacion para R′2 conduce a:

ct =D0

2( senh 2τ − 2τ). (3.54)

Los modelos sin constante cosmologica A1, A2 y A3 se muestran en la figura3.4. En todos ellos hay un corrimiento al rojo y un origen en el tiempo al que seconoce como Big-Bang, la gran explosion.


R(t)

tO

a

b

c

Figura 3.4: Modelos de universo. La curva a corresponde a k = 1 (univer-so cerrado), modelo A1 en el texto; la curva b a k = 0 (universo abierto),modelo A2, y la curva c a k = −1 (universo abierto), modelo A3

3.6.2.2. B. El universo de De Sitter

Este modelo, propuesto en 1917, tiene una constante cosmologica no nula yasume que H es una constante. De acuerdo con la definicion (3.31), si H = R′/Res una constante, entonces:

R = R0 eHt. (3.55)

R(t)

R0

t

Figura 3.5: Evolucion del radio del universo segun el mo-delo de De Sitter

En este modelo, representado en la figura 3.5, no hay singularidad en el origen,y describe un universo en expansion continua con corrimiento al rojo como en losmodelos con Big-Bang. Reemplazando (3.55) en (3.34) y (3.35):

4πG

c2

(ρ+

3P

c2

)= Λ−

3H2

c2= cte (3.56)

4πG

c2

(ρ+

P

c2

)=

k

R20

e−2Ht. (3.57)


De (3.57) se sigue que ρ + P/c2 → 0 en t → ∞ de modo que ρ = ρ0e−2Ht yP = P0e−2Ht. Sin embargo, de (3.56): ρ+3P/c2 = cte, lo que implica ρ0 = P0 = 0,por lo cual tambien k = 0. En consecuencia Λ = 3H2/c2. Ası, el universo de DeSitter esta vacıo, es espacialmente euclidiano y esta en expansion. El valor de laconstante cosmologica es:

Λ =3H2

c2=

1

(1,8× 1010)2(anos luz)−2.

De la ecuacion de Einstein con constante cosmologica, (2.57), multiplicando porgνσ, igualando ındices y teniendo en cuenta que T = T σ

σ = 0 se sigue: R = 4Λ,de modo que R = 0. Esto significa que el espacio-tiempo de De Sitter es curvo. Laexpansion del universo de De Sitter proviene exclusivamente de Λ positivo, que dalugar a una accion repulsiva (vease el final de la seccion 2.8).

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Indice alfabetico

Aceleracioncaıda libre, de, 58

Basebilineal, 12original, 5recıproca, 5, 6

Bianchi, identidad de, 39Big-Bang, 165Birkhoff, teorema de, 113

Calculo, variaciones, de, 17Caıda libre, 51, 127

aceleracion de, 58Campo

Christoffel, de, 65cuasi-euclidiano, 66debil, 88gravedad, de, 51gravitacional, 56

newtoniano, 52mareas, de, 51, 63, 67vectorial, 11

Carga, gravitacional, 55Cavendish, 55Christoffel

sımbolo de, 22sımbolos de, 70, 110

Cociente, regla del, 16Coeficientes, metricos, 6Componentes

covariantes, 48

fısicas, 48Condicion(es)

armonica, 87coordenadas, 87

Conexion afın, 31Conica, 143Constante

cosmologica, 82Einstein, de, 78

Contraccion de ındices, 15Convencion suma, 5Coordenadas

cartesianas, 8curvilıneas, 4esfericas, 9gaussianas, 152geodesicas, 71

Correspondenciaprincipio de, 80

Corrimiento al rojo, 104, 128, 157, 161

De Sitteruniverso de, 166

Deflexion de la luz, 124Delta

Dirac, de, 57Kronecker, de, 6, 14

Densidad tensorial, 43Derivada covariante, 26

producto, de un, 29Dıada, 12Diferencial covariante, 27

170

Indice alfabetico /171

Dirac, Delta de, 57Divergencia, 49

covariante, 35teorema de la, 45

Dopplergravitacional, 104gravitacional, 105

Dyson, 126

EcuacionEinstein, de, 78Euler, de, 17Euler-Lagrange, de, 70Lagrange, de, 17ondas, de, 57Poisson, de, 57

Eddington, 126Einstein, 58, 63

constante de, 78, 81ecuacion de, 78tensor de, 43universo de, 162

Elemento diferenciallınea, de, 4, 64

Eotvos, 58Equivalencia

principio de, 62Escalar, 7, 12, 13

curvatura, de, 40Espacialoide, 99Espacio

3D esferico, 164afın, 31curvatura negativa, de, 151curvatura positiva, de, 148, 149euclidiano, 38expansion del, 159Minkowski, de, 64Riemann, de, 7

Eulerecuacion de, 17

Euler-Lagrange

ecuacion de, 70Expansion

acelerada, 83espacio, del, 159

Forma(s)bilineal, 12bilineales, 12lineales, 12

Friedmann, 165Fuerza(s)

centrıfuga, 59Coriolis, de, 59ficticia, 68ficticias, 59inerciales, 59

Galileo, 58Gauge

Lorentz, de, 86Gauss, teorema de, 45Geodesica, 17, 28, 65, 107Geometrıa

diferencial, 21Gradiente, 16, 49Gravitacion

ley de, 55Gravitacional

campo, 52, 56carga, 55masa, 55potencial, 52, 57, 66

Helicidad, 92, 94Hilbert, 78Hubble

constante de, 157ley de, 157

Indice(s)contravariantes, 11covariantes, 11


flotantes, 10mudos, 5repetidos, 5sub, 5super, 5

Inercia, ley de, 84Intervalo, 7Invariante(s), 9, 10

volumen, de, 45

Kroneckerdelta de, 6, 14

Kronecker, delta de, 6

Lagrange, ecuacion de, 17Laplace-Runge-Lenz, vector de, 143Laplaciano, 36, 49Leibniz

regla de, 29Levi-Civita

sımbolo de, 12, 44Ley de Hubble, 157Lorentz

gauge de, 86Luminoide, 99

Metrica, 6Mareas

campo de, 67Masa

gravitacional, 55, 58inercial, 55

Minkowskiespacio de, 64

Movimientoinercial, 54

Newton, 55, 58

Onda(s)ecuacion de, 57electromagneticas, 91

gravitacional, 92, 94ficticia, 96genuina, 96

longitudinal, 91metricas, 89potencial ficticia, 92transversa, 91

Operadorgradiente, 16

Parametro de desaceleracion, 160Perihelio

precesion del, 121, 144Perturbaciones

teorıa de, 122Poisson

ecuacion de, 57Potencial

gravitacional, 52, 57, 66metrico, 66

Pound, 105Precesion

perihelio, del, 121, 144Principia, 55Principio

correspondencia, 80cosmologico, 160covarianza, de, 63equivalencia, de, 62, 63, 69variacional, 69

Productocruz, 12diadico, 12escalar, 12

doble, 15externo, 15interno, 15punto, 12vectorial, 12

Rebka, 105Recalibracion, 90

Indice alfabetico /173

Reglacociente, del, 16

Ricci-Einsteintensor de, 40

Riemann-Christoffeltensor de, 38

espacio de, 7tensor de, 71

Robertson-Walkermetrica de, 157

Rotacional, 36

Schwarzschildmetrica de, 111radio de, 112, 128

Simultaneidad, 101Sistema

acompanante, 154acelerado, 60coordenado, 4geodesico, 48, 63mano derecha, de, 6ortogonal, 49

inercial, 59rotante, 69

Temporaloide, 99Tensor, 12, 13

antisimetrico, 14componentes fısicas, 114Einstein, de, 43identidad, 15isotropico, 14momento-energıadel campo electromagnetico, 77del fluido, 75

Ricci-Einstein, de, 40Riemann, de, 69Riemann-Christoffel, de, 38simetrico, 14unidad, 15

Teorıa unificada, 33Teorema

divergencia, de la, 45Gauss, de, 45

Tiempo propio, 103Transformacion

reglas de, 11, 13Trasplante vectorial, 31

Universo3D pseudoesferico, 165abierto, 165cerrado, 164De Sitter, de, 166en expansion, 165, 167vacıo, 167

Variaciones, 18calculo de, 17

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