ESCUELA AMBIENTAL

INTEGRANTES:

Tema: ElipseE Rubio Otoya Guadalupe E Del Carpio Vicuña CarolinaE Quispe Parhuay MarianelaE Mendoza Caja Marilyn E Santana Hinostroza EstefaniE Quiroz Sánchez MelissaE Moreno Mori Alexandra E Valdeiglesias Tapia DiamiraE Muro Bautista OfeliaE Valerio Machaca MayelaE Guerra Huamán EstefaniE Montes Rosales Ashly

INDICE:1. Definición y elementos de la elipse

2. Valor de la constante

3. Excentricidad de la elipse

4. Ecuación de la elipse con centro en el origen

5. Ecuación de la elipse con centro fuera del origen Vertical Horizontal

6. Longitud del lado recto Vertical Horizontal

7. Ecuación ordinaria Vertical Horizontal

8. Ecuación general Vertical Horizontal

9. Conversión de la forma general a la ordinaria

1. DEFINICIÓN

Definición Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de

un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, siempre es constante.

A esta longitud constante se le denomina eje mayo que puede ser paralelo al eje “x”, paralelo al eje “y” o bien oblicuo.

Eje mayor = Distancia entre

vértices

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

CENTRO : Como su nombre lo indica, es el punto central de la elipse y es donde seintersecan los ejes mayor y menor.

FOCOS (F1 y F2) : Son dos puntos localizados sobre el Eje mayor, no son arbitrarios y entre más parecida sea una elipse a una circunferencia, la distancia

entre ellos se reduce

.Eje Mayor ( AB = 2 a ): Segmento de recta localizado entre los vértices de la Elipse.

Eje Menor ( CD = 2b) : Segmento de recta perpendicular al eje mayor cuyos extremos selocalizan sobre la elipse.

RADIO VECTOR : Son los segmentos de recta

dirigidos que van desde un punto F1 u F2 hasta un

punto situado en la elipse.

VERTICE ( A y B) : Puntos extremos del eje

mayor.

DISTANCIA FOCAL : Es el segmento de recta que va desde un foco F1 hasta el F2.

LADO RECTO : Segmento de recta perpendicular al eje mayor, contiene a un foco (cualquiera de los dos) y sus extremos se localizan sobre la elipse. La longitud del lado recto se denomina ancho focal.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

2. VALOR DE LA

CONSTANTE

PF1 + PF2 = 2a

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

Valor de la constante

3. EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE

Excentricidad de la Elipse La excentricidad ε (épsilon)  de  una  elipse  es  la    razón  entre  su  semidistancia  focal 

(segmento que  va del  centro de  la elipse a uno de  sus  focos),  denominada por  la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

Dado que :

También vale la relación

O el sistema : La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

4. ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO

EN EL ORIGEN

A partir de la definición de la elipse y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se puede deducir la ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas rectangulares.

Ecuación de la elipse horizontal con centro en el

origen

Si los vértices se ubican en las coordenadas y

, los focos están en y , el eje

mayor de la elipse es coincidente al eje “x” y su centro

se ubica en el origen , tiene la siguiente forma :

Si el punto P está en cualquiera de los vértices, la suma de distancias d1 + d2 da como resultadoa - c + a + c , por lo que la suma constante se establece en 2a, a > 0

El punto P(x, y) pertenecerá a la elipse si y sólo si: d1 + d2 =2a,por lo tanto:

Hasta llegar a : ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la elipse horizontal con centro en el origen, desemieje mayor a y de semieje menor b .

El procedimiento para obtener la ecuación de la elipse vertical es muy similar al que se hizo con la elipse horizontal.

Ecuación de la elipse vertical

con centro en el origen

En este caso, los vértices y focos están sobre el eje “y "en las coordenadas

, respectivamente y aplicando la

expresión de distancia entre dos puntos, se tiene que :

ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la elipse vertical con centro en el origen, de semieje mayor a y de semieje menor b .

La elipse en este caso tendría la siguiente forma:

5. ECUACION DE LA ELIPSE

CON CENTRO FUERA DEL

ORIGEN

Ecuación de la Elipse con centro fuera del origen - Horizontal

A partir de la definición de la elipse y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se puede deducir la ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas rectangulares

•Sea la elipse del eje focal paralelo al eje X y cuyo centro es el  punto C (h,k) 

Si trasladamos el sistema de coordenadas  XY al sistema  X`Y` de tal forma que el nuevo origen O` coincida con el punto C (h,k) cuya ecuación seria : 

= 1 = 1 = 1

Ejemplo I : (Horizontal) Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos V(7,-2) y V(-5,-2) y pasa por el punto P(3,2).

En este sistema:X´= x-hY`= y-kTeniendo como resultado: 

Ecuación de la Elipse con centro fuera del origen – Vertical

El procedimiento para obtener la ecuación de la elipse vertical es muy similar al que se hizo con la elipse horizontalConsideremos ahora la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje Y y cuyo centro es el punto C (h,k)

Como en el caso anterior la ecuación de la elipse con relación al sistema X`Y` es : 

En este sistema:X´= x-hY`= y-kTeniendo como resultado:

Ejemplo II : (Vertical) :La distancia entre las directrices de una elipse es 18. Hallar su ecuación si tiene por focos los puntos F1 (1,5) y F2(1,3).

6. LONGITUD DEL LADO

RECTO DE UNA ELIPSE

Longitud del lado recto de una elipse horizontal

Para cualquier elipse, los segmentos perpendiculares al eje mayor que pasan por sus focos de la elipsecon extremos sobre la curva se denominan lados rectos (LR).

Gráficamente es:

Para encontrar las coordenadas de los extremos del lado

recto, que pasa por el foco , se

sustituye elvalor de x por c en

la ecuación despejada para y :

por lo cual, las coordenadas de los extremos P1 y p2 del lado recto asociado a f1

son:

Similarmente, para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto que pasa por el foco F2 , elprocedimiento es idéntico al tomar en cuenta que los puntos p3 y p4 son simétricos a los puntos p1 y p2

con respecto al eje x , con lo que se tienen la mismas ordenadas respectivas, por lo que lascoordenadas de los extremos p3 y p4

del lado recto asociado F2 a son:

La longitud, medida en unidades lineales (u),de cada lado recto viene dado por la diferencia de sus ordenadas. Por lo tanto:

Longitud del lado recto de una elipse vertical

Para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto de una elipse vertical, que pasa por el foco F1 , se sustituye el valor de y por c en

la ecuación despejada para x

por lo cual, las coordenadas de los extremos p1 y p2 del lado recto asociado a f1 son:

Similarmente, para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto que pasa por el foco F2 , el procedimiento es idéntico al tomar en cuenta que los puntos p3 y p4 son simétricos a los puntos p1 y p2

con respecto al eje x , con lo que se tienen la mismas ordenadas respectivas, por lo que lascoordenadas de los extremos p3 y p4 del lado recto asociado F2 a son:

7. ECUACIÓN GENERAL

DE LA ELIPSE

Ecuación General de la Elipse Como en los casos de las otras cónicas, para convertir una ecuación de la

forma general a la forma ordinaria, utilizaremos el método de factorización conocido como completar cuadrados.

Si la ecuación corresponde a una elipse, entonces los signos de A y B deben ser iguales.

Conversión de f. ordinaria a f. general

Esta ecuación es la que encontramos en el ejemplo que se resolvió en la página?Ahora solamente vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad por 25 y después por 16:

Esta es la ecuación de la misma elipse, pero en la forma general.

Ahora solamente vamos a transformarla a la forma general

Ya calculamos la ecuación en forma ordinaria de esta elipse (pág.?).

Ahora solamente la vamos a escribir en la forma general.Empezamos multiplicando ambos lados de la  igualdad por los denominadores de las fracciones:

Ahora desarrollamos los binomios que están elevados al cuadrado

Y hemos terminado

Ya calculamos la ecuación en forma ordinaria de esta elipse (pág.?)

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE HORIZONTAL

Que es la ecuación general de la elipse horizontal. A¹C, pero del mismo signo.

ECUACION GENERAL DE ELIPSE VERTICAL:

8. CONVERSION

DE LA FORMA

GENERAL A LAFORMA

ORDINARIA

Conversión de la forma general a la forma ordinaria

•Ahora si vamos a aplicar el método de completar cuadrados.•Empezamos ordenando los términos: primero los que incluyen a x y después los que incluyen a y:

•Factorizamos el coeficiente del término principal de cada binomio:

Como en los casos de las otras cónicas, para convertir una ecuación de la forma general a la forma ordinaria, utilizaremos el método de factorización conocido como completar cuadrados.