LA ELIPSE

Se muestra un dibujo de una, teniendo en cuenta, dicha figura se puede decir que la elipse es el lugar geométrico de los puntos que cumplen la siguiente relación: PF+PF’=2a; donde P es cualquier punto de la elipse, F y F´ son los llamados focos de la elipse

Los elementos geométricos de la elipse se enuncian a continuación: F, F´: Focos AA´: Eje mayor = 2a. OA: Semieje mayor = a. BB´: Eje menor = 2b. OB: Semieje menor = b. e: Excentricidad. f: Aplanamiento.

La distancia AA´ es llamada eje mayor de la elipse, con lo que OA = OA´ = AA´/2=a, donde a es el semieje mayor de la elipse. La distancia BB´ es llamada eje menor de la elipse, con lo que OB = OB´ = BB´/2=b. Donde b es el semieje menor de la elipse

De la definición de la elipse se pueden escribir las ecuaciones (1.1) y (1.2).

Excentricidad de la elipse. En el área de las matemáticas y la geometría la excentricidad se entiende como el parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica, con respecto a una circunferencia. en la figura se muestran un ejemplo con la excentricidad de los valores de algunas cónicas.

La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0). La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1. (0<e < 1). La excentricidad de una parábola es 1. (e = 1). La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. (e > 1).

Para el caso de una Elipse, la excentricidad (e) puede tomar valores entre cero y uno. Entonces la excentricidad de la elipse depende de que tan lejos estén los focos del centro de la elipse, y además del valor del semieje mayor, así que la excentricidad se expresa mediante la ecuación

Si OF, tiende a cero, entonces e = cero, y los focos estarán en el centro O, así, la elipse se convierte en una circunferencia.

Teniendo en cuenta que OF=OF´, y FB+F´B=2a, y como FB=F´B entonces 2BF=2a y por tanto BF=a.

Por definición la excentricidad está dada por la ecuación

Aplicando el teorema de Pitágoras, en el triangulo OBF de la figura 3, se puede plantear la ecuación

De la ecuación de e se tiene , y reemplazando este valor en la ecuación anterior, tenemos.

Realizando procesos algebraicos a esta ecuación tenemos:

La ecuación se conoce como la primera excentricidadde la elipse.

De manera similar se deduce la segunda excentricidad de la elipse, la cual se muestra en la ecuación:

El aplanamiento f, (de las iníciales del vocablo en ingles flat, está dado por la ecuación

Ejemplo: La elipse que genera el Elipsoide de Referencia Geodésico GRS80, tiene parámetros geométricos básicos, los siguientes: a=6378137 m f= 1/298,2572221008827.