"-La elipse

En esta unidad presentimos Ii! elipse como ellugar~rko de los puntos del plano cuya suma de disraocias a dos puntos fijos, llamados fo(Oi, esconstame.

Con la ~de b. fórmula para akularla distancia mue dO§ puntos encofltr.JImos I.l ecuación de ('!>te lugar seométrico. También proporciooamosmétodos miI~ticos yflsicos para dibujar una elipse.

explicamos el concepto de ecct'ntrlddad y damos la definid6n de la elipse en términos de un foco y una directriz.

Enunciamos,/ demostramos la propiedad de I1'fIexión de la el ip~ una onda que emana de uno

de sus focos se reflejari en su otro Joco. A esu propiedad se le han dado U!IOS óptlcos,.acústlcos y decalentamiento. En el caso acUitico, un ejemplo es la (imara del Secreto construida en el siglo XVlN por los frailes carmelitu y que es~ ubind¡ en San Angel, al sur de la (¡¡pilla de Chimaliru.c el la Ciudad de Mexico. As! se le llama porque el sonido produddo en susurro en W1 punto deella se I1'produce audlblementeen Otro pUnto.

U prima-a ley de Keplet la cual em.blece que bs planeusse mueven en órblu.s elfptlcas en uno <E cuyos foc:osesd. el Sol, es quizás el resuitac:loque mis popul,lrkiad ha dado a esta curva.

la .... J><IIoKLlrormadaporJ lOdo, lMpunlO<delpbno

"'IO<qW"'''''''''M'''' <I<t.>nc .... ado< p~n"" tjol(foCOI¡"~"" _.IM

su KWrClón te otr~_

... mll'doludl<tanclarlde

.... punto ¡jIt.wrlco (.<. ,ja b. I>co, dado", g .... _ alaco" .... '"

.~x ~

Definición de la elipse

Un grupo de i!l~e$tlpdom de la UN..,M. eocabtzitdos por 10$ docrom Dr. Achim M.. Losk~ y ~ando E. Prieto úlder6n, hizo un apar;¡to p¡!r.I disol~er c;i,k.ulos re­nales e!"l p«ros ""t llamaron M~)(i!it. Es u' gtnerador dt ondas d~ choqu~ del tipo t~rohH:lr~ullco qut C(lnsl~ tn una dnó! dt nbra dt vidrio en cuyo (tmro _a IIn refi«tor de acero InOlddablt con forma de stmie/lpsoidt.

Encontrare/llIpr FOméuico de 105 purn.s tales qüe la suma de sus dillancias a F'(-3. O) Y ¡ F(3. O) $e.t lO.

So/uci6,.: Llamemos A;x. y)a un punto de dicho lu¡ar ~mmi(o.

Otbemos sumarla distancladt Pa F' 11a de P a Ft Igualar a 10.

e d(P, F') +!J;P, F) = IOJ (6.1)

Vtilizamosla fórmula dela distancia ~tredos plintos (1.1):

... d(P,Q) .J(. ,-,,)' .(y, - y,)'.

Susrlrulmos la.icoordtnadasde F'y Ftn (6.I~

J{, - (- JI)' .(y - O)' • J(, - JI' .(y- O)' • 10

Jx' + 6:0: +\1+ l' + Jr -6.r+\I+ l' .. 10.

Pasamos una dt lasralcescuadrad al clWfrado:

a Otro lado de la Igualdad y elevamos todo -"'%

Jx' +6.>:+9+ y' - IO- JX' -6:1:+9+ l' (Jx' + fu: + 9+ y' )' _ (IO- ,Ix' -óx + \1 + y' )'

x' +611 +\1+ ,. .. 100- 20JII' - 6x" \1 + y' .. x' -6x +\1" ,..

En e/lado derecho dejamos únk.amtntt la rafl, simplificamos y dt nl/eYO e/tva· mosal cuadrado:

x' +6x +\1 + y' - (109 + x' - 6x +,.)oo - 20Jx' - 611 +\1+ y'

4(lx - 25) .. -20Jx' - 611 + \1 + y'

(3x -2St .. (-5Jx' -6r+ 9+ y' )' 9x ' - 15Ox+ 625 .. 25x' - 150x+ 225 + 25y'.

Paumos todo a un lado de la iguakbd y obtenemOs que el lugar geométrico destado es el conjunto dt puntos que , .. uisfa(:e la ecuaci6n:

Unt tllp$e es el conjunto de punto¡ del pltoo CUY" $Uma de distinclu t do¡ pur'ltOS fijos es constante. Estosdos puntos fijos ~ llarmnjocos de la elipse. El pumo medio localizado entre los dos (oc::os se llama antro de la elipse. En el ejemplo ante­rior, los fQCosson F'(-3,0) y F(3, O), Y ~ (~r'ltro esC(o,O).

Elipse con centro en el origen

Bipse horizontal

Comen<:emOscOIl el anillslsde una elipseeon C«Itroen el origen yroeosen el ~eX.

Supongamos que las cocrden.adlls de los focos son F(e, O) y F'{-(, O). I';¡ra que un pur'ltO p(x, yl ptlteneza ¡ It elipse, dme u.tlnc~r:

d(P.F)+d(P.F)_ k.

donde k es una constante positM pr.testablecida (figura 6.2~ Sustiruimos lucoordenadude P,"'y F' en la fórmula de la disr.anci¡ entredo:i

puntos (1.1 ) yobtellel\1os:

Para eliminar los radio:aIes. pasamos uno de ellos .. 1 otro 1.00 de la igualdad y devoomos.ll cuildrado:

(ucl+l,"(k-J(x- cl+lr, " .,,% simpliRa.mos y obtenemos:

-40: +k' .. 2kJ(x-c)' +,'. (6.2)

Vol\emos a eI@Y3ralcuadrado para eliminar el Otro radinl y simplificamos nut­VOlmeme:

{4k' -16(' )x' +4k' y' .. k' -4k'c' .

Para poder :¡.eguir simplific 'lr'ld~ obsertemO:i la fi¡p..lrll 6.3.

x VF'CCP

~.I~ho,l,.,nGlcon ) ""n,,,, ... ~o'9tn~ ..,.,aclón <M la forma .. ~ ... "1.

El trijnsulo rect~nsulo FBCtiene uJlOde ¡U¡Utero¡ ~I a (, quets la primera coordm.ada de F. Lbmemos hal otro Q~O y a a la hipo¡ellUsa.Como el punto B pertenece a la elipse. la suma de ludi$ullCias de B a F y ¡ F' es igual ¡ k. pero. por otro lado. es igual ¡ 2", ya que el uiánSUIo F'FB es isósceles. A5I que si sustituimos k = 2.:1en la ecu:Kl6n aMerlor y simplifía'flO5, obtenemos:

(4(2a)' - 16c' k + 4(2~)' ,' -(2"r -4(20)' "

(16~' _160: ' )x' + lw' / _IW' - 16<1'"

(,,' - ,' )x' +,,' / _ ,,1(a' - ¿l. luego diyidimos toda la ecuación entre a'(a' - e):

Ob_ión:

(6.3)

Cuando esrudiemos la hipérbola Obl:mdrm1OS el mi5fTlO tipo de ecu¡ci6n, pero con diferente ~6n entre" y c.

.... 1 aplicar el teoremade Plt.t~ra5 en el trl.ingulo BCF de la figura (6.3)obtenemos:

a'=b'+c', (6.4)

luego sustituimos b' _ i' - c' en la eclJao:i6n (6.3)yobtenemoslajmna JiI!"N!Iri(:a de la ecuao:i6n de la elipse:

" 11 ' ~"1. (6.S)

AsI que{6.3}es la ecuKI6n corniln de la hlpbbola Y la elipse. $er.t elipse cuando '" > ,> o, e hlpéft>olacuando 11 < c.

Si multiplicamos la ecuaci6n (6.S) por ",' b' Y pasamos todos los tbminos al primer miembro. nos queda la ecuKi6n de la elipse en la fol1J)fl gtrlflnlt

Ax' +Cy'+F_O.

Ahora Y9mos algunos de los elementos prlll(lpales de la ecuaci6n (figura 6.4).

y

"" \1"( ...... 0)

~ .. ,~ • Al sustituir x = Oen la ecuitCión de I¡elipse (6.4 ~ trKontrarnosqo.oel- ",b. ui

que laS(oordenadas(\e B y 8' son 8(0, b) Y 8'(O,-b).

• Al sunituir y=O,obten.emos qJ<e " .. U, as! <:pe lM(oord4!n~das de V y V' son V{il, O) Y V'(-g, Ol.los puntos Vy V' se llaman IIhrias <k la elipse.

• Us rectas VV' y BB' son ejes de simari~ de la curva y SIL' lI~ma~ ejes princip<¡les. • El ~ro VV' tamb~ SIL' llama t~ moyaro tjtJoCQ~ su longitud e; el did·

IPlttro mayor yVollle211. • El ~IO BB'Iambim ... llamlirje mI!OOTotj"lIOfDUJ/; su I<>nglmd ... 'lama

ddmetro menor y vale 2/1. • U distancia emre los dos foco$, F y F', SIL' Ilanu. distanda 10000ly VolIle le. • .... dl$1"ancia del Ce!lfl"O a los ~rrke; 5e llama wn,,* mayar y Vlle a; la distancia

del cauro ¡ los e>(tremos del d~ro menor SIL' llama stmifit mertOr y vale b. • uCLJe!"daqoep,asa porlJl1focDyesp~ularalcjema)lOf$tllama bdo m:to.

Para aw:ontrar la Iongirud del lado reao, al la e<:mdón (60S) ~S% = ,. que es la abscisa de uno de los focos, yobtenemos:

como c' = 11'_ /1'. obtenemos:

SlmpliHa.mos y desp~.uoos y':

b' Y'" ' ' •

" ~ ~+L .. l ti b' '

b' dedonde y .. :t ~ .

•

son los exrremos del lado ~o QUI! p,as.a por el foCo I"(e_ O), y la longitud del lado vi f«tQts _ •

• De IgWl man.era,

son los e>;I;l"$)(IS del lado r«to que p~s.a por el foco F'(-(, O) )1; f'Or SUpI.ltslO, la

longitud del segmento que determinan es también 20' • •

Bipse vertical

Si la elipse tiene ¡ U centro en el oligen Y SU¡ foco¡ esGÍn en el eje Y. entonces lu

coordenadas de los (0(05 son F{O, el y F'(O, -c). Si nuev.amen", llamamos 211 a la

Una"'I~'iO'/tI<.>Icon _1,., ",.1 or\oen llfM «uaclón de "Io,m~ ~ ~-I

Bdttuloeunaso t!SpKlalde.II~," abt ..... cuando 1<>< do< b<ri>'<coln<~ .... ndo _ purm.1 ~""IIO .. 1 dr<ulo.

w(\Stance k que es I.l suma de las dil1~O(lo1S de un puntO P(x, yJ de I.l elip¡e ~ los Deos y hacemos un análisis similllr al ¡ntmor, o 5implemente intercambiamos los

) p<lpeles de x~ y, llepmosab. ec~ión:

)

~+~=IJ (6.6)

donde, como antes. ¡r = a'- e (figuR 6.5).

x !'(--!I,O) e " ..

Los vtn:lces son mOR \1(0. aJ y V'(O, -aJ. Clb$erva que etiquKamos(omo a a I.i di5taocÍ.ll del (tonero a 101 ~n:Í(es, iMt'­

pendiencemente de o:p.le la ell pse \.ea hor\200t.1 o vtrtial.

En resumen: ~ '0 -'''.,,,.1óoI le_Ión ~ vht.... 1'«... .,.

_n,al x' y'

0<. IIt.O) ",m 8(0, ~) - +-_ 1 11"( ....... 0) P(-<.O) S·(o, ~) a' b'

'''"I<:aI x' "- 0<. ~~o, .) ]\0, <l 8(10,0) l1+a, =1 11"(0. ...... ) P(o.-<) 8'14.0)

1. Encontl1lr la«uación dto laelipsecuyosfocosson F{S, Ql y ¡'(-S.O). y tal que la suma de las dinMKía$ de 105 puntos de la elipse a lo~ focos IE'ol 12.

Sollloo,,; Para ob~r toda la Infotma(ión ~ectSaria SQb~ la ellpsedebemoHom­pletar el 5igulente cUoa-dro:

~ 6 PI!' O)

P'(-5.0)

El P..,TO I1lI!dlo ubl<:ado MTA!! los (o(;os ~ C(Q, Q) Y los focos ~~n so­bA!! el eje X. MI. la elipse ~ horizontal y su ecu;ttl6n ti de la rorma (65);

la distal'Kia Mue los 10<:05 es 2c = 10 Y la distancia MtA!! los I'frtkes es 2G=12.~rt¡nto. Y

~--:",t-~ F' e G= 6 ,=5,

1/ _G' -e' _ 6' -5' _ 11;

y la ecuación de la elipse es(rogura6.6);

(X. " l36"+ U "'J.,;. (6.7)

V' -'1 _1 -,

2. Encontrar la ecuación.:lela elipsecU)'OsYérticesson V{O,.@..y Veo. -10) y5Usrocos50nF(O,2)yf"(o,-2~ ~

SOll.ld6n:

.,,%

, .

y~

F x v

De nuevo el centro ~ C(O. Q) y los flXos ahora tsl~n sob~ el eje y; as~ la elipse es verlical y debemos usar la ecuación (6.6). La dlstal'Kia focal es 2c = 4 Y la distancia entre los vér"tkes ~ 2iI = 2O;entol'Kes:

/ , '\

b' _lO' -2' _96;

y la ecuación de la elipse ~ (figura 6.7):

.' " - .. - -1. " 100

1. EncuMna la ecuación de la elipsecll)'Os foCOI son F(6. O) ) F' (- 6, O~ tal q.J.e la suma de las distandasde los puntos de la elipse¡ lo! focos sea 16,

2.. Halla la ecuación de la elipse cU)'O$ focos ion F(O,l l y F"( a, - t j, c:¡J <p.>e la suma de las disandas de los pumos de la eli pr.e a los focos sea S.

F

" , P> fX \.. -, v -"

Pl¡on6.7

Pen/sarnien~ CritiCO' • ~ecuaclón ~ + 7- 1 <DrIflpOr.Oe. ~"" tllpH <Dn~I",..,lIIo,~n.

¡CómoMOew,mln.l" M"JUcM~n • .-IlpH h:UlzOnul (1 w n lcall

). EnMrlU;I!a ecuad6ndela elipsecuyos foc~son F(o.t) y F"(o,-H. cal ~Ia 5lllTla de las dlsrarocl~sde lo!; Pl.mosdela ~lIpse;l1os focos~ t.

En cad,¡ aso. exuentr.lla ecuKión ~ la ~ipse.

-4 Focos FU,o).F( -hO); YértlceWH.O).vt- t ,o). s. Focos RO. 25), F'(O. -2S~ vértices VeO, 30), V'(O, -30).

6. Mx05 "10, 3), 1"'(0, -3); ~rtic~ V(O, 10), V'(O, -10).

1. Focos F(t. O), F'(- t ,O); vhtice v{I,o),v'( -M).

En ud¡ caso, eJKuemra las ecuaciones de I¡s elipses con centro en el origen y Ql.M! $ad~ las slgulem~ COOOI(iOMS;

1. Ejermyor H;ejl' menor 10. 9. Ejemayor S;ejemeoor).

10. Ejemayor9;ejemenorS.

11. ~m¡yorl 1;eJf'~oor8.

12. Eje mayor 8; ,* menor 3. 11. Eje mayor 6; eje menor 4.

En cad¡;Q\So, hilla !asco(l,denadasde los vbtices yde los focos de la elipse mn la ecTsación dacb ygnJinla.

,. 4%'+y'-36 _ 0. •• 2x' +251' _ 50. ... 4.x' + 25,' -100 .. O. .. . 81%' + 49y' .. 3969.

x' y' ,. 9x' +8y' . n. •• - +-_ 1. x' +64,.' _64. 16 9 n

" , 17. -¡-+,. _4. "

21. Enc::ummo IJ. Kuación d~ la ~Ipi~ pOlSa por ~I pumo p(-I.I )ycuyos ...!rtices son V{O.2), V'(O, -2).

21. Halla la KLlKión de la ~Iip.e QUo!' piWI por~ pLlmo p(-3. -2) Y cuyos ...!rtkesson ~1:S. 0). V(-S.O).

14. Enc::Uffitr.J; la ecLl;\Ción de la eli~~ veft~1 con cenefO en el origen qLle pasa por IospLlntos P(-4, Oh <JI, 2,fi,3J.

2S. ~1Ia la ecuación ge la ~Ipse '}ofiIo!\t.ll con centro en el origefl ~ p;lSa

por los pLIntos P1, Ji,1 J y QP:, jt ,. 2",' v'

16. Una~ipsevertlQlconcentroeneloñgen tienelaecuaclón _ + -'-;-_ 1. ,. . Slla~ipse pasa por~ punto p(1,3).encuentra el valor de a' yescrlbe la 8CU;I(ión en la foffi\CI general

Construcción de la elipse

Podemoi [razu ~,pll'S mKh .. m~ regla y(omp.H; o bien (on la a)'UCl.¡ de otros In" aumentos. como un hilo y dolCIaYOI o con pipe! encendo. EItaS ,knicillJe des­oiben iI continu.tción.

Sugerencias para trazar una elipse

• loaliza ti centro. (H¡uu. este momentO. "niclmenre Iltmos vlllo elip$l!$ con amro en el origen. potro m;isulantt\lel'emos el cno ¡en.enl.)

• Oettrmlna los...aloresdu(djstancl~ delcentro a 101 focOI). 4(stmlejtlTlll)lOr) y b ($Mllejt menor).

I Oettrmlna lila tllple ts horimnt~1 O vertlal comparando los YoIlorts qutdl­Yidtn x> y f en la forma $i~tica de la ecuación. Siel ma)'Or afecta a X>. tn' ronces es oorizontaL en Otro caso es YerticaL

• Localiza los vffiices V y 11'. 10. focol F y F' Y 10$ txtremos del. menor 8 y 8'. • loal iza 101 eJ«rtll1Ol de IoSIadOI~OS. En el calO de la eliplehotizontaJ, le

Incutntran a ~ unidades arriba y abajo de 105 foCM. En el ¡;aso de la eliple . " ...erUc:aL leencuentran a - unidades a laderech<l y a la Izquerda . •

• lkte con una CI.IrvJ los puntal qut hayu localiza<lo tn la elip!t'.

, , ... 1. Truar la elipse ~ + L . L ":S

16 36

Saludón: se trata dt una tlipst con centro en qO.O~

El delomlnador de,. es lTIlI)'Or qut el de r. u que la tllpst es ...erc iclL ,,1. 36 Y ¡'I = 1 6.~donde:

c' .. 36-]6=20.

y. por tanto. ,,= 6, b =" y, - J20 - 215.

&uonces 101 focosson:

F(0.2,[s">_ F(0.4.47) y F (0. - 2,J5) ... F (0.-4.47),

y los vértices Ion:

V(O,6) V'{O.-6};

101 elCtremDS del eje menor son:

8(4,0) 8'H.OI.

c~

)~ ,

, , x -, p ..,. ..

los extrftnOS d~ los lados ~05 $011:

(-~,-2J5 )_(_2.67,_4.47),

(-~,2~ ) _(_2.67,4.47),

(~,-2J5) .. (2.61,-4.47),

(~,2J5) .. (2 .67.4.47)

y se mlteSuan en la fil!PJr.ló.8. Marcamos ~os pumas y ¡mamos una cum. IU¡~ un~lldo kn

vbticts y 105 roremos del eje menor (ligura 6.8~

2. Truar la elipsecu)'J KUaci6n ~1lm01 es )X' +4 y' - 43 .. O.

So/u')&.: Escribimos la ecuación en la forma simarica; p;lra ello, p;lumos el t~r' mino ¡nd~ndÍf'me al orro Iw.o ~ la KU~n:

3x' + 4y' .. 48,

y al dividir entre 48. olxenem<X:

- _1. 16 -'%

~tr1.U de una elipie con ctfmo I'JI (;(0.0). COmo H; > 12, la ellps.e eshorll()nta~ al : 16, /)1= 12 y, por tanto,

¿_16_12 _ 4.

AN<:p.>ea=4. /¡. Jii .. 2.fj ye=2. Los focos son:

1'(2,0) y F'(-2.0);

V(4, O) Y V"H. O);

y len tttremol del eje menor son:

b' 12 ---- 3, , . Ios~s <lelos lados reaosson (-2, -) . (-2, 3), (2. -3),(2, 3).

Ahora podemos marar estOS puntos y traur la elipse que pasa por ellos (figura 6.9).

Construcción de la elipse con ~ uso de instrumentos

úmrq/ayeompás

V'

Como suce:le con la parábola, la elipse 00 se puede dibujar de un solo truo con una regla y un comp.\s: sin embarge;¡. estos instl\lmentos son útiles para loaliZM IUficimtes punto:! de ella. %,

Supongamos que 0:1 Y b son conocidos y ~ !.abemos que la elipse es horizonta~ uf, d:> b ysu eje mayor~;i sobre el ejeX yPi mmor sobreef efe Y.

• Con centro en O, (mamos un dfO.llo con r.KIio lIyotrocfrnlo con r.KIio b. • Trazamos cualquier radio qutco~ el ciKulo intmor en un punto Ry el ex-

telioren un puntO Q. • Trazamos una recta paralela al ejemayory que pase por R. • Trazamos Un<! recta paraleb al ejemeoor y que pase por Q(~gura 6.10).

Veamos qut er punto 1'(:1;, y) donde SI! coltan es.tas últlma:"~ns esei en la elipse: .' ~ _ .L.l.

01 ' b'

Si consideramos el tfj¡\;ngulo OMQdela fISUra. tenemos que

(018 .. OM .. =-. 00 ,

X" 0:10,)59.

PorOtr.llpMt1',

y=PM""RN,

(6.8)

y • B

v F X -,

y

x

~IID

~,-"

y del tIi.úlgulo ORN ter.emos que:

Ikdonde:

y _ bs.enfi.

Entonces lucoorden~u de P$On ("oos 9, bsen9).Ahor.t vt'iImos que dic~1 coordenadas ntisfKen:

en efecto.

("cos9)' (bsene)' ~ ' cos'9 b' sen' e " ,,' .. />' - - ,-,-<--,-,- - 1.

De esta minera podemol mirar tantos puntos de la elipse como queramos para dlbuJalb ron la prKlsi6n d~ada.

En una tabla sujetamos un hilo de Iongittd 2" unidades con dos davo~ QUe disten entre 'Ii le unid~. Con un ii.plz e5drillOOS el hilo Y recorremos el i4'1z a lo lar¡o del hilo. dibujindo la curva resultante. gid:ta curva es una elipse, pues la suma de las distaocj¡s del pumo en doooe est~ ellipl'í a los clavos es siempre 211 (figuril 6.11).

COn ptlpa doblado -"'%

UtIlI2¡¡mos una tJ.oja rectangular de papel encerado (figur.t 6.12).

• Oibuj.unos un drwlo con centro Cy maramos un punto Fdentro del circulo. • Doblamos el papeL de manera qu. un punto A del circulo caiga $Obre el

puntO F. • Maramos el doblez y de$doblamo¡. • seguimos haciendo dobleces de ma!ler1 que los puntos del circulo caigan $O­

bre F.

Si hacemos suficientes do bleces, oos daremos O>tnu de que a~fece UN CUf"a ftl mona de elipse con bcos en el punto Fyen el centro del tirrolo e De heche¡, ada doblez es tangente a la elipse (fig,¡ra 6. 13).

la fig,¡ra 6.1) muestra QUe al doblar la hoja de manera queel punto A del circulo coincida con F, se rolTTli un uiiÍng,¡1o isósceles ADP. El punto D es el plA'lto del do­blez qUl' pen:ene.::e a la eli¡>sp, y;I que:

OC .. DF.nc .. DA.r,

doJlde res el r~io del circulo original As! que P¡r,o cu~lquier dobez tenemos que el punto D que es la intenecci6n del radio ACcon el doblez, perlmece a la elipse cu)'Osfocos$On Py Cyen la que 211 = r(IiguI1l6. 1 ~).

Ver el ejemplo 'conicaenvuelYe' de la lista de con5truccione de Geolab.

la excentricidad de la elipse ¿! ..

Comparm1OS Lnváficasde Lnelipses + =Iy;( +l =1. 2S 9 100 9

y

, x

So/udón: La segun.da elipse es mucho más alar¡ada quel¡¡ primera. Veamos cómo medireste .ll.u¡;¡miento.

En la p, imefll elipse, 11 = S, b = 3)1. por t¡nro. , .. jl5 - 9 .... yelcociente

, . 1- -; - 5-0

.3. " '0

En la s.egunda, " = l O. b= 3 Y. por tanto, e .. ,,1100- 9 .. 51 y;tcociente

cJ9r. f .. - .. - .. O.95. , ..

En la elipse que es m.1s .lla~. este cociente es ma)'Or.

La rmnel1l de medir el alargamiento de una elipse es por medio de su t«lntridd.:ld, la cual se define como el cociente de la d iSlaocia focal enae el ~e rNI)'Or:

2, , t _ _ _ _ .

2, , (6.9)

Observa quecomo e <: "" eJltol"lCesO <: t <: l. Cuanto máscerca decero etHa excentricidad, la elipse ser~ mn parecida a un

círculQ. y cuanto mis cerca estide UIlt\ mis alargada sed. PoSlmonnente, veremos que la excentridcbd H' puede definir para la hipérbola y, de hl'(ho, si conoceme» la excentricidad de UN cooica ubremos qué tipodec6nica es.

Cuando e = O, se tiene que, " 0,10 cU31 sigroifica que 101 dos focos e5(;I,n eJI el mismo I~r, por I<1nlo, tenemos un circulo.

A

e

SllatxUfOlddad~ ... esulqueo<. < 1.la .:ónlUesw.wellpSe

)

y

x

y

x

1. En<onuv la ecc~ntricidiKI de I~ d"se 3x' + 2y' -18 - o.

So/uoon: Escriblmo51~ ecuacl6n de I~ elip5een la form~ !Im~ica:

EmOrKes b_'¡¡' , a ... /9 :poruoto,

t J3 I e-;"' J9 "' TJ "058.

l;l qc~Uicidad de la elipse e! e. -:'; (figuIll6.!6).

2. Encontrar 1;0 ec:uKl6n de la d ipse con centro en el origen. foco F(3, O) ~ ~c1!nniddad e= 0.6.

Soludóll: La &lIanda dd centro al foco es a l:'nronces;

Como r ... ! . entonce.:

"'do"""

Entomes:

0.6 a .!, ,

,,' ... a' -c' . 25 - 9 _16.

As~ la «uxión de la elipse (figura6.11) es:

En ada Ci5Q, encuenua la excentricidad de la elip5e.

1. 4%'+y'-64_0. 3. %'+9y'-36-0. 1. 9%'+16y'-I296_0. .. 8.I:'+7y'-392 _ 0.

So Graflca con los mismos ejes coordenados las elipses con centrO en el ori­¡peo, 111 foco en F(-2. O) Y ~tricid~ t - M.}.i.;!¡·

6. EnaJentr.lla «uacióndeb elips.e ooncentroen (0.0), Yértke V(O.- f J y excentricidad t=0.7.

7. Halla la «uación de la elips.econ focos P'(-7, O). F(7, O} Y excentricidad t=01l.

Otra manera de definir elipse. DireClrices de la elipse

Vrmnos que Urli elipse es ellupr ~W de los puntos Pcuya distllncia a un punto Fes igual a f v«es la distancia de ~ recta tdonde e esll1 número me· norque l. Mil ¡úlI,Fes ~ de 101 foCOlde la elip.ie. t es su excenulcldad y la rKU

lsen Illrmlda una 6nctriz de la elipse,

Re::ordemosla «ua(ión (6.1):

r~-4~a---'-.~k'~_-2~k~Jf( .=_=,~),=.=y'~.1; ~ (6.10)

que esd. a la mitad del amlno de la dMucdón de b. fónnula M,%ellpse pan el aso en el que esta es horizontal y su centro se encuentra en el otlgrn. a p;lrtlr de la arxtl"liZici6n"la elipseE'${i formada parlos pumos Pules Ql>!' la lUma de SUI

dlsuncLu a dos puntos,lbmados foo:os, es constante":

d(P.Pl+d(P,P )- k.

(6.11)

En esu última «Ilación, si P{x, y) es un punto de la elipse,el miembro de la il' quierda, -%+ f .es la di5tilKia dirigida de P(x. r)a la rma Yertical t CII)'i «uación es -lO" -.¡., y el radical delladD derecho es b. di5tancia de P(x. yl al foo:o 1'I:c. OJ. Así que la «uaci6n (6.1 1) puedeinterpretal'Secomo:

d(P, t) = .!d{P,P), ,

Pen1a.mien5R.,. cmlcO" -SluNtllpW!_ _enll'lc:ldad ~~ 0.9\1 , ¡quf p.oe:!eIdo!<¡, <le ... fo,,,,,,r

o bien:

G~/" ' ).<I(P ") , 1 re<:«dem'H (Yer (6.6» que 1.1 el<cl!l'ltricidad de 1.1 i!llpse se defint \XIfT\O; ,

r_ - , , entonces (6.12) puede escribirse como:

(6.12)

(6.13)

es decir. 1.1 ellpSl! es ell~r gI!'Om~ de los pumos Pcuya discanda a un pumo Fesigual a t yeces I.1dlsunda de p a una recta (,donde t t5l.f1número ml!l"IOI"qut 1.

Slmlbrmtrl¡t, tnbajalldo con i!I foco F'(-c, O)leob1:ientque 1.1 ellp5f ramblm e5 i!llugar~~co de 105 punto5taiesque:

ed(p,r)= d( P,F'),

donde la r«.~( titile porecuaci6n a !( .. -'i .

y

x

l<ls rectas 1 y (' 5e llaman 6reariusdt ... elips.e. La ecuación (6.13) es 5imilar a la ecuaci6n que determina la paribol.1, pero tri

ese caso e '" l. Pan i!I cuo de Ia$ elip:;es Yeftiales con ctrltro tri el orÍS'/'n se ~ce un anilisis

51mlbr y obtenemos:

T1pod •• I,_ DWctk •• 1'0<:0 100'10<10

Ib .... n ... ' .' .,. .--, Ib""n ... ' .' %- -- F'( ....... O) , .... nlelo'

.. A:o. c) ,--,

.... 'tlul .' F'(o. ...... ) y-- -, (6.14)

'L 1. EnoonU'3r las I!(ua(ion~ ~ las dill'wkf5 de la ~lIp~'=:'+ , _1 Y gr¡fiurlas, 10 26

SolllÓ6n; Par.a ~Il(ontrar las l!(uac;lonH de 13$dlll'ar1(e$ de la ~IIPSl!'d~mos d4!­terminar el valor de t.

,' .. ti' - ti .. 26' - 10' .. 676 -1 00 .. 576,

de donde e" 24-Como I¡ elipse es veniaL enwoces I¡s ecUKlones de las directrices son:

G' 676 169 y .. - _ _ _ _ _ 28.17

, " 6 a' 676 169 )' .. - - _ - - _____ 28.17.

, " 6

x - ..

Elipses con eje focal paralelo a un eje cartesiano

Encontrar la ecuacl6n de la elipse CIliOS focos lOn ro, 1) y F(S. L) y cuyo diimetm rNyor moclto6 unlCladft.

Solumm: Losfol:osesdn en la recu horizontal y= 1 y~ «!ntro C(3, I)es el punto medio de 101 focos. Como el centro no ts(¡ en el origlen. no podemos utilizatdir«tamente la fórmula (6$). Primero debemos hacer un ClImblo de coordenadas para trasladare! origal al centro de la elip!e. Ulilinmos las fórmulas de traslación (3.3):

r=X-l ] ),' =, -1. (6.15)

) ~Ku"dOO>ticM ... dI'tclIlc.sd. uMellpse _nt"conC<'n,,,,.,,~

0I9o'nlOn..,_~ y.., __ ~.

) ~«UilCl_cMlu

dI,a.:Ulctid. u~"lpsot Wtlk.iI ron « .. ro.n.1 01901110111 - ~Y ,- --"'-,

y

-, • X

Pan encomr.lr bs coorden~as de los tocasen ~ nuevo ¡j$tem~ deooor<k>n~o1S, 5Ustituimos SlIscoordenadas origiNles en (6. 1 S~es decir. para r{l, 1) {e!lemos:

ypir.iF(S, I):

,(:1-3;-2

1'=1-1=0,

}t.'=5-J=2

,'= 1-1 =4),

asI que las coorden¡d¡s de los focos en el nuevo sistema son F(-2, O) Y F'(2 , O~ El eje mayor es 20J = 6 yla dl=JlCla focal es 20:= 4, por lo que:

b' .3'-2'-5.

AsI.Ia ecu;¡,ción de 1I elipse con respecto ila5coord_das X'Y' es:

¡.')' [r')' • +-,-:1 .

AIlon sustirulmos ,,' y y' de OKum:lO con (6.15) y ob[@nemosla ecuación ffi

forma slmklka:

Si efecru.;amQS 11$ operaciones y puamos todo ~ primer miembro, obttJlemos la l!Cuación 1M su forrrnl gMBal (Hgul'll 6.20%

se +9,' - 30.< -18y+9 _ O.

Ahora ve;¡mOI el caso geJler1ll Si el cemro de la elipse es 0.11, k)yel e;e focal es paralelo al ~e X,II¡mamos2c

a 1I distlnciil foul y 20J al eje mayor. Lascoordenildas <lelos focos son F(h + (, le) Y P'(h-c,k).

COmo en el ejemplo anterior, truladamos los ejes de mI!ler1 queel origen quede en e Parllogr.lrlo,lu.«mOs ll sunitudón:

{6.16}

En el nueYO siKel'lla de coorden~das. '" ecuación de I~ elipse es:

donde b' . .. '- , '.

y

FOr-e, k) C(/I,k) F(h+(, k)

x

Si wstituimol x' y y' de tcOJe"docon (6.Hi~ obttlM?mOll~ fOl1TlQ.simttrial de /el retación de la dipsr. tlImbien conocida comoforroo canónica o r5t:i1ldar:

) .ua<lI6n do un: .. ,""", _n .... con ,,,,,,ro IOn'" ""nto Q/¡ l) IH

.I>..::..il.+~ _ 1 • •

l.Ic jo.m. ISUind .. d. t. eculdOn"" uNellpse vertlul concentro enel

)

(6.11) punto C(/I, k)es

En el QSO de ""e el eje foC<ll se~ vtrtial,losdeoominadoresde (:r -11'1 y Cy- tI' est~n aombiados:

(x - II)' (1-;J' tr + el : • •

(6.1B)

SI mlllelpUamos lis ecUilCio~ (6.11) y (ti.1B) por ¡l',,', desiUTol~mo.llos CU~­drados y simplific;amos. obten~s un.a ecuación de la forma:

( Ax'+Cf+DJr+Ey+P:O, )" (6.19)

-"'% y

p e F .

x

donde hayq~ norar que JI. y Cson di5linus de (4!fO y ti_n el mismo signo. Esra ~rm;o st cono« IXIITIO jormCl ~I de /Q «unci6n de kI t/ipse y es lIf\ Cas<) particu­lar de la ecuación getlmll de segJ .. mdo vado que ewdiamnos en la unidad 8.

!.I.~ .. .LI.=J.l.. _ 1 • •

UKUa<~n )

Ar' .. Cy'+ D.u- E,. F - O ~tluna.llpMIIA

y CJOn dlJtlnm. el. ,ero ytitootn.lmklmoSlgoo tkha ""pSI puede .... dIIg_,lda

Pen,sa,mien!R.,. Crit iCO" • SI..., 1akUa:i6n

U+ CY+ DH F.y+ hO JI! tiene que A yeso .. d<ll...".de cero yliene .. fl mlsmoslg...,y D _ fi · o, l<I"""'Ip<e ... obll_¡

Pen,sa.mje~ crmco ConSld.,.¡ ~ec .. ld6n dtlullpH A.T' + (}o' + fu+ By+ P- o. ¡e¡,,,,o ... _""I ..... sI= tICII1lOnQl o venJcaI¡

Llt.: ... trkldllddt"na ) ~pMMdefI .... como • ~ ~ . "de¡.-............... n" do ruJI ........ <ftl""

Erl resumen:

F(h+ , k). F'Ot -cl"J

F(II * +c}. F'(h.i-c)

8(h+l4~ V'(/I-Ili)

1. Eicriblr I;¡ ecuadÓrl Sx' +4y' -u" -41-13. O 1m I~ fornu. sI~1ÍCiI ygrafkar I;¡ ~ipse.

SoILlOOII: P<lfil Clmer tod~ I;¡ irlformKión qut' neceslt~mos sobre la elipse debemos mmplelir el siguiente (uadm:

!Wuparnos los términos en x~ en '1Y p¡s.amos el ~rm¡no Independiente a10tm lado de I;¡ e;:u<Kión:

{8x'-24X~Y' -4y) _ 13;

bcrorinmos kll roefklnu!'i de ~de r par¡ ~e .le;¡ mis (XII comp~ tar los cuadrados perfectos:

En o da pa~«1si5 (ompl'!tamos el trinomio cuadrado p~c:tQ, I'@(or· d;¡ndo ~ debemos sunu.r I.l mign~ ancidóld del ocro !;¡do de I.l ecu~ ­

ción pau que bl igualdad no se alcn-e:

s( x ' - 3x + ¡ ) +4( y' - r+¡)= 13+ 18 + 1,

slmpl ifi(amos:

divKIimos entre el {&mirlO independiente y OO{I'r>l'mos:

Como 8 es mayor.:,..e 4, la elipse es ...ertial y sucentro es C(M~

es d«lr,

lUÍ QUe I~ di!;[anci~ enrre los ~rti1:e5 es 2<1 _ 4.fi Y la diswlI:ia foc;¡1 el U " 4. Por Unto. los focos son;

J' 1 1 '(' 1 1 · ~2'2".2 =F(1.5,2.5) Y F 2"'2"-2 =F'(I.5,-U),

los vértices son:

y los ~mos ~I tje menor son%".,

{i.2,;) = 8(3.5,0.5) Y 8'H-2'i)= 8'(-0.5.05).

1. Encontl1lr 1.l «lUclón ~ b. ~Ipsecon centro en C(2, 1), un fo~en 1'(4, 1I Y eJ((entricid~d t" 0.8.

5<lluci611: Comotl Celuro y el foco est¡11 en b mi5mil r«t~ horlzol1tal y" 1, b elipse es horizontal.

udist:;lllCb del ceolfO ~I foco es( = 4 - 2 = 2. Polfil eocontru el ~Ior de "utilizamos el hedto de QUe b ~tricid.td es

Iguala :-:

entollCtI" = 2.5 1<

, 0.8 --, ,

b' _ a' -t' _ 2.5' - 2' _ 2.25,

luego b _ J2.i5 _ 15 .AiI.:,..e b. fornu. slrnkric;¡ di!: la eou.cl6o de la ellp~ es:

(x-2), +{y-IY _l. 6.25 2.25

y • fF

8' ... )c; -,

!p -"'-,/ -l : V'

B ...... ,.

Para gr.JflC'ilfb, d4!tomninamos los ~tic;5, los 4!)((fenQS d4!14!je !TM!llOr y los e:Ktr4!ITIOS d4!lhu:io I«t<l.

LDs Yértic4!! son:

V(2 +2SJ): V(4,S ,I) V'(2 - 2,S.1): V'( -(lS,I).

LDs exu~mO. d4!1 ej4! rn4!OOr Ion:

8(2,1 + IS): 8(2,2.5) y 8'(2,1 - 1.5)= 8'(2,-{I.5).

LDs foco s son:

Los extremosde los lados rectoS estin irrib<i y abajo de los ro-0)5 y 54! tJKUI!!1tri n i una distincia de

¡¡' 2.25 - _ _ _ 0.9 , 25

«,I.'j, «, nI), (~I.'j , (0,0.1 j.

y , ' B

~ F' .......... ·~ .. · ...... ·F .. \:': ....

-1 ~ X : 8'

Directrices de una elipse con centro en C(h, k)

LasdiA!cuic4!5 de las 4!iipse; horilOnu l4!5 y l'Mic" con C4!Iltro 4!Il Oh. k) laspode­mosobt4!ll4!r a Pirtir d4! las dir«trk4!5 delis 4!lips4!5 con O!fltl'l) 4!Il (0, O) medlin~ la trWci6n de~:

x'=x - h, y' = y - k,

" lb,bDntal x-I!: - J'I.~"<'.) , .,,,1>0>"1.11 . ' ,,_A __ _

P (A_ .... ' ,

~, )"-t_~ , A:h. Ic+ el

"""" , -k __ ~ P(/!, 1-<)

1. En(Qnmr ~~UXio~dl'~irectrkl'ldela~iP$l' lSi' T 16,1' -350x +96,-231 .0.

SOlud6n; Escribimos la ecuxlón de I~ dlpsttl1 (orm;llloor\a:

25x' .. 16y' - 350x+96y" 231

2S{x' . 14x)+16{,'+6y)_ 231 "

25(..- ' -14x ... 49) 1" 16{,' +6, 1"9) .. 231 .. 25( 49)~9)

25(" _7)' .. 16{)'+ 3)' .. 1600

,,",,( ",,-:!.7L)' .. 16{y .. 3 r .. I 1600 1600

(.1'-7)' (,+31 ---. ---... 64 100

Esun~ elipse venjc;¡1 con cefl{n)en C(7. -3), a '" 10,11= 8 y:

e' _01' -b' _100_64 .. 36,

de donde:

,=6.

1 auocWo<O>noKd ....

dr.octJlu!< do .. """ "'I~ ho, .......... "'" <m"., .... (h l)iOnx-II~~)" x-h_~.

LaUClJlodOn"d ...

)

) dI~"'.s do urwo.UP"! """Ical < ..... «nl","" (lo. .) oonl_k . f'y y_k _~ •

y

" ,~ 5 10 px

-la :"-/

-"

y

.' y-k. .. -, >00

Y+3_-¡-

50 Y-3- 3

41 Y'"')

" y-k __ _ , 100

,+3 .. - -6

50 y ___ _ 3

)

59 y - - - . )

Portanto, Lu direcfrlces tl_n ecuaciones y .. Jf y y .. - l}.

En cada C~ escribe b I!(uac ión en rorm¡ slmétria y encuentra la ¡ CDordenad.s M kli focos. de los wmces y df!l centro. ~IClI b. f!lIpSf!.

1. 9;>,' +41'-90;1'-24)'+225_0.

2. 9x' .. 16,.' .. nt - 224 ,. .. 784 .. O.

3. %' .. 36y' +4:1:-4321+ 1264 .. 0. ~. x ' +2y' -8:lr+Sy+23_0.

s. 2x'+,' -24x-2y+7l_0. 6. x'+9,'-10x+36y-20.0.

7. 4X ' +,' +64% - 61+ 20I _O. 1. 27x' .. y' .. I08x - lOy+52 .. 0. 9. 16%'+9,'-32%-36y-92 _ 0.

10. 4;>:' +321+4%+ 1281+65 - 0.

11. x' .y'+xi" t r+ii-O. 12. 4x' .. lOOr' -20%+ 280,+ 121= O.

Encuen~ I~ ecuJd6n de 111 elipse cuyo e~ mlIyor es PQ y cuyo ~e menor es RoS.

13. p(4, 6), Q(12, 6), R(8,3), $(8,9). 14. 1'(-1,-9), 0(-1, S),R(4,-2),S(~,-2) .

Encumu<lLI forma simétriOl de la ecuación del<l elip5econ Iouiguientesdatos.

15. Vértices V(1,4j, V'(-S, 4) V exc:entricid~ e .. t. 16. Vértice V(3.- t ), centro C(3, -1) Y eocentricidild e _ ~ .

11. Ce\tro Cll, 4). r.xo FO. -10) yecctntricid3d e_ t. l L Focos F{t,.3). F'(t,-I)yexceltñcidad e -t. n . Vértices V(4, O), V'(-4, O)y ~ pore! punto PíO, -3), 10. Focos F{10, 2). F'(2. 2) v nala por el punto 1'(6,7). 11. Vértices V( 1[- ,3), V'(p);focos FOI, 3), r(7, 3). 11. Vérdce V(-I, -J),cemro C(-,. -3)y p<i>1I. por~ pumo p(_J._J + Ji). 13. Foco F{2 ~,6),c .. ntro QO,ó)y p;w por el punto 1'(0, 7). Ho. Vértice V(-I, 4), centro C(-l, 9)yfoco 1'(-1, 5). n. Erw:l.IeIltr3Iospumosde¡m~ delasel¡p~ 16x' +25,'-400 - 0 Y

16x' +1'- IÓ-O. 26. Halla los puntos de int!:'r.sec;ción de la elip~ Sr ... 4,' - 2.1 + 4,- 24 _ 0

con I~ r«ta x + 4 y- 6. (l. 17. Da lospumos d .. inunec,ión de III eI;p~

x' + Sr + 12.1:- 64)' + 148" Oyelc:irculo :e' ... y' + tIx- 6r+ 43 -o. U. ErKuentlil los pUlltoS d .. intersección de lu elipses ... · +9'· -9_ 0 y

9%'+,'-9- 0. U. Dada la elipse 4;0: ' +9 y' - 32.1 +54 r + 109.0, erKuentr.l la ecua.ción del

cin::ulo cuyo radio es ellmlilej .. menor de dkha dip5le y cuyo centro es el mismo quee! deest~. ~

30. Halla la ecuad6n de la J'@'cta que pasa por el cef'Kro de la elipse 4%' + y' + !Ix + 2y -31_ Oy porel punto P(I, 3).

31. Da la ecUilClón de la I*,'ibola que tiene como vértice el (entro de la elipse 3%' + 2y' + 24% -32y + 170 .. O.¡~lliÓnb;¡joypasa pae pwuoF(-2.0).

31. &l<:uenm la ecuación de I~ elipse que tiene como uno de SU~ vértices el afmo del clrc:ulo %' + y' -61: -7 _ O Y centro en C(IO. O)ye~cen[(icidad e_ t.

13. Hallala$ecu;w;io~delasdirecIrice$delaelipse I 81r + 2251 + 1!Ix- 4SOy- 7674 = o. ....,.

34. Da la ecuKlón ~jmétria de la e!jp~e con vérticesV(12, ~h.V'( -8,1) y un~ <lelas direcoiceses % ... ,.

Algunas aplicaciones de la elipse

Propiedad de reflexión de la elipse

I.,¡¡ elipsetiene "ni propiedld de reflexión $Imilu ¡la quetiene la plrábolL Un rayo que emana de un foco de II elipse se rel\ej;l h;w;ia el otro foco (Agurll 6.26). En II última sección de ~ unid.:ld demostraremos esta propied~

S. Uli l:., enQ'lnIjes .lplk:01 ... lNquln .. .."poocII<Io'M, lNqulNiI "l<Im*1cM.. bomt..1 y ". .. ,hdo,.d • .,..,dll.

)

Est~ propied~ se~plla en ciertos homos de I.lboratorio pilril fabrorcrísta!es, En un recipiente m forma de elipsoide der~llKi6n,cu)'ll pa~ interior ¡.e¡¡ de un material ~t¡mmte reflejarlte. se colo<;:¡, u~¡ fuente dealoreo uno de 101 focOI de I.l elipse y el objao que se dese;¡ calmear fn el otro foco. Como toooslos rilyos que emaNO de un bco.se ref\ejan ~ia el Otro foco. despu~ de un t iempo. el segundo Axo e5(~ extrerrwla~nte callmee,.

Arquite<:tura

El Coliseo de Roma.cuyo nombre m ladn fl Col/osuum. es un srl n anfuntro que se empero a construir el año 70 d. C. bajo elmand¡ro del emperador Vesp¡5iano y se terminó de consuuirelaoo ao d. e.con elemperador Tito. Tiene forma ellptiucon 189 m de largo y 1 S6 m de ¡rt(ho. Ert(onuar la ec:lW:;lón de la elipse.

Solución: Como ell.lrgo es 189 m.entonces 201 = l89yel ancho es 2b = 156.dedonde:

Ejemplos:

189 01 -"2 Y b _ 18.

, , _'_ +L.I (tp' )' 18' .

1. El Museo N¡cional de San eaoos'w e~umtra en liI eludid de Mb:Ico, ocupa la casa ~ en el siglo XIIIII porel ~ebre arquitecto N.anuel Toli'. Esa edifiuclón esa reallnda en estilo OI'OClásico. B piltlo central tierle forma ellptla.

2. I..¡} pI.u.a de ~ Pedro m el V¡ticano es ....... elipse. Sus focos esún marcados en el poo con unos elr· culos, Si una pe~oo.\ se coloca encima de uno de 8105 y ve hicia lu ColWTlnloS. $010 ve I.lll column¡¡¡ en cada hllm pero si Ia~ o/»erv¡¡ desde Otro punto. entonces ve o-escolumnasm cado hila¡.

l. Otro ~emplo de la apliaci6n de'l propieditd de reflexión es el ¡iguimee,. En Uf\¡! habit<teión cuyo tec:ho tiene I.l forma deun eli~oide. 51 dos person;¡s esdn en elb y suscabeluque.da.nen los Rx:os, (llanOO una habla m voz baja. la otra puede olrl.l. miemrilS cp..e Otra persona colocada en Otro I.ldo de I.l habitación 00 la oiri. Es.tiI propitdad se utilizó tiempo atrás en alguOOi conventos ¡nra que 105 monjes pudieran confesarse mutulunente.

Algunos ejemplos de elte tipo de construcciones son la Galerla de Susurros en el eoconvento armeliu del Desierto de los Leones. en la Ciudad de Mexic:o, y iacúpula dela atedr¡¡¡1 de San P<lb 'o. m Londres. En el Museo de Louvre, en París, hay una salJl (on esus uract:erlsticas.

4. El Foro Internacional de Tokioconstruido en 1996 por el arql.Ítecto uruguayo Rilfill'I VlfIoIy (1944). comi(¡ de OJuro edificiol c(J bicos (\f, dlsdnm¡ tilmilOOI y 000 Formado por dos elipsoides de vidrio y acero..

So UIlO de 105 arqultl'C[os mis film050S de la a([ualldad ~ 1'1 bridnlco Norman f<Htl'l' (1935). En §(Jsdi~ilo5 utiliza elipsoides, p,araboloides, ftc~u~ra. En 2002 mn~,)'Ó el A)llIn'~mj@onl'(>.w. 1 ond_.

6. El PUente de Piedra en l.ogro/IcI. E$palla fue disefIacXI por 1'1 ~niero Femln Milnso de Z(Jiliga l' lnauguriido en 1~, Tiene 198 m de 1.ugo)l7 bó-Ye<»selrptlciis.

........ cIt _ ... lap>IIo,

Mediana En medicina ~ ilproYl'CN la propiedad de rélI'Xi6n de la l'Iip~.wa disolYer me· diame ultrasonido iosdlculosrena1es.5eintrodoceal paCiente~"una tina llena de ¡¡gua en Forrru. de I'Ilpsoldede manl'l'il que 1'1 lugar donde I'5[lo l'16!fuio quede en uno de ios Focos de la elipsoide. En 1'1 otro foco ~ pone una sonda <JIe emite sonido de altil frl'C<.>eoclil. L.iIS onda.i ultru6nicu, al concenuar5l' en 1'1 dlculQ, hacen <)JI'

~te 11' rompa y el paciente pUol'de eliminarlo en la orina.. Este .Modo ~ (ono.:e como lirotripsi,) I'XtrilCorp6rea.

1. Ul grupo de irwesOg;adores de la UNAM. enabezaclos por los doctol'l'5 Ac him M. Los~)I Fernando E. Prieto Cald..ron, hizo un ilpilrl.tO pilra disol· _dlculos Ilrlales en perros <)JI' lI.naron Mexilil Es un generador de on­di¡ de cilo<p.>e del tipo l'1e«rohidriulico <)JI' coJlSi$t1' en urw. tillól de fíbn de vidrioen cuyo centro ~ un mil'Cror deacl'ro inoxidabll'(DrI forma de lIemll'lipsoide.

Soluo::ión: Con Iosdamldl'l problema, tenemos~ a;; 12)1 b. 8,6. ti· i'-, asi la lIICuaci6n de b elip~ es:

l'rt>piMad ""...n..klnd.) Io"'~"¡unr~.m ... dounfo«>d.Io"Ip"'.~

",,"eiunello h.ockulolro ...

En 1980.1 OtChlllli .... ) Char"1 ~ I~ prl ..... a h:n"p"¡._orpóru ., el Ho.JIIUj Unlve_lo doMunlchy.n 111&411 mayo,1o <loo ... p~ncl~ I-oSpItiIHdel mundo )<Ircontm.n«>n" .:¡ulpo¡w.l\Ker" ¡:roc";lmlento.

"-Astronomía

Ula de ~5 principales "p~caciol'\e5 de la elipse se da en la amonomla. Cuando »hannes Kepler estudiaba los movimientos de Miltu ..... 1o quoe al apliar el modelo deCopémil;o deó,bila$cir(ulari!:Sal~rdd Solloscákulosdiscrtpaban ligt'r3' mente de la posición real del plana .. en ti tirmamemo. Por lo que imentó ajustar g órbita a otrascur .... ;u y, finalmmle. ~'9"u6 que la elipse se ajustaba en fot'fN m,¡raYilw. Asi obtuvO su primer.lllEYdeI movimiento de losplanet.s. EfI fe.Jolidad. Ktpif,rruvo una sueruellOr~ ya que /hJ:te i!:Suno de los plM1~HCon órblu de mayor excentricidad. SI en IU¡¡¡f de Martthubieno decidido estudiar a venus, cuya órbita es practlcaml'ntt circular, pOllblo!rnmtl" nune;¡ hubiera descubierto 5U.I leyes

del movimiento. l<ls tus leyes sobre ti mo~jmjelllo pJc¡mlario de Kepler son: • IDs pla~a5 se m..-n en órbiu.$ elípticas. uno de cuyos focos esel Sol. t Losplanet.ubarrtn ~reill isu.llesen tiempos lauales. Es decir, ffi la figuu 6.27,

si el tiempo que tarda el plll1eu en ir de A. , B es igual que el que tarda en ir <leCa O,entonces ellirea DAB es Igual al ma DeD.

, B cu.achdo del periodo de un plUII·'..i. (el tiempo ""1' tatcb en darun~ vuelta compleu alrededor del Sol) espropolI:ionalal cmode su distancia media al Sol.

!(@piel' eno::onu6 sus 1e)'tS empiricamHl[l', pero fue N@WtOn. mediante ~ cilculo diferencial ""e aatbab~ de ¡n...enta, y $U modelo de gravitación univernl. quien demostró dichas leyes.

En la tabla de la siguiente páginlaJNrecela excenuicidad de Luórbim plan.eta· nas. asi como la distancia media del pl~nl'l~ al Sol medida en unidades asuollÓml· cas (UA). Unlunidid astronómica es, pordefinicióll, la disclnda media de la Tierra al SoL La distanci¡¡, media de UJl planaa al Sol es ellemieje mayor de la elipse (a).

""',m,io O~ 0.381 ~_. 000' 0= ~,. OD17

... ~ OM' ."

Jo4>IMI' O~ ,., ""'~ O~' .5< U,.atoO O~' 19.18

~""~ O~ ,,~

En la liguieme l'igur¡ vemol l¡s órbitu de 101 primefOI CU¡UO pl¡net¡s de b;

tabl~. El Sol ts(á en ~ orlgrn V I~ tse;l1a de los ~ esd efI unldadt5 35(mllÓmlc;r,s. Q¡servamosqueaurtqlleson ~ipses. su excentricidad es muy pequeña, por lo que 51! ven cuI circulares.

y

... '" Mercurio

- l . - ., X

Venus Tierra -u

""".~ H.¡osca 2006 Pluron fueconooerado eldécimo planeta del s.ist~ r.ow. Ese añQ.

la unión AmooomlcillImemacj()nallo reclalificó como plillnetí meflor.la excen­mddad delaórblra de PllI[ón es deO.1S V IU dln:~nclill mMla al Sdll!fde 39.4' UA.

SI medimos efI ai\ol terrestreS ~ tiempo que tarda un planeta efI dar la _Ita Ilr<!dedord~ SoL la con'l{an~cleproporclon¡ lidad de la [@rcera ~ de Kl'plefes 1, Md«lr, la fórmu l~ de I~ ttn::efi leyes:

donde p es el periodo VII es el semie;t' mayor de la ~ipse.

l. fncontrar la diferencia entre el :s.emiej@mayoryelsefIliejemenor de I~ ór­bita de I~ Tiefr.ll si el semi* m~yor esCerclRO a 149600000 ~il6metms.

Solución: &1 la tabla ¡¡,meriorvtmOsque la excentricidad de la órbita tm"e$[re es;

, e .. - .. 0.OI7,

•

enton.us:

Dedonde

b _ ·h' - el _ Ja'( I -ODl7' ) _ dJ0.999711 _O.999855d _ 149578308 km,

asi que la diferencia entre el semieje mayor y el semieje menor es:

]4960000(1- ]49578308" 2] 692 km,

q~ es m~$ de dO$ v«es el dl~rnerm de la n~, es d«1r, es In$lgrllfl­ante comparada con el tamafto de la órbita.

1. Encontrar el periodo de Urano.

Solución: l;I dJ1tancia media de lJrarIo ~I Soles"'" ] 9.]8 Uo\. as! que su peoodo. de ¡(oJito COl») a tm:era Iry elfo Krpif,r <'S:

p - ,J19.18' - 84 añoL

No sólo los pl.mem ~tlst.lcen la leyesde Krpler, $loo ¡;¡mblbl todoslos ruerpo$ que giran alrededor de OCIOS: por ejemplo. los COmelas qtH:' giran .llrededor del SoL los S<ltélite5 que Sif.," alrededor de los pIaJletU, y el Sis­Irma SoIarque gil'll alrededor dela ~ LXwo. L1 constante de proporcioNo lidad de la tercera Ieydependeb1s6memede la masa del cuerpo centl'll l

<

l. Encueml'll el radio menor (en unidades astronómicas) de las órbitas de:

b. Mm:urio. c. Plutón..

l. H.llla el periodo de a. Mercurio. b. Sarumo. c. Neptuno.

3. El cometa Hallry tarda 76 aftos en dar una vuelta alrededor del SoL da su dis­uncia media al Sol.

4. Si la eJl<entfkidad de la órbl¡;¡ del cometa Halle)' es r " 0.97. encuentra su dinancia máxima y minima al Sol.

S. Trua. en el mismo sistema coordenado, lasórbltasde NeprullOyde Plutón. cnloando el Sol en el origen de coordmadas de tal mlrM!ra que sn un foco de lu elipses. Puedes usar (;eQlab parl ello.

6. Ula putru tiene la ronm de un ~rco elfptico, 1'1 decir. tsú. formada por mt­día elipse. En la base mide 1 metro~ de andw y la altuf) en el centro es de 4 meu'os. A tr.lvés de elllo deseamos paur una caja de 2 metros de al{ur.l. ¡C~I 1'1 la anchur.l mixlma que putde tener la caja!

1. Una galerla tiene p;r.rtdel verlic.ales de 1.5 metrOI dealtur.l1Un {ec!lo abo· vedado en "'rm> de ..-ne<Ilo -elipsoide. LO$ focos, qtH:' est.1n a una .INt.> de

15 metroS sobre el piso. están separldos po.- <1- fllt'U"05,. Si la alru-¡ de I¡ (OfI y tructión en el ~noo de la l:l6wda es de 3.5 met~ .. c:u;!.1llO mide su ~ mayor?

L Un pumteellptico tiene una altuf) de21 myun¡nchodel00 m. Determina lo ecuación de la elip.e..

,. El anfiteatro de Pompeyll se conmu)'Ó en el año 80 a. C. y debido a que la Iollll del volc~n \(f:SUblo enterr61lo ciudad en el al\o ¡g ti. C. las edlflcacionts 51!' conservaron casi intacuI. Las dimen5Íones de la efipse de su 'I'4!M son 66.65 m de Ilorgo por 35.05 m de ancho. Determina la ecuación de la elipse de la il'4!na considerilldola horizontal1conCentro en el origtn.

10. ~ construcción de III pt.ua de S<ln Pedro III realizó el escultor, irqJitecto 1 pintor italiano Bemlnl entre 1656 y 1667. ~ plu,) es ellptiu y sus dimen· lionesson 320 m de largo por240 m de ancho. Determin¡ la ecUllción de la elipse de la plaz.a COnllderá, 1a horizontal y con centro en el ortgen.

Otra interpretación de la definición de la elipse

Observtrno.l nl.l~ntela.l ecuólCio~ (6.17) y (6.18)-

(x-'J' (,-k)' (x-'J' (,-k)' T+--b,...-=l y -b"+ o'~

Pmporclonemol OUlO Inter~ad6n de estas ecJJxlonel. SI el i'ir:!fro de IlO dlple es C(I!, k),entonces el eje h-orilOntll de la elipse es la rectay= le. rel eje ...ertlcal es III reau: = h.luego, ¡¡P(%, y) es un p .... tO de la ellp1e. el término (:.:- h)' esel (ua· drado de la distancia de P a la recta:.: = k. y (y- k)' es el cuadrado de III distancia dePalarecuy=k.

En 8'!"fIeral, si l eila ~ que contiene los fo<:os de IlO elipse. l' es la recta pero pendicular a ( que polSa po.-el centro de la di¡xe.2aella dis~j¡ entre 101 ..miets y 2c 1'1 la di${~nCÑ. en(1'4! los foco5; la ecuiKión de la elipse 1'1:

donde b' • a' - ¿. o bien:

D(Pon ' + D(~l)' = 1,

'- ' J (6.20)

(6.21)

donde (-,,'.l)lon 10000coon:\('n~ de Pcon l'4!5pecto a 101 eje$ l. t (figura 6.29).

y

• F

- 2 1 ~ 8X

..... ~

Est~ m~oera de ver ~ e<:uaclon de I~ elipse es pmkularmente útil CWlndo los ejes de 1 .. elipse no 50n p'l/'alelou los ~anesi¡nos.

t '.

l. Encontrar ~ ecu¡ción de I~ elip5ew)'os focos son F(4, 5»)' F'(4, -1) y ~ distancia ~m~ los vb'ticeus 10.

50.,,: El c~ de la elipse C(4 , 2) es el puntO medio d~ los focos, entollC~s el eje foc'" en:" 4y el eje 00 foc~1 es la re<:t~ y" 2; la distallCiol foc~1 ~s 2c =6)' 2a .. 10, asI que:

" • .J5'-3' • .4,

entonces la ecuación de la I'Ilpse es (figura 6.30):

«-4)~-')' 16 % 25 - l.

1. Encontralla ecuación. en su forma generool. de la elipse cuyos focos 50n P(O,O»)' F(2, 2»)' su eje lNyormide 4.

5o/udO,,: El ~ mayor esci contenido en la recu que (llntiene los focos:

y_x.

El cemro de la elip5ees el punto rredio entre los focos C(I, Il. el eje me-­oor está com~nldo en la recu perpendicular ¡ la anterior ""e pilSiI por el antro de la elipse:

y.-x + 2. Como el eje mayor es la " 4, el v~lor dell es 2,emonces la dist~llCi~ emre los focos es:

2. _ J2' + 2' _ Ji - 2,[i.,

as/que c_ Ji,y:

. -j.' -(Ji)' -Ji. Al sustituir esrol.,¡lortleJlIa ecu.KióJl (6.20).obteJlemOI:

( T, r ('--'fi-' r --'-+~-'¡4~~

(x- y)' (H ,-2)' ---+ _1.

4 8

Desarrollamos los cuadrados y muldplk:amos por 8 para ti minar los ~ nominadores:

¡fisamos todos los t~minos al primer miembro ~ la ecuación yobterte­mO! (figura 631):

3x' - 2-9'+ Jy' -4x - 4 y- 4 • O.

Es muy importante ha«r notar que etI la ecuación anterior ap;lrtCe un mmioo en xy. En la Unidad 8. La ecuOKión M ¡,eg¡mdo grado. wremos que la preK'ocia de este mmioo ind ica que los ejes de la cónica no son par.los a 101 ejes tartesi;mos.

En cada uso, encuentra la ecuación de la tllps.e oon los datos Indicados. UtIliza la fórmula (6.20).

l. focos F'(I, 1), F(s, 7)y eje mayor 10. l. focosF'(-1,2), F{-9, 6) Y eje mlIYOf 12. J. focos F'(-I, 1), F{4, -1) Y eje mlIyor 14. 4. focosF'(3,6), F(S,8) y eje mayor6. 5. focos F'(-7,-3), F(-5,-3) Y ejemayor6. '- focos F'(27, 5), Fl29, I)y eje mayor 16. 7. Focos F'(-J, 18), A), 22) Y ejemayor 10. •. focosF'(-3,-S), F(3, 5) Y eje mlIyof 12.

y

x

y

Q -, • X

p

e

y

-, , • X

"""'Ul

Desigualdades y la elipse

25.\"' +91' -100%+72)'+ 19<0.

SOlución: Escribimos la desigualdad (omo:

(x-2f (r •• )' ---.--- <L

9 25

PrtINIO dibu~mo$la CU!VlI (flgur.l6.)1):

(X-2r CH4)' ---.---.L

9 25

, El dI! 101 puntos quco _án 1m l.lcollpsl' (tlgura634) . • El de los puntOsQ\l1' tstin dentro dtll elipse (fillLlra 635). , El de los punrosqueesrán fuef¡ de 1) tllpse (ft¡ur.l6.36). Consideremosahor.l cualquier punto P(x, y) QUI'!lO I:'stét'n la I'lipse; porl'~m-

plo. que esté dentro de ella. Trazamos la recta que pasa por e ~ P;I.lmamos Q{x, ,y,) al punto en que 5e

cortan dict\a recta y la elipse (Yéase rlgllra 6.Jl} ~ ac::ufflio (011 la ~dOn (6.20). (f,~2) '1 {y, + 4y son loiCU.ldrados do! las

distan.clas de Q a losejesde l.a elipse. Como Pesti mios cerca de losejesde la elipse de lo que Hti Q, I'Inonces:

por lo que podemos compleur:

(x-2)' +(Y+4 )' «x, -2 )' .(,., +4)' _1, 9 25 9 25

ya que Qesc~ en la elipse. Por lo que todos los puntos que~an en el in~rde la elipsl's;uisfal:eo:

~ {,,+ 4Y 9 + 2S < 1.

L1 región detmninada por la desigualdad seobseNl en II figura 6.13.

UJ\¡ elipse divide el pl¡J\o en tl'es conjuntos; • El de los pUJ\tosqueestáJ\ en b elipse (Agurl6.3"i). • El delos puntosque est~ndentro de I~ elipse (flSUrl6.3S). • El delos puntos que están fuer~ de b elipse (figurl6.36).

y

x

" .... ~ Considefemos un¡ elipse ooril(lntal;

y

x

dentro

los pumosqueesrlin en b elipse son los que »risfacen I¡ 19u~ld~

y

(6.12)

"horl ...eamos lo que piSa con los puntosque no escin en la elipse. Tomemos un puntO P(x, y)dentro de I¡ellpse. como semuesm en I¡ fi¡ur.l6.37.

Prolongamos el segmerllo que uned centro Cde la elipse con p, ha~ que corre I¡elipse en Q(x,.y,} Elle plXlto satisbcel¡ ~Idad {6.12~

Dncuemocon laecuadón (6.10). (x, - h)'y (" - k)' son loyuadradosde las

dist¡noo de Q a kx ejes de la elipse. Como Ped ITIÚcera de \q.I. ejesde la elipse de lo que esd Q entonces: %

I' -"«"-'Y y (y-kY«y.-kY,

81tOIl«S:

(y-kY (y,-kY - ,-.- < - ,-.-,

y, por tanto,

I,-k)' (y-kY (" -,y (y, -kY " +- b-'- < ,,' + b' -\.

.-.sr que todos los puntos del interior de la elipse satisfacen la desigualdad:

I,-k)' (y-kY ,,' + /1' < l .

x

~rt¡~~ 'ilunpunlDn:~,)

satllfau I.deslg..aldad

i!:J!+ s::¡L~ l.¡.nqu' "VIón se encuentra]

- 10 - 8 -.s -4 - 1

c=>

y

y

x -,

Con un ar¡umemo slmi~r. podemo.l 'If!f que 10.1 puntOI que est~n fum de la elip~ Sitisfacen la deiguaklid controlriol.

Pira las elipses verticales obtentmOi elltenOi limilam. En reumen:

• Un punto P(¡c, yJ esd en la elipse Ii !oiItl.l!Xe:

(.-h)' (y-k)' _ (y-k)' (.- h)' = ri + 1/ -1 o ri ... b' 1,

$tSÚn ¡ea el tipo de elipse. • Un punto P(¡c, yJ esdo dentro de la e'ip~ Ii lati5face '¡desigualdad:

(.-h)' (y- k)' ---' ---<1

a' lo' (y-k)' (.-h)'

• - ,-,- ' - ,-,- < 1,

segUn sea el tipo de elipse. • Un puOtO P(¡c, y)está fum de la eliple ¡¡ 1¡¡Mace ~desi~Id~:

(y-k)' ~ • -,-,-... 17' >1

1. TriZa IoscOf\juntosdetermj~ospor la elipse r ... 91 + 12x + 36y+ 63 = Oy dlffl:ribe iOillticamelll:edlchos conJUllI:os.

S.ollldó,,; ~ Escribil1105la ecuación dela elip~~ la forma simétria:

(x' + Ux + 36)+ 9(y' + 4y+ 4) _ -63 +36 +36

(x+ó)' +9(,,+2)'-9

(x+6)' +(,,+2)' _ 1. , se trua de la elipse horllontil con centro en q-fi, -2). semieje mayor a=3Yiemiejemenor b= 1.

Los puntOS~ están en la elipse iitishcen la ecuación (figuIll6.38):

( .. 6)' ( )' 9 +,,+ 2 _1,

/osptnosqueestín dentrode laelipse Sitisfamlla desigualdad (1lgur.J 6.39):

(x+6 )' +(,+ 2)'> I. ,

1. TrOlZ~ I~ región que seencuemI1lOentrode4r +56x-t 9f-S4,-t 133 =0, fueradey' - 6y- 6x + I - O Y fuel1lde y' - 6)"+ 8;0: + 89 - o. Escribe lu ~illlalda~ que oocriben la región.

So/uciórr: ldentifiamos adJ un.a de IJSCUNas al expresar su ecuación en la formJ slm~tricJ.

L1 primera curva:

4x' + Sóx + 9y' - 54y+ 133 .. O

4{X' + lb +49 )+9{X - 6y t9) . -133+ 4(49)+81

4{X + 7)' +9G-"3 r .. 144

(x+7)' (,-3)' ~~-. _1

36 16

es una elipse horizontal ron cent.o C(-7, 3), semieje ma)'Or 6 y semieje menor4.

L1 seguooa curva:

y' - 6, - 8%+I.O

)"-6)'+9"8x- I +9

(,-3)' .8(%+1)

es Un.\ pmbola llo.iz(IO(¡I con vértice en V(-l ,3)y abrehao;:i;l.la derecha. L1 taten! curn;

y' - 6)' +8x +89 .. O

y' - 6)' + 9_ -8x- 89 + 9

(y - 3)' .. -8{%+ 10)

es tria p<I~bola Ilorizontal con vértice en V(-Io, 3) Y abre hacia la iz­quierda.

y

lm.pu""'<q ..... _u""l< .... dontro do! la ~¡p..",n"''''''''Kln

\!/r.'.l","'-.1. ... thf..,.." I"deslguald.:l I!r+~c.,

l<>< pumo<q ... .. _u"",ranl ... ,ad. la~lp<r! <Dn ..,,,,,,,,lI>n

~+~-I. '""'"..,.." ladMlgua/dad

!!..:;.t+~>1

)

)

Las desisuillades<luedes<:rib8'll~ región son:

(x+7)' (y-JY ---. ---<, 36 "

(y-3)'>8(.>:+I)

(y - 31 > -s(x + 10). La rtgión es;

y

'"

-,

1. Tr.ua la región que tst~ fumo de la elip~ 4x' + 9y' -Ifu: - 20 .. O Y defltrO ~ ([("(ulo x' + y' - 4% - S • O. E$(ribe las desigualdades (Orreópoooienles.

2. Trlla la región queest.\ dI!fltro de4x' + y' + !Ix - 16y+ 52 = Oyde r - 14x- 4y+ 41 '" O. y abajo de loo ~ta con peooientece"O que pasa por el pumo 1\8. 2). Escribe las desl~escoffespondientes.

). Jiu¡ la ~6nque~dmtrod!:C -~Qfumo de r. 1+ fu:-6y+ 2 =0 Y deIajo de la fecU ~ piSa por los punto~ 1'(-1, 6) Y Q(4. O). ES(ribe Ia~ desigualoDdes correspondiennos.

4. Tr.ua loo región c:p..Iecon~ta de 105 punto~ c:p..Ie ~ encuentr'iln dentro de la elip~ 22~+ 64/- 225Ox+ 128y-fIl1I =lifuefadeld.wox' + ¡ -Ifu:+ 15 = Oy fuer'il de la p3rabola x' - 4y+ 4 = O.h::ribe Ioosdesigualdadescorrepoooiell(es.

S. Tr.u~ la ftSIón que consta de Io~ puntos c:p..Ie ~een<lIelllun fuefa de laelip~ 4x' +91-24x+ I08y+324 =Oydent~deliS~rrlbolur'+ 8.t-l2y+ 12 =Oy 1- 3x + IOy - 23 '"' O.ES( r¡be Ia~ desiguaJdades correspondientes.

,. Trll.1lla región ,,-,e censca de los puntos ~.e encuent~ fuera de la pa­rabola x' - y -1 -O, dentro del circulo x' • y' - 4 _ O,dentro de la elip.e x' . 6y' - 6 _ O Y mib~ de la fecta 3x- y. 1- O. ES(ribe las desigu~ ldo\des (D~ndift1teS.

7. Traza la reglón c:p..Ieconna de los puntos c:p..Ie se encuentran dentro de la elipse lóx' . y'_ l60x+ 4y+ 38.8 =0. fuef3d~ crrculo r' + y' - 10x+ 6y+ 33=0 Y fuef3 de la par.!.bola 1-6x + 4y+ 23 '"' O. EKribe las desigualdades corres­pondienta.

Recta tangente a una elipse

Recordemos QUt en 1'1 ~pMndo dI' I¡¡ [~n¡pentt ~I circulo "mo~ que urla ~ t t$ rangrmta una cónICa en un punto Pde la misma, si la corta (miamemem Py to· dos 5\lS dtm:h puntos t$,¡n en una sola de las reglOrlI!S dt,Mn;nadas por la cónla

En la figura M2 la reca corta la ellpst tn dos puntos, una parttdt la recta esd dentro de la elipst yotra pa~ td fum de ella; en cambio, tn la fi¡plra M 1, la ~a toa a la elipse en un solo punto y el ~to de ella QUeda fumo. En la f¡gura 6.44, la recu rlO toa ~ la elipst,1!S decir. toda la recta esdi fueradtdla.

y y y

1. Encutntralos pUntoS dI' Inte~ecd6n dt la r«ta 5x + 3y + 10", O Y la

elipse (H8)' + (y - s)' _l . , 25

Solll6ón: " ¡:tua eOCOmrar los pumos de intersección de la recta con ~elipse. debe-mos resolver el sistema: ':?

eH 8) ' (y- 5)' + =1 , 25

5.o:+3y+10=0.

OE-spejamol)'de la segunda ecuolCión:

' Sx+3y+10:O 3y=-5%-1O y=-~ x-!Q

3 3 (6.23)

p y

" • •

-12-10 --.s--4"""" - X

-~.

Su§(ituimose¡¡e y¡¡lor de yen la pri~11I «uiCión del sistema:

(HS)' (- J.f -lf- sY ~~-. -,

9 " S 25 '

25(%+8)'+9 --x-- _25(9) , , lS(x + 8)' + (-5X- 25)' .. 25(9)

2S(x +8)' +(- 5)' (x+ S)' .. 25(9)

(X+sy.( ..... S)'.9 x ' + 16.1: + 64+ x' + ¡lb: + 2S .. \1

2x' + 26;1:+ S9- 9 .. O

2x'+26x+80_0

x_-8 o ;ca_S.

Smtiluimo5el(05vaIO~el (6.23)yob{~s:

!;Ix:-8

5.1 10 ,. - -~)- -.1O . 3 "% 3

, ,. Y _ __ (-;) _ _ _ 5. , , M los puntOS de inte~ci6n tienen coordmtdu f{-8. 10) Y Q(- 5, 5) (figura 6.-45).

2. fncuentralospuntosdeinterHCciOO de la ~12x+ 3, - 6= Oy 1I elipse 4x' + 5,' + 1l.>:- 2,.-16_0.

Sc/uciOn: Piril enCOIl{l1Ir los pu ntos de intm«ción de la re:ta con la elipse, Mbe­mtareolverel sistema:

4%' +51 + l2l"- 2,.-16 = O

2x+31 - 6 =0.

Depejimo! ,. de la !~ndCC' C~C'CKC.C"':'--;c-__

2X+3"-:y:~2X+6 j y=_!x+ 6

3 3

y:-lX+2 '- 3

Sustituimos este '13101' de Y en la primera ecuaci6n d~ lismni:

4x' +s( -~x +2)' +l2x - 2( -~x +2)-16:0

4x' +5(~;{' -~X+4 )+12;{ - 2( -~ ... + 2)-16;0

b ' +~",' _ 40 ",+20+12x+~",-"-16=0 '3 3

4x' + 20 x' =0 9

.... ( 4+~);0. de donde ... = O. Sustituimosen I~ ecuación (6.24): ,

y. - - (0)+ 2.2. 3

I'tIr e~nto, la recu corta la elipse en el puneo 1'(0, 2) (!lgura6A6).

(6.l~)

La unll"1~ a la ~Ipse[leneuna propiedad similar a la de la [an~a la paribola q.¡e ...eremos a coneinuaclón (figura M7).

Dado un punto 1', en laellpse,.

I¡, bisectriz del angula form<W.io por la reaa FP y la recu F'P ~ con acepción de P,conel_ sólo puntos de fuera de la elipse es la recea eanJl'~ee a la elipse en el pumo P.

fn la figura.6A7 (' es la biseceri,d~ ;l.ngulo formado por liS recw iy 1.'. mlen· eras qJI' el punto simétrico de F',con respecto a r. es R. Para ver q.¡e t~ es la I'!'([a eanaenee a la ~ipse d~mos...er qlJl' para cualqulerpumo Q .. Pde ~Ia, Q I'S(~ fuera de la elipse (figura 6.47);

'(F.o).d(F ,Q)-d(F,Q).d(Q,R) >d(F,R)

.d(F,P).d(P,R) _ d(F,P)+ d( P,F ) _ 201,

'~/ e' Q

P F X

lar'Kb~nflOala

"I""'~".,.I .... I punto fl{x,.1,)I~ne «UiClón ~ + 1+ .. I . .

La fecQ 1.1n0ftl1e ala

"UP'"'~+$- .. I"".I punto P(;".',)lIene «UiClón ... + 1;: .. I . .

y p

- l _ _1

ponantQ. Ql!Sti fuer~ de la elipse. EnmnteS. para ~n{rar la «(la(l6n (le lal'f)(ta tangente a la ellp!leen el puma

P,Io que debemos hacer es encontr~r la ecuación de la bisectriz arriba mencionada. Al hacerlo obtenernos:

) • Caso de laelip!lt horizontal eO!1 centro en C(O, O). Supongamos que la «uación de la elipse es:

~+~. l " "

y p(x,.y,) esti en la elipse. Entonces la ecuacl6n de la r«U tangl!l'lte ~ polSa por P es:

(6.25)

) • caso dela ellple vemcal con centmen 00, 0).

x

Se Inreramblan los papeles de ay byobtmemos:

lXIX + 1!l. = 1

b' " . En resumen, en ~mb.as situ;ldonesamb~mos x' por x,xy r' por !.y.

~ <

(6.26)

1. Encontrar)¡, ecuación de la I'f)(tl tangefl te a)¡, elipse ~ + t.. .. 1 en el

J Ji) • , punto't l 'l ·

5c>/udóIl: Su!.tirulmoslaseoord<erladasdel punto Pen la ecu.aci6n (6.25):

"'x (.fj) 7+ 2 y = 1.

Simplificamos y obtenemos (flgul"/l 6.48);

H2J3y-4 .. 0.

Veamos ahol"/l cu~1 es la ecuad6n de la rtCtl tangente en el punto p(xpy\)de)¡, elipse ~ftical con (leImo en ah, k).

las coordenadas de Pcon ~spel:to a los nuevos~es son:

(x;_x,_h y y,-y,-k;'

como la elipse es verticaL entonces. por (6.26~

~ .. 1lL .1 />' t '

('.JI)

11Iscitllimos x','" de actJerdo con (627) y ¡é" yí de aclle!do con (628) y obtme mosl¡ eclUción de la recta t¡ngentea I¡elipse ...ertic¡l en p{x"y,):

fx¡-h)(x-It). (r,-k)(r-k) = 1 b' a' .

(6.19)

~ igual manera po~mo&l'fI(ontm la eclUción de la recta tangmte a una elipse horizonulm un punto p(x,.,,) dado.

(x.-h)(x-Ii». (r,-k){r-k) 1. 01' ~ ti ••

1. Encontnr la eclla(ión ~ la recta tangmrea la elipse 4r'. 1- 8x. 8r. 16 =Oen el puntO 1'(2, -4).

S4/uoon: I fscribimoi la ecuación de la elipse en la forma :limél:ri~

.",% fx_ I \' (Y"4f !.:::..:....:.L.. ..1

1 •

(6.30)

Podemoscomprob<lr que,en efecto, 1'(2, -4) est¡ en la elipse al sustituir mi coordft1adas en la ecuación:

Como la elipse es ~icaL Iltilizamosla fórmula (6.19):

('- IX. -11. (-4- (-4))(,-(-, )).1 1 •

asi que la recta tangen te ¡ la elipse m 1'(2. - 4) es la recta vertol x = 2 (figur;¡ 6.49~

, ........... ""!)<'n ..... L.> ) ~upse~+~_ l..,oIpunll>l'(.t;,.!,)

) lo. fK~ tang.nt. a loo "'1ISt (,~.!o.t .. ~t~"" , ... .. p..,to I'I~I.!J

y

-, X

-, h ~ p

.. IV .... ~.

8P'"OP(+,4)~~a 1 .. lIpw .... rtic.al + .. ~. 1. Un""" .. ..u ... F((l.""~la tKta "...,.ndlcular a Pf' <JI" pna po, F """u.la dlrO<:trl~ dellado de _loco en QtIO. - -tI.¿Qu.! propled.:l 110M la _PQ. 1'81>«10 a laellpw¡

2. &Kontrar I~ ecuación de 1; rect~q.teune el pumo P{12,t) coo el cefltl'O dela elip5e 9x' .. 25,' - I08x + ISOy- 351_ O, Y la ecuaci6n de la recta q..e pu~por elfococ(lr1 ~bS(iu POiitiYOl y es perpendicular ~ la r1!WI (",n­gm¡e ¡ la elipse en el punto P. ¡Q~ coorden~s tiene el punto Q donde ~ cortan t$(M recus? Demostrar q..e Q esd en la directriz correspon­den te ¡ ~ fo(O.

Solucié", Escribimos la ecuaci6n delaelipseen la forma simétrica:

9x' -108.1: .. 25y' t 1SOy. 351

9(x' -12x + 36) .. 2S(r' +6y+9) _ 351 +9(36)+ 25(9)

9(x-6)' +25{, .. 3)' _900

(x-6)' (,+ ))' 100 + 36 .1,

ul I\-(Pie es horbomiJ. con CentrO en C(6, -3 l,

¡¡'-lOO. b' .. 36, ,' .g' -b' ... IOQ -36 .. 64.

esdecir,

a ... 10.b ... 6.c .8.

LoifocOi~n:.

l' (6- 8,-3)- " (-2,-~ 1'(6+8, - 3)_ 1'(14.-3 ),

lir ecuKI6n de la recta que une af~nto p( 12,t) con C(6, -3) es:

Y +3=( td ) (%-6) 12-6

4 " 1=;X - 5 ,

lir ecuKl6n de la recta tangll!nte ala elipse en el punto P{12. ~ ) es:

(x, -h)(x - 11) + (y, -.1; )(y-.I;): 1 ol ' b'

"( '~'-::,'",I(!é'c:-"-,6) + n +3 )(y+3) ,, 1 100 36

6(% - 6)+ 2(Y+3):1 100 15

"( 3(X-6») 1"-3+- 1-2 50

9 36 1=-- x + - .

2Q 5

lJ, pendiente de esta recta n m .. - -lo . entonces la pendiente de una recta perpendicular a esta es m, .. t . De dor.de la ecuación de la recia <JJe pasa pOr 1'(14, - 3) Y es pl'l"pendicula.r a la recta anteriores:

1+ 3 = ~(~- 14)

1=~~- 3~7.

f'¡ra encontrar el purw de intersección ckes.t;¡s rectas las igualamos;

4 39 2Q 307 -x--·-x--5 5 9 9

37 ~.-. ,

Sustituimos este valor en 1", primera ecuación;

Y=~~~-~=7. As!. Q( f .7).lJ, ecuación de la directriz es:

" ~-6 .. -, 100

~-6 .. -, 37

~ "-. , Rlr tanto. Q( 1f.7) es un punto de la directriz (figura 650).

Encuentra la ecuacl6n de la recta tangente a la elipse en el punto Indicado.

1. ~ . + 4y' - 48y + 80 _O,en el punto 1\0, 10).

l. 3~'+y'-2y-5 _ O'enelpunto p( Ji.2). 3. 4x' + 7y' -40~+ 42y+ 135 _ o,en el punto P(.I].-H. 4. 8~' +9,' - 32~ +54 y+41 -O.en el punto p{I,- lf).

S. IO~' + 31' + 2Q~ + 12y- 8 .. 0, en el pUntO p( :;t; -1.0). 6. ~ ' +5,' + 14~- 301 +69 .O,en el punto p( -7 - ,[s, I)

Pen;a.mien~ Crit iCO' • Consk!erl una "I~ y un ....,lo Pcullquler, ¡es IX"ibl"t'_I.>Vlngen",~ bclF,q",,_po,~

Pen,sa.mie~ CfltlCO lC ..... 1.IS tang.ft\' ... a una "pw .. p"-"'''''''' _unpunIOP~'"

<lrXu.ntrll I'w-rlldt eI~l

Pen,sa,mien!A,.. CritiCO' • Consk!erl ~ .llpw

~+~.I.¡DóncH dtlM...ur_lpunUld_ .. "9*"cIlPpMaq .... 11 rectllquII u .... Peon .. """<rO cM 1I_lIpse .... F»'F»ndlcular a ~ ..oge-ntel

7. EncuenUlIla¡ ecuacloMS ~ las r«U! ungmte5 lO 1.l1!lIp~ cuy¡¡ ecuación ~

~ral@s81 x ' + l44y' -9nx - 576,-1692 - O,~ tl punto P{12,2+ t..nf yen ti ~rtk:e(uyallb5(lsll es 14. Encuen tra el punto Qdortde secorun am­bas rang.ente. Cakula la IM!nd~n~ d4! la t«U que pasa por 111 otro ~iI;e y el pumo Py la de la recia que pas,a pare! centro de la elipse y el punto Q. zQ~ plH:'des decir <k' nt .... r~,",?

L I-\¡JIa las KUilCiones de las m:tas [an~te5 lO b elipse roya ecuación general es 16;(' + 25,' - 31.>: +2(0)'+16 -O, eJ1 los enremos del lado recto que pasa pare! lo«> F'(-2, -4). OI!m~[r.II que el punroen el que se<:on:an tSQ$

tan,entesseeocuenm en la l'«tiI quecO!ltientel eje mayordela elipse. 9. Da ruKuaclonesdt las r«eascon ptndlm~ Igual a Jt QlH! son rangen~sa

la elip5ecuy;I «uación g.!Oeral es 14~ + 25y+ 2304x - 250,+ 6241 = O. 10. Encuemn lis ec~iones ~ ~ rectU ,¡nlpentes lO la elj~e cuya «uilCión

gmer.ll es 3x' + y' + 24x + 8y + 37:Q. yqueson ~pendicu lare5 i la recu x+ ,+1_0.

11. Dados una elipse y un punto Q fuen de ella, es posible encon trar las ecUI­dones de IMr«U.5 tang.entesa la elipse<:pJtpas.an por ti punto Q. SI Qestu· Wmo dffirJO d@latllp!.!! no strl~ posib¡" uaz~r l"'~ t~ng!l!mt a la d lpst QUt pi!.!! PS{,tI punto, ya CJIt cu~IQUIer recta que put por Qcorta la tllps.t ffi dos puntos. ~nskltra ~ tllpst 2;1;' + l' - 28;1; +" r +98 - O y los pumas 1'(6, -1) Y Q~; 2,--4 J. Encuenua. si es posible. las e:uacionesde las rec· UI Uflgen tes a I~tlipltqu.e p;;\S¡ln portl puntocorrespondientt.

Ecuaciones paramétrica~e la elipse

Un m6YI1 reco~un~ curv~ de m~lM'r~ ~tn ood~ titmpo I su ~bKis.a Vi¡" 4 coSl y su ordenada ..... It ~nt. Supongamos qoe el titmpo s.t mide en sf8Undos y que O s: t s 21r.l)el.cnbor la curYol recornd~ por ti móvil

5011166,.; Tenemos trI~ función dt un inttrYollo de tiempo en ti planQ. dt mantra QUt ~ cada instamt It corrtSpondt un pumo tn el ~lano, ti punto ffi dondt st en<uenuo. el móvil en tst momento.

TelM'mOIdos fundontSen la variab¡., t

x(t):4cost, )'(t): Rnt, (6.31)

q lH! de<:ribtn la ~bsds.1 y I~ o~nada cHoI punto dondf, nrá ti m6vil en ti insun~ t Al traur UJlOI puntol pMil alguJlOI valores de 1, !lOl;¡Imol qut la curva parect ler

una tlipse81l~ qutel radio mayor o valt4 y ti radio merlOr bvalt 1 (figura 6$1).

W

-(1.71

y

x -,

Par¡ comprobarto, partimos de la identidad tri,,:mométria:

cos' t+~D' t _ l ,

y suKiruimos COi! y sent por ~ valor par¡ <!Ilos obtenido en lu KUiClonn pal3m~­tr1cas(6.3H

X{'r +y{t) ' ", ¡,

" asl que, ef«tIVlllmente, para cada tlos puntol (%(1), ,(1)) s.atlsbcen la ecuación de la eUp~ (figura 6.52):

-,

x' ,+y'-I . •

y

x

Conside~mo$ l.eljp$e horizont~1 con centro en C(h, k)cuy¡r. ecUiKión es:

Esro signifia, que ti punro:

('-h l.::!)

Q " ' !1

ed en ti circulo con centro en (O, O) Y radio 1, cuyas ecuaciones pll1lméuicas son:

(00$1, Soen,j.

~"""""k>ne< poo,am~_~ Ia@llp<o>

V+~- h"n

)

.:(1J .. h+ • ...,.~)(I) .. l+ ~""'~

lJna¡"""""k>ne< pII,am~_~Ia"'lp<o>

)

~.~_ l..,n .1)-~+bOOOl.J<1) h.1I<III.

) l.Isi;ju ..... nJlI ....... """¡¡ Bdc<lbu~lullpM dtl plinM'tj .... plo &.:ab 100 · ,~ · ,~ 1"~31U~

k~ 100 1'S<l (5. 1) IUrl~OTok

• - >O+f ....... ·O ~ 4' (,;<»(1

'po'l/k»

r }'O-f.-b'l·!" l' SIn(! 'p'l/k»

1, .... ( .. y)

~" l.I __ f",,,,,,

pormlto! dbuJa, la i!l1J>S* a.t ... malla""""adoenla

,..,~" Ald.hJa. . n

<Dmpulado,a.!wyq"" _ .. uldad"<,,n~ <DOt<Ifonoda!" ~~~ .. ;~ está ...... OO<quin41

_1or1 ...... 1-'a~1a panUilIa Y la ~ "",,_ dol .... Yapuntahada obIop,e<p",lt>Oq"'hay ",.udkz.;o,lIsvarlable<

I\.pora' ....... flg u'a 11 Uf"ir<> de la pont.lil .. Y po ........ s~I-)en@l ,.""" .. ,

Como Q eml.en drculo.eJ1(orK~:

z::..i! y b - llenl .

C>e5p~!X V yde las@(:ua(lon~afH~rIores. escribiendo x(t) y y(l) par.! hal;er h¡na.pl~ en que ambas dependen de t

x(t)_" +olcost

y(t)_hbllent.

De esta manera hemos obtenido ulluecuaaollts ptlt'omitricas de I¡ elipse. Confo~ tAlCOm'ellnterValo [O. 21Tll!! pUIltO (olCOIJ. b sent) n!<:Om'li elipse

con centrO en el origen. semieje mayor igual a ~ y semieje menor 19uil ;¡ b. Al sumar " V ka Il. ibsclsi y ordenada d e dicho pumo se produce una UOHlWÓll del cenrro de la I!!ipseal punto (h • .I:). por lo queel punto:

(h+o:acosl. k+bsent)

m::orreb eI~con centro en (11. k). semi~ horizontal igual a ~ y semiejeverticlil igual a b.

Pln Il.l!!lpse verdeal:

unas e.:uaciones paramé!:rias son: ~

x{t)-"'tbcost y{t)_ .l:tOl$enl.

1. Parametriurlal!!ipse

(X-3)' (y - s)' ---.---. ,. 4 ,

Solución: Hacemos:

(x - 3)' c;os't - •

4

x{t) .. 3+ 2cost

y{t) .. S+3Il1:nt;

obt_mos as! unasKWdones parammicas d~ la ~lIp~ con' E [O,llf] (figura 6.5}).

1. Parametrlzar la elipse:

9x' + 16,' -18x +64, -71 -O.

So/udón: COmpletamos los cuadrados p~ra escrlblrl~ en I~ forma sirmerla:

(x-l) ' (Y+2)' 4' , - ,-,-- 1.

Entonces.esunaelipselloril.Omal (flgura6.5<i)cu)'O cemroesel punto C( 1, -2); su semiejeooñzontaJ mide 4 y~1 verUal mide), ni queunase:uacionespa· ramétric~sson:

x(t) _ 1+4CO$l

~_-2+3stn/.

4 _,

-, • X

1. Es.crlbe~n su fonna ~ la ecuacióndela ~Iips~cuyasecuaciones paramé· D"ic.u son x(t) _ -4) + ,¡¡ocost • ,(t)_ -5 +9stnl.

SoIuci6,,; D~jamosO)$lystnt ...

CO$t - J40

~donde:

l!2 stnt _ 9 •

, ,(x+6)' (,+5)' lzaJI! t+stn 1'" + .

., 81

Entonces, la e:uación de la elipse (figura 6.55) en su forma ¡eJleral es:

81x' + 40,' +97lx + 4OOy +676 - O.

y •

-"

o ..... UJ

y , -w -, X -,

-,

(x - hY (J-'!, ---. ., 11' /1 '

'x - h- (,-.)' = .---., ,,' d '

;:(r)-h + aCOSl

,r0- . + ~ .. nr

.c:t)~h+~COSI

JI.)- .+ .... "'

En cada caso, m(u~f1tra la ~uad6n gI!"tnl de la ~lIp~ ~ (o~ondl! a las ecu.Kiortei pmmétric;n dOld,u.

1. (-3 +2con,S+Knt). 1. (6+0)$,,4sen,).

3. (1+7~t.-t+Jsentl ,. (-~+4<O$t,J2sent} s.. (cou,8sent). 6. (9+SCOSl,-2+6sent).

7. G+~oost,-I+~sent).

.. GC06t,~+sen'J 9. ( ~2 +SOOSI·isent J

10. (~+~(ost,8+3sentJ

Escribe en uda caso. urm ecuacionerlaramétriCilI ptra la elipse dilda ffi la forma~1.

11 . .0: ' +9,' +6'% - 181+9 . 0. 1~ $x' +4,' _ IOx _ 24y+ 21_ 0. 1l. 8'%'+91-32:.:+54,+41_0. 13. 4% ' +y' -16_ 0. U. 25.11:'.9,'-225 .. 0.

11. 583%' + 98,' +581:b: - 56y- 433 .. O. 1&" 54 ... ' .. 991 .. 972;>,-132y +- 3824 .. O. n. %'+2,'-]6%+23 .. 0.

U. 4x' +9y' +32x+36, + 64 -O. lO. 12x' .Sy' ."TU+40y + 12S .. 0.

H.

Encuentra las CDordenadas de "¡>s vértices. de la elipse cuyas ecuaciones pa­ramétrlCilS Ion 14cost, J75entJ. Hllla los ext~s del di.l.metrO menor de b elipse clIyu «Wlciones p¡~ métfiQsson l2 + 3cO$t.-3+ 2Jisent). ¡Cuiles son las coorden~ del cemro de b ellp.e cuyas ecuaciones pur métrlcauon (1 +(0$1,-2 -+ 2St:nl)? SI la>; «Iladones pararnétr1~ de una ~lIpse son (-2 -+6(0$1,5 + 6senl), ¿ClI~1 es b eJcCentricidad de la elipse? ¡Quépuefesdeciral respecto? Si bl«UilCionesp~ramécr1Ci\SdeunaEl¡pseson l3 + Ji ros 1, -2 + )Ji St:n ,), eocuenlri su eJICenuicidad.

26. Escribe uniill ecuaciones paramétrias de la elipse ytrtic:al con cenuo en el punto C(-I, O), semifje mayor6 ym:enuicidad igual a ! .

17. SI las «ua(:lon4!$ para~t1as ~ una elipse son (-S +6«151,-2 + 10sent), ¿cu~l4!$ son lolS coorden~olS ~ los focos1

1.. Escribe unolS «uaciones paraméoio:;as de la elips.ecuyos focos Ion F'( -8, 7) Y F(s, n y cuya excentricidad 51!.) igu¡1 ¡ l

19. escribe unas ecuaciones poIr1Imftrias df> la elipse si uno de los vm:ices e. V(-I, 5), sucmtro ese! punto C(- I, 2)yel semie~ menor mide 2 unidades.

Resolución de problemas

&1 este ¡partm vefemoS algunos problemolS que Involucran lugues¡eométricos r@ladona(Iosconlllsellps4!$.

lugares geométricos

ElKuemu el lugar geomftrico form~ por los puntOS t¡1e¡ que su distanCill al pumo Q(I,O) ~a igual lO la mitad de su distancia a la recta %= 4.

Soloción: uamemos p(%,y)¡ un pooto de dicho lugar gromftñco y [ lila recta % = 4.

lu mndlclones del problen'lll nos dicen que

I ' J(P,Q)=i(f! l ). i

La distancia de P a Qe:

' d(P,Q)="¡(%-I)!+(J 0l''''..Jii-2:c+1~ Ladiltarn:iadePa l es: %

r d(P. l )=I%-4.

Sus!lruyendo (6.33) y (6..34) ;nC(C6"."O)CobC,=_=~,

~x' -2:.:+ 1+ y' - i lx- 41·

Si elev;¡,mos ambos miembros al cu~rm y .simplificamos. obtenemos:

I x ' -2x+ 1 + y' = _ (% ' _8%+16)

4 4x' - 8x+ 4+ 4y' = x' - 8x + 16

3x' +4,'-12=0,

(6.32)

(6.33)

(6.34)

que es li e<Wlción de una elipse. Para eJKomr1lr sus elemefltos.li escribimos en la fol'nu ~~t1ca:

" y' - +-- 1. 4 3

-,

y ,

-, -,

x

MI pues. vemos cpJt $(' triU~ de un. elipse I'lorizomal con aml'O en el origffi. [Dn semieje mayor ji -.¡¡ - 2 Y 5emi~ menor b. J3 (flgUr.l6.S6~

U1 ¡.egmmto AS de longitud S se apoya 1m 105 ejes CilrteSianoS. de manelll que A est¡ m el eje X Y 11 m el eje Y. Etlcuenm el IUgilf seomártco des<rito por el punroM del ~@Il(O QUe_~ ¡ 3 unld~d4!"',(ontor~A y8 se m~ sob~losejes;.

Solución: De Kuerdo coo lu cOlldicionle$ del probltmi ttoemos: AB = 5, AM = 3. BM = 2

t.ascoordenadasde A son (o, O). y I,ude Bsan (0, b). ~Il xy yl¡scoordenadasde M en la figura657, y seMi 1'(o,y) y Q(x, Ol: en­

wrxtt y

p , "- O •

B(O,b) M

• Q

A(Ol,O)

X

"'," ,57

Debido ¡ que k>5 ¡ri~n8ll105 BOA y 8PMsoo sem~ntes, ob[~mos:

PM M8 ~.

-"'%

de iSJ.I.ll formil, 101 tri.\n&ulol BOA y MQAson semejilmes)'. por tamo.

«Ilances:

MQ =MA OSQ. l=~. 08 MI b 5'

I..Isando elll'On!mi de Pil ágpr.u en 1'1 triángulo OAB.

DA' .oif. AS'

1l' +~' _2S;

sustituimos los \'Ollores de a y b que enconuwnos iIIntes y dividimos entre 15, de modo que lIeg;¡mo~ a :

que es la elipse vertical con centro en el origen, que tlenesemle;e mayor a = 3 Y semieje OWllOr b = 2 (fi¡U/il6.S8).

1. &1<:uemra el lusar georrWlco de los pumol tales que ... diiuncia al punto A:0,4)sea ~ ~ su distanda a la rNla y- lO = O.

2. Si 105 vértices de la b3se~ un tn¡ng,¡loson A(-S, O) yll(5,O),encutntrll el lug¡lr geomkrico del ~rtk:e C(x. y) restan(t, de mantl'a que el pro­<u:tO de l.1s tangentes de los ~ngulos de la bitse sea igual a ; .

l. Si los ~rtices de la base de un trlinsulo son A( -s. O», B(-I, O), encuen­mi ellug;ar geomkrico del Yértice C(.I;, y) reunte de manen que la suma de las longitudes de los lados ACy BCsea 19uilll a 14.

Mund0l) virwal

1. E1ipse <bdos los focos y el s.emiej.e IN)'Or. Encuentra la ecuación de la eli~cuyos (ocolSon FI(5, O) y F2(-5, O)tal quela sUlNde I.1sdlstan­daide los puntos de la elipse a los focos sea 12. Para ~nstfuye los puntos y el esc;¡lv a = 6. 1ue¡p udliu el constructor Focó~ Q del ownú decÓnicas.¿Qué pilla si haces 01 = 31 En la pantalla ~difQ¡anali[io::oi, colOCll el cursor iObre el renglón de la elipse y oprime el botón lbr05 par" ...er todol los elementos de la elipse

2. Elipse dados los rocas y un punlo. Halla la elipse cuyos fo<;os 50n FI (I, 1) Y F2(- 3, - 1) Y que piW por el punto P(2, 3). Uill.a el cons­tructor flipst.fOaJs y plJtftl)del menú decónicas.

3. E1ipse<bdO$ el centrO y los sem~ Da la E!l:lIilCión de la elipse hon­zorltal con centro en el orlgel'1 y que sadsf;KO!' que el eje fIIiIyOr mida 5 yel menor mida 3. Sugerencia: utiliza el ¡eorema de Pit ígoras pilra en­COntrar el \'Ollo r de cy con ~ encontrv los fucos. Lm focospuedescons­truirtoscomo Punr05 calculados. poniendo co -cen la coordenada xy O en la coordenada y de ellos-. Luego, utilir.a la coostrucdón fouJ5 y a del ownú decÓnlcas.

,. E1ipsediuUla e<ua<:ión. Traz¡¡ la elipse 4%' +- l' -36. O.Pa", ello. utl­liu el constructor COlliCQ calculada y asigJlillill los (oeficielleS 1t ... Flos valores adecuados.

S. E1ipsedadalo ecuación. Traulaelipif>9%' + 4/ - 9Ox- 24, +225 _ 0 y encuent'" las coordenadas de los foco5. del cenuo y de los vértices.

y

x -,

6. Fa miliasdeelipHS.Enwemra Ilol~¡pses{on focOI en FI( -5, O) Y 1'2(5,0) variando la tl((entricid~ 0 < t < 1, Geol .. b no tiene coomuctor pira (ocos y ncenuicidad, p!!M sl.wne pUlO f'oa¡J Y a. Si , = 5, mwmos qlle '" = Slt. Constl\l)'e d OlllúmetOsdireaos , =!i Y t = O.5.Coonruye los focos como pilOtoS (alc lll~s FI(-<, O) y F2(c, O). Construye el nú' mero ClIIlculado .. '" r:Je. Construye la CÓnica con estos focos y el valor de a. Anlm¡¡ el número t entrtO.o1 y o.99. Ejecut .. ta animiKlón. lrtdiundo quelacónia. ti ene trua.

7. Construcción con real. '1 compb.Realiu 1" conmucc ión que 3¡H1m:e en la figura 6.10. Anima el punro Q de O a 1. Indica que P dtje traza y ejKutala anlrmeión. Ve el ejemplo ·elip~comp;b· en 1"lIsta decon¡.. mKdones de Gtolab.

.. Inte'Se'Cción de el ipses. Encumtrll el circulo que pas.a por los puntos en doodesecoru Jl lu elipses 25;1" +9y' .. 1 '19;1" + 16y' .. ¡.construye las elipses como c6niC<ls ClIIlcu~15. Construye las cuatro in¡erseccione de I¡s cónius. Construye el circulo que p¡s¡ por treS de ellas (circundr­culo) yobserVOl que pilSa porel C~~rtO puoto.

,. 8iPH por S puntos. Construye la elipse que ¡la5i por ,01( 1, O), B(3, 2), C(,¡1, 31 D(3,3), E(-2, - 1 ~ Udlluel conmucror CóIliCtl JHIr S puntos.

10. TOInlmte a li elipse. Utiliza I~ elipse del ejercicio anterior. ConSll\Jye 1.1 t:;I08t!lteol 1.1 elipse desdeel pumo P{o, -3) que está del mismo lado que !!I punroA. Tam~n co~ la ~ngtnl:e~esci del <xrolado de A

11. 8emmt<» de la elipSe. Utillu 1.1 elipse del ejercido 8. ErlcuemlOl lis intersecciool'S de 1M t l n(lE'ntl'S construidas 1'11 el ejercicio 9 con el eje foulde 1.1 cónica. Para ellQ.conltruye el eje fonl de lacónica. Utiliu el mnsrrucror R.eaas di! LIIIQ C/)ni(JJ·>~ rOla/, del ml'l1Í1 de reaas. Una YelConstruida I'Sti recta, conm~ 5U5 imenecdonl'S con 1015 tinJen tes <bdi$. Obsefv~ que a tf¡...ts'dt:lOs menÍls P'IIItos de una C611ic:a, Rta.as de una Cónica,. Esca/ares de un~a ~rm. pmibilidad de acceder a todol 101 elementol importanll'S de la c6olc.a.

Resumen de la unidad J

.. Ho,I>onUI ~ +i.. .. 1 cto.O)

111 ",0) Ple, O) lJ(O, b)

<l' b' 11"( ..... , 0) F'( .... , O) B'(o. ~}

_b' ~+L .. I C(0.0) 1110. .¡ P(o. e) BO, O)

b' <l' '1'(0, -..) F'(o. -.:) B' (-b,O}

• Extremosdellado rectO de una elipse con centro en C(o. O).

• Horizontal:

FocOF(C'Or.(c,~}(c.-~ )

foco F'(-(, O){ _('~}( _"_~) • Vertial:

FocoF(O, C}.( ~,c}( -~.c)

foco F'(O, -.:){ ~,-, )y( -~,-c l • Directrtces:

" x .. --l F(c, O)

Elipse hor1zont~~ 'a'~ x .. - - ;-fJ!'$-(,O). ,

" y -- ;F(o.c) , " r- - - ;F"(o,-t). ,

• E1lpsevmica~

• Ecuaci6nde la tlIngente ala elipse con centro en C(o,o)en~to Q(%,.",}

• Hortronral: x': + l!? _ 1. -"'% , b

Ib~",ntal (x-')' I,-'y "'"

I'UI u, k) f(h+,l) ,--- ., Y'(/I- ., k) f'(h-c. k) .. " "'r1~1

(x-h)' JY-k), .. \

""" V{.\ h s) F[/I. h<l

b' a' Vtld-.) F'(/I, 1-e)

• Extremosdellado r«1:0 de una elipse COn centro en Oh, k~

• Horizontal:

Foco Ftlr+ ',k){ Ir+t,k+~ )y( h+tJc-~}

8(ñk+b) 8'~k'¡')

B(h + ~.k) B'(h-U)

Foco F'(Ir- e, k): ( Ir - c,k+ ~)){ h -C,k - ~). • Vertiaol:

Foco F(h, kU){ h+~,kH) Y(h -~,h +<).

Foco F'(h, k- e): (Ir+ ~,k - () Y( Ir - ~,k- (). l Dim: trices:

" ElIP5tl'lorIZOntal:x-h - c F(h+c,k}

~ x-h _ __ F(h-c,k)

" El ipstvtrtlC<1l: y-k _ - F(1r,ku) , .... " y - k= - - F(h,k-c) ,

• Ecuación de la r«ti tangente a la tlipst con centro en C(1r, k) en el punto

Q(x"y,} (x,-h)(.; - II) tJ',-kXy-k)

• Horizontal jJ ' + ti' -1

(" - h)(. - h) ~)(,-.) • Verdcill: b' + '\,

t Forma8"'M'ral dtlatcuxl6ndtlae!ip$t Ax' +Cy' + Dx + Ey+ F _ O,dolldt A .. O, CO" Oy A Y C tienen ti mismo 5111110-

t Ullastcu.lClollt'Sp.lramétricasdt laelipseooll centro en ah,k). Elipse hori1onta~ x(t) _ 11 + 4C06-t, y{ t ) _ k + bsellt.

• Elipstvenic¡ l: .r(t)_ h +bcolt . ,(t) _ k usent.

Ejercicios de repaso J 1, 005 !«tU tangen tes a la tlipst 9x-' + 161 -144. O lile cortan tn el punto

P( 0,* l. Enc~ntra 101 puntos de tangencia y las tcuaciones de las rectas tan­

""'~. 1. Halla la tcuaclón de la tlip$t cu)'Os focos iOn 101 punrosdondt $t cortan la

m:t¡X- 3: Oyel circulo x' + " • 25, ~ la distancia entre iusYértices es 12. 3, Da ¡¡'stcuaclolteSdt las !«tu tangenresa ¡¡, elipst

r+ 251 -12x-l00y+ 111 = Oque iOn paralÑs a la m:ta 3.r -20y+ lO _ O.

4. O\!muestr.ll que las rectas tangentes" la elipse 49.r + 36y' - 490x - 5004y+ 1225 = Om los punrosp(5, 1.4) y Q(II, ¡Json perpendiculares.

So OI!muesrra QUe la«uadón9x' + 16,' -16 - O !'@p~nraUn¡~lp5thoril()n­bl (DA (entn;> en el origen y(akul~ W el!ctntrkidad.

6. ~pite el problema amerlor p;w.o 1~llisuient<!$ e<:u<>elorlfi: ;a) 9.0:'+]6)"-25 .. 0. b) 9x' + 16,'-k'-O,doodek >0.

7. CoruldftOl IJ. <!Iipse 9x ' + 25,' - 225 - O. Encumrra SUI punIDs dI! Inmue:­dón con el eje Y y lIimalos P, y P,. Encuentl1l !ti coordenwsOe los focos P' y 1'. ~m~ra QlH! tl@jemayores d(p',F)+d{P. p,) _ d(P"P )+d( F ,p,).

a. Halla los rotos de la elipse 4x' + , ' i"40x -14,. + 145 -O. I'r'..eba queel pro­diCto de las distaJlCi.ls de los focos a la reccol taflgeme a la el pse en el punto p(-5, 9) es igual a 1.

,. Trilla la elipse 4x ' + l' - Ih + 8)' + 16 .. O. Encuentra I~ eo:ui'(iones de lu re:m tln~n{es a la elipse en el vértice V(2, O) y en el punto 1'(4, -4). Da la ¡'W1«Ción de escudos rectas. y llarm Qa did'lo punto. Halla la tctl.1cl6n de la r8;U. ~ pUl. por Py f'1 vm:i(:f' V' df' la elipse. Muestra qu.ef'Sla rKU es pa­ralf'la a la ra:uqueullf'.il Qton el (enuo df' la f'lipse.

10. Coruldmo la parábola y' _ 4x,"-!flCuef1U11 la KUóKlón df' la l'K[a QUf' pan por su foco res paralela al f'jf' Y. HaUa los puntos don~ setOlun f'Sta n!Cta y I.l p;lrábola. Por último, da I~ KUóKióÓ de la elip~ cuyos fOC05 son los puntoS CJlf' enconrras[f' y que riele f'xcenuicidad t·

... ' t... x' i.. x' t... 11. ~uema qlH! las elip~ 17 + 26 - 1, ii + 27 _1 Y 19 + 23 _1 tienen los

miSITlOi focos. Escribe la KUKión df' alfil elipse con los mismos focos. 12. Encuent(¡l c\.lolrro pumos por los que pas¡ la elilX" .#

9%' +161+54x-64y-11I =0. ~ 13. Se desf'il conKnJir un pumtf' df' piedra sobrf' un no df' ma~quf' el claro df'­

bajo de (11 SE') media elip~. Elclaro debf' ml'dirl"l1la bmo 20 rrikrol ye.neceo­... río quf' pua:la pHar debajo df'I pU<!Otf' una !:>arcau df' 6 mem:>sdf' ancho y 3 meuOIde atrura ¡(lbrf'f'1 agua.¿Cuil es la a1rura mlnlma lobr,,~1 nlYeI del agua des~ el c<!Otro del pUf'm~?

14. Encuenlfillos pumol donde 1(' conan la elip~ 2x' + r' - 4x-4,- 21 -O Y Ildrculo x'+y'-2x-4,-13_0.

1 S. [ncuentr.l laStuatroKuaciollf'sdf' lasr«tisQUe pasan por un vérti(:"y un ec­lJemo del ~meoorde la elipl(' 2..,' + l' - 28x +8y+ 108 _ D.

16. Con§ldf'ra el droJlo con c<!Otro f'n el ori8en y radio 6. Encu<!Otra ell~argmmé­meo df' lospumos P(x, y) t;alesqo.>e' xe( -6,6) y y .. t y" dondeQlx,y,) f'Sd ." el dn;ulo.

17. Consldmo la elipse 2:5..,' + 16 r' -3OOx+128 y- 444 _ O. Halla sus focos y la (;Ingenteen el punto p{ó+tv'6,-2). Demuestra que el producto delasdistan­ci¡s delos focos ¡ la rKta (¡ngentees igual .164.

1.. Encuentra la Ionslrod del lado I'K[O de la elipse 25x' + 16y + 3O()x - 32y - 2684 = O ylasel:uKionesde la51'K[¡U tangentes a la eli pl(' en los eJ<tremos de los ladosrectOI.

19. Traza la rf'gión que M d<!OtrO de la elips~ x' + 4y' -6x + 5 -O, fuera de 105 drculos x' + y' _ 10x _ 2y+ 25 .. O Y x' + y' + 2y - 3 .. O yfuen, de la pará­bolax ' - 8x - 4y+ 12 - O. Escribe las desigualdades qUf' d_ríben la I"f'gi6n.

Autoevaluación ]

l. Eno:;I)m(r.a la 4!CI.UclÓIl sI~ric;a d~ la ~Ip~ (uyos bc:ol s.on f"{O, -3l Y F'(o, 8l tilOl ~ la suma ck las d$t.U\Cj~ de ~ PUI\(OS d~ I~ elipse ¡ ~ bcos es 20.

, , iL -=-- t .L '" 1.

100 36

X' y' h --. --_ 1.

39936 40000

~ ~ +~= I . • ' Y .--.---1.

40000 399J6

&1 CLlO d~ que ru respuesu. su iocorT«u. (l)l'Isu lca la ~nJ 273.

l. fncuet'lfra I.HCUKIón gtner.al de la ~1i9.f (IJ)'OS (o.

~ $OIl F'(4. 0}y P(-4, O) u.1 que la suni.:deludis· tlrocias de los puntos d~ la ~ipsu los focos ellO. iL 25x'+9,.'- 225 .. 0. b. 9;c'+25,,-22S .. 0. ~ 621%' + 625y'-IS525oo. O. d 625x'+621,,-15525OO _ 0 . ftI 0.10 d~ quetu respuesta sea Io<:orrecu, (l)nsu lra la p.\gina 213.

3. Eni .... mr.a lu coordl'rl.tdas d~ 101 focos de la ~Ijp.e:

~+ r .1. i6\! 2S

iL (IJ,O}y(-\3,O). 1>. (J2,0}y(- 12,0), c. (O, 13)y(O,-\3). d (O, 12}y(O,-I2),

&1 CLlO d~ que ru respuesta su incor=¡a. (l)nsu ltillil ~nil174.

4. fncuencr.a la txCermicj(bd de la ~ip~ ]69x'+25y' = ]6900.

13 iL u '

h -,-o n

12 c. 8'

• -,-o 13

En Ca$O de que ru rt5¡luestil sea loco~a,

(l)nsu ltala p.\gil'la183.

S. EIl(:UMm la forma slrntrrita d~ la ~Ips~ con ~. (~nuidd<d -t y ... én:il;e~n (- 4, - 5) Y (6, - 5).

{x - H' (y S)' •. - ,-,- ' - .-,-01. (x - ])' (y+S)'

b. --, ,- ' - , -, - o 1. {x-II' (y+5)' L - ,-,-'-,-,-=1.

d (.u 1)' (y - 5)' --,,-' - ,-,-= 1 . En aso de que tu respuestill~a incorrecta, consulul,¡ pisi~ 283,

6. EIl(:Uft1ITa ~ cMrro de la elipse 11 + 21 - 8% + 12y+ 28 .0. iI. (6, 3). b. (-3, 4). ~ (-4,3), d. (4, -3). En caso de cp..Ie tu respuestale.l incorrecta, consuka la ~na 289.

7. EIlCU~lI1lolpuncosd~ inters«ción d~ la eliPseJ~. ~5y ' + 4% - 2y- 24.0 Y la recta %+2, .,. ¿ 'O o. l. H.2:?t{2.0). b. (2. -2) Y (2. O). c. (2, -2)y(O, 2). d. N::I se (l)1"UI'I, En aso de que tu ~puen sea Incorl4!Cfa, consulta lil p.1gi~ 309,

.. Ell(:uerKl1ila ecllilCión de la recta tangente a la I'Ilpse 4x' + y' - 2{l = O q.JI! pau. pord PIRO (2, 2). 1. 5xt,.-10=0, b. %+4, - ]0=0. c. 4x +y - 20=0. d. 4x+y-IO=0. En (aS() de que ru ~puesril sea io<:o~a. (01'1' sultala p~l'Ii1 309 •